TEORIA DE LA PROBABILIDADGeneralidades.- En muchas oportunidades nos hemos encontrado con afirmaciones donde no existe 100% de certeza sobre la aparicin o realizacin de un hecho o fenmeno. Por ejemplo, continuamente escuchamos situaciones como las siguientes: Dado a los niveles de inflacin en los ltimos meses en el pas, es probable que el prximo ao la economa alcance niveles de hiperinflacin. Debido a la agresividad campaa publicitaria sobre el programa de vacunacin para este ao, es probable que aumente sustancialmente el nmero de nios vacunados.En estos ejemplos se pueden apreciar que el resultado final que se conoce con exactitud o certeza existe por lo tanto incertidumbre. As Se vive en un mundo donde se est en incapacidad de predecir el futuro con completa certeza. La necesidad de tener suficiente poder para manejar la incertidumbre obliga a estudiar y usar la teora de la probabilidad.Como segua diciendo las Caractersticas mas notables de nuestra poca consiste en el empleo cada vez mayor de las ideas de la teora de la probabilidad en una amplia variedad de campo cientfico .En la actualidad la teora de la matemtica de la probabilidad constituyen el fundamento de las aplicaciones estadsticas Tanto en la investigacin social como en la teora de decisiones cuando prevalece condiciones de incertidumbre .1.2 Experimento aleatorioEs cualquier experimento u operacin cuyos resultados no se pueden predecir con exactitud antes de ser realizadas .Caractersticas: 1.- Cada experimento podra ser repetido bajo las mismas condiciones .2.- Todos los resultados posibles del experimento aleatorio se pueden conocer a priori con precisin y no el resultado del experimento .3.- Cuando el experimento es repetido un numero grande de veces el conjunto generado de resultados describe un comportamiento que describir el estudio .

Ejemplo # 01Experimentos Aleatorios .E1=Lanzamiento de 2 monedas .E2=Lanzamiento de 2 Dados .E3 =Resultado de un partido F .E4=Juego de Poker.E5=Ingreso a la universidad .E6=Numero de de artculos defectuosos ,Ejemplo # 02 :Sea el experimento resultado del examen final en el curso de estadstica por parte de un estudiante Resultado : antes del examen , el resultado no se conoce con exactitud , es decir , no sabemos si el estudiante aprobara y desaprobara el examen final .Luego , el experimento aleatorio .Ejemplo # 03: Sea el experimento dejar libre un cuaderno en el aire Resultado : Se conoce con exactitud antes de llevar a cabo el experimento : El cuaderno caer por accin de la ley de la gravedad Por tanto este no es un experimento aleatorio .Sin embargo lanzar una pelota en un tanque con agua o quemar un papel no son elementos aleatorios porque se saben los resultados antes de ser Realizados .1.3 Espacio Muestral ()Es un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y es denotado por ( o EM) .Ejemplo # 04Sea el experimento aleatorio: Resultado del examen final en el curso de estadstica por parte de un estudiante. EM={APROBAR , DESAPROBAR}Ejemplo # 05Considere los experimentos aleatorios anteriores y describa el espacio muestral , de cada uno de ellos

Lanzamiento de Dos MonedasE1 = (1) ={(C,C),(C,S),(S,C),(S,S) }Solucin:2 Moneda1MonedaS CS CC CC SS SSC SC Lanzamiento de Dos Dados

E2 = (2) ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1), (2,2),(2,3), ,(6,2),(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}D1 D2123456

1234561,12,13,14,15,16,11,22,23,24,25,26,21,32,33,34,35,36,31,42,43,44,45,46,41,52,53,54,55,56,51,62,63,64,65,66,6

Resultado de un partido de FutbolE3 ={GANAR , EMPATAR , PERDER}

JUEGO DE POKERE4 ={GANAR , EMPATAR , PERDER}VCB n = 52r = 5= 2598,960

INGRESO A LA UNIVESIDAD

E5 ={INGRESA , NO INGRESA}

NUMERO DE ARTICULOS DEFECETUOSOS.

E6 ={0 1 ,.2 , 3, 4 5 , 6,n}

PUNTO DE MUESTRA Es cada resultado particular del experimento con un elemento del espacio muestral , el numero de muestras del espacio muestral es representado por n()Ejemplo # 06 :Tres personas de una comisin expresan su opinin favorables o contraria con respecto a un determinado proyecto de inversin .Solucin :Sea el evento :E = Opinin de 3 personas sobre un proyecto de inversin = {FFF; FFC ; FCF ;FCC ;CFF ;CFC ;CCF ;CCC}E = () = {FFF; FFC ; FCF ;FCC ;CFF ;CFC ;CCF ;CCC }Solucin:Diagrama del rbol:3 Persona 2 Persona F1PersonaF C FC F CCFFC C F C1.4 SUCESO O EVENTO.-Es cada resultado del experimento aleatorio o una combinacin de resultados. Tambin se dice que un suceso o evento, es un subconjunto del espacio muestral.Los eventos son representativos por las letras maysculas A,B , C . . . . Ejemplo #07Sea el experimento aleatorio Seleccin de un alumno de acuerdo a su rendimiento acadmicoEl espacio muestral ser :EM {SOBRESALIENTE, BUENO, REGULAR, MALO} Podemos observar que cada resultado es un subconjunto del espacio muestral , y por lo tanto cada uno de ellos es un evento .si denotamos por A ,B,C ,D Los eventos ; entonces tendremos : Evento A = {SOBRESALIENTE}Evento B = {BUENO}Evento C = {REGULAR}Evento D = {MALO}Ejemplo #08Sea el experimento Seleccin de dos personas ,en relacin a su situacin ocupacional .Los posibles resultados de este experimento son :PERSONA 2PERSONA 1

OCUPADO DESOCUPADO

OCUPADO OO OD

DESOCUPADO DO DD

El espacio Muestral es: EM { OO , OD , DO ,DD }En este caso tendramos como sucesos a una combinacin de resultados . As por ejemplo , podemos definir los siguientes sucesos o eventos :

Sea el evento A , Tal que las dos personas seleccionadas sten ocupadas ;entonces : A = { OO }Sea el evento B , Tal que al menos una de las dos personas estn ocupadas ;entonces : B = {OO,OD,DO }.Sea el evento C , tal que la primera persona seleccionada este ocupada ; entonces : C ={OO , DD }Ejemplo # 09Considerando los experimentos del ejemplo #01 definiremos un evento para cada uno de ellos.E1:A1 : Que salga cara y sello. A1 :{CS,SC}E2:A2 : Que la suma sea 7. A2 :{ (1,6) ; (2,5); (3,4);(4,3);(5,2)(6,1) }E3:A3 : Que no se empate. A3 :{ Ganara, Perder }E4:A4 : Obtener full de Ases con Reyes. A4 :{ (K,K,K,A,A);(K,K,A,K,A);(K,A,K,A,K),.}E5:A5 : Ingreso . A5 :{ Ingres }E:A6 : Menos de 10 artculos defectuosos. A6 :{ (0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5,6 ,7 ,8 ,9)}

LOS SUCESOS O EVENTOS PUEDEN SER:Evento seguro o suceso Universal (U)Se llama as al evento que de todas maneras debe ocurrir; en otras palabras es el espacio Muestral (todas las posibilidades).Ejemplo # 10Sea el experimento : Seleccin de un propietario de inmueble con ingresos medio- alto , de la urbanizacin las casuarinas Lima Se puede apreciar que el evento es seguro universal , ya que al seleccionar un propietario de inmueble , este de todas maneras tendr ingresos medio alto , ya que se trata de una zona residencial de Lima .Evento Imposible()Es el evento que no va a Ocurrir ;No contiene ningn elemento del espacio muestral .Ejemplo # 11Con respecto al ejemplo #06 :Sea el evento :A: Ninguno Opino. A :{ }

Ejemplo # 12Sea el experimento: Seleccin de un propietario de inmuebles con ingresos bajos de la urbanizacin Las Casuarinas LimaEn este caso , el evento es imposible , ya que no se podr seleccionar un propietario de inmuebles con bajos ingresos en una zona residencial .Evento complementario:El complemento del evento A, se denota por el smbolo (Se lee : no A ) y significa que el evento A no ocurre

Ejemplo #13Sea el evento A = {Paciente con tumor canceroso}Entonces el complemento ser:= {Paciente sin tumor no canceroso}Ejemplo #14Considerando el ejemplo #06(Tres personas de una comisin expresan su opinin favorable o contraria con respecto a un determinado proyecto de inversin)Sea el evento:A: Los tres opinaron Iguales. A :{ CCC ; FFF }El complemento ser:= {Los tres no opinaron Iguales}: {FFC , FCF , CFF, FCC , CFC , CCF } EVENTO MUTUAMENTE EXCLUYENTES :Dos o mas eventos son mutuamente excluyentes , si la ocurrencia de uno de ellos , anula la ocurrencia de los dems .Ejemplo #15Sea el experimento aleatorio : Seleccin de un profesor de la universidad xsegn categora Docente Espacio muestral es : EM ={PRINSIPAL , ASOCIADO , AUXILIAR ,PROFESOR JEFE DE PRACTICA }Siendo los eventos A =Profesor principal B =Profesor Asociado C =Profesor Auxiliar D = Profesor de Jefe de Practica

Los cuatro eventos son mutuamente excluyentes , porque al seleccionar un docente ,este tendr solo una categora ; anulndose el resto de los eventos . No es posible sostener , por ejemplo , que al seleccionar un Docente , Este tenga la categora de principal y jefe de practica a la vez .Ejemplo #16Considerando el ejemplo #06(Tres personas de una comisin expresan su opinin favorable o contraria con respecto a un determinado proyecto de inversin)Sea el evento:A: Los tres opinaron Favorablemente. A :{ FFF }El complemento ser:B= {Los tres opinaron en contra}B: {CCC } Por lo tanto A y B Son mutuamente excluyentes.

EVENTOS INDEPENDIENTES :Dos eventos son independientes si ambos no tiene ninguna relacin entre s : es decir , si la ocurrencia de uno de ellos , no influyen en la ocurrencia del otro .Ejemplo # 17Sean los eventos :X = Primer alumno apruebe el examen de estadstica .Y= Segundo alumno apruebe el examen de estadstica .X e Y =Son independientes porque al ocurrir el evento X , este no influye para que el evento ocurra .

1.5 TCNICAS DE CONTEO1.- PRINCIPIOS DE MULTIPLICACIN .-Si un evento o suceso puede ocurrir , en forma independiente , de m maneras diferentes y otro suceso de n maneras diferentes , entonces el numero de maneras distintas en que pueden ocurrir ambos sucesos es : (m x n) Ejemplo # 18Cuantos almuerzos diferentes . son posibles si se componen de una sopa , un emparedado, un postre y una bebida y pueden elegirse entre cuatro sopas , 3 tipos de emparedados , 5 postres y 4 bebidas . 4 x 3 x 5 x4 = 240 Almuerzos Ejemplo # 19En la ETAPA FINAL de ftbol profesional de primera divisin , cuatro equipos CRISTAL(A), BOYS(B) , CIENCIANO(C) , UNIVERSITARIO(D),Disputan el primer y segundo lugar (Campen y sub campen )De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse estos equipos en dichos lugares?.PRIMER LUGARSEGUNDO LUGAR B (A,B) A C (A,C) D (A,D) A(B,A) B C(B,C) D(B,D) A(C,A) C B(C,B) D(C,D) A(D,A) D B(D,B) C(D,C)TOTAL (12)Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se puede ubicar en el primer y segundo lugar Explicacin :a) El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 4 equipos .b) El segundo lugar puede ser ocupado por cualesquiera de los otros tres equipos que restan .UTILIZANDO PRINCIPIO DE MUTIPLICACION 1 2

4 x 3 n de maneras = 12Por el principio de multiplicacin , se observa que el evento del Primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas , entonces el numero de maneras totales ser :4 x 3 = 12Ejemplo # 20Mara dispone de 3 pelucas , 2 blusas , 2 pares de zapatos de cuantas maneras diferentes se puede vestir Mara . 3 x 2 x 2 = 12 Maneras distintas de Vestir.PRINCIPIO DE ADICIN si un evento a se puede realizar de m maneras y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes , adems , no es posible que ambos eventos se realicen juntos , entonces el evento A o el Evento B se realizaran de (m + n) maneras .Ejemplo # 21Una persona puede viajar por va area o va terrestre si hay 3 vas terrestres y 2 areas Cuntas rutas disponibles tiene para viajar?3 + 2 = 5 Formas diferentes de viajar

Ejemplo # 22Un repuesto de Laptop se vende en 6 tiendas de la Loreto o 8 tiendas de la Marcavelica De cuantas formas se puede adquirir el repuesto?6 + 8 = 14 Formas de adquirir el repuesto.Ejemplo # 23Se desea cruzar un rio , para ello se dispone de 3 botes ,2 lanchas y un Deslizador De cuantas formas se puede cruzar el rio utilizandolos medios de trasporte sealados ?3 + 2 = 5 Formas de Trasporte Sealados.Nota: Si se desea que se realicen los eventos A y B, entonces se utiliza el principio de multiplicacin.

Si se desea que se realicen los eventos A B, entonces se utiliza el principio de Adicin.

METODOS DE CONTEOEn diferentes casos se tomara de algn conjunto parte de sus elementos o todos de ellos , para formar diferentes agrupaciones , que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de alguno de ellos .si los elementos que forman alguna agrupacin son diferentes entre si , sern llamados agrupaciones sin repeticin y si alguno de ellos es igual se dira que son agrupaciones con repeticin . Entre los mtodos de conteo mas conocidos se tiene : Permutacin ,Variacin y combinacin PERMUTACIN Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden de su ubicacin ; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variacin . es importante resaltar que el orden es una caracterstica importante en la permutacin , cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos = n!

Ejemplo # 24Un inspector visita 6 maquinas durante el da ; al fin de impedir que los operadores sepan cuando inspeccionara varia el orden de las visitas de cuantas maneras puede hacerlo?n = 6 Diferentes (interesa el orden) = 6! = 720 PERMUTACIONES DE n OBJETOS r A LA VEZ (Permutacin Lineal con elementos Diferentes)El numero de permutaciones de n objetos diferentes , tomados en grupos de R elementos (Siendo Rn) y denotado por:=Estas permutaciones son llamadas lineales , porque los objetos son ordenados en una lnea recta de referencia .Ejemplo # 25En una carretera de 400 metros participan 10 atletas De cuantas formas distintas podrn ser premiadas los tres primeros lugares?Definimos R= 3 que se puede formar con los 10 atletas=Nota :n ! = 1 x 2 x 3 x 4 x (n - 1) x n0! = 11! = 1n! =(n - 1)! x n

PERMUTACION CON REPETICIN (Permutacin lineal con elementos Repetidos)Dado un grupo de N Elementos conformados por k grupos diferentes de tal forma que n1 elementos iguales conforman el primer grupo , n2 elementos iguales conforman el segundo grupo , as sucesivamente hasta que nk elementos iguales conforman el k simo grupo , donde : n1+n2+n3++nk= N , el numero de permutaciones que pueden formarse tomando los N elementos a la vez es :=Donde n1+n2+n3++nk= NEjemplo # 26:De cuantas maneras distintas se podrn ordenar las siguientes figuras ?

Como entran todos los elementos del conjunto y algunos se repiten , se trata de una permutacin con repeticin ,donde n1 = 3 (Tres crculos )n2 = 2 (cuadrados) , n3 = 1 (Triangulo), n4= 1 (Rombo CUATRO LADOS ) luego:Donde n1+n2+n3++nk= N 3 x 2 x 1 x 1= 7= = 420PERMUTACIN CIRCULAR Son agrupaciones donde no hay primero ni ltimo elemento , por hallarse todos en una lnea cerrada .para hallar el numero de permutaciones circulares que se pueden formar con n objetos distinto de un conjunto , hay que considerar fija la posicin de un elemento , los (n - 1) restantes podrn cambiar de lugar de (n - 1)! Formas diferentes , tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto .El numero de permutaciones circulares ser :

Ejemplo # 27:De cuantas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa circular?

= 120 maneras diferentes de sentarse

COMBINACINEs cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicacin .El numero de combinaciones de n elementos diferentes tomados de K en K , con K n Esta dada por : = Ejemplo # 29:De cuantas maneras diferentes pueden elegirse 3 de 20 auxiliares de un laboratorio para asistir a un evento.n = 20 K = 3 = = 1140 Ejemplo # 30:En cuantas formas diferentes puede el jefe de laboratorio de investigacin puede elegir dos qumicos de 7 candidatos y 3 fsicos de 9 candidatos? Dos qumicos pueden elegirse : = = 21 Maneras 3 fsicos pueden elegirse = = 84 Maneras Toda la eleccin(Aplicamos principio de Multiplicacin )21 x 84 = 1764 Maneras.CONCEPTO DE PROBABILIDAD La probabilidad es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativas a eventos que posiblemente pueden ocurrir .TIPOS DE PROBABILIDAD Existen tres enfoques para el estudio de la Probabilidad PROBABILIDAD CLSICA :Llamada tambin probabilidad a priori debido a que es posible conocer el resultado con anterioridad , es decir , sin llevar a cabo el experimento y solo basado en un razonamiento lgico .Se calcula atravezP(A)=

Ejemplo # 32: Hallar la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda Solucin:Definimos el espacio muestral : EM= {CARA , SELLO} Sea el evento : A = OBTENER CARA Luego : P(A)==P(A)=0.5 = 50%(Para obtener el % multiplicamos el resultado por 100 % ).

PROBABILIDAD DE FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA El calculo de este tipo de probabilidad se basa en la repeticin de la ocurrencia de un evento , al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos .P(A)=La probabilidad de frecuencia relativa , es llamado tambin probabilidad emprica o a posteriori , debido a que se obtiene el resultado despus de llevar a cabo el experimento un gran numero de veces .

Ejemplo # 34:En una encuesta realizada a 500 vendedores ambulantes de lima central , se encontr que 325 de ellos se dedicaban a esa actividad porque haban sido despedidos de empresas fabriles .hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante , este haya sido despedido de una empresa fabril .Solucin :sea el evento : B = Vendedores ambulante despedido .# de veces en que ocurri B =325# total de veces que se repiti el experimento = 500Luego :P(B)==0.65 =65%Probabilidad Subjetiva : Es la probabilidad asignada bajo un criterio Personal ; basado en cualquier tipo de evidencia disponible .Las probabilidades Subjetivas se asignan a eventos que pueden suceder solo una vez o muy pocas veces .Ejemplo # 35:La probabilidad de que el hombre llegue a habilitar la luna en los prximos 20 aos .La probabilidad de que se encuentre una cura para el sida en los prximos 5 aos AXIOMAS DE PROBABILIDAD La probabilidad de un evento cualquiera , es siempre positiva .Es decir : P(A) 0La probabilidad de un evento cierto o seguro , es la probabilidad del espacio muestral que equivale a la unidad .Es decir : P (EM) = 1CONSECUENCIA DE LOS AXIOMAS La probabilidad de un evento , toma valores entre cero y uno .Es decir 0 P(A) 1La probabilidad de un evento nulo o imposible , es cero .Es decir P() = 0Los eventos A y son mutuamente excluyentes , y se debe cumplir P ( A U ) = P(A) + P() = 1 PROBABILIDAD EN MUTIPLICIDAD DE EVENTOS Regla de la suma de Probabilidades Se usa cuando se desea averiguar la probabilidad de ocurrencia de uno u otro eventoSi los eventos A y B Son mutuamente excluyentes , la probabilidad de ocurrencia de A o B es : P(A U B) = P(A) + P (B)Suma Donde :P = ProbabilidadU = Smbolo de la unin en la teora de conjuntos, aqu significa suma de probabilidades y debe de leerse como o .P(A U B)= Probabilidad de que ocurra el evento A o B .P(A) = Probabilidad de que ocurra el evento AP(B) = Probabilidad de que ocurra el evento BEjemplo # 36:De 200 nios examinados por una nutricionista, se encontr que 80 padecan de desnutricin leve; 50 padecan de desnutricin crnica y 70 normales. si de los nios examinados se seleccionan uno al azar .cual es la probabilidad de que padezca de desnutricin leve o desnutricin crnica?Solucin : Sean los eventos : A = Nios con desnutricin leve = 80B = Nios con desnutricin Crnica = 50C = Nios Normales = 70Como los eventos son mutuamente excluyentes:P (A U B) = P (A) + P(B)P (A U B) =P (A U B) =P (A U B) =65%Si los eventos no son mutuamente excluyentes , la probabilidad de ocurrencia de A o B , es :P(A U B)= P(A) + P(B) P(A B)DONDE : P(A U B) =Probabilidad del que el evento A y el evento B , Ocurran .P(A B) =Probabilidad del que ocurran simultneamente los eventos A yB.PROBABILIDAD CONDICIONALEs utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado a la aparicin previa de otra . Se calcula mediante la formula:P(B/A)= Con P(A) = 0El smbolo / se lee DADO , y se expresa condicin .Donde P(A/B) = Probabilidad de que ocurra el evento B ,Dado que el evento A ha ocurrido .

Luego :P(B/A)==EJERCICIOS RESUELTOS(PROBABILIDADES)Probabilidad con acontecimiento aislado Ejemplo # 01Si una caja contiene 10 bolas rojas , 8 bolas blancas y 12 bolas azules , al extraer una bola ,Cul es la probabilidad de que la bola sea (a)roja ,(b)Blanca , (c)Azul , (d)que no sea roja ?Respuesta:(a) = que sea Roja es 10 / (10 + 8 +12) = 1/3 =0.3333(b) = La probabilidad de que sea blanca es 8 / (10 + 8 + 12) =0.26c) = La probabilidad de que sea Azul es 12 / (10 + 8 + 12) 2/5 = 0.4(d) = La probabilidad de que no sea Roja es (8 + 12) / (10 + 8 + 12) = 2/3

Ejemplo # 02Cual es la probabilidad de que al sacar una carta en una baraja de 48 cartas sea un cabajo o un Rey ?Respuesta :La probabilidad es de (4/48)+(4+48)= 1/6Ejemplo # 03Determinar la Probabilidad P de que aparesca sello en una tirada de una moneda , si es de que anteriormente de 100 tiros han salido 61 caras .Respuesta : Si de 100 tiros han salido 61 caras , esto quiere decir que han salido 39 sellos Luego la probabilidad emprica de que salga sello tiene la frecuencia relativa de P = 39/100 = 0.39Ejemplo # 04Probabilidad de tirar 2 veces una moneda por lo menos aparezca un sello Respuesta :Al tirar 2 veces una moneda puede obtenerse 1 de los 4 resultados siguientes SS, SC , CS , CC , Todos con igual probabilidad . solo los 3 primeros Resultados son favorables , luego p = 3/4 .Ejemplo # 05Probabilidad de que aparezca una suma de 5 en el tiro de dos dados Respuesta :Hay cuatro formas de obtener la suma de 5 con dos dados , estas son (1 y 4) , (4 y 1) , (2 y 3), (3 y 2) . Por otra parte hay 36 combinaciones posibles entre los 2 dados , cuya suma va de 2 hasta 12 . estas combinaciones son (1 y 1),(1 y 2),(1 y 3),(6 y 5),(6 y 6) Entonces p = 4/36 = 1/9 Ejemplo # 06Probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de 52 cartas , esta sea 1 as , o bien el 10 de oros o el 4 de espadas.Respuesta :En la baraja hay 4 ases , 10 de oros y un 4 de espadas luego de 52 cartas igualmente probables 6 son favorables , por siguiente p = 4/56 + 1/52 + 1/52 = 6/52 = 3/26 .PROBABILIDAD DE QUE ANBOS ACONTECIMIENTOS INDEPENDIENTES PERO NO EXCLUYENTES ENTRE SI :EJEMPLO # 07Encontrar la probabilidad de que al echar un dado al aire , salga un mltiplo de 2 de 3 .Respuesta :Al tirar el dado puede salir cualquier numero del 1 al 6 , en los cuales hay tres mutiplos de 2 y 2 mutiplos de 3 . pero 6 es a su vez mutiplo de 2 y de 3, luego la probabilidad que se pide es igual a Prob( Mutiplos de 2) + Prob (Mutiplos de 3) Prob(Mutiplos de 2 y de 3) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6PROBABILIDAD DE QUE VARIOS ACONTECIMIENTOS DEPENDIENTES NO INFLUENCIADOS ENTRE SIEJEMPLO # 10Cual es la probabilidad de que al echar un dado al aire , salga un mutiplo de 2 y de 3 ?Respuesta :La probabilidad de un mltiplo de 2 es de 3/6 , y de un mutiplo de 3 es de 2/6 . Luego la probabilidad perdida es 3/6 * 2/6 = 1/6

EJEMPLODeseamos calcular la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja de pker (52 cartas) obtengamos una de corazn rojo. Si A es el suceso obtener una carta de corazn rojo se tiene