Probabilité et statistique ENCG CASABLANCA

8/10/2019 Probabilit et statistique ENCG CASABLANCA

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Calcul des probabilits

Issam Elhattab

I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilits 2012 - 2013 1 / 26


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Sommaire

1 Notions de base

2 Dfinition de probabilit

3 Probabilit conditionnelle et indpendance



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Notions de base

Notions de base



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Notions de base

1

2

3

4

5

6

7



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Notions de base Exprience alatoire

Dfinition

Exemple1 Peut-on prdire avec certitude le rsultat du lancement dune pice de

monnaie ?

2 Peut-on prdire avec certitude le rsultat du jet dun ou de plusieurs ds ?

3 Peut-on prdire avec certitude le temps dattente dune rame de train ?


N i d b E bl f d l


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Notions de base Ensemble fondamental

Dfinition

Exemple1 Considrons lexprience alatoire qui consiste lancer un d. Lensemble

fondamental qui lui est associ contient tous les rsultats possibles de ce

lancement : ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.


N ti d b t


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Notions de base vnement

Dfinition

Exemple1 Considrons une exprience alatoire dont lensemble fondamental

={1, 2, 3}. Les vnements de sont :

, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},.

2 Considrons une exprience alatoire dont lensemble fondamental ={1, 2, 3, 4}. Les vnements de sont :

, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},

{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4},.


Notions de base Oprations sur les vnements


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E

E1 E2

Implication E1 E2

E1 E2 E1 E2 E2 E1

{2, 6} {2, 4, 6}.

galit

E1 E2

E1 = E2 E2 E1

{

}= {1, 3, 5}.




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Runion E1 E2

E1 E2

E1 E2 E1 E2

{1, 2, 5} {1, 3, 4, 5}= {1, 2, 3, 4, 5}.

Intersection

E1 E2

E1 E2

E1 E2

E1 E2

{1, 2, 5} {1, 3, 4, 5}= {1, 5}.




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La diffrence

E1\ E2

E1

E2

E1 E2

E1 \E2 = E1 E2 E1 E2

{1, 2, 5} \ {1, 3, 4, 5}= {2}.

Le complmentaire E

E E

E

{1, 2, 5}= {3, 4, 6}, =, =


Notions de base Diagramme de Venn


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Notions de base Diagramme de Venn

A B

A B

A B

A B

A B

A \ B

A

A


Notions de base Tribu des vnements


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Dfinition

A

1

A

2 E A E A

3

(Ei)iI

A

iIEi A.

A

Exemple

Soit un ensemble fondamental, et, A etB deux vnements de. Laquelle desfamilles dvnements suivantes est une tribu :

1 A= {,};

2 B ={,,A,B};

3 C ={,,A,A}.

4 D={,,A,A,A B,A B,A B,A B}.




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ot o s de base bu des e e ts

ThormeSoitA,BetCtrois vnements de:

1 A B=A B, A B= A B.2 A (B C) = (A B) (A C).

3 A (B C) = (A B) (A C).

Dmonstration1

2

3


Notions de base Partition de lensemble fondamental


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Dfinition

E1,E2, . . . ,En Ei Ej = , i= j)

E1 E2 En= .

ExempleConsidrons le jet dun d. Les suites dvnements suivantes constituent des partitionde ={1, 2, 3, 4, 5, 6} :

1 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6};

2 {1, 2}, {4}, {3, 5, 6};

3 {1, 3, 5}, {2, 4, 6}.


Dfinition de probabilit


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p

Dfinition de probabilit


Dfinition de probabilit Dfinition classique


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Dfinition

n

N(E)

E

P(E) =

E

= N(E)n

= Crad(E)Card()

.

ExempleLancement dun d quilibr. Soit les vnements suivants :

A= { avoir1},B= { avoir un nombre divisible par3}, C={ avoir un nombre pair}.

DoncP(A) = 1/6,P(B) = 1/3,P(C) = 1/2.


Dfinition de probabilit Dfinition frquentiste


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Dfinition

n

n(E) E

n

n

fn(E) = n(E)/n

E

P(E) = limn

n(E)

n.


Dfinition de probabilit Dfinition axiomatique


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Dfinition P(E) E

Axiom 1 : 0 P(E) 1.

Axiom 2 : P() = 1.

Axiom 3 : E1,E2, . . . ,En n

Ei Ej =,i=j

P(E1E2 En) =P(E1)+P(E2)+ +P(En), n=1

,2

, . . . , .


Dfinition de probabilit Thorme


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Thorme

SoitEetFdeux vnements de, alors :1 P(E) = 1 P(E) ;

2 P(E F) = P(E) + P(F) P(E F).

Dmonstration1 Il est clair queEE= , donc :P(EE) = P().Daprs laxiom 2, P() = 1,

et, daprs laxiom 3,P(E E) = P(E) + P(E), par consquent :P(E) + P(E) = 1,cest--dire,P(E) = 1 P(E).

2 Remarquons queE F= E (F E), donc daprs laxiom 3,P(E F) = P(E) + P(FE).De mmeF= (F E) (FE), donc daprslaxiom 3,P(F) = P(FE) + P(FE), cest--dire,P(FE) =P(F) P(FE).Par consquent,P(E F) = P(E) + P(F) P(FE).


Probabilit conditionnelle et indpendance


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Probabilit conditionnelle et

indpendance


Probabilit conditionnelle et indpendance Probabilit conditionnelle


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Dfinition

E F

P(E|F) E

F

P(E|F) =P(E F)

P(F) .

ExempleLancement dun d quilibr. Soit les vnements suivants :

E={1, 2, 3}.

F={ avoir un nombre impair}.

Donc

P(E|F) = P(E F)

P(F) =

2

6

3

6

= 2

3.

RemarqueAttention, en gnral, P(E|F)=P(F|E).


Probabilit conditionnelle et indpendance Probabilit conditionnelle


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Dfinition

E F

P(E|F) =P(E)

F

E

E

F

ExempleLancement de deux pices de monnaie bien quilibres. Sachant que face est lersultat du lancement de la premire pice, quelle est la probabilit que le rsultat dulancement de la deuxime pice soit aussi face ?On a ={(P1,P2),(P1,F2),(F1,P2),(F1,F2)}.SoitA = {(P1,F2),(F1,F2)} etB= {(F1,P2),(F1,F2)}. Remarquons queP(A B) = 1/4,et que, P(B) = 1/2, doncP(A|B) = 1/2, or,P(A) = 1/2, par consquent :

P(A|B) =P(A).

Conclusion :A etB sont indpendants. Intuitivement, le rsultat de la premire picene modifie en rien le rsultat de la deuxime pice.




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ThormeSoitEetFdeux vnements de, alors on a lquivalencesuivante :

EetFsont indpendants P(E F) = P(E) P(F).

ExempleLancement de deux pices de monnaie bien quilibres. On a donc ={(P1,P2),(P1,F2),(F1,P2),(F1,F2)}.SoitA = {(P1,F2),(F1,F2)} etB= {(F1,P2),(F1,F2)}. Remarquons queP(A B) = 1/4,et que, P(A) = 1/2etP(B) = 1/2. Do :

P(A B) = P(A) P(B).

Conclusion :A etB sont indpendants.




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Thorme (des probabilits totales)

SiE1,E2, . . . ,En une partition de lensemble fondamental, et, Aun vnement quelconque, alors :

P(A) =

n

i=1

P(Ei)P(A|Ei).

Thorme (de Bayes)SiE1,E2, . . . ,En une partition de lensemble fondamental, et, Aun vnement quelconque, alors :

P(Ei|A) = P(Ei)P(A|Ei)ni=1 P(Ei)P(A|Ei)

, i = 1, . . . , n.




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ExerciceOn classe les grants de portefeuille en deux catgories : ceux qui sont bien informset ceux qui ne le sont pas. Lorsquun grant bien inform achte une valeur boursirepour son client, la probabilit que le cours de celle-ci monte est de 0.8 ; dans le casdun grant mal inform, cette probabilit ne vaut que 0.5. Si on choisit au hasard ungrant dans un annuaire professionnel, la probabilit quil soit bien inform est de 0.2.Calculer la probabilit que le grant ainsi choisi soit mal inform, sachant que la valeurquil a achet a mont.

SolutionSoit les vnementsGMI={Le grant est mal inform},GBI={Le grant est bien inform} etM={La valeur a mont}. Les informations delnonc se traduisent par les probabilitsP(M|GBI) = 0.8,P(M|GMI) = 0.5etP(GBI) = 0.2. Lobjectif est de calculerP(GMI|M). Daprs laformule de Bayes, on a :

P(GMI|M) = P(GMI M)

P(M) =

P(GMI)P(M|GMI)

P(GMI)P(M|GMI) + P(GBI)P(M|GBI)

= 0.8 0.5

0.8 0.5+ 0.2 0.8=

5

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