Probabilidad Teoria y 500 Problemas Resueltos.pdf

SERIE DE COlvlPENDIOS SCHA UM

TEORIA y PROBLEMAS

DE

PROBABILIDAD

POR

SEYMOUR LIPSCHUTZ, Ph.D. Prof esor A sociado de Mat emáticas

Universidad de Temple

•

T RA DUCC IO N y A DA PT,I C ION

A U ' Il EDO F ER RO D U()UE

Profeso r de la Universidad Nacional de Colombia. Bogo tá

•

UBROS McGJ~AW-H/U

\

,\U- \Il ' \..) f .-\ .'-\ ,\I.-\ ,\IAOR/D BúGOTA S . .\O PAllO .'u.E\A YO RK.

LONDR ES TORONTO SIDNEY JOHANNES8URG

DUSSELDORF SINGAPUR AUCKLAND

;¡

Prólogo

La teoría de la probabilidad tuvo sus co~~:rinciPios del sigIO~'~~ mo resultado de investigacionl:s sobre diversos juegos de az~7~~"~1;~o->n~es acá han contribui~6erfeccionamiento muchos matemúticos y científicos céle_bres; ~ero a pesa r de <;u larga y activa historia, sólo se axioma-t ' . d 1 d' 1.J'p,°d 1 4h . I IZO urante as tercera y cuarta ecauas este slg o. Este desarrollo axiomático, llamado teoría mo-

derna de la probabilidad, precisó los conceptos de la probabilidad y los colocó so bre una firme base matcIllática,

La importancia de la probabilidad ha crecido enormemente en los últimos años, y hoy aparecc, junto con su disciplina gemela, la estadística, en casi todos los campos , como la física, la química, la biología, la medicina, la sicología, la sociología, la -.:iencia política, la educación, la economía, los negocios, la invesligación operativa y todos los ramos de la ingeniería.

El presente libro se ha preparado para un curso de introducción a la probabilidad y sólo exige como conocimiento previo el álgebra de secundaria, Puede servir como texto para dicho curso, o como suplemento para cua lquier texto comparable. También puede servir como complemento para textos y cursos de estadística, Además, como es completo en sí mismo, se presta fáci lmente para estudiar por cuenta propia.

Com ienza con un capítulo sobre conjuntos y sus operaciones, y continúa con uno sobre permutaciones y Olras lécn icas de contaL Vienen luego un capítulo de espacios probabilísticos y otro de probabilidad condicional e independencia. El quinto, que es el principal , trata sobre variables aleatorias, Allí dellnimos la esperanza, varianza y desviación estándar, y probamos la desigualdad de Tchebycheff y la ley de los grandes números . Aunque no se requieren conocimientos de cálculo, se estudian las variables aleatorias, tanto discretas como co ntinuas. Seguimos con un capítulo aparte sobre las distribuciones I)illomial, normal y de Poisson, Aquí se da el teorema central del límite en el contexto de la aproximación normal a la distribución binomial. El séptimo y último capítulo ofrece un desarrollo ekmental completo de las cadenas de Markov con aplicaciones.

Cada capítulo comienza con enunciaLlos claros de las correspondientes definiciones, principios y teoremas, co n ilustraciones y otros materiales descriptivos. A esto siguen grupos ordenados de problemas resueltos y propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, arrojan plena lu z so bre aquellos sutiles puntos sin cuya explicación el estudiante se sentirá continuamente sohre terreno movedizo, y constituyen repetición de los principios básicos, que es cosa tan vital para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen demostraciones de la mayor parle de los Ll:üremas, Los problemas propuestos sirven como un repaso completo del material de cada capítulo.

Deseo agradecer al Dr. Martin Silverstein sus valiosas recomendaciones y su revisión crítica del manuscrito. También deseo expresar mi reconocimiento a Daniel Schaum y Nicola Monti por su excelent e coo per¡¡cióll.

SEYMOUR LIpSCllUTZ

Capitulo 1

Capítulo 2

Capítulo 3

Capítulo 4

Capítulo 5

Capítulo 6

Capítulo 7

TABLA DE MATERIAS

TEORIA DE CONJUNTOS Introducción. Conjuntos, ekmento s. Operacionc:s con co njuntos. Conjuntos finitos y contables . Conjunto producto . Clases de conjuntos .

TECNICAS DE CONTAR Introducción. Principio fund amental del conteo. Notación factorial. Permutaciones. Permutaciones con n:petición . Pruebas ordenadas. Coeficientes del binomio y teorema. Combinaciones. Parti-ciones ordenadas. Diagramas de árbol. •

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD . Introducción . Espacio muestral y sucesos. Axiomas de probabilidad. Espacios finitos de probabilidad. Espacios equiprobables finitos. Espacios muestralcs infinitos.

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA Probabilidad condicional. Teorema de la multiplicación para probabilidad condicional. Procesos estocásticos finito s y diagramas de árbol. Particiones y teorema de Bayes. Independencia . Pruebas repet idas o independ ientes .

VAIHABLES ALEATORIAS Int roducc ión . Distribución y espaanza de un a va riable a leatoria finita . Varianza y desviación estúndar. Di stribuci ón conjunta . Variables alea tor ias independientes. Funciones de una variable ale:.ttoria. Variables aleatorias discreta s en gencral. Variables aleatorias continuas. Función de distribución acumulativa . Desigua ldad d" Tchebychdf. Ley de los números grandes .

DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON Distribución binomial. Distribución normal. Aproximación normal a la distribución binomial. Teorema ce ntr al dd límite. Distribución de Poisson . Distribu ción multinomial.

CADENAS DE MARKOV Introducción . Vector probabilidad , matrices estocásticas . Matrices estocásticas regulares. Puntos fijo s y matrices estocásticas regulares. Cadenas de Mark ov. Probabilidades de transición de orden superior. Distribución estacionaria dc cadenas regulares de Markov. Estados absorbentes.

INDlCE

Pág.

16

38

54

74

105

126

152

Capítulo 1

Teoría de conjuntos

INTIWDUCCION

Estc capítulo trat a algunas ue las ideas y conct:ptos elementales de la teoría dc conjuntos que son necesarios rara una introducción moderna a la teoría de la probabilidad.

CONJUNTOS, ELEMENTOS

Se llama cunjul/to una li sta o colección bi t:n definida de objetos; los objetos comprendidos en un conjunto son llamados sus elemel/tos o miembros . Escribimos

P E A SI P es un clemt:nto del conjunto A

Si cada demento ele A pertcnece también a un co njunto B, esto es, si p E A implica p E B, entonces se dice que A es subcol/junto de B, o que está cOl/tel/ido en B; esto se denota por

AeB o B:::JA

Dos conjuntos son iguales si cada lino está contenido en el otro; esto es,

A=B si y sólo si AeB y BeA

Las negaciones dt: p E A, A e n y A = B se escriben p El A, A ct B Y A =1= B respectivamente.

b pecili ca mos un conjunto particular, o por la li sta de sus elementos o estableciendo las propie-dades 4ue caraclt:rizan dicho s elementos. Por ejemplo, ' I L

_ éN.ll1 f P..J\~o S"u'} L u-r"--<-t(;.,l A {1, 3, 5, 7, 9} e:. . ' ' -r- , 1 f}

'''ViI '<.l'...,\~ lh,1 ~ )llli'\S/,,;'¡ v i AtsuG.W" sigllilica que A es el co njunto formado por los números 1, 3, 5, 7 Y 9; y ¡ - - - - --

B _- - ~ &r¡PILl..IH .. :'N (x : x es un número primo , x < 15)

signitica que B es el conjunto cle los números primos menores que 15 . )(.. e ) L~ p ~".\:. iJ /\-0 "J 'ltJr..I; A menos que se es tablezca otra cosa, todos los conjuntos en una investigaclOn se suponen sub

conjuntos de un conjunto lijo llamado conjunto universal denotado (en este capítulo) por U. También usamos el símbolo lO para indicar el conjunto vacío o 1/1110, esto es, el conjunto que no contiene elementos; este conjunto se considera como un subconjunto de cual4uier otro conjunto. Así para cualqlller cOlljunto A, tenemos lOcAeU.

Ejemplo 1. 1: Los conjuntos ,.¡ y B a nteriores pueden ta mhié n escribirse como

A = {x: x es un número impar, x < lO} Y B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

No l~se qu e <) E A pc::ro ') fl R. Y 1I E B pero 11 fl A. mientra s que J E A Y 3 E B. Y 6 fl A Y 6 fl B.

2 TEORIA DE CONJUNTOS [CAP 1

Ejemplo 1.2: Usamos los símbolos especiales s iguientes:

N = conjunto de los entero s positivo s: l. 2. J.

Z = conjunto de los enteros: . -- 2, --- 1, 0, 1, 2,

R = conjunto eJe los núm eros reales.

Así tenemos N e Z e R.

Ejemplo 1.3: Los ;nrerl'alOI sobre la línea rcal, definidos a co ntinu ación , aparecen muy frecuentem ente en matemá

ticas. Aquí a y h son números rcales con a < b.

Int e rvalo abierto de a a b (a, b) = {x : a < x < b}

Intervalll cerrado de a a h [a, b] {x : a ~ x ~ b}

Int erva lo ahierto-cerrado de a a b (a, b] {x : a < x ~ b}

Intervalo cerrado-abierto de a a h [a, b) {x : a ~ x < b}

Los inte rvalos ahierto- ce rrado 'f cerrad o-abierto son también llamados interv a los sem;-ah;('({os.

Ejemplo 1.4: En estudios de población. el C0njunto universal está formado por todas las personas del mundo.

Ejemplo J 5: Sea e = {x . x ' = 4. x es im par}. Entonces e = 0. () sea que e es el conjunto vacío.

Apliquemos el siguiente teorema:

Teorema 1.1: Sean A. B Y e unos conjuntos. Además: (i) A e A; (ii) SI A e By'; e A entonces A = B, Y (iii) si A e B y B e e entonces A e e

Hacemos énrasis en que A e B no excluye la posibilidad de A = B. Sin embargo, si A e B pero A =/: B, entonces decimos que A es un subconj/lnto propio de B. (Algunos autores usan el símbolo ~ para un subconjunto y e solamente para un subconjunto propio.)

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Sean A Y B conjuntos arbitrarios. La rellnlón de A y B expresada por A U B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A o a B:

AuB (x : x E A o x E B}

Aquí "o" se usa en el sentido de y/o.

La intersección de A y B. expresada por A n B. es el conjunto de elementos que pertenecen A y B:

AnB {x:xEA y x E B}

Si A n B= 0, esto es, si A y B no tienen elementos en común, entonces se dice que A y B son disyuntos .

La diferencia de A y B o el cOlllplemento relalivo de B con respecto a A. expresada por A'\. B. es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B:

(x: x E A, x tl B}

Obsérvese que A '" B Y B son disyuntos. esto es, (A "'-.B) n B = 0. El complemento absoluto o, simplemente, complemento de A. expresado por A C

• es el conjunto de elementos que no pertenecen a A:

Ac {x:xEU,xtlA}

O sea que A C es la diferencia entre el conjunto universa l U y el conjunto A.

I

\ \ ,

CAP. 11 TEORIA DE CONJUNTOS 3

Ejemplo 1.6: Los diagramas siguientes, llamados diagramas de Venn, ilustran las operaciones anteriores. Aquí los conjuntos están representados por simples superficies planas y U, el conjunto universal, por la superficie total del rectángulo.

A U B sombreado A n B sombreado

A "- B sombreado Ae sombreado

Ejemplo 1.7: Sean A= {I, 2,3, 4} Y 8= {3, 4, S, 6) donde U = {I, 2, 3, }. Entonces

A U B {l, 2, 3, 4, 5, 6} A n B = {3, 4}

A"-B {1,2} Ac = {5,6,7, ... }

Los conjuntos de las operaciones anteriores satisfacen las diferentes leyes o identidades que se relacionan en la tabla inferior (tabla 1). Para el efecto, establecemos el:

Teorema 1.2: Conjuntos que satisfacen las leyes de la tabla l.

LEYES DEL ALGE13RA DE CONJUNTOS

Leyes de idempotencia

la. AuA - A lb. AnA - A - -

Leyes asociati,'as

2a. (AUB) U C - A U (BuC) 2b. (AnB)nC - A n (BnC) - -

Leyes conmutati,·as

3a. AuB - BuA 3b. AnB - BnA - -

Leyes distributitas

4a. A U (BnC) - (A U B) n (A U C) 4b. A n (BuC) - (A nB) U (A nC) - -

Leyes de identidad

5a. Au0 - A 5b. AnV - A - -

6a. AuV - V 6b. An0 - 0 - -

Leyes de complemento

7a. A uAe = V 7b. A n Ae = 0 Sa. (Ae)e = A Sb. Ve = 0, 0 e = V

Leyes de De Morgan

9a. (A uB)e - Ae n Be 9b. (A nB)c - Ac uBe - -

Tabla I

4 TEORIA DE CONJUNTOS ICA P I

Obsenación~ Cada una de las leyes anteriores provIenen de una ley lógica análoga. Por ejemr1o,

A n B = {x: x E A y x E B} {x: x E B y x E A} BnA

Aprovechamos aquí el hecho de que la proposición compuesta "p y q", escrito p /\ q. es lógicamente equivalente a la proposición compuesta "q y p", esto es, q /\ p.

La relación entre contenencia o conjunto contenido en otro y las anteriores operaciones con conjuntos lleva al:

Teorema 1.3: Cada una de las condiciones siguientes es equivalente a A C B:

(i) AnB A (iii) BecAc (v) BuAc U

(ii) A U B B (iv) A n Be = ~

CONJUNTOS FINITOS Y CONTABLES

Los conjuntos pueden ser finitos o in(lnitos . Un conjunto es finito si está vacío o si con sta exactamente de n elementos en donde 11 es un entero positivo ; de otra manera es infinito.

Ejemplo 1.8: Sea M el conjunto de los días de la semana; eslo es.

M = {lunes, martes, miércoles. jueves. viernes. súbad o. domingo}

Entonces M es finito.

Ejemplo 1.9: Sea P= {x: ,\ es un río de la Tierra}. Aunque puede ser difícil contar el nl¡merO de ríos de la Tierra . P es un conjunto finito.

Ejemplo 1.10: Sea Y el conjunto de los enteros pares (positivos). esto cs. Y = { 2, 4. 6. } Entonces)' es un con -junto infinito.

Ejemplo 1.11: Sea I el intervalo unidad de los ' números reales . esto es J ~- {x' O ~ x "" I} [nlonccs I es un n)Jl

junto infinito .

Un conjunto es contable si es finito o si sus elementos pueden ser ordenados en forma de sucesión. en cuyo caso se dice que es contablemente infinito; de lo contrario el conjunto es no contable. El conjunto del ejemplo 1.10 es contablemente infinito, mientras se puede comprobar que el conjunto del ejemplo 1.11 es no contable.

CONJUNTO PRODUCTO

Sean A Y B dos conjuntos. El conjunto producto de A y B, expresado por A X H. está formado por todas las parejas ordenadas (a, b) donde a E A Y b E B:

AxB {(a, b): a E A, b E B}

El producto de un conjunto por sí mismo, A X A, se denota por A 2.

Ejemplo 1. 12: El lector está familiarizado con el plano cartesiano R / = R X R indicado ahajo.

Aquí cada punto P representa una pareja ordenada (a , b) de números reale,. y viceversa

2

b P

O -3 -2 -1 2 a 3

-1

-2

Ejemplo ).13: Sean A = I 1.2. J I Y B= la. b 1. Entonces

A X B = {(l, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

I

l' I

I r

\ \

i \

\

CAP. lJ TEOR!A DE CONJUNTOS s

El concepto de El conjunto producto de los

producto se extiende a un número finito de A J, A 2, . ,A m, escrito A J X A 2 X

• ! a rn ) donde al E A ¡ para cada i.

en ferma naturaL , . X Am es el conjunto de

todas las m-uplas ordenadas (o 1, a2,

DE CONJUNTOS

Con frecuencia los elementos de un conjunto son a su v~z conjuntos. Por ejemplo, en un conjunto de líneas cada línea es un conjunto de puntos. Para aclarar estos casos, se acostumbra usar para dicho

lo la palabra clase o familia. Las palabras y subfamília tienen significados a subconjunto.

Ejemplo 1.14: Los miembros de la clase {I 2, 3 1, 121, I S, 61} son los conjuntos 12, 31, 2! Y : 5,61.

Ejemplo 1.15: Considérese un conjunto A. El conjunto pOlellcia de A. por "P (.4). la clase de todos los subconjuntos de A. En si A = la. b. e entonces

"P(A) :::: {A, {a, b}, {a, e}, {b, e}, {b}, {e}, 0}

En general, si A es finito y tiene n elementos, entonces "P(A) tendrá 2n elementos.

Una partición de un conjunto X es una subdivisión de X entre subconjuntos no vacíos que son dis-yuntos y cuya reunión es X, o sea la de subconjuntos no vacíos de X tales que cada a X oece a un único subconjunto. Los subconjuntos de una partición son llamados células.

Ejemplo 1.16: Considérense las siguientes clases de subconjuntos de X= 11,2, ,8,91;

(i) 3,5}, 6}. {4, 8, 9} 1

(ii) [{1,3, {2, 4, 6, 8}, {5,7,

OH) [{l, 3, {2, 4, 6, 9} 1

(i) no es una partición de X puesto que 7 E X pero 7 no pGrtenece a ninguna célula. Además, (ii) no es una partición de X puesto 5 E X Y 5 pertenece a ambas i 1,3,51 y ¡ 7,91. Por otra parte, (íil) es una partición de X puesto que cada demento de X pertenece a una célula exactamente,

Cuando hablamos de clases de conjuntos con I A, . i E JI o simplemente ¡ A¡ 1, !lea-mos que un conjunto Al, asignado a cada elemento ¡E/. El conjunto 1 se denomina conjunto de índices y se dice que los conjuntos Al tienen por índice l. Cuando el conjunto de Índices es el conjunto N de los enteros positivos, la con índices {Al, A z, ... } se sucesión de Por la de conjuntos de los Al denotados por 1 Al simplemente UIA!), se entiende el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los Al; Y por la intersección de los Al, denotada por nlEI A. n. A.), se entiende el conjunto de elementos que a cada Al.

También escribimos

y

para la reunión e intersección, respectivamente, de una sucesión de conjuntos.

Definición: Una clase no vacía cA de subconjuntos de U se denomina un (a-álgebra) de con-si:

(i) el de algún conjunto de cA a cA; Y

(ii) la reunión de un número finito (contable) de conjuntos de cA pertenece a cA; esto es, si cA es cerrada para complementos y reuniones finitas (contables).

Es sencillo mostrar (problema I que un (a-álgebra) de contiene U Y y es también cerrada para intersecciones finitas (contables).

6 TEORIA DE CONJUNTOS [CAP I

Problemas resueltos

CONJUNTOS, ELEM SUBCON.JUNTOS

1.1. A x: 3x 61. A

A es eL conjunto que contiene a 2 como único elemento, esto es, A 1 21. El número 2 pertenece A, no es igual a A, Existe una diferencia básica entre un elemento p y el de un solo elemento I fJ L

1.2. ¿Cuáles de los conjuntos: ¡ r, s, ti, I 1, s, r 1, ! s, r, ti, r 1, r, s I son iguales'?

Son todos iguales, El orden de los elementos cambia conjunto,

1.3. Determine si los conjuntos dados son vacíos:

X ¡ x: x 2 9, 2x = 41, (ii) Y í x : x ~ x 1, (iií) Z [x: x + 8

(i) No hay ningún número que X 0,

am bas x' = 9 Y 2x = 4. por

81,

X es vndo. o sea.

Interpretemos el signo" "como "es idéntico con" y así Y es también vacío, En efecto, algunos textos definen el conjunto vacío como sigue: 0 : x ~ x}.

(iii) El número cero satisface x + 8 8; o sea que Z = 1 O L En consecuencia, Z no es el conjunto vacío pUCSIO que contiene al elemento 0, Esto cs, Z ~

lA. Pruebe que A 1 2,3,4.5 i no es un de B : x es par L Basta mostrar que por lo menos un elemento de A no pertenece n n, Pues bien 3 E A y. como B es el conjunlO dc

los números pares, 3 f/; B: entonces A no es subconjunto de B,

1.5. Sean vid 1, W = I e, d I,.Y la, b, e l. Y la, b I y Z la, b, d l. Determinar Si las proposiciones son verdaderas o falsas:

(i) Yc (ii) =r Z, (iii) Z (iv) Ve (v) W, (vi)WC

(i) Puesto que cada elemento de Yes elemento de X, Y e X '/crdadcra,

a E Z pero a f/; W: entonces W# Z es verdadera.

(iii) d es el único elemento de V y también d pertenece a Z: entonces Z ::J V es verd3dera.

(iv) V no es subconjunto de X puesto que d E V pero d f/; X; entonces ve X es falsa.

(v) Ahora a E X pero a f/; W: entonces.\' = IV falsa.

(vi) W no es subconjunto de }' puesto que e E W pero e El. 1'; entonces W e y falsa,

1.6. Probar: Si A es un del nto entonces A =

El conjunto vacío es subconjunto dc todo conjunto; cn particular, íll e ,.1, Pero por A e 0; enlonces

A = 0.

1.7. Probar el teorema 1.1 (iii): Si A e B y Be C. entonces A e C.

Tenemos que demostrar que cada elemento de A pertenece también iI e Sea x E A Como A e B imp)¡ca que x E B, pero Be C: entonces x E C. Hemos demostrado que x E A x E C, o sea, qu.c A e C.

1.8. ¿Cuáles los conjuntos

(i) Los meses del año,

(ii) ¡ 1,2.3 •. , .,99,1001,

son finitos'?

(iii) El número de personas que viven en la Tierra.

(iv) El

(v) El

nto Q de los números racionales.

nto R de los números reales.

Los tres prírncros conjuntos son finitos: los dos últimos son infinitos. (Puede demostrarse que Q es numerable o contable pero R es no contable,)

CAP. 1] TEORIA DE CONJUNTOS 7

1.9. Considerar los siguientes conjuntos de figuras en el plano Euclidiano:

A = Ix: x es un cuadrilútero I e = Ix: x es un rombo I B = Ix: x es un rectángulo I D = Ix: x es un cuadrado I

Determinar cuúles conjuntos son subconjuntos propios de cualquiera de los otros.

Un cuadrado es un rectángulo por tener sus ángulos rectos y es un rombo por tener sus 4 lados iguales, y además por tener 4 lados es un cuadrilátero. Entonces

D e A, De B y DeC

por consiguiente, D es un subconjunto de los otros tn:s . Así mismo, puesto que hay ejemplos de rectángulos, rombos y cuadriláteros que no son cuadrados, D es un subconjunto propio de los otros tres.

En forma similar vemos que tanto B como e son subconjuntos propios de A. No hay ninguna otra relación entre los conjuntos dados.

1.10. Determinar cuáles de los conjuntos siguientes son iguales: ~, {O}, {~}.

Cada uno es diferente del otro. El conjunto 101 contiene un elemento, el número cero. El conjunto 0 no contiene elementos; es el conjunto vacío. El conjunto {0} también tiene un elemento, el conjunto nulo.


1.11. Sean U = I 1, 2, ... , 8, 9 1, A = I 1, 2, 3,41, B = I 2, 4, 6, 8 I y e (i) A e, (ii) A n e, (iii) (A n C)e, (iv) A U B, (v) B ""- e, (i) Ae consta de los elementos de U que no están en A: o sea AC = I 5,6,7 ,8,91.

(ii) A n e consta de los elementos comunes a A y C: o sea A n e = 1 3,4 1.

I 3,4, 5,6 l. Hallar:

(iii) (A n e)e consta de los elementos de U que no están en A n C. Ahora por (ii), A n e = I 3,41 Y del mismo modo (A n C)C = I 1, 2, 5, 6, 7, 8,91.

(iv) A U B consta de los elementos de A o de B (o de ambos) : o sea A U B = I 1,2,3,4,6,8 l.

(v) B "" e consta de los elementos de B que no están en C: o sea B "" e = 1 2,8 l.

1.12. Sea U = I {l, b, e, d, e 1, A = la, b, el 1 y B = lb, d, e l. Hallar:

(i) A uB

(ii) BnA

(iii) Be

(iv) B""-A

(v) AcnB

(vi) A U Be

(vii) AcnBc

(viii) Bc""-Ae

(ix) (A nB)e

(x) (A U B)e

(i) La reunión de A y B consta de los dementos de A y B (o de ambos); o sea A U B = la. b. d , e 1.

(ii) La intersecciún de A y B consta de aquellos elementos que pertenecen a ambos A y B: o sea A n B = lb. d i.

(iii) El complemento de B consta de las letras de U pero no de B: así que 8 e = I a. e 1.

(iv) La diferencia B "" A consta de los elementos de B que no pertenecen a A: o sea B"" A = I el.

(v) A e =Ic,el y 8=l.b,d,el; luego Aen B=lel.

(vi) A = 1 (l. b. d 1 y Be = I a, e 1; entonces A U Be = la, b, c. d l.

(vii) y (viii) . Ae = 1 e, e 1 y Be = I a, e 1; entonces

AcnBc = {e} y

(ix) De (ii), A n B = lb . d 1; o sea (A n B)e = I {l. e, e l.

(x) De (i) , A U 8 = la, b. d. e 1; o sea (A U B)e = 1 e l.

Be", Ae {a}

B- A:/ e ) Ij

~ t~~~~ ~ 1>, 7' ~ rlé~~ 1\

8 TEORIA DE CONJUNTOS [CAP. I

I.JJ. En el diagrama de Venn dibujado, sombree: (i) Be, (ii) (AuB)<, (iii) (B"'-.A)e, (iv) AenBe.

(i) BC consta de los elementos que no pertenecen a B: o sea que se sombrea el <Írea exterior a B corno sigile:

B

(ii) Primero se sombrea A U 8: luego el área exterior o sea (A U 8)

AuB (A U B)e

(iii) Primero se sombrea B "-A. el área de 8 que no pertenece a A , luego (B "-A)c. o sea el área exterior a B"- / I

A B

(iv) Primero se sombrea Ae, o sea el área exterior a A, con trazos oblicuos inclinados a derecha (////), y luego se so m

brea Be con trazos oblicuos inclinados a izquierda (\\\\); entonces o4 e n Be es el área rayada dohlemente:

AcnBC

Observe que (A n B)C = /lc n 8 e , como se esperaba por la ley de De Margan.

CAP. IJ TEORIA DE CONJUNTOS 9

1.14. Probar: B"'A = B n A C• O sea, que el conjunto de la operación direrencia puede ser escrito en

términos de operaciones de intersección y complemento.

B ~ A {x: x E B, x e A} {x: x E B, x E AC} B n Ac

1.15. Probar: Para dos conjuntos cualesquiera A y B, A n B e A e A u B.

Sea xEA nB; por consiguiente xEA y xEB. En particular , xEA. Entonces xEA nB implica que xEA. AnBcA. Además si xEA . entonces xEA o xEB, o sea, xEA uB. Puesto que ACA uB. En otra s pa

labras, A n 8 C A C A U B.

1.16. Probar el teorema 1.3 (i): A e B si y sólo si A n B = A.

Su pongamos A C S. Sea x E A; entonces por hipótesis~ x E S. O sea que ~ E A Y x E S, luego x E A U S. En consecuencia, A CAn B. Por otra parte, siempre se cumple que A n S C A (problema 1.15). Luego A n S = A.

Ahora supongamos que A n S = A. Entonces en particular, A CAn S. Como siempre se cumple que

A n S cS. Entonces A CAn B C S y así, por el teorema 1. 1, A C S.

CONJUNTOS PRODUCTO

1.17. Sean M = ! Tomás, Marcos, Enrique 1 y w = I Andrés, Beatriz l. Hallar M X w. ,\4 X W consta de todas la s parejas ordenadas (a. b) donde a E M Y bE W Por tanto

,\1 X W = I (Tomás , Andrés), (Tomás, Beatriz), (Marcos, Andrés),

(Marcos, Beatriz), (Enrique, Andrés), (Enrique, Beatriz) I

1.18. Sean A = I 1, 2, 3 1, B = l 2,4 1 y e = ! 3,4,5 l. Hallar A X B X C.

Un método conveniente para hallar el producto A X S X e es por medio del denominado "diagrama de á rbol"

que se muestra a continuación:

3 (1, 2, 3)

~2<CC: (1, 2, 4) (1, 2, 5)

1

~4~: (1, 4, 3) (1, 4,4) (1, 4, 5)

3 (2, 2, 3)

~2~: (2, 2, 4) (2, 2, 5)

2

~.~: (2, 4, 3) (2, 4, 4) (2, 4, 6)

3 (3, 2, 3)

~2~: (3, 2, 4) (3, 2, 6)

3

~4~: (3, 4, 3) (3, 4, 4) (3, 4, 6)

El "árbol" se con struye de izquierda a derecha. A X B X e consta de todas las ternas ordenadas, listadas a la derecha

del "árbol".

1.19. Sean A = la, b 1, B = ! 2, 3 1 y e = 13,4 l. Hallar:

(i) A X (BUe), (ii) (A X B) U (A X e), (iii) A X (Bne), (iv) (A X B) n (A X e).

(i) Primero hallamos B U e = [ 2, 3,41. Luego

A X (BuC) = {(a,2), (a,3), (a, 4), (b,2), (b,3), (b,4)}

10

(ji)

TEORIA DE CONJUNTOS

Primero hallamos A X B Y A X C:

AxB

A X e ==

Luego 'calculamos la reunión de los dos conjuntos:

{(a, 2), (a, 3), 2), (b, 3)}

{(a,3), (a., 4), (b, 3), (b,4)}

(A X B) U (A X e) =: {(a, 2), (a,3), (b, 2), (b, 3), (a,4), (b,4)}

Observamos de (i) y (ii) que

A X (B U e) =: (A X B) U (A X e)

(iii) Primero calculamos 8 n e = I 31. Luego

A X (Bne) {(a, 3), (b, aH

[CAP. 1

(iv) NlOra A X 8 Y A X e ya fueron calculados. La intersección de A X B Y A X C consta de aquellas ordenadas que pertenecen a ambos conjuntos:

(A X B) n (A X C) {(a, 3), (h, 3)}

Observamos de (iii) y (iv) que

A X (B n el = (A X B) n (A X e)

1.20. Probar: A X (B n C) (A X B) n xC).

AX(Bne) y); xEA, yEBne}

== {(x,y): xEA,yE yEe}

{(x,y): y) E A X B, (x,y) E A. X e}

(A X B) n (A X e)

1.21. Sean S la,bl, W 11,2,3,4,5,61 y V (3,5,7,91. Hallar X W) n (S X V).

El conjunto producto (S X W) n (S V) se halla primero calculando S X W y 5' X V. y luego calculando la intersección de estos conjuntos. Por otra parte, según el problema anterior, (S X W) n (S X V) = S X (W n V). Ahora W n V = I J, 5 1, y así,

(S X W) n (S X V) == S X (W n V) {(a,3), (a, 6), (b, 3), (b, 5)}

1.22. Probar: Sí se tiene A e B y e e D; entonces (A X e (B X D),

Sea (x, y) un elemento cualquiera de A X C; entonces x E A Y Y E C. Por hipótesis, A e 8 e e D; luego x E B Y Y E D. Por consiguiente (x. y) pertenece a B X D, Hemos demostrado que (x, y) E A X C ilIlplica que (x, y) E B X D; o sea (A X C) e (8 D),

CLASES DE CONJUNTOS

1.23. Consideremos la clase A {! 2, 31, : 4, 5 :, : 61}. ¿Cuáles propOSICIOnes son incorrectas y

por qué? (i) I 4, 5 I e A, (ií) I 4, 5 I E A, (¡íi) { I 4, 5 I} e A.

Los miembros de A son los conjuntos I 2, 31, I 4, 5 I y I 6 L Por tanto, (ii) es correcta pero (1) es una incorrecta. Por otra parte, (iii) es también una proposición correcta puesto que el conjunto que consta del simple elemento 14. 51 es una subclase de A.

1.24. Hallar el conjunto potencia del conjunto S i 1, 2, 3 1.

El conjunto potencia PeS) del conjunto S es la clase de lodos los subconjuntos de S; éstos son: I 1, 2, 31, I 1, 21, 11.31,12, 31.ll:, 12 :,131 y el conjunto vacío 0, Por tanto

P(S) :::: {S, {l, {2.3}, {l, {l}, {2}, {3}, 0}

Nótese que hay 2) = 8 subconjulltos de S,

CAP. 11 TEORJA DE CONJUNTOS

1.25. Sea X = ¡ a, b, e, d, e, f, g 1, Y sea:

(i) A 1 ={a,c,e},A2 ={b},

(ii) Bl = {a,e,g},

(iii) CI = {a, b, e, g}, C2

(iv) DI = {a,b,c,d,e,f,g}.

¿Cuáres de ¡ ."11, A2, A JI, I B 1,

g};

{b,e,f};

{d,!};

B l 1, I e 1, el, el 1, ID ¡ I son particiones de X?

II

(i) I A " Al, A 1 I no es una de X puesto que I E X pero f no pertenece a ninguno de los Al, AloA J.

(ji) ! B " 81, 8) I tampoco es partición de X puesto que e E X pertenece a ambos B 1 Y B J.

(¡Ii) I e" e" e J es una partición de X puesto que cada UIlO de los elementos de X pertenece a una célula exactamente, o sea, X e 1 u e, u e ) y los son parles discretas disyuntas.

(iv) ¡ D, ¡ es una partición de X.

1.26. Hallar todas las de X la, b, e, di.

Notamos primero que cada partición de X contiene, Ó 1, 2, 3, ó 4 conjuntos diferentes. Las so[J las siguientes:

b, e,

[{b}, {a, e, [{e}, b, b,

b}, [{a,e}, {b,d}], [{a,d}, {b,

[{a}, {b}, {e, [{a}, {e}, {b, d}], [{a}, {d}, {b, e}],

[{b}, {a, d}], [{b}, {a}, {a, e}], [{e}. {a, b}]

(4) [{a}, {b}, {d}]

Hay quince diferentes de X.

1.27. Sea N el conjunto de los enteros y, para cada n E N, sea

! x: xes un múltiplo den 1= ¡ n, 2n, 3n, ...

Hallar: (i) A3 nAs, (ii) A4 n A 6 , (iii) U¡EP A¡, donde P es el conjunto de los números primos 2, 3, 5, 7, ll,

(i) Aquellos números que son conjuntamente de 3 X 5 o sea múltiplos de 15; por tanlo Aa n As = A15'

(íi) Los múltiplos de 12 y ningún OlfO número pertenece a ambos A4 y As; portanto A.¡ n A 6 AIZ'

(lii) Todo entero positivo excepto 1 es un múltiplo de por lo menos un número primo; entonces,

UíEP = {2. 3, 4, ... } = N"- {l}

1.28. Probar: Sea 1 A ¡ l I una clase con índices de conjuntos y sea jo E l.

El e A¡o e UIEI Al

Sea x E n¡EI A¡. entonces x E Al para cada ¡EJ. En x E Por tanto nlEI Al cAlo'

Ahora sea y E Puesto que io E l. Y E UjEI Al Entonces A 'o e UjE1A¡.

1.29. Probu (la ley de De Para una clase con índices

{x : x (/; Al para todo i} = :a:E para todo i} = n I A~

1.30. Sea cA un y (íi) cA es

(cr de conjuntos de U. Demostrar que: (i) U Y ~ para intersecciones finitas (contables).

Recordemos que cA es cerrada para.compkmenlos y reuniones finitas (contables).

acA;

(i) Puesto que cA no es vacía, hay un conjunto A E cA. Entonces el complemento AC E cA. y la reunión U =

A uAc E cA. También el complemento 0 = Ue E cA.

(ii) Sea I A¡ I una clase tinita (contable) de conjuntos que pertenecen a cA. Por la ley de De Morgan (problema 1.29),

(u¡ n j njA,. Por consiguiente n¡A¡perteneceacA,comose demostrar.

12 TEORIA DE CONJUNTOS

Problemas propuestos

CONJUNTOS. ELEMENTOS, SUBCONJUNTOS

1.31. Escribir en nutación de conjuntos:

(a) R es un subconjunto de T. (b) x es un miembro de Y.

(e) El conjunto vacío.

(d) M no es subconjunto de S.

( e) z no pertenece J. A.

(f) R pertenece a cA.

1.32. Repeti r esc ribi endo explícitamente los elementos de cada conjunto: (i) A = Ix: x' - x - 2 = 01

(ii) B = I x x es una letra de la palabra " fallar" 1

(iii) e = Ix. x ' = 9. x - 3 = 5 1 (iv) D = Ix ¡ x es una vocal 1

(v) E = Ix' x es un dígito del número 2324 1

1.J3. Sean A = I 1, 2, ,8,91, [) = 12,4,6,81, e = I 1. J, 5, 7, 91, D = 13,4,51 Y E = 13,5 l.

¿Cuides co njuntos son iguales a X si se da la siguiente información '}

[CAP I

/

(i) X Y [) son disyuntos. (ii) X e D pero X ct B. (iii) X e A pero X q: C. (iv) X e e pero X ct: A.

1.34. Indicar si cada proposición es verdadera o falsa:

(i) {l,4,3} = {3,4,1}

(ii) {3,1,2}C{l,2,3}

(iii) 1 <t {l, 2}

(iv) {4} E {{4}}

1_,5. Sea A = 1 1, O l. Indica r si las proposiciones son correctas o no :

(i) {O} E A, (ii) 0 E A, (iii) {O} e A, (iv) O E A, (v) O e A.

1.36. Establezca si cada conjunto es finito o infinito :

(i) El conjunto de líneas paralelas al eje x .

(ii) El co njunto de letras del alfabeto inglés.

(iii) El conjunto de números múltiplo s de 5.

(iv) El co njunto de animales que viven en la Tierra .

(v) {4} e {{4}}

(vi) 0 e {{4}}

(v) El conjunto de números que son solución de la ecuación x 27 + 2Gx18 - l7xll + 7x3 - 10 == O.

(vi) [1 co njunto de círculos alrededor del origen (O, O) .


1.37. Sea n U = {a, b, e, d, e, 1, g}, A = {a, b, c, d, e}, B == {a, c, e, g} y C = {b, eJ, g}. Hallar (i) A U C (iii) C" B (v) Ce n A (vii) (A" Be)e

(ii) BnA (iv) Be U C (vi) (A" C)e

U8. En los diagramas de Venn inferiores, sombree: (i) W" V, (ii) Ve U W, (iii) V n We, (iv) Ve" We.

(a) (b)

1.39. Probar: (a) A U B = (Ae n Be)e; (b) A" B = A n Be. (Así las operaciones de reunión y diferencia pueden definirse en términos de operaciones de intersección y comp/c:mento .)

1.40.

1.41.

1.42.

Probar el teorema 1.3 (ii): A e B si y sólo si A U [J = B.

Probar : Si A n [J = 0 , entonces A e [Jc \

Probar: A e" Be = B" A.

CAP. 1] TEORIA DE CONJUNTOS

1.43. Probar: A 8 implica A U (8" A) B.

1.44. (i) Probar A n "e) (A n B) '" n C}.

tii) Dar lln para mostrar que A U (B C) ~ (A U B) '" U C}.

CONJVNTOS PRODUCro

1.45. Sea W I Marcos, Pablo 1 y sea V I Enrique, David 1. Hallar:

(i) Wx V, (ii) Vx W, (íii) V, Vx v.

1.46. Sea A = : 2, 31, 8 A B X C. (Ver

11.3,51 V C 1.18.)

41. Construir el "diagrama de árbol" de A X B X e y

13

hallar

1.47. Sea S 1 a, b, e T 1 b, c. di Y w = la, di. Construir el "diagrama de árbol" de S >, T X W y luego hallar SxTXIV.

lA8. Suponer que los conjuntos W y Z tienen 3, 4 Y 5 elementos respectivamente. Determinar el númao ele elementos de (i) V X W X Z, (ii) Z X V X W, (Jii) W X Z X V.

1.49. Sea A 8 n e. Determinar si ambas nenn,,",,' son ciertas:

(i) A X A = (8 X B) n (e X e). (H) A X A X C) n (e X B).

1.50. Probar A (B U C) = (A X E) UtA X e).

CLASES DE CONJUNTOS

1.51. Sea An 1 x.

Az nA7; donde s. f EN.

un múltiplo de ni = ! n. 211, 3n, 1, d,mde n E N,

As n (iií) Aa U (iv) Aa n A 12; (v) (vii) Probar: Si J e N es infinito, entonces n¡EJ

entero5 positivos. Hallar'

U A st ' donde 8, t E N; (vi)

0.

1.52. Hallar el conjunto potencia 'P(A) de A = 1 1, 2, 3, 4 I 'j el conjunto de B {l, {2, 3l,

1.53. Sea IV = I 1, 2, 3, 4, 5,6 L Determinar si cada proposición es una partIción de W

(i) [{t,3,5},{2,4},{3,6}] (iii) {2},{4},{3,6}]

(ii) [{1.6}, {S,6}] (iv) [{l, 2,3,4,5,

1.54. Hallar todas las de Vii, 2, 31.

n

1.55. Sean [A 1, ••• , A'nJ y B 2 , ••• , Bn] de un conjunto X Demostrar que la coiección de conjuntos

[Ain i=l, ... ,m,j=l, ... ,n]

también es una part;lción (llamada la parliciólI Iras versal) de J:'.

1.56. Probar Para clase con índices {Al: i E l}

(a) Bu(njA¡~ ni (b) B n (utA¡)

1.57. Probar (ley de De Margan): (ni

1.58. Demostrar qUe cada una de las siguientes es un álgebra de

(i) cA = {0" U}; (H) '13 = {0, Ac, U}; OH) 'P(u), el conjunto

de U:

de U.

1.59. Sean cA y '13 álgebras (a -álgebras) de subconjuntos de U. Probar que la intersección cA n '13 también cs un «1·álgebra) de subconjuntos de U.

14 TEORl¡\ DE CONJUNTOS [CAP, I

Respuestas a los problemas propuestos

1.31. (a) Re T, (b) x E Y, (e) (d) M ~ S, (e) z !l A, (f) R E cA.

1.32. (i) A {-1,2}, (U) B {f,a,l,,}, OH) C= 0, (iv) D = {a,e,i,a,u}, (v) E {2,3,4}.

1.33. (i) e y E, (ii) D Y E, (iii) A, By D, (iv) no

1.34. Todas proposiciones son verdaderas excepto (v)

1.35. (i) incorrecta, (ii) incorrecta, (m) correcta, (iv) correcta, (v) incorrecta

1.36. (í) infinito. (ií) finito, infinito, (iv), finito, (v) finito, (vi) infinito

1.37. A uC::::: U

BnA:::: e,e}

OH) C",,"B::::: {b,t}

EcuC::::: {b,d,e,f,g}

1.38. (a)

W",,"V

(b)

W",,"V

Obsérvcse que vcu W = U Y vn

(v) CenA:::: {a, e, Ce

(A C)c={b,e,f,g}

(A d,!,

(viii) (A nAe)e ::::: U

VcuW VnWc

'.

® V

VcuW VnWc

¡ve o cn el caso (h) donde ve W,

Ve",," Wc

1.45. (i) W X v I (Marcos, (Marcos, David), (Enrique, Enrique), (Enrique, David), (Pablo, Enrique), (Pablo, D"J vid) I

1.46.

(ii) V W = I (Enrique, Marcos). (David, Marcos), (Enrique, Enrique), (David, (Enrique, Pablo), (David, Pablo) I

(iii) V X V = I (Enrique, David), (David. Enriquc),

1 3 (2, 1, 3) 4 1, 4) ,

3 8 (2, 3, 3) 4 (2, 3, 4)

2'1;::----

5 3 5,3)

" (2,6,4)

1 3 1, 3)

" (3, 1, 4)

8 3 (8, 3, 3)

" (8, S, 4) 3 <E----

5 3 (3. 5, 3)

" (3, 5, 4)

elementos de A X 8 e son las ternas ordenadas a la. derecha del diagrama de árbol anteri,0r.

CAP, 1] TEORIA DE CONJUNTOS 15

1.47.

b " (a, b, a) d (a, b, d)

" (a, e, a) ti

d (a, e, d)

d a. (a, d, a) d (a, d, d)

b " (b, b, a) d (b, b, d)

b a (b, e, a) el

d (b, e, el)

d a (h, d, a) d (b, d, d)

b a (e, b, a) d (e, b, d) a (e, e, al

el d (e, e, d)

d a (e, d, a) d (o, d, d)

Los elementos de S X T X W son las ternas ordenadas a la derecha del diagrama de árbol.

1.48. Cada uno tiene 60 elementos

1.49. Ambas son verdaderas: A X A (B X B) n (C X C) (8 X C) n (C X B)

(iv) A 12, (v) A" (vi) Aa!

1.52. 'P(B) {B, {I, {2,3}}, {I, {{2, 3}, 4}, {l}, {{2, 3}}, {4}, 0}

1.53. (i) no, (ji) no, (íii) sí, (iv) sí

1.54. [{I , 2, a}], [{l}, {2, a}], [{2}, {l, a}], [{3}, {l, 2}] Y I{l}, {2}, {3}]

Capítulo 2

Técnicas de contar

INTROOUCCION

Fn esll: c tpítulo desarrollarl:n1os algunos métodos para determinar sin enumeración directa el

núml:ro de resultados posibles de un experimento particular o el número de element os de un conjunto particular. Ta k s técni cas so n conocidas algunas veces con el nombre de análisis combinatorio .

. PIUNCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

[J1l pe za mos co n el sigu ien te principio bás ico:

Principio fundamental del conteo: Si un evento puede reali zarse de ni maneras diferentes. y si, con tinu ando el procedimiento, un segundo evento puede rea lizarse de n2 maneras diferentes, y si , des pués .de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 manl;:ras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto ni' n z' n3 ....

Ejemplo 2.1: Supongam os que una pl aca de autom óv il consta de dos letras dist intas seguidas de tres dígit os de los cua les el primero no es cero. ¿Cuántas placas diferentes pued en graba rse1

La primera letra ruede colocarse de 26 maneras diferentes (supues to el a lfabeto ele 26 1ctr~si. la 'cgunda let ra de 25 manfras (pu esto que la letra grabada de primera no puede escogerse como segunda letr a). para el pnmer dígito ha y nueve númo;ros o sea nueve man eras y para cada uno de los ot ros dos digit os 10 ma neras. Por lo tanto puedcngrabar~e

26' 25 • 9 • 10· 10 = 585.000 placas diferentes

NOTACION FACTORIA.L

El prod ucto de los ent eros positivos desde I hasta n inclusive, se/emplea con mucha fr ecuencia en matcmúticas y aquí lo denotamos por el sí mbolo especial n! (que se lee "1/ factoria!"):

n! = 1·2·3· ·· · '(n-2)(n-1)n

Conviene también definir O! l.

Ejemplo 2.2:

Ej l'mplo 2.3: 8! 6!

2! = l' 2 = 2, 3! = l' 2 . 3 6,

5 ~ = 5' 4! = 5 ' 24 = 120; 6!

4! = l' 2 • 3 • 4 = 24,

6' 5! = 6' 120 = 720

8'7'6! = 8'7 = 56 6!

12' 11 . 10 = 12' 11 • 10 • 9! 9!

12! 9 !

PERMUTACIONES

Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los obj ejQ;i_(.t(Hnad{)s...1Q.9~ a la vez) . Una ordenación de un número r de dichos objetos, r ~ n, en un

------oréícn dado se ll a ma un:¡--p--ermtt-{~ r o una pen~ión de los f/ objetos ~~~dos r a la vez.

Ej emplo 2.4: Cons ideremos el conju~e las letras In. b. ~:-r.nr()nccs : (i) bdea . deba y acdb son~rmlJt aciones de las 4 letras (tornadas todas a la vez) :

(ii) hado ndh. cbd y bca son permutaciones de las 4' letras tom adas 3 a la vez,

(iii) ad. ch . da y hd son permuta ciones de las 4 'Ietras lo rnad<ls 2 a la vez.

16

CAP. 21 TECNICAS DE CONTAR 17

El número de de n objetos tomados r a la vez lo denotamos por

P(n, 'ro}

Antes de deducir la P(n, r) consideremos un caso especial:

Ejemplo 2,5: Hallar el número de permutaciones de 6 objetos, a saber, a, b, c, d, e,f, tomados tres a la vez. En otras

palabras, el número de "palabras de tres letras diferentes" que pueden formarse con las sd,¡

letras mencionadas.

Representemos las

Ahora la primera ktra escogerse de 6 formas diferentes; en seguidJ, la !etra puede

escoger de 5 formas diferentes; y después de esto, la última letra se escoger de 4 formas diferentes.

Escribimos cauJ número en su correspondiente como

Así por el principio fundamental del conteo hay 6' 5 • 4 l:;!O posibles palabras de lres letras ,in repetición, o hay 120 de 6 objetos tomados 3 al tiempo. Esto es,

P(6,3) = 120

La de la P(n, r) sigue el procedimiento ejem anterior. El pnmer elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras; a el segundo elemento de la permutación puede escogerse de n 1 maneras; y, sucesivamente el ter-cer elemento puede escogerse de!l 2 maneras. tenernos que el r-ésimo (último) elemento de la permutación r escogerse de ti ~- (r - 1) n r I maneras. Así,

Teorema 2.1: P(n, 't} -l)(n- " ·(n T n!

La se basa en

n(n - l)(n - 2)· .. (n r + 1) n!

En el caso especial de r = n, tenemos

P(n, Es el

~1)(n-2) .. 3·2'1 n!

Corolario 2.2: Las u",',v,'"" de ti todos a la son n!

Ejemplo 2.6: permutaciones de 3 dementos se fllrman con objetos a, by C'I

Según corolario anterior, hay 3! l' 2 • 3 = 6 permutaciones. Esta" ,on abe. acb, bac. hea. cab, cba.

PERMUTACIONES CON REPETICIONES

Con se saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales son como se indica a continuación. Usamos la fórmula

Teorema 2.3: El número de permutaciones de n objetos de los cuales ni son ., nr son es

n!

18 TECNICAS DE CONTAR [CAP 2

Indicamos la comprobación del teorema propuesto por medio del siguiente ejemplo particular. Supóngase que deseamos formar todas las posibles palabras de 5 letras usando las letras empleadas en la palabra DADDY . Ahora se tienen 5! = 120 permutaciones de los objetos D"A,D 2,D3 , Y donde las tres D están marcadas. Observamos que las seis permutaciones siguientes

forman la misma palabra si se quitan los subíndices. Las 6 resultan del hecho que hay 3! = 3·2·1 := 6 maneras difer"entes de colocar las tres D en los tres primeros lugares de la permutación . Esto es cierto para cada una de las otras posiciones posibles en donde las D aparezcan. Por consiguiente hay

~ - 120 _ 20 3! - 6 -

palabras diferentes de 5 letras, que pueden formarse tomando las letras de la palabra DADDY.

Ejemplo 2.7: ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 8 banderas colocadas en una línea vertical, pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas sin marcar, 3 blancas sin marcar y un a azul? Tratamos de obtener' e l número de permutaciones de 8 objetos de los cuales 4 son iguales (las banderas rojas) y 3 también (las banderas blancas). Según el teorema anterior hay

señales diferentes.

PRUEBAS ORDENADAS

8! 4! 3!

8·7·6·5·4·3·2·1 4·3·2·1·3·2·1

280

Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad se relacionan con la escogencia de una bola tomada de una !lrna que contiene" bolas (o una carta de una baraja, o una persona de una población) . Cuando escogernos una bola tras otra de un a urna, r veces, defjnimos esta escogencia como una prueba ordenada de tamaño r . Se consideran do s casos:

(i) Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n maneras diferentes para escoger cada bola , según el principio fundamental del conteo hay

r veces ~ n·n·n···n = nT

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.

(ii) Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de escoger la sigu iente. Así

no hay repeticiones en la prueba ordenada. O sea que, Ulla prueba ordenada de tamaño r SIO

sustitución es simplemente una permutación r de objetos de la urna . Por consiguiente hay

n! P(n, r) = n(n - l)(n - 2) ... (n - r + 1) = (n _ r) !

pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un grupo de ti objetos.

Ejemplo 2.8: ¿De cuántas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de una baraja de 52 cartas, (i) con sustitución, (ii) sin sustitución? Si cada carta se regresa al naipe antes de e~;coger la siguiente, en tonces cada

carta puede escogerse de 52 maneras diferentes . Entonces hay

52·52·52 = 523 = 140.608

pruebas ordenadas diferentes de tamaño 3 con sustitución .

CAP 2] TECNICAS DE CONTAR 19

Por otra parte si no hay sustitución, entonces la carta puede escogerse de 52 maneras diferentes, la segunda carta de 51 maneras diferentes, y la tercera y última carta de 50 maneras diferentes, Por Jo tanto hay

62' 51 • 50 132,600

pruebas ordenadas diferentes de tamano 3 sin sustitución,

COEFIClE~TES DEL BINOMIO Y TEOREMA

El símbolo (;) , léase "ner", donde r y 1'1 son enteros positivos con r ~ n, se define como

(n) n(n -r+l) r 1-2-3·· ·(r-l)r

Estos números son llamados coeficientes del binomio en atención a~ teorema 2.5 expuesto más'adelante.

Ejemplo 2.9: = 28 = 126 792

Nótese que (;) tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador. También,

n! r

Con esta fórmula y teniendo en cuenta que 11 (1'1 r) = r, se obtiene la relación lm-

Lema 2.4: (n~r) (~) 0, lo que es lo mismo, SI a b ti entonces (:) (~).

Ejemplo 2.10: C70

) 10' 9 ·8' 7' 6' 5 • 4 ::;:: 120 C;) C~) 120 1 • . . . . . o

Obsérvese que el segundo método economiza espacio y tiempo.

Nota: La fórmula abreviada del :.9 para (~) y el hecho de que O! 1, nos llevan a definir:

= 1 y, en particular (~) O! OJO!

1

El teorema del binomio, que se demuestra por inducción matemática (problema 2.18), propor-ciona la para el desarrollo de (a + b)n.

Teorema 2.5 (teorema del binomio):

+ ... + nab,¡-l + bn

Ejemplo 2.11:

20 TECNICAS DE CONTAR

En el desarrollo de (a + h)" se deben observar las propiedades siguientes:

(i) Hay 1/ + I términos.

(ii) La suma de [os exponentes de a y de b en cada término es 1/ .

[e A P 2

(iii) Los exponentes de a decrecen una unidad en cada término desde n hasta O: los exponentes de b crecen similarmente de ° a Il.

(iv) El coeficiente de cualquier término es (~) donde k es el exponente de a o de b. (Esto proviene del lema 2.4.)

(v) Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales.

Hacemos notar que los coelicientes de las potencias sucesivas de a + b pueden ser distribuidos en una formación triangular de números, llamada triángulo de Pascal, como sigue:

(a+ b)O 1

(a + b)I

(a + b)2

(a + b)3

(a+ W

(a + b)5

(a+ b)6 =

a + b

a2 + 2ab + b2

El triángulo de Pascal tiene las siguientes propiedades interesantes .

(a) El primero y último números de cada fila es l.

1

1

6

1

1 1

1 2 1

1 3 3

4 6 4 1

5 ~ 10 5 1

~ @ 15 6 1

(h) Cada uno de los otros números de la formación se obtienen sumando los dos húmeros que aparecen directamente encima de él. Por ejemplo: 10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10,20 = 10 + 10.

Se observa que la propiedad (b) anterior es equivalente al siguiente teorema so bre coefici entes del binomio:

Teorema 2.6: (n +r 1)

Ahora sean nI, n2, ... , 1h enteros no negativos tales que nI + n2 + ... + n, n. Entonces

la expresión ( n n) se define corno sigue: nI, n2, ... , ,

n!

Por ejemplo,

7! 210 8!

420 2!3!2! 4!2!2!0!

Estos números so n llamados coeficientes mu/tinomia/es en atención al siguiente teorema que generaliz.a el teorema del binomio.

Teorema 2.7: (al + az + .. . + a,)" L ( n ) ""2 n a la ... a r 12,

"1+"2+···+n,=" nl,nZ, ... ,n,

CAP 2] TECNICAS DE CONTAR 21

COMBINACIONES

que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objdOS lomados r ala vez, O una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta

Ejemplo 2.12: Las combinaciones de las letras a, b. e, d tomadas 3 a la vez son

la. b, 1, 1 a, b, di, ¡ a. c. d 1, lb, c. dio simplemente abe, abd. aedo bcd

Obsérvese que las siguientes son iguales:

acb, cha

O sea, cada una representa el mismo conjunto la, b, e L

El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez lo por

C(n, r)

Antes de dar la fórmula para C(n, r), un caso

Ejemplo 2.13: Determinemos el número de combinaciones de las cuatro letras a. b, e, d lomadas de tre" el! tres. Vemo,; que cada combinación que contenga tres letras produce 3! 6 así:

Combinaciones Permutaciones

abe abe, acb, bac¡ bca, cab, cba

abd

acd

bcd

LUt:go el número de combinacíones multiplicado por 3! equivale al número de permutaciones lotales.

3) • 3! 3) o C(4,3)

Ahora P(4, 3) 4« 3' 2 =: 24 Y 3! = 6; entonces C(4,3) 4 como se anotó ante,

Puesto que cada combinación de n objetos tomados r a la vez determina r! permutaciones de los se deduce que

r) r! C(n, r) Así obtenemos:

Teorema 2.8; C(n, r) nI

Recalcamos que el coeficiente del binomio (;) fue definido -r-,---,_n_! "--'--" de aquí

Usaremos e r) y (:) indistintamente.

22 TECN1CAS DE CONTAR [CAP. 2

2,14: comités de 3 se pueden formar con 8 personas? Cada comité es esencialmente una combina-ción de las 8 personas tomadas 3 a la vez. Por tanto

C(8,3) (8) 8, 7' 6 11 = 1- 2' 3 = 66

comités diferentes pueden formarse.

PARTICIONES

Supongamos que una urna A contiene siete numeradas de I a 7, Calculemos el número de maneras como sacar, primero 2 bolas de la urna, después 3 bolas y finalmente 2. En otras palabras, queremos calcular el número

(Al, A 2,

del conjunto de 7 bolas en células Al con 2 bolas, con 3 y Aa con 2 bolas. Estas células las lla-mamos desde que distingamos entre

cada una de las

esto es, para

guiente hay (~) la urna, o sea que

y ({6,7}, (3, 4, 5), {1,2}) ({l, 2}) {S, 4, 5}, {6,7})

produce la misma de A.

con 7 bolas en la urna, (~) maneras de sacar las 2 bolas,

la primera célula Al; quedan 5 bolas en la urna y por

maneras de sacar 3 bolas o sea para A 2 ; finalmente, quedan 2 bolas en

(;) maneras de obtener la última célula Aa. Entonces hay

(~)(~)(~) 210

particiones ordenadas con 2 bolas.

de A distribuidas en las A \ con 2 bolas, Al! con 3 y

Ahora Que

7! 6! 2! 7! 2!a!2!

puesto que r del primero se simpli con el segundo término del del factor que le En forma similar se comprueba (ver problema 2.28) el

Teorema 2.9: A de n elementos y sean ni, n2, ... , nr enteros positivos con th + n2 + , .. + nr n. Entonces existen

n!

diferentes de A de la (Al, A 2, ••• , Ay) consta consta de n2 ' .. , y Ar consta de nr elementos.

Ejemplo 2.15: cuántas maneras se pueden distribuir 9 entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los otros niños 2 juguetes?

Se desea hallar el número de particiones ordenadas de los 9 juguetes entre 4 células que constan de 3, 2, 2 Y 2 juguetes respectivamente. Por el teorema ¡¡,nterior, hay

de tales particiones ordenadas.

f ty

CAP. 2] TECNICAS DE CONTAR 23

DIAGRAMAS DE ARDOL

Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras . La construcción de diagramas de árbol se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.16: Hallar el conjunto producto A X 8 X e en donde A = I 1,21, B = la, b, e I y e = 13,41.

Usamos el diagrama de árbol sig u i~ nte:

a<: (1, a, 3)

(1, a, 4)

b<:

(1, b, 3)

(1, b, 4)

c<:::: (1, e, 3)

(1, e, 4)

u<: (2, a, 3)

(2, a, 4)

b<:

(2, b, 3) 2

(2, b, 4)

c~: (2, e, 3)

(2, e, 4)

V~mos que el diagrama de ár bol ,e construye de izquierda a derecha , y que el número de ramas en cada punto es et número de resultados posibles del cxpt::rimento siguiente.

Ejemplo 2.17: Marcos y Enrique intervienen' en un torneo de tenis. La primera persona que gane do s juegos seguidos o que complete tres gana el torneo. El diagrama siguiente muestra los posibles resultados del torneo .

<M .._____M E<M E <M <----E E E

Nótese que hay 10 puntos finaies que correspondt::n a los 10 n:sultados posibles del torneo :

MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EE

El recorrido desde el principio d~l árbol a los puntos finales indica qui¿n ganó cada juego en el torneo individual.

24 TECNICAS DE CONTAR [CAP 2

Problemas resueltos

FACTORIAL

2.1. Calcular 4!, S!, 6!, 71 Y 81

4 ! 1· 2· 3' 4 = 24

5 ! 5'4! 5' 24 = 120

6! 1 . 2 • 3 . 4 • 5 • 6 = 6' 5! = 6' 120 = 720

7!

8!

7' 6!

8' 7!

7' 720 = 5040

8 • 5040 = 40.320

2.2. Calcular: (.)13! (") 7! 1 11!' 11 lO!'

( i)

(i i)

13! 11!

or

7! lO!

l3 ! 11!

13' 12 • 11 . 10 . 9 • 8 . 7' 6 . 5 . 4 • 3 ·2· 1 11'10·9'8'7'6'5'4·3'2'1

13'12'11! = 13'12 = 156 11!

7! 10·9·8·7!

1 1 720

13' 12 156

2.3. S· I'r: (') n! (") (n+2)! ImplltCar: 1 (n-1)!' 11 n! .

( i)

(ii)

n! n(n - l)(n - 2)· . ·3·2' 1 _ . ( 1)( 2) 3 2 1

- n o, SImplemente, n- 11, - .•••• (n - 1)!

ni (n - 1)!

n(n--1)! (n - 1)!

(n + 2)! n!

(n + 2)(n + l)n (n - l)(n - 2)· . ·3 • 2 • 1 n(n - l)(n - 2)' . ·3' 2 • ~

(n + 2)(n + 1) = n 2 + 3n + 2

(n+2)! (n+2)(n+1)'nl o. simplemente . n 2 + 3n + 2 (n + 2)(n + 1)

n! n!

n

PERMUTACIONES, PRUEBAS ORDENADAS

2.4. Si no se permiten repeticiones, (i) ¿cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los seis dígitos 2, 3', S, 6; 7 Y 9? (ii) ¿cuántos de éstos son menores que 400? (iii) ¿cuántos son pares? (iv) ¿cuántos son impares? (v) ¡.cuántos son múltiplos de S?

En cada caso dibuje tres cajas D D D para representar un número arbitrario. y luego escriba en ca

da caja el número de dígitos 'lue se pueden colocar allí .

(j) I r_ ~

\; - 1 '" (m - 1" ) •

_ 6 '. - .----( ir ») i. (ii)

. r; ,<. 4! y( G ¡.. , ,- _____

. ----;¡ _ \ tu r

. (i i i)

(i v)

La caja de la ilquierda se puede llenar de 6 maneras; luego. la caja del medio puede llenarse de 5 maneras; y. final

mente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 maneras: G G ~J. Así hay 6' 5' 4 = 120 números.

La caja de la izquierda pueoe llenarse de dos maneras solamente, por 2 ó J, puesto que cada número debe ser menor

que 400; la caja de la mitad puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 ma-

neras' 0 G ~J. Así hay 2·6·4 = 40 númer~s . . .\

La caja de la derecha puede llenarse de dos maneras solamente, por 2 y 6, puesto que los números deben ser pares;

la caia de la izquierd? puede llenarse de 5 maneras; y, finalmente. la caja de la mitad puede llenarse de 4 maneras: o 0 0· Por consiguiente hay 5·4·2 = 40 números.

La caja de la derecha puede llenarse de sólo 4 maneras, por 3, 5, 7 ó 9. puesto que los números deben ser impares; la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 maneras; y, finalmente, la caja' de la mitad puede llenarse dc

4 maneras: ~ 0 0· A~í hay 6' 4' 4 = 80 números.


(v) La caja de la derecha puede llenarse de I manera solamente, por 5, puesto que los números deben ser múltiplos de 5; la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 maneras; y, finalmente, la caja del medio puede llenarse de 4

maneras: ~ 0 [2J. O sea que hay 5' 4 • 1 = 20 números.

2.5. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas, (i) en una fila de 7 sillas? (ii) alrededor de una mesa redonda?

(i) Las siete personas pueden distribuirse en una fila de 7' 6 • 5 • 4 • 3 • 2 . 1 = 7! maneras.

(ii) Una persona puede sentarse en cualquier puesto en la mesa redonda. Las otras seis personas pueden acomodarse de 6' 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 6! maneras alrededor de la mesa.

Este es un ejemplo de permutación circular En general, 11 objetos pueden dist ribuirse en un círculo de (11 .- 1)

(n -- 2) ... 3·2·1 = (n .... 1)' maneras.

2.6. (i) ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 mnas pueden sentarse en una fila? (ii) ¿pe cuántas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también? (iii) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas?

(i) Las cinco personas pueden sentarse en una fila de 5·4· 3 • 2 • 1 = 5! = 120 maneras

(ii) Hay 2 maneras para distribuirlos según el sexo: HHHMM o MMHHH. En cada caso los niños pueden sentarse de 3 • 2 • 1 = 3! == 6 maneras, y las niñas pueden sentarse de 2· 1 = 2! = 2 maneras. Así, en total hay 2 . 3! • 2! = 2' 6 • 2 = 24 maneras.

(i,i) Hay 4 maneras para distribuirlos según el sexo: MMHHH, HMMHH, HHtvIMH, HIIHMI\I. Obsúvese que cada manera corrcs¡Xlnde al número 0, 1, 2 ó 3, de niños que se sientan a la izquierda de las niñas. En cada caso los niños pueden sentarse de 3' maneras, y las niñas de 2! maneras. Así en total, hay 4' 3! ·2! = 4' 6' 2 = 48 maneras.

2.7. ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas?

6! Este problema corresponde a permutaciones con repetición. Hay 4!2! ras de las cuales 4 son rojas y 2 azules.

15 señales puesto que hay 6 bandeo

2.8. ¿'Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras: (i) tema, (ii) campana, (iii) estadísticas?

(i)

(ii)

(iii)

4! = 24, puesto que hay 4 ktras distintas.

7' 3! = S40, puesto que hay 7 il:tras de las cuales 3 son a.

12! puesto que hay 12 letras de las cuales 3 son 5,2 son l. 2 son i y 2 son a. "3!2! 2! 2! '

2.9. (i) ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? (ii) Resolver el mismo problema si se sientan en una mesa redonda.

(i)

\ '\. (ii)

" "

Las cuatro nacionalidades pueden ordenarse en una fila de 4! maneras. En cada caso los 3 americanos pueden sentarse de 3! maneras; los 4 franceses, de 4' maneras; los 4 daneses, de 4' maneras; y los 2 italianos, de 2' maneras. fuí que, en total, hay 4'3!4'4!2! = 165.888 ordenaciones.

. \\ .

Las 4 nacionalidades pueden distribuirse en un círculo de 3' maneras (ver problema 14.4 sobre permutaciones circulares). En cada caso los 3 americanos pueden sentarse de 3' maneras; los 4 franceses, de 4! man<:ras; los 4 daneses. de 4! maneras; y los 2 italianos de 2! maneras. O sea que, en total, hay 3'3!4'4'2! = 41.472 ordenaciom:s .

~/

26 TECNICAS DE CONTAR [CAP. 2

2.10. Supóngase que una urna contiene 8 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño 3, (i) con (ii) sin sustitución.

(i) Cada bola de la prueba ordenada puede escogerse de 8 maneras; entonces hay 8' 8 • 8 83 512 pruebas con sustitución.

(ii) La primera bola de la prueba ordenada puede ser escogida de 8 maneras, la siguiente de 7 maneras y la última de 6 maneras. Por lo tanto 8' 7 • 6 := 336 pruebas sin sustitución.

2.11. Hallar n si (i) peno 2) 72, (ji) P(n, 4) = 42P(n, 2), (jii) 2P(n, 2) 50 = P(2n,

(i) P(n, 2) n(n 1) n' n, o sca n' -.- n 72 o n'--n 72 O o (n -- 9)(/1 + 8) O.

Puesto que n debe ser positivo, la única respucsta es 11 9.

(H) 4) :::: 11.(11. - 1)(11. - 2)(11. - 3) y P(n,2) == 11.(11. - 1). O sea

11.(11. - 1)(11. - - 3) 4211.(11. - 1) o, si 11. ?'= 0, ?'= 1, (11. - 2)(11. - 3) :::: 42

o 11.2 - 511. + 6 42 o 11.2 - 511. - 36 o o (11. - 9)(11. + 4)

Puesto que n debe ser

(jii) P(n,2):::: n(n 1):::: 11.2

2(11.2 - 11.) + 50 := 411.2

11.

la única respuesta es n 9.

y P(2n,2) = 211.(211. - 1) = 411.2 - 211..

211. o 211.2 - 211. + 50 411.2 - 211.

Puesto que n debe ser positivo, la única respuesta es n = 5.

COEFICIENTE DEL BINOMIO Y TEOREMA

2.12.

o

Recordemos que hay tantos factores en el numerador como en el denominador

( i) C36

)

16-15'14 560 e") /15)

1-2-3 lB ! \5

(H) C42

) :::::: 495

2.13. Calcular: (i) (:), (ii) (~), C'") CO) lB 6'

(i) G) 8-7-6-5-4 := 56 = . . . .

Entonces

50

= 3003

Observamos que 8 5 = 3; o sea que calcular también (:) como

(:) (:) :::::: 56

(H) Ahora 9 - 7 == 2; entonces (~) = G) = 9' 8 36.

(iii) Ahora 10 - 6 = 4; luego (ISO) (14°) == 210~

2.14. Desarrollar y simplificar: (2x + y2)5.

o

o

+ y2)1S = (2X)5 + r (2x)4(712) + : 4 (2x)3(y2)2 + : 4 (2x)2(712)3 + ¡ (2X)(712)4 + (712)5

+ 10x718 + 7110

25

CAP, 2] TECNICAS DE CONTAR 27

2.15. Desarrollar y sím plificar:

(X2

6· 6 + (x2)2(-2y)4 + - (x2)(-2y)5 + (-2y)6 • 1

160x6y 3 + 240x4y4 - + 64y 6

2.16. Probar: 16 (~) + (i) +(~) + (:) +(!). Desarrollamos (1 + 1)4 Y empleamos el teorema del binomio:

24 = . (1 + G)14 + G)P1l + (:)1212 + (:)1113 + G)14 G) + G) + (:) + (:) + G)

2.17. Probar el teorema 2.6: ( n +r 1) Ahora e n 1) + (:)

minador en ambas fracciones, multiplicamos la

F "-:;-;--;--;--'t-·-;-:;-:-: + -'-,'-"----,-c. Para obtener el mismo deno

rracción por! y la segunda fracción por _n, __ r-;-...:;l,. Entonces r n r

+ (:)

" (n) 2.18. Probar el teorema del binomio 2.5: + b)" = r an-

r bT•

El teorema es cierto para n !, puesto que

a + b = (a + b)1

Suponemos que el teorema se cumple para (a + b)n y probamos que es cierto para (a + b)n+ 1,

(a + b)n+1 (a + b)(a + b)n

= (a+ b) [an + (~) a"-l b + ... + e: 1) an - r +1 br - 1

+ (;)an-~bT + .. + (:)abn-1 + bnJ Ahora el término del producto que contiene b T se obtiene de

2- PROOABIUOAD

28

I n Pero, por el teorema 2.6, \ r

Observamos que (a + h)(a + b)" es un

(a+b),,+l

lo cual se demostrar.

TECNICAS DE CONTAR [CAP.

In + 1 \ 1" . b (n -l. 1 \ \ r ). O sea e terminO que conllenc res 1') a.n - r + 1 br ,

de grado 11 + I en b. En consecuencia,

(a b)(a + b)" + 1 \ r )a.n - r + 1 br

2,19, Calcular los coeficientes multinomiales

( 6) (") ( 8 ) (''') ( 10 ) 3, 2, l' 11 4, 2, O' III 5, 3, 2, 2

( i) e ) ;, 1

~ 60

8

2,2, ~ 420

(iii) ( 10 ) no tiene sentido puesto que 5 + 3 + 2 + "'" 10. \5,3,2,2

COMBINACIONES

2,20. ¿De cuántas maneras grupo de 7 hombres y S

escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un

De los 7 hom bres escoger de ) maneras, y de las 5 mujeres se pueden escoger 2 de maneras.

!, .. I " d (7)(6) 7-6·5 -4 or consigUIente e comlle ¡me e escogerse de 3 2 :::: • • • • = 350 maneras.

2.21. Una de 4 estudiantes de un colegio se todos los años para asistir a la asam-blea anual de la Asociación de Estudiantes. (i) cuántas maneras escogerse la ción si 12 (ii) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes no asisten al mismo ticm (jii) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiante:; bies son ca-

y sólo asistirán si van am bos'?

O) Los 4 estudiantes pueden ser escogidos de los 12 de (1:) Sean A y B los estudiantes que no asisten junIOS a la asamblea.

= 495 maneras.

Método 1.

Si no incluye a A ní a B. entonces la delegación puede escogerse de (1;)

maneras. Si uno de los dos A o B. pero no juntos, es incluido, entonces la delegación puede escogerse de 2'

210

e;) 2 • =.--::;--;::-

1T1aneras. 240 maneras. Por lo tanto, ell iotal. la delegación ser escog ida de 210 240 450

SI A Y B son incluidos, entonces los otros 2 miembros de la delegación pueden escogerse de 10 == 45 \Iélodo 2. ( )

\2 maneras. O sea que hay 495 45 450 maneras para que la pueda escogerse si A y B no incluyen al tiempo.

Llamemos e y D los estudiantes casados. Si e y D no van, entonces la

maneras. Si ambos e y D van. entonces la puede escogerse de (120) == 45 maneras. En resumen.

la delegación puede escogerse de 210 + 45 = 255 maneras.


2.22. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. (i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? (ii) ¿Cuántas maneras, ~i las 3 primeras preguntas son obligatorias? (iii) ¿Cuántas, SI

tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?

(i) Las 8 preguntas pueden seleccionarse de (10\ = (l0) 8) \ 2

10' 9 = ~ = 45 maneras.

(ii) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras S de las 7 últimas preguntas de (:)

(7) :::: 7' 6 = 21 maneras. 2 1·2

(iii) Si conte,ta todas las 5 primeras preguntas, entonces pucqe escoger las otras J de las 5 últimas de (:) = 10

nl/l:~er~_s. 1

5

'or otra parte, si contesta 4 de las 5 primaas preguntas, ento(n~\ pued(e 5)escogerlas de (:)

\1) maneras, y puede escoger las otras 4 de las 5 últimas de 4) = 1 = 5 maneras; por

consiguiente puede escoger las 8 preguntas de 5' 5 = 25 maneras. O sea que tiene 35 maneras diferentes para escoger

2.23. Hallar el número de subconjuntos de un conjunto X que contiene n elementos.

Método l.

El númno de subconjuntos de X con r =: n elementos está dado por (~). Por tanto, en resumen, hay

(~) + C) + C) + + c:~ J + (:)

subconjuntos de X. La suma anterior (problema 2.51) es igual a 2n, o sea que hay 2" subconjuntos de X

Metodo 2,

Hay dos posihilidades para éada elemento de X' o pertenece al suhconjunto o no pertenece; por consiguiente hay

.n veces

2' 2' , ..• 2 = 2n

maneras de formar un subconjunto de X, o sea, hay 2n subconjuntos diferentes de X.

2.24. ¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de seis elegibles?

Método l.

S~gún d probkrna anterior, hay 26 = 64 subconjuntos del conjunto de seis estudiantes. Sin embargo, el conjullto vacio debe ser excluido puesto que se escogen uno o más estudiantes. En' consecuencia hay 26 -- I = 64 - I ~~ 63 maneras de escoger los estudiantes.

i\l'élodo 2.

Puesto que se escogen o uno, o dos, ele., o seis est udiantes; entonces, el nú mero de maneras de escoger ,:>

G) + G) + (:) + G) + (:) + G) 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 63

PARTICIONES ORDENADAS Y DESORDENADAS

2.25. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños si el menor recibe 3 y cada uno de los olros reCIbe 2?

Buscarnos el número de particiones ordenadas de 7 objetos en céluJ::¡s de 3, 2 Y 2 objetos respectivamente. Por el

teorema 2.9, hay 7! I = 210 de dichas particiones. ~I 2! 2.

30 TECNICAS DE CONTAR 2

2.26. En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 prue-bas diferentes si a prueba le 4 estudiantes?

.'lélotlo 1.

Buscamos el número de partiCiones ordenad,ls de 12 estudiantes en células que constan de 4 estudiantes cada Ulla.

Por el teorema 2.9, = 34.650 de tales particiones.

Método 2.

Hay 4

maneras de escoger 4 estudiantes que tornen la primera prueba; a continuación hay manc-

ras de escoger 4 estudiantes que Lomen la segunda prueba. El resto de estudiantes toma la tercera prueba. O sea que,

por todas, hay C42) • = 495' 70 34,650 maneras para que los estudiantes presenten las

2.27. Dc cuántas maneras 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos, Al' y A 3, de suerte que cada conste de 4 estudiantes.

:\IHodo 1.

Observamos que cada partición I Al, Az. A 31 de estudiantes puede distribuirse de JI = 6 maneras lo mismo que

una partición ordenada. Puesto que (ver problema anterior) hay 12!

34.650 de tales particiones ordenadas, hay 34,650/6 = 5775 (no ordenadas).

Método 2.

Denotemos por A uno de los estudIantes, Entonces hay (~1) maneras de escoger otros 3 estudiantes que

estén en el mismo equipo de A Ahora denotemos por B a un estudiante que no sea del mismo equipo de A; entonces

') maneras de escoger, entre los restantes, 3 estudiantes que estén en el mismo equipo de B. Los 4 estudian-

tes que ~luCdan constituyen el tercer equipo, Asi, en total hay (1;)\!7) 165' 35 ::.:: 5775 maneras de los estudiantes.

2.28. el teorema 2.9: Sea A COl11 y sean 1/1, 112, , 1/ r enleros positivos con ni + n2 + ... + n y = n.

n!

particiones ordenadas diferentes de A de la forma (Al, A z, ••• , Ar) Al contiene ni elemen-tos, A z contiene /12 elementos, , y Ar contiene lIr elementos.

Em pezamos con los n elementos de A; hay (n) maneras de seleccionar la célula ni ni) maneras de seleccionar

n2

A¡. En de esto, hay

n 11! elementos que sobran, o sea, la diferencia A "A 1, Y por consiguiente hay

,12. Similarmente, para i = 3, , r. hay ni - "~o

n¡

(:) nz - ni - n 2)

n:¡

diferentes particiones ordenadas de A Ahma (*) e, igual a

n! (n - ni)!

n¡_¡) maneras de seleccionar Al' Así hay

-n¡ - .. ,

ny ("')

Pero esto es a puesto que eadfl numerador después del primero se simplifica con el segundo fae-n! nz ... n r

tor del denominador que le precede y como (n - ni - . . . ny)! O! = 1. Entonces el teorema queda probado.

CAP 21 TECNICAS DE CONTAR

DIAGRAMAS DE ARBOL

2.29. Construir el diagrama de árbol para el número de permutaciones de la, b, e l.

a<b e

b e

b<a e

a e

c<:

b

a

A la der~ch~ del diagram~ se ordenan las seis permutaci ones.

2.30. Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un dólar. El hombre empieza con un dólar y dejará de juga r si antes de la quinta vez pierde tod o su dinero o si gana tres dólares, es to es, si ti ene cuatro. Hallar el número de casos en que la apuesta puede ocurrir.

El diagrall1a de árbol de la derecha, descr ibe el camino en que la apue,ta puede succc!..;r. Caela número del diagrama denota el núlI1ero de dólares que el hombre tiene en ese punto. Observamos que la apuc,ta puede suceuer de II manera, diferentes. Obsérvese que él suspenderá la apuesta antes dc que los cinco juegos se hayan reali zado en solarnent·c tres de los casos.


FACTORIAL

2 . .3 1. Calcu lar: (i) 9 !, ( ii) 101, (i ii) 11!

(i) 16!

( ii) 14!

(iii) 8! (' ) ID! 2.32. Ca lcular: 14! ' 11! ' ID! ' IV i3f.

abe

aeb

bae

bca

cab

cba

2.3]. Simplificar' (i) (n +.Jll n! (ii)

n! (n- 2)!'

(iii) (n - 1)! (n+ 2)!'

(n-r+1)! ( iv) (n - r - 1)! .

PEI~MUTAClONES

31

2.34. (i) ¡.Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de 3 dígitos dife-rentes? (ii) Resolver el problema si el primer dígito no puede ser cero. ,), z.8 - ll- . t" _ '1 . ~ _ ;; 443 W 1/

/j i. 1>,-. 1

rt 2.35. De A a B hay 6 camino> y de R a e 4. \j

(i) ¿De cuántas manera s se puede ir de A a e pasando por fJ'l /"

(ii) ¿De cuánt as maneras se puedc hacer el viaje redondo de A a e pasa ndo por 8?

(iii) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a e sin usa r el mismo camino más de una vez?


2.36. Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán (especie de trineo) si uno de tres debe manejar

2.37. (i) Hallar el número de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una lila. (ii) ¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de la otra?

Z.38. Resolver el problema anterior si se sientan alrededor de una mesa circular.

2.39. (i) HallM el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra CRISTAL. (ii) ¿Cuántas de ellas contienen sólo consonantes? (iii) ¿Cuántas empiezan y terminan por consonante? (iv) ¿Cuántas empiezan por vocal? (v) ¿Cuántas contienen la letra L? (vi) ¿Cuántas empiezan por T y terminan por vaca!? (vii) ¿Cuántas empiezan por T y también contienen S') (viii) ¿Cuántas contienen ambas vocales?

2.40. i.Cu ;¡ntas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical , si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?

2.41. Ilallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de cada una de las palabras: (i) barra, (ii) satélite" (iii) proposición, (iv) impropio.

2.42. (i) Hall~r el nÍlmero de Olaneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila si los hombres y las mujeres deben quedar alternados . (ii) Hallar el número de maneras si se sientan alternada mente y uno de los ~iños se sienta sicmprcjunto a una niña determinada. (iii) Hallar el número de maneras si se sientan alternada mente pero lo~ dos niños mencionados no quedan en silbs adyacentes.

2A3. Resolver el problema anterior si se sientan alrededor de una mesa circular.

2.44, Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas, (i) de tamaño 3 con su stitución , (ii) de tamaño J sin sustitución, (iii) de tamaño 4 con sustitución, (iv) de tamaño 5 sin sustitución .

2,45. Hallar el número de manera s como se rueden colocar en un estante 5 libros grandes , 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.

2.46. Considérens.e todos los enteros [Xlsitivos de 3 dígitos diferentes . (Observamos que el O no puede ser el primer dígito.) (i) ¿Cuántos son mayores que 70m (ii) ¡.Cuántos son impares? (iii) ¿Cuántos son pares? (iv) ¿Cuántos son divisibles [Xlr 5?

2.47. (i) Hallar el nÍlmero de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra CAMAR¡\. (ii) ¡,Cuántas de ellas principian y terminan por ¡\? (iii) ¿Cuántas tienen 3 ¡\ juntas?'(iv) ¿Cuántas empiezan con A y terminan con I\P

COEFICIENTES DEL BINOMIO Y TEOREMA

2.48. Calcular ' (i) G). (ii) G). (í í i) C24) , (ív) G), (v) G~), (vi) G:). 2.49. Ca/cuLIf' (í) e,:, 1)' (ii) (3, 2~ 2, O) , (iii) (2, 2, ~, 1, O)· 2.50. Desarrollar y simplificar: (i) (2x + y2)3, (ii) (x 2 - 3y)1, (jii) (-1a + 2b)5, (ív) (2a2 - b)O .

2.S\. Comprobar que (~) + (~) + (~) + (;) + ., . + (:) 2.52. Comprobar que (~) (~) + (;) (;) + ± (:) o.

2.53. Hallar el término del desarrollo (2x2 ---! )'3)8 que contiene xa.

2.54. Hallar el término del desarrollo (3X}'2 - :2)1 que contiene y 6.

/

CAP 21 TECNICAS DE CONTAR 4c¡r- 126

COMBINACIONES

2.55.

2.56.

2.57.

2.58.

2.59.

2.60.

Un~ clas\: const~ de 9 niños y J niñas. (i) ¿De cuántas maneras el profesor puede escoger un comite de 4? (ii) ¿Cuántos j om ités contarán con una niña por lo menos') (iii) ¿Cuántos tendrán un a niña .exactamente') ( V )

.:L'j ax f) .f- t~)(;J f- • '; J ~ :; J¿q i! Una señora tiene 11 amigos de conlianza. (i) ¿De cuántas maneras puede invitar 5 de ellos a comer') (ii) ¿De cuántas maneras si dos son casados y no asisten el uno sin el otro') (iii) ¿De cuántas maneras si dos de ellos no la van bien y no asisten jun tus')

Hay 10 puntos A, B, en un pl~no; en una misma línea no hay tres. (i) ¿Cuántas líneas forman los puntos') (ii) ¿Cuántas líneas no pasan por A o B') (iii) ¿Cuántos triángulos determinan los puntos? (iv) ¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A') (v) ¿Cuántos triángulos contienen el lado A lJ?

Un estudiante tien e qlle reso lver 10 preguntas de 13 en un examen. (i) ¿Cuántas maneras de escoger tiene') (ii) ¿Cuántas, si las dos primeras SO Il obligatorias') (iii) ¿Cuántas, si una dI! las dos primeras es obligatoria? (iv) ¿Cuántas, si tiene que co ntestar exactamente 3 de las 5 primeras? (v) ¿Cu{\ntas, si tiene que co ntestar por lo menos 3 de las 5 primeras?

A una persona se le reparte una mano de "póker" (5 cartas) de una baraja corriente. ¿De cuántas maner as puede recibir, (i) una escalera llar? (ii) un "póker'''! (iii) una escalera? (iv) un par de ases~ (v) un par cualquiera (dos cartas iguales)"!

El <JlfabelO inglés tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

¿Cuúnt as palabras de 5 letr as, 3 consonantes diferentes y 2 vocalesniferentes, se pueden formar~

¿Cuántas de ¿stas contienen la letra b?

¿Cuántas con ti<:ncn la b y la e'? LI .... · ¿Cuúntas empiezan por b y co ntien~ e?

¿Cu:lnt as em piezan por b y terminan por c')

(vi) ¿Cuúntas con tienen las letras a y b')~t'"

(vii) ¿Cuánta , empieLan por o y contienoo b?

(viii) ¿Cuántas empiezan por b y contienen o')

(ix) ¿Cuántas empiezan por o y terminan por b?

(x) ¿Cuá nta s contienen la s letra, /J, b Y e?

PARTICIONES ORDENADAS y DlSORDENADAS

2.6 1. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños?

2.62. ¿De cuánta, maneras pu<:den dividirse por igual 9 estudiantes en tres equipos')

2.63. ¿De cuántas maneras se put:dcn dividir 10 estudiantes en tres equipos, uno de 4 estudiantes y los otros de )?

2.M. Ha y 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesiva mente, todas sin ,U'; tit ución')

2.65. ¡,De cuántas maneras se puede rcp;.¡rtir un club, de 12 miembros en tres comités de 5, 4 Y 3 miembros respectivamente?

2.66. ¿Ik cuánta, llIanera, se pueden rcpartir 1/ estudianlc, cn do, c4uipOS que contengan un estudiante por lo menos?

2.67. ¿De cuántas maneras se pu eden repartir 14 hombres en 6 comit¿s en los que dos sean de 3 hombres y los otros de 2?

DIAGRAI\IAS DE ARnOr.

2.6!!. Comtíuir d diagrallla de úrbol ¡.Jara el núm ero de permutaciones de 1 a, b, e, di.

2.69. Hallar él conjunto prodllcto I 1, 2, J Ixl 2, 4 Ixl 2, J, 4 I construyendo el di agrama de árbol apropiado.


2.70. Los equipos A y B juegan en un torneo de baloncesto . El primer equipo que gane do s juegos seguidos o un total de cuatro juegos gana el torneo. Hallar el número de maneras como puede suceder el torneo .

2.71. Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces. Gana o pierde un dólar en cada juego. El hombre cmpiela con dos dólares y dejará de jugar a la quinta vez si pierde todo su dinero o si gana tres dólares (esto es. complete S délares). Ha

llar el número de maneras como puede suceder el juego.

2.72. Un hombre está en el origen del eje x y anda un paso unidad a la izquierda o a la derecha. Se detiene después de S pasos si avanza 3 o se corre -2. Construir el diagrama de árbol para describir todas las trayectorias posibles que puede seguir.

2.73. En el siguiente diagrama A, 8, , F denotan islas, y las líneas de unión son puentes. El hombre empieza en A y camina de isla en isla. Se detiene para almorzar cuando no pu ede continuar caminando sin tener que cruzar el mismo puente dos veces. Hallar el número de maneras como puede hacer su recorrido antes de almorzar.

2.74. Considerar el diagrama trazado con nueve puntos A, 8, e, R. s, T, X. y, Z. Un hombre empieza en X y se le permite moverse horizontal o verticalmente. un paso cada vez. Se detiene cuando no puede seguir caminando sin pasar por el mismo. punto más de una vez. Hallar el nú~ero de maneras como puede hacer su recorrido, si primero recorre de X a R. (Por simetría el total de maneras es dos veces lo anterior.)


2.31. (i) 362.880 (ii) 3628.800 (iii) 39916.800

2.32. (i) 240 (ii) 2184 (iii) 1/90 (iv) 1/1716

A-B--C

I I I R-S-T

I I I X-Y-z

2.33. (i) n + 1 (ii) n(n - 1) = n 2 - n (iii) l/[n(n + l)(n + 2)] (iv) (n - r)(n - r + 1)

2.34. (i) 26·25·10' 9 • 8 = 468.000 (ii) 26'25'9'9'8 = 421.200

2.35. (i) 6' 4 = 24 (ii) 6'4' 4 • 6 = 24' 24 = 576 (iii) 6' 4 • 3 • 5 = 360

1/ I 0 .,- 7 r ( : ~ ¡j o 3 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 360 ~ !o • I ~ :. "). . 2.36.

2.37. (i) 5! = 120 (ii) 4' 2! • 31 = 48

2.38. (i) 41 = 24 (B) 2! 3! = 12

2.39. (i) 7' 6 • 5 • 4 = 840

(ii) 5' 4 • 3 • 2 = 120

(iii) 5' 5 • 4 • 4 = 400

(iv) 2' 6 • 5 • 4 = 240

81 2.40. 4! 2! 2! = 420

(v) 4' 6' 5 • 4 = 480

(vi) l' 5 • 4 • 2 = 40

(vii) 1· 3 • 5 • 4 = 60

(viii) 4' 3 • 5 • 4 = 240

5 ! 2.41. (i)2!2!=30 (ii) 2!2!2! =45.360

9! 11! (iii) 2! 3! 2! 1.663.200

81 (iv) 2! 2121 = 5040

..

CAP. 2] TECNICAS DE CONTAR

2.42. (i) 2·4!· 4! = 1152 (ii) 2· 7 • 3! • 3! = 504 (iii) 1152 - 504 = 648

2.43. (i) 3!'41=144 (ii) 2'31'3!=72 (iii) 144-72=72

2.44. (i) 10' 10 '10 = 1000

(ii) 10' 9 • 8 = 720

2.45. 3!51413! = 103.680

2.46. (i) 3·9·8 = 216

(iii) 10' 10 • 10 • 10 = 10.000

(iv) 10·9· 8 • 7 • 6 = 30.240

(ii) 8' 8 • 6 = 320

35

(iii) 9' 8 • 1 = 72 terminan en O; y 8' 8 • 4 = 256 terminan en los otros dígitos pares; por lo tanto, en total, 72 + 256 = 328 son pares.

(iv) 9' 8 • 1 = 72 terminan en O; y 8' 8 • 1 = 64 terminan en 5; o sea que, por todos, 72 + 64 = 136 son divisi-

bies por 5.

2.47. (i) :: = 120 (ií) 4! = 24 (iii) 4' 3! = 24 (iv) !! = 12 21

2.48. ( i) 10 (ii) 35 (iii) 91 (iv) 15 (v) 1140 (vi) 816

2.49. (i) 604 (ií) 210 (iii) 180

2.50. ( i) 8x3 + 12x2y2 + 6xy4 + y6

( ii) x 8 - 12x6y + 64x.y2 - 108x2y 3 + 81y4

(iii) a6/32 + 6a4 b/8 + 5a3 b2 + 20a2b3 + 40ab4 + 32b5

(iv) 64al2 - 192a10b + 240a8b2 - 160a6b3 + 60a4 b4 - 12a2b5 + b6

2.5l. Sugerencia: Desarrollar (1 + 1)". 2.53. 70xay l2

2.52. Sugerencia: Desarrollar (1 _ 1)". 2.54. 945x3y 8z8

2.55. ( i) e4

2

) = 495, (ií) (14

2) - G) = 369,Y (iii) 3· (:) = 252

2.56. (i) e;)

462, (ii) (:) + G) 210, (iii) (:)+2·G) = 378

2.57. (i) (~O) 46, (ii) (:) = 28, (jii) e30) = 120, (iv) (:) 36, (v) 8

• 2.58. ( i) G~) e33

) 286 (iv) G)G) = 80

(ii) C81

) (131

) = 165 (v) (:)G) + (:)(:) + G)(:) 276

( iii) 2 • C91

) = 2' C21) = 110

1.59. (i) 4 '10 = 40, (ii) 13' 48 = 624, (iii) 10' 45 - 40 = 10.200. (Sustraemos el número de escaleras Oor.)

(iv)

2.60. ( i)

(i i)

( iii)

(iv)

G)C32) • 43 = 84.480, (v) 13' G)C3

2) • 43 = 1.098.240

(231)(:)'5! 1.596.000 (v) 19'(:)'3! 1140 (ix) 4.(~0)'3! = 4560

(220)(:)'5! = 228.000 (vi) 4.(2;)'5! 91.200 (x) 4·19·5! 9120

19'(:}51

19'(:}4!

22.800

4560

18 .240

(viii) 18.240 (lo mismo que el (vii))

36 TECNICAS DE CO NTAR

2.61. 9!

313131 1680

2.62. 1680/31 = 280 o G)(!) = 280

2.63. 101 1

41 3! 31 • 21 2100 o (~O)G) = 2100

2.66. 2n - 1 - 1 2.64 . 121

3131 3! 31 - 369.600

2.67. 141 1

3. 153. 150 3131212!2!21 • 214! = 2.65. 121

514! 31 = 27.720

2.69.

1<2~~ (1, 2, 2) (1, 2, 3) (1,2,4)

(1,4,2)

4~! (1, 4, 3) (1, 4, 4)

2 (2, 2, 2)

2<2~: (2, 2, 3) (2, 2, 4)

(2,4,2)

4~! (2,4,3) (2,4,4)

8<2~: (3,2,2) (3, 2, 3) (3,2,4)

(3,4,2)

4~! (3,4,3) (3, 4, 4)

Los dieciocho elementos del conjunto producto están li stad os a la derecha del di agrama de {¡rbol.

2.70. 14 maneras /

2.71. 20 maneras (como se ven en el siguiente diagra ma):

l -5

3

2

¡CAP. 2

I

I \ 1

\ 1 I

I

'2,3,4- ,) /

Z.,~,4,~,4,r o/

Z.·,1, 4 , 1 . 4 13 11\,4,~,l,}

1, ~/Lf, 3,2, ' Z,~ , 2, ~I 4 , r I 'Z. , ) 2.., 1 ,4,3 -l,),2.,S, 2,3 1,12, J, l,f 2,) , 2,', l/J i

2,) , 'L,', '¿, ' z 3, Z,' ,O 'L , I, z,3,tI , f"'-

2 ) 4 3 2., \ , , , ,

2" , 2,1 , 2.,1 (.1 , 1,), l,t

\

l , 1,2 , " 2. 1 l., \1. 1, l, / , .., 1 t,' 10 ", r .." J')

I

I

\ ,

CAP. 21 TECNICAS DE CONTAR 37

2.72. Sugerencia,' El árbol esencialmente lo mismo que el árbol del problema anterior.

2.73. El diagrama de árbol es el siguiente:

:<E'-----1<:"":..........---I'·-----C-----D

w-----E

Tiene once maneras de hacer su recorrido, Observar que debe comer en B. D o E,

2.74. El diagrama de árbol apropiado es el siguiente:

-y.---- Z ----T---- C

C T Z y

A

Y

Z T C B A

Ilay 10 recorridos diferentes, (Observar que solamente en 4 dt ellos cubren todos los nueve puntos,)

Capítulo 3

Introducción a la probabilidad

lNTROOUCCION

Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. Si un dado es lanzado al aire, entonces hay certeza que caerá, pero no es cierto afirmar que aparecerá un 6. Sin embargo, supongamos que repetimos el experimento de lanzar el dado; sea s el número de aciertos, esto es , el número de veces en que un 6 aparece, y sea fl el número de jugadas. Se sabe entonces que empíricamente la relación f = S/II. ll amada frec uencia relativa . tiende a estabilizarse él la larga, o sea que se aproxi ma a un límite. Esta estabilidad es la base de la teoría de la probabilidad.

En teoría de probabilidad, definimos un modelo matemático de los fenómenos anteriores asignando "probabilidades" (o: valores límites de las frecuencia s relativas) a los "eventos" asociados con un experimento. Naturalmente, la seguridad en nuestro modelo matemático para un experimento dado depende del acercamiento de las probabilidades asignadas con la frecuencia real relativa. Esto da origen entonces a los problemas de verificación y con fiabilidad que constituyen el tema princiral de la estadística.

Históricamente, la teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar , tales como la ruleta y las cartas. La probabilidad p de un evento A se definió como sigue: si A puede ocurrir de s maneras en tre un total de 1/ igualmente posibles, entonces

s p = P(A) = -n

Por ejemplo, al tirar un dado puede salir un número par'De 3 man eras, de las 6 " igllalmente posibles"; o sea, p = ~ = t. Esta definición clásica de probabilidad está viciada , esencialmente . pu es to que la idea de "igualmente posible" es la misma que la de "con igual probabilidad" que no ha sido definida . El tratamiento moderno de la teoría de la probabilidad es puramente axiomático. Esto significa que las probabilidades de nuestros eventos pueden ser perfectamente arbitrarias, excepto que ellas deben satisfacer ciertos axiomas que se enuncian posteriormente. La teoría clúsica corresponderá al caso especial de los así llamados espacios equiprohables.

' 0

ESPACIO MUESTRAL y EVENTOS \",t'~~

El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento 'tdado se llama el espacio muestral. Un resultado particular, esto es, un elemento de S. se llama un punto muestral o lI1uestra Un evel/to A es un conjunto de resultados o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral S. El evento í a I que consta de una muestra simple a E S se llama evel/to elemental. El conjunto vacío ~ y S de por sí son eventos; el ~ algunas veces se denomina el evento imposihle (o imposi bilidad), y S el evento cierto o seguro.

Podemos combinar eventos !Jara formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones con conjuntos:

(i) A U B es el evento que sucede si y sólo si A o B o ambos suceden;

(ii) A n B es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente:

(jii) A C, (complemento de A), es el evento que sucede si y só lo si A no sucede .

38

CAP. 3] INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD 39

Dos eventos A y B son llamados mutuamente exclusivos si son disyuntos, esto es, si A n B ~. En otras palabras, son mutuamente exclusivos si no pueden suceder simultáneamcnte.

Ejemplo 3.1: Experimento : Láncese un dado y obsérvese el número que aparece en la cara superior. Entonces el espacio muestral consiste en los seis números posibles :

s = 1 1,2, 3,4, S, 6 I

Sea A el evento de salir un número par, 8 de salir impar y e de salir primo:

A = 1 2,4,6 1, B = 1 1, 3, 5 1, e = 1 2, 3,5 I

EntonCes:

A U e = 1 2, 3, 4, s, 61 es el eventu de que el nÚnlt:f? sea par u primo;

B n e = 13 , 51 es el evento de que el número sea imp ar primo;

ce = 11 , 4,61 es el evento de que el número no sea primo .

Obsérvese que A y B son mutuamente exclusivos: A n 8 = 0, en otras palabras, un número par y un impar no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo 3.2: Experimento: Láncese una moneda J veces y obsérvese la se rie de caras (H) y sellos (T) que aparecen. El espacio muestral S está constituido por los ocho elemcntllS:

S = 1 HHH, HI-IT, HTH, I-ITT, THH, HIT, TTH, TTT 1

Sea A el evento en que dos u más caras aparecen consecutiv amente , y B aquel en que todos los resultados son iguales :

A = 1 I-II-IH, HHT, THH 1 Y B = 1 HI-IH , TIT 1

Entonces A n B = I HHI-I I es el evento elemental en que aparecen ca ras solament e. El evento en que aparecen 5 caras es el conjunto vacío 0.

Ejemplo 3.3: Experimento: Láncese una moneda hasta que aparezca un a ca ra y luego cuénlese el núm eru de \,(;ces que se lanzó la moneda. El espacio muestral de este ex.perimento es S = 1 1,2,3, ,00 l. Aquí el 00 se refiere al ca so de que no aparezca nunca una cara y así la moneda se lanza un número infinilo de veces. Este es un ejemplo de un espacio muestral que es col/tablelllmt e in fin ito.

Ejemplo 3.4: Experimento: Sea un lápiz que cae de punla, en una caja rectangular y ubsé rvese el punto del fondo de la caja donde el lápiz loca primero . Aquí S está formado por lodos los punlos de la superficie del fondo . Representemos estos puntos por el área rectangular dibujada a la derecha. Sean A y B los eventos en que el lápiz cae en las respectivas áreas ilustradas en la figura . Este es un ejemplo de un espacio muestral que no es finito ni siquiera contablemente infinito, esto es, que es no contable.

A

s

Nota: Si el espacio muestral S es infinito o contablemente infinito, entonces cada subconjunto de S es un evento. Por otra parte, si S es no contable, como en el ejemplo 3.4, entonces por razones técnicas (que caen fuera del alcance de este tcxto), algunos subconjuntos de S no pueden ser eventos . Sin embargo, en todos los casos los eventos forman una a-álgebra e de subconjuntos de S.

40 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD [CAP. J

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Sea S un espacio muestral, sea c la clase de eventos y sea P un a función de valores reales definid a en c. Entonces P se llama función de probabilidad, y peA) es llamada la probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:

[Pt] Para todo evento A, O""" peA) """ l .

[P2J peS) = l.

[P3] Si A Y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A UB) = P(A) + P(B)

[P4J Si Al, A 2, ••• es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces

Las siguientes observaciones conciernen al orden en que están los axiomas [P 3] y [P4] . Ante todo. al utilizar [P3] y la inducción matemática podemos probar que para eventos mutuamente exclusivos

("')

Hacemos énfasis en que [P4] no proviene de [P3] ni siquiera (*) se cumple para todo entero positivo n. Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P4 ] es supernuo

Ahora probamos un número de teoremas que se deducen directamente de nuestros axiomas.

Teorema 3.1: Si 0 es el conjunto vacío, entonces P( 0) = o.

Dem ostración: Sea A un conjunto; entonces A y 0 son disyuntos y A U ~ A. Por [Ps] ,

P(A) = P(A U~) = P(A) + P(~)

Restando peA) de ambos lados obtenemos el resultado.

Teorema 3.2: Si A C es el complemento de un evento A, entonces P(A C) = I -- peA) .

Dem ostración: El espacio muestral S se puede desco mponer en los eventos A y A C mutuamente exclusivos. esto es, S = A U A C

• Por [Pz] y [Ps] se obtiene

1 = P(S) = P(A UAC) = P(A) + P(AC)

de lo cual se desprende el resultado.

Teorema 3.3: Si A e B, entonces peA) ~ P(B).

Demostración: Si A e B. entonces B se puede descomponer en los eventos A y B'" A mutuamente exclusivos (como se ilustra a la derecha).

Así P(B) = P(A)+P(B"'A)

Con lo cual se comprueba el enunciado puesto que P(B",A) ~ O.

Teorema 3.4: Si A Y B son dos eventos, entonces

P(A "'B) = P(A) - P(A nB) -

Demostración: A s·e puede descomponer en los eventos mutuamente exclusivos A "'B Y AnB; esto es. A = (A ",B)U(AnB). Por consiguiente, por [PaJ,

P(A) = P(A '" B) + P(A n B) de lo cual se obtiene el resultado.

B sombre3do.

A sombreado .

CAP 3] INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

Teorema 3.5: Si A Y B son dos eventos, entonces

P(A UB) = P(A) + P(B) - P(A nB)

Demostración: Obsérvese que A U B se puede descomponer en los eventos A'\. B Y B mutuamente exclusivos; esto es, A U B (A "'-B) U B. Entonces por [Ps] y el teorema 3.4,

P(AUB) P(A "'- B) + P(B)

= P(A) - p(AnB) + P(B)

P(A) + P(B) - p(AnB)

que es el resultado buscado.

Aplicando el teorema anterior por segunda vez (problema 3.23) obtenemos el

Corolario 3.6: Para los even tos A, B Y e,

AuB sombreado.

P(AuBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - p(AnC) - P(BnC) + p(AnBnC)

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD

41

Sea S un espacio muestra( finito; digamos, S = {al,a2, ... ,an}. Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto a¡ E S un número real PI, llamado probabilidad de al, que satisface las propiedades siguientes:

(i) cada PI es no negativo, PI ;=" O

(ii) la suma de los PI es uno, PI + P2 + + P" = 1.

La probabilidad P (A) de un evento A, se defirre entonces como la suma de las probabilidades de los puntos A. Por conveniencia de símbolos escribimos P(lLi) en lugar de P({a¡}).

Ejemplo 3.5: Láncense tres monedas y obsérvense el número' de caras que resulten; entonces el espacio muestral es S = 10,1,2, 31. Obt~mos un espacio de probabilidad por medio de las siguientes asignaciones

P(O) ::z; t. P(l) = t, P(2) = i and P(3) = 1 puesto que cada probabilidad es no negativa' y la suma de las probabilidades es l. Sea A el evento en que aparece una cara por lo menos y sea B el evento en que aparecen todas caras o todos sellos:

A == {l, 2, 3} y B = {O,3}

Entonces, por definición,

y

peA) = P(l) + P(2) + P(3) = i + 1 + i ¡

P(B) == P(O) + P(3) = 1 + i = !

Ejemplo 3.6: Tres caballos A. lJ Y C inteTvien~n en una C3frCra; A tiene doble posibilidad de ganar que 8; y B, el

doble de ganar que C. ¿Cuáles son la6 respectivas probabilidades de ganar, esto es, P(A), P(B) Y P(C)?

\

Sea P(C) = p; como B tiene doble probabilidad de ganar que C. P(B) = 2p: y puesto que A tiene el doble de n, P(A) = 2P (8) = 2(2p) = 4p. Ahora como la suma de las probabilidades debe ser 1; entonces

En consecuencia,

p + 2p + 4p = 1 ó 7p = 1 o p t

P(4) = 4p = t, P(B) = 2p =" P(C) = p = + !

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que B o C ganen, o sea, P({B, C})? Por definición

P({B, C}) = peS) + P(C) = ,+,.= t

42 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

"",11-ct v IV'"

[CAP 3

~'(. ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES /

Frecuentemente, las características físicas de un experimento sugieren que .se asignen iguales probabilidades a los diferentes resultados del espacio muestraJ. "Un espacio finito S de probabilidad , donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad ,' se llamará espacio equiprobable o uniforme. En particular, si S contiene n puntos entonces la probabilidad de cada punto es l/n ' l.,Además, si un

. . . 1" ~. p,.".t."¡ (/If\ evento A contiene r puntos entonces su probabilIdad es r· - = - En otras palabras, I n n

o P(A)

P(A) = número de elementos de A número de elementos de S

número de maneras en que el evento A puede suceder

número de maneras en que el espacio muestral S puede suceder

Hacemos hincapié en que la fórmula anterior para P(A) puede utilizarse solamente con respecto a un espacio equiprobable, y no puede usarse en general.

La expresión "al azar" se usará solamente respecto a un espacio equiprobable; formalmente, la proposición "escoger un punto al azar de un conjunto S" significa que S es un espacio equiprohable, esto es, que cada punto muestral de S tiene la misma probabilidad.

Ejemplo 3.7: Seleccióncse una carta al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Llamemos

A = I espadas I

y B I figuras, es decir J, Q o K I

Calculemos P(A), P(B) Y P(A n B). Como se trata de un espacio equiprobable,

peA) = número de espadas número de cartas

peA nB)

13 1 62 4

P(B) = nú.mero de figuras numero de cartas

número de espadas que son figuras número de cartas

3 52

12 3 52 13

Ejemplo 3.8: Sean 2 artículos escogidos al azar de un grupo de 12 de los cuales 4 son defectuosos. Sea

A = 1 dos artículos defectuosos I y B = 1 dos artículos no defectuosos I

Hallar P(A) Y P(B). Ahora

S puede suceder de

A puede suceder de

B puede suceder de

e2) 2

(~)

(~)

=

=

66 maneras, o número de veces en que se pueden escoger 2 artículos entre 12;

6 maneras, o número de veces en que se pueden escoger 2 artículos defectuosos entre 4 defcctuosos;

28 maneras, o número de veces en que se pueden escoger 2 artículos no defectuosos entre 8 no defectuosos.

Por consiguiente, peA) = :, = ft y P(B) = ~ = !!. Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un artículo sea defectuoso? Ahora

e = I un artículo por lo menos es defectuoso I

es el complemento de B; esto CS, e = Be. Así, por el teorema 3.2,

P(C) == P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - !: 19 33

La ventaja con que un evento de probabilidad p sucede, se define como la relación p: (1 - p). ASÍ, la ventaja de que por lo menos un artículo sea defectuoso es ~: ~ ó 19 : 14 que se lee "19 a 14".

CAP 3J INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

Ejemplo 3.9: (Problema clásico del cumpleaños.) Se desea hallar la probabilidad p de que n personas tengan fechas diferentes de cumpleaños. Para resolver este problema, no tenemos en cuenta los años bisiestos y supo-

MU

nemos que el cumpleaños de una persona caer en un día con igual probabilidad.

Puesto que n personas y 365 días diferentes, hay 365" maneras de que n personas puedan cumplir anos. Por otra parte, si las n personas cumplen en fechas distintas, entonces la persona

nacer en cualquier día de los 365, la segunda puede nacer en cualquiera de 103 364 días restantes, la tercéfa, en los 363 restantes, etc. Así hay 365' 364 • 363 ... (365 - n + 1) maneras para que n personas tengan fechas diferentes de cumpleaños. Por consiguiente,

p 365 364.363

Se puede comprobar que para n 23. pi; en otras palabras, de 23 personas en adelante es más

que por los menos dos de ellas tengan el mismo día de a que lodas difieran de fecha.

INFINITOS

S un espacio muestral infinito contable; es s {al,a:¡, ... }. Como en el caso finito, obtenemos un de probabilidad a a; E S un número real PI, su pro-babilidad, tal que

(i) p¡ o y (ii) PI + P2 + ... PI 1

La probabilidad P(A) de un evento A es entonces la suma de las probabilidades de sus puntos.

Ejemplo 3.10: Considérese el espacio muestral Sil, 2, 3, , '" I del experimento de lanzar una moneda hasta que aparezca una cara; aquí n denota el número de veces en que se lanza la moneda. Un de

se obtiene designando

p(l) i. p(2) = i. . .. , p(n) = 1/2", .. -, Los únicos espacios muestrales no contables S que son aquellos de medida

finita m(S) tales como longitud, área o volumen, y en los un punto se selecciona al azar. La probabilidad de un evento A, esto es, aquella en que el punto seleccionado pertenece a A. es entonces la relación de m(A) a o sea,

o PíA) volumen de A longitud de A

o PíA) área de A

P(A)

Se dice que un espacio de probabilidad tal es uniforme.

Ejemplo 3.11: Sobre la línea real R, se seleccionan al azar los puntos a y b tales que -2:!i". b "" O y O "" a::!': 3, como se muestra luego. Hallar la probabilidad p para que la distancia d entre a y b sea mayor que 3.

t-..... _-~--- d

El cspa¡;io mucstrál consta de todas las or-denadas (a. b) y forma así la región rectangular que se indica en eÍ diagrama adjunto. Por otra parte, el conjunto A de puntos (a. b) para los cuales d = a b 3 cons-ta de puntos de S que caen de la línea x . __ . y 3 y rorman por lo tanto la sombreada

del diagrama. En consecuencia

p P(A) área de A 2

6 1 3

2

s

Nota: Un es de probabilidad finito o infinito contable se dice que es discreto. y un contable se dice que es no discrefo.

no

44 lNTlWDUCCION A LA PROBABILIDAD ¡CAP J

Problemas resueltos

ESPACIOS ¡VIUESTRA y EVENTOS

:"LL Sean los eventos A y B. Hállese una expresión y el de Venn para e1.evento en que: (i) A ocurre pero B no, esto CS, sucede A solamente; (ii) A o B suceden, pero no esto sllcede exactamente lIllO de los dos eventos.

(Í) Puc,l(l que A pero no fl sucedc, se sombrea la superficie de A exterior a B como en la figura (a) Observa-1J)O, que /JC (complemento de B), sucede, desde que B no suceda: esto CS, A y Be suceden; en otras palabras, el evenlo es /1 n !le.

Sucede ,.1 pero no EJ.

(a)

Sucede uno de los dos A o l/.

pero no ambos. (b)

(11) Puesto que 'UCCl]e A O B. pero no ambos, se sombrea la de A y fJ salvo su intersección como en la figura (1)) anterior El evento es equivalente a A, si II no sucede, o B. si A no sucede. Ahora, como en el caso (i), A. pero n() !i es el nento A n Be; y [J, rero no /1 es el evento B n A e, Entonces el evento dado es (A n U (8 n A e).

3.2. Sean los eventos A. By 'c. Hallar una ex y el de Venn para el evento en quc, (i) succden A y B pero no C. (ii) sucede A solamente,

(1) l'u<.:.'lo qlJe /1 y B pero no e qlccdcn, se sombrea la intersección de A y B que eae fuera de como en la figura (a)

indicada IUCgll. El c"ento AnBnCe.

Suceden A [J pero no e Sucede A solamente, (a) (b)

. (JI) Puesto que solamente A sucede, se sombrea la s\lperficie de A que cae fuera de fJ y de C. como en la figura (11) antertrn FI evento es AnBenCc.

3,3, mo~ el caso de lanzar una moneda y un dado; sea el muestral S que consta de doce elementos:

I HI, H2, H3, H4, 116, TI, T3, TS, T61

(í) explícitamente los eventos: A : aparecen caras y un nÚllle~o par 1, B' i aparece un número 11101, e 1 aparecen sellos y un número impar 1.

( Exprc~ar explícitamente el evento en que: (a) A o B (b) /J Y e suceden, (e) sucede

¡¡ :,olamen!e.

(jji) úks de los sucesos A. B Y e son mutuamente exclusivos?

CAP. 3J INTRODUCC!ON A LA PROBABILIDAD 45

(í) Para obtener A, escogemos aquellos elementos de S que constan de una cara H y un número par' A I H2, H4, H6!.

Para obtener B. escogemos aquellos puntos de S que constan de un número primo: B = I H2, H J, 115, T2, 1'3, T5 i.

Para obtener e, escogemos aquellos puntos de 5; que constan de un sello T y un número impar' e i I TSI

(ii) (u) A o B A U 8 = I H2, 1-14, 1-16, H3, HS, T2, T3, TS I

(b)ByC BnC=!T3,TSI

(e) Escoger aquellos elementos de B que no caen en A ni en C: BnAcnCc

(iii) A Y C son mutuamente exclusivos puesto que A n C = 0·


3.4, Su pongamos un ción define un

muestral S que consta de 4 elementos: S de probabilidad

P(al) t, P(az) :::: t, P(a3) P(a4) ::::

(jii) P(a¡) :::: t, P(a2) P(a3) = i, P(a4) = i,

( iv)

H5,

. ¿Qué fun-

(i) Como la suma de los valores de los puntos mueslrales es mayor que uno, ~ + k + i +! :::: Fa, la función no define un espacio de S.

nú mero negativo, la [unción no define un de probabilidad S.

(iti) Como cada valor es no negativo, y la suma de los valores es uno, t + i + k + i 1, la [uncIón define un (,pacio dc probabilidad S.

(iv) Los valores son no negativos y suman uno; por lo tanto la función define un espacill probabilidad S.

3.5. Sea S == {al, az, a3, a4}, y sea P una función de probabilidad de S.

= i·

(iii) Hallar P(a¡) si P({a2, i, P(

O) Sea P(a 1) p. Entonces para que P una función de probabilidad, la suma de las de los PUlilOS

mucstrales debe ser uno: p +.g. + i· + ! = 1 o p fs. (ti) Sea P(az) p. entonc<.:s = 21' Por lo tanto +p+!-l..!

P(a!) it Sea P(a Jl = P,

Entonces p + i + t + i 1 o p:::: t. esto es, P(a¡) = i·

3.6. Una moneda está sea el doble que la de sello

de modo que la y P(l~),

<: Sea p. entOnces {'(H) 2p, Ahora establecemos la suma de

o = t, Así P(T) p k y P(H) = 2p ¡.

I o p t. ¡\si

bilidad de <:

cara (1-1)

igual unu: p T ~ I

46 lNTRODUCCION A LA PROIJAB1LlDAD [CAP. 3

3.7. Dos hombres, h I Y 11 Y tres 111 1, HI2, ni 1, intervienen en un torneo de ajedrez. Los del mismo sexo tienen probabilidades de ganar pero cada hombre tiene el doble de posibili-dades de ganar que una (i) Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo. (ii) Si /¡ I Y m I son hallar la probabilidad que uno de ellos gane el torneo.

Sea P(m 1) p; entonces 1'(111') .~ P(lIIl) {l Y P(h 1) P(hl) 2p. Luego designemos por uno la suma de las probabilidades de los cinco puntos muestrales: p + fI + P + 2p = I o p t·

Buscamos, (i) ml,m',mJI) y h l. In I 1) Entonces por definición,

1'(1 mi, lIU.1II ) 1) P(m ,) 1'(1//0) + P(m ,) t + t + t t h I 111 I 1) P(h I} P(m 1) "'. ~. +.~ = ij

3.8. un dado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza el dado es pro-porcíonal a dicho número (por ejemplo, 6 tiene el doble de probabilidad de salir que 3). Sea A ¡ número par l. B 1 número primo l. C I número impar 1,

(i) Describir el espacio de probabilidad, esto es, hallar la probabilidad de cada punto muestra!.

(ii) Hallar peA), P(B) Y P(C).

(iii) Hallar la probabilidad de que: (a) primo; (e) suceda A pero no B.

un número par o (b) un Impar

(i) Sea P(I) p. En!Onces P(2) 2p, PO) 3p. P(4) 4p. peS) 5p y P(6) 6p. Como la suma de las probabilidades debe ser uno, obtenemos p + 2p + Jp + 4p + Sp + 6p 1 o p 1/21 Así

P(l) ':f¡, P(2)::: P(3) f' P(4):=: A, P(5)::= ir, P(6):::,.

(ii) peA) P({2, 4, G}) P(B) P({2, D, 5}) P(C) P({l,B,5})

(di) (a) El evento de que salg.a un llílIllcro par o primo es A U LJ 12,4,6,3, 1, o que I no salga. Así,

P(Au

(b) El evento de que salga U11 número primo imp3f

«(') El evento en que sucede A pero no [j es A n Be

ESPACIOS FINITOS EQUlPROUABLES

3.9, Determinar la probabilídJd p de cada evento:

:-.:: 1 P(l)

BnC {3,5}, Así, p(BnC) ::: P({B,5})

{4,6}. Por lo tanto P(AnEe) ::: P({4,6})::::;

(i) que un número par al lanzar un dado normal;

(ii) que resulte un rey al sacar una carta de una baraja corriente de 52 cartas;

(jii) que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales;

.. (iv) que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas. 3 rOjas y 5 bolas azules.

(i)

(ji)

El eyenlo puede ocurrir de tres maneras (2,4

Hay 4 reyes en las 52 cartas; por lo tanto p

3 1 6) de 6 casos igualmente posibles; por consiguiente p:::: '6:::: 2'

(iii) Si consideramos las monedas marc¡¡das, entonces hay 8 casos igualmente posibles: HHH. ¡HiT, HTH, HTT, THH, THT, TTtI. TTT. Solamente el primer caso no es favorable para el evento deseado: por consiguiente p i.

,(iv) Hay 4 + 3 + 5 = 12 bolas; de las eunles 4 son blancas; por lo tanto p

CAP. 3J INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD 47

3.10. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad p de que, (i) las dos sean espadas, (ii) la una espada y la otra corazón. \

52 Hay (2) = 1326 maneras de sacar 2 cartas de 52.

(i) Hay e;) = 78 maneras de sacar 2 espadas de 13; o sea

_ número de maneras posibles de sacar 2 espadas _ P - número de maneras posibles de sacar 2 cartas -

78 1326

1 17

(ii) Puesto que hay 13 espadas y 13 corazones, hay 13 • 13 = 169 maneras de sacar una espada y un corazón; o sea _ 169 _ 13

P - 1326 - 102'

3.11. Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad p de que, (i) ninguna sea defectuosa, (ii) una exactamente sea defectuosa, (iii) una por lo me-

3.12.

nos sea defectuosa. I Q . t+o D<;:/U t.o o~~ lOu,<- (w) Hay e

35 ) = 455 maneras de escoger 3 lámparas entre 15. )" Dé ¡<¿(' tvOSM'

(i) Puesto que hay 15 -- 5 = 10 lámparas no defeccuosas, entonces hay (I~) = 120 manera;; de escoger 3 lá mpa-• _ 120 _ 24

ras no defectuo sas. ASI que p - 455 - 91'

(ii) Hay 5 lámparas defectuosas y (1~) = 45 pares diferentes de lámparas no defectuosas; por consiguiente hay . 225 45

5' 45 = 225 maneras de escoger 3 lámparas de las cuales una es defectuosa. Entonces p = 466 = 9i'

(iii) El evento en que por lo menos una sea defectuosa es el complemento del evénto en que ninguna es defectuosa que

ti,,, """ (;), 'COb(::)' (~r°T,: f) -~!:11 :) t (~0 c. /;: , ',l, • I ' ; : : \~ + 'j; Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1 a JO. Hallar la probabilidad p efe . que la suma sea impar si, (i) las dos cartas se sacan juntas, (ii) se sacan una tras otra sin sustitución, (iii) las dos cartas se sacan una después de la otra con systitución.

(i) Hay (12°) = 45 maneras de seleccionar 2 de 10 cartas. La suma es impar si un número es impar y el otro par. Hay

5 números pares y 5 impares; entonces hay 5' 5 = 25 maneras de escoger un número par y uno impar. Así, r (ii) Hay 10' 9 = 90 maneras de sacar dos cartas una primero que la otra sin sustitución. Hay 5' 5 = 25 maneras

de escoger un número par y uno impar, y 5· 5 = 25 maneras de sacar un número impar y luego uno par; por tanto 26+26 60 _ 6

P=~=9ií-9'

(iii) Hay 10 • 10 = 100 maneras de sacar dos cartas una después de la otra con sustitución. Como en (ii), hay 5·5

25 maneras de sacar un número par y luego uno impar, y 5· 5 = 25 maneras de sacar un número impar y luego 25 + 25 60 1

uno par; entonces p = ---roo = 100 = 2'

3.13. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto.

(i) Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad p de tlue, (a) sean esposos, (b) uno sea hombre y otro mujer.

(ii) Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad p de que, (a) se escojan dos parejas de casados, (b) ninguna pareja sean casados entre los 4, (e) haya exactamente una pareja de casados entre los 4.

(iii) Si las 12 personas se reparten en seis parejas, hallar la probabilidad p de que, (a) cada pareja sean casados, (b) cada pareja la forme un hombre y una mujer.

48 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD ICAP 3

(i) 12

Hay (2) = 66 maneras de eSCDger 2 personas de las 12.

(a) Hay 6 parejas de casados; por lo tanto p = 1s = f¡, 6·6 e

(b) Hay 6 maneras de escoger un hombre y 6 maneras de escoger una mujer; por co nsiguiente p = 66 = 11'

(ii) Hay (~) = 495 maneras de escoger 4 personas de 12. e . 15 1

(a) Hay (2) = 15 maneras de escoger 2 parejas de las 6; o sea p = 495 = 3:i'

(h) Las 4 personas vienen de 4 parejas diferentes. Hay (:) = 15 maneras de escoger 4 parejas de las 6, y hay 2 . . 2·2·2 ·2·15 16 •

maneras de escoger una persona de cada pareja, o sea que p = 495 = SS.

(e) Este evento es mutuamente disyunto de los dos eventos anteriores (que también son mutuamente disyuntos) y

por lo menos debe suceder uno de estos dos. Por lo tanto p + is + * = 1 ó p = ~. (ii i) Hay 2t21;12~12121 = ~2.1 maneras de repartir las 12 personas en 6 células ordenadas con 2 persona s en cada una .

(a) Las 6 parejas pu eden ser co lo ca das en 6 células ordenadas de 6' maneras. O sea p = 12~;2S = 10.;05'

(b) Cada uno de los 6 hombres se pueden colocar en 6 células de 6! maneras y cada una de las 6 mujeres lo mismo. _ 6!0! 16

Por consiguiente p - 12!/26 = 231'

3.14. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Hallar la probabilidad p de que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños .

Sea A = Ila persona es un hombre 1 y B = Ila persona tiene ojos castaños 1. Busca mos la P(A 10 1 15 1 5 1

Entonces P(A) = 30 = 3' P(B) = 30 = 2' P(A nB) = '30 = ¡j. Así por el teo rema 3.5, ~

P = P(AuB) = P(A}+P(B)-P(AnB) = i-+~-i = t

ESPACIO'S UNIFORMES NO' CO'NTABLES

3.15. En el interior de un círculo se selecciona un punto al azar. Hallar la probabilidad p de que el punto quede más cercano al centro que a la circunferencia.

Denotemos por S el conjunto de los puntos interiores al círculo de radio r y denotemos por A el conjunto de los puntos interiores al círculo concéntrico de radio ~r (Así , A es tá form;¡do precisamente por aquellos puntos de S que están más cercanos a su centro que a su circunferencia.) Por consiguiente,

área de /1 p = P(A) = áre a de S

1 4

u B).

P( fI'J 1)) :. NIl} ' Na) _ 10 ,r - 30' lo

"'" ;.!.. 1/ 6

3.16. Considérese el plano cartesiano R 1, Y desígnese X como el subconjunto de puntos para los cuales ambas coordenadas son enteros . Se lanza una moneda de diámetro t al azar sobre el plano. Hallar la probabilidad p de que la moneda cubra un punto de X

Denotemos S el conjunto de puntos interiores del cuadrado con extremos

(m, n), (m, n + 1), (m + 1, n), (m + 1, n + 1) E X

Denotemos A el conjunto de punt os de S de distancia a las esquinas inferiores a t. (Obsérvese que el área de A es igual al área interior del círculo de radio l) Así un a moneda cuyo centro cae en S cubrirá un punto de X si y sólo si su centro cae en un punto de A. Según esto,

p = P(A) = área de /1_ = 1T(t)2 = ~ "'" 02 área de 5' 1 16 '

Nota: No se pueden considerar todos los S de R' porque éste tiene área in-finita.

(m, n + 1) (m+ 1, " + 1)

s

(m,n) (m+ 1, n)

A sombreado

CAP 31 lNTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

3.17. Tres a, b y e de una circun llar la probabilidad p de que los puntos semi-círculo.

se escogen al azar. Hasobre el mismo

Su [l0ngamos que la longillld de la círcun len:nda 2\" Denotemos la lon-gilUd del arco ab en ,el :,cntido del movimiento de las agujas de! reloj y denotemos

la dd arco I1l' en d mismo sentido, Así

o < x < 28 y o < y < 28 (*) Sea .'; el conjunto de los puntos de R' para los cuales cumple la condición ('j, Sea A el subconjunto de S para el cual cumple una de las CO!l(J¡cíones sigUientes:

(i) x, y < 8

(ii) x, y > 8

x<s yy-x>s

(ív) y < 8 Y x - y > 8

Entonces A consta de aqucllos puntos para los cuales se cumple que a, b y e caen sobre el semi-circulo, Así

p

PROBLEMAS VARiOS

área de A 3 - 4'

49

OH)

A sombreado

3.HL Sean A y B

P(AC) y eventos con P(A) = J1, P(B) =! y P(A nB) = Hallar (i) P(A UB),

(iii) P(Acn (iv) P(ACUBC), (v) P(A nBC), (vi) P(BnAC).

(i) P(A) + P(B) P(A nB) ft (i i) P(AC) = 1- 1 y 1 - P(B)

(¡ii) US:.ll1do la ley de De J'vlorgan, (AUB)c AcnBc, t<.:ncmos

P(Aen P«A U 1 P(A uB)

(i v) Usando la ley de De Morg:.ln, nB)e = Ae t"nemos

U nB)e) = 1 - ['(A nB) EljU ivakntemente,

p(AcuBe) + P(BC) -

(v) P(A nBC}

P(Bn

B) = prAl P(A nB)

P(B) - PíAn

1 ft

1-t

i+k

3,19, Sean A y B eventos con P(A U B) = P(A e) i y p(AnB) (i) P(A), (ii) P(B), (iii) P(A n Be).

(i) PíA) 1 - P(AC) = 1 - i = t

1

= li ,~

t ll. 4

t. Hallar,

(ii) R.<:mplal.Jl1los en P(;l U prAl + [,(B) nB) para obtener :'le i + P(B) i o

(i ii) prAl nB)

3.20. Hallar la probabilidad p de un evento si la ventaja de que ocurra es a ' b, esto es Ha a b" . La ventaja de que un evento con probabilidad f' slI<.:cda la relación p' (1 - p), Por lo tanto

p a b o bp a ap o ap + a = a o p

3.21. Hallar la probabilidad p de un evenlo si la cJCljueSlIcccJa "3a2",

;! de lo cual p 2

la r.cspllcsta: p

%. Podemos u,ar también la rórmula del problema anterior para obtener directarncn'tc 3

- 5'

50 INTRODUCCION A LA PROIlABILlDAD [CAP. 3

3.22. Se lanza un dado 100 veces, La tabla siguiente detalla los seis números y la frecuencia con la cual aparece cada número:

Número 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 14 17 20 18 15 16

Hallar la frecuencia! del evento en que, (i) aparezca un 3, (ii) aparezca un 5, (iii) aparezca un número par, (iv) aparezca un número primo,

.. número de sucesos La frecuenct:l relatIva f = , I d b

numero tota e pruc as

(') f 20 ° (1') f lS (" ' ) f 17+18+16 I = 100 = 0,2 ¡ = 100 = 0,15 1IJ = 100 = 0,51 ( , ) f = 17 + ZO + 15 - ° 52 IV lOO - ,

3.23. Probar el corolario 3,6: Para los eventos A, By C.

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - p(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + p(AnBnC)

Así

Sea D = B U C, Luego A n D = A n (B U C) = (A n B) U (A n C) y

P(AnD) = P(AnB) + P(AnC) - P(AnBnAnC) = P(AnB) + P(AnC) - P(AnBnC)

P(AuBUC) P(A uD) = P(A) + P(D) - P(A n D)

P(A) + P(B) + P(C) - P(BnC) - [P(AnB) + P(AnC) - P(AnBnC»)

= P(A) + P(B) + P(C) - P(BnC) - P(AnB) - P(AnC) + P(AnBnC)

3.24. Sean S = {al, az, ., " a.} y T = {b l , bz, , .. , bt} espacios finitos de probabilidad. Sea el número Pi} = P(al) P(b j ) asignado a la pareja ordenada (al, b j ) del conjunto producto S X T = {(s,t) : s E S, t E T}. Comprobar que el PIJ define un espacio de probabilidad de S X T. esto es, que los plJ son no negativos y suman uno, (Este es el llamado espacio de probabilidad producto, Hacemos énfasis que esta no es la única [unción de probabilidad que se puede definir del conjunto producto S X T.)

Puesto que P(al ), P(bJ) ~ 0, para cada i y cada}. Plj = P(a¡) P(bj ) ~ 0, Además,

P11 + PI2 + ... + Pu + PZI + P22 + '" + P2t + '" + P.I + P.z + ,.' + P.t

= P(al) P(b¡) + = P(a¡)[P(b 1) +

+ P(a¡) P(b t ) + ... + P(a.) P(b¡) + .. , + P(a.) P(b,)

+ P(b,)] + '" + P(a,)[P(b l ) + ... -+ P(b t »)

P(a1) • 1 + ... + P(a,)' 1

= P(a¡) + ,.. + P(a,)

1

CAP. 31 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD 51


. ESPACIOS MUESTRALES y EVENTOS

3.25. Sean A y B eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que, (i) sucede A o no B. (ii) ni A

ni B suceden.

3.26. Sean A. B Y e eventos. Hallar la expresión y usar el diagrama de Venn para el evento en que, (i) sucede exactamente uno de los tres eventos, (ii) suceden por lo menOol; dos de los eventos, (iii) ninguno de los eventos sucede, (iv) sucede A o B. pero no C.

3.27. Sea el caso de lanzar una moneda de centavo, una de diez centavos y un dado.

(i) Escribir el espacio muestral S apropiado.

(ii) Expresar explícitamente los eventos siguientes: A = I que aparezcan dos caras y un número primo 1, B = I que aparezca un 2 1, e = I que aparezca exactamente una cara y un número primo l.

(iii) Expresar explícitamente el evento en que, (a) A y B suceden, (b) sucede solamente 8, (c) sucede B o C.


3.28. ¿Cuáles runciones definen un espacio de probabilidad de S = {al' Uz, aa}?

3.29.

(i) P(a¡) = t, P(U2) = t, P(aa) = t (ii) P(a¡) = t, P(a2) = -k, P(aa) = t

(jii) P(a¡) = 1, P(az) = t, P(as) = t (iv) P(a¡) = 0, P(áz) = t, P(aa) = ¡

Sea P una fun ción de probabilidad de S = {al' az, as}. Hallar P(a¡) si, (i) P(aJ = t y (ii) P(a¡) = 2 P(a2) y P(aa) = i, (iii) P( {az, as}) = 2 P(a¡), (iv) P(as) = P(az) = 3 P(a¡).

3.30. Se carga una moneda de manera que la posibilidad de salir cara sea tres veces la de salir se.llo. Hallar P(H) y P(T) .

3.3 ~.

3.32.

3.33.

Tres estudiantes A. B Y e intervienen en una prueba de natación. A y 8 tienen la misma probabilidad de ganar y el do · ble de la de C. Hallar la pro babilidad de que gane B oc. rfA) = z. p, p(,.,) " Z ¡. P lc) : /> . () t

p{e.() c-): r+r =i-I z-Pt-z-p+p = ( ;:;g. r/,.,) =~ f>G = 'f

Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de salir que los impares. Hallar la probabilidad de que, (i) aparezca un número par, (ii) aparezca un número primo , (iii) aparezca un número impar, (iv) apa· rezca un número primo impar. S : i I i !, l¡ r: l ¡

('irl .. 'I',~I f,'r " ~J¡' n 'l' ",; I q /' • L ;,¡/".),)~ ¡., Irl ,~ / L It. , Z. <- > "f' , ~ . /' • f . - ¡ I,!. e:¡ 'f ij 'f q '1

Hall a r la probabilidad de un evento si la ventaja de que suceda es, (i) 2 a 1, (ii) 5 a 11. rIPIAI""') ; ·f ' ,~ ' .f :f 3.34. En una carrera de natación, la ventaja de que A gane es 2 a 3 y la ventaja de que B gane es I a 4 . Hallar la probabilidad p

y la ventaja de que A o B ganen la carrera.

ESPACIOS FINITOS EQUIPRonAn\..ES

3.]5.

3.36.

Una clase está formada por 5 estudiantes de primero, 4 de segundo, 8 de penúltimo y 3 de último a ño . Se es\:oge un estudiante al azar para representar la clase. Hallar la probabilidad de que el estudiante sea, (1) de segundo, (ii) de último

año, (iii) de penúltimo o de último año. , .. ) Ifl rVeI) ; t,.. • .;) _ !!.. Ir ...v CA ¿V

Se selecciona una carta al aza r entre SO cartas numeradas de I a 50. Hallar la probabilidad de que el número de la carta sea, (i) divisible por 5, (ii) primo, (iii) termine en dos.

p{c} = ~

3.37. De las 10 ni ñas de una clase, 3 tienen ojos azules. Si se escogen dos niñas al az.ar, ¿cuál es la probabilidad de que,. (i) las l'{l) ( dos tengan ojos azul/e.s? (ii) ninguna tenga ojos azules? (iii) una por lo menos tpga ojos azulesry f i3 n)( ~) 1- ( 1.). <J _ - ! '1) (;0): 4 ~ .. l I'); ? ¡'o .!.. - ~_ .: ) I I-i. v ;",,, . '.0.. _):.-,u.&r c •. 1 ({pI . ( - t. : {-;::/I ----r'."')--- - Ir

. 3.38. -¿ ,.l A. I \ " l . '"1' ( .r .tf .) J '-

Tres lornillos y tres tuercas están en una caja . Si se escogen dos piezas al azar, hallar la probabilidad de sacar un torni·

110 y una tuerca. (f) ,.'~ / . Ir! ~ \(: l' li P:A) ~ : I¡

52 INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD ¡CAP J

:l.39. Diez estudiantes. A, {J, ,e,tán en u na clase . Si se escoge un comité de J, al alar, hallar la probabilidad de que. (i) A

pertenezca al comité, (ii) B pertenezca al comité, (iii) A Y B pertenezcan al comité, (iv) A o B perlencJ:ca al comité.

3.40. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al aza r un co mité de 3, hallar la probabilidad de, (i) seleccionar tres niños, (ii) se leccionar exact amente 2 niños. (iii) seleccionar por lo menos un niño , (iv) seleccionar exactamente 2 niñas.

3.41. Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad de que la suma de los dos números sea mayor que 4.

3.42. De 120 estudiantes, 60 estudian francés. 50 estudian español. y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al azar , hallar la probabilidad de que el estudiante, (i) estudie francés y español, (ii) no estudie francés ni español.

:l.4.1. Tres nirios y J niñ as se sientan en fila . Ilallar la probabilidau dc que, (i) las tres niñas se ; icnten juntas, (ii) los niños y las niñ as se sienten alternados.

ESPACIOS UNIFORI\IES NO CONTABLES

.1.44 . Se escoge al azar un punto interior a un triángulo equil ;'llero de lado ), Hallar la probabilidad ue que su distancia a un vértice sea mayor que l .

3.45. Se lanza al a7.ar una moneda so bre el plano cartesiano R:. Hallar la probabilidad de que la moneda no corte ninguna línea cuya ecuación sea ue la forma, (a) x = J... (b) x 1-)' = k , (e) x = k o )' O '" k. (Aquí k es un entero.)

3.46, Se escoge al azar un punto X sobre un segmento de rect a A n co n punto medio O. mentos de recta /1)(, XB y ,,10 puedan formar un trián gulo.

Hallar la probabilidad de que los seg-

l PROBLEMAS VARIOS

.1.47. Sean lo s eventos A y Bcon P(AUB) = -h-, P(Anll) = t y P(Ac) = l Hallar P(A), P(B) y P(AnBc),

:l.48. Sean los eventos A y B co n P(A)

P(AcUBC) y P(BnAc).

i, P(AuB) y P(BC) ~. Hallar P(A nB), P(AcnBr.),

3.49. Se lanza un dado 50 veces. La tabla siguiente da los seis números y la frecuencia con que se repiten :

Número 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 7 9 8 7 9 10

Hallar la rrecuencia relati va del evento, (i) en que aparece IIn 4, (ii) en que aparece un número impar, (iii) en que aparece un número primo.

3,50. Probar' Para los eventos Al' Az, ... , An,

~P(A¡) - ~ P(A¡nAJ) + i f<J

~ P(A¡nAjnA k ) - •• , ± P(A¡n··· nA n ) f<j<k

(No ra. I::.stc resultad o gcnerali73 clteorema 3.5 y el co rolario 3.(,.)

CAP 3] INTRODUCCION A LA PROOAOILlDAD


3.25. (i) AuEe, (ii) (AuE)e

3.26. (i) (AnEenCe) u (BnAenCe) u (CnAenBe)

(ií) (AnE)u(AnC)U(BnC)

(íii) (AuEuC)e

(iv) (A u E) n Ce

3.27. (i) S = {HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, HTl, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6, TTl, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6}

53

(ii) A = {HH2, HH4, HH6}, E = {HH2, HT2, TH2, TT2}, C = {HT2, TH2, HT3, TH3, HT5, TH5}

(iii) (a) A nE = {HH2}

(b) E "- (A u C) = {TT2}

(e) BuC = {HH2, HT2, TH2, TT2, HT3, TH3, HT5, TH5}

3.28. (i) no, (ii) no, (iii) sí (iv) sí

3.29. (i) -A, (ii) i, (iii) t, (iv) fa-

3.30. P(H) =!, P(T) = t

3.3 I. i

3.32. (i) t, (ii) t, (iii) -h (v) i

3.33 (i) t, (ií) -h

3.34 . P = i; la ventaj a es 3 a 2

3.35. (i) i, (")3 11 20' C') 11 111 20 .

/ 3.36. (i) t, (ii) f-o' (iii) 110

3.37. (i) -!S' .. 7 / ... 8 (11) 15' (1lI) 15

. 3.38. i ;/

J.39. (i) &, ('") 3 11 10' ("') l / e) 8

1lI 15' IV 15

3.40. (i) A, (") 21 11 56' ("') 21

1lI 28' e ) 15 IV 56

3.4 I. ~

:\.42. (i) i, (ii) t

3.43. (i) !' (U) ~

3.44. 1 - 2,rI(9V3)

3.45. (i) t, (ii) 1 - tv'2, (iii) t

3.46. 1 3.47. P(A) =~, P(B) = i. P(A nBe) = i

3.48. P(AnB) = t, P(AcnBc) = i, P(ACuBc) = t, p(BnAC) = i

9 ( ') 7 (") 24 ("') 26 3.4 . I 60' 11 50' 1lI 50

Capítulo 4

PRO;'\ r¡U l}¡\p UJ i DI\.I O¡1 / L

Sea E un evento arbitrario de un espacio Illuestral S con P(E» O. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P(A I E), se define como sigue:

P(A lE) = p(AnE) P(E) '. E

Como se aprecia en el diagrama de Venn expuesto, P(A lE) en cierto sentido mide la probabilidad relativa de A con re s lación al espacio reducido E.

En particular, si S es un espacio finito equiprobable y lA I denota el número de elementos de un evento A. entonces

P(AnE)

Esto es,

IAnEI ISI P(E) IEI

ISI y así P(A lE)

p(AnE) P(E)

IAnEI IEI

Teorema 4·.1: Sea S un espacio finito equiprobable con eventos A y E. Entonces

P(A lE)

o P(A lE) =

número de elementos de A n E

número de elementos de E

número de maneras en que A y E pueden suceder número de maneras en que E puede suceder

Ejemplo 4.1: Sea el caso de lanzar un par de dados corrientes. Si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. En otras palabras. si

E = {sum a es 6} = {(1, 6), (2,4), (3,3), (4,2), (6, 1)}

y A = {un 2 aparece por lo menos en un dado}

hallar P(A lE). Ahora E consta de cinco elementos y dos de ellos, (2, 4) Y (4, 2), pertenecen a A. A n E = :(2,4),

(4, 2)'. Entonces P(A I E) = ~.

Por otra parte. puesto que A consta de nueve elementos.

A = {(2, 1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (6,2), (6,2)}

y S consta de 36 elementos, P(A) = ~.

Ejemplo 4.2: Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos. Uno de los hijos, un niño , entra en la sala . Hallar la probabilidad p de que el otro sea también niño si, (i) se sabe que el otro hijo (o hija) es menor, (ii) no se sabe nada del otro hijo. .

El espacio muestra} para el sexo de los dos hijos es S = I bb . bg , gb . gg I con probabilidad i para cada muestra. (Aquí la serie de cada punto corresponde a la serie de nacimientos.)

(i) El espacio muestral reducido cOflsta de dos elementos, I bb. bg 1; o sea p = l (ii) El espacio muestral reducido consta de tres elementos, I bb. bg. gb 1; o sea p = t .

CAP 4] PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEP~ND[NCIA 55

TEOR EM A- DE LA MULTIPLlCACION PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si multiplicamos en cruz la ecuación anterior que define la probabilidad condicional y usamos el hecho de que A n E = E n A, obtenemos la siguiente fórmula útil.

Teorema 4.2: P(E n A) = P(E) P(A I E)

Este teorema puede extenderse por inducción matemática co mo sigue:

Corolario 4.3: Para los eventos Al, A 2, ... , A n ,

P(A l nA 2 n··· nA n )

= P(AI)P(A2IAI)P(~3IAlnA2)" ·P(A n IA¡nA2n··· nA n - l )

Ahora aplicamos el teorema anterior que es llamado, apropiad:.lmente, el teorema de la multiplicación.

Ejemplo 4.3: Un lote de 12 artículos tiene 4 derectuosos. Se toman al azar tres artículo s del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad p de que todos los tres estén buenos.

La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso <:~ 'ª- puesto que 8 entre 10$ 12 no son 12 .

defectuosos. Si el primero no es derectuo,o , entonces la probabilidad de que el próximo artículo no sea derectuoso es f¡ puesto que solamente 7 de los II sobrantes no son defectuosos. Si los dos primeros artícu los no son ddectuosos , entonces la probabilidad de que el último no sea derectuoso es !. puesto que

10 solamente 6 entre los 10 que quedan no so n derectuoso s. Así por el tcort:ma de la multiplicación,

8 7 G 14 p = 12'] 1 . 10 = 55

PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS y DIACHAMAS DE ARBOL

Una sucesión (finita) de experimentos en lo s cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico (finilO). Una manera conveniente de de~cribir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento se obtiene por el diagrama de árbol como se ilustra en la figura siguiente; el teorema de la multiplicación de la sección anterior se usa para calcular la probabilidad de que el resultado representado por una trayectoria determinada del árbol suceda . .....

Ejemplo 4.4: Tomemos las tres cajas siguientes:

Caja I contiene 10 lámparas de la s cuales 4 son defectuosas.

Caja 11 contiene 6 con I defectuosa.

Caja 111 contiene 8 con J ddectu o,as.

Escogemos al azar un a caja y luego sacamos al azar una lámpa ra . ¿Cuál e~ la probabilidad p de que la lámpara sea defectuosa?

Aquí realizamos una serie de dos experimentos:

(i) escoga una de las tres cajas;

(ii) escoger una lámpara que sea o defectuo sa (D) o no defectu osa (N).

El diagrama de ú¡,hol sigu iente lkscribc el proceso y da la probab ilidad de cada rama del árbol :

.t , -D

rr --=======r==---N

t ~ ~ D ~III~

i N

56 PROBABILIDAD CO NDI C IONAL E INDEPENDENCIA [CAP 4

La probabilidad de que una trayectoria determinada del árbol suceda es, seg ún el teorema de la multiplicación, el product o de las probabilidades de cada rama de la trayectoria, o sea, que la probabilidad de escoge r la caja I y luego una lámpar? defectuosa es ~.% = !S.

Ahora com o hay tres trayector ias mutu amente exclusivas que conducen a un a lúmpar a defectuQsa , la suma de las probabilidades de est as trayectorias es la probabilidad buscada:

1 2 1 1 1 3 113 p == "3."5 + "3 ."6 + 3'. 8" = 360

Ejemplo 4.5: Se lanza una moneda cargada de modo qu e P(C) = 1- y P{S) = !. Si sa le ca ra, se escoge al a ~ar un número de I a 9: si sale sello , se escoge al azar un número de l aS. Hall ar la probabilidad p de que se escoja un número par

El diagr am a de ~rhol con las probahilidades respectivas es:

~o T~

E

Obsérvese que la proba bilidad de escoger un número par de I a 9 es ~ pu esto que hay 4 pares entre los 9 núm eros, mientras que la probabilidad de escoger un par de I a 5 es t puesto que ha y 2 números pares entre los 5. Dos de las trayectorias co nducen a un número par: CP y SI'. Así

2 4 1 2 P = P(E) = -. - + - . --

3 9 3 5 58 135

PAHTICIONES y TEOHEMA DE BAYES

Suponga mos que los eventos Al, A2 , . , An forman un a pa rtición de un espacio muestral S; esto es, que los eventos A¡ son mutuamente exclusivos y su unión es S. Ahora sea B otro evento. Entonces

B SnB = (A¡UA 2 u···uA n)nB

(A¡nB) U (A 2 nB) U··· U (AnnB)

donde las Al n R so n eventos mutuamente exclusivos. En co nsecuenct a.

B so mbreado.

P(B) = P(A¡nB) + P(A 2 nB) + .. , + p(AnnB)

Lu ego [lor el teLlrem a de la multiplicación,

P(B) = P(A I ) P(B I Al) + P(A 2) P(B I A 2) + .. - + P(An) P(B I An)

Por otra part e, para cualquier i, la probabilidad condicional de Al dado S se define por

P(A¡ I B)

(1)

En esta ccuaClon usamos (/) para remplazar peS) y usamos peAl n B) = ' P(A¡) P(S IA¡) para remplaza r P(AI n R), obteniendo as í el

Teorema de Bayes 4.4:

P(A I I B)

Su póngase que A 1, A 2, ... , An es una partición de S y que B es cualquier evento. Entonces para cualquier i.

P(A¡) P(B I Al)

CAP 41 PROBABILIDAD CONDIC ION AL E IND¡:PLNDENC I A

~¡;-¡. á;< "1- ,,'/. 57

Ejemplo 4.6: Tres máquinas A , 8 Y e producen respecl ivamenle 50%. JO'l',. y 20% del núm ero lo lal de a rticulos de una fáhrica . Los porcen lajes de desperfectos de producción de e, las máquinas son 3%.4% Y 5%. S i se "dec-cio n;1 a l a l ar un articulo . hallar la prohabilidad de que el articulo sca defcctu os,J. > '/.

l ', 4/. t , >

Sea X el even to de que un artículo es defectuoso . Emonces según (J) vislo alrás , u.o\ D

P(X) = P(A) P(X I A) + P(B) P(X I B) u.:;o A ~N + P(C) P(X I e)

(0.50)(0.03) + (0.30}(0.04) + (0 ,20)(0 .05)

0,037

II .JO ~D et-----8 _______

Obsérvese que lilmbién podemos con sidera r esle problema COl1l0

un proceso eSlocás lico que liene el diagrama de árbol adjunto .

N

Ejemplo ~ .7: Comidérese la fábrica del ejem plo antai or SUflóngase que se selecciona un artículo al ;l /M v rCsUllJ ser defecluoso . Hallar la probabilidad de que el artícu lo fue producido por 1;-l1I áqui;a ~.j ,- ~S ; l) -~ ;:-: hallarP(d 1 X) -

Por el leor ema de !:layes ,

P(A IX) peA) P(X I Al

P(A) P(X I A:-) --"'+---=P~(Ú) P(X I B) + P(C) P (X I e)

(0. 50){O.OJ)

(0,50)(0 ,03) + (0,30)(0,04) 1- (0 ,20)(0 ,05) ~ -0. 405 37 ~

En Olras palahras, dividimos la probabilidad de la trayecloria pedida por la flrohahilid<lJ del e,p;ICIO mu eslral reducid o, o , ea, aquellas Irayeclorias qu e condu cen a un artícul o ddecl uosu .

INDEPENDENCIA

Se di cl: que un evento B es in dependiente de un even to A si la [xoba bilidad de qu e IJ sllceda no es tá innu enciada porque A haya o no sucedido . En otras palabra s, si la prohabiliJad de n iguala la prohab ilid ad co ndi cion al de B dado A : P(B) = P(ll I A). Ahora su.,t ituyendo I'(B) por P(!¡ lA) en el teorema de la multiplicación P(A n B) = P(A) P(B 1,.1), obten emos .

P(A n B) P(A) P(B)

Usamos la ecuac ión anterior como nuestra definición forma l de in(kpendencia .

Definición: A Y B son eventos independientes si P( A n B) = P(A) P(B); de otro modo son dependientes.

Ejempl o ~.8 : L:.ínccse una moneda co rri en le Ires veces; obtenell1os el ts pacio cquiprobabi<::

s = {HHH, HH T, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

Con,ideremos lo s even lo,

A ~, I primeros lanlall1il:nl os so n cara s I

e - I exaclalllenle se lan/ ~ n del, cara.s seguid ;l' I

Claralllcnle A y 1I son cvenlos independientes; esle hecho se verifica en sc:guida . Por "Ir ;t parl<: , la rcl;t · ció n enlre ,,1 y e o H y e no es obv ia . In s i, lilllo s en (jue ,.1 y e 'ion inde pendi enl e.s, 11C!'1l (jlle B y e so n dependienles. Tenemos

P(A) P ({HHH, HHT, HTH, HTT}) 4 1 = 2 ' 8

P({HHH, HHT, THH, THT}) 4 1 8

-- 2 P(B)

P ({HHT, THH}) 2 1 '8 4

p(e)

Enlon ces

P(AnB) P ({HHH, HHT} ) = ~, peA ne) = P ({ HHT})

P(BnC) ::= P ({HHT, T HH }) = ~

58 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

En consecuencia, 1 1 2'2

P(A) 1 1 2'4

P(B) p(e) = !.! 2 4

1 P(AnB), y así A y B son

4

1 P(A n e). y así A y B son 8

1 .p P(B n e), y así B y e son dependientes. 8

[CAP. 4

Frecuentemente, postularemos que eventos son o que será claro por la natura-leza del experimento que dos eventos son independientes.

Ejemplo 4,9: La probabilidad de que A dé en el blanco es i y la de Bes t. Si A Y B disparan, ¿cuál es la probabilidad de que se pegue al blanco?

Sabemos que P(A) = t y P(R) ¡; y buscamos P(A U B). Además, la probabilidad de que A o B den en el blanco no depende, de que el olro dé; esto es, el evento de que A dé en el blanco es inde-pendiente del evento de que B dé en el blanco: P(A n B) 1'(8). Así

U + ! + 2 4 5

nB) 11 20

P(A) + 1'(B) P(A)

Tres eventos A, B Y e son independientes SI:

(i) P(A nB) P(A)P(B), P(AnC) P(A) P(C) y nC) P(B) P(C)

esto es, si los eventos son independientes dos a dos, y

(ii) p(AnBnC) P(A) P(C).

El próximo ejemplo muestra que la condición (ii) no se desprende de la condición (i); en otras pa-labras, tres eventos pueden ser dos a dos pero no entre

Ejemplo 4.10: Sea el caso de lanzar un par de monedas corrientes; aquí i HII, HT, 1'1-1, 1'T i es un espacio Consideremos los eventos

A = I caras en la primera moneda i

B ¡ caras en la segunda moneda I {HH, TH}

e = ¡ caras en una moneda exactamente I

Entonces P(A) P(B) = P(G) :::: ~ == ~ y

P(AnB) 1 P({HH}) = 4"' P(A ne) = P({HT})

1 4' P(BnG) 1

({TH}) = 4"

Así la condición (i) se satisface, o sea, los eventos son independientes dos a dos. Sin embargo, A n B n e = !í) y así

P(AnBnG) = P(0) o # P(A) P(B) P(G)

En otras palabras, la condición (ii) no se satisface y ¡:xJf lanto los tres eventos no son independientes.

PRUEBAS REPETIDAS O INDEPENDIENTES

Hemos discutido previamente de probabilidad que estaban relacionados con un experi-mento repetido un número finito de veces, tal como el lanzamiento de una moneda tres veces. Este concepto de repetición se formalíza como

Definición: S un espacio finito de probabilidad. Por n pruebas o independientes, nifícamo~ el espacio de probabilidad T que consta de n-uplas o elementos de S con la probabilidad de una n-upla definida como el producto de las probabilidades de sus componentes:

P(S2) ... P(Sn)

CAP. 4] PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 59

Ejemplo 4.11: Tres caballos a, b y e corren juntos, sus probabilidades de ganar son respectivamente ~, i y i. En otras palabras, S = la, b, e I con P(a) = t, P(b) = ! y P(c) = i. Si los caballos corren dos veces, entonces el espacio muestral de las dos pruebas repetidas es

T = {aa, ab, a~, ba, bb, be, ea, eb, ee}

Por conveniencia en la notación , escribimos ac en lugar de la pareja ordenada (a, c). La probabilidad de cada punto de Tes

P(aa) P(a) P(a) 1 1 1

P(ba) 1 P(ca)

1 2'2 4 6 12

P(ab) pral P(b) 1 1 1

P(bb) 1

P(eb) 1

2'3 6 9 18 -{-c,.

l,! 1 1 1 P(ac) = P(a)P(c) = P(be) = P(ce) = 2 6 12 18 36

Así la probabilidad de que e gane la primera carrera y de que a gane la segunda es P(ca) = T-2'

Desde otro punto de vista, un proceso de pruebas repetidas es un .proceso estocástico, cuyo diagrama de árbol tiene las siguientes propiedades: ~a a~b

i e (i) cada ramal tiene los mismos resultados; (ii) la probabilidad es la misma en cada rama que conduce a un mi smo final. Por ejemplo, el diagrama de árbol del proceso de pruebas repetidas del experimento anterior es tal como se muestra en la figura adjunta.

~ __ ~t ___ b~: ~e Obsérvese que cada ramal tiene los resultados

a, b y e, y cada rama que conduce al resultado a tiene probabilidad t, las que conducen a b tienen probabilidad t y cada una de las que conduce!) a e tienen probabilidad i.

Problemas resueltos

~a e t b

1 e

PROBABILIDAD CONDICIONAL EN ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES

4.1. Se lanza un par de dados corrientes. Hallar la probabilidad jJ de que la suma de sus números sea 10 o mayor si, (i) aparece un 5 en el primer dado, (ii) aparece un 5 en uno de los dados por lo menos.

(i) Si aparece un S en el primer dadu , entonces el espaciu muestral reducido es

A = {(5, 1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5, 6)}

La suma es 10 u mayor en dos de lo s seis resultados: (S , S), (5,6). Por lo tanto p = i = ~ .

(ii) Si aparece un S por lo menos en un dado , entonces el espacio muestral reducido tiene once elementos:

3· PROOABILlDAlJ

B = {(5, 1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6, 5)} 3 La suma es 10 o mayor en tres de los once resultados: (5, S), (S, 6), (6, S). Por lo tanto p = 11'

~ ..

60 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA ICAP 4

Se lanzan tres monedas corrientes. Hallar la probabilidad p de que sean todas caras si, (i) la primera de · las monedas es cara, (ii) una de las monedas es cara.

El espacio muestral tiene ocho elementos: S = I HHH, HHT, HTH, HTT, THH, TiIT, TTH, TTT 1.

(i) Si la primera moneda es cara, el espacio muestral reducido es A = I HHH . HHT. HTH. HTT l. Puesto que la , monedas son todas caras enA de 4 casos. [1 = i /

(ii) Si una de las monedas es car1. el espacio muestral reducido es 8 = I HHlf , HHT, HTH, HTT, THH. THT. TTH 1. Puesto que las monedas son todas caras en I de 7 casos, p = t . ."

Se lanza un par de dados corrientes. Si los dos números que aparecen son diferentes. hallar la probabilidad p de que, (i) la suma sea seis, (ii) aparezca un as, (iii) la suma sea menor ü igual a 4.

De las 36 maneras que se puede lanzar el par de dados. 6 contienen números repetidos: (1 , 1), (2, 2). ,(6.6) . Así

el espacio muestral reducido constará de 36 - 6 = 30 elementos.

(i) La suma 6 puede suceder de 4 maneras: (1, 5). (2. 4). (4, 2) (5,1). (No incluimos (1. 3) puesto que los númcro' son iguales.) Entonces [1 = ..!. = .!.

30 15'

(ii) Un as puede aparecer de 10 maneras: (1.2), (1, 3), ,(1,6) Y (2,1), (3.1). , (6, 1) . Entonces [1 = ~

(iii) La suma menor o igual a 4 puede suceder de 4 maneras: (3. 1), (l. 3), (2 , 1). (l. 2). Así [1 =fo= fs

4.4. Se escogen al azar dos dígitos desde I hasta 9. Si la suma es par, hallar la probabilidad p de que ambos números sean impares.

La suma es par si los números son impares o si son pares. Hay 4 pares (2, 4. 6,8); por tanto hay (~) = ó maneras rlc escoger dos números pares. Hay 5 impares (1, 3, 5, 7, 9); o sea que hay (~) = 10 maneras de escoger dos números impares . Así hay 6 + 10 = 16 maneras de escoger do s números tales que su suma sea par; puesto que lO de estas maneras

d rl I d - . !O 5 suce en cuan o os os numeros son Impares, fi = 16 = 8'

4.5. A un hombre se reparten 4 espadas de una baraja corriente de 52 cartas. Si se le dan tres cartas más, hallar la probabilidad p de que por lo menos una de las cartas adicionales sea también espada.

Puesto que recibió 4 espadas, quedan 52 --- 4 = 48 cartas de las cuales 13 -- - 4 ~ 9 son espadas . Hay Ci) =,

17.296 maneras en las que puede recibir tres cartas más. Puesto que hay 48 - 9 = 39 cartas que no son espadas, hay

(339) = 9139 maneras en que puerle recibir tres cartas que no son espadas. Así la probabilidad q de que no reciba cspa-9139 8157

das es q = í7.2li6: por lo tanto fi = I ---- q = 17.296'

4.6. Se reparten 13 cartas de una baraja corriente de 52 cartas a cuatro personas que denominamos Norte, Sur, Este y Oeste.

(i) Si S no tiene ases, hallar la probabilidad p de que su compañero N tenga exactamente dos ases.

(ii) Si N Y S juntos tienen nueve corazones, hallar la probabilidad p de que E y O tengan cada uno dos corazones.

(i) Hay 39 cartas, contando los 4 as<:s , repartidas entre N, E Y O. Hay (;;) maneras rle que N reciba 13 de biS 39 car

tas. Hay (~) maneras de que pueda recibir 2 de los cuatro ases, y (~~) maneras de que pueda recibir II cartas de

las 39 -- 4 = 35 cartas que no son ases . Así

p 6'12'13'25'26 aG • 37 • 38 • a9

650 2109

CAP, 4] PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 61

(ii) Hay 26 cartas, incluyendo 4 corazones, repartidos entre E y O, Hay (;:) maneras de que, por E pueda recibir j} cartas. (Necesitamos solamente analizar las 13 cartas de E puesto que O debe tener el resto.) Hay ,(~) maneras para que E recibir 2 corazones de los 4. y (ii) maneras para que el mismo recibir 11 no-cora-

zones de 26 4 22 no-corazones. Así

p

TEOREMA DE LA MULTlPUCACION

. 4,7. Una clase tíene 12 niños y 4 nírlas, se escogen tres estudiantes de la clase al azar, ¿cuál es la pro-babilidad p de que sean todos niños?

La probabilidad de que el primer estudiante escogido sea un niño es 6 puesto que hay 12 niños entre los 16 estu-diantes. Si el primero es un l1ioo, entonces la probabilidad de que el segundo sea niño es 11/1 puesto que 11 niños entre los 15 restantes. Finalmente, si los primeros dos escogidos son niños. entonces la probabilidad de que el tercero sea niño es 10/14 puesto que quedan 10 niños entre 14. Así, por el teorema de la multiplicación, la probabilidad de que todos tres sean niños es

12 10 11 p

(Jira méwdo. Hay 3 660 maneras de escoger 3 entre 16, Y 220 maneras de escoger

3 .. 17 1 220 1111105 entre ~: por o tanto p == 5¡¡¡j' ==

Un lena método Si los estudiantes se escogen uno después del otro, entonces 16·15' 14 maneras de esco-ger tres estudiantes, y 12' 11 • 10 maneras de escoger tres niños; por consiguiente p =:: ~~:-:-

11 2jj.

\ 4.8. A un le reparten 5 cartas una Iras otra de una baraja corriente de 52 carlas, ' es la probabilidad p de que todas sean

La probabilidad que la primem carta sea e>pada 13/52. la segunda sea espada es 12/51, la !er~era 11/50, la cuarla IO/49,y la última (Suponemos en elida caso que las cartas anteriores fueron espadas,) Así

!3 12 11 10 9 P 5i'5i''5o'¡¡¡';¡¡j

4.9. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas, Se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. Ha-llar la probabilidad p de que las dos sean y la lercera blanca.

La probabilidad de que la primera bola sea roja es 7! 10 puesto que hay 7 rOjas entre las 10 bolas. Si la primera bola entonces la probabilidad de que la bola sea roja es puesto que 6 rojas entre las 9 bolas restan-

tes, SI las dos rl'll1laas son entonces la de que la tercera sea blanca es puesto que 3 blancas entre las 8 bolas restantes en la urna. Entonces por el teorema de la

p 6 3

10 • '9 • 8' 7

"4.10. Los estudiantes de una clase se escogen al azar, uno tras otro, para presentar un examen. Hallar la probabilidad p de qUe niños y niñas queden alternados la clase consta de 4 niños y 3 niñas, (ii) la clase consta de 3 niños y 3 niñas.

(i) Si lo~ niños y las niñas se alternan, el primer estudiante examinado debe ser nino. La probabilidad de que el segundo ::.ea niña es puesto q1ile hay J niñas entre los 6 restantes, Continuando en esta forma, obtenemos que la probabilidad de que el tercero sea niño es que el cuarto sea niña es 2/4. que el sea niño que el sexto sea niña es I y que el último sea niño es t/!. Así

4332211 P ::::= -.-.-.-.-.~.

7 6 5 '4 3 2 1

62 PROBABILIDAD CONUICIONAL E INDEPENDENCIA [CAP, 4

(ii) Hay dos casos mutuamente exclusivos: el primer estudiante es un niño , y el primero es una niña , Si el primer estudiante es un niño, entonces por el teorema de la multiplicación la probabilidad p' de que los estudiantes se alternen es

3322111 PI = (;' 5 . "4 • 3' 2 . 1 = 20

Si el primer estudiante es una niña , entonces por el teorema de la multiplicación la probabilidad [1 ' de que lo s estudiantes se alternen es

3322111 P2 = (;. 5 . "4 • 3 . 2 . 1 20

Así , P 1 I 1

PI + P2 = 20 + 20 =10'

PROOLEIVIAS V ARiOS SOBRE PROBAOILlDAD CONDICiONAL

4.11. En cierta facultad, 25% de los estudiantes perdieron matemáticas, 15% perdieron química y 10% perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.

(i) Si perdió química, ¿cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas?

(ii) Si perdió matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que perdió química?

(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que perdió matemáticas o química?

Sea M = [ estudiantes que perdieron matemáticas I y e = 1 estudiantes que perdieron química 1; entonces

P(M) = 0,25 P(C) = 0,15 P(MnC) = 0,10

(i) La probabilidad de que el estudiante perdiera matemáticas, dado que haya perdido química es

P(M I C) = P(MnC) = 2.J..Q. = ~ P(C) 0,15 3

(ii) La probabilidad de que el estudiante perdiera química, dado que haya perdido matemáticas es

(i i i)

P(C I M) = P(CnM) = 0,10 ;= g P(M) 0,25 5

3 P(MuC) = P(M) + P(C) - P(MnC) = 0,25,+0,15-0,10 ='0,30 = 10

4.12. Sean los eventos A y B con P(A) = t, P(B) = t y P(A n B) = i. Hallar.

(i) P(A lB), (ii) P(B lA), (iii) P(A UB), (iv) p(Ae I Be), (v) P(BC I AC).

(í) peA lB) p~(~)B) = t = ~ (ii) P(B I A) = P~~~) = t = ~

(Uí) P(AuB) = PeA) + P(B) - P(AnB) 111 7 -+---=-2 3 4 12

(iv)

(v)

Primero calculamOs p(Be) y P(AenBc). p(Be) = 1 - P(B) = 1 - t = i. Por la ley de De Morgano (AuB)e = AenBe; por lo tanto P(AenBe) = P((AUB)c) = 1- P(AUB) = 1 - ¡,¡ = .f,¡.

p(Ae I Be) = p(AcnBe) = !i. = ~ Así, p(Be) t 8'

P(AC) = 1 - peA) = 1 - t = l. Luego p(Be I Ae) = p(BcnAe) = !'I = ~ P(AC) t 6'

4.13, Sean los eventos r! y B con P(A) = ¡, P(B) = i y P(A UB) = l. Hallar P(A lB) Y P(B I A)

Primero calculemos peA n B) usando la fórmula peA U B) = peA) + P(B) - peA nB):

f = ~+~-p(AnB) o P(AnB) = ~

Así. P(AIB)=p(AnB)=L:~ y P(BIA)=p(BnA)=l=! P(B) R 5 peA) i S'

~AP. 4J PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 63

4.14. Hallar P(B I A) si, (i) A es un subconjunto de B, (ii) A Y B son mutuamente exclusivos.

(i) Si A es un subconjunto de 8. entonces siempre que A suceda, 8 debe suceder; por lo tanto P(81 A) = I A su turno, si A es un subconjunto de B entonces A n B = A ; entonces

( i)

P(B I A) = P(A nB) prAl

prAl prAl 1

(i i)

(ii) Si A Y 8 son mutuamente exclusivos, esto es , disyuntos, entonces siempre que A suceda, B no puede su ceder ; por lo tanto P(B I A) = O. Alternadamente, si A y 8 son mutuamente exclusivos entonces A n B = 0;1 por lo tanto

P(B lA) = P(A nB) P(A)

P(0) P(A) ° p(M = °

4.]5. Tres máquinas A. B y" e producen respectivamente 60%,30% Y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son respectivamente 2%, 3% Y 4%. Seleccionado un artículo al azar resultó defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo hubiera sido producido por la máquina C.

Sea X = I artículos defectuosos l. Buscamos P(CIX), probabilidad de que un artículo sea producido por la máquina C dado que el artículo sea defectuoso . Por el teorema de Bayes,

P(C I X) p(e)p(Xle) J nlo¡;;;O'

prAl P(X I A) + P(B) P(X I B) + p(e) P(X I e) , - pll\ tcJ..c c'r t 0'-

(0, 10)(0,04) 4 ------------ = - .: 0. 16 (0,60)(0,02) + (0,30)(0,03) + (0 ,10)(0,04) 25

4.16. En cierta facultad, 4% de los hombres y 1 % de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es más alto que 6 pies, ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer?

Sea A = I estudiantes de más de 6 pies 1. Buscamos P( W I A), probabilidad de que el estudiante sea una mujer dado que el estudiante es de más de 6 pies . Por el teorema de Bayes,

P(W) P(A I W) P(W I A) ~I!'(W) P(A I W) + P(M) P(A 1 M »)

\'\ ¡.\:

(0,60)(0,0 \)

(0 ,60)(0,0 \) + (0,40)(0,04) = ~ -o .z,1-Z-"1- n·

11-

'i' ( 11/",) ~ o 't-HH z

4.17. Sea E un evento para el cual P(E) > O. Comprobar que la función de probabilidad condicional P(* I E) satisface los axiomas de un espacio de probabilidad; esto es,

[PI] Para un evento A, O:: P(A lE) ",: lo [P2] Para el evento cierto S, peS lE) = l .

[Ps] Si A Y B son mutuamente exclusivos, entonces P(A UB I E) = P(A lE) + P(B lE). [P4] Si A 1, A l, es una sucesión de eventos mutu3mente exclusivos, entonces

(i) Tenemos A nE e E; por lo tanto P(A nE) == P(E). Así P(A lE) == P(A nE) == 1 P(E)

y t!S no nega tivo

también . Esto es O == P(A lE) == 1 yasí [P¡] cumplc.

64 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA ¡CAP. 4

(ii) Tenemos S n E E. por consiguiente ! El 1. Así satisface.

Oli) Si A Y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces así son A n E y B n E. Además (A nE = (AnE) U Así

P«AuB)nE) P«A nE) unE» :::: P(A nE) + P(BnE) y por ende

P(AUB I E)

P(A \ E) + P(B I E)

O sea que (P:¡] satisface.

(iv) Similarmente si Aj. Az. son mutuamente exclusivos, también lo son Al Azn, ... Así

. ,,) n P«A¡ n U (AznE) U .•. ) :::: prAl nEl + P(A 2 nE) + y por tanto

prAl u··· lE)

P(AII E) + P(Az\ E) -jo .,.

Esto es. [Pi] satisface.

PROCESOS ESTOCASTlCOS FINITOS

4.18. Una caja contiene tres monedas; una moneda es una moneda tiene dos caras y una mo-neda está de modo que la probabilidad de obtener cara sea l. selecciona uria moneda al azar y se lanza. Hallar la probabilidad p de que salga cara

Construimos el diagrama de árbol como se muestra en la figura (a) siguiente. Ohsérvese que I se re fíe re a la moneda corriente, 1I a la de doble cara y 111 a la moneda cargada. Ahora las caras aparecen a lo largo de tres de las lrayecto· rias; por lo lanto

p ___ Ll+l'l+L!. 3 2,3 3 3

(a)

4.19. Se nos dan tres urnas como

Una urna A contiene 3 bolas Una urna B contiene 2 bolas Una urna e contiene 2 bolas

5 blancas. I blanca. 3 blancas.

11

(b)

Se selecciona una urna al azar y se saca una boja de la urna. S¡ la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?

Se con,truyc el diagrama de árbol como se muestra en la figura (b) anterior.

Buscamos la probabílidad de que sc seleccione A, dado que la bola es roja; esto es, P(A ¡ R). Con el fin de hallar P(A IR). es necesario calcular primero P(A n Rj y P(R).

La probabilidad de que se seleccione A y se saque una bola roja es t· esto es, peA n R) i. Puesto

que hay tres trayectorias que conducen a bola roja, P(R) j .. ~ + i' ~ + t·::::: Enlonces

CAP.4J PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 65

4.20.

4.21.

P(A IR) P(AnR)

P(R)

1

"8 In 300

45 173

Alternadamente, por el teo rema de Bayes,

P(A IR) P(A)P(RIA) P(A) P(R lA) + PiE) P(R I E) + P(C) P(R I C)

45 173

(" l, 1,~, r,~,), ~ ~) (I, l, l, lf, r) La caja A contiene nueve cartas numeradas de a 9, y la caja B contiene cinco cartas numeradas de I a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta. Si el número es par, hallar la probabili-dad de que la carta proceda de la caja A.

El diagrama de :írhol del proceso se muc,tra en la ligura (a) sig uiente.

Buscamos /'(A lE), probabilidad de que se seleccione A. dado que el número es par. La probabilidad de qut!

se escoja la caja A y un nlJlllero par es }, ~ = %; esto cs. P(A nE) =~. Puesto que hay dos trayectorias que con-1 4 I 2 19 duccn a u¡¡ número par, PiE) = '2 '9+:1' 5 =;¡s. Así

~. (r n ~) :::

4 I ¿ (a) - + - , - : I l) q 2 J' ~_

P(A lE) = t~ ( "/1') -

2

P(AnE) = D - 'PTE) ~'~~l

19 45

NI')

10 19

-{o R T~~R~ ~. ~~V

~ ~R ~W~.

r(fnA) W

. !.... 4' % (b) _ .J!!... -~: p (A ~) _. z:. CI - - rr I - I ~ ! r - 10; 'ey

- /4 í Una urn a contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se saca ~n~ bola de la urna y se remplaLa por una lid otro color. Se saca de la urna una segunda bola.

(i) I Tallar la probabilidad p de que la segunda bola sea roja .

(ii) Si amba~ bolas son del mismo color, ¿cuál es la probabilidad p de que las dos sea n blancas?

(i)

(ii)

Construimos el Jiagrama de árbol como Sé indica en la li gura (h) anterior. . 3 2 7 4 17

Do, trayeclOrias del diagrama de ,írbol conducen a bola rO}l: p = 10' \O + \O' \O = 50'

. . 7 6 2\ .. La probab illdau de que amh.ls bolas fueran blancas es 10'10 = so. La probabilidad dé que ambas bolas fue ·

¡an Jcl mi,mo color, eSlO cs, la probabilidad dd espacio muestral reducido, es 21 12 7

P = SO/25 = S' 2-/":; R.

~R~O JI'- f.', ~(o

~ 2 7 6 _ 12 P I lo ' lo + lo ' 10 - 25 ' or o

~ .- ' lO

17-'¿ , 14- -_ i o T te> /o ~ S-0

h~~~ob 4.22. Se nos dan dos u nas como sigue:

7(,- ~ ~ "40 r,

La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 blancas. La urna B contiene 2 bolas rojas y ~ blancas.

Se selecciona al alar una urna ; se saca una bola y se coloca en la otra urna; luego se saca una bola de la segunda urna. Hallar la probabilidad p de que las dos bolas sacadas sean del mismo color.

Con,tr u imos d sigu iente Jiagram3 de árbol:

66 PROI3AI:HUDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA [CAP 4

Nótese que si se selecciona la urna A y se saca una bola roja y se coloca en la urna B. entonces la urna n tiene J bo· las rOjas y S blancas.

Puesto qu e hay cuatro trayectorias que conducen a dos bolas del mismo color,

p/t./l 11 J} ~ )

INDEPENDENCIA

4.23. Sea A = al evento de que una familia tenga niños de ambos sexos; y sea B = al evento de que una familia tenga a lo sumo un niño. (i) Comprobar que A y B son eventos independientes si una familia tiene tres hijos. (ii) Comprobar que A y n son eventos dependientes si una familia tiene dos hijos.

(i) Tenemos el espacio equiprobable S = {bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, qUb, gUg}. Aquí

6 3 8 4

A {bbg. bgb, bUg, gbb. gbg. gUb} y así peA)

B {bUg, gbg, ggb.gUg} y así P(B) 4 1 8 2 3 8

AnB {bUU. ubu. uub} y así P(AnB)

Puesto que P(A) P(B) = !. t = i = P(A n E), A Y B son independientes.

(ii) Tenemos el espacio equiprobable S = I bh. bg. gb. gg l. Aquí

A {bU. Ub} y así peA) 1 2

B {bU, gb, gg} y así P(B) 3 4

AnB {bU, ub} y así P(AnB) 1 2

Puesto que P(A) P(B) "" P(A n B), A Y [) son dependientes.

4,24. Probar si A y n son eventos independientes, entonces AC y BC son eventos independientes.

p(AcnBc) P«A UB)c) = 1 - peA u B) = 1 - peA) - P(S) + peA nB)

1 - peA) - P(B) + peA) P(B) = [1 - P(A)][1 - P(B») = P(Ac) P(Bc)

4.25. La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es i. y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es +S. Hallar la probabilidad de que, (i) ambos estén vivos dentro de 10 años, (ii) al menos uno estará vivo a los 10 años, (iii) ninguno estará vivo a los 10 años, (iv) solamente la esposa estará viva a los 10 años.

Sea A = al evento de que el hombre viva a los 10 años, y B = al evento de que su esposa esté viva a los 10 años; entonces P(A) = t y P(B) = t. (i) l3uscamos P(A n B). Puesto que A y B so n independientes, P(A n B) = P(A) P(B) = i· +s = n'

CAP. 4J PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 67

(ii) Buscarnos UB). P(A UB) = P(A) + P(B) - nB) i + 1 i2 !. (id) Buscamos, P(Aen Ahora P(Ac) 1- = 1 i = ! y P(Bc) = 1 - P(B) = 1- t ¡. Además,

puesto que AC y Be son P(AcnBC) P(Aé) p(Be) !. i !. Alternadamente, puesto que

P(AcnBC) P«AUB)C) = 1- P(AUB) = 1 ! = t. (iv) Buscamos peA en B). Puesto que peA e) = 1 P(A) ! y AC B son independientes (ver problema 4.56),

p(Ae) P(B) =

4.26. La A contiene 8 artículos de los cuajes 3 son defectuosos, y la B contiene 5 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Se saca al azar un artículo de cada caja.

es la probabilidad p de que ambos sean~¡jefectuosos? (ií) es la probabilidad p de un artículo sea defectuoso y otro no?

(í)

(ii)

Si un artículo es defectuoso y otro no, ¿cuúl es la probabilidad p de que el artículo defectuoso proceda de la caja A?

La probabilidad escoger un artículo no defectuoso de A es ~ y de B es ~. Puesto que los eventos son d' 5 = lentes, P = ji •

MélOdo 1. La probabilidad de escoger dos artículos defectuosos es, %. ~ = ¡fu. De (i) la probabilidad de que arn-,3 3 3 19

bos sean no delectuosos es 8' Por lo tanlO P = 1 - ¡¡ - 20 ::::: 40'

Método Z. La probabilidad pide escoger un artículo defectuoso de A y uno no defectuoso de B es ~.~ La probabilidad pl de un artículo no defectuoso de A y uno defectuoso de B es ~. ~ :::;;~. Por lo tanto

!I 1 P == Pl + P2 ¡¡¡ + ¡

(iii) Consideremos los eventos X I artículos defectuosos de A 1 y Y I un artÍCulo es defectuoso y otro no 1. Bus-

camos P(X 1 Y). Por (íi), P(X n Y) Pi :k y P( Y) = Por consiguiente

p P(XI

4.27. Las probabilidades de que tres hombres peguen en el blanco son, l, i y t. Cada uno una vez al blanco. (i) Hallar la probabilidad p de que exactamente uno de ellos pegue en el blanco. (ii) Si solamente lino pega en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea el hombre?

Consideremos los eventos A = 1 el primer hombre ¡x:ga en el blanco 1, B = I el segundo hombre pega en el blanco I y e = I el tercer hombre pega en el blanco 1; entonces P(A)::: l, = i y P(C):::: t. Los tres eventos son y P(Ac) = t, P(BC) 1. peCe) = 1-(i) Sea E = i exactamente un hombre pega en el blanco 1. Entonces

(íi)

E nBcn u Bn u nBcn

En otras palabras, si solamente uno pegó en d blanco, cntonz:cs fue o únicamente el primer hombrt:, A n Bcn Ce; O (¡nicamenlt: el segundo hombre, AcnBnec; o únicamente el tcrcer hombre. AcnBcnC. Como los tres evenlOS son mutuamente exclusivos, obtenemos (usando el problema 4.62)

p ::: P(E) P(A nBcn nBn + nBcn e)

P(A) P(Bc) p(ec) + P(B) p(ec ) + P(BC) P(C)

132512531 -'-0- + 0-"-- + -0_0-643643643

1 5 6 12 + 36 + 24 ==

Buscarnos P(A I E). la probabilidad de que el hombre pegu.: en el blanco dado que solamente un hombre

pega en el blanco. Ahora A nE == A n Be n Ce es el evento que solamente el primer hombre pega en el

blanco. Por (¡j, P(A nE) P(A nBcn - i. Y P(E)

12 sea

P(A I 6 31

68 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDEN C IA [CAP 4

PRUEBAS INDEPENDIENTES

4.28. Cierto tipo de proyectil da en el blanco con probabilidad 0,3. ¿Cuántos proyectiles deberán ser disparados para que haya al menos un sorlo de probabilidad de pegar en el blanco?

La probabilidad de que un proyectil ralle su blanco es 0,7: po r lo tanto la probabilidad de que 1/ proyedi\c\ fa ll en el blanco es (0,7) JI Así buscam os el me nor n para el que

1- (0,7)" > 0 ,8 o equival entemente (0 ,7)"< 0,2

Calculamos: (0,7)1 = 0,7, (0,7)2 = 0,49, (0 ,7)3 = 0,343, (0,7)1 = 0.2401 , (0 ,7)5 = 0 , 16807 Así por lo menos:) proyect il es deben ser disparados.

4.29. Cierto equipo de balompié gana (W), con probabilidad 0,6 ; pierde (l), co n probabilidad 0,.1; y empata (T), con probabilidad 0,1. El equipo juega tres encuentros durante el fin de semana. (i) Determinar Jos elementos del evento A en que el equipo gana por lo menos dos y no pierde; y hallar P(A). (ii) Determinar lo s elementos del evento B en que el equipo gana, pierde y empata. y hallar P(B) .

(i) A consta de todas las ternas co n a l men os dos W (juegos ga nados) y nin gún L (Juego perdido). Así

Además P(A)

A = {WWW, WWT, WTW, TWW}

P(WWW) + P(WWT) + P(WTW) + P(TWW)

(0,6)(0,6)(0.6) + (0.6)(0,6)(0,1) + (0,6)(0, I )(0.6) -+ (0.1 )(0 ,6)(0 .6)

0,216 + 0,036 + 0,036 + 0.036 = 0.324

(ii) Aquí B = I WLT, WTL, LWT. L TW, TWL, TLW 1. Puesto que cada elemento de fJ tiene probabilidad (0.6)

(0 .3)(0,1) = 0 .018 P(fJ) = 6(0,018) -= 0,108.

4.30. Sea S un espacio finito de probabilidad y sea T el espacio de probabilidad de 11 pruebas independientes de S. Comprobar que T está bien definido ; esto es, mostrar, (i) la probabilidad de que cada elemento de T es no-negativo, y (ii) la suma de las probabilidades es J.

Si S = I al, ,a TI, entonces T puede representarse po r

Puesto que P(a ¡) ~ O. tenemos

P(a'i1

' .. a'in

) = 1'(ai\) '" ['(ai) ~ ° \ para un elemenlo típico ait' .. ai" de T, lo cual prueha (i).

Probamos (ii) por inducción en // . Esto es cie rto obviamente para 11 = l. Por lo tanlo consideremos 1/ > 1 Y aceptamos que (ii) ha sido prohado para // - l . Entonces

T T T T

~ P(a¡ "'a¡) ;1'" .in = 1 1 n

~ P(a. ) .. ·P(a. ) iJ., ... in = 1 tI ln

~ P(a¡ ) . . · 1'(al· ) }; P(U¡) 1\ , .. . . in _ \ =1 1 n - t i,,=1 n

T

~ P(U¡)·· ·P(ai ) ¡ l" ., in _ 1 = 1 1 ,,- 1

1

por la hipótesis inductiva, lo cual prueba (ii) para //.

CAP. 4] PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDJ:PENDENCIA 69


PIWBAI3II.1DAD CONDICIONAL

4.31. Se lanza un dado. Si el número es impar , ¿cuál es la probabilidad de que sea primo~

4.32. Se lanzan tres mon edas corrientes. Si aparecen dos caras y un sello, determinar la probabilidad de que aparezca una cara exactamente.

4.33. Se lanzJ un par de dados. Si los números que rl:sultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea par.

4.3.1. ¡\ una persona se le reparten 5 cartas rojas de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de qUe todas sean de la misma pinta, esto es, corazones o diamantes')

4.35. A una persona se le reparten 3 cartas, es padas, de una baraja corriente de 52 carlas. Si se le dan cuatro cartas más, lktcrminar la probabilidad de que por lo menos dos de las cartas adicionales sean también espadas.

4.36. Se escogen al azar dos dígitos diferentes entre los dígitos I a 9.

(i) Si la suma es impar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sea uno de los número, escogidos')

(ii) Si 2 es uno de los dígitos sdtccionados, ¿cuál es la prohabilidad de 4ue la .suma sea impar?

4.37. Cuatro personas, llamadas Nort~ , Sur, Este y Oeste, reciben cada una, B cartas de una baraja corriente de 52 cartas.

4.38.

¡)

(i) Si Sur tiene un as exactamente, ¿cuál es la probabilidad de que su compañero Norte tenga los otros tres ¡¡ses')

(ii) Si Norte y Sur juntos tienen 10 corazones, ¿cuál es la probabilidad de que Este u Oeste tengan los otros 3 corazones'?

Una clase tiene 10 nirios y 5 niñas. Se escogen tres estudiantes de la clase al azar, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que, (i) los dos primeros sean niños y la tercera niña, (ii) el primero)' el tercero sean niños y el segundo niña, (iii) el primero y el tercero sean del mismo sexo y el segundo del sexo opuesto.

~ . 3 . S :: ~" ( .. ) I~·.i · j _ !...,r ji ,) !2. ~ . j + r . .LO • j: - S /') Iq 13 'JI ) 14- 13 - '1 1 /) 14 11 1) J+ 13 - z.,

4.39. [n el problema anterior, si el primer y tercer estudiantes seleccionados son del mismo sexo y el segundo estudiante .:s del Sexo opuesto, ¿cuál es la probahilidad de que el segundo sea ni'la?

4.40. En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños . Sl: escoge una pers'lIla ~JI azar.

(i) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?

(ii) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños~

(iii) ¿Cuál es la pro habilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños~

4.41. Sean los eventos A y B con P(A) = ~, P(B)

(iv) P(A I HC)

t y P(A U H) l Hallar, (i) P(A lB) , (ii) P(B l A), (iii) P(A n Be),

4.42. Sea S = i a. b. c. d. ~J I con P(a) == To' P(b) = 1'6 ' P(c) = l, P(d) ~ 136' P(e) = t y PU) = -fs. Sea A = la. c. e 1,

B = l c.d.eJ: y e = Ib .c.fL Hallar , (i) P(AIB), (ii) P(BIC), (iii) P(CIAC) , (iv) P(ACIC) .

4.43. En cierta facultad, 25% de los jóvenes y 10% de las jóvenes son estudiantes de matemáticas. Las mujeres constituyen el 60% de los hombrc:s. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de matemáticas, determinar la probabilidad de que t:I c, tudiante sea una joven.

70 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA [CAP. 4

PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS

, 4.44. Se nos dan dos urnas como sigue:

'4.45.

4.46.

4.47.

4.48.

4.49.

Una urna A contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 8 azules.

La otra urna B contiene 3 bolas rojas y 5 blancas .

Se lanza un dado corriente; si apa rece el 3 o el 6, se escoge una bola de B: de lo contrario la bola se esco ge de A. Hallar la probabilidad de que, (i) se escoja una bola roja. (ji) se escoja un a bola bl anca, (iii) se escoja una bola azul.

Respecto al problema anterior. (i) Si se escoge una bola roj a, ~cuál es la probabilidad de que proceda de A? (ii) Si se escoge una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un 5 en el dado?

Una IIrn a contiene 5 bolas rojas y 3 bl ancas. Se selecciona \lna bola al azar, se descarta y se colocan dos bolas del otro color en la urna. Luego se saca de la urna una segunda bola . H311ar la probabilid3d de que, (i) la segunda bola sea roja, (ii) am bas bolas sean del mismo color.

~ cv~s\v (,~ ' -u

(o\. .~ Respecto al problema anteri or. (i) Si la segunda bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja? (ii) Si ambas son del mismo color. ¿cuál es 13 probabilidad de que ambas sea n blancas?

Una caja contiene tres monedas , dos de ellas corrient es y una de dos caras. Se selecciona al azar una moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces cara, ~cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras?

Se no , dan dos urnas como sigue:

Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 bl anca s.

La otra urna B contiene 1 hol a roj a y 2 hlancas.

Se lan za un dado corriente; si aparece un 3 o un 6, se saca una bola de B y se pone en A y luego se saca una bola de A,

de lo contrari o, se saca 'u na bola de A y se pone en lJ y luego se saca una bola de B.

(i) ¿Cuá l es la proba bilidad de que ambas bolas sean rojas?

(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas ,can hlancas?

I ,4.50. Una caja A contiene nueve cartas numeradas de I a 9, y otra caja B conti ene 5 cartas numeradas de l a 5. Se escoge una caj3 al aza r y se saca una carta; si la carta indica un número par , se saca otra carta de la misma caja; si la carla es de núm ero impar, se saca una ca rta de la otra caja,

(i) ¿Cuúl es.la probabilidad de que ambas cartas mueslren números paresry

(ii) Si ambas cart3s muestran números pares, ¡,cuá l es la probahilidad de que procedan de A?

(iii) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas tengan número s impares?

4.51. Una caja contiene una mOlleda corricnte y una de dos caras . Se escoge una moneda al azar y se lanza. Si aparece cara, se lanza la otra moneda ; si aparece sello, se lan za la misma moneda. .

(i) Hallar la probabilidad de que salga cara en el segundo bllzamiento .

(ii) Si resulta cara en el segundo lanzamiento, hallar la probabilidad de que también aparezca en el primero.

4.52. Una caja contiene tres mont:da9, dos corrientes y una de dos caras. Se sdecciona una moneda al azar y se lanza. Si sale cara se lanza la moneda de nuevo; si sa le sello, entonces se escoge otra moned a entre las do s que quedan y se lanza .

(i) H:¡llar la probabilidad de que salga cara dos veces.

(ii) Si se lan za la misma moneda dos veces, hallar la probabilidad de que sea la moneda de dos caras.

(iii) Hall ar la probabilidad de que salga sello dos veces.

4.53 , Una urna A con tiene x bolas rojas y y bolas blancas. y otra urna 8 contiene z bolas rojas y v blancas.

(i) Si se escoge una urna al azar y se saca una bola, ~cuál cs' b probabilidad de que la bola sea roja?

(ii) Si se saca una bola de la urna A y se pone en la B y luego se saca una bola de la urna B. ¿cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja?

CAP. 4] PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 71

4.54. Una caja contiene 5 tubos de radio de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban los tubos uno tras otro hasta que se descu-bren dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda t:I proceso en la, (i) segunda pruebary (ii) la tercera prueba? ;) z. • .!.. ~ ~ I . . ) N\) ' \) \) ~ lo , I Z "1 I +; . ! • S ' '\ ¡.o lo (( b 1'1 ~ • D. "5 . 4 . J T" 5" . ¡ . r 5"" 4

~ . I) . ,..;a

4.55. Respecto al problema anterior. Si el proceso se suspende en la tercera prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el primer tubo no sea defectuoso')

INDEPENDENCIA

4.56. Probar: Si A Y 8 son independientes, entonces A y 8 r son independientes y A e y 8 son independientes.

" 4.57. Sean lo s eventos A y 8 con prAl = l, P(A U 8) = t y P(B) = p. (i) Hallar p si A y B son mutuamente exclusivos. (ii) Hallar p si A y B son independientes. (iii) Hallar p si A es subconjunto de B.

4.58. Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 blancas, y una urna B contiene 2 rOjas y 6 blancas .

(i) Si se saca una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?

(ii) Si se sacan dos bolas de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que todas las cuatro bolas sean del mismo colo r?

4.59. Sea el caso de lanzar tres monedas corrientes. Sea A = I todas caras o todas sellos 1, B = I dos caras por lo menos 1 y e = I dos caras cuando más 1. De las parejas (A. B), (A. e) y (B, C), ¿cuáles son independientes y cuáles dependientes')

4.60. La probabilidad de que A dé en el blanco es i y la probabilidad de que B dé es t. (i) Si cada uno dispara dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que t:I blanco sea alcanzado u na vez por lo menos?

(ii) Si cada uno dispara una vez y el blanco es alcanzado solamente una vt:z, ¿cuál es la probabilidad de que A dé en el blanco1

(iii) Si A puede disparar solamente dos veces. ¿cuántas veces debe disparar B para que haya por lo menos un 90% de probabilidad de que el blanco sea alcanzadory

4.61. Sean los eVéntos indepcndiéntes A y B con prAl t y P(A U B) = i Hall a r, (i) P(B). (ii) P(A lE) , (iii) 1'(8 el A)

4.62. Supóngase que A, B, e son eventos independientes. Comprobar que cualquiera de las combinaciones

A e, B, C; A, B e, C; Ae, B e, C; ... ; A e, Be, Ce

son también independientes Además, comprobar que A y E U e son independientes; y así sucesivamente.

PRUEUAS INDEPENDIENTES

4.63. Un tirador pega (H), a su blanco con probabilidad 0,4; y ademús falla (tvI), con probabilidad 0,6. Di spara cuatro veces. (i) Determinar los elementos del evento A para que el hombre pegue al blanco dos veces exactamente; y hallar prAl.

(ii) Hallar la probabilidad de que el hombre pegue al blanco una vez por lo menos.

4.64. Un equipo gana (W), con probabilidad 0 ,5 ; pierde (L) con probabilidad 0,3; y empata (T) , con probabilidad 0,2 . El equipo juega dos veces. (i) Determinar el espacio muestral S y las probabilidades de los eventos element ales. (ii) Hallar la probabilidad de que el equipo gané una vez por lo menos.

4,65. Consideremos un es pacio de probabilidad infinito contable S = {al' a2' ... }. Sea

T = Sn = {(SI,82, ... , Sil) : Si E S}

y sea P(SI' 82, ... , Sil) = P(SI) P(sz) ... P(Sn)

Comprobar que T también es un espacio de probabilidad infinito contable (Esto generaliza la definición (página 58) de pruebas independientes para un espacio infinito contable.)

72 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA [CAP.

Respuestas a los problemas

4.31. % i:!

4.32. 1. • ~

4.33. -s

4.34. 2( '¿') 9 = ( 26) 230

~

4.35. C:9 ) 10(3;)

1--- - -(:9) (4;)

v 4.36. (i) i, (i i) -fr

(~~) 22 / 4.37. ( i)

(;~ ) - - (ii)

703

4.38. ( i) 10 9 5 15 15·14·13 9T

(i i) 10 5 9 15 15·14·13 = 9T

(i i i) 15 20 5 liT + 273 = 2i

11 91 o

4.39. 5 13 21

2(~~) 11

(;~ ) - 50

4.40. (i) ~,

4.41. (i) :t.

4.42. (i) ¡¡-,

4.43. .~

4.44. (i) ~

(i i) .~

(iii) t

4.45. (i) j,

4.46. C) 41 1 72'

4.47. C) 20 1 ;¡¡,

4.48. .2 a

Diagrama de árbol del problema 4.49

4.49. . 5 2 _ 61

(1) - 24'+ 27 - m' ( ") 3 + R _ 371 11 16 8\ - 1296

1

( ') 1 1 2 (¡'I') 12 5 4.50. 1 12 + 20 = 15' "2 - 8' (jii) i + i

15 I

4.51. (i) t, (ii)! I

(ii) i,

(ii) l,

(ii) -~,

("')3 11 32

(") 13 I! 3ií

("')3 I! 13

propuestos

(iii) ~

(iii) t, (iv) .~

(ii i) 5' (iv) 1

Diagrama de árbol del problema 4.50

• • t t

• • • t , • • • • • t

• • • • t

•

CAP, 41 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA 73

4,52, (i) 112 + 1

12 + * = ~, (jj) t, (iii) /2

t H

(

H<f=T

A ?! H

<:1 B T i T

t C_1_H

t H

{H~T •

B ~H t yA 1-T~C_l_:

C_1_H_l_H

Diagrama de árbol del problema 4,5 2 Diagrama de árbol del problema 4 ,54

( ') 1( x 1 z) (") XZ+X+I/Z 4,53, 1]' Z:¡:Y' - z+v ' 11 (X+II)(Z+V+O

4.54. (i) T'o, (ii) 130; debemos incluir el caso en que los tres tubos no ddectuosos aparecen primero, puesto que los últimos dos tubos tientn que ser los defectuo sos

4,55. i

4.57. (i) 1\' (ii) -¡ji (jji) t

( ') 7 (") 55 4.58. J 16' 11 784

4.59. Solamente A y B son independientes

4.60. (i)!, (ii) t, (iii) 5

4.61. (i) -k, (ji) t, (iii) i

4.63, (i) A = {HHMM, HMHM, HMMH, MHHM, MHMH, MMHH}, prAl = 0,3456

(ii) 1 - (0,6)4 = 0,8704

H4, (i) S = {WW, WL, WT, LW, LL, LT, TW, TL, TT} (ii) 0,75

t

• ~

• la , • • • ~

• • • • • • • • • • • • 1

Capítulo 5

Vari ables aleatorias

INTRODUCCION

Volvamos ahora sobre el concepto de función. Sean S y T conjuntos arbitrarios. Supóngase que a cada s E S se asigna un elemento único de T; la colección f de tales elementos se llama función (o aplicación) de S en T y se escribe I S ~ T. Escribimos 1(5) en lugar del elemento de T qu e f hace corresponder a s E S Y lo llamamos la imagen de s por f o valor de f en s. La imagen f(A) de un su bconjunto A de S y la imagen inversa f'-I(8) de un subconjunto 8 de Tsc definen por

I(A) = {f(s): S E A} y 1- 1 (B) = {s: [(s) E B}

En otras palabras, f(A) está formado por las imágenes de los puntos de A, y ¡-1(8) está formado por aquellos puntos cuyas imágenes pertenecen a 8. En particular, el conjunto 1(S) de todas las imágenes se llama el conjunto imagen (o : imagen o recorrido) de!

Supongamos ahora que S es el espacio muestral de algún experimento . Como anotamos previamente, los resultados del experimento, es decir ,. los puntos muestra les de S. no necesitan ser números. Sin embargo, frecuentemente deseamos asignar un número determinado a cada resultado; esto puede ser la suma de los puntos de un par de dados, el número de ases de una mano de "bridge" , o el tiempo (en horas) que gasta una lámpara en fundirse . Tal asignación se denomina variable aleatoria; más precisamente,

Definición: Una variable aleatoria X de un espacio muestra! S es una ,"unción de S en el conjunto R de los números reales tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un evento (o suceso) de S.

Hacemos énfasis en que si S es un espacio discreto en el cual cada subconjunto es un suceso, entonces cada función de valores reales de S es una variable aleatoria. Por otra parte, se puede comprobar que si S es no contable, entonces ciertas funciones de valores reales de S no son variables aleatorias.

Si X y Y son variables aleatorias del mismo espacio muestral S. entonces X + y. X + k. kX y XY (donde k es un número real) son funciones de S definidas por

(X + Y)(s) = X(s) + Y(s)

(X + k)(s) == X(s) + le

(lcX)(s) = kX(s)

(XY)(s) = X(s) Y(s)

para todo s E S. Se puede comprobar que estas variables también son aleatorias. (Esto es trivial en el caso de que cada subconjunto de S sea un suceso.)

Usamos la notación abreviada P(X = a) y Pea ~ X ~ b) para la prohabilidad de los succsos "X toma el valor a" y "X toma valores en el intervalo [a. b j ." Esto es,

y

P(X = a)

P(a ~ X -== b)

P({s E S: X(s) == a})

P({sES: a~X(s)~b})

Significados análogos se dan a P(X~ a), P(X == a, Y = b), P(a ~ X ~ b, e ~ Y ~ d), etc.

74

CAP. 5] VARIABLES ALEATORIAS 75

DISTRlBUCION y ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA FINITA

Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral S con el conjunto imagen finito; a saber, X(S) = IXI. X2. • X n 1. Convertimos X(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de Xi como P(X = Xi) que escribimos f(Xi)' Esta funciónfde X(S), o sea, definida como f(xI) =

P(X = Xi), se llama lafuncióII de distribución O probabilidad de X y se expresa generalmente en forma de tabla:

Xl X2 ., . X n

f(x l ) f(xz) ., . f(x n )

La distribución f satisface las condiciones n

y (ii) L ¡(XI) = 1 1=1

Ahora si X es una variable aleatoria con la distribución anterior, entonces la media o esperanza (o: \'G/or esperado) de X. denotada por E(X) o flx, o simplemente E o fl, se define como

E(X)

Esto es, E(X) es el promedio pOllderado de los valores posibles de X. cada valor ponderado por su probabilidad.

Ejemplo 5.1: Se lanza un par de dados corrientes . Obtenemos el espacio finito equiprobablc S que consta de las 36 parejas ordenadas dc números entre l y 6:

s = {(l, 1), (1,2), ... , (6, 6)}

Sea X qut: hace corresponder a cad a punto (a. b) de S el máximo de sus números, o sea, X(a. b) =

max(a . b). Entonces X es un a variable aleatoria cuyo conjunto imagen e~

X(S) = {l, 2, 3, 4, 5, 6}

Calculamos la distribución f de X:

f(l) P(X= 1) P({(1,l)}) - ..!.. 36

f(2) P(X=2) = P(c(2, 1), (2,2), (1, 2)}) ~ 36

f(3) P(X = 3) P({(3, 1), (3,2), (3,3), (2,3), (1, 3)}) ~ 36

f(4) P(X = 4) P( {(4, 1), (4,2), (4,3), (4,4), (3,4), (2,4), (1, 4)})

Similarmente,

1(5) = P(X = 5) = fe- y f(6)

Esta inrormaci ón s<.: pone en forma de tabla co mo sigue:

Xi 1 2 3 4

f(Xi) ..!.. 1- :; 7 36 36 36 36

Calculamos la media de X:

P(X = 6)

5 6

o 11

36 36

11 36

= .2 36

E(X) = ~ XI f(x¡) 1·10 + 2'f6 + 3'fs + 4'ii + 5'fs + 6'* .!!!1 = 447 36 '

Ahora st:a Y que hace corresponder a cada punto (a. b) de S la suma de sus números, o sea, Y(a. b) = a + b. Enton ces Y es también una variable aleatoria de S con conjunto imagen

Y(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

76 VARIABLES ALEATORIAS [CAP. 5

A continuación la distribución g de y.

Obtenemos, por ejemplo, para los que la suma de ,.,,,nnnA,,pn

del hecho de que, (1, 3), (2, 2) Y (3, 1) son aquellos puntos de S es 4; por tanto

17(4) P(Y 4) = P( {(l, 3), (2,2), (3, I)})

La media de Y se ca icu la como ,iglH':

E(Y) 2·l+3·~+··· 36 ~6

12' L = 7 36

Los siguientes (j¡agramas describen gráficamente las distribuciones anteriores:

o~ . __ ~ J J J 11lLLh 2 3 6 9 10 JI 12

Distribución de X Distribución de Y

Obsérvese que las líneas verticales dihujadas sobre los números del eje horizontal son proporcionales a sus probabilidades

Ejemplo 5.2: Una moneda cargada tal que P(Jl) .~ y P(T) ! se I,wza tres veces. Las probabilidades de

los puntos del espacio muestral S = f HHH. HHT, HTH, HTT. TlHI, TlH, TTH, TTT I son las siguientes:

P(HHH) i .~ . 11 8 P(THH) = a • i .¡¡. 1 ¡¡ 1 2'i 27

P(HHT) i . i 'a 4 P(THT) k -2 'i ~ 27 , ¡¡ , 27

P{HTH) ¡'k'n 4 P(TTH) !'k'¡ 2 2'i 27

P(HTT) ¡·t·! 2 P(TTT) l'!'! == 1-2'i 27

Sea X la variable que asigna a cada punto de S el mayor número de caras sucesivas que suceda. Así,

X(TTT) O

X(HTH)

X(HHT)

1, X(HTT)

2, X(THH)

3

1, X(THT}

2

1, X(TTH}

El conjunto imagen de X es X(S) = lo. 1, 2, 3 lo Calculamos la distribución f de X.

feO)

f(l)

f(2)

f(3)

P(TTT) :::: 1-27

P({HTH, HTT, THT, TTH})

= P{{HHT, THH}) :::: .!. +.!. ::::: JL 27 21 27

P(HHH)

1

10 27

CAP. 51 VARIABLES ALEATORIAS

Esta información se tabula en la siguiente forma:

La media de X se calcula como sigue:

E(X) 3' J!.. 27

= 1,85

77

Ejemplo 5.3: Se selecciona al azar una muestra de tres artículos de una caja que contiene 12 de los cuales 3 son defectuosos. Hallar el valor esperado E de los artículos defectuosos.

El espacio muestral S consta de las (1,2) maño 3. Notamos que hay: 3

220 muestras diferentes

(:) 84 muestras sir¡ art ¡cu los defectuosos;

3' (:) 108 muestras con I artículo defectuoso;

(23) . 9 27 muestras con 2 artículos defectuosos;

(3) _ I muestra con J artículos defectuosos 3 -

Así la probabilidad de coger 0, ,2 Y 3 artÍCulos defectuosos es y 1/220. Así el número esperado E de los artículos defectuosos e"

E o- + 1- + 2' + 3'

posibles de ta-

84/220. I Og /220,

0.75

No/a: Implícitamente obtuvimos el valor esperado de la variable aleatoria X que asigna a c<lrJi¡ muestra el número de artículos defectuosos que contiene.

En un juego que el juego es

dinero, el valor esperado E del juego se considera como el al jugador si E es positivo, y desfavorable si E es SiE

Se dice 0, el juego

es

Ejemplo 5.4: Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número primo gana dicho número de dólares. pero no

Nuestros

sale un número primo entonces pierde esa cantidad de dÓI¡¡re,. Los resultados poSibles Xi del Juego con sus respectivas j{x¡) son corno sigue:

Los números negativos -1, mero primo. El valor

E

5 -1 -4

4 --6 corresponden al hecho de que el Jugador del juego es

no sale un nú-

Por tanto, el juego es desfavorable para el jugador puesto que el valor esperado negatlvo.

teoremas en relación con la noción de valor para operaciones de vu-riables aleatorias son

Teorema 5.1: Sea X una variable aleatoria y k un número real. Entonces E(kX) y (jí) E(X + k} = ) k.

Teorema 5.2: Sean X y Y variables del mismo muestral S. Entonces E(){ + Y) ) + ).

V"' \


Un simple argumento de inducción conduce al

Corolario 5.3: . , X n variables aleatorias de S.

E(X¡ + ... + X n) E(X¡) + ... + E(X,,)

VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

La media de una variable aleatoria X mide, en cierto el valor "promedio" de X El conel de la varianza de mide el de X.

Sea X una

Entonces la varianza de denotada por var()\'). se define como

TI

var (X) L (Xi - p.)2 ¡(Xi) = E((X - p.)2) .=1

donde p. es la medía de X La estándar de X, denotada por ax , es la raíz cuadrada de var(X ):

El teorema siguiente nos da una alternativa y algunas veces una fórmula más útil para calcular la varianza de la variable aleatoria X.

" Teorema 5.4: var (X) = L X~ ¡(Xi) j= 1

Prueba. Usando 1, tenemos

10 cual el teorema.

j ¡(Xi)

X7 ¡(Xi)

5.5: Considérese la variable aleatoria X del 5.1 (que asigna el máximo de los números que se mues-tran en un par de dados). La distribución de X es

y su media es P-x 4,47. Calculamos la varianza y la desviación estándar de X Primero calculamos E(X'):

E(X2)

21,97

entonces

var (X) = E(X2) ~ 21,97 - 19,98 :::: 1,99 y 1,4

Ahora consideramos la variable aleatoria Y del ejemplo 5.1 (que asigna la suma de los números que se muestran en un par de dados). La distribución de Yes

'.

CAP, 51 VARIABLES ALEATORIAS 79

y su media es E(Y 1):

= 7, Calculamos la varianza y la desviación estándar de Y. Primero calculamos

22. 1- + 32. ~ + .. " + 122 • ..l = 36 36 86

54.8

entonces

var (Y) 54,8 - 49 5,8 y Uy = 2.4

algunas propiedades de la en el

Teorema 5.5: X una variable aleatoria y k un número real. Entonces (i) var(X + k) var(X), Y (ii) var(kX) k 2 var(X). Por lo tanto, O'X+k O'x Y (1IcX !k!uX'

Nota 1. Hay una interpretación física de la media y la varianza. Supóngase que para cada punto XI

sobre el eje X se coloca una unidad con masa f(x 1). Entonces la media es el centro de gravedad del sistema, y la varianza es el momento de inercia del sistema.

Nota 2. Muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribución; de aquí que hablemos fre-cuentemente de la media, la varianza y la de una distribución en lugar de la variable aleatoria fundamental.

Nota 3. Sea X una variable aleatoria con media Ji. y estándar (1 > O. La variable aleato-ria X* estandarizada que corresponde a X se define por

X*

Comprobamos que E(X*) = O Y var(X*) (problema

DISTRIBUCION CONJUNTA

Sean X y Y variables aleatorias de un espacio muestral S con los respectivos conjuntos imagen

X(S) y = {y!, Y2, ... , Ym}

Formamos el conjunto producto

en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de la pareja ordenada . Y¡) como P(X XI, y = y J) que escribimos h(x l. Yi). Esta función h de X(S) X Y(S) , esto es, definida por h(x¡. Yi)

P(X = XI. Y = YI), se llama distribución conjunta o función de probabilidad conjunta de X y Y Y se da en forma de tabla por lo general:

~ Yl Y2 ... Ym Suma

XI h(x¡.1/I) h(x¡. Y2) ... h(x¡,Ym) !(xl)

xz h(X2, h(X2,1/2) .. h(X2'Ym) !(X2)

.. . .. . .. . ... . .. ., .

x" h(xn• YI) h(x,l' Y2) " . h(xn .1Im ) f{xn}

Suma g(y¡) V(yz) ... g(Ym)


Las funciones g anteriores se definen por

y

o sea, columna

¡) es la suma de los elementos de la fila y ) es la suma de los elementos de la son llamadas distribuciones marginales y son, de hecho, las distribuciones (individua-

les) de /t· y Y (problema 5. I La distribución conjunta /¡ satisface las condiciones

y (ii) h(Xi, y¡) 1

Ahora si X y Y son variables aleatorias con la distribución conjunta anterior (y las lvas medias ¡;'x y jJ.y), entonces la covarianza de X y Y denotada por cov(X, Y), se define por

cov (X, Y)

o (ver problema 5.18) por

cov (X, Y)

La correlación de X y y, denotada por p (X, Y), se define por

p(X, Y)

La correlación p no es dimensionada y tiene las siguientes

(i) p(X, Y) p(Y, X)

(ií) -1 ~ p ~ 1

(iii) p(X, X) = 1, p(X,

(iv) p(aX + b, cY + d)

E(XY) - ¡;'x¡;'y

p(X, Y), si a, e =F O

Más adelante (ejemplo 5 mostrarnos parejas de variables aleatorias con duales) idénticas pueden tener covarianzas y diferentes. Así cov(X. medidas de la manera corno /Y y Y están

(índivi, Y) son

5.6: Se lanza un par de dados corrientes. Obtenemos el espacio parejas ordenadas de números entre 1 y 6:

finito S que está formado por 36

S {(1, 1), (1,2), ... , (6,6)}

Sean X Y V las variables aleatorias de S en el 5.1, o sea, X designa el múximo número y Y la su-ma de los números de cada punto de S. La distribución conjunta de X y }' es la siguiente:

y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Suma

X

1 1 O O O O O O O O O O 1 36 36

O 2 1 O O O O O O O O 3 2 36 36 36

3 O O 2 2 ! O O O O O O ~ 36 36 36 36

O O ~ 2 2 1 O O O O 7

4 O 38 3ii ¡¡¡¡ ¡¡¡¡ 3iI

6 O O O O 2 2 2 2 1 O O 36 36 36 36 3iI

2 2 2 1 11 6 36 3ii 36 3iI 36

Suma " J!. 2 1 3ii 36 36 36

CAP. 5] VARIAIJU:S ALEA fORIAS 81

elemento anterior }¡íJ, 5) fa viene del hecho de ljue (\ 2) Y 3) son los nleos puntos de S cuyo número máximo es J y CUyJ suma e, 5; pOI tanto,

5) == P(X = 3, Y 5) P( {(3,

Los otros elementos "e obtienen de manera similar.

Calculemos la covarianlJ y la correlación de .r y y Primero calcukmo.' E(.\ y):

2- 3-~

34,2

+ 6 -12'

Por el 5,1, ¡;'X = 4,47 Y ¡J.y 7 Y por el ejemplo 5,5, CJx 1,4 y Uy 2,4; de al~llí

J4,2 - (4,47)(7) =

y

Ejemplo 5.7: Sean X y Y, Y X' Y }" variables alealOflJS con las dí,tflbuCl<lf1'" conjuntas ,igulcntes

~ 4 I 10 Suma ''>Z 4 10 Sllma

1 t 1 1 ,¡; 1 O J ~ :.;

3 ± t ~ 3 n O i Suma ! ~. \ Suma ,~ &

Obsérvese que .\ y ,Y'. Y Y Y Y' lIcnen distribuciones idénticas:

Distribución de X y X'

Comprobamos que cov(.\;', r)~cov{\' }/') cie aquí , Y) ~ p(X', Y'). Primero CJklll:Jllhl'

EL\: n y E(X' n

E(X'Y')

1-4-1 1-10-! + 3-4-{ + 8-1O-!

1 - 4 - O + l· 10 - ~ 3 • 4 • n + 3 - 10 - O

Como Ilx:::: !lx' == 2 y f'Y Ji," 7,

COy (X, == E(XY) - J.lX!'Y o y CUI' (X', Y ' )

14

11

"Iota: La noción de Ulla distribución conjunta h se éx!ie!llk él un nÚlllero finito de varIables JIt:~ltorja~ X. Y. , Z de manera c"lo es, h t:S lJIL.l íuncítlll dd conjunto .' .,/. defínida por

h(Xi, Y1> ... , Xi, Y - Yj, , .. , Z

VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

dice que un número finito de variables aleatorias X. y, independientes si

Xi, Y :::: y j, .•• , Z P(Y =--:

. Z de un

... P(Z

82 VARIABLES ALEATORIAS [CAP, 5

para valores Xi, Xl, x y y son independientes si

P(X

Ahora si X y Y tienen las distribucionesfy g, respectivamente, y la distribución conjunta h, entonces la ecuación anterior se puede escribir como

h(x¡, YJ) ¡(XI) g(y¡)

En otras palabras, X y Y son independientes si cada elemento h(x¡, Yi) es el producto de sus elementos marginales.

Ejemplo 5.8: Sean X y Y variables aleatorias con la distribución conjunta siguiente:

~ 2 3 4 Suma

1 0,06 0,15 0,09 0,30

2 0,14 0,35 0,21 0,70

Suma 0,20 0,50 0,30

Así, las distribuciones de X y Y son como sigue:

Distribución de X Distribución dc Y

X Y Y son variables aleatorias independientes puesto que cada elemento de la distribución conjunta pue-de oblenerse multiplícando sus elementos esto es,

P(X = Xi' Y = YJ)

para cada i y cada j.

Establezcamos algunas propiedades importantes de variables aleatorias que no se cumplen en general, a

Teorema 5.6: Sean X y Y variables aleatorias independientes. Entonces:

(i) Y)=E(X)E(Y),

(ii) var (X Y) var (X) + var (Y),

(iii) cov(X, Y) = O.

La parte (ii) del teorema anterior al muy importante

Teorema 5.7: Sean XI, '. X" variables aleatorias independientes. Entonces

var (Xl + ... + X .. ) var (Xl) + '" + var (X .. )

FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sean X Y Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S. Entonces se dice que Y es una función de X si Y puede por alguna función <1> de valor real de una variable real Y ); esto es, si Y(s) <1>[ X(s) J para todo s E Por ejemplo, kX. X·, X k Y (X + k)2 son todas funciones de X con <r>(x) kx, x 2 , X k Y (x + k)2 respectivamente. Tenemos el teorema fundamental

CAP, 5] VARIABLES ALEATORIAS

Teorema 5.8: Sean X y Y variables aleatorias de u,n mismo espacio muestral S con Y tances

E(Y) :=

donde f es la función de distribución de X.

83

 (X). En-

se dice que una variable aleatoria Z es una (X, Y) donde es una función de valor real de

de X Y Y si Z se puede represen-tar por Z variables esto es, si

Z(s) [X(s), Y(s)]

para todo s E S. al teorema anterior, tenemos

Teorema 5.9: Sean X. Y y Z variables aleatorias del mismo espacio muestral S con Z Entonces

E(Z)

donde h es la distribución conjunta de X y Y.

(X. Y),

Hacemos notar que los dos teoremas anteriores se usaron implícitamente en la discusión y teore-mas También hacemos notar que la prueba del teorema 5.9 se da como un problema pro-

y que el teorema se para una funcíón de n aleatorias en forma obvia.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EN GENERAL

Ahora su o sea, X(S)

que X es una variable aleatoria de S con un conjunto infinito contable; ¡ Xl, X2, .. l. Tales variables aleatorias junto con aquellas de conjuntos imagen finitos

atrás) son llamadas variables aleatorias discretas. Como en el caso finito, construimos X(S) en un de probabilidad definiendo la probabilidad de XI como f(xl) = P(X Xi) Y llamamos(la distribución de x:

El valor ) y la varianza var(X) se definen por

E(X)

var (X)

cuando las convergen absolutamente. Se puede demostrar que var{X) existe sí y sólo si ¡¡. = E()() Y E(X 2) existen ambos y que en este caso la fórmula

var E(X2) 11.2

es válida justamente como en el caso finito. Cuando var(X) existe, la desviación estándar O'x se define como en el caso finito por

Las nociones de distribución conjunta, variables aleatorias independientes y funciones de variables aleatorias se extienden directamente al caso general. Se demostrar que si X y Y están definidas en el mismo espacio muestral S y si var(X) y var(Y) existen, entonces las series

84 YARIAIlLlS ¡\Lh\fORIAS [CAP . 5

cov (X, Y)

convergen absolutamente y la relación

cov (X, Y) E(XY) - IAxlAy

se cu mpl e Justamente como en e l caso finito.

Nota: Para evadir tecnicismos establece remos muchos teoremas en este capítulo únicamente para variables aleatorias finita s.

VAfHABLES ALEATORIAS CONTINUAS

a b

Supóll~asc que ,\ ' es ulla variable aleatoria '~ L1) O conjunto im agcn X(S) es un conjunto continuo de nLIJll eros tal es como un intervalo. Recalcall1()~ de la definición d:: variables aleatorias que el conjunto I a ~ ,X ~ h I es un suceso de S y. por consi~ujente. la probabilidad l'(a ~ X ~ 17) eq~'¡ bien definida. SlIponemos que existe ulla función continua espsci al I H ~ R tal que P(u ~ .\;' ~ h) e\ Igual al áll:a bajo la curva de ¡ entre x = a y x """ /) (como se mueslra a la der i :c11a). En el len gu aj e del cúlculo, P(a ~ X ~ b) = área de la parle sombreada

P(a .¿X .¿b) i b

f(x) dx

[ n eqe caso se dicc ljUC )( es ulla \'I7riahlc a/catoria contillua. La función f se llama función de distribu

ciól/ o de probahilidad col/tinlla (o ¡i/llcl()1I de dCl/sidad) de X; qu e satisface la s condiciones

(i) f(x):::O O y (íi) i f(x) dx == 1

Esto es.fes no negativa y el área total baJO su curva es \.

El v¡¡lor espCl'lIdu f:(X) ~e Ll efi ne por

E(X) J~ x f(x) dx

cuando existe. LI S funciones de variabl es aleatorias se definen ju stamente como en el caso discreto; y puede demostrarse que si }' = (X). entollce~;

E(Y) ( w(x) f(x) dx J R

cuando el miembro de la derecha existe. La varia/lza var(X) se delinc por

var (X) i (x - fL)2 f(x) dx

cuando existe. Justamente como cn el ca~o Lliscrcto, se puede demostrar que var(X) existe si y só lo si lA ~ E(X) y L(X 2) existen y, por tanto,

var (.Al

CAP. 51 VARIABLES ALEATORIAS 85

La desviación estándar (Jx se define por (Jx cuundo val' existe.

Ya habíamos hecho hincapié en que estableceríamos muchos resultados para variables aleatorias y los daríamos por supuestos en el caso general discreto yen el caso continuo.

Ejemplo 5.9: Sea X una variable aleatoria continua con la distribución siguiente:

si O ~ 2

en otra parte

Entonces

P( IX"" 1,5) = área de la región

sombreada del diagrama

Gráfico de f

Calculamos luego valor la varianza y la de,vlacíón estándar de x.

E(X) Jx dx f2 dx =: 4 6 3

R. O

E(X2) j~ X2 f(x) e/x foZ dx 2

- p.2 2 16 2 ~ 1

var 9 y Ux 3

Un número finito de variables aleatorias continuas, a saber X, y, , Z, se dice qut:: son inde-pendientes si para unos intervalos la, a']' lb, b']" le, e']'

P(a a', b === Y , "., e Z x y .. , P( e Z =:: e')

Obsérvese que los inlervalos desem discrdo.

el mismo en el caso continuo que los en el caso

FUNClON DE DISTRI ACUMULATIVA

Sea X una aleatoria (discreta o continua). La de aculilula/iva F de X es la función F. R -¡, R definida por

F(a) a)

Si X es una variable aleatoria discreta de distribución f. entonces F la "función escalonada" defini-da por

F(x) f(Xi)

Por otra parle, si X es una variable aleatoria continua de distribución f. entonces

F(x) = f(t)

En ambos casos, F es monótona esto es

F(a) =::: F(b) siempre que a === b

y el límite de F a la es O Y a la derecha es 1:

lim o y lim F(x) 1 x"',,

86 VARIABLES ALEATORIAS

Ejemplo 5.10: Sea X uná variable aleatoria discreta con la distribución siguiente:

XI -2 1 2 4

¡(x,) i ! t ! El gráfico de la función de distribución acumulativa F de X es

-3 -2 -1 o 2 3 4

Gráfico de F

Obsérvese que F es una "función escalonada" con un escalón en xI de altura ¡(XI).

Ejemplo 5.11: Sea X una variable aleatoria continua con la distribución siguiente:

¡(x) = . {!X si O ~ x :::: 2

O en cualquier otra parte

-1 o 2

Gráfico de fe/')

La función de distribución acumulativa F y su gráfico se muestran así:

{;., si x<O

F(x) si 0::::x::::2

si x> 2 -1 o 2

Aqu[ nos valemos del hecho que para O ~ x:::: 2, Gráfico de F

F(x) = .f" ttdt i x2

O

DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF. LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

[CAP. 5

3

S

La idea intuitiva de prcibabilidad es la tan nombrada "ley de los promedios", esto es, si un evento A sucede con probabilidad p. entonces el "número promedio de sucesos de A" se acerca a p tanto como el número de pruebas independientes aumenta. Este concepto se precisa con la ley de los grandes números que se establece luego. La prueba de este teorema se vale de la bien conocida desigualdad siguiente de Tchebycheff:

Teorema 5.10: (Desigualdad de Tchebycheff): Sea X una variable aleatoria con promedio p. y desviación estándar CT. Entonces para cada I! > O,

P(IX - p.1 ~ t) ~ ;

Prueba. Empezamos con la definición de varianza:

~ = var (X)

CAP, 51 VARIABLES ALEATORIAS 87

En las series anteriores suprimimos todos los términos para los cuales Ix, ~ ¡tI < f. Esto no aumen-ta el valor de las puesto que todos sus son no esto es,

donde el asterisco indica que la sumatoria se extiende solamente sobre aquellos i para los cuales IXi ¡.tI ~ L Así, esta nueva sumatoria no aumenta en valor si remplazamos cada Ix! - ¡tI por ( ; esto es,

a la probabilidad que IX ¡.tI t; por tanto,

~ f2P(IX - ¡.tI ~ l)

Dividiendo por ~ conseguimos la desigualdad

Teorema 5.J J: (Ley de grandes números): XI, ., una sucesión de varíables aleatorias inde-pendientes con la misma distribución con promedio ¡.t y u 1

• Sea

= (Xl + + . , . + X,,)/n

(llamada la muestra media). Entonces para un ( > O

lim P(ISn - ¡.tI ~ f) n-oo

Prueba, Nótese primero que

E(Sn)

Puesto que XI,. , X n son

var (Xl + ... + X>l)

Por consiguiente por el teorema 5,5(ií),

var == var

Así, por la desigualdad de Tchebycheff,

El teorema resulta del hecho de que el

Las notas siguientes son en su orden:

O o equivalentemente n"'''

n n

del teorema 5.7 se deduce que

var (Xl) + ... + var (XIt)

1 var (Xl + . , . + X n )

P(ISn

¡t

a la derecha es O cuando n -1> ao.

¡;.I < f)

=

1

n

Nota 1, Probamos la desigualdad de Tchebycheff solamente para el caso discreto. El caso continuo se una prueba análoga en que se usan en de sumatorias.

Nota 2. Probamos la ley de los números grandes solamente para el caso en que la varianza de XI, esto es, no diverge. Observamos que el teorema es verdadero siempre que E(X ,) existe.

Nota 3. La ley de los grandes números anteriores llamada también la ley débil de los grandes números a causa de un teorema similar, pero más firme, llamado la ley fuerte los grandes números.

88 VARIABLES ALEATORIAS [CAP, 5

Problemas resueltos

VARIABLES ALEATORIAS Y V ALaR ESPERADO

5.1. Hallar el valor p., la varianza a2 y la estándar O' de cada una de las siguien-tes distribuciones:

(i)

(i) /l:::: x¡/(x¡) 2' k + 3· t + 11· i 4

~ x; f(xJ :::: 22 • i + 32 • t + 112 • i 26

0'2 :::: .l: x; !(XI) - p.2 26 - 16 ;:::: 10

(1 ;:::: v'1o ;:::: 3.2

/1 .l: xl!(XI) -5 • t - 4' k + 1· t + 2 '1 -1

x; ¡(xI) :::: 25' i + 16'1 + l' t + 4 'i 9,25

(12:::: !(XI) - /12 == 9,25 - 1 :::: 8,25

(1 - ...[8I5 :::: 2,9

Ji. .l: x¡/(x¡) 1(0,4) + 3(0,1) + 4(0,2) + 5(0,3) 3

.l: ¡(x¡) :::: 1(0.4)+9(0,1)+1 +25(0,3) 12

a2. .l: x; !(XI) - /12 ;:::; 12 - 9 :::: 3

(1 :::: va 1.7

5.2. lanza un dado corriente, X como el doble del número que aparezca, y denotemos V como 1 Ó 3 que el número sea impar o par. Hallar la distribución, el valor esperado, la varianza y la desviación estándar (i) X, (ii) Y, (iii) X y, (iv) XY.

El muestral es S = 1 1,2,3,4,5,61, Y cada número aparece con probabilidad t· (i) X(I) = 2, X(2) 4, X(3) 6, X(4) 8, }1'(5) 10, ,\'(6) 12. Así X(S) ( 2,4,6,8, 10, 121 Y cada número

tiene probabilidad i. Así, la distribución de X es como

Por consiguiente,

J1.x E(X) = :;z, x¡ ¡(xi)

== 2 '1r + 4' i + 6' i + 8 '1 + 10' i + 12' t == 1f 7

:::: ~ x~ ¡(Xl)

::;;; 4' i + 16'! + 36' i + 64' t + 100· i + 144' i

var (X) :::: E(X2) pi = 3,4

60,7 - (7)2 ::: 11,7

864 == 6 60,7

CAP. 5] VARIABLES ALEATORIAS 89

(ii) Y(l) == 1, Y(2) == 3, Y(3) = 1, Y(4) = 3, Y(5) = 1, Y(6) == 3. O sea: Y(S) == {1,3} y

U(l) == P(Y==l) == P({1,3,5}) == ~ == 4 y g(3) == P(Y = 3) == P({2, 4, 6}) == ~ 1 2'

De esta forma la di st ribución de Y es como sigue:

Vi 1 3

g(YJ) ! ! En consecuencia,

I'y == E(Y) = ~ YJ g(YJ) == 1'! + 3'! 2 /

E(y2) == ~ V~ g(Vj) == 1'! + 9'! 5

2 var (Y) E(Y2) _ ,.,. 2 == 5 (2)2 1 ay y

ay Vi 1

(iii) Usando (X + v)(s) = X(s) + Y(s) , obtenemos

(X + Y)(l) == 2 + 1 == 3

(X + Y)(2) == 4 + 3 = 7

(X + Y)(3) = 6 + 1 == 7

(X + Y)(4) = 8 + 3 = 11

(X + Y)(5) 10 + 1 == 11

(X + Y)(6) == 12 + 3 == 15

Por consiguiente, el conjunto imagen es (X + Y)(S) = 13, 7, 11 , 151 Y 3 Y 1 S suceden con probabilidad k, y

7 Y 11 con probabilidad ~ . Esto es, la dist ribu ción de X + Y es como sigue:

Z¡ 3 7 11 15

p(z¡) ! 2 2 1 6 6 6 6

Así,

E(X + Y) - 3'! + 7' ~ + 11, ~ + 15'! == ~ == 9 - 6 6 6 6 6

E«X + y)2) == 9'! + 49' ~ + 121' ~ + 225'! = 6H == 95,7 6 6 6 6 6

var (X + Y) == E«X + y)2) _,.,.2 == 95,7 - 92 == 14,7

Ux + y = ."jT4j = 3,8

Nót ese que, E(X) + E( Y) = 7 + 2 12,7 #- var (X + Y).

9 E(X -+- Y), pero va r (X) + var (Y)

(iv) Usa ndo (XY)(s) == X(s) Y(s), obtenemos

11 ,7 + 1

(XY)(l) = 2, 1

(XY)(2) = 4' 3

2

12

(XY)(3) 6 '1 == 6

(XY)(4) = 8, 3 == 24

(XY)(5) == 10, 1 == 10

(XY)(6) = 12' 3 == 36

Por tanto, la distribución de X Y es como sigue:

W¡ 2 6 10 12 24 36

p(w¡) i t i t t t Así,

E«XY)2) 4 'i + 36' t + 100' i + 144'! + 576, t + 1296'!

21~6 == 3593 6 '

var (XY) = E«XY)2) - 1'2 359,3 - 152 134,3

voo == 11 ,6


5.3. Una moneda cargada para que P(H) = i y P(T) = i se lanza tres veces. Sea X la variable aleatoria que denota la mayor hilera de caras (sucesivas) que aparezca. Hallar la distr.íbución, la esperanza, la varianza y la desviación estándar de X.

La variable aleatoria X se define en el espacio muestral

s = {HHH, HHT. THH,

Los puntos de S tienen las probabilidades respectivas siguientes:

.11 • II • lt 4.t 4-

P(HHT) l'~-l

1'!'! _ ..

P(HTT) .~' i' i Puesto que X denota la mayor hilera de caras,

X(TTT) O; X(HTT) 1,

X(HHT) :::: 2,

P(THH)

P(THT)

P(TTT)

1,

:= 2;

Así, el conjunto imagen de X es X(5) = lo, 1, 2, 3 1. La probabilidad do las de los puntos de S cuya imagen es x ¡:

P(TTT) == 1(0)

1(1) P(HTT) + P(HTH) +

{(2) P(HHT) + P(THH)

¡(3) P(HHH)

Por consiguiente, la distribución de X es como sigue:

Así,

p. E(X) O' + 1 • + 2-

:::: O- + 1- + 4- + 9'

(12 var (X) E(X2) - p.2 5,2

(f :::: 0,9

+ 3'

- (2, 1)2

+

t'i'! t'J'!

- i'i-! .- t-!'!

1, 1;

3

de cada número XI de X(S) se obtiene suman·

2,1

0,8

J R U4

5.4. Se lanza una moneda corriente hasta que resulte una cara o cinco sellos. Hallar el valor esperado E de los de la moneda.

Si sale cara en la primera vcz sucede un lanzamiento solamente, esto cs. el suceso H. Si el primero es sello y el se· gundo cara suceden dos lanzamientos, esto es el evento TH. Si los dos primeros son sellos y el tercero cara, suceden tres lanzamientos esto es el suceso TTI-l, Si resulta TTTH suceden cuatro lanzamientos y si resultan TTTTH o TTTTT suceden cinco lanzamientos. Entonces

=- P(H) ! ' ¡(2) P(TH) t 1(3) = P(TTH) -Ir

1(4) P(TTTH)

{(5) P(TTTTH) + +

Por tanto, + 5- 1,9.

CAP. 51 VARIABLES ALEATORIAS

5.5. Se dibujan dos círculos concéntricos de radios I y 3 pulgadas dentro de un blanco circular de 5 pulgadas de radio. Un hombre recibe 10, 5 Ó 3 puntos según pegue en el blanco dentro del círculo menor, en el anillo intermedio o en el anillo exterior respectivamente. Supongamos que el hombre da en el blanco con probabilidad t y, por tanto, es lo mismo de posible que pegue en un punto del blanco como en otro. Hallar el valor esperado E de los puntos que marca cada vez que dispara.

La probabilidad de mardr 10,5,3 ó ° puntos es:

1 área de 10 puntos !. , '/1"(1)2 1 = 1(10) 2 área blanco 2 . lT(5)2 50

1(5) !. . área de 5 puntos ! , 7T(3)2 - '/1"(1)2 2 área blanco 2 '/1"(5)2

1(3) 1 área de 3 pu n tos ! , lT(5)2 - '/1"(3)2 - . 2 área blanco 2 lT( 5)2

1(0) 1 2

Así, E = 10' -lo + 5· k + 3' !t + o' i = ~ = 1,96.

91

8 50

16 50

5.6. Un jugador lanza dos monedas corrientes. Gana $\ ó $2 según que aparezcan I ó 2 caras. Por otra parte, pierde $5 si no aparece cara. Determinar el valor esperado E del juego y si éste es favorable al jugador.

La probabilidad de que 2 caras sucedan es 1; de 2 sellos es 1 y de I cara es t . Así la probabilidad de ganar $2

es l, de ganar $1 es !' y de perder $5 es l. Por tanto E = 2 '1 + l' t - 5' 1 = -i = -0,25. Esto es, el va·

lor esperado del juego es menos 254, y en esta forma es desfavorable al jugador.

5.7. Un jugador lanza dos monedas corrientes . Gana $5 si aparecen 2 caras, $2 si aparece I cara y $\ si ninguna cara aparece. (i) Hallar la ganancia esperada. (ii) ¿Cuánto debe pagar para jugar si el juego es legal?

(i) La probabilidad de ganar $5 es l, de ganar $2 es t y de ganar $1 es 1; por tanto E = 5 '1 + 2' t + 1 '1 = 2,50. esto es, la ganancia esperada es $2,50.

(ii) Si paga $2,50 para jugar, entonces el juego es legal.

DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

5.8. Supóngase que X y Y tienen la siguiente distribución conjunta:

~ -3 2 4

1 0,1 0,2 0,2

3 0,3 0,1 O,J

Suma 0,4 0,3 0,3

(i) Hallar la distribución de X y de Y.

(ii) Hallar la cov (X, Y), esto es, la covarianza de X y de Y.

(iii) Hallar p(X, Y), esto es, la correlación de X y de Y.

(iv) ¿X y Y son variables aleatorias independientes?

4· PROBABILIDAD

Suma

0,5

0,5

92 VARIABLES ALEATORIAS [CAP. S

(i) La distribución marginal de la derecha es la distribución de X y la distribución marginal del fondo es la distribución de r. A saber,


(ii) Primero calculamos P.x y p.y:

(1)(0,5) (3)(0,5) = 2

ILy

~ x¡!(x¡)

~ Y¡ U(¡/j) (--3)(0,4) + (2)(0,3) -+ (4)(0,3) 0,6

Luego clJmputamos F(X }/}:

E(XY) X¡Yj h(xh Y¡)

(1)( -3)(0,\) + (\ X2)(O,2) + (1 )(4)(0,2) + (3)(-3)(0,3) + (3)(2)(0, 1) (3)(4)(0,\) O

Entonces coy (X, Y) = E(XY) - p.x!ly 0-- (2)(0,6) 1,2

(iii) Primero calculamos ax ay:

E(X2)

y

ay

Entonces

var (X)

Vi 1

~ Y~ U(Yj)

var (Y)

:::: 3.0

p(X, Y)

(l)(0,5) + (9)(0.5) = 5

5 (2)2 1

(9)(0,4) (4)(0,3) + (16)(0,3) 9,6

,,; = 9,6 (0,6)2 = 9,24

-0,4

(iv) X Y Y no son independientes, puesto que P(X = 1, Y -3) ~ P(X 1) PO'- --3), esto es. el elemento h(I.--3) 0,1 no es igual a f(l) (0,5)(0,4) 0,2, el producto de sus elementos marginales.

5,9. X Y Y variables aleatorias independientes con las distribuciones siguientes:

Distribución de X Distrí buci ón de V

Hallar la conjunta h de X y Y.

Puesto que )t y Y son independientes, la distribución h se puede obtener de las distribuciones marginales f y g. Primero constrúyase la tabla de la distribución conjunta con las distribuciones marginales solamente como se indica en la tabla de la iz.quierda, y luego los elementos marginales para obtener los otros elementos, esto es, colóquese h(x¡.1JJ) !(xl) U(Yj), como se muestra a la derecha.

~ 5 10 15 Suma ~ 5 10 16 Suma

1 0,6 1 0,12 0,30 0,18 0,6

2 0,4 2 0,08 0,20 0,12 0,4

Suma 0,2 0,5 0,3 Suma 0,2 0,5 0,3

CAP. 5] VARIADLES ALEATORIAS 93

5.10. Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X que denota O.Ó I según que aparezca una cara o un sello en el primer lanzamiento, y sea Y que denota el número de caras que resulten. Determínese, (i) la distribución de X y de Y. (ii) la distribución conjunta h de X y Y, (iii) cov (X, Y) .

(i) El espacio muestral S consta de los ocho puntos siguientes, cada uno con probabilidad 1:

Tenemos

y

s = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

X(HHH) = O, X(HHT) = O, X(HTH) = 0, X(HTT) = O

X(THH) = 1, X(THT) = 1, X(TTH) = 1, X(TTT) = 1

Y(HHH) = 3

Y(HHT) = 2, Y(HTH) = 2, Y(THH) = 2

Y(HTT) = 1, Y(THT) = 1, Y(TTH) = 1

Y(TTT) = O

.. Así las distribuciones de X y de Y son como sigue:

XI ° 1 YJ O 1 2 3

{(XI) t t g(YJ) i 1 i 1


(ii) La distribución h de X y Yes:

x O 1 2 3 Suma

O ° 1 # * t

1 * # i O t

Suma 1 i i 1

Obtenemos, por ejemplo, el elemento ;'(0,2) = P(X = 0, y = 2) = P( 1 HTH, HHT:) = #.

(i ii) J.Lx ~ XI {(XI) O·t + l'! = ! J.Ly ~ YJ g(YJ) O·! + 1'1 + 2'1 + 3'* = ~

E(XY) ~ xlYJ h(XI I VJ) 1'1'# + 1·2·! + términos con factor O

COY (X, Y) E(XY) - J.LxJ.LY = t - ~. ~ = -1

5.11. Sea X una variable aleatoria con la distribución siguiente y sea Y = X 2:

XI -2 -1 1 2

{(XI) 1 ! ! !

t

Determinar, (i) la distribución g de Y, (ii) la distribución conjunta h de X y y, (iii) la cov (X, Y) Y p(X, Y).


(i) Puesto que Y X la variable aleatoria Y tomar solamente los valores 4 l. Además, g(4) = P( y 4)

P(X 2 o X = - 2) P(X 2) + P(X 2) i + i ! y, similarmente, 1. Por tanto la distribución g de Y es como sigue:

(ii) La distribución conjunta h de X y Y viene luego. Nótese que si X = 2, entonces Y 4: y de aquí h(-2, 1)

O Y h( - 2, 4) = 2) = 1. Los otros elementos se obtienen de manera similar.

'>z 1 4 Suma

-2 O i t -1 i O i

1 t O i

2 O i i

Suma ! !

(ii i) /ix E(X) Xi ¡(Xi) -2' i - 1· t + l'! + 2'i O

/iy ~ Y¡ g(YJ) l' t 4'! Ií ~

E(XY) x¡Yj Yj) -8'! 1'i+ 1-i+ 8-; O

COY (X, Y) :::: PXpy D D'! = O Y así p(X, Y) = O

Nota: Este ejemplo muestra que no obstante que Y es una función de X es aún posible que la covarianza y la correlación

de X y Y sean O, como en el caso en que X y }' son (teorema 5.6). Nótese, sin embargo, que X y Y no son independientes en este ejemplo.

PRU DE TEOREMAS

Nota: las pruebas, X y Y son variables alealorias con distribución f y g respectivamente y distribución h.

5.12. que ¡(Xi):::: h(x¡, Y¡) y g(Yi) = 2: h(x" Yi), esto es, que las distribuciones ¡

marginales son las distribuciones (individuales) de X y Y.

Sea Al = {X = x¡} y E j ::= {Y Y¡}; esto es, sea Al = X-l (:1:,) y E j ::::: y-l (1Ij)' Así las Ej son dis

yuntas y S = UJEj. Por lanlo,

A¡ = A¡nS = n(u j u¡(A¡nEJ)

donde las A¡nE¡ son también disyuntas. En consecuencia.

¡(XI) = P(X x¡, Y 1IJ)

La prueba para g es similar.

5.13. el teorema 5,8: Sean X y Y variables aleatorias del mismo muestral S con y = iP(X). Y) 2: iP(x¡) {(XI) donde f es la distribución de X.

¡

(La prueba se da para el caso en que X es discreta y I1nita.)


Supóngase que X toma los valores :t:l •••• ,:l)" Y que 4>(xI) toma los valores lIl •••• J tlm como í recorre de 1 a TI. Enlonces claramente los valores de Y = 4>(X) son Yh ... , 11m Y la distribución g de Y está dada por

Además m m

n n

~ ¡(XI) ~ 1Ij 1==1 {J: .¡'¡(z¡}=lI¡}

~ f(Xi) (XI) 1=1

lo cllal prueba el teorema.

5.14. Probar el teorema S. 1: Sea X una variable aleatoria y k un número real. Entonces ) = k ) Y (ii) E(X + k) E(X) k.

(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X) existe.)

(i) Ahora kX 4>(X) donde (x) = kx. Además por el teorema ).8 (problema 5.13),

E(kX) k

(ji) Aquí X + k (X) donde 4>(x) x + k. Además

E(X + k) = ~ (Xl + k) f(xJ j

~ X¡ ¡(Xi) + ~ k f(xJ ¡ ¡

5.15. Probar el teorema 5.2: Sean X yY variables aleatorias del mismo E(X + Y) E(X) + E(Y).

E(X) + k

muestral S. Entonces

(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X) y E( Y) ambos existen.)

Ahora X + Y = <1> (X. Y) donde (x. y) x + y. Además por el teorema 5.9,

E(X+ Y)

el problema 5.12. obtenemos

E(X + Y} = E(X) + E(Y)

5.16. Probar el corolario 5.3: Sean Xl, X 2, ••• , X" variables aleatorias de S.

E(X1 + ... + X n)

(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X1), •••• E(X",) lodos

Probamos esto por inducción en n. El caso n I es trivial y el caso n = 2 es precisamente el teorema 5.2 (problema 5.15). Para el caso n > 2 aplicamos el caso n =,2 para obtener

E(X1 + ... +X"-l + X,,) = E(X¡ + ... y por la hipótesis inductiva esto se convierte en E(X1) + ... + E(Xn _¡) +

5.17. Probar el teorema 5.5: (i) var (X + var (X) Y (ii) var (k X) k l var ). Por tanto I1X+k I1x y UkX = Ikl UX '

Por el teorema 5.1, JlXH Ilx + k y PlcX = kllx. También ~ x¡/(xJ Px y f(xJ :::: 1. Por tanto,


var (X + k)

(PX + k)2

== x: ¡(x¡) + 2kpx + k2 (I'i + 2kl'x + k2)

::s XI ¡(XI) - pi var (X)

y var (kX) (kX¡)2 f(xl) - Il~X k2 ::s x¡ f(xl) (kp.X)2

k 2 x; ¡(x!; - k21'i k 2(2. f(xl) - i'~)

5.18. Mostrar que

COY (X, Y)

(La prueba se da para el caso en que X y Y son discretas y finitas)

Puesto que

2. 7/j h(xl' 7/) j,}

obtenemos

::s xIY} h(x¡, 7/J) - P-XPY - I'XI'Y + p.xl'y l. ¡

::: xlYi h(x¡, 7/J) - I'XI'Y

k2 var (X)

y

5.19. Probar el teorema 5.6: Sean X y V variables aleatorias Entonces

[CAP. 5

1

(i) E(XY) = E(X) E(Y), (ii) var + = var (X) + var (Y), (iii) COy (X, Y) = O.

y

(La se da para el caso en que X y Y son diseretas y finitas.)

Puesto que X y }' son

cav Y)

h(x¡,7Ij) = f(x!) g(y}). Así

E(XY) = ~ XIVj h(x¡, 1Ij) ¡.~

- I'xp.y ::: E(X)

Con el fin de probar (ii) necesitarnos también

PX+v ::: Px + Pv,

Por tanto.

var (X + Y) ::: ~ (XI + 1Ij)2 h(x¡, 7/j) - ¡.¡~ +Y 1.1

:::

= ::s x~ f(xJ + 2 xd(x¡) 7/} U(Y¡) + I

== ~ x l2 ¡(XI)· p2 + ~ 7/J2 g(Yj) - p 2

¡ x J y

h(x!,1I¡)

y; g(lIj)

o

var (X) + var (Y)

CAP 51 VARIABLES ALEATORIAS 97

5.20. Probar el teorema 5.7: Sean Xl, ...• X" variables aleatorias independientes. Entonces

val' (Xl + ... + X,,) = val' (Xl) + ... + var (XIt)

(La prueba da para el caso en que ... , X" SOI1 (Od'b discretas y finitas.)

Dalllos por supuesto los problemas análogos:J1 5.12 Y al teorema 3.9 para JI variable, aleatorias. Entonces

val + 0'- + X,,) E((X¡ + . , . + X n - Px¡ + ' ..

+ ., +xn

~ (Xl + ... + x" - Px ¡ - ... J1.X,)2 h(x¡, ...• X,,)

{f f X¡X} + PX¡J1.X j 2 ~ Px Xi} h(xlt ... , x,,)

J 1

donde h es la distribución conjunta de .. . ,X". y Jlx¡+ +X" - + ... + J1.Xn

(Corolario 5.3). Pllc,to

que los son dos a dos, ~ XiX; h(x¡ • ... , X n) ::::: JlX¡JlXj

para i ~ j. Por tanto

n

~ JlX.!lX j + + ~ ~I1XI1Xj 2~ ~ , .. J ' ¡ j , í J

n n .. E(X;) (Px¡)2 ~ var (Xi)

1=1 cumo se pedía.

PROBLEiVIAS VARIOS

5.21. Sea X una variable aleatoria continua con distribución

f{x) {iox + le SI O.¿ x 3

en o lfa parte

(i) Calcular k. (jí) Hallar P(I ~ X ~

(i) El gráfiCO defse dibuja en seguida. Puesto quefes una función continua de probabihdad, la r~gión ;ombreada A

deb~ tener úrea I Nótese ljue A forma un trapecio de bases paralelas de longitudes k y k + t, y altura 3. Por tanto, el área de A = !(k + k + !> • 3 ::::: 1 O k:::::

Gráfico de j P(l ::= X ::= 2)

(íl) i'( 1::= X::= 2) ", igual al área de IJ la est{l bajo el gráfi¡:o de entre x y x IIgura anterior lit: la derecha. Nótese qUlO 1(1) =A +

(¡rea de 8 +. 1 = i,

5.22. Sea X una variable aleatoria continua cuya distribución constante en un {a==x~b}, y O en otra parte:

f(x) {~ SI a === x .¿: b

en ot ra parte

área de 8

2 como se muestra en la Pur tanto P(l ::= X 2)

como l =

(Se dice que dicha variable aleatoria está uni/oflnemellte distribuida en l.) (i) Determinar k. (ii) Hallar la media It de ,Y. (iii) Determinar la función de distribución acumulativa F de X


(i) El gráfico de J aparece a la derecha. La región A debe tener área 1; por tanto

k(b-a) :::: 1 o 1

k :::: b - a

(ii) Si consideramos la probabilidad como peso o masa, y el promedio como el centro de gravedad, entonces es intuitiva mente claro que

a+b 2

[CAP . 5

f=O f=O

Gráfico de J

el punto medi o entre a y b. Verificamos esto matemáticamente usa ndo el cálculo

p = E(X) = f x f(x) dx = fb b ~ a dx R a

b2 a2 a + b 2(b-a) 2(b-a) 2

(iii) Recalcamos que la fun ción de distribución acumulativa F(k) = P(X ~ k). Por tanto F(k) origina el área bajo el gráfico deja la izquierda de x = k. Pu es to que X está uniformem ente distribuida en el intervalo 1 = {a == x ~ b}, es intuitivo que el grúfico de F debe ser co mo se muestra a la derecha, esto es, F == O antes del punto a. F == I después del punto b. y F es line al entre a y b. Verificamos esto matemáticamente usa ndo el cálculo

F==O

[ x2 Jb

2(b - a) a

F= 1

/11 a b

Gráfico de F

(a) para x< a.

F(x) JX f(t)dt = JX Odt :::: O -00 -c.;¡

(b) para a ~ x ~ b,

F(x)

(e) para x > b, F(x) por tanto F(x) :::: 1.

Jx JX 1 :::: f(t) dt = - -dt:::: b-a

- 00 a

P(X ~ x) ~ P(X ~ b) = F(b) = 1 y así 1 ~ P(X ~ x) = F(x);

5.23. Sea X una variable aleatoria con promedio ¡.t y desviación estándar (1 > O; Y sea X* la variable aleatoria estandarizada que corresponde a X, esto es, X* = (X -- p. )/ (1, Mostrar que E(X*)

O y var(X*) = l. (Por tanto (1x. = l.)

Por los teoremas 5.1 y 5.5,

E(X.) :::: E (X - p.) = ! E(X - p.) = !(E(X) - p.) u u C1

O

y var (X·) :::: (X - p) 1 . 1

var --- :::: 7: var (X - /1) == 2 var (X) C1 C1 U

5.24. Sea X una variable aleatoria con distribución f El r-ésimo momento Mr de X se define por

Hallar los primeros cinco momentos de X si X tiene la distribución siguiente:

Xi -2 1 3

f(Xi) -! i i

(Nótese que M I es el promedio de X, y M 2 se usa para calcular la varianza y la desviación estándar de x.)


M 1 ~ x¡!(x¡) -2'! + l·! + 3.! = 0,

M2 ~ x; !(x¡) 4'! + l'! + 9'-1 = 4,5,

M3 ~ x: !(x¡) = -S'! + l'! ~ 27'! 3,

M4 ~ x: !(x,) l6'! + l'! + SI·! 28,5,

M5 ~ x~ !(x,) -32'! + 1'-1 + 243'! = 45.

5.25. Sea h la distribución conjunta de las variables aleatorias X y Y. (i) Mostrar que la distribuciónf de la suma Z = X + Y puede obtenerse suponiendo las probabilidades a lo largo de las diagonales x + y = z", esto es,

(ii) Aplicar (i) para obtener la distribución f de la suma Z = X + Y donde X y Y tienen la distribución conjunta siguiente:

X -2 -1 ° 1 2 3 Suma

° 0,05 0,05 0,10 ° 0,05 0,05 0,30

1 0,10 0,05 0 ,05 0,10 ° 0,05 0,35

2 0,03 0,12 0,07 0,06 0,03 0,04 0,35

Suma 0,18 0,22 0,22 0,16 0,08 0,14

(i) Los eventos {X = x" Y == Y¡ : x¡ + V¡ = z,,} son disyuntos; por tanto,

~ P(X==x¡, Y=Y¡) :t,+II¡ = z. ~ h(x¡, YJ) = ~ h(x¡, z" - xJ

:t¡+II¡ = Zk :ti

(ii)

X -2 -1 ° 1 2 3

O 0,05 0,05 0,10 O 0,05 0,05

1 0,10 0,05 0,05 0,10 ° 0,05

2 0,03 0,12 0,07 0,06 0,03 0,04

Sumando a lo largo de las diagonales en la tabla anterior, obtt:llemos

!(-2) = 0,05 !(2) 0,05 +0,10 + ,0 ,07 = 0,22

!(-1) = 0,05 +0,10 = 0,15 1(3) 0,05 + ° + 0,06 = 0,11

!(O) 0,10 + 0,05 + 0,03 = 0,18 1(4) 0,05 + 0,03 = 0,08

!(1) ° + 0,05 + 0,12 = 0, 17 1(5) = 0,04

En otras palabras, la distribución de Z = X + Y es como sigue :

Z¡ -2 -1 ° 1 2 3 4 5

!(z¡) 0,05 0,15 0,18 0,17 0,22 0,11 0,08 0,04

~

~

• ~

~

~

• • ~

t I I I

• • • • , , ít

• • • • • • I

• • .. •

100 v Al{ IABLES ALEATOR l AS [CAP.


VARIABLES ALEATORIAS

5.26. Hallar el promedio ¡J. la varianza (72 y la desviación estándar (7 de ' cada distribución:

X¡ 2 3 8 Xi -2 -1 7 (i) (ii)

!(x¡) i t i !(x¡) t ! 1

XI -1 O 1 2 3 (iii)

!(XI) 0.3 0.1 0.1 0.3 0.2

5.27. Se lanza un par de dados corrientes. Sea X la variable aleatoria que denot<l el menor de los dos número!'. que aparcLcan . Hallar la distribución. el promedio. la varianza y la desviación e s t~nd a r de X •

5.28. Una moneda corriente se lanza cuatro veces. Sea X que denota el número de caras que salgan. Hallar la distribución. el promedio . la varianza y la desviación estándar de X

5.29. Una moneda corriente se lanza cuatro veces. Sea Y que denota la hilera más larga' de caras qu e salgall. Hallar la distri· bución, el promedio. la varianza y la des viación estándar de Y

5.30. Hallar el promedio ¡J , la variaoza (72 y la desviación estándar (7 de la distribución de dos pun tos

X¡ a b

!(XI) p q

don de l' +q = l.

5.31. Se seleccionan al azar dos cartas de una caja que contiene cinco cartas nUl11erad as l. 1.2.2 Y J. Sea X que denota la su· ma y Yel mayor de los dos números sacados. Hallar la distribu ció n, el promedio. la varian za y la desv iación est ándar de (i) X, (ií) Y, (iii) X + Y, (iv) XY . . ,

VALOR ESPERADO (ESPERANZA)

5.32. Se lan za una moneda corriente ha sta que una cara o cuatro se llo s aparcLcan. Hallar el número esperado de lanlamientos de la moneda.

5.33. Una moned a cargada tal que P( H) = t y P(T)

número esperado de lanzamientos de la moneda . i se lanza hast a que una ca ra o cin co sell os, aparezcan. Hallar el

5.34. Una caja contiene 8 artículos de los cuales 2 so n defectuosos. Un a persona sel ecciona 3 artículos de la caja. Ilall ar el número esperado de artículos defectuosos que ella saca.

5.35. U na caja contiene 10 transistores de los cuales 2 so n defectuosos. Se selecciona un lransL,tor de la caja y se prueba hasta que se escoge uno no defectuoso . Hallar el número esperado de veces que el tran sistor se escoge .

5.36. Resolver el problema anterior par a el caso de que 3 de los 10 artículos sean defectuosos .

5.37. La probabilidad de que el equipo A gane un juego es l A juega con B en un torneo. El primer et¡uipo que gane 2 Juegos seguidos o un total de J gana el torneo. Hallar el número esperado de juegos en el to rneo .

5.38. Un jugador lanza tres monedas corrientes. Gana $5 si salen 3 caras, $3 si salen 2 caras. y $1 si sa le solamcr1te I cara . Por otra parte, pierde $15 si salen 3 sellos. Hallar el valor del juego pa ra el jugador

5.39. Un jugador lanza tres monedas corrientes . Gana $8 si salen J caras, $3 si salen 2 ca ras, y $1 si sale so lamente I ca ra. Si el juego es legal, ¿cuánto debería perder si no salen caras?

CAP, 5] VARIABLES ALEATORIAS 101

5.40. Un jugador Jaon tre" monedas corrientes, Gana $10 si salen 3 caras, $5 si salen 2 caras, $3 si sale I cara y $2 si no sale cara, Si el juego es legal, ¿cuánto debe pagar el para jugar?

D1STRIIlUCION CONJU!\TA, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

5.41. Considérese la distribución de\' y r siguiente:

~ -4 2 7 Suma

1 k i i t

5 i i tr t Suma t I t ±

Hallar, (i) E(Xl y E(Y), (ji) cov(X n, (iji) ux, Cly y p(X, r')

P 5.42. Considérese la distribución conjunta de X y Y siguiente:

~ -2 -1 4 5 Suma

1 0,1 0,2 O 0,3 0,6

2 0,2 .0,1 0, I O 0,4

Suma 0,3 0,3 0,1 0,3

Hallar, (1) E(X) y E( n. (ii) cov(X. n, (iil) Clx, ay y pC\", Y),

5.43. Su que X Y Y son variables aleatorias IndependIentes con las distllbucione, respccllvas sigUIentes:

Hallar la distribUCIón conjunta de X y V Y comprobar que cov(X. Y) = O.

5.4~, Una moneda corriente se lanza cuatro veces. Sea X que denota el número de caras que salgan y sea}' que denota la mayor hilera de caras que salgan (ver problemas 5,28 y 5,29). (i) Determinar la distribución conjunta de X y Y Oi) Hallar

cov(X, I') y p(X, n

5.45, Se seleccionan dos cartas al azar de ulla caja que contiene CInCO cartas numeradas 1, 1,2,2 y], Sea X que denota la suma y Yel mayur de los dos númcrus sacados (ver problellla 5,31). (1) Determinar la distribución conjunta de X y Y. (ii) Hallar cov(X Y) y pe":,, Y),

I'IWBLEI\IAS VAIHOS

5.46. Sea X una variable aleatoria continua con distribución

(i) Hallar P(2 X ~ 5),

f(x) jn lO

~ X ~ 7) y P(X 6).

si O x=Eg

ot ra parte

(ii) Dderminar y hacer el gr:ilko de la función de distribución acumulativa F de X.

Sea X una variable aleatoria continua con distribución

o x 5 ¡(x)

..:n cualquier otra parte

(i) Calcular k. (ii) lbllar P(l X 3), P(2 ~ X =E 4) Y P(X 3).

102 VARIABLES ALEATORIAS [CAP.

5.48. Hacer el gráfico de la función de distribución acumulativa F de la variable aleatoria X con distribución

5.49. Mostrar que Ux O sí y sólo si X es una función conslanle, esto es X(s) k para cada s E S. o simplemente X = le

5.50. Si (Ix "'" 0, mostrar que p(X, X) 1 Y = -1.

5.51. Probar el teorema 5.9: Sean X. y y Z variables aleatorias de S con Z = <1> (X, Y), Entonces

donde h es la distribución conjunta de X y Y.


5.26. (i) p. ::::: 4, q2 ::::: 5,5, {1 = 2,3; (ii) p. = 0, (12::::: 10, a::::: 3,2; (Ui) po 1,..,2 ::::: 2,4, a = ,1.5.

5.27. E(X) == var (X) 2.1, ax::::: 1,4

5.28. E(X) 2, var (X) 1, ax::::: 1

5.29. 1,7, var (Y) := 0,9, ay 0.95

5.30. Po ap + bq, 0"2::::: pq(a-

5.31. (i) == var (X) 0,84, (Ix::;: 0,9

(ii) E(Y) ::::: 2.3. var (Y) :::::0.41, Uy 0.64


(iii) Zk 3 5 6 7 8

E(X + Y) == 5,9, var (X + Y) :::: 2,3, "'x+y = 1,5 P(Zk) 0,1 0,4 0,1 0,2 0,2

(iv) W" 2 6 8 12 15

E(XY) = 8,8, var (XY) = 17,6, UXy:::: 4,2 8 (W¡,J 0,1 0,4 0,1 0,2 0,2

5.32. 15/8

5.33. 211/81

5.34. 3/4

5.35. 11/9

5.36. 11/8

5.37. 23/8

5.38. 254 a favor del jugador

5.39. $20

5.40. $4,50

5.41. (1) E(X) :::: 3, E(Y) == 1; (ii) COy (X, Y) = 1,5; (iii) Ux = 2, ay == 4,3, p(X, Y) = 0,17

5.42. (i) E(X) :::: 1.4, E(Y) :::: 1; (H) COY (X, Y) = - 0,5 (iii) 17x:::: 0,49, Uy:::: 3,1, p(X, Y) :::: - 0,3

5.43.

IX -2 5 8 Suma

1 0,21 0,35 0,14 0,7

2 0,09 0,15 0,06 0,3

Suma 0,3 0,5 0,2

5.44. (i) Y

O 1 2 3 4 Suma X

O 1\ O O O O -h 1 O n O O O -h 2 O fe !~ O O -h 3 O O fa fa

4 O O O O

Suma -h fa -h fa

(ii) COY (X, Y) :::: 0,85, p(X, Y) :::: 0,89


5.45. (i)

I~ 1 2 3 Suma

(ii) COy (X, Y)

2 0.1 O O 0.1

3 O DA O DA

4 O 0,1 0,2 0.3

5 O O 0.2 0.2

Suma 0,1 0,5 DA

5.46. (í) P(2"" X "" 5) :::: ¡, P(3 ""X"" 7) i, P(X 6) i

(ií) F(x)

5.47. (i) k fs, (ií) P(l "" X "" 3) =

5.48.

si x < O

si O"" x 8

si x> 8

""X""4) ::::

Gráfico de F

[CAP. 5

0,52 p(X, Y) :::: 0,9

Gráfico de F

..

Capítulo 6

Distribuciones binomial, normal y de Poisson

DISTRI13UCION B1NOMIAL

Consideramos pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llamamos uno de los resultados favorable (o éxito) y el otro desJavorable (o Jracaso). Sea p la probabilidad favorable, así que q = I .- p es la probabilidad desfavorable. Si estamos interesados en el número de éxitos y no en el orden en que suceden, entonces aplicamos los teoremas siguientes.

Teorema 6.1: La probabilidad de k éxitos exactamente en n pruebas repetidas se denota y expresa por

b(k; n,p)

Aquí m es el coeficiente binomial (ver página 19). Téngase en cuenta que la probabilidad desfavorable es qn y, por consiguiente, la probabilidad de por lo menos un éxito es I - qn.

Ejemplo 6.1: Se lanza una moneda corriente 6 veces o, su equivalente, seis monedas corrientes se lanzan una vez; llamamos cara un éxito. Por consiguiente n = 6 Y P = q = t. (i) La probabilidad de que sucedan dos caras exactamente (o sea, k = 2) es

b(2; 6, i) = (~) (1.)2 (!)"' = ti (ii) La probabilidad de conseguir por lo menos cuatro caras (o sea, k = 4, 5 Ó 6) es

b(4; 6, t) + b(5; 6, .~) + b(6; 6,!) (~) (t)4 (t)2 + (:) (!)5 (!) + (:) (t)6

= H+j¡+;{ = H (iii) La probabilidad de no caras (o sea, lodosfracusos) es q5 = (!)6 = 6\ y. por tanto, la probabili

dad de una cara por lo menos es 1 - q6 = 1 - -h = H,

Ejemplo.6.2: .Un dado corriente se lanza 7 veces; llamamos a un lanzamiento un éxito si sale un 5 o un 6. Entonces

fI = 7, P = p(1 5, 61) = t y q = I - P = ¡. (i) La probabilidad de que un 5 Ó 6 salga 3 veces exactamente (o sea, le = 3) es

(ii) La probabilidad de que un 5 Ó 6 no salga (o sea, todo s fracasos) es q7 = (¡)7 = 2\2:7; por consi-

1 - 7 - ~059 guiente la probabilidad de que un 5 o un 6 salga una vez por lo menos es q - 2187'

105

106 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON [CAP. 6

Si TI Y P como constantes, entonces la [unción anterior P(k) = b(k; 11, p) es una dis-tribución de probabilidad discreta:

Se la llama distribución binomial puesto que para k 0, 1, 2, ... ,n corresponde a los términos sucesivos del desarrollo binomial

(q + p)"

Esta distribución se conoce dos resultados se llaman

como distribución de Bernoulli, y las de Bernoulli.

Las propiedades de esta distribución son:

Teorema 6.2: Distribución binomial

Media p. np

Varianza (12 = npq _.

Desviación estándar (f

independientes con

Ejemplo 6.3: Un dado corriente se lanza 180 veces. El número esperado de seises es p. np 180 • ~ JO. La des-

vi ación estándar es (f = y npq 5.

DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal o curva normal (o: Gauss) se como sigue:

f(x)

donde ¡J. y (J' > O son constantes arbitrarias. Esta [unción es en realidad uno de los más importantes de una distribución de probabilidad continua. Los dos diagramas que siguen, muestran lOS

cambios de f cuando Il varía y cuando (J' varía. En particular, obsérvese que estas curvas en forma de campanas son simétrícas alrededor de x = Ii.

f

f

Distribución normal para a fijo «1 1) Distribución normal para p. fijo (p. = O)

CAP 6] DISTRIBUCIONES BINOM IAL, NORMAL Y DE POISSON 107

Las propiedades de la distribución normal son:

Teorema 6.3; Distribución normal

Media J1

Varian za (72

Desviación es tánd~r (7

La distribución normal anterior con media fL y vananza ella designamos por

~ N(fL , 0-2

)

t Si hacemos la sustitución t = (x - fL)/(T en la fórmula de N(fll el-) obtenemos la distribución o curva norll/al estándar

</>( t)

con media fL = O Y varianza el- = l. La gráfica de esta diqribución aparece luego. Observamos que para ~ 1 ~ t ~ 1 el área bajo la curva es 68,2%; y para - 2 ~ t ~ 2 el área bajo la curva es 95,4%.

0.4

-3 -2 -1 o 2 3

Distribución normal N(O, 1)

La tabla de la página 111 da el área bajo la curva normal estándar entre t = O Y valores positivos de t. La simetría de la curva alrededor de t = O nos permite obtener el área entre dos valores de t (ver problema 6.14).

Ahora sea X una variable aleatoria continua con distribución normal; con frecuencia decimos que X está distribuida florrnalmcllte. Calculamos la probabilidad de que X caiga entre a y b, designada por P(a ~ X ~ b), como sigue. Primero pasamos a y b a unidades estándar

a' = (a-fL)/(T y b' = (b - fL)/(T

respectivamente. Entonces,

P(a~X~ b) P((¿/ ~ X* ~ b')

úrea bajo la curva normal estándar entre a' y b'

Aquí X* es la variable aleatoria estandarizada (ver página 79) que corresponde a X y, por tanto, X* tiene distribución normal estándur N(O, 1) .

,

108 DISTRIBU C IONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON

APROXIMACION NORMAL A LA DJSTRlBUClON BINOMIAL. TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

[CAP. 6

La distribución binomial P(k) = b(k; n, p) se aproxima estrechamente a la di stribución normal proveyendo un f1 grande y ni p ni q próximos a cero. Esta propiedad se indica en el diagrama siguiente donde escogimos la dist ribución binomial correspondiente a 11 = 8 y p = q = 1- .

k

P(k)

~ 256

~ 256

20 256

O 1 2 3 4 5 6 7 8

1 8 28 56 - .2º- 56 28 8 1 256 256 250 256 256 250 256 250 250

Distribució n binomial con 11 8 Y P = q

d: stribuClón normal

di ~Hlbuci0n binonllal

, ;

o 2 3 4 5 6

Comparación de las distribuciones binomial y normal

La propiedad anterior de la di stribución normal se generaliza en el teorema central del límite que viene en seguida . La prueba de este teorema cae fuera del alcance de este texto .

Teorema central del límite 6.4: Sean X 1, Xl, ... , una sucesión de variables aleatorias independientes con la misma distribución de media p. y varianza a.

Sea XI + X 2 + . . . + X n-ni!

vna Entonces para un intervalo {a~ x ~ b),

donde </> es la distribución normal estándar.

Recordamos que llamamos Sn = (X I + Xl + ... + X n)/II la media muestral de las variables aleatorias XI, .. X n . Así Z n en el teorema anterior es la media muestral estandarizada. Hablando en términos generales, el teorema central del límite dice que en una sucesión de pruebas repetidas la media muestral estandarizada se aproxima a la curva normal estándar según que el número de pruebas aumente.

DISTRlBUCION DE POISSON

La distribución de Poisson se define como sigue: ,\,Ke->'

p(k;'\') = k!' k = O, 1, 2,

donde A > O es una constante. Esta distribución infinita contable se present a en muchos renómenos naturales, tales como el número de llamadas telefónicas por minuto en un tablero de distribución, el número de erratas por página en un texto grande, y el número de partículas a emitidas por una sustancia radi activa. A continuación se mueslran a lgunos diagramas de la distribución de Poisson para diferentes valores de '\'.

CAP. 6] DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 109

0.4

0,3

0,2

0,1 l ~ _---LullllillJ JI o 2.4 6 0246810 O 2 -1 6 8 10 12 Ji !

),=1 1-=5 A 10

Distribución de Poisson para va¡ore~ ","v,,"uu de A

Propiedades de la distribución Poisson'

Teorema 6.5: Distribución de Poisson i

Media l

¡.t

Variaru3 ,,2 = A

Desviación están.dar " ..¡};,

A pesar de que la distribución Poisson tiene interés independiente, también nos propurcion;r una a la distribución binomial para un k pequeño, que p sea pCqUd,; y'\ np (ver problema 6.27). Esto se indica en la tabla siguiente.

k O 1 2 3 4 5

Binomial 0,366 0,370 0,185 0,0610 0,0149 0,0029

Poisson 0,368 0,368 0,0153 0,00307

Comparación de las distribuciones binomial y de Poisson para I! = lOO, P 1 ¡¡oo y A = np I

DISTnmUCION MULTINOMIAL

La distribución binomial se generaliza como que el muestral d~ U,] ex-perimento se divide en, s sucesos mutuamente exclusivos A" A 2, , A. con des Pi, p2, ,ps. consiguiente Pi + pi .+ ... + Ps = \.) Entonces

Teorema 6.6: En n respectivas, la probabilidad de que A I suceda k I veces, A l suceda k: I,L:-

ces, .. " y A. suceda k s veces es igual

donde + k 2 + ... + ks = n.

Los números forman la tan nombrada distrihución multinornial que son \':1-

samente los términos del desarrollo de (p I + pi + '" + ps)n. Obsérvese que si s __ , Clild:'

obtenemos la distribución binomial, discutida al principio del capítulo.

Ejemplo 6.4: Un dado corriente se lanza 8 veces. La probabilidad de obtener los lados 5 y 6 dos veces y «¡da uno de lo, otros una vez es

= 0,006

110 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

ORDENADAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR

Tabla de valores <p (/) de la distribución normal estándar <p para t ~ O en intervalos de 0,01.

o 1 2 3 4

0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0.3621

0,5 0,3521 0,3503 0,3467 0,3448 0,6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,7 0.3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,9 0,2661 0,2613 0,2589

1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,Q347 0,2323 1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 1,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 1,3 0,1714 0,1691 0,1669 0.1647 0,1626 1,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415

1,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 1,6 0,1109 0,1092 0,1074 0.1057 0,1040 1,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 1,8 0,0775 0.0761 0,0748 0,0734 1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608

2,0 0,0540 0.0529 0,0519 0,0508 0,0498 2,1 0.0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 2,2 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 2,3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 2,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203

2,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 2,6 0,0136 0.0132 0,0129 0.0126 0,0122 2,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0.0093 2,8 0.0079 0,007'1 0.0073 0,0071 2,9 0.0060 0,0058 0,0056 0.0055 0,0053

3,0 0.0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 3,1 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 3,2 0,0024 0.0023 0,0022 0,0022 0,0021 3,3 0,0017 0,0017 0,0016 0.0016 0,0015 3,4 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011

3,5 0,0009 o,noos 0,0008 3,6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 3,7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 3,8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 3,9· 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

Tabla 6.1

5 6 7

0,3984 0,3982 0,3980 0,3945 0,3939 0,3932 0,3867 0,3857 0,3847

0,3739 0,3725 0,3605 0,3589 0,3572

0,3429 0,3410 0,3391 0,3230 0,3209 0,3187 0.3011 0,2989 0,2966 0,2780 0.2756 0,2732 0,2541 0,2616 0.2492

0,2299 0,227fí 0,2251 0,2059 0,2036 0,2012 0,1826 0,1804 0,1781 0.1604 0,1582 0,1561 0.1394 0,1374 0,1354

0,1200 0,1182 0.1163 0.1006 0,0989

0,0863 0,0848 0,0833 0.0721 0,0707 0,0694 0,0596 0,0584 0,0573

0.0488 0,0478 0,0468 0,0396 0,0387 0,0379 0,0317 0,0310 0.0303 0,0252 0,0246 0,0241

0,0189

0,0154 0.0151 0,0147 0,0119 0,0116 0,0113 0,0091 0,0088 0,0086 0,0069 0.0067 0,0065 0,0051 0,0050 0,0048

0,0038 0,0037 0,0036 0,0028 0,0027 0,0026 0,0020 0,0020 0,0019 0,0015 0,0014 0,0014 0,0010 0,0010 0,0010

0,0007 0,0007 0,0007 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

[CAP. 6

8 9

0,3977 0,3973 0,3925 0,3918 0,3836 0,3825 0,3712 0,3697 0,3555 0,3538

0,3372 0,3352 0,3166 0.3144 0,2943 0,2920 0.2709 0,2685 0,2468 0,2444

0,2227 0,2203 0,1989 0,1965 0,1758 0,1736 0,1539 0,1618 0,1334 0,1315

0,1145 0.1127 0,0973 0,0957 0,0818 0,0804 0,0681 0,0669 0,0562 0,0551

0,0459 0,0449 0,0371 0,0363

0,0290 0.0235 0,0229 0,0184 0,0180

0,0143 0,0139 0,0110 0,0107 0,0084 0,0081 0,0063 0,0061 0,0047 0,0046

0,0035 0,0034 0,0025 0,0025 0,0018 0,0018 0,0013 0,0013 0,0009 0,0009

0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 '0,0001 0,0001

~ ., I

CAP. 6] DISTRIHUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 111

AREAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR

/ ~ Tabla de áreas bajo la distribución nor- ',-

mal estándar 1> en lre O y (~O en in lervalos ';~ de 0,01. í., ,··'~

o t

t O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 ' 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0.1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0.3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0.3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0;3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0, 4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0.4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0, 4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0, 4808 0,4812 0,4817 2,1 0, 4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0, .4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0, 4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0, 4932 0,4934 0,4936

2,5 0, 4938 0.4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 O, 4949 0,4951 0,4952 2,6 0, 4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0, 4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0, 4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 O, 4979 0,4980 0,4981 2,9 0, 4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 - 0,4985 0,4985 0,.4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0, 4987 0,4988 0, 4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0, 4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0, 4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 O, 4997 0,4997 0,4997 0,.4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0, 4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0, 4999 0,4999 0,4999 3,8 0, 4999 0,4999 O, 4999 0, 4999 0,4999 0,4999 0,4999 O, 4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,.5000 O, 5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0, 5000 0,5000 0,5000

Tablll 6.2

112 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

VALORES DE e-Á

A 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 .. _--

e-Á 1.000 0,905 0,819 741 0,670 0,607 0,549

A 1 2 3 4 5 6 7

e-A 0,368 0,135 0,0498 0,0183 0,0 0,00248 0,000912

Tabla 6,3

Problemas resueltos

DISTRIBU N BINOMIAL

6.1. Hallar (í) b(2; 5, i), (ií) b(3; 6, (iii) b(3; 4, !). Aquí n, p) G) pk

(í) b(2; 5,!)

(jí) 6, 1)

b(3; 4,!)

(!)2 (i)3

(~) (~)3

donde p + q 1.

~:~ (l)2 (ir' = (t)3 ('~JI

0,7

0,497

8

0,000335

0,8

0,449

9

0,000123

6.2. U na moneda corriente se lanza tres veces, Hallar la probabilidad P de que salgan, (ii) dos caras, OH) una cara, (iv) no caras.

MélOdo L Se obtiene el cquiprobable siguiente de ocho elementos:

s HHT, HTT,THH, TTH,TTT}

(í) Tres caras (HHB) aparecen una vez solamente entre los ocho puntos muestrales; o sea, P = lJ. (ji) Dos caras aparecen J veces (H HT, HTH y TH H); o sea, P f. (iji) Una cara aparece 3 veces (HTT, TBT Y TTH); sea, P I (IV) No caras, esto es, tres sellos (TTT), ocurre solamente una vez.; o sea, P = k.

\1é!odo 2, Usar teorema 6.1 con n = 3 Y P = q t· k=3 Y P b(3; 3, (~) (1)3 (1)0 1-i- 1 ~.

(ii) k 2 Y P b(2; 3, t) (~) (1)2 (t) g-!.! f· (iii) Aquí k 1 y P ; 3, t) (~) (1)1 a-t-! f·

Aquí k=O P b(O; 3, 1) (~) (1)0 (!)3 1·1· i i·

[CAP. 6

0,9

0,407

10

0,000045

tres caras,

6.3. El equipo A tiene i de probabilidad de ganar cuando juega. Si A 4 partidos, hallar la lidad de que A gane, (i) dos partidos, (ii) un por lo menos, más de la mitad

Aquí n = 4, P i y q;:;;:: 1 p i. (i) P(2 viclorias)

CAP 6J DISTRIIlUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 113

(ii) Aquí q4:;:: (!)4 == it es la pro habilidad de que A pierda todos los cuatro partido,. Entonces 1 - q4 == ~ es

la probabilidad de ga nar flOr lo menos un partido.

(iii) A gana más de la mitad de los partidos si A gana 3 Ó 4 partidos. Por lo tanto la probabilid ad buscada e,

Pl3 victorias) + P(4 victoria s) = (~) (*)3 (l) + (!) (~)4 = ~ + fi = ~

6.4. Una familia tiene 6 hijo s. Hallar l'a probabilidad P de que sean, (i) 3 niños y 3 mnas, (ii) menos nirlos que niñas. Suponer que la probabilidad de que un hijo en particular sea niño es t,

Por tanto 11 = 6 Y P = q = .~.

(i) P ~ P(J niñllS) = (~) (~)3 (t)3 = ~~ = 156'

(ii) Hay menos niños que niñas si hay 0,1 Ó 2 niños. Por tanto

P = I'lO nii10s) +- 1'(1 niño) + 1'(2 niños) = (t)6 + (~) (~)(_~)5 + (~) (~)2 (t)4

6.5. ¿Cuántos dados se deben lanzar para que la probabilidad de sacar un seis sea mayor?

1 1 32

La probabilidad de no conseguir un seis con 11 dadu s es (~)n. Por tanto buscamos el menor n para el cual (~)" es

menor que ~:

(-8-)1 = ~;

O sca que tiene que lan zar 4 dadus.

25 , 36' ( fi)3 == 125 ,

6 216 ' pero ( li)4 = 625 < 1-

II 1296 2

6.6. La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es t, (i) Si dispara 7 veces, ¿cuál es la probabilidad P de que dos veces por lo menos pegue al blanco') (ii) ¿Cuántas veces tiene que disparar para que la probabilidad dc pegar por lo menos una vez sea mayor que ¡ '?

(i) Busca mos la sum a de probabilidades p~ra k = 2, 3,4,5,6 y 7. Es más si mple en este caso hallar la suma de las probabilidades para k = O Y 1, o sea, ningúlI acierto o 1 acierto y luego restar esto de 1

Entunces P

P(ningún acierto) = (4)1 = 1!13~:' 1' ( I acierto) = (~) (i) (~)6 = 1 - 2 187 _ ~1....

I()J~4 16.l~4

4547 8182 •

51 03 163X4

(ii) La probabilidad (le; no pegar en d blanco es r¡n Por tanto bu scamos el mellor 1/ para el cual (In e, méilor que 1 .. ·-·R == 1, donde q ~ 1 -- l' = 1 .- t = 1· Por tanlO calculamos [Jotencias succ,ivas de q hasta obtener q" < -k

Ln n;sulllen ti ene que di s[Jarar 4 veces .

6.7. Probar el teorenfa 6.\: La probabilidad de k éxitos exactamente en ti pruebas repetidas es b(k; n, p) = G) pk q" - k.

El espacio mue stral de las n pruebas repetidas consta de todas las I/-uplas ordenadas cuyas componentes son o s (éxitos) o fUracasos). El eVénto A de /., éxitos consta de todas las ,,-uplas de las cuales k compom:llles son s y las otras ,, -/., com ponentés son f El número de I/-uplas en el evento A es igual al número de maner as en que k letras s puede distribuirse entre las n componentes de una ,,-upla ; o sea que A colista de G) [Juntos mueslrales. Pues to que la probabilidau de cada punto de A es pk qn-k, tenemo, peA) = (~) pk qn-k.

~ '1

11 I

114 DISTRlBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON [CAP. 6

6.8. Probar el teorema 6.2: Sea X una variable aleatoria con binomial . n, p). En-tonces, (i) E(X) = np y (íí) var(X) = npq. Por consiguiente, U x

(i) Usando b(k; n, p) = (~) qn-I<, obtenemos

n " k o n,P)

np

(no consideramos el término k = O puesto que su valor es cero, y f¡¡ctorizamos np en cada término). Hacemos s k - I en la suma anterior. Cuando k recorre los valores 1 a n, s recorre los valores O a 11 1. Así.

,,-1 71-1

E(X) = np ~ _-"-'-_~-,-p'qn-l-. 0=0 8

np ~ b(8; n-1, p) np

puesto que, por el teo rema del binomio ,,-1 ~ bes; n-l,p)

0=0

Calculamos primero E(X '): n

E(X2) = k 2 b(k; n, p) =

Hacemos de nuevo s k I Y obtenemos

,,-1

np

n-l ,,-1

8"'0

(p + q)n-l 1"- ! 1

"

,..-1

np (8 + 1) bes; n-1, p)

Pero (s + 1) bes; n-l, p) sob(8;n-l,p) + b(s;n-l,p)

(n -l)p + 1 = np + 1 p np + q

donde usamos (i) para obtener (n - I)p. En consecuencia,

E(X2) np(np + q) (np)2 + npq

y var = E(X2) :::;; (np)2 + npq (np)2 npq

As¡ el teorema que~a probado.

6.9. Determinar el número esperado de niños de una familia con 8 hijos, suponiendo la distribución del sexo igualmente probable. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niños suceda?

El número de ninos es E = np 8· i = 4. La probabilidad de que la familia tenga cuatro niños es

b(4; 8, i) 70 256 0.27

6.10. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea es 0,02. Un carga-mento 10.000 artículos se envía a sus almacenes. Hallar el número esperado E de artículos de-fectuosos y la desviación estándar (J'.

E np (10.000)(0,02):::: 200.

C1 = Y(1O.000)(0,02)(0,98) = VI96 = 14.

CAP. 6] DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 115

DISTRIBUCION NORMAL

6.11. La media y la desviación estándar de un examen son 74 y 12 respectivamente. Hallar los resultados en unidades estándar de los estudiantes que recibieron notas, (i) 65, (ii) 74, (iii) 86, (iv) 92.

(i) x-p.

u (ii) t

x-p.

65 - 74 12

74 - 74 12

-0,75

o

(iii) t = x-p. u

(iv) x-p.

u

86 - 74 12

92 - 74 12

1,0

1,5

6.J2. En relación con el problema precedente, hallar las notas que corresponden a resultados estándar (i) - 1, (ii) 0,5, (iii) 1,25, (iv) 1,75.

(12) (1 ,25) + 74 89 (i) x - ut + J1.

(ii) x - ut + J1.

(12)(-1) + 74

(12)(0,5) + 74

62

80

(iii) x = ut + p.

(iv) x = ut + p. (12)(1,75) + 74 = 95

6.13. Sea <p la distribución normal estándar. HaIlar <p (1) para, (i) I = 1,63, (ii) I = -0,75 , (iii)

t = - 2,08.

(i) En la tabla 6. 1, buscar hacia abajo en la columna primera hasta llegar al elemento 1,6. Luego continuar a la dere

cha hasta la columna 3. El elemento hallado es 0,1057 . Por consiguiente 4>(1,63) = 0,1057.

(ii) Por simetría , 4>(- 0,75) = 4>(0,75) = 0,3011.

(iii) 4>(-2,08) = 4>(2,08) = 0,0459.

6.14. Sea X una variable aleatoria con distribución estándar <p . Hallar:

(i) P(O ~ X ~ 1,42)

(ii) P(-O,73~ X ~ O)

(iii) P(-1,37~ X ~ 2,01)

(iv) P(0,6S ~ X ~ 1,26)

(v) P(-1,79~X~-0,54)

(vi) P(X ~ 1,13)

(vii) P(¡XI ==:; 0,5)

(i) P(O == X == 1,42) es igual al área bajo la curva normal estándar entre O y 1,42. O sea que en la tabla 6.2, buscar hacia abajo en la primera columna hasta llegar a 1,4, y luego continuar a la derecha hasta la columna 2. El elemento es 0,4222. Por consiguiente, P(O == X = 1,42) = 0,4222.

(ii) Por simetría,

p(- o,n = X = O)

= P(O = X == 0,73) 0,2673

(iii) P(-I,37=X=2,01)

= P(-1,37==X==0) + P(0=X=2,01)

= 0,4147 + 0,4778 = 0,8925

-0,73 o

116 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ICAP. (,

(i v) 1'(0,65:=0 ):' :=o 1,26)

1'(0:=0 X :=o 1,26) 1'(0:=0 X 0,(5)

0.3962 - 0,2422 = 0,1540

(v) P( - 1.79:=0 X "'" 0,54)

P(O,54 "'" Xl, 79)

1'(0"'" X "'" 1,79) 1'(0 "'"

0,4633 0,2054

(vi) P(X ~ 1,13)

P(X ~ O) - P(O:=ol( 1.13)

0.5000 0,3708 0.1

(vii) P( Ixl :=o 0,5)

1'(--0,5 :=o X 0,5)

21'(0 :=o X 0,5)

2(0.1915) 0.lil30

6.15. Sea X una variable aleatoria con dislribución normal estándar .p. Determinar el valor de I si, (i) P(O~X t) (ii) l) O,7967,(iii) P(t~X~2) 0,1000,

(í) En la tabla 11 1, el elcrnen!o 0,4236 aparece a la derecha

1.43 1,4 la columna 3. Por tanto.

(ii) Obsérvese primero que I

probabIlidad e, mayor que!

X t) t) ! 0.7967 0,5000 0,2967

Así, de la labia 6.2, obtenemos I 0,83.

(iji) P(O X t) X 2) P(t "'" X :=o 2)

0,4772 0, 1000 0,3772

que la

Así. de la tabla 6.2, obtenemos I 1,161 (por interpola-ción linea 1) 1,16.

CAP. 6J DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POlSSON 117

6.16. Supóngase que la temperatura T durante junio está distribuida normalmente con media 68° y desvi ac ión estándar 6°. Hallar la probabilidad p de que la temperatura esté entre 70° y 800.

70° en unidades estándar = (70 -·· 68) / 6 = 0,33.

80° en unidades es tándar = (80 --- 68)/6 = 2,00.

En IOnces p = P(70,,: T === 80) = P(0,33,,: T' ,,: 2)

P(O,,: T",,: 2) ._- P(O,,: T* ,,: 0,33)

0,4 772 .. - 0,1293 = 0,3479

Aquí T' es la variable aleatoria estandarizada correspondiente a T y así T' tiene distribución normal estándar "' . A

0.33 2

6.17. Supóngase que las estaturas H de 800 estudiantes están normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviación estándar 5 pulgadas. Hallar el número N de estudiantes con estatura, (i) entre 65 y 70 pulgadas, (ii) mayor o igual a 6 pies (72 pulgadas).

(i) 65 pulgadas en unidades estándar = (65 -- 66) / 5 = - 0,20

70 pulgadas en unidades estándar = (70 - 66) / 5 = O,SO

Por tanto~

P(65 =-= H ,,: 70) = P( -- 0,20 ~ H' ,,: 0,80)

0,0793 + 0,28SI = 0,3674

Ent onces N = 800(0,3674) = 294.

(ii) 72 pulgadas en unidades estándar

Por tanto,

P(H "" 72) = P(H' "" 1,2)

(72 ._.- 66) / 5

0,5000 - 0,3849 = 0,1151

Así N = SOO(O, 1 151) = 92 .

1, 20

Aquí }f' es la vari ab le aleatoria estandarizada correspondiente a H y, por tanto, H' tiene distribución normal estándar "'.

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DlNOMIAL

- 0.2 o. ~

1.2

6.18. Una moneda corriente se lanza 12 veces. Determinar la probabilidad P de que el número de ca· ras que salgan esté entre 4 y 7 inclusive por medio de, (i) la distribución binomial, (ii) la aproximación normal a la distribución binomial.

(i) Por el teorem a 6. 1 con n = 12 Y P = q = t. P(4 caras) e

42

) (!)4 (t)8 495 4096

P(S caras) (2) (~_)5 (t)7 792 4096

P(6 caras) e62

) (t)6 (t)6 ~ 4096

P(7 ca ras) e72

) (t)7 (t)5 792

4096

Por tant o, p 495 792 924 792 3003 40 96 + 4096 + 4006 + 4096 == 4096 = 0,733 2.

118 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON [CAP. 6

(ii) 0,25

0.20

0.15

0.05

o 1 2 3 4 G 6 7 8 9 lO 11 12

Probabilidad de ocurrencia del número de caras.

Aquí J.I = np = 12· t = 6 Y u = ynpq = v'12· t· t = 1,73 . Denotemos X el número de caras que sa le. Buscamos P(4 "" X "" 7). Pero si suponemos que el dato es continuo, con el fin de poder aplica r la aproximación norma l, tenemos que hall ar P(3,5 ~ X "" 7,5), como se indica en el diagr ama anterior. Ahora

3,5 en unid ades estándar = (3,5-6)/1,73 = -- 1,45.

7,5 en unidades estándar = (7,5 - 6)/1,73 = 0,87 .

Entonces p ... P(3,5~ X ~7,5)

P(-- 1,45 ~ X * "" 0,87)

0,4265 + 0,3078 = 0,7343 1.45 0 '0.87

6.19. Un dado corriente se lanza 180 veces. Hallar la probabilidad P de que el lado 6 sa lga, (i) entre 29 y 32 veces inclu sive, (ii) entre 31 y 35 veces inclusive.

Aquí J.I = np = 180· ! = 30 Y (J = v'npq = v'180 • ! . i = 6. Denotamos X el número de veces que el lado 6 aparece.

(i) Buscamos P(29 ~ X "" 32) o, supuesto el dato continuo, P(28,5 ~ X ~ 32,S). Ahora

28,5 en unid ades estándar = (28,5 - JO) / 5 = -0,3

32,S en unidad es estándar = (32,5 - 30)/5 = 0,5

Por tanto,

P ... P(28,5 "" X ~ 32.5) = P(-O,3 "" X' • ~ 0,5)

P(-O.3 ~ X • ~ O) + P(O ~ X' ~ 0,5)

0,1179 + 0,1 915 = 0.3094 ~

·_·0.1 0 '0. 5

(ii) Busca mos P(3 I ~ X ~ 35) o, supu esto el dato co ntinuo, P(30,5 ~ X ~ 35,5) . Ahora

30,S en unidades estánd ar = (30,5 - 30) /5 = 0,\

35,5 en unidades estánd ar = (35,5 --- 30)/5 = \,1

Entonces

P= P(30,5""X~35,5) = P(O,I~X' ~I,I)

P(O ~ X * ~ 1, 1) - P(O ~ X ' ~ O, 1)

0,3643 - 0,0398 = 0,3245 0.1 1.1

6.20. Hallar la probabilidad P de que cntre 10.000 dígitos al azar, el dígito 3 aparezca 950 veces a lo sumo.

Aquí J.I = np = 10.000· ro = 1000 y (J = ynpq = Y10,000 • ro . lo = 30. Ll amemos X el número de veces que el dígito 3 sale. Buscamos P( X "" 950). Ahora

CAP 6J DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

950 en unidades estándar = (950 - 1(00)/30

= - 1,67

Por tan to P = P(X :o 950) = P(X * :o - 1,67)

= P(X·~0) - P(-1,67~X* :00)

= 0,5000 - 0,4525 = 0,0475

DISTRIDUCION DE POISSON

6.21. Hallar (i) e - u, (ii) e - 2.5.

Por la tabla 6.3, página 112, y la ley de los exponentes:

(i) e- U

(ii) e - 2.5

( e- 1)( e - 0.3 )

(e- 2 )(e - 0.5 )

(0,368)(0, 741) = 0,273.

(0,135 )(0. 607) = 0,0819.

~ -1,67 o

119

'\''' -A 6.22. Por la distribución de Poisson p(k;'\) = T' hallar (i) p(2; 1), (ii) p(3; ~), (iii) p(2; 0,7).

(Usar la tabla 6.3, página 112, para obtener e-A .)

(i) I2e- 1 e- \ 0,36!i

p(2; 1) = 2! = 2 = -2- = 0,184

(ii) p(3; ~) (] )3e - 0.5 e- O•s 0.607

3! 48 48 0,0 13

( iii) p(2; .7) (0 ,7)2c -0.7 (0,49)(0,497)

0,12 2! 2

6.23. Supóngase que 300 erratas están di stribuidas al azar a lo largo de un libro de 500 páginas. Hallar la probabilidad P de que una página dada contenga, (i) 2 erratas exactamente, (ii) 2 o más erratas.

Consideremos el número de erratas de una página como el número de éxitos en una sucesión de pruebas de Bernoulli. Aquí n = 300 puesto que hay 300 erratas, y p = 1/500, la probabilidad de que aparezca una errata en la página dada. Puesto que p es pequeño, usamos la aproximación de Poisso n a la distribución binomial con A = np = 0,6.

(i) P p'(2; 0,6)

(ii) P(O erratas)

P(I errata)

(0,6)2e - 0. 6

O! (0,36)(0,549) /2 = 0,0988 = O, I

_ (0,6)Oe-O.6 = e-O.6 = 0,549 O!

(O 6\e-O,6 = ,ft = (O 6)(0 549) ~ 0329 l! " ,

Entonces P = I - P(O ó I errata) = 1-(0,549 + 0,329) = 0,122 .

6.24. Supóngase que el 2 % de los artículos producidos en una fábrica son defectuosos. Hallar la probabilidad P de que haya 3 artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos.

Se aplica la distribución binomial para 1/ = 100 Y P = 0,02. Sin embargo, puesto que p es pequeño, usamos la aproximación de Poisson con A = np = 2. Así

23e- 2 P = p(3; 2) =

31 8(0,135)/6 = 0,180

120 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON P. 6

(,,25, Mostrar que la distribución de Poisson . A) es una distribución de probabilidad, sea

p{k; A) 1

ror r,-,"ultados conocidos del anál isis eA l-..klk!, Por lanto,

p(l.; l-..)

Pr(lh~lr el teorema (1.5: Sea X una variable aleatoria con la distribución de Poisson . A). Por tanlO, (i) A Y (ii) var pI.') A. De aquí (J'x = y"A.

(i) Usando

k • p(k; A)

el término k o puesto que su valor es cero, y faetorizamos A en cada término). Sea s = k en la suma anterIOr. Cuando k recorre los valores la"', s recorre los valores O a "". Así,

E(X) p(s; ,,)

¡¡ucsto que pes; l-..} = 1 por el problema anterior.

(il) Primero calculamos E(X ')

k 2 p(k; l-..)

Hacemos de nuevo k ~ 1 Y obtenemos

(s + 1) p(8; A)

Pero (s + 1) pes; Xl sp(s; A) + p(8; A) A + 1

d,'nde u,:;,mo, (i) para obtener X y el problema anterior para obtener I En consecuencia,

= X(X + 1) = ).,2 + X

var

Así, el teorema queda ¡¡robado.

6.27. Mostrar que SI {J es y n es la distribución binomial se a la distribu-ció n de . n, p) <= p(k; A) .\ = np.

Tenemos b(ü; 11, p) = (1 p)tt (1 "In)". Tomando logaritmo natural a ambos lados,

In b(O; n, = n In (1 - Xln)

El desarrollo de Taylor de] logaritmo natura] es

ln(l+x)

1'''1' tanto,

CAP. 61 DISTRIBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON 121

Por tanto, si fI es gmnde,

In b(O; '11., p)

y de aquí b(O; n. p) "" e-h.

'11. ln (1

>-hlO cs, b(k; 71, p) "'" k b(k -1; n, p). Así usando b(O; n .p) "" e-A, obtenemos b(i: fI.p) "'" Xe

~J<e-A

b(2; n.p)

¡,,2e-A/2 Y. por inducción, b(k; '11., p) "" p(k; A).

PROllLEMAS VARIOS

6.28. Las lámparas de colores producidas por una compañía son 50% 30% azules y 20% verdes. En una muestra de 5 hallar la probabilidad P de que 2 sean rojas, I sea verde y 2 sean azules.

Por el teorema 6.6 sobre distribución multinomial,

p :::: 5! ~.~.c_. __ .., (0,5) '(0.3)(0,2) 1 0.09

6.29. Mostrar que la distribución normal

f(x)

cs una distribución de probabilidad continua, esto es i: f(x) dx 1.

Sustituyendo t :::: (x - /l)1cr en f_~ !(x) dx, obtenemos la integral

1 ::::

Es suficiente mostrar que J' = l Tenemos

12 :::: dI! :::: J' oc e - (3' + t')/2 dI! dt -oc

IntrodUCimos coordenadas polares en la integral doble anterior. Sea s ~o r cos (J y I r sen e Por lanto, ds dI rdr d8 y O fJ 2l:1' Y O r"'" 00, Esto es,

12 drde

Pero ""/2 1

Por lanto, 12 f211

2JT () de 1 Y el teorema qu<.:¡Jó probado.

6.30. Probar el teorema 6.3: Sea' X una variable aleatoria con distribución normal

1 e- ",(x-¡.tl"!ú'·

ayl2; f(x) ::::

Entonccs, (i) X) .¡.¡. y (ii) var(X) ~'" fil. Por tanto O'x u.

(í) Por definición. 1 J'" xe-"'(x-¡.t)·¡u" dx. EslablecÍenuo

-00

(x ¡día, obtenemos

122 DlSTRIBLCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ¡CAP 6

1

¡;¡; Pero g(t) = es una función impar, o sea, g(~I) ---g(l); por tanto

_1_ f'" e- t'/2 dt = 1 por el problema anterior En consecuencia, vz;; -.,

-(1- • O + !1 • 1 !1 como .j2;

pedía,

(ii) Por definición, E(X2) 1

(x -- p.) / (J , obtenemos u{2;

1 f"" ,¡;¡;;;. _" «1 t +

dt + 11~ 1

que se reduce como antes a 2 1 fJ --

VZ;

Hacemos esta integración por partes. Sea ti = I Y dv 1<,-1'12 dI Entonccs v y du = dI. Así

1 [ -te- t"(2 ] -YO + 1

dt 0+1

En consecuencia,

Por tanto el problema probado.


DlSTRlRUCION BINOMIAL

6.31. Hallar, (i) b(l; 5, ·h (ii) 6(2; 7,·h (iii) 6(2; 4, i).

6.32. De una corriente de 52 cartas se saca y se sustituye tres veces una carta. lIallar la de que resul-ten, (i) dos corazones, tres corazones, (iii) por lo menos un corazón.

6.33. El de un bateador de béisbol es 0,300, Si batea 4 veces, ¡,cuál es la ele que logre, (i) dos aciertos? (ii) al menos un acierto?

6.34. Una contiene 3 bolas rojas y 2 blancas. Se saca y se remplal,a una bola tres veces Hallar la de sa-car, (i) 1 bola roja, (ii) 2 bolas rojas, (iii) por lo menos una bola

6.35. El equipo Aliene i de probabilidad de ganar cuando Si juega 4 veces, hallar la probabilidad de qlle A gane, (i) 2 (ii) por lo menos I partido, (iii) más dc la mitad de los

6.36, Se saca y se sustituye una carta de una corriente, veces se liene que la operación para que, (i) por lo menos una oportunidad igual de sacar un corazón, (ii) la probabilidad de sacar un corazón sea mayor qlle i?

CAP. 61 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE PorSSON 123

6.37. La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es t. (i) Si dispara 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de que pegue en el blanco dos veces por lo menos? (ii) ¿Cuántas veces debe disparar para que la probabilidad de pegar en el blanco una vez por lo menos sea mayor del 90%?

6.38. El departamento de matemáticas tiene 8 licenciados auxiliares que se destinan a una misma olicina. Cada licenciado puede estudiar por igual en su casa o en la oficina. ¿Cuántos escritorios deben haber en la olicina para que cada uno tenga por lo menos un escritorio el 90% de las veces?

6.39. El 2% de los tornillos producidos por una fábrica son defectuosos . En un despacho de 3600 tornillos, hallar el número esperado de tornillos defectuosos y la desviación estándar.

6.40. Un dado corriente se lanza 1620 veces. Hallar el número esperado de veces que sale el 6 Y la desviación estándar.

6AI. Sea X una variahle aleatoria de una distribución binomial con E(X) = 2 y var (X) = 4/3. Hallar la distribución de X

6.42 . Considerar la distribllción binomial P(k) = b(k; n. p). Mostrar que:

(i) P(k)

P(k -1) b(lc; n, p)

b(k-l; n,p) _ (n - k + l)p

kq

(ii) P(k) > P(k -- 1) para k < (n + l)p y P(k) < P(k - 1) para k > (n + l)p.

DlSTRIBUCION NORMAL

6.43. Sea ep la distribll ción normal estándar

(i) Hallar epCi), ep(t) y ep(-~).

(ii) Hallar I tal que, (a) ep(/) = 0,100, (b) "'(/) = 0,2500, (e) 4'(/) = 0,4500.

6.44. S<::a X una variable aleatoria con distribución normal estándar ep. Hallar:

(i) P(- 0,81 ::"O X "" 1, 13), (ii) P(0,53 "" X "" 2,03), (iii) P(X ::"O 0,73), (iv) P(i X I ::"O t ).

6.45. Sea X lIna variable distribuida normalmente con media 8 y desviación estándar 4. Hallar'

(i) P(5 "" X::"O 10), (ii) P(10::"O X ::"O 15), (jii) P(X"" 15), (iv) P(X"" 5).

6.46. Supóngase que los pesos de 2000 estudiantes varones están distribuidos normalmente con media 155 libras y desviación estándM 20 libras. Hallar el número de estudiantes con pesos (i) inferiores o iguales a 100 libras, (ii) entre 120 y 130 libras, (iii) entre 150 y 175 libras , (iv) mayores o iguales a 200 libras.

6.47. Su póngase que los diámetros de los tornillos fabric ados por una com pañía están distribuidos normalmente con media 0,25 pulgadas y desviación estándar 0,02 pulgadas. Se considera defectuoso un tornillo si su diámetro es"" 0,20 pulgadas o "" 0,28 . Hallar el porcentaje de tornillos defectuosos producidos por la compañía.

6.48. Supóngase que los puntajes de un examen están distribuidos normalmente con media 76 y desviación estándar 15. El 15% de 'Ios e::studiantes, los mejores, reciben aclamación A yel 100/0, los peores, pierden el curso y reciben P. Hallar, (i) el puntaje:: mínimo para ganar un (A) Y (ii) el puntaje mínimo para aprobar (para no recibir P).

AI'HOXIMACION NORMAL A LA OISTRIBUCION BINOMIAL

6.49. Una moneda corriente se lanza 10 veces. Hallar la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive usando, (i) la dis· tribución binomial, (ii) la aproximación normal a la distribución binomial.

6.50. Una moneda corriente se lanza 400 veces. Hallar la probabilidad de que el número de caras que resulten difiera de 200 por, (i) más de 10, (ii) más de 25 .

6.51. Un dado corriente se lanza 720 veces. Hallar la probabilidad de que el 6 salga, (i) entre 100 y 125 veces inclusive, (ii) más de 150 veces.

6.52. Entre 625 dígitos al azar, hallar la probabilidad de que el dígito 7 salga, (i) entre 50 y 60 veces inclusive, (ii) entre 60 y 70 veces inclusive .

5- PROO,\llILlDAD

124 DISTRIBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON

6.53. Hallar, (i) e~I .6, (ii) e - l.).

6.54. En la distribución de Poisson p(k; A), hallar, (i) p(2; 1,5). (ii) p(3; 1), (iii) p(2; 0,6) .

lCAP. 6

6.55. Supóngase que 220 erratas están distribuidas al azar a lo largo de un libro de 200 páginas . Hallar la p[Qbabilidall de que una página dada contenga. (i) ninguna errata, (ii) I errata, (iii) 2 erratas, (iv) 2 o más erratas .

6.56. Supóngase que el 1% de los artículos producidos por una máquina son defectuosos. Hallar la probabilidad de que 3 o más artículos sean defectuosos en una muestra de 100.

6.57. Supóngase que el 2% de la población en promedio sean zurdos. Hallar la probabilidad que en 100 personas haya 3 o m:ís zurdos.

6.58. Supóngase que en una población de 50.000 hay un promedio anual de 2 suicidas. Para una población de 100.000 hallar la probabilidad de que en un año dado haya, (i) O, (ii) 1, (iii) 2, (iv) 2 o más suicidas.

DlSTRIBUCION MULTINOMIAL

6.59. Un dado se "carga para que el 6 salga 0,3 veces, el lado opuesto I salga 0,1 veces. y cada uno de los demás números sal· ga 0,15 veces. Se lanza el dado 6 veces. Hallar la probabilidad de que, (i) cada lado sa lga una vez , (ii) cada uno de los

lados 4. 5 y 6 salga dos veces.

6.60. Una caja contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 azules . Se toma una muestra de 6 bolas con sustitución, o sea, cada bola se devuelve antes de sacar la siguiente . Hallar la probabilidad de que, (i) 3 sean rojas, 2 blancas y I azul, (ii) 2 sean rojas. 3 blancas y 1 azul, (iii) aparezcan 2 de cada color.


6.31. (') 80 1 243'

(") 21 11 128'

C") 27 111 128

6.32. (i) /¡. (ii) i4. (iii) H-

6.33. (i) 0,2646. (ii) 0.7599

6.34. (') 36 1 125'

(") 54 11 125'

C") 117 llJ m

6.35. (') 216 1 625'

C) 544 11 625'

C") 112 111 625

6.36. (i) 3. (ii) 5

6.37. (') 131 1 243' (ii) 6

6.38. 6

6.39. /l = 72, (J = 8,4

6.40. /l = 270, (J = 15

X¡ o 1 2 3 4 5 6 6.41.

[(Xi) 64/729 192/729 240/729 160/729 60/729 12/729 1/729

Distribución de X con n = 6 y p = 1(3

CAP. 6) DISTRIBUCIONES BINOM IAL, NORMAL Y DE POISSON

6.43. (i) <1>(1) = 0,3867, (!) = 0,3521, (-!) = O,301!.

(ii) (a) t = ±I,66, (b) ( = ±O,97, (e) no hay valor de t.

6.44. (i) 0,2910 + 0,3708 = 0,6618, (ii) 0,4788 - 0,2019 = 0,2769, (iii) 0,5000 + 0,2673 0,1974.

6.45. (i) 0,4649, (ii) 0,2684, (iii) 0,0401, (iv) 0,2266

6.46. (i) 6, (ii) 131, (iii) 880, (iv) 24

6.47. 7,3%

6.48. (i) 92, (ii) 57

6.49. (i) 0,7734, (ii) 0,7718

6.50. (i) 0,2938, (ii) 0,0108

6.51. (i) 0,6886, (ii) 0,0011

6.52. (i) 0,3518, (ii) 0,5\31

6.S3. (i) 0,202, (ii) 0,100

6.54. (i) 0,25\, (ii) 0,06\3, (iii) 0,0988

6.55. (i) 0,333, (ii) 0,366, (iii) 0,201, (iv) 0,301

6.56. 0,080

6.57. 0,325

6.58. (i) 0,0183, (ii) 0,0732, (iii) 0,1464, (iv) 0,909

6.59. (i) 0,0109, (ii) 0,00103

6.60. (i) O, IJ 5, (ii) 0,0810, (iii) 0,0810

125

0,7673, (iv) 2(0,0987)

ít I

Cadenas de Markov

INTRODLlCCION

Repasemos las definiciones y las rías para este capítulo.

elementales de vectores y matrices que son necesa-

Por un vector ti significamos si

u

una n-upla de números:

(UI, U2, •.. , Un)

Las U¡ se llaman componentes de u. Si todas U¡

múltiplo escalar ku de ti (donde k es un número real), do las componentes de u por k:

0, entonces u se llama el vector cero. Por un el vector que se multiplican-

ku (!cu¡, kU2, ••• , kUn)

Anotamos que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son

Por una matriz A una ordenación rectangular de números:

(

all a12 al .. )

A ~2.1 •• ~2~ ........ ~2~ •

ami am 2 a",n

Las m n-uplas horizontales

se llaman las filas de A, Y las n

sus columnas. Nótese que el elemento al!' llamado la posición ij, aparece en la i-ésima fila y columna. Con frecuencia denotamos esta matriz simplemente por A (aIJ).

Se que una matriz m filas y n columnas es una matriz m por n, escrita matriz In X n; si m n, entonces se llama matriz cuadrada de n (o cuadrada n). También anotamos que una matriz con una fila solamente puede considerarse como un vector, y viceversa.

Ahora supóngase que A y B son dos matrices tales que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, es que A cs una matriz m X p Y B es una p X n. Entonces el producto de A y B, escrito A B, es la matriz m X fl cuyo elemento ij se obtiene multiplicando elementos de la fila de A por los elementos de la columna de B y luego sumando:

126

CAP. 7] CADENAS DE MARKOV 127

(

all aIP)(bll . .... . au ' . " " tli ' l , ,,' ~:,¡ : ,: ... ~,~ ,: . , amI ' " a mp bpl Cml

CIl

.. ""'" C',:n) • J.~

Cmn

donde Cij

Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B. es decir A es m X p Y B es q X n donde p 7'= q, entonces el producto AB no está definido .

Hay casos particulares de multiplicación de matrices que son de interés especial. Si A es una matriz de orden n, entonces podemos formar todas las potencias de A:

A2 = AA, A3 = AA2, A4 = AA3, ...

Además, si u es un vector de n componentes, entonces podemos formar el producto

uA

que nuevamente es un vector con n componentes . Llamamos u <F O un vector fijo (o: punto fijo) de A. si u es "fijo a izquierda", esto es, no cambia, cuando se multiplica por A:

uA = U

En este caso, para un escalar k.¡,. 0, tenemos

Esto es, (ku)A = k(uA) = ku

Teorema 7.1: Si u es un vector fijo de una matriz A. entonces todo múltiplo escalar no nulo ku de u también es un vector fijo de A .

e 8)C I a2 a

3) (ra l + 8b l ra2 + 8b2 ra3 + Sb3)

Ejemplo 7.1: = t u b l b2 b3 tal + ub l ta2 + ub2 ta3 + ub3

Ejemplo 7.2: Si A G !), entonces

G ~)G ~) (1+6 2+8) C7

5 10) A2 = 3 + 12 6 + 16 22

(1, 2, 3) ( ¡ 2

:) Ejemplo 7.3: 5 = (1 + 8 + 21,2 + 10 + 24, g + 12 + 27) (30,36,42)

8

Ejemplo 7.4: Considérese la matriz A = (! !), Entonces el vector u = (2. - 1) es un punto fijo de A. Para,

uA (2 • 2 - 1 • 2, 2' 1 - 1 • 3) (2, -1)

Así, por el teorema anterior, el vector 2u = (4 , - 2) también es un punto fijo de A:

(4,-2)(~ ~) = (4'2-2'2,4'1-2'3) = (4,-2)

VECTORES PROBABILISTICOS, MATRICES ESTOCASTICAS

u

Un vector u = (UI, Ul, .. , un) se llama vector de probabilidad si las componentes no son negativas y su suma es l.

128 CADENAS DE MARKOV

Ejemplo 7.5: Considérense los vectores siguientes:

u y ¡, O, ~)

Entonces:

11 no es un vector de probabilidad puesto que su tercera componente es negativa;

v no es un vector de probabilidad puesto que la suma de sus componentes es mayor que 1;

)V es un vector de probabilidad.

[CAP. 7

Ejemplo 7.6: El vector no nulo v (2,3,5, O. 1) no es un veclor de probabilidad puesto que la suma de sus compo-nentes es 2 + 3 -¡- 5 + ° + 1 11. Sin embargo. como las component~s de v son no negativas. l'

tiene un múltiplo escalar único A v que es un vector de probabilidad; puede obtenerse cada una de las componentes de v por el recíproco de la suma de dichas componentes:

Av o, Al. Una matriz cuadrada P (Pil) se denomina f11a/riz estocástica sí cada una de sus filas es un vec-

tor de probabilidad, esto es, sí cada elemento de P es no negativo y la suma de los elementos en cada fila es L

Ejemplo 7.7: Considérense ¡as matrices siguientes:

(l O *\ !) 1

i) :l t (; 1 \t t nI ¡

O) (i i)

(í) no es una matriz estocástica puesto que el elemento de la segunda fila y tercera columna es ncgativo;

(ii) no es una matriz estocástica puesto que la suma de los elementos de la !'.eguncla fila no es 1,

(i¡i) es una matriz estocástica puesto que cada fila es un vector de probabilidad.

Probaremos (ver a 7.10) el

Teorema 7.2: Si A Y B son matrices estocásticas, entonces el producto A B es una matriz estocástica. Además, en particular, todas las potencias A n son matrices estocásticas.

MATRICES ESTOCASTlCAS REGULARES

Ahora definimos una clase importante de matrices estocásticas cuyas ligadas posteriormen le.

deben ser in ves-

Definición: Se dice que una matriz estocástica P es regular si todos los elementos de una potencia p m son positivos.

Ejemplo 7.8: La matriz estocástica A = (~~) es regular puesto que

es positiva en cada elemento.

Ejemplo 7.9: Considérese la matriz estocástica A (~ 0, -!) . Aquí

En resumen. cada potencia Am tendrá 1 y O en la primera fila; por consiguiente, A no es regular.

CAP 71 CADENAS DE MARKOV 129

PUNTOS FIJOS Y MATRICES REGULARES

Las propiedades fundamentales de las matrices cuya prueba cae fuera del alcance de este libro.

regulares se detallan en el teorema

Teorema 7.3: Sea Puna malriz estocástica Entonces:

(i) P tiene un vector de probabilidad fijo único { y sus componentes son todas

la sucesión P, P', de de P se a la matriz T cuyas son cada punto fijo 1,

(jii) si p es un vector de probabilidad, entonces la sucesión de vectores pp. pP', ppJ, se aproxima al punto fijo t.

Nota: pn aproxima a T Cica que cada elemento de pn se aproxima al elemento corres-pondiente de T. ppn se aproxima a t significa que cada componente de ppn se aproxima a la componente correspondiente de f.

Ejemplo 7.10: Consideremos la nutri! estocástica n:gulnr P = (~. ~). Buscamos un vector de probabilidad

con dos component<;s. que ucnotar por / (x, l ... ~ xl, tal que / P = /:

(x, 1 x) (~~) (x,I-x)

el lado izquierdo de la ecuación de la matriz anterior, obtenemos

x (x, 1 x) o

1 x o x i

Así, 1 (!,1 l) == (!' ¡) es el vector de fijo único de P. Por t:l teorema 7.3, la

succ"ión P. P', P" se aproxima a la matriz T cuyas filas son cada vector 1:

PrescnUlmos

p2 _

T (

0.33

0,33

potencias de P para indicar el resultado anterior:

R) ti 1 G

p3

p5 = (h 1 l 3.2

Ejelllplo 7.11: llallar el vector do: probabilidad fijo único de la malriL estocástica ro:gular

0.75) 0,63

(0,31 \0,34

Método 1. Buscamos un vector de probabilidad con tres componentes, que podemos representar por

(x, y, I -x y), tal que ¡P /:

(x, y, 1 x - y)

130 CADENAS DE MARKOV [CAP. 7

Multiplicando el lado de la ccuación de la matriz anterior y colocando luego componentes

iguales a cada lado, obtcnemos el sistema

~. -- ~x - ~Y x 3x + y 1

x+~ y o x - 3y -1 o

y == 1 - x y x + 2y 1

Así, t = (i. ti i> es el vector de probabilidad fijo único de P

Método 2 . .Primero buscamos un vector lijo 11 (x. y. z) de la matriz P:

(o (x, y, z)

\~ 1

O

!

0\

~) (x, y, z) o

x J,. u

y i

Sabemos que el sislema tiene una solución no nula; por consiguiente, podemos asignar arbitrariamente 1m valor a una de las incógnitas. Establecemos z 2. Entonces por la primera ecuación xl, Y por la tercera ecuación}' 2. Así. u (1, 2, 2) es un punto fijo de P. Por tanto, multiplicamos

u por i para obtener el vector de probabilidad rijo buscado t == tU = (tI t' ¡).

CADENAS DE MARKOV

Consideremos ahora una sucesión de pruebas cuyos resultados, o sea, XI, X2. . satisracen las dos pro

(i) Cada resultado a un conjunto finito de resultados : o 1, oc, ., a",: llamado de estados del si el resultado de la n-ésirna prueba es al, entonces decimos que el sistema está en estado al en la vez n () en el paso n-ésimo.

(ii) El resultado de una prueba depende a lo sumo del resultado de la prueba inmediatamente prece-dente y no de cualquier otro resultado . con cada par de estados (Oí, 01) se establece la pro-babilidad Pu de que aJ suceda inmediatamente después de que suceda al'

A un proceso estocástico tal, se llama cadena de Markov (finita). Los números Pu, llamados probabilidades de transición, pueden ordenarse en una matriz

p ( :~; .. :::, . .... . :~:;) llamada matriz de transición.

para cada estado al corresponde la í-ésima lila (Pu, Pí2, .•. , P¡m) de la matriz de transiClon si el sistema está en estado (l.¡ entonces este vector fija las probabilidades de todos los resultados posibles de la prueba siguiente y, por tanto, es un vector de probabilidad. En consecuencia,

Teorema 7.4: La matriz de transición P de una cadena de Markov es una matriz estocástica.

Ejemplo 7.12: Un hombre o maneja su carro o toma el treo para ir a trabajar cada día. Supóngase que nunca toma el tren dos días seguidos; pero si maneja para trabajar, entonces al día siguiente es tan posible que maneJe de nuevo como que lome el tren.

El espacio de estados del sistema es I f (lren), d 1. ~~le proceso estocástico es una ca-dena de Markov puesto que los resultados de un día dependen únicamente de lo que sucedió el día anterior. La matriz de transición de la cadena de Markov es

t d

t (0 1) d t t


La primera fila de la matriz corresponde al hecho de que nunca toma el tren dos días seguidos y por tanto es seguro que man ejará al día siguiente de usa r el tren. La segunda fila de la matriz corresponde al hecho de que al día siguiente de manejar, manejará o tom ará el tren con igual probabilidad.

Ejemplo 7.\3: Tres niños A. By C se pasan una bola unos a otros. A siempre tira la bola a B y éste siempre la pasa a C; pero C pasa la bola tan posiblemente a 8 como a A Denote mos X n la n-ésima persona a quien se pasa la bola. El espacio de estados od sistema es lA. B. e:. Esta es una cadena de Markov puesto que la persona que lanza la bola no est á innuenciada por aquella que tenía previ amente la bola . La matriz de transición de la cadena de Markov es

A B e

~ (1 i n La primera fil a de la matriz corresponde al hecho oe qu e A siempre pasa la bola a B. La segun

da fila co rresponde al hecho de que 8 siempre pasa la bola a e La liltim a fila corresponde al hecho de que C la pasa a A o a 8 con probabilidad igual (y no se la pasa a sí mismo).

Ejemplo 7.14: Una escuela consta de 200 niños y 150 niñas. Se selecciona un estuoiante tras o tro para un examen de ojos. Denotam os por X n el sexo dell/-ésimo es tudi ante que toma el e·xamen. El espacio de estados del proceso estocástico es I m (hombre), j (mujer) 1. Sin embargo , este proceso no es una cadena de Markov puesto que, por ejemplo, la probabil idad de que la tercera perso na sea una niña no solamente oepende del resultado de la segunda prueba sino de ambas, la primera y la segunda pruebas.

Ejemplo 7.15: (Recorrido al aza r sujeto a señales rellectantes .) Un homb re es tá en un punto entero sobre el eje x entre el origen O y, por ejemplo , el punto 5. Da un paso unioad a la derecha con probabilioad p o a la izquierda con probabilidad q = I - p. a men os que esté en el o rigen oonde da el paso a la derecha al punto I o si está en el punto 5 donde da el paso a la iLljuierda al punto 4. Designamos X n su posición después de n pasos. Se trata de una cadena de Markov con espacio de estados {ao. al. az• a3• a4• as} donde al significa que el hombre est á en el punto i. La matriz de tran sición es

ao al a2 a3 a4 as

ao O 1 O O O O

al q O P O O O

a2 O q O P O O P

aa O O q O P O

a4 O O O q O P

lis O O O O 1 O

Caoa fila de la matriz, excepto la primera y la última. corresponoe al hecho de que el hombre se mueve del estado al a I estado al + I con probabilidad p o retrocede al estado al_¡ con probabilidad 1] = I - p. La primera fila corresponde al hech o de que el hombre tiene que moverse del estado ao al estado al Y la liltima fila del estado a5 al es taoo aol.

PROBABILIDADES DE TRANSICION SUPERIOR

El elemento PIj en la matriz de transición P de una cadena de Markov es la probabilidad de que el sistema cambie del estado al al estado aJ en un paso: Ut'-' ajo Averiguar: ¿Cuál es la probabilidad, denotada por pin>, de que el sistema cambie del estado al al estado aJ en n pasos exactamente:

iJ

j ¡ " l ' ,. 1

! ji ~ I

r. ~ ,

r \

r

·1 I


El siguiente teorema resuelve la pregunta; transición de n pasos:

los Pi;n) se ordenan en la matriz pCnl llamada matriz de

Teorema 7,5: Sea P la matriz de transición de un proceso de cadena de Markov. Enlonces la matriz de transición de 11 pasos es igual a la II-ésima pOlencia de P: esto es p(n) pn,

Ahora supóngase que después de un la probabilidad de que el sistema esté en estado a¡ es PI: denotamos estas probabílidades por el vector de probabilidad p (p l, pI. Pm) que denomina distribución de probabilidad del sistema para tal tiempo. En parlicu denotaremos por

P (O) = (p(O) p(Ol p(()) l'2'·~·'m

la distribución de probabífidad inidal, o sea la distribución cuando el proceso y denotaremos por

(p (") p(n) p(nl) 1 ' 2 ,-~~, m

la distribución de probabilidad de paso Aplicamos el siguiente teorema,

o sea la distribución de los pri meros 11 pasos.

Teorema 7.6: P la matrjz de de un proceso de cadena de Markov. p ¡) es la dis-tribución de probabilidad del sistema para un tiempo arbitrario, entonces pP es la dis~ tribución de probabilidad del sistema un paso más tarde y ppn es la distribución de pro

del sistema n pasos más tarde. En particular,

, , " p(nl = p(O) pn

Ejemplo 7.16: Considérese la cadena de Markov del ejemplo 7.12 cuya matriz de transición es

p

Aquí I es el estado de tornar el tren para ir a trabajar y d el de plo 7.8.

para ir a trabajar. Por el cjem-

p2. p2 (1 1. )(1 ~.) t ~ t ~. .~)

lr.

Así, la probabilidad de que el sistema cambie de, por ejemplo, el estado I al estado den 4 pasos exac-

tamente es J'I, o sea p(4) = 5, Similarmente p(4) Il p(4) = v 1"1(4) = .l1 Ir !d '!J • tt 1" dI ; r dd t 6'

Ahora supóngase que en el primer día de trabajo el hombre lance un dado corriente y maneje pa-ra ir al si y sólo si sale un 6. En otras palabras, p(O) = (lt, t) es la dístribucíón de probabi· lidad inicia 1. Entonces

p(OlP4 1~) 16

=

es la distribución de probabilidad

Ejemplo 7,17: Considérese la cadena de Markov del ejemplo 7.13 cuya matriz de transición es

A B e

p ~ n : !)

•


Supóngase que e fue la primera persona con la bola, esto es, p(O) = (0,0, \) es la distribuci ón de probabilidad inicial. Entonces

lO. o. 1) U 1

~) p(1) p(O)P ° (t. !. O)

! t

I;.!.O) (~ 1

:) p (2) p(l)P ° (O. !. !) ! !

Iq.t) G 1,

~) p(3) p(2)P O (t. t· ~) !

Por tanto, después de tres pases, la probabilidad de que A tenga la bola es t, de que B tenga la bola es t y de que e tenga la bola es l p~3) = t. p13 ) = t y p2) = -!.

Ejemplo 7.18: Considérese d problema del paseo casual del problema 7.15. Supóngase que el hombre comienza en el punto 2; hallar la distribución de probabilidad después de J pasos y después de 4 pasos, esto es p(3) y p(4).

Ahora p(O) = (O, 0, \, 0, 0, O) es la distribución de probabilidad inicial. Enlonces

p(1) (O, q, O, P. O, O)

p(Z) p(I)P (q2, O, 2pq, O. pZ. O)

p(3) p(Z)P (O, q2 + 2pq2, O. 3pZq, O, p3)

p(4) p(3)P

Así, después de 4 pasos el hombre está en el origen con probabilidad q3 + 2pq3.

DISTRIBUCION ESTACIONARIA DE CADENAS DE MARKOV REGULARES

Supóngase que una cadena de Markov es regular, esto es, que su matriz de transición P es regular. Por el teorema 7.3 la sucesión de las matrices de transición pn de n pasos se aproxima a la matriz Tcuyas filas son cada una el vector de p~obabilidad fijo único t de P; por consiguiente, la probabilidad p~t) de que aj suceda para n suficientemente grande es independiente del estado original a, y se aproxima a la componente tJ de t. En otras palabras,

Teorema 7.7: Considérese que la matriz de transición P de una cadena de Markov es regular. Entonces, a la larga, la probabilidad de que un estado aJ suceda es igual aproximadamente a la componente tJ del vector de probabilidad fijo único t de p,

Así, vemos que el efecto del estado inicial o de la distribución de probabilidad inicial del proceso desaparece a medida que el número de pasos del proceso aumentan. Además, cada sucesión de distribuciones de probabilidad se aproxima al vector de probabilidad fijo t de P, llamado la distribución estacionaria de la cadena de Markov.

Ejemplo 7.19: Considérese el proceso de cadena de Markov del ejemplo 7.12 cuya matriz de transición es

t d

P t (O 1) d t -!

• • ~

t

• • t t

• • • • • • " • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

134 CADENAS DE MÁKKOV [CAP 7

Según el ejemplo 7. 10 el vector de probabilidad fijo único de la matri z anterior es (t, ¡). Por cons iguiente, a la larga, el hombre tomará el tren t de la s veces, y manejará los otros ¡ del tiempo.

Ejemplo 7.20: Considérese el proceso de cadena de Markov del ejemplo 7.13 cuya matriz de transición es .

A B e

p Hi i n Por el ejemplo 7.1 1. el vector de probabilidad fijo úni co de la matriz ante rior es (t, t, ¡). Así . a I~

larga, A lanzar á la bola 20% de las veces y B y e 40% de las veces.

ESTADOS ABSORBENTES

Un estado al de una cadena de Markov se llama absorbente si el sis tema permanece en el estado al una vez que entra en él. Así, un estado a¡ es absorbente si y sólo si la fila i-ésima de la matriz de transición P tiene un I en la diagonal principal y ceros en las demás par tes . (La diagonal principal de una matriz cuadrada de orden n A = (al') consta de los elementos all, a22, ...• ann .)

Ejemplo 7.2\: Supóngase que la siguie nte matri z es la matriz de transición de una cadena de Markov:

al a2 a3 a4 as

al

(¡ O i t

¡~ a2 T. O O

P a3 O i t a4 1 O O

a5 O O O

Los estados 02 y ° 6 son cada uno abso rbentes, puesto que cada una de la segunda y quinta filas tiene un I en la diagonal principal.

Ejemplo 7.22: (Recorrido al azar con señales absorbentes.) Consideremos el problema del paseo del ejemplo 7.15, excepto que ahora suponemos qu e el hombre permanece en uno de los dos extremos cuando llega allí. Esto también es una cadena de Markov y la matriz de tran sición está dada por

ao al a2 a3 a4 as

ao O O O O O

al q O P O O O

P a2 O q O P O O

a3 O O q O P O

a4 O O O q O P as O O O O O m

A este proceso lo llamamos un recorrido al azar con señales absorbentes. En este caso, p~n) denota la probabilidad que el hom bre llegue al estado 00 en el paso n-ésimo o antes. Similarmente, p~n) denota la probabilidad que llegue al estado 05 en el paso n-és imo o antes .

Ejemplo 7.23: Un jugador tiene x dólares. Apuesta un dólar cada vez y gana con probabilidad p y pierde con probabilidad q = I - p. El juego termin a cuando pierda todo su dinero. o sea. tenga O dólares. o cuando gane N - x dólares, esto es, tenga N dólares . Este juego es idéntico al del recorrido al azar del ejemplo precedente excepto que aquí los obstáculos absorbentes son O y N .


Ejemplo 7.24: Un hombre lanza una moneda corriente hasta cuando salgan 3 caras sucesivas. En la prueba n-és ima, tomamos X n = k si el último sello ocurre en la prueba (n - - k), o sea Xn denota la fila más larga de caras que termina con la prueba n-ésima. Esto es un proceso de cadena de Mark ov con un espacio de es tados I ao, a '. 02, al 1, donde al representa la fila de caras con longitud i. La matriz de transición es

ao al a2 a3

ao

(; t O

0) al O t O

a2 O O t a3 O O "1 t: ...

Cada fila, excepto la última, corresponde al hecho de que una fila de caras se interrumpe si sale un sello o aumenta uno si sale cara. La última línea corresponde al hecho de que el juego termina si sa len tres caras seguidas. Nótese que a, es un estado absorbente.

Sea a, un estado absorbente de una cadena de Markoy con matriz de transición P. Entonces, para j </= i, la probabilidad de transición de paso n es p,~n) = O para cada n. En consecuencia, cada potencia de P tiene un elemento cero y, por tanto, P no es regular. Así:

Teorema 7.8: Si una matriz estocástica P tiene un I en la diagonal principal, entonces P no es regular (a menos que P sea una matriz I X I).

Problemas resueltos

MULTIPLICACION DE MATRICES

7.1. Sea u (1, - 2, 4) y A G ; -~). Halla< uA

El producto del vector u con 3 componentes por la m a triz A 3 X 3 es de nuevo un vector con 3 componentes. Para obtener la primera componente de uA, multiplicamos los elementos de u por los elementos correspondientes de la primera columna de A y luego sumamos:

3

2

1

(1 • 1 + (-2)' O + 4' 4, (17,

Para obtener la segunda componente de uA , multiplicamos los elementos de 11 por los dementos correspo ndientes de la segunda columna de A y luego sumamos:

(17,1'3+(-2)'2+4'1, (17, 3,

Para obtener la tercera componente de uA, multiplicamos los elem en tos de u por los elem en tos correspo ndientes de la tercera columna de A y luego sumamos:

(17,3,1'(-1)+(-2)'5+4'6) (17, 3, 13)

Esto es, uA (17,3,13)


7.2. Sea A = (1 3) y B Hallar, (i) AB, (ii) BA.

7.3.

2 -1

(i) Puesto que A es 2 X 2 Y 8 es 2 X 3, el producto A 8 es una matriz 2 X 3. Para obtener la primera fila de A B,

multiplicamos los elementos de la primera fila de (1,3) de A por los elementos correspondientes de cada una de las

columnas G) , (_~) y (-:) de 8 y lu ego sumamos:

(¡ .' . . ~ ) ( .~ ~é:l ~~.~:41 ) 2 -1 \ , . '; h~~ ~, ,1J..:

1 - O + 3 - (-2) -6

Para obtener la segunda fila de AB. multiplicamos los elementos de la segunda fila (2, - 1) de A por los elementos correspondientes de cada una de las columnas de 8 y luego sumamos:

-6 2'0 + (-1)'(-2)

Así, AS =

14 ) 2'(-4)+(-1)-6

-6 2

14) -14

-6 14) 2 -14

(ii) Nótese que n e, 2 X 3 Y A es 2 X 2. Puesto que los "números interi ores" 3 y 2 no son iguales, esto cs. el número de columnas de 8 no es igu al al número de filas de A y, por tanto, el producto nA no está definido.

Sea A

(i) A2

(ii) A3

(1 2) Hallar,(i) A2,(ii) Al. 4 -3 .

= AA G -!)G -~) (

1'1+2'4

4' 1 + (-3)' 4

l' 2 + 2· (-3) ) 4-2 + (-3) '(-3)

(1 2)( 9 -4) 4 -3 -8 17

( l' 9 + 2' (-8)

4'9 + (-3)'(-8) 1-(-4)+2'17 )

4' (-4) + (-3) '17

( 9 -4) -8 17

(-7 30) 60 -67

VECTORES PROBABILlSTlCOS y MATRICES ESTOCASTICAS

7.4. ¿C uáles vectores son vectores de probabilidad'!

(i) u = (t, 0, -i, i, t), (ii) v = (t, 0, i, 1, t), (iii) w = CL 0, 0, i, i)· Un vector es un vector de probabi lidad si sus componentes no son negativas y su suma es l.

(i) 11 no es un vector de probabilidad puesto que su tercera com ponente es negati va.

(ii) v no es un vector de probabilidad puesto que la sum a de las componentes es mayor que l .

(iii) IV es un vector de probabil idad puesto que las componentes no son negativas y su suma es I

7.5. Multiplicar cada vector por el escal3r apropiado para form ar un vector de probabilidad :

(i) (2, 1,0,2,3), (ii) (4,0, 1,2,0,5), (iii) (3,0, -2, 1), (iv) (O, 0,0,0, O).

(i) La suma de las componentes es 2 + I + O + 3 + 2 = 8: por tanto. multiplicamos el vector, o sea, cada componente, por i para obtener el vector de probab ilidad (:1,.g, O, :1, ¡).

CAP.7j CADENAS DE MARKOV

(ji) La suma de componentes es 4 + O + I + 2 + O S 12; por tanto, multiplicamos el vector, esto es, cada componente, por para obtener el vector de probabilidad (1,0, fí, o, La primera componente es y la tercera es negativa; por tanto, es imposible multiplicar el vector por un escalar para formar un vector con componentes no negativas. Por consiguiente, ningún múltiplo escalar del vector es un vector de probabilidad.

(iv} Todo múltiplo escalar del vector cero es el vector cero cuyas componentes suman O. Por tanto, ningún múltiplo del vector cero un vector de probabilidad.

7.6. Hallar un múltiplo de cada vector que sea un vector de probabilidad:

7.7.

(i) (~, ¡,O, 2, ti), (ii) (O, ff, 1, !, ti). En cada caso, multiplicamos primero cada vector por un escalar para que las fracciones se eliminen.

(í) M ultiplícarnos primero el vector por 6 para obtener (3, 4, O, 12, 5). Luego multiplicamos por 4 + O + 12 + 5) = para obtener (!. i, 0, que es un vector de probabilidad.

(11) Multiplicamos primero el vector por 30 para obtener (O, 20, 30, 18, 25). Luego por 1/(0 + 20 + 30 +- 18 + 25) ¡fu para obtener (O,~, ~,~) que es un vector de probabilidad.

(i) A

de las matrices

t O :) (ii) B

son

(í) no es una matriz estocástica puesto que no es una matriz cuadrada.

(iv) (1 -!) t 1-'

(Jí) B no es una matriz estocástica puesto que la suma de las componentes de la últim::¡ fila es mayor que l.

(iíi) e es una matriz estocástica.

(IV) D no es una matriz estocástica puesto que el elemento de la primera fila, segunda columna es negativo.

7.8. Sea A (::~: ~:\)' una matriz estocástica y sea 11 (u 1, /12, 11 J) un vector de

U3 ba C3

lidad. Demostrar que tiA también es un vector de probabilidad.

Puesto que 11 ¡. a j. b ¡. y ('! son no negatívos y puesto que los y sumas de nú meros no negativos son no las componentes de !lA son no ncg;¡tivas como se Así, solamente necesitamos demostrar que la sum;¡ de

las componentes de l/A es l. Aquí usamo;¡ el hecho de que 1/ ¡ + tu + ¡¡ l, al + b 1 + el, GJ + b, + el y a J b) + e)

wn cada uno l'

u¡a¡ + uzaz + uaas + u¡b¡ + + b¡ + Cl} +

ul'1 + u2'1 + ua'1

+ + u¡c¡ + u2c2 + uacs

+ b2 + + us(aa + ba + ca)

1

7.9. Probar: A = (aiJ) es una matriz de orden ti y ti (UI, Ul, . . , Un) es un vector de probabilidad, entonces uA también es un vector de probabilidad.

La prueba es similar a la del problema precedente para el caso n 3:


Puesto que los u¡ y ai¡ son no negativos, las componentes de uA también son no negativas. Así, solamenle necesitamos demostrar Que la suma de las componentes de /lA es 1.

7.10. Probar el teorema 7.2: Si A Y B son matrices entonces el producto A B es una matriz estocástica. Además, en todas las potencias A n son matrices estocásticas.

La fila ¡-ésima SI de la matriz producto A B se obtiene multiplicando la fila ¡-¿sima ft de A por la matriz B· sI = r¡ B. Puesto que cada" es un vector de probabilidad y B es una matriz estocástica, por el problema precedente, s, también es un vector de probabilidad. Por consiguiente, AB es una matriz estocástica.

7.11. Probar: Si p (p t, pl, , Pm) es un vector de probabilidad, y T es una matriz cuyas filas son cada una el mismo vector (t 1, ll, .. tm). Entonces pT t.

U sando el hecho de que Pi + P' + . .. + p rn = 1, tenemos

pT

MATRICES ESTOCASTICAS REGULA y VECTORES PROBABILlSTICOS FIJOS

de la matriz estocástica A - (i i) Hallar a - ! ~ . 7.12. Hallar el vector de probabilidad qué matriz se A n

.

Buscamos un vector de probabilidad t (x. 1 - x) tal que lA = l.

(x,l xl (! !) (x, 1 x)

Multiplicamos el lado izquierdo de la ecuación de la matriz anterior y luego pectivas para obtener las dos ecuacioncs

x,

unas a otras las cornponentcs rcs-

1-:;;

Resolvemos cualquiera de las ecuaciones para hallar x = 1- Por tanto, I <t, i) es cl vector de probabilidad pedido.

La respuesta se verifica calculando el producto lA:

La respuesta es correcta puesto que lA 1.

La matriz A" se aproxima a la matriz T cuyas filas son cada una el punto fijo 1: T


7.13. (i) Comflrohar que el vector 11 (h, a) es un punto fijo de la matriz 2 X 2 estocástica general

p=(l-a a). b 1 - b

(ii) Usar el resultado de (i) para hallar el vector de probabilidad lijo único de cada una de las matrices siguientes:

A = (~ ~) (i) uP

(1 - a a) (b, a)

b 1 - b

(-~

B = ~

& ~) e = (0,7 0,3) 0.8 0,2

(b - ab + ab, ab + a - ab) (b, a) u.

(ii) Por (i), /1 = (1, i ) e, un punto liJO de A Multiplicamos 11 por 3 para obtener el punto fijo (3. 2) de A que no tiene fraccione" Luqw rnulti[1lieClmo, (3. 2) pur 1/(3 + 2) = ~; para obtener el vector de probabilidad fijo único pedido (~-, g).

Por (í). 11 = (.¡j-, t) e, un punto fijo,de lJ Multiplicamos 11 por 6 para obtener el punto fijo (4,3), Y luego multi[Jli camos por I/('~ -j 3) = ~, pala obtenCf el vector dc probabilidad lijo único pedido (t, t).

Por (i). 11 = (O.n, (J ,3) es un punto liJO de e Por tanto (8. 3) Y el vector de probabilidad (A, A) también son punto, fijo, de e

7.14. Hallar el vector de probabilidad fijo único de la matriz cstocústica regular

p

M étodo L [lusc<l mo, un vector de probabilidad r ~. (x, y, I

(

J_ ~

(x, y, 1 - x - y) ~

-l O

1

1:

° 1

,\ - y) tal que rP = r'

(x, y, 1 - x - y)

Multiplicalllo , el lado iZ4uicruo de la ecuación de la matriz anterior e igualarnos unas a otras las componentes corresponuientes para úbtencl el sistema de tlCS ecuaciones

{

-!x + 1Y = x

ix -t- 1 - x - y = y

ix + 1U = 1 - x - y

o {

x-y=O

3x + 8y = 4

5x + 6y 4

. U ,1 l' I I b 4 4 V 'fi I l' , ' l: scogCflWS os uC a, ecual'lllne, en .\ y Y para rc:so ver as y o tener x = ¡¡ y y = 11' en Icarnos a so uClon por sUSti-

tuci ón de .\ y Y en la terena ecuación , Puesto 4ue I - x )' = f¡, el vector de probabilidad fijo requerido t S

1 4 3 t = (¡¡'li'li)'

Método 2. Ul"eanlos un vector fijo 11 ~ (.\, y , :) ue la rnarri/ 1':

(.~-

(x, y, z) ~

t O

1

(x, y, z)

Multiplicamos el miembro de la i/.quierda de la ecuación de la matriz anterior e igualarnos unas a otras las componentes corresponuicnte, rar a obtener el ,istcm,1 Ut tres ecuaciones

f-1X + ~Y = x

ix + z = y

l.ix + ~y = z

,l

{

X - y = O

x - 4y + 4z

x + 2y - 4z

O

O


S~bcl11os que sistema tiene una solución diferente de cero; por consiguiente, podemos asignar arbitrariamente un lor una de las incógnitas. Hacemos y 4. Entonces por la primera x 4, y por la tercera 3. Así, 11 = [4, 4, 3) es un punto fijo de P Multiplicamos 11 por 1/(4 + 4 para obtener I = h 11

que es un vector de y también es un punto fijo de p,

7.15. Hallar el vector de probabilidad fijo único de la matriz estocástica

(~ 1

:) p 1. !.!

Y decir a matriz se P". i

aprOXIma

f3USC;UTIOS primero un vector fijo u (x. y. :) de la matriz P:

(x, y, z)

el miembro de la izquierda de la ecuación de la matriz anterior e igualamos una a otra las componentes correspondientes para obtener el slstema de tres ccuaClOncs

y o

z {

y 6x

6x + 3y + 4z :::: By

y + z = 3z

o {

y = 6x

6x + 4z

y Zz

3y

Sabemos ljue el sistema tiene ulla solución diferente de cero: por tanto, podemos asignar arbitrariamente un valor a una de las incógnitas Hacernos y I Entonces. por la primera ecuación y 6, Y por la última ecuación : = J. Así que ¡¡ (1,6. J) es un punto fijo de P Puesto que I + 6 + 3 10, el vector t (io, es vector de probubilidad fijo único de P buscudo.

P" aproxima a la rnatri7 Tcuyas filas son cada una el punto fijo 1: (\o Tu ~ 10

7.16. Si t CL 0, 1, 1, O) es un punto fijo de una matriz estocá"lica P, ¿por qué P no es regular')

7.17.

Sí P es regular. enton..:cs. por el teorema 7,}, P tiene un vector de probabilidad fijo único, y las componentes del vector son positivas. Como las componentes del vector de probabilidad dado no ,on todas P no puede ser regular.

¿Cuáles de las icas son regulares')

(~ i

i) (~ O

i) (i) A (t ~) (ii) B == (O ~) (iii) e 1 (iv) D i \0 \1 t 1

Insistimos en ljue una matriz estocástica es regular si una de la matriz tiene elementos positivos única-mente,

(í) A no es regUlar puesto que hay un 1 en la principal (en la segunda fila).

B2 G ~)G 1\ G ~) matriz idéntica I O) =

E3 :::: G ~)G ~) G ~) B

Así. cada potencia par de B es la matriz idéntica 1 y cada potencia impar de B es la matriz n, En consecuencia, cada pctencia de B tiene cero elementos y, así, B no es regular.

CAP. 7] CADENAS DE MARKOV

(iii) e no es regular puesto que tiene un I en la diagonal principal.

(iv) D2 = (~ i

1

y (f i ti

Como todos los elementos de D) son positivos, D es regular

CADENAS DE MARKOV

141

7.18. Los hábitos de estudio de un estudiante son como Si estudia una noche, está seguro de no estudiar la noche Por otra si no estudia una noche, está 60% seguro de no estudiar tampoco la noche siguiente. A la larga, ¿con qué frecuencia estudia?

Los estados del sistema son S (de estudiar) y T (de no estudiar). La matriz de transición es

p

S T

S (0,3 0.7) T 0,4 0,6

Para averiguar qué sucede a la larga, tenemos que hallar el vector de probabilidad fiJO único I de P. Por el problema 7.1

u (0,4,0,7) es un punto fijo de P y así / = ,t) es el vector de probabilidad buscado. Así que la larga el estu·

diante estudia fi de las veces.

7.19. Un hace los supuestos que conciernen al comportamiento de ratas sujetas a un especial de alimentación, Para una particular, 80(Yo de las ratas que pa-

ra la derecha en el experimento previo hicieron lo mismo en esta prueba, y 60% de aquellas que cogieron para la en el para la derecha en esta prueba, Si 50% van a la derecha en la primera ¿qué se podría predecir para, (i) la segunda prueba? (ii) la tercera (iii) la milésima prueba?

Los estados del sistema son R (derecha) y L (izquierda). La matriz de transición es

R L

p R (0,8 0,2) L 0,6 0,4

La distribución de probabilidad para la primera prueba es p = (0,5, Para calcular la distribucíón de proba-bilidad para el paso siguiente, es 10 es, la segunda prueba, multiplicamos p por la matriz de transición P:

(0,5, 0,5) 0,2) 0,4 ::: (0,7,0,3)

Por consiguiente, en la segunda se espera que el 70";" de las ratas vayan a la derecha y 30% la izquierda. Para calcular la distribución de probabilidad para la terct:ra prueba, multiplicamos lade la segunda prueba por P:

(0,7, 0,3) (0,8 0,2) = (0,74, 0,26) 0,6 0,4

Así, en la tercera prueba se espera que el 74% de las ralas se dirijan a la derecha y 26% a la izquierda.

Suponemos que la distribución de probabilidad para la milésima prueba es esencialmente la distribución de probabilidad estacionaria de la cadena de MarkoY,'esto es, el vector de probabilidad fijo único I de la matriz de transición P Por el problema 7.13, u (0,6, 0,2) es un punto fijo de P yasí I (1,1) = (0,75, 0,25). Por tanto, se espera que en la prueba mil 75% de las ratas irán la derecha y 25% a la izquierda.

142 CADENAS DE MARKOV [CAP.

7.20. Dada la matriz de transición P (

1 . 0) con distribución de probabilidad inicial P(o) i !

(i) p(S) es la probabilidad de pasar del eslado al al estado (J 1 en 3 pasos. ESlo se 21

obtener de la matriz de transi-

ción de J pasos P J; por lanto, calculamos primero P ':

p2 == G ~). pa

Entonces p~~) es el elemento de la segunda fila primera columna de ps: pi~)::::: l

(ii) pIS) es la distribución de probabilidad del sistema después de tres pasos. Puede obtenerse calculando sucesivamente pO), p(2) Y luego p(ll):

p(O = (1, i) G ~) (1' !)

p(1)P (l,}) G :) (t, !)

pO!) = p(2)P ::::: (i,!) (~ ~) Sin embargo, como la matm de 1 ransición de 3 pasos P 1 ya se calculó en (i), piS) también puede obtenerse como sigue:

11 ~) (~, i) \1 Ir

(jii) p<;) es la probabilidad de que el proceso esté en el estado a, después de 3 pasos; esto es. la segunda componente

de la distribución de probabilidad de 3 pasos p(S): p~a) -h,.

7.21. Dada la matriz P -jl:.1- Y la distribución de probabilidad inicial p(O) = (,¡, 0, t). ( °0

1 :1 !~)

Hallar: (i) p~;) y pi;), (ii) p(4) Y p~4), (iii) el vector al cual se aproxima p(Olpn,

a que se aproxima

(i) Calculamos primero la matriz de transición de 2 pasos pI:

p2 (i ! O) i i i t t O

Entonces p~;)::::: t y Pg) = 0, puesto que estos números s,e refieren a los elementos de P2.

la matriz

Oi) Para calcular p(4), usamos I~ matriz de transición de 2 pasos P ¡ y la distribución de' probabilidad inicial p(O):

y

Puesto que es la tercera componente de p(~), p(4) :1 :1

(iii) Por el teorema 7.3, p{Ol[>n se aproxima al vector de probabilidad fijo único t de P. Para obtener /, hallamos pri-mero un vector fijo u (x. y, z):

CAP. 71 CADENAS DE MARKOV

(

O t t) (x, y, z) t ! o

O 1 O

= (x, y, z) o {

t y = x

t x + ty + z = y

tx = z

143

Hallar una solución no nula del anterior sistema de ecuaciones . Hacemos x = 1; luego por la tercera ecuación x = 2, y por la primera ecuación y = 4. Por tanto, u = (2,4 , 1) es un punto fijo de P y así t = (,,~, '). En otras palabras, pCOlpn se aproxima a (t, t, t).

(iv) pn se aproxima a la matriz Tcuyas fila~ son cada una el vector de probabilidad fijo de P; por consiguiente

7.22. La región de ventas de un vendedor la componen tres ciudades, A, By C. Nunca vende en la misma ciudad en días seguidos. Si vende en la ciudad A, entonces al día siguiente vende en la ciudad B. Sin embargo, si vende en una de las dos B o e, entonces al día siguiente está en doble posibilidad tanto para vender en A como en la otra ciudad. A la larga, ¿con qué frecuencia vende en cada ciudad?

La matriz de tran sición del problema es como sigue:

A B e A

(: 1

n p B o e t

Buscamos el vector de probabilidad fijo único de la matriz P Hallamos primero un vector fijo u = (x, y, z):

(x, y, z) o {

iY + iz = x

x + tz = y

!Y = z

Hacemos z = l. Luego por la tercera ecuación y = 3 y por la primera ecuación x = ~ . Así, u = (~ , 3, 1) .

También Ju = (8, 9, J) es un vector de probabilidad fijo de P. Multiplicamos 3u por 1/(8 + 9 + 3) = -lo para

obtener el vector de probabilidad fijo pedido t = (~, fa, lo) = (0,40, 0 ,4 5, 0,15). Por consiguiente, a la larga

vende 40% del tiempo en la ciudad A, 45% del tiempo en S y 15% del tiempo en C.

7.23. Hay 2 bolas blancas en una urna A y 3 rojas en otra urna B. A cad a paso del proceso se selecciona una bola de cada urna y las dos bolas escogidas se intercambian. Sea el estado a" del sistema el número i de bolas rojas de la urna A . (i) Hallar la matriz de transición P. (ii) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A después de 3 pasos? (iii) A la larga, ¿cuál es la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A?

(i) Hay tres estados, a o, a I ya, desc ritos en los diagramas siguientes:

A B

11 WI ~

A

11 WI ~

B A

12 WI ~

B

Si el sistema está en el estado ao, entonces ti ene que escogerse una bol a blanca de la urna A y una roja de la urna S, así que el sistema tiene que pasar al estado a l . En consecuencia , la primera fila de la matri z de transición es (O, 1, O).

144

(ii)

CADENAS DE MARKOV [CAP. 7

Supongamos que el sistema está en estado 01, Puedc pasar al estado ao si y sólo si se escoge una bola roja de la urna A y una blanca de la urna B. la probabilidad de que suceda esto es l' t =!-. Así, PlO = i· El

si~tema puede pasar del estado a'l al 02 si y sólo si se selecciona una bola blanca de la urna A y una rOJa de la urna B: la probabilidad de que suceda esto es l' t = t- Así, Pl2 = t. En consecuencia, la probabilidad de que

el sistema permanezca en estado a 1 es Po = 1 - ! - t = t. Así, la segunda fila de la matriz de transición es Ch l' t). (Obsérvese que p 11 también se puede obtener del hecho de que el sistema permanezca en estado 01

si se saca o una bola blanca de cada urna, con probabilidad t' t = l, o u na bola roja de cada urna con proba-

bilidad t· i = t; así, Pll = t+ t = l)

Ahora supongamos que el sistema está en estado 0>. Tiene que sacarse una bola roja de la urna A Si se escoge una bola roja de la urna B. con probabilidad t, entonces el sistema permanece en estado a, y si se escoge una bola blanca de la urna B, con probabilidad ¡. entonces el sistema pasa al estado a l. Nótese que el sistema nunca puede pasar del estado a, al estado ao. Así, la fila tercera de la matriz de transición es (O, j, t). Esto es.

aO al a2

ao (! 1 f) P al ~ az i

El sistema empieza en estado ao, esto cs. p(O) = (1, O, O). Así:

pO) = p(O)p = (O, 1, O), p(2) = p(!)P = (i,~, l), p(3) = p(2)P = (...L 23 ~) :¿lf 12'3a'I8

En consecuencia. la probahilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A después de 3 pasos es fa. (iii) Buscamos el vector de probabilidad fijo único I de la matriz de transición P. Primero hallamos un vector fijo u =

(x. y. z):

1

~ i

= (x, y, z) o {

i Y = x

x + 1V + ¡z tv + t z = z

y

Hacemos. x = I Luego por la primera ecuación y = 6 y por la tercera ecuación z = 3. Por tanto, 11 = (1,6.3).

M ultipliquernos LI por 1/ ( I + 6 + 3) = -ro- para obtener. el vector de probabilidad fijo único I = (0.1. 0.6, 0,3) requerido. Así a la larga, 30% de las veces habrá 2 bolas rojas en la urna A.

Nótese que a la larga la distribución de probabilidad es la misma que si las cinco bolas se colocaran en una urna y se escogieran 2 al azar para ponerlas en la urna A.

7.24. Un jugador liene $2. Apuesta $1 cada vez y gana $1 con probabilidad t. Deja dejugar si pierde los $2 o si gana $4. (i) ¿Cuál es la probabilidad de que pierda su dinero al final de, a lo sumo, 5 juegos? (ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el juego dure más de 7 juegos?

Esto es un recorrido al azar con señales absorbentes en O y 6 (ver ejemplo 7.22 y 7.23). La mat riz de transición es

no al a2 a3 a4 as aa

ao 1 O O O O O O

al t O ~ O O O O

a2 O t O 1 O O O

P a3 O O ! O ~ O O

(t4 O O O ~ O ~ O

as O O O O ~ O t aa O O O O O O 1

con distribución de probabilidad inicial p(O) = (O. O. l. O, O. O, O) puesto que empieza con $2.


(i) Buscamos p ~5), la probabilidad de que 0:1 sistema esté en estado a o después de 5 pasos. Calculamos la distribución

de probabilidad del quinto paso p(5) :

(i i)

p(t)

pez)

pes)

p(o) P

p(l) P

p(2) P

(O, i. O, i, O, O, O)

== (i, O, i, O, -1-, O, O)

(i, -1-, O, i, O, t, O)

p(4} = p(5)

p(3) P

p(4) P

Así, Pri 5 ), la probabilidad de que no tenga dinero después de 5 juegos, es i-

(i, O, !s' O, -1-, O, n) (i, -h, O, -h, o. t. n)

Calculamos p(7): p(6) = pes) P = (li4' O, ..&:, O, 1.3.4:1, O, ~), p(71 = p(6) P - (20 7 O 27 O 13 1)

64 ~" 64 ll" - 64'64' '128' '128'S

La probabilidad de que el juego dure más de 7 juegos, esto es, de que el sistema no esté en el estado áo o a6 , 7 27 13 _ 27

des pues de 7 pasos, es ;¡¡ + 128 + lZ8 - 64'

7.25, Considérense lanzamientos repetidos de un dado corriente . Sea X n el máximo de los números que resulten en las n primeras pruebas ,

(i) Hallar la matriz de transición P de la cadena de Markov. ¿La matriz es regular?

(ii) Hallar pO), la distribución de probabilidad después del primer lanzamiento. (iii)

(i)

Hallar pez) y p(3).

El espacio de estados de la cadena de Markov es I 1,2,3,4,5,6: . La matriz de transición es

1 2 3 4 5 6

1 t ~ t i i i 2 O i i i i i

P 3 O O ~ t ! i 4 O O O ! i i 5 O O O O fr i 6 O O O O O 1

Obtenemos, por ejemplo, la tercera fila de la matriz como sigue. Supóngase que el sistema está en el estado 3, ° sea, el máx.imo de los números que resultan en las /1 primeras pruebas es J. Entonces el sislema permanece en estado 3 si un 1, 2 ó J sucede en la prueba (/1 + 1); por tanto P33 = !. Por otra parte, el sistema pasa al estado

4,5 ó 6, respectivamente, si un 4, 5 ó 6 sucede en la prueba (n + 1); por tanto P34 = P35 = P36 = i. El sistema nunca puede pasar al estado I ó 2 puesto que salió un 3 en una de las pruebas; de aquí P3; = P32 = O. Así, la tercera fila de la matriz de transición es (O, O, i, t. i. t). Las otras filas se obtienen similarmente.

La matriz no es regular puesto que el estado 6 es absorbente, o sea, hay un I en la diagonal principal, lila 6.

(ii) En el primer lan zamiento del dado el estado del sistema X I es el número que sale; por tanto,

p(1) = (i, t, t, t. t, i)·

(iii) p(2) = p(l) P = (:fs, fa, f¡¡. ifH, ~,*"). p(3) = p(2) P = (2:6' 2;6' 2\96 , ;176' Z6¡16 , ;116)'

7.26. Dos ninos b I Y b, Y dos niñas g I Y g, están lanzándose una bola el uno al oLro. Cada niño pasa la bola al otro niño con probabilidad t y a cada niña con probabilidad i . Por otra parte, cada niña lanza la bola a cada nino con probabilidad t y nunca a la otra nina . A la larga, ¿con qué frecuencia recibe cada uno la bola?

Esto es una cadena de Markov con espacio de estados I b " bl, g " gl: y matriz de transición.

b l b2 01 02

b¡

(1 t -1-

f) b2 O t

P 01 t O

Oz t O

, .'

I ¡ 1

146 CADENAS DE M ARKOV [CAP, 7

Buscamos un vector 11 (x. y. z. w) de P: (x. y. z. w) P (x. y. z. w), Hacemos las componentes correspon-de uP iguales a u para obtener el sistema

tY + t z + tw == x

t x + tz + tw y

ix + ay Z

+ iY w

Buscamos una solución diferente de cero, Sea z 1; entonces w = 1, x 2 y Y 2, Así 11 = (2,2.1,1) y, por tanto. la probabilidad fija única de P es I Cl, t, t, i). Así, a la larga, cada niño recibe la bola t de las veces y cada níña t[de las veces.

7.27. Probar el teorema 7.6: Sea P (p ij) la matriz de transición de la cadena de Markov, P i) es la distribución de probabilidad del sistema un paso más esto es, cada k 1 vez;

entonces ppn es la distribución de probabilidad del sistema n pasos más tarde, esto es, en la k + n vez. En particular, pm == p(O)P, p(2) pmp, ... y también p(n) p{(}) pn.

Supóngase que el espacio de estados es ¡ a al, , a m 1. La probabilidad de que el sistema esté en estado o 1 en la vez. k y luego en estado o, en la vez k + I es el producto Pj Pw Así, la probabilidad de que el sistema esté en estado o ¡ en la vez k + I es la suma

ro

P1Pa + PZPZI + ... + P",Pml = PjPjl

Así. la distribución de probabilidad en la vez k + l

m PjP¡2, ..•• m P¡Pjm) m

==

Sin embargo. este vector precisamente es el producto del vector P (PI) por la matriz P = (pU): p* pP.

7.28. Probar el teorema 7.5: Sea P la matriz de transición de una cadena de Markov. Entonces la ma-triz de transición de paso n es igual a la potencia n-ésima de p(n) = pn.

Supongamos que el sistema está en estado al en la k·ésima vez. Buscamos la probabilidad p~n) de que el sistema

esté en estado aj en la k + n-ésima vr:::z. Ahora la distribución de probabilidad del sistema en la vez k. puesto que el sistema está en estado aj, es el vector ei (O,. ,0, 1, 0, " O) que tiene un I en la i-ésima posición y ceros en cual-quier otra partc. Por el problema la distribución de probabilidad en la k n-ésírna vez es el producto

Pero es la ¡-ésima fila de la matriz pn, Por tanto, PI") es la componente j-ésima de la f1Ia ¡-ésima de la matriz pro, y así p<n) = pro, {j

PROBLEMAS VARIOS

7.29. Las probabilidades de de una de Markov pueden representarse por un diagra-ma, llamado diagrama de transición. donde una probabilidad positiva p,¡ es señalada por una flecha del estado a ¡ al estado al' Hallar la matriz de transición de cada uno de los diagramas de transición

(í)

1 8 1

tCS~} aa 0,4

~ 1

(ii)


(i) Obsérvese primero que el espacio de estados es la" al, a J : y, por tanto, la matriz de transición es de la forma

p ) La fila i-ésima de la matriz se obtiene hallando aquellas flechas que parten de al en el diagrama; el número anexo a la flecha de al a aJ es la componentej-ésima de la fila i-ésima . Entonces la matriz de transición es

(i i) El espacio de estados es {al. az. a3. a4}' La matriz de transición es

al az a3 a4

al

(~ 1 O

') a2 1 O ~ P

a3 O O ~ a4 O 1 O

7.30. Supóngase que la matriz de transición de una cadena de Markov es como sigue:

al az as a4

al

(i t O

~\ a2 t O P

a3 i ! !) a4 ! ! ¿La cadena de Markov es regular?

Nótese que una vez que el sistema pasa al estado al o ¡il estado az, entonces nunca puede pasar al es tado as o al estado a4 , esto es, el sistema permanece en el sub-espacio de estados I al, a21. Así, en particular, p(n) = O, para cada n y, por t anto , cada potencia pn contiene un elemento cero. Se concluye que P no es regular. 13

7.31. Supóngase que 11/ puntos en un círculo se numeran 1,2, ,In respectivamente en la dirección contraria a la de las agujas del reloj . Una partícula realiza un "paseo al azar" sobre el círculo; se mueve un paso en dirección contraria a la de las agujas del reloj con probabilidad p o un paso en la dirección de las agujas con probabilidad q = I -- p. Hallar la matriz de transición de esta cadena de Markov.

El espacio de estados es I 1, 2.. ,m 1. El diagrama de la derecha que se muestra luego puede usarse para obtener la matriz de tran sición del diagrama puesto a la izquierda .

1 2 3 4 m-2 m-l s

m

1 O p O O O O q

2 q O P O O O O

P 3 O q O P O O O

o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

m-l O O O O q O P m-I

m p O O O O q O

148 CADENAS DE MARKOV


MULTIPLlCAC!ON DE MATRICES

:= (~ -2 -D. H,II" ,A,i. (i) , 7.32. Dado A 1 (1, 2), (ji) u (3, O. ~ 2), (iii) u

\5 2

G :) G 1

-1 7.33. Dado A y B . Hallar AB y BA,

1

7.34. Dado A ( 23 • Hallar A2 y AJ.

7.35. Dado A G ~). Hallar An.

VECTORES PROBABlU')TICOS y MATRICES ESTOCASTICAS

7.36. ¿Qué vectores son vectores de

7.37. Hallar un múltiplo escalar de cada vector que sea vedor de probabílídad:

(i) (3, O, 2, 5,3) (ii) (2, i, O, i, !' O, 1)

7.38. ¿Qué matrices son estocásticas?

(i) (: ~ ;) (U) G ~) (iii) G ~) (iv) (t t) (v)

MATRICES ESTOCASTICAS REGULARES y VECTORES DE PROBA81L1DAD fIJOS

7.39. Hallar el vector de probabilidad fijo único de cada matriz:

(U) (! !) (íii) (0,2 0.8) 0.5 0.5

(iv) (0,7 0,3) 0,6 0,4

7.40. (i) Hallar el vector de probabilidad fijo único I de P

(ji) ¿A matriz se aproxima pn? (jii) ¿A qué vector se aproxima (1, l. í)pn '1

7.41. Hallar el vector de probabilidad fijo único I de cada matriz:

A = (;

~ t\

(t 1 0\

(i) i ~) (U) B O !) 1 i

(f t t

i) t O 7.42. (i) Hallar el vector de probabilidad lijo único I de P

(íi) ¿A qué matriz se aproxima pn? O O

(ii i) ¿A qué vector se {l, O, t, !)P" ') t O

¿A qué vector se apro)(ima (t, 0, O, t)pn ~

7

(4, 1, 1) .

CAP, 7]

7.43. (i) Dado que I

(ji) Dado que I

CADENAS DE MARKOV

(1' o, t,!) sea un punto fijo de una matriz estocástica P, ¿P es regular?

;t, i,!) sea un punto fijo de una matriz estocástica p, ¿P es regular?

7.44. ¿Qué matrices estocásticas son regulares'?

(i t n ¡a) (! t (i) 1° 1 t

\1 o i i

7.45. Mostrar que (éj + ce + de, +

p

CADENAS DE MARKOV

i) (O o 1

(iii) ¡t O \0 1 o

+ ae, ad + bd + be) es un punto fiJO de la matriz

a

c~d

f 1

b

d

e

149

7.46. Los hábitos de fumar de un hombre son los siguientes: Si fuma cigarrillos con filtro una semana, los suspende a la semana siguiente con probabilidad 0,2, Por otra parte, si fuma cigarrillos sin filtro una semana, hay una probabilidad de 0,7 que continuará fumando de éstos la semana siguiente. A la larga, ¿con qué frecuencia fumará cigarrillos con filtro?

7.47. La suerte de un Jugador sigue una pauta: Si gana un juego, la probabilidad de ganar el ,iguientc es 0,6_ Sin embargo, si pierde, I a probabilidad de perder el siguiente es 0,7. Además existe igual probabilidad de que el jugador gane el prJ mer juc:go,

(i) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el segundo Juego')

(ií) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el

(iii) A la larga, ¿con qué fr.:cuencia

7.48. Para una cadena de Markov, la matriz de transición es P (; !) con distribución de probabilidad inicial

p(O) = (i. Hallar: (i) p~); (i!)

matriz P" se aproxima,

7.49. Para una cadena de Markov, la mlllriz de transiCIón es P

(iv) p(2), 1 '

o O

~ (iv) p(2).

1

el vector p(O)pn se aproxima; (vi) la

7.50. Un hombre cambia su carro por uno nuevo cada año. Si liene un Bui,k, lo cambia por un Plymoulh, Si liene un Plymouth, lo cambia por un Ford, Sin embargo, si lÍen.:: un ford, es igualmente qm: lo cambie por un Ford como por un Buick o un Plymoulh, En ¡ 955 compró su primer carro que era un

(i) Hallar la prqbabilídad de que tenga un, (a) Ford 1957, (b) BlllCk 1957, (e) Plymouth 1958, (d) Ford 1958,

(ii) A la larga. ¿con qué frecuencia tiene Ford?

7.51. Hay 2 bolas blancas en una urna A y 4 rojas en otra urna B. A cada paso del proceso se selecciona una bola de cada urna, y las dos bolas escogidas se intercambian. Sea X n el número de bolas rojas de la urna A después de n intercambios, (í) Hallar la matriz de transición P (ii) es la probabilidad de que haya 2 bolas en la urna A después de J pasos? (iii) A la larga, es la probabilidad de que haya 2 bolas rojas en la urna A')

7.52. Resolver el problema anterior para el caso de que haya 3 bolas blancas en la urna A y 3 holas rojas en la urna B.


7.53. Se lanza una moneda corriente hasta que salgan 3 caras seguidas . Sea X .. la longitud de la sucesión de caras que terminan en la prueba n-ésima. (Ver ejemplo 7.20.) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 8 lanzamientos de la moneda por lo menos?

7.54. Un jugador tiene 3 dólares . En cada jugada, pierde un dólar con probabilidad i pero gana dos dólares con probabilid ad i. Deja de jugar si pierde sus 3 dólares o si gana por lo menos 3 dólares.

(i) Hallar la matriz de transición de la cadena de Markov.

(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos 4 jugadas en el juego?

7.55. El diagrama de la derecha muestra cuatro compartimientos con puertas de

oomunicación de linos con otros. Un ratón est{¡ en un compartimiento y tiene

la misma probabilidad de a travesar cada IIna de las puertas del co mpartimien ·

to . Hallar la matriz de tran sición de la cadena de Markov.

PROBLE¡\-1AS VARIOS

7.56. Hallar la matriz de tran sic ión correspo ndiente a cada diagrama de transición :

(í)

7.57. Dibujar el diagrama de transición para cada una de las matri ces de tran sición:

al a2

(! i) (i) p al (ii) P

a2

2 o 1

+ S 4

lii)

al a2 aa

(! !

D al

a2 i aa !

7.58. Considérese el vector el = (O. . O. l . O. • O) que tiene un I en la pos ici ón i-és ima y cero en las demás partes. Mos-trar que elA es la lila i-ésima de la mat riz A (~icmprc que el producto esté definido j.

Respuestas de los problemas propuestos

7.32. (i) (--'-1, -1, 12), (ii) (-7, -10, 3), (iii) (-5, -11, 10)

c~ ( 5 -1 13) -4) BA = -3 -9 9 7.33. AB -10 • -5 -3 -6

7.34. A2 (l~ ~). A3 (26 18) 27 -1 7.35. An =G 2;) 7.36. Solamen le (iii)

CAP.7J CADENAS DE MARKOV

7.37. (i) (3/13, O, 2/13, 5/13, 3/13)

(ii) (8/18, 2/18, O, 1/18, 3/18, O, 4/18)

(iii) (4/45, 24/45, 6/45, O, 3/45, 8/45)

7.38. Solamente (ii) y (iv)

7.39. (i) (6/11, 5/11), (ii) (10/19, 9/19), (iii) (5/13, 8/13), (iv) (i, t) 7.40. (i) t:;:: (4/13,8/13,1/13), (iii) t = (4/13, 8/13, 1/13)

7.41. (i) t = (2/ 9, 6/9, 1/9), (ii) t = (5/15, 6/15, 4/15)

7.42. (i) t = (2/11, 4/11, 1/11,4/11), (iii) t, (iv) t

(~ O O

~) 7.43. (i) No, (ii) no necesariamente, v gr. 1 O

P = O 1

7.44. Solamente (iii) O O

7.46. 60% de las veces

7.47. (i) 9/20, (ii) 87/200, (iii) 3/7 de las veces

7.48. (i) 9/16, (ii) 3/8, (iii) (37/64,27/64), (iv) 37/64, (v) (0,6 , 0,4) (vi) (0,6 0.4) 0,6 0,4

7.49. (i) 3/8, (ii) 1/2, (iii) (7/16,2/16,7/16), (iv) 7/16

7.50. (i) (a) 4/9, (b) 1/9, (e) 7/27, (d) 16/27. (ii) 500/0 de las veces

1 7.51. (i) P ~ (f t !) (ii) 3/8 (jii) 2/5

7.52. (i) P =

7.53. 81/128

t

(~ 1 O

;) ! 1-

9 (ii) 32/81 ! t O 1

1 O O O O O O ! O O i O O O

O ! O O i O O

7.54. (i) P = O O ! O O i O

7.55.

7.57

O O O ! O O i O O O O ! O i O O O O O O 1

7.56.

(iii) 9/20

(ii) 27/64

t O) t t i i

(ii)

(

O O 1 O) i t O i

(ii) t O O t t too

151

Algtbra de conjuntos, 5 Aná lisis combinatorio, 16 Aplicación, 74

C(I/, r), 21 Caden" (M arkov), 130 Cadena de r..,larkov, 130 Células, 5 Clases de co njuntos, 5 Cocficientts del binomio, 19 Coeficientes multinomiales, 20 Columna de una matriz, 126 Combinaciones, 21 Complemento de un conjunto, 2 Complemento relativo, 2 Componente de un vector, 126 Conjunto, 1 Conjunto nulo, I Conjllnto potencia, 5 Conjunto producto, 4 Conjunto universal, I Conjunto vacío, I Conjuntos contables, 4 Conjuntos dt índicts, 5 Conjuntos disyuntos, 2 Conjuntos finitos, 4 Conjuntos infinitos, 4 Conjuntos no contables, 4 Conteo, 16 Correlación, 80 Covarianza, 80

Desfavorable, 105 o.:sigualdad de Tchebycheff, 86 Desviación estándar , 78, 83, 85 Diagonal, 134 Diagonal principal, 134 Diagrama de árbol, 9, 23, 55 Diagrama de transición, 146 Diagrama de Venn , 3 Dift:n:ncia de conjuntos, 2 Distribución (de variable aleatoria), 75, 83 Distribución binomial, 105 Distribución conjunta, 79 Distribución de Bcrnoulli, 106 Distribución de Gauss, 106 Dist ribución de Poisson, 108 Distribución de probabilidad inicial , 132 Distribución estacionaria, 133 Distribución marginal, 80 Distribución multinomial, 109 Distribución normal, 106 Distribución normal estándar, 107

Elemento, I

INDICE

Enteros, 2 Entcros positivos, 2 Espacio de estados , 130 Espacio de probabilidad discreto, 43 Espacio de probabilidad finito, 41 Espacio de probabilidad producto, 50 Espacio equiprobable, 42 Espacio equiprobable finito, 42 Espacio muestra!, 38 Espacio uniforme, 42, 43 Espacios muestrales infinitos, 43 Esperanza, 75, 83, 84 Estado absorbente, 134 Evento, 38 Evento cierto, 38 Evento imposible, 38 Eventos aleatorios, 42 Eventos dependientes, 57 Eventos elementales, 38 Eventos independientes, 57 Eventos mutuamente cxclusivos, 39 Exito (distribución binomial), 105

F am il ia de conju ntos, 5 Favorable, 105 Fila de una matriz, 126 Fracaso (distribución binomial), 105 Frecuencia relat iva, 38 Función, 74 Función de densidad, 84 Función de distribución acumulativa, 85 Función de probabilidad, 40, 75 Función de probabilidad condicional, 63 Función de probabilidad conjunta, 79 Función de variables alcatorias, 82

Imagen, 74 Imagen inversa, 74 Independencia, 57 Indice, I Infinito contable, 4 Intersección de conjuntos, 25 Intervalo, 2

Ley de los grandes números, 86 Leyes de De Morgan, 3

Matriz, 126 M atriz cuadrada, 126 Matriz de transición, 130 M atriz estocástica, 127 M atriz estocástica regular, 128 Media, 75 Miembro, I M uestras ordenadas, 18

153

Multiplicación escalar, 126

N (enteros positivos), 2 N(¡< , (T2),107

Notación factorial, 16 N ú meros reales, 2

Particiones, 5, 22, 56 Particiones ordenadas, 22 P(Il, r), 17 P(/.;; >.) , 108 Permutaciones, 16 Permutaciones con repeticiones, 17 Probabilidad, 38, 4ü

Prubabilidad condicional, 54 Problema del cumpleaños, 43 Proceso estocástico , 55 Proceso estocástico finito, 55 Producto de probabilidad, 50 Promedio muestral, 87 Promedio ponderado, 75 Pruebas con sustitución, I g Prufbas independienltS, 58, 6!! Pruebas repetidas, 5!! Punto muestral, 38

R (números rcales), 2 Recorrido, 74

Su bconjunto , I Sucesos, 38, 57

Técnicas de contar, 16 Teorema central del límite, 108 Teorema de Bayes, 56 Teorema de la multiplicación, 55 Teorema dd binomio, 19 , 27 Triángulo de Pascal , 20

Unidades estándar, 107 U nión de conjuntos, 2

Valor esperado, 75 Variable aleatoria continua, 84 Variable aleatoria discre ta, 83 Variable aleatoria estandarizada, 79 Variable aleatoria independiente, 81, 85 Variables aleatorias, 74 Varianza, 78, 83, 84 Vector, 126 Vector de probabilidad , 127 Vector fijo, 127, 129 Ventajas, 42

Z (enteros), 2

Documents

Probabilidad Teoria y 500 Problemas Resueltos.pdf