Introduccion a La Teoria de Probabilidad

(Introduccin a la Teora de la Probabilidad)

Cristhian Emmanuel Garay LpezTraduccin al espaol de

Introduction to ProbabilityTheory

Julio 2003

(Publicado Originalmente por Houghton Mifflin)

Paul G. Hoel, Sidney Port, Charles Stone.

Indice general

1. Espacios de Probabilidad 41.1. Ejemplos de fenomenos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Espacios de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Propiedades de las probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Analisis Combinatorio 172.1. Muestras ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Union de eventos* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6. Problemas de emparejamientos* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7. Problemas de ocupacion* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8. Numero de cajas vacas* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Variables aleatorias discretas 273.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Calculos con densidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Vectores aleatorios discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4. Variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.1. La distribucion multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.2. Aproximacion de Poisson a la distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5. Sucesiones infinitas de ensayos de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6. Sumas de variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Esperanza de VariablesAleatorias Discretas 444.1. Definicion de Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Propiedades de la esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Varianza de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5. Coeficiente de correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.6. Desigualdad de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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Indice general Indice general

5. Variables Aleatorias Continuas 585.1. Variables aleatorias y sus funciones de distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.1. Propiedades de las funciones de distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Densidades de variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.1. Formulas de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2. Densidades simetricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3. Densidades Normales, Exponenciales y Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.1. Densidades Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.2. Densidades Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.3. Densidades Gama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4. Funciones de distribucion inversas* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Variables AleatoriasConjuntamente Distribuidas 746.1. Propiedades de las distribuciones bi-variadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2. Distribucion de sumas y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1. Distribucion de sumas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.2. Distribucion de cocientes* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3. Densidades Condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.1. La Regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4. Propiedades de las distribuciones multivariadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.5. Estadsticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.6. Distribuciones muestrales* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.7. Cambios de variables multidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7. Esperanzas y el Teorema delLmite Central 937.1. Esperanza de variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2. Una definicion general de esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3. Momentos de variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.4. Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.5. El Teorema del Lmite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.5.1. Aproximaciones Normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.5.2. Aplicaciones al muestreo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8. Funciones Generadoras de Momentosy Funciones Caractersticas 1068.1. Funciones Generadoras de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.2. Funciones Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.3. Formulas de Inversion y el Teorema de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.4. La Ley Debil de los Grandes Numeros y el Teorema del Lmite Central . . . . . . . . 113

9. Caminatas aleatorias yProcesos de Poisson 1179.1. Caminatas aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2. Caminatas aleatorias simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.3. Construccion de un Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.4. Distancia a partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

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9.5. Tiempos de espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

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Captulo 1

Espacios de Probabilidad

La teora de la probabilidad es la rama de las matematicas que se ocupa de los fenomenosaleatorios (o de azar). Ha atrado a muchas personas hacia su estudio, tanto por su interes intrnsecocomo por sus exitosas aplicaciones a muchas areas dentro de las ciencias fsicas, biologicas y sociales,en ingeniera y en el mundo de los negocios.

Muchos fenomenos tienen la propiedad de que su observacion repetida bajo un conjunto especficode condiciones invariablemente nos llevan al mismo resultado. Por ejemplo, si una pelota inicialmenteen reposo se deja caer desde una altura de d pies a traves de un cilindro evacuado, invariablementecaera al piso en t =

2d/g segundos, donde g = 32 ft/s2 es la aceleracion constante debida a

la gravedad. Hay otros tipos de fenomenos cuya observacion repetida bajo un conjunto especficode condiciones no siempre nos conducen al mismo resultado. Un ejemplo familiar de este tipo defenomenos es el lanzamiento de una moneda. Si una moneda es lanzada 1000 veces, las ocurrenciasde aguilas y soles se alternan de una manera que pudiera parecer erratica e imprevisible. Estos sonel tipo de fenomenos en los que pensamos como aleatorios y los cuales son el objeto de nuestrainvestigacion.

A primera vista, podra parecer imposible el hacer una afirmacion que valga la pena acerca detales fenomenos aleatorios, pero este no es el caso. La experiencia ha mostrado que muchos fenomenosno deterministas exhiben una regularidad estadstica que los hace propicios a ser estudiados. Estopuede ser ilustrado considerando los lanzamientos de la moneda una vez mas. Para un lanzamientocualquiera no podemos hacer una prediccion que no sea trivial, pero las observaciones muestranque para un gran numero de lanzamientos, la proporcion de aguilas parece fluctuar alrededor deun numero fijo p entre 0 y 1 (siendo p muy cercano a 12 , a menos que la moneda este severamentedesbalanceada). Parece como si la proporcion de aguilas en n lanzamientos convergiese a p si hacemosn. Pensamos en esta proporcion lmite p como la probabilidad de que la moneda caiga aguilaen un lanzamiento dado.

Generalizando, el decir que cierto resultado experimental tiene probabilidad p se puede interpre-tar como que si el experimento es repetido un gran numero de veces, este resultado sera observadoaproximadamente 100 p por ciento de las veces. Esta interpretacion de las probabilidades se llamala interpretacion de la frecuencia relativa. Es muy natural en muchas aplicaciones de la teorade la probabilidad a problemas del mundo real, especialmente aquellos que involucran a las cienciasfsicas, pero en muchas ocasiones parece muy artificial. Por ejemplo, Como podramos dar unainterpretacion de frecuencia relativa a la probabilidad de que un bebe recien nacido viva al menos70 anos? Muchos intentos se han hecho, ninguno de los cuales es totalmente aceptable, para darinterpretaciones alternativas a tales enunciados probabilsticos.

Para la teora matematica de la probabilidad, la interpretacion de las probabilidades es irrel-evante, as como en la geometra la interpretacion de los puntos, lneas y planos es irrelevante.

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1.1. Ejemplos de fenomenos aleatorios 1. Espacios de Probabilidad

Utilizaremos la interpretacion de la frecuencia relativa de la probabilidad solo como una motivacionintuitiva para las definiciones y teoremas que estaremos desarrollando a lo largo del libro.

1.1. Ejemplos de fenomenos aleatorios

En esta seccion discutiremos dos ejemplos simples de fenomenos aleatorios para motivar laestructura formal de la teora.

Ejemplo 1 Una caja tiene s bolas, etiquetadas 1, 2, . . . , s pero de cualquier otra forma identicas.Considere el siguiente experimento. Las bolas son mezcladas muy bien en la caja, una persona pasay toma una bola sin preferencia alguna. El numero de la bola as obtenida se anota y despues seregresa a la caja. El resultado del experimento es el numero de la bola seleccionada. Acerca de esteexperimento no podemos dar ningun pronostico que no sea trivial.

Supongamos ahora que repetimos n veces el experimento antes descrito. Sea Nn(k) el numero deveces en que la bola etiquetada con la k fue obtenida durante estas n repeticiones del experimento.Digamos, por ejemplo, que tenemos s = 3 bolas y que hicimos n = 20 ensayos. Los resultados deestos 20 ensayos pueden ser descritos listando los numeros que aparecieron exactamente en el ordenen el que se obtuvieron. Un resultado tpico sera

1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2

en cuyo casoN20(1) = 5, N20(2) = 8, y N20(3) = 7

Las frecuencias relativas (i.e., la proporcion de las veces) de los resultados 1,2 y 3 son entonces:

N20(1)20

= 0.25,N20(2)20

= 0.40, yN20(3)20

= 0.35

Si el numero de ensayos crece, esperaramos que las frecuencias relativas Nn(1)n , . . . ,Nn(s)n se es-

tabilizaran en algunos numeros fijos p1, p2, . . . , ps (los cuales en este caso, de acuerdo a nuestraintuicion, deberan ser todos 1/s).

Por la interpretacion de la frecuencia relativa, el numero pi sera llamado la probabilidad de quela i-esima bola fuera extrada si el experimento se efectuara una sola vez (i = 1, 2, . . . , s).

Ahora haremos un modelo matematico del experimento de sacar una bola de la caja. Para haceresto, primero tomamos un conjunto que tenga s puntos, el cual ponemos en correspondencia uno-uno con los posibles resultados del experimento. En esta correspondencia exactamente un punto de sera asociado con el resultado de que la bola etiquetada con k sea seleccionada. Llamemos a esepunto k. Al punto k le asociamos el numero pk = 1/s y le llamaremos la probabilidad de k.Observamos de una vez que 0 pk 1, 1 k s y que p1 + . . .+ ps = 1.

Ahora supongamos que ademas de estar numeradas del 1 a s, las primeras r bolas estan pintadasde rojo, y las restantes r s estan pintadas de color negro. Realizamos el experimento como antes,pero ahora solo estaremos interesados en el color de la bola obtenida, y no en su numero. Unrazonamiento momentaneo muestra que la frecuencia relativa de las bolas rojas obtenidas dentro delas n repeticiones del experimento es simplemente la suma de las frecuencias relativas Nn(k)/n sobretodos los valores k que corresponden a una bola roja. Esperaramos, y la experiencia lo comprueba,que para n grande esta frecuencia relativa debera estabilizarse alrededor de un numero fijo. Ya quepara n grande se espera que las frecuencias relativas Nn(k)/n esten cerca de pk = 1/s, podemosanticipar que la frecuencia relativa de las bolas rojas estara cerca de r/s. Nuevamente la experiencia

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verifica este hecho. De acuerdo a la interpretacion de la frecuencia relativa, llamaramos entonces ar/s la probabilidad de obtener una bola roja.

Veamos ahora como podemos reflejar este hecho en nuestro modelo. Sea A definido porA := {k |k es una bola roja}, entonces A tiene exactamente r puntos. Llamamos a A unevento. Mas generalmente, en esta situacion llamaremos a todo subconjunto B de un evento. Eldecir que ocurre el evento B significa que el resultado del experimento es representado por un puntoen B.

Sean A y B dos eventos. Recuerde que la union de A y B, denotada por AB es el conjunto detodos los puntos tales que A o B. Ahora, los puntos de estan en correspondenciacon los resultados del experimento. El evento A ocurre si el experimento conlleva a un resultadoque este representado por algun punto en A, y de manera similar el evento B ocurre si el resultadodel experimento es representado por algun punto en B. El conjunto A B representa el hecho deque el evento A ocurre o el evento B ocurre. De manera analoga, la interseccion A B de A yB consiste en todos los puntos que estan en ambos conjuntos, por lo tanto, si A B, entonces A y B, por lo tanto, A B representa el hecho de que ambos eventos A y B ocurren.El complemento Ac (o A) de A es el conjunto de puntos en que no estan en A. El evento A noocurre si el experimento da un resultado que este representado por un punto en Ac.

En un diagrama, si A y B estan representados por las regiones indicadas en la Figura 1a,entonces A B, A B y Ac estan representados por las regiones sombreadas en las figuras 1b, 1cy 1d respectivamente.

1a

1c

1b

1d

A B

AUB

U

A B Ac

Figura 1

Para ilustrar estos conceptos, sea A el evento bola roja seleccionada y sea B el evento bolaimpar seleccionada, entonces la union A B representa el evento que, ya sea una bola roja o unabola impar halla sido seleccionada. La interseccion AB es el evento, bola roja impar seleccionada.El evento Ac ocurre si una bola roja no fue seleccionada.

Ahora nos gustara asignarles probabilidades a los eventos. Matematicamente, esto solo significaque asociaremos a cada subconjunto B un numero real. A priori, podramos hacer esto de unaforma arbitraria, sin embargo, estaremos restringidos si queremos que estas probabilidades reflejenel comportamiento del experimento que estamos tratando de modelar. Como debemos hacer estaasignacion?, ya le hemos dado a cada punto el numero s1. Por lo tanto, a un conjunto que constede un solo punto {} se le asignara el numero s1. Ahora, por nuestra discusion acerca de lafrecuencia relativa del evento obtener una bola roja, parece que deberamos asignar al evento

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A la probabilidad P (A) = r/s. Generalizando, si B es cualquier evento, definiremos P (B) comoP (B) = j/s si es que B tiene exactamente j puntos. Observamos entonces que

P (B) =kB

pk,

donde

kB pk significa que sumaremos los numeros pk sobre aquellos valores k tales que k B.De nuestra definicion de P (B) se sigue facilmente que los siguientes enunciados son verdaderos.Dejamos su verificacion al lector.

Sea que denote al conjunto vaco, entonces P () = 0 y P () = 1. Si A y B son cualesquierados subconjuntos ajenos, i.e., A B = , entonces

P (A B) = P (A) + P (B).

Ejemplo 2 Se sabe de experimentos fsicos que un isotopo de cierta sustancia es inestable. En eltranscurso del tiempo decae por la emision de neutrones a una forma estable. Estamos interesadosen el tiempo que le toma a un atomo de este isotopo en decaer a su forma estable. De acuerdoa las leyes de la fsica es imposible el decir con certeza cuando un atomo especfico del isotopodecaera, pero si inicialmente observamos un gran numero N de atomos, entonces podemos haceralgunas predicciones acertadas acerca del numero de atomos N(t) que aun no han decado al tiempot. En otras palabras, aun podemos predecir acertadamente la fraccion de atomos N(t)/N que nohan decado al tiempo t, pero no podemos decir cual de los atomos ya lo ha hecho. Ya que todoslos atomos son identicos, el observar N atomos simultaneamente equivaldra a N repeticiones delmismo experimento, donde, en este caso, el experimento consiste en observar el tiempo que le tomaa un atomo en decaer.

Ahora, para una primera aproximacion (que de hecho es muy acertada) la razon a la cual elisotopo decae al tiempo t es proporcional al numero de atomos presentes al tiempo t, as que N(t)esta dado aproximadamente como la solucion de la ecuacion diferencial

df

dt= f(t), f(0) = N,

donde > 0 es una constante de proporcionalidad fija. La unica solucion de esta ecuacion es f(t) =Net y entonces la fraccion de atomos que no han decado al tiempo t esta dada aproximadamentepor N(t)/N = et. Si 0 t0 t1, la fraccion de atomos que decaen en el intervalo [t0, t1]es (et0 et1). Como consecuencia, y de acuerdo a la interpretacion de la probabilidad de lafrecuencia relativa, tomamos (et0et1) como la probabilidad de que un atomo decaiga entre lostiempos t0 y t1.

Para hacer un modelo matematico de este experimento podemos intentar proceder como enel ejemplo anterior. Primero escogemos un conjunto que pueda ser puesto en correspondenciauno a uno con los posibles resultados del experimento. Un resultado en este caso es el tiempoque tarda un atomo en decaer. Este puede ser cualquier numero real positivo, as que podemostomar = [0,). De nuestra discusion anterior, parece razonable asignarle al intervalo [t0, t1] laprobabilidad (et0 et1). En particular, si t0 = t1 = t el intervalo degenera en el conjunto {t} yla probabilidad asignada a este conjunto es 0.

En nuestro ejemplo anterior solo tuvo una cantidad finita de puntos; aqu tiene una cantidadinfinita (no numerable) de puntos, y cada punto tiene probabilidad 0. Una vez mas, observamos queP () = 1 y P () = 0. Supongamos que A y B son dos intervalos ajenos, entonces la proporcionde atomos que decaen en el intervalo A B es la suma de la proporcion de los que decaen en el

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1.2. Espacios de Probabilidad 1. Espacios de Probabilidad

intervalo de tiempo A y la proporcion de los que decaen en el intervalo de tiempo B. A la luz de estaaditividad demandamos que en el modelo matematico, A B deba tener asignada la probabilidadP (A) + P (B). En otras palabras, en el modelo matematico queremos

P (A B) = P (A) + P (B)

cada vez que A y B sean intervalos disjuntos.

1.2. Espacios de Probabilidad

Nuestro proposito en esta seccion es el desarrollar la estructura matematica formal llamada es-pacio de probabilidad, la cual forma el fundamento del tratamiento matematico de los fenomenosaleatorios.

Visualicemos algun experimento real o imaginario que estemos tratando de modelar. La primercosa que debemos hacer es decidir sobre los posibles resultados del experimento. No es cosa seria siadmitimos mas resultados de los que realmente puedan ocurrir, pero debemos estar seguros de queno excluimos cosas que puedan llegar a suceder. Una vez que hallamos decidido sobre los posiblesresultados, escogemos un conjunto cuyos puntos se encuentren asociados con estos resultados.Desde el punto de vista estrictamente matematico, es solamente un conjunto abstracto de puntos.

Ahora tomamos una coleccion no vaca A de subconjuntos de la cual representara la coleccionde eventos a los cuales quisieramos asignarles una probabilidad. Por definicion, ahora, un eventoquiere decir un conjunto A en A . Si decimos que ocurrio el evento A significa que el resultadodel experimento esta representado por algun punto A. Nuevamente, desde el punto de vistaestrictamente matematico, A es solo una coleccion especfica de subconjuntos del conjunto . Solo alos conjuntos A A , i.e., eventos. se les asignara una probabilidad. En nuestro modelo del Ejemplo1, A consistio de todos los subconjuntos de . En una situacion mas general, en la cual no tengaun numero finito de puntos, como en el Ejemplo 2, puede que no sea posible el escoger a A de estamanera.

La siguiente pregunta es, Como debe de ser la coleccion A ? Es muy razonable el pedirle a Aque sea cerrado bajo uniones finitas e intersecciones finitas, as como bajo complementacion. Porejemplo, si A,B A , entonces AB ocurre si el resultado es representado ya sea por un punto de Ao por un punto de B. Claramente entonces, si tiene significado el hablar sobre las probabilidades deque ocurran A y B, tambien debera ser coherente el hablar acerca de la probabilidad de que ocurrano A o B, i.e., de que ocurra el evento A B. Ya que solamente los conjuntos que se encuentren enA seran probabilizables,requeriremos que A B A siempre que A,B A . Ahora,A B ocurresi el resultado de nuestro experimento esta representado por un punto que esta tanto en A como enB. Un razonamiento similar al utilizado para AB nos convence que debemos de tener AB Acada vez que A,B A . Finalmente, el decir que el evento A no ocurrio es decir que el resultado delexperimento esta representado por un punto en Ac. Sera tonto el poder hablar de la probabilidadde que ocurra A, pero que no pudieramos hablar de la probabilidad de que ocurra Ac. Por lo tanto,pediremos que si A A , entonces Ac este tambien en A .

Por lo tanto hemos llegado a la conclusion de que A debe ser una coleccion no vaca de subcon-juntos de que tenga las siguientes propiedades:

(i) Si A A tambien lo esta Ac

(ii) Si A,B A tambien lo estan A B y A B

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Un sencillo argumento inductivo muestra que siA1, A2, , An son conjuntos en A entonces tambiense encuentran

ni=1Ai y

ni=1Ai. aqu utilizamos la notacion abreviada

ni=1

Ai = A1 A2 An

y

ni=1

Ai = A1 A2 . . . An

Tambien, como A Ac = y A Ac = , observamos que tanto el conjunto vaco como elconjunto total deben de estar en A .

Una coleccion no vaca de subconjuntos de un conjunto que cumple ser cerrada bajo opera-ciones finitas de conjuntos se dice ser un campo de subconjuntos de . Parece ser que debemosexigir que A sea un campo de subconjuntos. Sin embargo, por ciertas razones matematicas, el solotomar a A como un campo de subconjuntos de sera insuficiente. Lo que le pediremos ahoraa la coleccion A sera mas restrictivo, le pediremos que sea cerrado no solamente bajo uniones eintersecciones finitas, sino que tambien para uniones e intersecciones numerables, en otras palabras,si {An}nN es una sucesion de conjuntos en A , pediremos que

n=1

An A yn=1

An A .

Aqu utilizamos la notacion abreviada

i=1

Ai = A1 A2

para denotar la union de todos los subconjuntos de la sucesion, y

i=1

Ai = A1 A2

para denotar la interseccion de todos los subconjuntos de la sucesion. Una coleccion de subconjuntosde un conjunto dado que cumple ser cerrada bajo uniones e intersecciones numerables se llamaun -campo de subconjuntos de . (La se pone para distinguir dicha coleccion de un campode subconjuntos.) Formalmente, tenemos la siguiente:

Definicion 1 Una coleccion no vaca de subconjuntos A de un conjunto se llama un -campode subconjuntos de si cumple las siguientes dos propiedades:

1. A A Ac A .

2. Si An A , n = 1, 2, . . . entoncesn=1An y

n=1An estan tambien en A

Ahora pasamos a asignar probabilidades a los eventos. Ya hemos dejado claro en los ejemplos dela seccion anterior que la probabilidad de un evento es un numero real no negativo. Para un eventoA, sea que P (A) denote a este numero, entonces tenemos que 0 P (A) 1. Ya que el conjunto representa a cualquier resultado posible se le debera de asignar el numero 1, por lo tanto P () = 1.En nuestra discusion del Ejemplo 1 mostramos que la probabilidad de eventos satisfaca la propiedad

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de que si A y B eran dos eventos disjuntos, entonces P (AB) = P (A)+P (B). De manera similar,en el Ejemplo 2 vimos que si A y B eran dos intervalos disjuntos, entonces se requera que

P (A B) = P (A) + P (B)

Ahora parece razonable que se pida en general que si A y B son eventos disjuntos, entonces P (A B) = P (A) + P (B). Por induccion, se seguira que si A1, A2, . . . , An son n conjuntos mutuamenteajenos (esto es, Ai Aj = si i 6= j), entonces

P

(ni=1

Ai

)=

ni=1

P (Ai).

De hecho, nuevamente por razones matematicas, debemos pedir que esta propiedad de aditividadse cumpla para colecciones numerables de eventos mutuamente disjuntos.

Definicion 2 Una medida de probabilidad P en un -campo de subconjuntos A de un conjunto es una funcion real con dominio A que satisface las siguientes propiedades:

1. P () = 1

2. A A , P (A) 0

3. Si A1, A2, . . . son conjuntos mutuamente disjuntos en A , entonces

P

( i=1

Ai

)=

i=1

P (Ai).

Un espacio de probabilidad, denotado por (,A , P ) consta de un conjunto , un -campo de sub-conjuntos A , y una medida de probabilidad P definida en A .

Es muy facil el encontrar un espacio de probabilidad que corresponda al experimento de extraeruna bola al azar de una caja. En esencia ya se ha dado en nuestra discusion de este experimento.Simplemente tomamos por a un conjunto finito que tenga s puntos, A la coleccion de todoslos subconjuntos de , y P que sea la medida de probabilidad que asigne a A la probabilidadP (A) = j/s si A tiene exactamente j puntos.

Consideremos ahora el espacio de probabilidad asociado al experimento de la desintegraciondel isotopo (Ejemplo 2). Ciertamente aqu tenemos que = [0, 1), pero A y P no son obvios. Dehecho, como lo indicaremos despues, este no es un problema trivial, y es uno que depende de algunaspropiedades profundas de la teora de conjuntos que estan mas alla del alcance de este libro.

Sin embargo una cosa es clara; sean lo que sean A y P , A debe contener todos los intervalos,y P debera asignar la probabilidad (et0 et1) al intervalo [t0, t1] si queremos que el espacio deprobabilidad que estamos construyendo refleje la situacion fsica. Ahora el problema de construir elespacio se convierte en un problema puramente matematico. Existe un -campo A que contengacomo miembros a todos los intervalos y una medida de probabilidad P definida sobre A que asignela probabilidad deseada P (A) al intervalo A? Preguntas de este tipo se encuentran en la proximidadde una rama de las matematicas avanzadas llamada teora de la medida y las cuales no pueden sertratadas en el nivel de este libro. Resultados de la teora de la medida demuestran que la respuestaa esta pregunta en particular y a otras de naturaleza similar es si, as que tales construcciones sonsiempre posibles.

13

1.3. Propiedades de las probabilidades 1. Espacios de Probabilidad

No nos detendremos en la construccion de espacios de probabilidad en general. La teora matematicade la probabilidad comienza con un espacio abstracto de probabilidad y desarrolla la teora utilizan-do el espacio de probabilidad como una base de operacion. Lejos de formar un fundamento parala definicion precisa de otros conceptos dentro de la teora, el espacio de probabilidad juega en simismo un papel muy pequeno en el desarrollo posterior de la materia. Cantidades auxiliares (espe-cialmente las variables aleatorias, un concepto tratado en el Captulo 3) rapidamente se conviertenen el tema dominante de la teora y el espacio de probabilidad en si mismo se desvanece en el fondo.

Concluiremos nuestra discusion de los espacios de probabilidad construyendo una importanteclase de estos, llamados espacios de probabilidad uniformes. Algunos de los problemas masantiguos en probabilidad conllevan la idea de elegir un punto al azar de un conjunto S. Nuestrasideas intuitivas sobre esta nocion muestran que si A y B son dos subconjuntos que tienen el mismotamano entonces la oportunidad de escoger un punto de A debe de ser la misma que la oportunidadde escogerlo de B. Si S solamente cuenta con un numero finito de puntos podemos medir el tamanode un conjunto via su cardinalidad. Dos conjuntos tienen entonces el mismo tamano si tienen elmismo numero de elementos. Es muy facil el construir un espacio de probabilidad correspondienteal experimento de escoger un punto al azar de un conjunto S con un numero finito s de puntos.Tomamos = S y A el conjunto de todos los subconjuntos de S, y asignamos al conjunto A laprobabilidad P (A) = j/s si A tiene exactamente j puntos. Tal espacio de probabilidad se sueledenominar como un espacio de probabilidad simetrico, porque cada conjunto que consta de unsolo punto tiene la misma probabilidad s1. Regresaremos al estudio de tales espacios en el Captulo2.

Supongamos ahora que S es el intervalo [a, b] en la recta real, donde < a < b


(1.2) P (B) = P (A B) + P (Ac B).

Haciendo B = y recordando que P () = 1, de (1.2) concluimos que

(1.3) P (Ac) = 1 P (A)

En particular P () = 1 P (), as que

(1.4) P () = 0

Como una segunda aplicacion de (1.2) supongamos que A B, entones A B = A y por lo tanto

(1.5) P (B) = P (A) + P (Ac B) si A B

Ya que P (Ac B) 0 por (2), de (1.5) observamos que

(1.6) P (B) P (A) si A B

Las leyes de De Morgan dicen que si {An}nN es cualquier sucesion de conjuntos, entonces

(1.7)

(n

An

)c=

(n

Acn

)y

(1.8)

(n

An

)c=

(n

Acn

)

Para ver que (1.7) se cumple, observese que (

n1An

)csi y solo si Acn n 1, o

equivalentemente, nA

cn. Para establecer (1.8), aplicamos (1.7) a {Acn}, obteniendo(

n

Acn

)c=n

An

y tomando complementos vemos que

n

Acn =

(n

An

)cUna relacion util que se sigue de (1.7) y (1.3) es

(1.9) P

(n

An

)= 1 P

(n

Acn

)

Ahora,nAn es el evento en el cual al menos uno de los eventos An ocurre, mientras que

nA

cn es

el evento en el cual ninguno de estos ocurre. En palabras, (1.9) asevera que la probabilidad de queal menos uno de los eventos An ocurra es 1 menos la probabilidad de que ninguno de los eventosAn ocurra. La ventaja de (1.9) es que en algunas ocasiones es mas facil el calcular P (

nA

cn) que

el calcular P (nAn).[Note que como los eventos An no son necesariamente disjuntos, no es verdad

que P (nAn) =

n P (An).] El uso de (1.9) se ilustra muy bien con el siguiente ejemplo.

15


Moneda 1 S S S S A A A A

Moneda 2 S S A A S S A A

Moneda 3 S A S A S A S A

Ejemplo 3 Suponga que tres monedas identicas y perfectamente balanceadas son lanzadas. Encuen-tre la probabilidad de que al menos una de ellas caiga sol.

Hay ocho posibles resultados en este experimento.Nuestras ideas intuitivas sugieren que cada uno de los ocho resultados debera tener probabilidad

de 1/8. Sea A1 el evento en el cual la primera moneda caiga sol, A2 el evento en el que la segundamoneda caiga sol y A3 el evento en el cual la tercer moneda caiga sol. El problema nos pide calcularP (A1 A2 A3). Ahora (Ac1 Ac2 Ac3) = {A,A,A} y por lo tanto

P (Ac1 Ac2 Ac3) = 1/8;

as que (1.9) implicaP (A1 A2 A3) = 1 P (Ac1 Ac2 Ac3) = 7/8

Nuestro postulado basico (3) de una medida de probabilidad nos dice que para conjuntos disjuntosA y B, P (A B) = P (A) + P (B). Si A y B no son necesariamente disjuntos, entonces

(1.10) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

y en consecuencia

(1.11) P (A B) P (A) + P (B)

Para ver que (1.10) se cumple, observe que los conjuntos A Bc,A B y Ac B son mutuamentedisjuntos y su union es justamente A B (Vease la Figura 2). Por lo tanto

(1.12) P (A B) = P (A Bc) + P (Ac B) + P (A B)

Por (1.2), sin embargoP (A Bc) = P (A) P (A B)

yP (Ac B) = P (B) P (A B)

Sustituyendo estas expresiones en (1.12) obtenemos (1.10).

A B

A B

Uc A B

UU

A Bc

Figura 2

16


Las ecuaciones (1.10) y (1.11) se extienden a cualquier numero finito de conjuntos. El analogo dela formula exacta para (1.10) es un poco complicado y sera discutido en el Captulo 2. La desigualdad(1.11), sin embargo, se puede extender facilmente por induccion para obtener

(1.13) P (A1 A2 . . . An) ni=1

P (Ai)

Para probar esto, observe que si n 2, por (1.11)

P (A1 A2 . . . An) = P ((A1 A2 . . . An1) An) P (A1 A2 . . . An1) + P (An)

Por lo tanto, si (1.13) se cumple para n 1 conjuntos, se cumple tambien para n conjuntos. Como(1.13) claramente se cumple para n = 1, el resultado esta probado por induccion.

Hasta ahora solo hemos utilizado el hecho de que una medida de probabilidad es finitamenteaditiva. Nuestro siguiente resultado utilizara la propiedad de la aditividad numerable.

Teorema 1 Sean An, n 1, eventos.

1. Si A1 A2 y A =n An, entonces

(1.14) lmn

P (An) = P (A)

2. Si A1 A2 y A =n An, entonces (1.14) tambien se cumple.

Demostracion: De (1). Suponga que A1 A2 y A =n An. Sea B1 = A1 y n 2, sea

Bn que denote aquellos puntos que se encuentran en An, pero no en An1, i.e., Bn = AnAcn1. Unpunto se encuentra en Bn si y solo si A y An es el primer conjunto en la sucesion A1, A2, . . .que contiene a . Por definicion, estos conjuntos Bn son disjuntos,

An =ni=1

Bi,

y

A =i=1

Bi.

Como consecuencia

P (An) =ni=1

P (Bi)

y

P (A) =i=1

P (Bi)

Ahora

(1.15) lmn

ni=1

P (Bi) =i=1

P (Bi)

por definicion de la suma de una serie infinita. Se sigue de (1.15) que

lmn

P (An) = lmn

ni=1

P (Bi) =i=1

P (Bi) = P (A),

17

1.4. Probabilidad Condicional 1. Espacios de Probabilidad

As que (1.14) se cumple.Prueba de (2). Suponga que A1 A2 y que A =

n=1An. Entonces A

c1 Ac2 y por

(1.8)

Ac =n=1

Acn.

Entonces por (1) de este teorema

(1.16) lmn

P (Acn) = P (Ac).

Como P (Acn) = 1 P (An) y P (Ac) = 1 P (A), se sigue de (1.16) que

lmn

P (An) = lmn

(1 P (Acn))

= 1 lmn

P (Acn)

= 1 P (Ac) = P (A),

y (1.14) nuevamente se cumple.

1.4. Probabilidad Condicional

Suponga que una caja contiene r bolas rojas numeradas 1, 2, . . . , r y b bolas negras numeradas1, 2, . . . , b. Asumamos que la probabilidad de obtener una bola en particular es de (b + r)1. Si sesabe que la bola obtenida de la caja fue roja, Cual es la probabilidad de que esta sea la bola rojacon el numero 1? Otra forma de plantear este problema es como sigue. Sea A el evento de que la bolaseleccionada fue roja, y sea B el evento de que la bola seleccionada tiene el numero 1. El problemaes determinar la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que ocurrio el eventoA. Este problema no puede ser resuelto hasta que este disponible una definicion precisa de lo quees la probabilidad condicional de un evento dado otro. Esta definicion es como sigue:

Definicion 3 Sean A y B dos eventos tales que P (A) > 0. Entonces la probabilidad condicional deB dado A, escrita P (B|A) se define a ser

(1.17) P (B|A) := P (B A)P (A)

Si P(A)=0 la probabilidad condicional de B dado A no esta definida.

Es muy facil motivar la definicion anterior via la interpretacion de la frecuencia relativa delas probabilidades. Considere un experimento el cual es repetido un gran numero de veces. Seaque el numero de veces en que los eventos A, B y A B ocurren en n ensayos del experimentoesten denotados por Nn(A), Nn(B) y Nn(A B), respectivamente. Para n grande esperamos queNn(A), Nn(B) y Nn(AB) esten cerca de P (A), P (B) y P (AB) respectivamente. Si ahora soloconsideramos aquellos experimentos en los cuales A ocurre, entonces tendremos Nn(A) ensayos enlos cuales el evento B ocurre Nn(AB) veces. Entonces la proporcion de veces que B ocurre entreestos Nn(A) experimentos es Nn(A B)/Nn(A). Pero

Nn(A B)Nn(A)

=Nn(A B)/nNn(A)/n

18


y por tanto para valores grandes de n esta fraccion debera ser cercana a

P (A B)/P (A)

Como un primer ejemplo del uso de (1.17) resolveremos el problema planteado al comienzo de estaseccion. Ya que el conjunto tiene b+ r puntos y cada uno tiene probabilidad (b+ r)1, vemos queP (A) = r(b+ r)1 y que P (A B) = (b+ r)1. Entonces

P (B|A) = 1r.

Este resultado debe ser comparado con la probabilidad no condicional de B, es decir P (B) =2(b+ r)1.

Ejemplo 4 Supongamos que dos monedas identicas y perfectamente balanceadas son lanzadas unasola vez.

1. Encuentre la probabilidad condicional de que ambas monedas caigan aguila, dado que laprimera cayo aguila

2. Encuentre la probabilidad condicional de que ambas monedas caigan aguila, dado que al menosuna de ellas cayo aguila

Para resolver estos problemas, sea que el espacio de probabilidad consista de los cuatro puntosAA,AS, SA, SS, cada uno con probabilidad 1/4. Sea A el evento de que la primera moneda caigaaguila y sea B el evento de que la segunda moneda caiga aguila. Para resolver (1) calculamos

P (A B|A) = P (A B)P (A)

=1/41/2

=12

Para resolver (2) calculamos

P (A B|A B) = P (A B)P (A B)

=1/43/4

=13

En los ejemplos anteriores el espacio de probabilidad fue dado y utilizamos (1.17) para calcularvarias probabilidades condicionales. En muchos problemas, sin embargo, procedemos en la direccionopuesta. Se nos proporciona lo que queremos que sean algunas probabilidades condicionales y uti-lizamos esta informacion para calcular la medida de probabilidad en . Un ejemplo tpico de estasituacion es la siguiente.

Ejemplo 5 Suponga que la poblacion de una cierta ciudad es 40% masculina y 60% femenina.Suponga tambien que 50% de los hombres y 30% de las mujeres fuman. Encuentre la probabilidadde que un fumador sea hombre.

Sea M que denote el evento de que una persona seleccionada sea hombre y F que denote elevento de que la persona seleccionada sea mujer. Tambien sea que S denote el evento de que lapersona seleccionada fume y sea que N denote el evento de que la persona seleccionada no fume.La informacion proporcionada puede expresarse en la forma P (S|M) = .5, P (S|F ) =.3, P (M) =.4y P (F ) =.6. El problema es calcular P (M |S). Por (1.17),

P (M |S) = P (M S)P (S)

19


Ahora, P (M S) = P (M)P (S|M) =(.4)(.5)=.2, as que el numerador puede ser calculado enterminos de las probabilidades proporcionadas. Como S es la union de dos conjuntos disjuntosS M y S F se sigue que

P (S) = P (S M) + P (S F )

Ya queP (S F ) = P (F )P (S|F ) = (.6)(.3) = .18,

observamos queP (S) = .2 + .18 = .38

Por lo tantoP (M |S) = .20

.38 .53

El lector se dara cuenta de que el espacio de probabilidad, como tal, nunca fue mencionadoexplcitamente. Este y muchos problemas similares son resueltos utilizando la informacion propor-cionada y las reglas para calcular probabilidades dadas en la Seccion 3 para obtener las probabili-dades requeridas.

Es muy facil el construir un espacio de probabilidad para el ejemplo anterior. Sea que el conjunto consista de los puntos SM,SF,NM y NF que son, respectivamente, los unicos puntos en los con-juntos SM,SF,NM y NF . Las probabilidades asignadas a estos cuatro puntos no son especi-ficadas directamente, pero seran calculadas de tal manera que los eventos P (S|M), P (S|F ), P (M) yP (F ) tengan las probabilidades prescritas. Ya hemos hallado que P (SM) =.2 y que P (SF ) =.18.Dejamos como ejercicio el calcular las probabilidades asignadas a los otros dos puntos.

El problema discutido en este ejemplo es un caso especial de la siguiente situacion general.Supongamos que A1, A2, . . . , An son n eventos mutuamente ajenos cuya union es . Sea B unevento tal que P (B) > 0 y suponga que se conocen P (B|Ak) y P (Ak) para 1 k n. Cuanto esP (Ai|B)? Para resolver este problema notemos que los eventos Ak son mutuamente disjuntos y quesu union es precisamente , en consecuencia

B = B

(n

k=1

Ak

)=

nk=1

(B Ak).

Por lo tanto

P (B) =n

k=1

P (B Ak).

PeroP (B Ak) = P (Ak)P (B|Ak),

as que podemos escribir

(1.18) P (Ai|B) =P (Ai B)P (B)

=P (Ai)P (B|Ai)n

k=1 P (Ak)P (B|Ak).

Esta formula, llamadaRegla de Bayes, encuentra aplicaciones frecuentes. Una forma de interpretarel resultado de (1.18) es la siguiente. Suponga que pensamos en los eventos Ak como las posiblescausas de que se observe el evento B. Entonces P (Ai|B) es la probabilidad de que el evento Aihalla sido la causa de que suceda B, dado que ocurrio el evento B. La regla de Bayes tambien formaparte de la base de un metodo estadstico llamado Procesos Bayesianos, los cuales seran discutidosen el Volumen II, Introduction to Statistical Theory.

Como una ilustracion del uso de la regla de Bayes consideramos el siguiente (ya clasico) problema.

20


Ejemplo 6 Suponga que tenemos tres cofres con dos cajones cada uno. El primer cofre tiene unamoneda de oro en cada cajon, el segundo tiene una moneda de oro en un cajon y una de plata enel otro, y el tercer cofre tiene una moneda de plata en cada cajon. Un cofre se elige al azar y seabre un cajon. Si el cajon contiene una moneda de oro, Cual es la probabilidad de que el otro cajontambien contenga una moneda de oro? Le pedimos al lector que se detenga y que adivine cual es larespuesta antes de leer la solucion. Frecuentemente se da en este problema la respuesta erronea de1/2.

Este problema se resuelve facil y correctamente utilizando la regla de Bayes, una vez que ladescripcion se ha descifrado. Podemos pensar en un espacio de probabilidad construido en el cual loseventos A1, A2 y A3 correspondan, respectivamente, al primer, segundo y tercer cofre a seleccionar.Estos eventos son disjuntos y su union es el espacio entero ya que exactamente un cofre esseleccionado. Mas aun, esta presumiblemente sobreentendido que los tres cofres tienen la mismaprobabilidad de ser seleccionados, por lo tanto P (Ai) = 1/3, i = 1, 2, 3. Sea B el evento en el cualla moneda que se observo fue de oro, entonces, de la composicion de los cofres, es claro que

P (B|A1) = 1, P (B|A2) = 1/2, y P (B|A3) = 0.

El problema nos pide la probabilidad de que el segundo cajon tenga una moneda de oro dado queen el primero obtuvimos una moneda de oro. Esto solo puede ocurrir si el el cofre seleccionado fueel primero, as que el problema es equivalente a encontrar P (A1|B). Ahora aplicamos la regla deBayes (1.18) para calcular la respuesta, la cual es 2/3. Dejamos como ejercicio al lector el calcularla probabilidad de que el segundo cajon contenga una moneda de plata, dado que el primer cajontuvo una moneda de oro.

Para nuestro siguiente ejemplo consideraremos un esquema probabilstico simple debido a Polya.

Ejemplo 7 El esquema de la urna de Polya. Suponga que una urna tiene r bolas rojas y b bolasnegras. Una bola se saca y se anota su color, despues ella, junto con c > 0 bolas del mismo colorque la obtenida se meten en la urna. El procedimiento es repetido n 1 veces adicionales, de talforma que el numero total de extracciones hechas de esta urna sea n.

Sea que Rj,1 j n denote el evento en el que la j-esima bola obtenida sea roja y seaBj, 1 j n que denote el evento en el que la j-esima bola obtenida sea negra. Es claro que,Rj Bj = j {1, 2, . . . , n}. Durante la k-esima extraccion hay b+ r+(k 1)c bolas en la urna yasumimos que la probabilidad de obtener una bola en particular es (b+r+(k1)c)1. Para calcularP (R1 R2) escribimos

P (R1 R2) = P (R1)P (R2|R1).Ahora

P (R1) =r

b+ r, P (R2|R1) =

r + cb+ r + c

,

y por lo tanto

P (R1 R2) =(

r

b+ r

)(r + c

b+ r + c

).

De manera similar

P (B1 R2) =(

b

b+ r

)(r

b+ r + c

)y por lo tanto

P (R2) = P (R1 R2) + P (B1 R2)

=(

r

b+ r

)(r + c

b+ r + c

)+(

b

b+ r

)(r

b+ r + c

)=

r

b+ r.

21

1.5. Independencia 1. Espacios de Probabilidad

Consecuentemente, P (R2) = P (R1). Como

P (B2) = 1 P (R2) =b

b+ r,

P (B2 = P (B1). Mas propiedades del esquema de Polya seran desarrolladas en los ejercicios.

1.5. Independencia

Considere una caja con cuatro bolas distintas y un experimento que consiste en seleccionaruna bola de la caja. Asumimos que las bolas tienen la misma probabilidad de ser extradas. Sea = {1, 2, 3, 4} y asignemos la probabilidad de 1/4 a cada punto.

Sean A y B dos eventos. Para algunas elecciones de los eventos A y B, el saber que ocurre Aincrementa las probabilidades de que B ocurra. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {1}, entoncesP (A) = 1/2, P (B) = 1/4 y P (AB) = 1/4. Como consecuencia tenemos que P (B|A) = 1/2, la cuales mayor que P (B). En otros casos, para otras elecciones de los eventos A y B, el saber que A ocurrehace que la probabilidad de que ocurra B disminuya. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 4},entonces P (A) = 3/4, P (B) = 3/4 y P (AB) = 1/2. Entonces tenemos que P (B|A) = 2/3, la cuales menor que P (B).

Un caso muy interesante se presenta cuando el saber que ocurre A no altera la probabilidad deque B ocurra. Como un ejemplo, si A = {1, 2} y B = {1, 3}, entonces P (A) = 1/2, P (B) = 1/2 yP (A B) = 1/4 y por lo tanto P (B|A) = 1/2. Eventos como estos, para los cuales la probabilidadcondicional es la misma que la probabilidad no condicional, se dicen independientes.

Sean ahora A y B cualesquiera dos eventos en un espacio de probabilidad general y supongamosque P (A) 6= 0. Podemos definir que A y B sean independientes si P (B|A) = P (B). Ya que P (B|A) =P (B A)/P (A) vemos que si A y B son independientes, entonces

(1.19) P (A B) = P (A)P (B)

Ya que (1.19) tiene sentido aun cuando P (A) = 0 y tambien es simetrica en las letras A y B,conlleva a una definicion preferida de independencia.

Definicion 4 Dos eventos A y B son independientes si y solo si

P (A B) = P (A)P (B)

Podemos considerar un problema similar para tres conjuntos A,B y C. Tomamos = {1, 2, 3, 4}y le asignamos a cada punto la probabilidad 1/4. Sean A = {1, 2},B = {1, 3} y C = {1, 4}. Dejamoscomo ejercicio el mostrar que los pares de eventos A y B, A y C, y B y C son independientes.Decimos que los eventos A,B y C son independientes dos a dos (o a pares). Por otro lado,P (C) = 1/2 y

P (C|A B) = 1

Por lo tanto, el saber que el evento A B ocurre incrementa la probabilidad de que C ocurra. Eneste sentido, los eventos A,B y C no son mutuamente independientes. En general, tres eventosA,B y C son mutuamente independientes si ellos son independientes dos a dos y si

P (A B C) = P (A)P (B)P (C).

22


dejamos como ejercicio el mostrar que si A,B y C son mutuamente independientes y si P (AB) 6= 0entonces P (C|A B) = P (C). Aun mas general, definimos que los eventos A1, A2, . . . , An, n 3son mutuamente independientes si

P (A1 . . . An) =n

k=1

P (Ak)

y si cualquier subcoleccion que contenga al menos dos eventos, pero menos de n eventos es mutua-mente independiente.

Ejemplo 8 Sea S el cuadrado 0 x 1, 0 y 1 en el plano. Considere el espacio de probabilidaduniforme en el cuadrado, y sea A el evento

{(x, y) : 0 x 12, 0 y 1}

y sea B el evento

{(x, y) : 0 x 1, 0 y 14}

Muestre que A y B son eventos independientes.Para ver esto, calculamos P (A),P (B) y P (A B) y mostremos que P (A B) = P (A)P (B).

Ahora, tenemos que A es un subrectangulo del cuadrado S cuya area es 1/2 y B es un subrectangulodel cuadrado S que tiene area 1/4, as que P (A) = 1/2 y P (B) = 1/4. Ya que

A B = {(x, y) : 0 x 12, 0 y 1

4}

es un subrectangulo del cuadrado S que tiene area 1/8, P (A B) = 1/8 y observamos que A y Bson eventos independientes, como se haba dicho.

La nocion de independencia se usa frecuentemente al construir espacios de probabilidad quecorresponden a repeticiones del mismo experimento. Este asunto sera tratado mas ampliamente enel Captulo 3. Aqu estaremos analizando la situacion mas sencilla, digamos, experimentos (tal comoel lanzamiento de una moneda posiblemente desbalanceada) que solo puede resultar en uno de dosposibles resultados: exito o fracaso.

En un experimento como el de lanzar una moneda n veces, donde los exitos y los fracasos en cadalanzamiento ocurren con probabilidades p y 1 p respectivamente, intuitivamente pensamos queel resultado de el i-esimo lanzamiento no debe influenciar el resultado de los demas lanzamientos.Ahora deseamos construir un espacio de probabilidad que corresponda al experimento compuesto den-repeticiones de nuestro sencillo experimento que incorpore nuestras creencias intuitivas. Ya quecada uno de los n ensayos puede ser ya sea exito o fracaso, hay un total de 2n posibles resultadospara el experimento compuesto. estos pueden ser representados por un n-tuple (x1, . . . , xn), dondexi = 1, 0 ya sea que el i-esimo ensayo halla resultado en un exito o un fracaso. Tomaremos a comoel conjunto de todos esos n-tuples. El -campo A sera el conjunto de todos los subconjuntos de .

Ahora pasamos a la asignacion de una medida de probabilidad. Para hacer esto solo es necesarioel asignarle probabilidades a los 2n conjuntos de un solo punto {(x1, . . . , xn)}. Supongase que eln-tuple (x1, . . . , xn) es tal que exactamente k de las entradas xis tienen el valor 1; por simplicidad,digamos x1 = x2 = = xk = 1 y que los demas xis tienen el valor de 0. Entonces, si Ai denota elevento en el cual el i-esimo ensayo, con 1 i n, es un exito, tenemos que

{(1, 1, . . . , 1 k

, 0, 0, . . . , 0 nk

)} = A1 A2 . . . Ak Ack+1 . . . Acn.

23


De acuerdo a nuestra vision intuitiva, los eventos A1, . . . , Ak, Ack+1, . . . , Acn son mutuamente inde-

pendientes y P (Ai) = p, 1 i n. Por lo tanto debemos asignar P tal que

P ({1, . . . , 1, 0, . . . 0}) = P (A1) . . . P (Ak)P (Ack+1) . . . P (Acn) = pk(1 p)nk

Via el mismo razonamiento, vemos que si el n-tuple (x1, . . . , xn) tiene exactamente k posiciones conel valor 1, entonces P debe ser de tal manera que

P ({(x1, . . . , xn)}) = pk(1 p)nk.

Calculemos ahora la probabilidad de que exactamente k de los n ensayos resulten en un exito. Notecuidadosamente que esto difiere de la probabilidad de que k ensayos especficos resulten en un exitoy los otros n k ensayos sean fracasos. Sea Bk que denote el evento en el cual exactamente k de losn ensayos resultaron exitosos. Ya que cada eleccion de una sucesion especfica que tenga k exitostiene probabilidad pk(1 p)nk, el evento Bk tiene probabilidad P (Bk) = C(n, k)pk(1 p)nk,donde C(n, k) representa el numero de sucesiones (x1, . . . , xn) en las cuales exactamente k de loselementos xis tienen el valor de 1. El calculo de C(n, k) es un simple problema combinatorio quesera resuelto en la Seccion 2.4. All se mostrara que

(1.20) C(n, k) =n!

k!(n k)!, 0 k n

Recuerde que 0! = 1 y que, para cualquier entero positivo m,

m! = m(m 1)(m 2) 1

La cantidad n!/(k!(n k)!) usualmente se escribe como(nk

)(el coeficiente binomial). Por lo tanto

(1.21) P (Bk) =(n

k

)pk(1 p)nk

Varios problemas de aplicacion son modelados por ensayos independientes exito-fracaso. Uno tpicoes el siguiente.

Ejemplo 9 Suponga que una maquina produce pernos, 10% de los cuales son defectuosos . En-cuentre la probabilidad de que una caja de 3 pernos contenga a lo mas 1 perno defectuoso.

Para resolver este problema asumimos que la produccion de pernos constituye una serie repetidade ensayos exito-fracaso independientes, siendo el obtener un perno defectuoso un exito. La prob-abilidad de un exito es en este caso de .1. Sea B0 el evento el cual ninguno de los tres pernos esdefectuoso y sea B1 el evento en el cual exactamente uno de los tres pernos es defectuoso. EntoncesB0 B1 es el evento de que a lo mas un perno sea defectuoso. Como los eventos B0 y B1 sonclaramente disjuntos, se sigue que

P (B0 B1) = P (B0) + P (B1)

=(30

)(.1)0(.9)3 +

(31

)(.1)1(.9)2

= (.9)3 + 3(.1)(.9)2 = .972.

Ejercicios

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1.-Sea (,A , P ) un espacio de probabilidad, donde A es el -campo de todos los subconjuntosde y P es una medida de probabilidad que asigna probabilidad p > 0 a cada conjunto unipuntualde .

(a)Demuestre que debe tener un numero finito de puntos. Sugerencia: muestre que no puedetener mas de p1 puntos.

(b)Muestre que si n es el numero de puntos en entonces p debe ser n1.

2.-Se puede realizar un modelo para una maquina de hilar aleatoria si tomamos el espaciouniforme como la circunferencia de un crculo de radio unitario, de tal manera que la probabilidadde que el apuntador de la maquina caiga en un arco de longitud s es s/2. Suponga que el crculose divide en 37 zonas numeradas 1, 2, . . . , 37. Calcule la probabilidad de que la maquina se detengaen una zona con numero par.

3.-Suponga que se escoge un punto al azar en el cuadrado unitario. Calcule la probabilidad deque se encuentre en el triangulo acotado por x = 0, y = 0 y x+ y = 1.

4.-Suponga que se escoge un punto al azar en el disco de radio unitario. Encuentre la probabilidadde que se encuentre en el sector angular de 0 a /4 radianes.

5.-Calcule las siguientes probabilidades en el Ejemplo 2:(a) Que ninguna desintegracion ocurra antes del tiempo 10.(b) Que halla una desintegracion antes del tiempo 2 o una desintegracion entre los tiempos 3 y

5.

6.-Una caja contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Una bola se extrae de la caja al azar.Calcule la probabilidad de que el numero de la bola halla sido 3,4 o 5.

7.-Suponga que dos dados se lanzan una vez y que cada uno de los 36 resultados posibles sonigualmente probables. Encuentre la probabilidad de que la suma de los numeros en ambas caras seapar.

8.-Suponga que los eventos A y B son tales que P (A) = 2/5, P (B) = 2/5 y P (A B) = 1/2.Encuentre P (A B).

9.-Si P (A) = 1/3, P (A B) = 1/2 y P (A B) = 1/4, encuentre P (B).

10.-Suponga que se elige un punto al azar del cuadrado unitario. Sea A el evento en el cual elpunto se encuentre en el triangulo acotado por las lneas y = 0, x = 1 y x = y, y sea B el evento enel cual se encuentre en el rectangulo con vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1/2), (0, 1/2). Calcule P (A B) yP (A B).

11.-Una caja tiene 10 bolas numeradas 1,2,. . .,10. Se saca una bola al azar y despues una segundabola se saca de las nueve restantes. Encuentre la probabilidad de que los numeros de las dos bolasseleccionadas difieran en 2 o mas unidades.

12.-Si se sabe que un punto seleccionado al azar en el cuadrado unitario esta en el trianguloacotado por x = 0, y = 0 y x+ y = 1, encuentre la probabilidad de que tambien se encuentre en eltriangulo acotado por y = 0, x = 1 y x = y.

13.- Suponga que se tienen cuatro cofres con dos cajones cada uno. Los cofres 1 y 2 contienenuna moneda de oro en un cajon y una moneda de plata en el otro. El cofre 3 contiene dos monedasde oro y el cofre 4 contiene dos monedas de plata. Se selecciona un cofre al azar y se abre un cajon.Se encuentra una moneda de oro. Encuentre la probabilidad de que el otro cajon contenga

(a)una moneda de plata;(b)una moneda de oro.

25


14.-Una caja tiene 10 bolas, 6 de las cuales son negras y 4 blancas. Tres bolas se remueven de lacaja sin que se note su color. Encuentre la probabilidad de que la cuarta bola removida sea blanca.Asuma que las 10 bolas son igualmente probables de ser extradas de la caja.

15.-Con la misma composicion de la caja del Ejercicio 14, encuentre la probabilidad de que lastres bolas removidas seran negras si se sabe que al menos una de ellas es negra.

16.-Suponga que una fabrica tiene dos maquinas A y B que efectuan un 60% y un 40% de laproduccion total respectivamente. En su salida, la maquina A produce 3% de artculos defectuosos,mientras que la maquina B produce 5% de artculos defectuosos. Encuentre la probabilidad de quedada una pieza defectuosa esta halla sido producida por la maquina B.

17.-Muestre por induccion sobre n que la probabilidad de seleccionar una bola roja en el ensayon en el esquema de Polya (Ejemplo 7) es r(b+ r)1.

18.-Un estudiante esta efectuando un examen de opcion multiple en el cual cada pregunta tiene 5respuestas posibles, siendo solamente una la correcta. Si el estudiante conoce la respuesta seleccionala respuesta correcta, de otro modo selecciona una respuesta al azar de las 5 posibles. Suponga queel estudiante conoce la respuesta al 70% de las preguntas.

(a)Cual es la probabilidad de que en una pregunta dada el estudiante obtenga la respuestacorrecta?

(b)Si el estudiante obtiene la respuesta correcta a una pregunta, Cual es la probabilidad de quehalla conocido la respuesta?.

19.-Suponga que se elige un punto al azar del cuadrado unitario. Si se sabe que el punto estaen el rectangulo acotado por y = 0, y = 1, x = 0 y x = 1/2. Cual es la probabilidad de que estepunto este en el triangulo acotado por y = 0, x = 1/2 y x+ y = 1?.

20.-Suponga que una caja tiene r bolas rojas y b bolas negras. Se escoge una bola al azar de lacaja y una segunda bola se saca de las bolas restantes en la caja. Encuentre la probabilidad de que

(a)ambas sean rojas;(b)la primera bola sea roja y la segunda negra;(c)la primera bola sea negra y la segunda roja;(d)ambas bolas sean negras.

21.-Una caja tiene 10 bolas rojas y 5 bolas negras. Una bola se selecciona de la caja. Si la bola esroja se regresa a la caja. Si la bola es negra, ella junto con dos bolas negras adicionales se regresana la caja. Encuentre la probabilidad de que la segunda bola seleccionada de la caja sea

(a)roja;(b)negra.

22.- Se sacan dos bolas, reemplazando la primera que se saco, de una caja que contiene 3 bolasblancas y 2 bolas negras.

(a)Construya un espacio muestra para este experimento con un numero igualmente probable depuntos muestra.

(b)Calcule la probabilidad de que ambas bolas extradas sean del mismo color(c)Calcule la probabilidad de que al menos una de las bolas extradas sea blanca.

23.-Trabaje el ejercicio 22 si la primer bola no se reemplaza.

24.-Trabaje el ejercicio 22 construyendo un espacio muestra basado en 4 puntos muestra corre-spondientes a blanco y a negro para cada extraccion.

25.-La caja I contiene 2 bolas blancas y 2 bolas negras, la caja II contiene 2 bolas blancas y 1bolas negra y la caja III contiene 1 bola blanca y 3 bolas negras.

26


(a)Se selecciona una bola de cada caja. Calcule la probabilidad de que todas sean blancas.(b)Se selecciona una caja al azar y se extrae de ella una bola. Calcule la probabilidad de que

sea blanca.(c)En (b), calcule la probabilidad de que se halla seleccionado la primera caja, dado que extrajo

una bola blanca.

26.-Una caja contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazo deella.

(a)Calcule la probabilidad de que la segunda bola sea negra dado que la primera bola fue negra.(b)Calcule la probabilidad de que la segunda bola sea del mismo color que la primera.(c)Calcule la probabilidad de que la primera bola sea blanca dado que la segunda fue blanca.

27.-La composicion de un colegio es 70% hombres y 30% mujeres. Se sabe que el 40% de loshombres y el 60% de las mujeres fuman cigarrillos. Cual es la probabilidad de que si se observa aun estudiante fumando un cigarrillo este sea hombre?

28-Asuma que se fabrican autos con la misma probabilidad cada da durante los cinco das de lasemana (Lunes, Martes, Miercoles, Jueves y Viernes). Los carros manufacturados en Lunes tienen4% de ser limones; los carros hechos en Martes, Miercoles o Jueves tienen 1% de oportunidadde ser limones y los autos hechos en Viernes tienen 4% de ser limones. Si usted compra un carro yresulta ser limon,Cual es la probabilidad de que halla sido manufacturado en Lunes?

29.-Suponga que existe una prueba para diagnosticar el cancer con la propiedad de que 90% deaquellos que la padecen dan positivo, mientras que 5% de aquellos que no tienen la enfermedad danpositivo. Cual es la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar el cual dio positivo en laprueba realmente padezca cancer?

30.- En el problema de los tres cofres discutido en el Ejemplo 6, calcule la probabilidad de queel segundo cajon tenga una moneda de plata dado que el primero tuvo una moneda de oro.

31.-En el esquema de la urna de Polya (Ejemplo 7), dado que la segunda bola fue roja, encuentrela probabilidad de que

(a)La primer bola halla sido roja;(b)La primer bola halla sido negra.

32.-Suponga que tres monedas identicas y perfectamente balanceadas se lanzan una sola vez.Sea Ai el evento en el cual la i-esima moneda cayo aguila. Demuestre que los eventos A1,A2 y A3son independientes.

33.-Suponga que las seis caras de un dado son igualmente probables de aparecer y que loslanzamientos sucesivos de el dado son independientes. Construya un espacio de probabilidad parael experimento compuesto de lanzar el dado tres veces.

34.-Sea que A y B denoten dos eventos independientes. Demuestre que A y Bc, Ac y B, y Ac yBc tambien son independientes.

35.-Sea = {1, 2, 3, 4}y asuma que cada punto tiene probabilidad 1/4. Sea A = {1, 2}, B ={1, 3} y C = {1, 4}. Muestre que las parejas de eventos A y B, A y C y B y C son independientes.

36.-Suponga que A,B y C son eventos mutuamente independientes y que P (AB) 6= 0. Muestreque P (C|A B) = P (C).

37.-La experiencia muestra que el 20% de las personas que reservan una mesa en un restaurantenunca se aparecen. Si un restaurante tiene 50 mesas y toma 52 reservaciones, Cual es la probabilidadde que se pueda acomodar a todo el mundo?

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38.-Un blanco circular de radio unitario se divide en cuatro zonas anulares con radio externo1/4, 1/2, 3/4 y 1, respectivamente. Suponga que se lanzan 10 tiros independientes y al azar en elblanco.

(a)Calcule la probabilidad de que a lo sumo tres tiros caigan en la zona acotada por los crculosde radios 1/2 y 1.

(b)Si 5 tiros caen dentro del disco de radio 1/2, encuentre la probabilidad de que al menos unoeste en el disco de radio 1/4.

39.-Una maquina tiene cuatro componentes conectados en paralelo, de tal suerte que la maquinafalla solamente si los cuatro componentes fallan. Asuma que las fallas de los componentes sonindependientes entre si. Si cuando la maquina es prendida los componentes tienen probabilidadesde falla de .1, .2, .3 y .4 , Cual es la probabilidad de que la maquina funcione cuando se le encienda?.

40.-Un cierto componente del mecanismo de un cohete falla el 5% de las veces que se enciendeel motor. Para alcanzar una mayor fiabilidad en el motor, esta componente se duplica n veces. Elmotor falla solamente si todas estas n componentes fallan. Asuma que las fallas de los componentesson independientes entre si. Cual es el menor valor de n para el cual se garantice que el motorfuncionara el 99% de las veces?

41.-Un dado simetrico se lanza 3 veces. Si se sabe que la cara 1 aparecio al menos una vez, Cuales la probabilidad de que halla aparecido exactamente una sola vez?

42.-En un mazo de 52 cartas hay 4 reyes. Se saca una carta al azar de este mazo y se anotasu valor; la carta es regresada. Este proceso se repite 4 veces. Calcule la probabilidad de que hallaexactamente 2 reyes en las 4 cartas seleccionadas si se sabe que hay al menos un rey en estasseleccionadas.

43.-Muestre que si A, B y C son tres eventos independientes tales que P (A B C) 6= 0 yP (C|A B) = P (C|B), entonces P (A|B C) = P (A|B)

44.-Un sujeto dispara independientemente 12 tiros a un blanco. Cual es la probabilidad de quegolpee el blanco al menos una vez si tiene probabilidad 9/10 de golpear el blanco en un tiro dado?

45.-Un dado se lanza 12 veces. Calcule la probabilidad de obtener(a)Dos seis;(b)a lo sumo dos seis.

46.-Suponga que la probabilidad de golpear un blanco es 1/4. Si se disparan ocho tiros al blanco,Cual es la probabilidad de que el blanco sea golpeado al menos dos veces?.

47.-En el ejercicio 44, Cual es la probabilidad de que el blanco sea golpeado al menos dos vecessi se sabe que es golpeado al menos una?.

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Captulo 2

Analisis Combinatorio

Recuerde de la Seccion 1.2 que un espacio de probabilidad simetrico con s puntos es el modeloutilizado para escoger un punto al azar de un conjunto S que tiene s puntos. En adelante, cuandohablemos de escoger un punto al azar de un conjunto finito S, querremos decir que la probabilidadasignada a cada conjunto de un solo punto es s1.

Sea que N(A) denote el numero de puntos en A. Como P (A) = N(A)/s, el problema de calcularP (A) es equivalente a calcular N(A). El procedimiento para encontrar P (A) es contar el numerode puntos en A y despues dividir por el numero total de puntos s, sin embargo, algunas veces elproceso se efectua a la inversa. Si por algun motivo conocemos P (A), entonces podemos encontrarN(A) por la formula N(A) = sP (A). Este procedimiento inverso sera utilizado frecuentemente enlo subsiguiente.

El calculo de N(A) es facil si A cuenta solamente con pocos puntos, ya que en este caso basta conenumerar todos los puntos en A- Pero aun si A tiene solo una cantidad moderada de puntos, a vecesel metodo de la enumeracion directa se vuelve intratable, y requerimos de algunas reglas simplespara contar. Nuestro proposito en este captulo es el presentar una discusion no sistematica de lastecnicas elementales y de amplia aplicacion. Este tema se vuelve difcil muy rapidamente, as quelimitaremos nuestro tratamiento a aquellas partes que mas se utilizan en la teora de la probabilidad.Las primeras cuatro secciones en este captulo contienen el material esencial, mientras que las cuatroultimas secciones contienen material opcional y un poco mas difcil.

2.1. Muestras ordenadas

Supongase que tenemos dos conjuntos S y T . Si S tienem puntos distintos s1, s2 . . . , sm y T tienen puntos distintos t1, t2 . . . , tn entonces el numero de parejas (si, tj) que podemos formar tomandoun punto del conjunto S y un segundo punto del conjunto T es mn. Esto es claramente porque cadaelemento del conjunto S puede ser asociado con cualquiera de los n elementos que tiene el conjuntoT .

Ejemplo 1 Si S = {1, 2} y T = {1, 2, 3}, entonces hay seis pares: (1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2, 3).Note cuidadosamente que la pareja (1, 2) es distinta de la pareja (2, 1).

Mas generalmente, suponga que tenemos n conjuntos S1, S2, . . . , Sn teniendo s1, s2, . . . , sn puntosdistintos respectivamente. Entonces el numero de n-tuples (x1, x2, . . . , xn) que se pueden formar,donde xi Si i {1, 2, . . . , n} es s1s2 . . . sn =

ni=1 si. Esta es una extension casi obvia del caso

para n = 2 discutido arriba. (Una prueba formal de que el numero de n-tuples esn

i=1 si podrallevarse a cabo por induccion sobre n).

29

2.1. Muestras ordenadas 2. Analisis Combinatorio

Un caso especial sumamente importante ocurre cuando cada uno se los conjuntos Si, 1 i n,es el mismo conjunto S con s puntos distintos. Entonces hay sn n-tuples (x1, x2, . . . , xn) donde cadaxi es un punto perteneciente a S.

Ejemplo 2 S = {1, 2} y n = 3. Entonces hay 8 n-tuples: (1, 1, 1), (1, 1, 2),(1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1),(2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2).

El caso especial cuando los conjuntos Si, 1 i n son el mismo conjunto puede ser aproximadodesde un punto de vista distinto. Suponga que una caja tiene s bolas distintas etiquetadas 1, 2, . . . , s,una bola se extrae de la caja, se anota su numero y es regresada a la caja. Este proceso se efectua nveces. Cada una de las n extracciones resulta en un numero del 1 al s, el resultado de las n extrac-ciones puede ser descrito como un n-tuple (x1, x2, . . . , xn), donde x1 es el numero de la primera bola,x2 el numero de la segunda bola, etc. En total, hay sn posibles n-tuples. Llamamos a este procesomuestreo con reemplazo de una poblacion de s objetos distintos. El resultado (x1, x2, . . . , xn) sellama un muestra de tamano n extrada de una poblacion de s objetos con reemplazo. Hablamos demuestreo aleatorio con reemplazo si asumimos que cada una de las sn posibles muestras poseela misma probabilidad o, en lenguaje tradicional, tienen la misma oportunidad de ocurrencia.

Ejemplo 3 Una moneda perfectamente balanceada se lanza n veces. Encuentre la probabilidad deque al menos un lanzamiento resulte aguila.

Probablemente el decir que la moneda esta perfectamente balanceada implica que la probabilidadde que en un lanzamiento dado obtengamos un aguila es de 1/2. Si esto es as, y si asumimos queel lanzar una moneda n veces es equivalente a extraer una muestra aleatoria de tamano n de unapoblacion de dos objetos {A,S} entonces cada uno de los 2n resultados es igualmente posible. SeaA el evento en el cual hay al menos una aguila, y sea Ai el evento en el cual el i-esimo lanzamientoresulte en una aguila, entonces A =

ni=1Ai, pero

P (A) = 1 P (Ac)

= 1 P

((ni=1

Ai

)c)

= 1 P

(ni=1

Aci

)

yni=1A

ci ocurre si y solo si todos los n lanzamientos caen sol. Por lo tanto P (

ni=1A

ci ) = 2

n

as que P (A) = 1 2n.

Sea que S denote a un conjunto con s objetos distintos. Seleccionamos un objeto de S y anotamosque objeto es, pero ahora supongamos que no lo regresamos al conjunto. Si repetimos este procesotendremos que hacer ahora una seleccion de los restantes (s1) objetos. Supongamos que repetimoseste proceso n 1 veces adicionales, de tal manera que se seleccionan n objetos en conjunto.(Obviamente, debemos tener n s en este caso.) Una vez mas podemos almacenar el resultadocomo un n-tuple (x1, x2, . . . , xn), pero esta vez los numeros x1, x2, . . . , xn deben ser distintos; nopuede haber repeticiones en nuestra muestra. El primer objeto puede ser cualquiera de los s objetosdel conjunto, el segundo puede ser cualquiera de los restantes s 1 objetos, el tercero puede serelegido de cualquiera de los s 2 objetos etc., por lo tanto hay (s)n = s(s 1) . . . (s n + 1)resultados diferentes para el experimento. Este proceso se dice ser muestreo sin reemplazo nveces de una poblacion de s objetos distintos. Hablamos de muestra aleatoria de tamano nextrada de una poblacion de s objetos sin reemplazo si asumimos que cada uno de estos(sn) resultados es igualmente posible.

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2.2. Permutaciones 2. Analisis Combinatorio

Hemos denotado el producto s(s 1) . . . (s n + 1) por el smbolo (s)n. en particular (s)s =s(s1) . . . 1 = s!. Ahora, el extraer una muestra de tamano s de una poblacion de s objetos distintoses equivalente a escribir los numeros 1, 2, . . . , s en algun orden. Entonces s! representa el numero deordenamientos distintos (o permutaciones) de s objetos.

Suponga que una muestra aleatoria de tamano n se escoge de un conjunto de s objetos conreemplazo. Buscamos la probabilidad del evento A en el cual ningun punto aparezca dos veces. Elproblema se resuelve facilmente. El numero de muestras de tamano n con reemplazo es sn. De estassn ,muestras aleatorias, el numero en las cuales ningun punto aparece dos veces es el mismo que elnumero de muestras de tamano n extrada de un conjunto de s objetos sin reemplazo,i.e., (sn). Porlo tanto, ya que todas las sn muestras son igualmente posibles, encontramos que la probabilidadrequerida es

(2.1)

(sn)sn

=s(s 1) . . . (s n+ 1)

sn

=(1 1

s

)(1 2

s

). . .

(1 n 1

s

).

Ejemplo 4 Una aplicacion novedosa y algo sorprendente de (2.1) es el llamado problema delcumpleanos. Asumamos que los cumpleanos de las personas son igualmente posibles de ocurrir entrelos 365 das del ano. (Aqu ignoramos los anos bisiestos y el hecho de que las tazas de nacimientono son exactamente uniformes a lo largo del ano), encuentre la probabilidad de que en un grupo den personas, cualesquiera dos personas no cumplan anos el mismo da.

En este problema, s = 365, as que aplicando (1) vemos que

p =(1 1

365

)(1 2

365

). . .

(1 n 1

365

).

Las consecuencias numericas son demasiado inesperadas. Aun para n tan pequeno como 23, p < 1/2,y para n = 56, p =0.1. Esto significa que en un grupo de 23 personas, la probabilidad de que almenos dos personas cumplan anos el mismo da excede 1/2. En un grupo de 56 personas, es casiseguro que dos personas tengan el mismo da de cumpleanos.

Si tenemos una poblacion de s objetos, existen sn muestras de tamano n que pueden ser extradascon reemplazo y (sn) muestras de tamano n que pueden ser extradas sin reemplazo. Si s comparadocon n es grande, hay una pequena diferencia entre el muestreo aleatorio con estas dos tecnicas. dehecho, observamos por (2.1) que para cualquier n fija,

(2.2) lms

(s)nsn

= lmn

(1 1

s

). . .

(1 n 1

s

)= 1.

(Ver ejercicio 12 para estimaciones mas precisas.)

2.2. Permutaciones

Suponga que se tienen n cajas distintas y n bolas distintas. El numero total de maneras adistribuir las n bolas dentro de las n cajas de tal manera que cada caja tenga exactamente unabola es n!. El decir que estas n bolas estan distribuidas aleatoriamente entre las n cajas con unabola por caja significa que asignamos probabilidad de 1/n! a cada una de estas posibles maneras.Supongamos que este es el caso. Cual es la probabilidad de que una bola especfica, digamos la

31

2.3. Combinaciones 2. Analisis Combinatorio

bola i, se encuentre en una caja en especfico, digamos la caja j? Si la bola i se encuentra en la cajaj esto nos deja (n 1) cajas y (n 1) bolas a ser distribuidas en ellas tal que exactamente una bolaeste en cada caja. Esto puede hacerse en (n 1) maneras, por lo tanto la probabilidad requerida es(n 1)/n! = 1/n!.

Otra manera de ver este resultado es la siguiente. Si tenemos n objetos distintos y los permutamosentre ellos aleatoriamente, entonces la probabilidad de que un objeto en especfico se encuentre enuna posicion especfica es 1/n!. De hecho, aqu las posiciones pueden ser identificadas con las cajasy los objetos con las bolas.

Las consideraciones anteriores son facilmente extendidas de 1 a k 1 objetos. Si n objetosson permutados entre ellos de manera aleatoria, la probabilidad de que k objetos especficos seencuentren en k posiciones especficas es (n k)!/n!. Dejamos la prueba de este hecho al lector.

Los problemas que envuelven permutaciones aleatorias toman una gran variedad de formascuando se formulan verbalmente. Aqu hay dos ejemplos:

(a)Un mazo de cartas etiquetadas 1, 2, . . . n se baraja y las cartas se reparten una a la vez.Cual es la probabilidad de que para algun i en especfico, la i-esima carta repartida sea la cartaetiquetada como i?

(b)Suponga que 10 parejas llegan a una fiesta. Los ninos y las ninas hacen parejas al azar. Cuales la probabilidad de que exactamente k ninos en especial terminen con su propia pareja?

Un problema mas sofisticado que envuelve permutaciones aleatorias es el encontrar la proba-bilidad de que ocurran exactamente k coincidencias . Para usar nuestro pintoresco ejemplo dedistribuir bolas en cajas, el problema es encontrar la probabilidad de que la bola i se encuentre enla caja i para exactamente k valores distintos de i. El problema de coincidencias puede ser resueltoen una amplia variedad de formas. Posponemos la discusion de este problema hasta la Seccion 2.6.

2.3. Combinaciones

Una mano de poker consiste en cinco cartas extradas de un mazo de 52 cartas. Desde el puntode vista del la discusion previa, habra (52)5 de tales manos. Sin embargo, al llegar aqu contandode esta manera, diferentes ordenamientos de las mismas cinco cartas son considerados como manosdistintas. Esto es, la mano 2,3,4,5,6 de espadas en este orden es considerada distinta de la mano2,4,3,5,6 de espadas en ese orden. Desde el punto de vista del juego de cartas, estas manos son lasmismas. De hecho todas las 5! permutaciones de las mismas cartas son equivalentes. De las(52)5manos posibles, exactamente 5! de ellas son solo permutaciones de estas mismas 5 cartas. De manerasimilar, para cualquier conjunto dado de cinco cartas hay 5! permutaciones distintas. Por lo tanto elnumero total de manos de poker, no importando el orden en el cual la carta aparece, es (52)5/5!. Eneste nuevo conteo dos manos se consideran distintas si y solo si difieren como conjunto de objetos,i.e.,tienen al menos un elemento distinto. Por ejemplo, entre las (52)5/5! manos de poker que hay, lasmanos (2,3,4,5,6) de espadas y (3,2,4,5,6) de espadas son las mismas, pero las manos (2,3,4,5,7) deespadas y (2,3,4,5,6) de espadas son distintas.

Mas generalmente, supongamos que tenemos un conjunto S con s objetos distintos. Entonces,como ya se explico anteriormente, hay (s)r distintas muestras de tamano r que se pueden extraerde S sin reemplazo. Cada subconjunto distinto {x1, . . . , xr} de r objetos de S puede ser ordenado(re-arreglado) en r! maneras distintas. Si ignoramos el orden en el cual los objetos aparecen en lamuestra, entonces estos r! reordenamientos de (x1, . . . , xn) se consideran como el mismo. Por lotanto hay (s)r/r! muestras diferentes de tamano r que pueden ser extradas sin reemplazo y sinimportar el orden de un conjunto de s objetos distintos.

32

2.3. Combinaciones 2. Analisis Combinatorio

La cantidad (s)r/r! usualmente se escribe en terminos del smbolo del coeficiente binomial

(s)rr!

=(s

r

).

Observe que para r = 0, 1, 2, . . . , s (s

r

)=

(s)rr!

=s!

r!(s r)!.

Senalamos que de ahora en adelante(ar

)esta bien definido para cualquier numero real a y cualquier

entero no negativo r por

(2.3)(a

r

)=

(a)rr!

=a(a 1) . . . (a r + 1)

r!,

donde 0! y (a)0 se definen como 1.

Ejemplo 5(

3

)= ()(1)(2)3! =

(+1)(+2)3! .

Observe que si a es un entero positivo, entonces(ar

)= 0 si r > a. Adoptaremos la convencion de

que(ar

)= 0 si r es un entero negativo. Por lo tanto

(ar

)esta definido para todo numero real a y

para todo entero r.Como previamente se observo, cuando s es un entero positivo y r es un entero no negativo, es

util pensar en(sr

)como el numero de maneras en las que podemos extraer una muestra de tamano

r de una poblacion de s objetos distintos sin reemplazo y sin importar el orden en el cual cada unode estos r objetos se eligieron.

Ejemplo 6 Considere el conjunto de numeros {1, 2, . . . , n}. Entonces, si 1 r n, hay exacta-mente

(nr

)elecciones de numeros i1, i2, . . . , ir tal que 1 i1 i2 . . . ir n. De hecho, cada una

de las (n)r elecciones de r numeros distintos de 1 a n tiene r! reordenamientos, con exactamenteun reordenamiento que satisface este requisito. Luego el numero de elecciones distintas de numerosque satisfacen este requisito es el mismo que el numero de subconjuntos distintos de tamano r quepueden ser extrados del conjunto {1, 2, . . . , n}.

Ejemplo 7 Miembros del comite. El departamento de matematicas consiste de 25 profesores detiempo completo, 15 profesores asociados y 35 profesores asistentes. De la facultad del departamentose selecciona al azar un comite de 6 personas. Encuentre la probabilidad de que todos los miembrosdel comite sean profesores asistentes.

En total hay 75 miembros de la facultad. El comite de 6 puede ser elegido de estas 75 personasen(756

)maneras. Hay 35 profesores asistentes y los 6 del comite pueden ser elegidos de los 35 en

(356

)maneras. Por lo tanto la probabilidad requerida es

(356

)/(756

). Los calculos dan aproximadamente un

valor de 0.01; luego el personal de arrendamiento (profesores asociados y de tiempo completo) nodebe preocuparse indebidamente de no tener representacion alguna.

Ejemplo 8 Considere una mano de poker de 5 cartas. encuentre la probabilidad de obtener cuatrode un solo tipo (i.e., cuatro cartas con el mismo valor) asumiendo que las cinco son elegidas al azar.

Podemos resolver este problema como sigue.Hay

(525

)manos distintas, las cuales tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Entonces

tendra(525

)puntos. Para que acontezca el evento deseado debemos tener cuatro cartas del mis-

mo valor. Hay 13 distintas opciones para el valor que las cuatro cartas deberan tener, a saber

33

2.4. Particiones 2. Analisis Combinatorio

2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A. Para cada una de tales opciones (que determina cuatro de las cincocartas de la mano deseada) hay otras 48 cartas de las cuales podemos elegir a la quinta carta de lamano. Ya que cualquiera de las 13 opciones de la mano de cuatro cartas iguales puede ser apareadacon cualquiera de las 48 opciones de la quinta restantes en total hay (13)(48) maneras posibles deobtener una mano de poker con cuatro de las cinco cartas iguales. La probabilidad deseada es, porlo tanto

(13)(48)(525

) 2,40 104.Ejemplo 9 Suponga que n bolas se distribuyen en n cajas de tal manera que cada uno de los nn

posibles arreglos sea equiprobable. Calcule la probabilidad de que solo la caja 1 este vaca.El espacio de probabilidad en este caso consiste de nn puntos equiprobables. Sea A el evento en

el cual solo la caja 1 este vaca. Esto puede ocurrir solamente si las n bolas se encuentran en lasn 1 cajas restantes, de manera que ninguna de estas este vaca. Por lo tanto, exactamente una deestas (n1) cajas debe contener dos bolas, y las restantes (n2) cajas deben contener exactamenteuna bola. Sea Bj el evento en el que la caja j, j = 2, 3, . . . , n tenga dos bolas, la caja 1 no tenganinguna bola y que las restantes (n 2) cajas tengan cada una exactamente una bola. Entonces losBj son disjuntos y A =

nj=2Bj. Para calcular P (Bj) observamos que las dos bolas colocadas en

la caja j pueden ser elegidas de las n bolas en(n2

)maneras. Las (n 2) bolas en las (n 2) cajas

restantes pueden ser reordenadas en (n 2)! maneras. Por lo tanto el numero de formas distintasen las que podemos poner dos bolas en la caja j, ninguna bola en la caja 1 y exactamente una bolaen cada una de las cajas restantes es

(n2

)(n 2)!. Por lo tanto

P (Bj) =

(n2

)(n 2)!nn

y como consecuencia

P (A) =(n 1)

(n2

)(n 2)!

nn=

(n2

)(n 1)!nn

.

2.4. Particiones

Una amplia variedad de problemas combinatorios que involucran muestras no ordenadas son delsiguiente tipo. Una caja tiene r bolas rojas y b bolas negras. Una muestra aleatoria de tamano n seextrae de la caja sin reemplazo. Cual es la probabilidad de que dicha muestra contenga exactamentek bolas rojas (y por lo tanto n k bolas negras)?

Para resolver el problema discutimos como sigue. Estamos interesados solamente en el numerototal de bolas rojas y negras en la muestra y no en el orden en el cual estas son extradas. Estoes, estamos tratando con muestreo sin reemplazo y sin importar el orden. Por lo tanto, para esteproblema podemos tomar nuestro espacio de probabilidad a ser la coleccion de todas las

(b+rn

)de

tamano n que pueden ser extradas de esta manera de las b+ r bolas de la poblacion. Cada una de

estas(b+rn

)muestras tiene asignada la misma probabilidad

((b+rn

))1. Ahora debemos calcular el

numero de formas en la cuales se puede extraer una muestra de tamano n que tenga exactamentek bolas rojas. Las k bolas rojas pueden ser elegidas de las r bolas rojas totales en

(rk

)maneras sin

importar el orden, y las n k bolas negras pueden ser elegidas de las b bolas negras sin importar elorden en

(b

nk)maneras. Ya que se puede aparear cada eleccion de k bolas rojas con cada eleccion

de n k bolas negras, hay un total de(rk

)(b

nk)opciones posibles. Por lo tanto la probabilidad

34

2.4. Particiones 2. Analisis Combinatorio

deseada es (rk

)(b

nk)(

r+bn

) .La esencia de este tipo de problema es que la poblacion (en este caso las bolas) es particionada endos clases (bolas rojas y negras), Una muestra aleatoria de un cierto tamano se toma y requerimosla probabilidad de que la muestra contenga un numero especfico de objetos de cada una de estasclases. En algunos problemas de este tipo las dos clases no son especificadas explcitamente, peropueden ser reconocidas cuando se analiza el lenguaje del problema.

Ejemplo 10 Una mano de poker tiene 5 cartas extradas de un mazo ordinario de 52 cartas.Encuentre la probabilidad de que la mano de poker tenga exactamente 2 reyes.

Para resolver el problema notemos que hay(525

)manos de poker. En el mazo hay 4 reyes y

otras 48 cartas. Esto parte las cartas en dos clases, reyes y no-reyes, teniendo cada una 4 y 48elementos respectivamente. La mano de poker es una muestra de tamano 5 extrada sin reemplazo ysin importar el orden de estas 25 cartas. El problema entonces es el hallar la probabilidad de que enla muestra halla 2 miembros de la primera clase y 3 miembros de la segunda. Luego, la probabilidadrequerida es (

42

)(525

)(525

) 3,99 102.Ejemplo 11 Un mazo para jugar a las cartas tiene 4 grupos de 13 cartas cada uno, a saber treboles,diamantes, corazones y espadas.

(a)Cual es la probabilidad de que en una mano de 5 cartas halla exactamente 3 treboles?(b)Cual es la probabilidad de que en una mano de 5 cartas halla exactamente 3 del mismo

grupo?Para resolver el problema (a) notemos que las condiciones del problema parten al mazo de 52

cartas en dos clases, siendo la primera la clase de los treboles , teniendo 13 miembros, y siendola segunda la de otras excepto treboles, teniendo 39 miembros. Las 5 c

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Introduccion a La Teoria de Probabilidad