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teoria de probabilidad nivel de proyeccion
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Teoría de Probabilidad
Y
Variable Aleatoria
Nivel de Proyección
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
2
1.- En la comuna de Cabral se ha organizado una inédita competencia
entre 5 tortugas A, B, C, D, E.
Si A tiene 5 veces más posibilidades de ganar que B, B a su vez el
cuádruple de C, C el triple de D, y la tortuga del doble que e.
¿Calcular la probabilidad de ganar de cada tortuga?
Rep.:
Como la suma de las probabilidades debe ser 1 (Por axioma)
DPEP ;)( Tiene el doble de posibilidades de ganar que E, ,2)( PDP Como C
tiene el triple de D, ,623)(3)( PPDPCP también B tiene el cuádruple de
posibilidades de ganar a C.
PPCPBP 2464)(4)(
Finalmente A tiene el quíntuplo de posibilidades de ganara B
Por lo tanto
PPBPAP 120245)(5)(
Entonces como la suma de las probabilidades es 1 tenemos:
11202462 PPPPP
153
1
1153
P
P
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3
En consecuencia
153
24
153
12424)(
153
120120)( PBPPAP
153
1)(
153
22)(
153
66)( EPPDPPCP
a) cual es la probabilidad que C o D ganen
Por axioma de eventos mutuamente exclusivos se tiene
153
8
153
2
153
6)()(}),({
)()()(
DPCPDCP
LUEGO
BPAPAUBP
2.- Sean A y B eventos con 3
1)(
6
1)(
8
5)( BAPBPAP
Hallar a) )( CBP b) )( CBAP C) )( CCUBAP
Rep.:
a) 6
5
6
11)(1)( BPBP C
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4
b) 24
7)()()/()( BAPAPBAPBAP C
c) 3
2
3
21)(1)()( BAPBAPUBAP CCC
3.- Se dibujan 3 círculos concéntricos de radio 3, 5, 7 CMS respectivamente
dentro de un círculo de 9 CMS de radio. Un hombre recibe 20, 10, 5, 1 puntos
según pegue en el blanco, dentro del círculo menor, en el anillo intermedio o
exterior respectivamente. Suponga que el hombre da en el blanco con
probabilidad de 1/3 y por lo tanto con la misma probabilidad que pegue en un
punto del blanco como en otro.
Hallar el valor esperado de los puntos que marca cada vez que dispara.
Rep.:
1 5
10 20 Pts
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5
areablanco
ptosdeAreaP
20
3
1)20( =
27
1
)9(
)3(
3
12
2
areablanco
ptosdeAreaP
10
3
1)10( =
245
16
)9(
)3()5(
3
12
22
areablanco
ptosdeAreaP
5
3
1)5( =
81
8
)9(
)5()7(
3
12
22
1)9(
)9(1
3
1)1(
2
2
blancoArea
ptoAreaP
4.- Un curso de manejo consta de5 mujeres y 8 hombres. De estos solo
recibirán su licencia de conducir
a) cuál es la probabilidad que 3 mujeres reciban su licencia
b) Reciba su licencia exactamente 2 Hombres
c) Reciba su licencia a lo más 2 mujeres.
Rep.:
a) 143
5
286
10
3
13
0
8
3
5
)(
AP
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6
b) 143
70
3
13
2
8
1
5
)(
BP
c)
3
13
1
8
2
5
2
8
1
5
0
8
0
5
)(CP =286
276=
143
138
5.- Se tiene una bolsa con 20 fichas de una misma forma y tamaño las cuales
tienen marcados los valores 50,10 y 5 pesos, la cantidad de cada una de ellas
Es 8 de $50, 6 de $10, 6 de $5. Si se extraen 3 fichas determinar las
siguientes probabilidades:
Rep.:
20 fichas
6 de $5 pesos 11403
20
6 de $10 pesos
8 de $50 pesos
}150,110,105,70,65,60,30,25,20,15{
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7
0175,0
3
20
0
14
3
6
)15(
xP 078,0
3
20
0
8
1
6
2
6
)20(
xP
140,0
3
20
0
8
3
6
0
6
)30(
xP 147,0
3
20
2
8
1
6
0
6
)110(
xP
6.- Una fila para obtener entradas al cine está conformada por 9 personas de
las cuales 4 tienen $500, 5 tienen $1000 y el cajero no tiene cambio, si se
supone que las personas ocupan su lugar al azar.
¿Cuál es la probabilidad que las personas no deban esperar su cambio?
Rep.:
Como las personas ocupan su lugar al azar consideramos espacio de
probabilidad donde (espacio muestral) es
={ )}9,.....,5,4,3,2.1 PPPPPP
7000$1005001 PioP
Sabemos que en este caso
2)(CARD
ACARDAP
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8
Card= 1265
9
Se puede expresar de la siguiente manera
A= { )9,.....,2,1)(9........,3,2,1 PPPPPPP
P1=500 P9=1000
Card(A)=5
Luego 126
5)( AP
7.- ¿Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio?
a) Jugar un juego de azar
b) Enfriar agua a 0º C.
c) Lanzar una piedra y medir su alcance
d) Apostar en una carrera de caballos
8.- En un curso de 60 alumnos, 1/2 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla
francés y 1/4 habla los dos idiomas,
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¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un
idioma?
a) 1/8
b) 3/4
c) 1/2
d) 5/6
Rep.:
Se calculan los porcentajes y se ve la cantidad de alumnos de cada curso y
luego se calcula la probabilidad
9.- ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un rifa para la cual se
venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si
Se compran 4 números?
a.) 1/100
b). 1/10
c). 1/5
d). 1/4
Rep.: A) 100
1
400
4)( AP
10.- Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de
obtener primero un 3 y luego un número par?
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10
a.) 1/3
b). 1/12
c.) 1/9
d). 2/3
Rep.: a) 12
1
2
1
6
1)( AP
11.- En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la
probabilidad de que sean números distintos.
A). 3/40
B) 1/59.280
C) 4/3.705
D) 192/247
12.- Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje
menor que 5 ó mayor que 10?
a) 1/72
b) 1/12
c) 1/4
d). 1/6
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11
13.- Si se tienen 46 pelotas de ping- pong son 15 blancas y 31 azules de
manera aleatoria, se toma una muestra de 7 de ellas, determine la
probabilidad de que la muestre encuentre:
a) exactamente 5 blancas
b) A lo mas 3 pelotas blancas
c) Que las 7 pelotas sean azules
Rep.:
a)
7
46
2
31
5
15
)5(XP = 02608,0
b) 85625,053524680
45831020
7
46
4
31
3
15
5
31
2
15
6
31
1
15
7
31
0
15
)4(
xP
c) 049128,053524680
2629575
7
46
7
31
0
15
)7(
xP
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14.- El Liceo Técnico Femenino necesita 4 profesores practicantes de Ped.
Matemáticas y computación, para realizar talleres con el fin de mejorar el bajo
rendimiento de las alumnas. Para ello postularon 7 profesores de la UPLA, 10
de la UV y 5 de la PUCV.
Determinar la probabilidad de que:
a) los 4 profesores sean de la UPLA
b) Que existan 2 de la UV y a lo más 2 de la PUCV.
c) Que existan 3 profesores de la UV
a)7315
35
4
22
0
5
0
10
4
7
b) 40,07315
4501575945
4
22
2
5
2
10
0
7
1
5
2
10
1
7
0
5
2
10
2
7
c) 1968,07315
600840
4
22
1
5
3
10
0
7
0
5
3
10
1
7
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15.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:
5,11
5,112
1
102
00
)(
xpara
xparax
xparax
xpara
XF
Obtener
a) )3,14,0( XP
b) )5( XP
Rep.:
04,008,02
1
22
1
2
1
2
24,0
0
4,0
0
xdxxdx
x
195,0]3,169,1[2
1
2
1
2
1)
2
1( 2
3,1
1
3,1
1
3,1
1
xxdxdxxdxx
a) )3,14,0( XP
155,0
04,0195,0
)4,0()3,1(
XPXP
b) 9375,02
125,01
22
11
22
11
21)5,0(1)5(
25,0
0
5,0
0
xdx
xdx
xXPXP
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16.- Dados los siguientes valores
X 1 2 3 4 5
fx 0,35 0,15 0,07 0,01
a) Determinar el valor de
b) Representar Gráficamente la función de distribución de cuantía.
c) )2( XP
d) )5/2( XXP
e) )(xE
f) )var(x
Rep.:
a)
145,001,007,015,035,01
c) )2(1)2( XPXP
=1-0,50
= 0,5
d) 097,0715,0
07,0
)5(
)53()5/3(
XP
XPXXP
e)
xx
fxxXE
)(
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15
= 01,0507,0445,0315,0235,01
= 05,028,0435,03,035,0
= 1,415
f) )()()var( 22 XEXEx
X
fxxXE 22 )(
= 01,02507,016145,0915,0435,0)1( 2
= 25,012,1305,16,035,0
= 625,3
0022,2625,3)var( x
=1,6228
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16
17.- Función de densidad del tiempo en minutos de concentración de los
alumnos durante una jornada escolar.
30
0
30)(
2
tt
tf
Determinar la Probabilidad que un estudiante escogido al azar tenga un
tiempo
De concentración:
Rep.:
a) 5
1
150
3030301)150(1)150(
2
150
30
2
t
dtt
TPTP
b)
170
2
230
170
2
30
30
)170(
)230170(
t
t
XP
XP
c)
tdtt
dtt
tXE ln301
3030
)(3030
2 no existe esperanza
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17
18.- Hacer el Grafico de la siguiente función
xi -2 1 3
)(xif 1/8 1/4 1/2
Además encontrar esperanza, varianza y Desviación estándar en esta
Distribución.
Rep.:
2
13
4
11
8
12)( XE
= 2
3
2
3
4
1
8
2
2
19
4
11
8
1)2()( 22 XE
= 4
21
2
9
4
1
2
1
)()()( 22 XEXExiVar
= 34
12
4
9
4
21
Desviación Estándar 73,13)var( x
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19.- La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada
por:
11
102
00
)( 2
x
xxx
x
XF
Obtener )4
3()
2
1( XPXP
Rep.:
a) 24
5
24
1
8
2
3222)2()
2
1(
322
1
0
2
1
0
22
1
0
2
xxdxxdxxdxxxXP
b)
192
27
3
1
32
9
2
12
32222)2()
4
3(
321
4
3
1
4
3
2
1
4
3
1
4
3
1
4
3
22 xxdxxdxxdxxdxxxxXP
=192
57
192
27
32
72
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19
20.- sea x una variable aleatoria cuya función de densidad esta dada por:
10)42
5()( 23
xparaxxcxf
a) Determinar el valor de c
b) Calcular la Esperanza
Rep.:
a)
3
442
54
2
5)4
2
5()4
2
5(
341
0
1
0
2323
1
0
23
1
0
xxcdxxdxxcdxxxcdxxxc
= 17
241
24
17
3
4
8
5
3
14
4
1
2
5
cccc
b)
1
0
1
0
3434
1
0
23
1
0
23 42
5)4
2
5()4
2
5()4
2
5()( dxxdxxcdxxxcdxxxxcdxxxcxXE
4
3
1/2
1724
22
1
4
14
5
1
2
5
44
52
5 45
ccc
xxc
21.- Si 21 .,,......... AA son conjuntos disjuntos ( )jiparaAA Ji
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20
Entonces
)()(1
1
n
i
ii
n
i APAP
Dem
)()(1
1
n
i
ii
n
i APAP
Consideramos 1k y usando definición la condición referente a prob
aditiva y por hipótesis inductiva se tiene
)()()()()())(()(1
11
11111
1
1
k
i
i
k
i
kiki
k
iki
k
ii
k
i APAPAPAPAPAAPAP
22.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por:
eoc
cxx
xx
XF
0
13
10
)(
Determinar:
a) Calcular valor de c
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21
Rep.:
2/2
7
23
2
14
231
2
13
23
233)3(
2222
1
1
0 1
cc
cc
cc
xxdxxdxdxx
cc
07676 22 cccc
Ecuación de segundo grado
232
)23(2
2
226
2
86
2
28366
6,14142,4 21 cc
23.- La función de densidad de una variable continua es:
)2,0(0)(
)2,0(2)( 3
xsixf
xsibaxxf
Determinar a y b sabiendo que 1357,0)12
1(
xP
Rep.:
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22
14414424
2)2(42
0
3
2
0
2
0
3
bababx
xadxbdxxadxbxa
1357,0332
73
324322
42
4)2(
1
2
1
43
b
ab
aab
ab
abx
axdxbax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
4./3424,4967
7/144
ba
ba
3696,1732428
72828
ba
ba
02912,0
356
3696,10
3696,10356
b
b
b
Reemplazando en 1 se tiene
2208,0
4
8835,0
1165,014
a
a
a
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23
24.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en EEUU tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
10)1(20
)(
3
Calcular
a) Función de densidad
b) Función de distribución acumulada
c) )20,0( xP
Rep.:
a) 20
1
0
1
0
222
1
0
1
0
23 )21)((20)21()1(20)1)(1(20)1( dxxxxxdxxxxxdxxxxdxxx
1
0
43232 )22(20 dxxxxxxx
)54
3
3
3
2(20)33(20
54321
0
432 xxxxdxxxxx 1
20
120)
5
1
4
31
2
1(20
b) 54323 4152010)1(20)( xxxxdtttxF
c) )20,0( xP =
5432
5
14
5
115
5
120
5
110
5
1
F
26272,0
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
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24
25.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada
por:
eoc
xkexf
x
0
0)(3
a) Determinar el valor de k
b) Función de distribución acumulada
c) )63( xP
d) )9( xP
Rep.:
a)
3
113113333 3
0
9,0
0
3
0
3
kkekekekduekdxekdxke
x
uu
xx
3
xu
dudu3
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
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25
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
33
0
13
10)()(
,0)( xF Para x<0
Luego 3
3
1))((x
edx
xFd
que es lo que se esperaba
c) )63( xP = )3()6(3
16
3
3 FFdxe
x
= 12 11 ee
= 224,064,0864,0
d) )9( xP = 95,01)9( 3 eF
La probabilidad que exceda los 9 minutos es 1- 05,095,01)9( F
26.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución
es igual a:
01)( xparaeXF x
Calcular:
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26
a) )2( xP
b) )5,15,0( xP
c) ))3ln()2(ln( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )2( xP =1- )2( xP
= 1- )2(F
= )1(1 2 e = 2e
b) )5,15,0( xP = )5,0()5,1( xPxP
= )5,0()5,1( FF
= 5,05,1 11 ee
= 5,15,0 ee
c) ))3ln()2(ln( xP = ))2(ln())3(ln( FF = )3ln()2ln( ee =6
1
3
1
2
1
27.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución
es igual a:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
27
02)( 2 xparaeXF x
Calcular:
a) )2( xP
b) )31( xP
c) ))3ln()1(ln( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )2( xP =1- )2( xP
= 1- )2(F
= )2(1 2xe = 43 e
b) )31( xP = )1()3( xPxP
= )1()3( FF
= 26 22 ee
= 62 ee
c) ))3ln()1(ln( xP = ))1(ln())3(ln( FF = )3ln(2)1ln(2 ee =)3ln(2
11
e
28.- Dado 2,1 Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un
ebraa lg
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
28
,{1 F }1,2
3,
2
3,1,2,1
,{2 F }1,3
4,
3
4,1,1,
2
3,
2
3,1,2,1
Rep.:
1F No es un algebra porque 11,2
3
2
3,1/ F
2F No es un algebra porque 21,3
4
2
3,1 F
29.- Dado }.9,7,5,3,1{ En alguna de las siguientes familias de conjuntos
de números impares entre 1-10 es un ebraa lg
}}9,7{},3,1{,{1 F
}}5,1{},9,7,3{},7,5{},3,1{,,{2 F
}}9,7,5{},3,1{},9,7{},5,3,1{,,{3 F
Rep.:
1F No es un algebra ya que 1F
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
29
2F No es un algebra ya que no todos los elementos tiene su complemento
3F Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.
30.- Dado }.7,5,1{ .completar }}7{},5{{ para obtener un algebra. Agregar
más subconjuntos si es posible.
Rep.:
}}5{},7,1{},5,1{},1{},7,5{},7{},7,5,1{,{F
Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los
requisitos para ser un ebraa lg .
31.- La función de densidad de una variable continua es:
)2,0(0)(
)2,0(3
15)( 2
xsixf
xsibaxxf
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
30
Determinar a y b sabiendo que 1237,0)21( xP
Rep.:
13
2
3
401
3
2
3
85
3
1
35
3
15)
3
15(
32
0
2
2
0
2
0
2
b
abaxb
xadxbdxxadxbxa
3711,0345
52403
1
3
5
3
2
3
40
3
1
35)
3
15(
2
1
32
ba
bababa
ba
xbx
adxbax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
2/3711,0345
3/3240
ba
ba
7422,0690
96120
ba
ba
27526,0
30
2578,8
1/2578,830
a
a
a
Reemplazando en 1 se tiene
0052,4
2
0104,8
3227526,040
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
31
32.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
10)1(30
)(
22
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )25,0( xP
Rep.:
a. 30
1
0
1
0
1
0
1
0
43222 230)21( dxxdxxdxxdxxxx
160
230
5
1
4
2
3
130
542
330
543
xxx
b. 5432 61510)1(12)( xxxdtttxF
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
32
c. )25,0( xP =
5
4
16
4
4
115
3
4
110
4
1
F
1035,0
33.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada
por:
eoc
xkexf
x
0
03)(5
a. Determinar el valor de k
b. Función de distribución acumulada
c. )64( xP
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
33
a)
15
11151115151553533 4
000
5
kkekekekduekdxekdxek
x
uu
xx
5
xu
dxdu5
1
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
0
533530)()(
,0)( xF Para x<0
Luego 5
5
1))((x
edx
xFd
que es lo que se esperaba
c) )64( xP = )()(55
146
6
4
FFdxe
x
=
5
4
5
6
3333 ee
= 5
6
5
4
33
ee
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
34
34.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por:
eoc
cxx
xx
XF
0
22
20
)(
Calcular valor de c
Rep.:
2/32
2212
21242
22
22)2(2222
22 2
cc
cc
cc
xxdxxdxdxx
cc c
06868 22 cccc
Ecuación de segundo grado
1042
)104(2
2
1028
2
408
2
24648
837,0162,7 21 cc
35.- Sea }7,5,3,1{ conjunto de números primos Veamos si
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
35
}}7{},5,3,1{},7,5,3{},1{,,{ T
Compuesta por estas números. Cumple con las condiciones para ser
ebraAlg
Rep.:
a) T Cumple con esta condición
b) si TATA C cumple con la condición
Ya que cada elemento de T tiene un complemento.
c) si TATAnumerableINnAA Nnn
)(,
0
paraebraaunaesT lg
}7,5,3{}7,5,3{
}7{
}5,3,1{
36.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada
por:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
36
0
10)25
1(
3
4
)(
3 xdxxxxf
Determinar esperanza y Varianza
a) dxxdxxdxxxxXE
1
0
4
1
0
2
1
0
3
3
8
15
4)2
5
1(
3
4)(
=
15
7
45
28
15
8
45
4
15
8
45
4
53
8
315
4
3
8
15
4 531
0
1
0
5342
xxxxdxxdxx
)()()var( 22 xExEx
)( 2xE dxxdxxdxxxx
1
0
5
1
0
3
1
0
32 25
1
3
4)2
5
1(
3
4
45
23
135
69
9
4
15
1
9
4
1563
8
415
4
3
8
15
4 641
0
1
0
6453
xxxxdxxdxx
)()()( 22 xExExVar
= 225
66
225
49115
225
49
45
23
37.- Sea x una variable aleatoria que representa. Los días de la semana y la
probabilidad de que llueva Dada la siguiente información.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
37
x 1 2 3 4 5 6 7
)(xp 0,06 0,12 0,12 0,12 0,06 0,06 0,05
a) encontrar esperanza
05,0706,0606,0512,0412,0312,0206,01)( xE
= 25,1
()( ExVar )() 22 xEx
05,04906,03606,02512,01612,0912,0406,01)( 2 xE
= 65,9
56,165,9)( xVar
= 8,09
38.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución
20
0
7
4
5
1
)(
2
xsi
xk
xf
a) calcular el valor de k
b) Hallar )1()21( XPXP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
38
Rep.:
a)
0916,28
35
8
351
35
82
35
4
235
4
35
4
7
4
5
1 2222
2
2
0
2
2
0
2
kkkkx
kdxxkdxx
k
b1)4
3
2
3
2
1
2
1
2
4
2
1
22
1
2
1
2
1)21(
22
1
2
1
xdxxdxxXP
b3)4
1
2
1
2
1
22
1
2
1)1(
21
0
xdxxXP
39.- Dada la siguiente función
xexf
x
016
1)( 16
Determinar
a) si la función anterior es una función de Probabilidad
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
39
Rep.:
11616
1
16
1
16
116
0
1616
00
1616
0
eeeeduedxedxe
x
uu
xx
40.- La función de densidad de probabilidad de una variable
Aleatoria X está dada por:
eoc
xxxf
0
10327
1
)(
2
Determinar
a) )(xE
b) )(xVar
Rep.:
a) )(xE =
4
1
4
27
27
1
2
92
4
1
27
1
29
36
427
196
27
1)96(
27
13
27
1 2341
0
1
0
23
1
0
1
0
22
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
40
b) )(xVar = )()( 22 xExE
)( 2xE
270
47
10
47
27
13
2
3
5
1
27
1
39
46
527
196
27
1)96(
27
13
27
1 3451
0
1
0
2
1
0
34
1
0
1
0
2222
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
)(xVar = )()( 22 xExE
= 1458
482
4320
270752
16
1
270
47
41.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi - 2 -1 2 3
)(xif
3
1
3
1
2
1
2
1
2
13
2
12
3
11
3
12
2
xixi -
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
41
= -2
31
3
1
3
2 =
6
9
2
19
2
14
3
11
3
14)(2 xifxi
= 3
20
6
40
6
181228
2
9
2
4
3
1
3
4
222 )( xifxi
= 36
59
36
81240
36
81
3
20
280,16
59
36
59
42.- Sea un juego de cartas con un naipe ingles y una sola pinta tal que la
probabilidad de las distintas cartas es proporcional al número de puntos
inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con esta carta un numero
impar.
Rep.:
{1, 3, 5, 7, 9, 11,13} y el algebra a= )(P
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
42
Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es
13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)( iipkP
p Constante de proporcionalidad para una carta impar
Luego
13
1 91
11911
i
pppi
({P Que salga impar})= })13,11,9,7,5,3,1({P
91
37
91
13
91
11
91
9
91
7
91
5
91
3
91
1
43.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
1,0)3
12()( 5 xsixcxf
)1,0(0)( xsixf
a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
43
Rep.:
a) Se verifica
1
0
5 1)3
12(1)( dxxcdxxf
37
181
18
37
18
12
63
12
6
cccx
xc
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
11
1018
237
18
00
)()(6
44.- La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5
metros de una malla rachel continuos de ancho uniforme es
xi 1 2 3 4 5
)(xif 0,15 0,25 0,08 0,15
a) 37,008,015,025,015,01
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
44
b) 15,0508,0437,0325,0215,012
xixi
= 15,0 + 83,275,032,011,150,0
= )(2 xifxi 15,02508,01637,0925,0415,01
= 51,975,328,133,3115,0
c) 222 )( xifxi = 0089,851,9 = 5011,1
d) )(
)(/)2/3(
BP
BAPBAPXXP
7058,0
85,0
6,0
)2(
)3(
XP
XP
e) )2(
)2()4()2/4(
XP
XPXPXXP = 82,0
85,0
7,0
85,0
15,085,0
45.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X esta dada por:
11
113
1
10
)(2
xpara
xparax
xpara
xf
Determinar
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
45
a) )3
1
3
1( xP =
xx
dxdxxdxxdxx
33
1
3
11
3
1
3
1 32
3
1
3
1
23
1
3
1
2
243
56
81
56
3
1
3
1
81
1
3
1
81
1
3
1
b) )2
1
4
1(
xP
xx
dxdxxdxxdxx
33
1
3
11
3
1
3
1 32
1
4
1
2
1
4
1
22
1
4
1
22
1
4
1
2
=64
17
192
51
3
1
192
153
192
481968
4
1
192
1
2
1
24
1
3
1
46.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
1,0)32()( 3 xsixcxf
)1,0(0)( xsixf
a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.
b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0 y 1/2
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
46
Rep.:
a) Se verifica
1
0
3 1)32(1)( dxxcdxxf
11
41
4
11
432
4
ccx
xc
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
11
104
3211
4
00
)()(4
b)
64
31
11
4
432
11
432
11
4)32(
11
4)
2
10(
42
1
0
2
1
0
332
1
0
xxdxxdxdxxXP
176
67
64
67
11
4
47.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe
una empresa a diario en un intervalo de 4 minutos y cuya función de
probabilidad esta dado por:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
47
!
)2(2)(
3
x
eXP
x
x= 0, 1, 2, 3, 4
Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x
Rep.:
)0(P 100,090,19
22)2(2 303 ee
)1(P 201,090,19
44)2(2 313 ee
)2(P 201,090,19
44
2
8)2(2 3
323
e
ee
)3(P 134,04,119
16
6
16)2(2
333
e
e
)4(P 067,06,477
32
24
32)2(2
343
e
e
)5(P 0268,02388
64
120
64)2(2
353
e
e
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
48
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
x
Grafica Funcion Cuantia
Serie1 0,1 0,201 0,201 0,134 0,067 0,0268
0 1 2 3 4 5
48.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi -4 -2 1 4
)(xif
6
1
6
2
6
1
6
2
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
49
6
24
6
11
6
22
6
14
2
xixi
= 6
8
6
1
6
4
6
4 =
6
1
6
216
6
11
6
24
6
116)(2 xifxi
= 6
57
6
32
6
1
6
8
6
16
Varianza
222 )( xifxi
= 247,936
341
36
1342
36
1
6
57
Desviación Estándar
077,36
341
49.- Sea }7,6,5,4,3,2,1{ el conjunto de notas posibles que resultan de un test
en un colegio determinado.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
50
Cuales de los siguientes conjuntos conformado por estas notas son algebras.
a) 1a }}7,6,5,4{},3,2,1{,,{
b) 2a }}7,6,5{},2,1{,,{
c) 3a }}7,6,5,4,3{},2,1{,{
Rep.:
a) Es ebraAlg ya que cada elemento de 1a posee su complemento
b) No es un ebraAlg ya que c}2,1{ no pertenecen a 2a
c) No lo es puesto que c no pertenecen a 3a
50.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por
eoc
cxparax
xparax
xf
0
13
103
2
)(
2
Determinar
a) el valor de c
b)
2
1XP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
51
Rep.:
a) 12
13
23
233)3(
22
1 1 1
cc
xxdxxdxdxx
c c c
2166 2 cc
76 2 cc
0762 cc
2
226
2
86
2
28366
x
414,4231 x
585,1232 x
51.- Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:
0
2
4
00
)( 2
xparax
x
xpara
xF
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
52
a) Encontrar función de Densidad de X
b) Calcular la Probabilidad )4
10( XP
Rep.:
a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces
La función de densidad se encuentra al derivar la función
de distribución
dx
x
xd
xf
)3
4(
)(
2
=
22
2
2
22
2
2
2
22
)3(
)2(12
)3(
1224
3
4824
)3(
483
)3(
)3(4
)4()3(
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
dx
xdx
dx
xdx
b) 13
10
13
1)0()
4
1(
3
4)
4
10()(
2
FFx
xXPxF
52.- Verificar si la siguiente función dada por:
)(xf = 58
53 2 x para x= 1, 2, 3
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
53
Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable
aleatoria.
Rep.:
Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.
)1(f 58
9 , )2(f
58
17 , )3(f
58
32
Se debe cumplir las siguientes condiciones
f (x) 0
1)(
xfx
Luego
)3()2()1( fff = 158
58
58
32
58
17
58
9
53.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
54
eoc
xxc
xf 0
209
4
)(
2
Calcular c
4
23
16
18
16
181
18
16
2
4
29
4
9
4
9
4 222
2
2
0
2
0
22
ccc
xcdxxcdxxc
54.- La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada
por:
3
11
3
104
6
5
00
)( 2
x
xxx
x
XF
Obtener )5
1()
4
1( XPXP
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
55
a)
0052,0192
1
192
4
192
5
34
26
54
6
5)4
6
5()
4
1(
324
1
0
4
1
0
24
1
0
2
xxdxxdxxdxxxXP
b)
006,0112500
12001875
375
4
300
5
34
26
54
6
54
6
5)4
6
5()
5
1(
325
1
0
5
1
0
25
1
0
5
1
0
5
1
0
22
xxdxxdxxdxxdxxxxXP
55.- Dada la siguiente tabla
Calcular la esperanza, varianza, desviación Estándar.
Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el
siguiente:
xi -2 -1 4
f(xi)
2
1
4
1
2
1
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
56
)(XiE = )(xifxi
= 2
12
2
14
4
11 =
4
3
2
4
4
1
2
2
ixExiExVar 22)(
4
41
2
16
4
1
2
4
2
116
4
11
2
14
2ixE
ixExiExVar 22)(
6875,916
155
16
9164
16
9
4
41
Desviación Estándar
1124,36875,9)( xVar
56.- Dado = { 6,4,2 } .completar }}6{},4{{ para obtener un algebra. Agregar
más subconjuntos si es posible.
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
57
}}4{},6,2{},6,4{},2{},4,2{},6{},6,4,2{,{F
Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los
requisitos para ser un ebraa lg .
57.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
1,0)31()( 32 xsixcxf
)1,0(0)( xsixf
a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.
b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1/3
Rep.:
a) Se verifica
1
0
32 1)31(1)( dxxcdxxf
7
72
7
4
7
41
4
7
43 22
42
cccx
xc
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
58
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
11
104
37
4
00
)()(4
b)
324
3
3
1
7
4
43
7
43
7
4)31(
7
4)
3
10(
431
0
31
0
333
1
0
xxdxxdxdxxXP
195,02268
444
324
111
7
4
58.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que
va a comprar a una tienda comercial de Santiago. Dada la siguiente
información.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)(xp
0,09
0,17 0,12 0,13 0,20 0,18 0,02 0,05 0,04
encontrar esperanza
04,0805,0702,0618,0520,0413,0312,0217,0109,00)( xE
= 29,3
()( ExVar )() 22 xEx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
59
04,06405,04902,03618,02520,01613,0912,0417,0109,00)( 2 xE
= 25,15
82,1025,15)( xVar
= 43,4
Desviación Estándar ..104,243,4)var( x
Grafica
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x)
59.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
60
61
645
1
9
1
419
2
10
)(2
xpara
xparax
xparax
xpara
XF
Obtener
a) )3( XP
a) )3( XP =9
8
2
8
9
2
2
1
2
9
9
2
29
2
9
2
9
2 23
1
3
1
xdxxdx
x
60.- La función de densidad de probabilidad de una variable
Aleatoria X esta dada por:
eoc
xxxf
0
10243
1
)(
2
Determinar
a) )(xE
b) )(xVar
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
61
Rep.:
a) )(xE =
12
1
12
43
43
1
2
4
3
4
4
1
43
1
24
34
443
144
43
1)44(
43
12
43
1 2341
0
1
0
23
1
0
1
0
22
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
b) )(xVar = )()( 22 xExE
)( 2xE
2580
152
60
152
43
1
3
4
4
4
5
1
43
1
34
44
543
144
43
1)44(
43
12
43
1 3451
0
1
0
2
1
0
34
1
0
1
0
2222
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
)(xVar = )()( 22 xExE
= 0519,0371520
19308
371520
258021888
144
1
2580
152
61.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi - 5 -2 -1 4 6
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
62
)(xif
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
16
5
14
5
11
5
12
5
15
2
xixi -
= -5
6
5
4
5
1
5
2
5
5 =
5
2
5
136
5
116
5
11
5
14
5
125)(2 xifxi
= 5
82
5
36
5
16
5
1
5
4
5
25
222 )( xifxi
= 24,1626
406
25
4410
25
4
5
82
Desviación Estándar
029,424,16
62.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en la región de Valparaíso tiene la siguiente función de
densidad
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
63
eoc
xsixx
xF 0
20)1(2
3
)(
2
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )10,0( xP
Rep.:
a.
2
0
2
0
2
0
2
0
322 22
3)21(
2
3dxxdxxdxxdxxxx
112
8
2
3
4
16
3
16
2
4
2
3
432
22
3 432
xxx
Es función de densidad
b. 4322
8
3
4
3)1(
2
3)( xxxdtttxF
c. )10,0( xP =
432
10
1
8
3
10
1
10
1
4
3
10
1
F
000375,0001,00075,0
= 006875,0
63.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas a una tienda Falabella y su función de Probabilidad
está dada por:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
64
eoc
xkexf
x
0
02)(4
a. Determinar el valor de k
b. Función de distribución acumulada
c. )31( xP
Rep.:
a)
8
1
18118884222 4
00
4
0
4
k
kekekekduekdxekdxke
x
uu
xx
4
xu
dxdu4
1
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
44
0
14
10)()(
c) )31( xP = )1()3(4
13
1
4 FFdxe
x
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
65
=
4
1
4
3
11 ee
64.- La función de densidad de una variable continua es:
)1,0(0)(
)1,0(2
13)( 2
xsixf
xsixbaxxf
Determinar a y b sabiendo que 1025,0)21( xP
Rep.:
14
11
4
1
3
13
22
1
33
2
13)
2
13(
231
0
2
1
0
1
0
2
baba
xb
xadxxbdxxadxbxxa
41,0336
1025,04
39
4
1
3
38
22
1
33)
2
13(
2
1
232
ba
baba
bax
bx
adxbxax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
41,0336
3/44
ba
ba
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
66
41,0336
12312
ba
ba
4829,0
24
59,11
59,1124
a
a
a
Reemplazando en 2 se tiene
65.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X esta dada por:
31
317
2
10
)(3
xpara
xparax
xpara
xf
Determinar
931,5
3
3844,1741,0
41,034829,036
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
67
a) )2
31( xP =
x
xdxdxxdxxdx
x2
47
12
7
12
7
1
7
2 43
2
3
1
32
3
1
3
2879,0448
129
64
129
7
12
4
13
64
81
7
1
b) )2( xP
x
xdxdxxdxxdx
x2
47
12
7
12
7
1
7
2 42
1
2
1
3
2
1
3
2
1
3
= 8214,028
23
4
23
7
12
4
14
4
16
7
1
66.- Si X es el número de bolas a sortearse en el LOTO
Determinar el valor esperado de la variable aleatoria
14)( 3 xxh
Rep.:
Cada resultado posible tiene probabilidad 6
1se obtiene:
6
1)14())((
6
1
3 x
xxhE
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
68
6
1164
6
1154
6
1144
6
1)134(
6
1)124(
6
1)114( 333333
= 6
1865
6
1501
6
1257
6
1109
6
133
6
15
= 2956
1770
6
865
6
501
6
257
6
109
6
33
6
5
67.- Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:
0
2
5
00
)( 2
xparax
x
xpara
xF
a) Encontrar función de Densidad de X
b) Calcular la Probabilidad )3
41( XP
Rep.:
a. Como X es una variable aleatoria continúa , entonces
La función de densidad se encuentra al derivar la función
de distribución
Ahora escribo la función de otra manera para trabajarla mas fácilmente
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
69
dx
x
xd
xf
)2
5(
)(
2
=
22
22
2
2
2
22
2
345
2
51020
)2(
5102
)2(
)2(5
)5()2(
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
dx
xdx
dx
xdx
b. 13
3
3
5
3
8
3
5
10
3
9
80)1()
3
4(
2
5)
3
41()(
2
FFx
xXPxF
68.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que
va a comprar a supermercado jumbo de Valparaíso. Dada la siguiente
información.
Encontrar Esperanza, varianza, Desviación Estándar, Gráfico
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)(xp
0,05
0,12 0,15 0,13 0,20 0,14 0,10 0,05 0,06
a) encontrar esperanza
06,0805,0710,0614,0520,0413,0315,0212,0105,00)( xE
= 74,3
()( ExVar )() 22 xEx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
70
06,06405,04910,03614,02520,01613,0915,0412,0105,00)( 2 xE
= 48,18
b) 98,1348,18)( xVar
= 5,4
c) Desviación Estándar
1213,25,4)( xVar
d) Grafico
Grafica Cuantia
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x)
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
71
69.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución
es igual a:
02)( 2 xparaeXF x
Calcular:
a) )1( xP
b) )20( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )1( xP =1- )1( xP
= 1- )1(F
= )2(1 2xe = 23 e
b) )20( xP = )0()2( xPxP
= )0()2( FF
= 04 22 ee
= 41 e
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
72
70.- Dado 8,7 Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un
ebraa lg
,{1 F }8,2
15,
2
15,7,8,7
,{2 F }2
15,7,8,
2
15,8,
3
22,8,7
Rep.:
1F Es un algebra porque 18,2
15
2
15,7/ F
2F No es un algebra porque 28,2
158,
3
22F
71.- Dado }.,,,{ GuillermoMatiasCCarolinaPCarolina alumnos tesistas Ped
Matemáticas computación cual de las siguientes familias de es un
ebraa lg
}},{},,{,{1 GuillermoMatiasCarolinaCCarolinaPF
}},,{},,,{},{},{,,{2 CarolinaPCarolinaCMatiasCarolinaCGuillermoCarolinaCGuillermoMatiasF
}},{},{},,{,{3 CarolinaCGuillermoCarolinaPMatiasF
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
73
Rep.:
1F No es un algebra ya que 1F
2F Es un algebra ya que todos los elementos tiene su complemento
3F No un algebra ya que 3F , además todos los elementos no tienen su
complemento.
72.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada
por:
0
10)35
1(
2
3
)(
2 xdxxxxf
Determinar esperanza y Varianza
a) dxxdxxdxxxxXE
1
0
3
1
0
2
1
0
2 32
3
5
1
2
3)3
5
1(
2
3)(
=
80
17
8
9
10
1
8
9
1042
9
310
3
2
9
10
3 431
0
1
0
4332
xxxxdxxdxx
)()()var( 22 xExEx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
74
)( 2xE dxxdxxdxxxx
1
0
4
1
0
3
1
0
22 32
3
5
1
2
3)3
5
1(
2
3
40
39
10
9
40
3
10
9
40
3
52
9
410
3
2
9
10
3 641
0
1
0
5443
xxxxdxxdxx
)()()( 22 xExExVar = 929,06400
5961
6400
2896240
6400
289
40
39
Desviación Estándar
963,0929,0
73.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:
41
4260
43
20
)(3
xpara
xparax
xpara
xf
Determinar
a) )32( xP =
x
xdxdxxdxxdx
x4
43
60
143
60
143
60
1
60
43 43
3
2
3
3
2
3
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
75
240
211
4
211
60
181212
4
243
60
1
74.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución
es igual a:
04)( 5 xparaeXF x
Calcular:
a) )1( xP
b) )31( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )1( xP =1- )1( xP
= 1- )1(F
= )4(1 5xe = 55 e
b) )31( xP = )1()3( xPxP
= )1()3( FF
= 515 44 ee
= 84 ee
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
76
75.- Dado 5,4 Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un
ebraa lg
,{1 F }5,2
9,
2
9,4,5,4
,{2 F }5,3,5,3
4,5,
2
9,5,4
Rep.:
1F Es un algebra porque 15,2
9
2
9,2/ F
2F No es un algebra porque 25,3
45,
2
9F
76.- Dado }.,,{ DiegoJuanMarcelo cual de las siguientes familias de es un
ebraa lg
}},{},{,{1 DiegoJuanMarceloF
}},{},,{},{},{,,{2 DiegoMarceloJuanMarceloDiegoJuanF
}},{},{},,{},{,{3 JuanMarcelomarcelojuanDiegoF
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
77
Rep.:
1F No es un algebra ya que 1F
2F Es un algebra ya que todos los elementos tiene su complemento
3F No un algebra ya que 3F , además todos los elementos no tienen su
complemento.
77.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución
10
0
84
1
)(
2
xsi
xk
xf
a) calcular el valor de k
b) Hallar )2
1
4
1()
4
10( XPXP
Rep.:
a)
8641
641
64
1
2
1
32
1
232
1
32
1
84
1 2222
2
1
0
2
1
0
2
kkkkx
kdxxkdxx
k
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
78
b1)16
1
32
120
32
12
2222)
4
10(
241
0
41
0
xdxxdxxXP
b2) )2
1
4
1( XP
32
1
8
12
2222
221
41
21
41
xdxxdxx
16
3
32
32
78.- La función de densidad de una variable continua es:
)1,0(0)(
)1,0(3
14)( 2
xsixf
xsixbaxxf
Determinar a y b sabiendo que 1254,0)21( xP
Rep.:
16
1
3
41
6
1
3
14
23
1
34
3
14)
3
14(
231
0
2
1
0
1
0
2
b
aba
xb
xadxxbdxxadxbxxa
7524,0372
1254,06
3
3
36
6
1
3
4
6
4
3
32
23
1
34)
3
14(
2
1
232
ba
bababax
bx
adxbxax
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
79
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
7524,0372
3/68
ba
ba
7524,0372
18324
ba
ba
359,0
48
247,17
247,1748
a
a
a
Reemplazando en 2 se tiene
866,8
3
848,257524,0
7524,03359,072
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
80
79.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:
31
328
3
20
)(3
xpara
xparax
xpara
xf
Determinar
a) )2
52( xP =
x
xdxdxxdxxdx
x3
48
13
8
13
8
1
8
3 43
2
5
2
32
5
2
3
90,0512
465
64
465
8
164
2
15
64
625
8
1
b) )2
5
3
7( xP
xx
dxdxxdxxdxx
348
13
8
13
8
1
8
3 42
5
3
7
2
5
3
7
32
5
3
7
32
5
3
7
3
=
3568,0165888
59204
8
1
20736
59204
20736
145152153664155520202500
3
21
324
2401
2
15
64
625
8
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
81
80.- Sea }9,7,5,3,1{ conjunto de números impares menores a 10 Veamos
si
}}9,7{},5,3,1{},9,7,5,3{},1{,,{ T
Compuesta por estas números. Cumple con las condiciones para ser
ebraAlg
Rep.:
a) T Cumple con esta condición
b) si TATA C cumple con la condición
Ya que cada elemento de T tiene un complemento.
c) si TATAnumerableINnAA Nnn
)(,
0
paraebraaunaesT lg
}9,7{}9,7{
}1{
}5,3,1{
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
82
81.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada
por:
0
10)24
1(
5
3
)(
2 xdxxxxf
Determinar esperanza y Varianza
a) dxxdxxdxxxxXE
1
0
3
1
0
2
1
0
2 25
3
4
1
5
3)2
4
1(
5
3)(
=
20
7
20
6
20
1
20
6
60
3
45
6
320
3
5
6
20
3 431
0
1
0
4332
xxxxdxxdxx
)()()var( 22 xExEx
)( 2xE dxxdxxdxxxx
1
0
4
1
0
3
1
0
22 25
3
4
1
5
3)2
4
1(
5
3
400
111
2000
555
25
6
80
3
25
6
80
3
55
6
420
3
5
6
20
3 641
0
1
0
5443
xxxxdxxdxx
)()()( 22 xExExVar = 155,0400
62
400
49111
400
49
400
111
Desviación Estándar
393,0155,0
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
83
82.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución
10
0
92
9
)(
2
xsi
xk
xf
a) calcular el valor de k
b) Hallar )1()21( XPXP
Rep.:
a)
9
6
81
36
81
361
36
81
2
9
18
9
218
9
18
9
92
9 2222
2
1
0
2
1
0
2
kkkkx
kdxxkdxx
k
b1)
3,02916
972
2
3
1458
324
2
1
2
4
1458
324
21458
324
1458
324
1458
324)21(
22
1
2
1
xdxxdxxXP
b2) 1,02916
324
2
1
1458
324
21458
324
1458
324)1(
21
0
xdxxXP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
84
83.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
2,0)2
11(
6
5)( 22 xsixcxf
)2,0(0)( xsixf
a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.
b) Probabilidad de que X este comprendida
entre 0y 1
Rep.:
a) Se verifica
2
0
22 1)2
11(1)( dxxcdxxf
10
61
36
100
32
1
6
5 23
2 ccx
xc
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
21
20610
3
00
)()(3
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
85
b)
6
11
10
3
32
1
10
3
2
1
10
3)
2
11(
10
3)10(
31
0
1
0
22
1
0
xxdxxdxdxxXP
20
7
6
7
10
3
84.- La función de densidad de probabilidad de una variable
Aleatoria X está dada por:
eoc
xxxf
0
1038
1
)(
2
Determinar
a) )(xE
b) )(xVar
Rep.:
a) )(xE =
96
67
12
67
8
1
2
9
3
4
4
1
8
1
29
34
48
196
8
1)96(
8
13
8
1 2341
0
1
0
23
1
0
1
0
22
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
b) )(xVar = )()( 22 xExE
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
86
)( 2xE
80
47
20
94
8
13
4
6
5
1
8
1
39
46
58
196
8
1)96(
8
13
8
1 3451
0
1
0
2
1
0
34
1
0
1
0
2222
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
)(xVar = )()( 22 xExE
= 1004,0737280
74032
737280
359120433152
9216
4489
80
47
85.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi - 3 -2 -1 3 4
)(xif
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
14
5
13
5
11
5
12
5
13
2
xixi -
= -5
4
5
3
5
1
5
2
5
3 =
5
1
5
116
5
19
5
11
5
14
5
19)(2 xifxi =
4
23
4
9
4
4
5
4
5
9
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
87
222 )( xifxi = 16
91
16
192
16
1
4
23
4838,24
91
16
91
86.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en Sudáfrica tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
10)1(9
)(
2
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )20,0( xP
Rep.:
a.
1
0
1
0
1
0
1
0
322 29)21(9 dxxdxxdxxdxxxx
12
9
12
19
4
1
3
2
2
19
432
29
432
xxx
No es función de densidad
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
88
b. 4322
4
96
2
9)1(9)( xxxdtttxF
c. )20,0( xP =
432
5
1
4
9
5
16
5
1
2
9
5
1
F
0036,0048,018,0
= 1356,0
87.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada
por:
eoc
xkexf
x
0
03)(5
a. Determinar el valor de k
b. Función de distribución acumulada
c. )42( xP
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
89
a)
15
1
115111515155333 5
00
5
0
5
k
kekekekduekdxekdxke
x
uu
xx
5
xu
dxdu5
1
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
55
0
115
10)()(
,0)( xF Para x<0
Luego 5
15
1))((x
edx
xFd
que es lo que se esperaba
c) )42( xP = )2()4(15
14
2
5 FFdxe
x
=
5
2
5
4
11 ee
88.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución
es igual a:
01)( 2 xparaeXF x
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
90
Calcular:
a) )2( xP
b) )21( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )2( xP =1- )2( xP
= 1- )2(F
= )1(1 4 e =4e
b) )21( xP = )1()2( xPxP
= )1()2( FF
= 24 11 ee
= 42 ee
89.- Dado 2,1 Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un
ebraa lg
,{1 F }1,2
3,
2
3,1,2,1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
91
,{2 F }1,3
4,
3
4,1,1,
2
3,
2
3,1,2,1
Rep.:
1F No es un algebra porque 11,2
3
2
3,0/ F
2F No es un algebra porque 21,3
4
2
3,1 F
90.- Dado }.9,8,7,6{ En alguna de las siguientes familias de un
conjuntos un ebraa lg
}}9,8{},7,6{,{1 F
}}9,8{},9,7,6{},8{},7,6{,,{2 F
}}8,7,6{},6{},9{},8,7{,,{3 F
Rep.:
1F No es un algebra ya que 1F
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
92
2F Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones
3F No es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo
sea.
91.- Dado = { 5,4,1 } .completar }}5{},4{{ para obtener un algebra. Agregar
más subconjuntos si es posible.
Rep.:
}}4{},5,1{},5,4{},1{},4,1{},5{},5,4,1{,{F
Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los
requisitos para ser un ebraa lg .
92.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
1,0)21()( 2 xsixcxf
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
93
)1,0(0)( xsixf
a. Hallar la constante c y la función de distribución de
probabilidad. b. Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1/2
Rep.:
a) Se verifica
1
0
2 1)21(1)( dxxcdxxf
5
31
3
5
32
3
ccx
xc
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
11
103
25
3
00
)()(3
b)
12
1
2
1
5
3
32
5
32
5
3)21(
5
3)
2
10(
321
0
21
0
222
1
0
xxdxxdxdxxXP
35,020
7
12
7
5
3
93.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que
va a comprar a supermercado 10. Dada la siguiente información.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
94
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)(xp
0,08
0,18 0,10 0,15 0,25 0,15 0,03 0,03 0,03
encontrar esperanza
03,0803,0703,0615,0525,0415,0310,0218,0108,00)( xE
= 21,3
()( ExVar )() 22 xEx
03,06403,04903,03612,02525,01615,0910,0418,0108,00)( 2 xE
= 4,13
3,104,13)( xVar
= 1,3
Desviación Estándar
..76,11,3)var( x
94.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
95
51
532
1
8
1
312
5
10
)(
xpara
xparax
xparax
xpara
XF
Obtener
a) )3
4( XP
b) )3( XP
Rep.:
)3
4( XP = 297,0
36
35
18
7
2
5
2
1
18
16
2
1
2
9
16
2
5
22
5
2
5
2
5 234
1
34
1
xdxxdx
x
)3( XP =
875,08
7
8
1
2
14
2
3
2
9
2
5
2
25
2
1
28
1
2
1)
2
1(
8
1 25
3
5
3
5
3
x
xdxdxxdxx
95.- Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número
de pesos, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de pesos.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
96
Calcular la esperanza, Varianza, Desviación.
Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el
siguiente:
xi -6 -3 3 4 5
f(xi)
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
Rep.:
)(XiE = )(xifxi =5
15
5
14
5
13
5
13
5
16 = 16,0
5
3
5
5
5
4
5
3
5
3
5
6
xifxixiE 22
5
125
5
116
5
19
5
19
5
136)( 2 xiE
5
95
5
25
5
16
5
9
5
9
5
36
xiExiExiVar 22 25
466
25
9475
25
9
5
95
Desviación Estándar:
317,45
466
25
466)( xVar
96.- sea },,,,,{ CamerunGhanaSudafricaNigeria Países representantes de
África en el mundial de fútbol.
Veamos
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
97
si },{},,{},,,{},{,{ GhanaCamerunSudafricaNigeriaGhanaCamerunSudafricaNigeriaT
Cumple con las condiciones para ser ebraAlg
Rep.:
a) T Cumple con esta condición
b) si TATA C cumple con esta condición
Ya que el complemento de cada elemento
Se encuentran presentes
c) cumple con la 3 condición
Cumple con las 3 condiciones por lo tanto es ebraAlg .
97.- La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada
por:
11
1034
00
)( 2
x
xxx
x
XF
Obtener )3
1()
3
2( XPXP
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
98
a) 27
16
27
8
9
8
33
2434)34()
3
2(
323
2
0
3
2
0
23
2
0
2
xxdxxdxxdxxxXP
b)
27
1
9
212
33
243434)34()
3
1(
321
3
1
1
3
1
2
1
3
1
1
3
1
1
3
1
22
xxdxxdxxdxxdxxxxXP
27
22
27
162754
98.- Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x ,
cuya densidad de probabilidad está dada por:
eoc
xparaxf
x
0
08
5
)(9
7
Rep.:
)9
7(8
5
9
7
1
8
5
8
5
8
5
8
5)()(
0
)9
7(
9
7
0
9
7
0
tt
dxedxeedxeeeEtMxtxx
txx
txtx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
99
99.- Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:
31)6(
0
32
1)( 3
xparaxxf
Determinar efectivamente que )(xf es una función de densidad de
probabilidad.
Rep.:
14
128
32
16
4
118
4
816
432
16
32
1)6(
32
1)6(
32
1 43
1
3
1
3
3
1
33
3
1
x
xdxdxxdxxdxx
100.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas de Tiroleso y Guacondo caballos del hípico de
Santiago y su función de Probabilidad está dada por:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
100
eoc
xkexf
x
0
05)(3
a) Determinar el valor de k
b) Función de distribución acumulada
c) )63( xP
Rep.:
a)
15
1115111515153555 3
00
3
0
3
kkekekekduekdxekdxke
x
uu
xx
3
xu
dxdu3
1
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
33
0
13
10)()(
,0)( xF Para x<0
Luego 3
3
1))((x
edx
xFd
que es lo que se esperaba
c) )63( xP = )3()6(3
16
3
3 FFdxe
x
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
101
= 12 11 ee
= 224,064,0864,0
101.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de
distribución es igual a:
021)( 2 xparaeXF x
Calcular:
a) )2( xP
b) )32( xP
c) ))4ln()2(ln( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )1( xP =1- )2( xP
= 1- )2(F
= )21(1 2xe = 037,01
224
2
ee x
b) )32( xP = )2()3( xPxP
= )2()3( FF
= 46 2121 ee
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
102
= 0319,000504,0037,022 64 ee
c) ))4ln()2(ln( xP = ))2(ln())4(ln( FF = )8ln()4ln( 22 ee
102.- Dado }.10,9,8,7{ En alguna de las siguientes familias de un
conjuntos un ebraa lg
}}10,9{},8,7{,,{1 F
}}10,9{},8,7{},10,9,8{},7{,{2 F
}}7{},10,9,8{},10,9{},8,7{,,{3 F
Rep.:
1F Es un algebra ya que cada complemento 1F
2F No es un algebra ya que falla 2 condición c}{
3F Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
103
103.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que
va a comprar al Homecenter un conjunto de materiales de construcción. Dada
la siguiente información.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)(xp
0,07
0,14 0,11 0,16 0,21 0,12 0,11 0,06 0,02
encontrar esperanza
02,0806,0711,0612,0521,0416,0311,0214,0107,00)( xE
= 52,3
()( ExVar )() 22 xEx
02,06406,04911,03612,02521,01616,0911,0414,0107,00)( 2 xE
= 56,16
39,1256,16)( xVar
= 17,4
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
104
Funcion Cuantia
0,07
0,14
0,11
0,16
0,21
0,120,11
0,06
0,02
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
f(x)
Serie2
104.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:
41
4215
2
20
)(
xpara
xparax
xpara
XF
Obtener
a) )4( XP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
105
Rep.:
)4( XP =15
8
3
12
15
2
3
4
3
16
15
2
215
2
15
2
15
2 24
2
4
2
xdxxdx
x
105.- La densidad de cierta característica química de algunos compuestos
viene dada por la siguiente función
5,10
5,16,076,0
6,003
00
)(
x
x
xx
x
xf
Calcular:
1. Los 3 primeros momentos ordinarios son 32 ,, xExExE
2. Esperanza matemática y Varianza
3. 23 243 xxxE
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
106
1)
9342,01368,0855,0216,02
76,03
376,0376,03
6,0
0
5,1
6,0
232
6,0
0
5,1
6,0
2
xx
dxxdxxdxxdxxxE
8982,0054,0855,00972,03
76,04
376,0376,0335,1
6,0
6,0
0
5,1
6,0
4232
6,0
0
32
xxdxxdxxdxxdxxxE
9952,00118,0961,0046,04
76,05
376,0376,0345,1
6,0
6,0
0
5,1
6,0
5343
6,0
0
43
xxdxxdxxdxxdxxxE
2)
9342,01368,0855,0216,02
76,03
376,0376,03
6,0
0
5,1
6,0
232
6,0
0
5,1
6,0
2
xx
dxxdxxdxxdxxxE
xExExVar 22)(
8727,08982,0
= 0255,0
3)
8982,029952,049342,03
243243 2323
xExExExxxE
987,4
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
107
106.- Dada la siguiente función Discreta
x -1 - 2 3 4
f(x)
8
1
4
3
8
3
1
encontrar esperanza
148
33
4
32
8
11)( xE
=8
284
8
9
4
6
8
1
()( ExVar )() 22 xEx
1168
39
4
34
8
11)( 2 xE
8
18016
8
273
8
1
64
784
8
180)( xVar
= 64
656
Desviación Estándar
201,38
656)( xVar
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
108
Tercer Momento
)(3 x3
3
s
3s 1648
327
4
38
8
11)(3 xifxi
4
321
8
64264
8
81
4
24
8
1
333 )( xifxi
4
321
512
19136
512
21952
)(3 x76544
164352
19136
512
4
321
512
191364
321
Cuarto Momento
)(4 x4
4
s
4s 12568
381
4
316
8
11)(4 xifxi
8
2388256
8
243
4
48
8
1
444 )( xifxi
8
2388
4096
608000
4096
614656
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
109
)(3 x608000
1222656
608000
4096
8
2388
4096
6080008
2388
107.- Verificar si la siguiente función dada por:
)(yf = 72
132 y para y = 1,2, 3, 4
Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable
aleatoria.
Rep.:
Al sustituir los diversos valores de y que se obtiene.
)1(f 72
15 , )2(f
72
17 , )3(f
72
19 , )4(f =
72
21
Se debe cumplir las siguientes condiciones
f ( y ) 0
1)(
yfx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
110
Luego
)4()3()2()1( ffff = 172
72
72
19
72
17
72
15
108.- La función de densidad de una variable continua es:
)2,0(0)(
)2,0(32)( 2
xsixf
xsibaxxf
Determinar a y b sabiendo que 0134,0)11( xP
Rep.:
163
1616
3
823
3232)32(
33
0
3
2
0
2
0
2
b
abaxb
xadxbdxxadxbxa
0402,0184
0134,063
43
3
23
3
23
32)32(
1
1
32
ba
baba
baxbx
adxbax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
1/0402,0184
31816
ba
ba
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
111
2466,0
12
9598,2
9598,212
a
a
a
Reemplazando en 1 se tiene
109.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
ocurridos en la ciudad de Valparaíso tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
20)1(2
3
)(
2
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )20,0( xP
0525,0
18
9456,0
3182466,016
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
112
Rep.:
a.
2
0
2
0
2
0
2
0
322 22
3)21(
2
3dxxdxxdxxdxxxx
112
8
2
3
4
16
3
16
2
4
2
3
432
22
3 432
xxx
b. 432
2
0
2
8
3
4
3)1(
2
3)( xxxdtttxF
c. )20,0( xP =
0226,05000
113
5000
340150
5000
3
125
1
100
3
5
1
8
3
5
1
5
1
4
3
5
1432
F
110.- Si 21 .,,......... AA son conjuntos disjuntos ( )jiparaAA Ji
Entonces
)()(1
1
n
i
ii
n
i APAP
Dem
)()(1
1
n
i
ii
n
i APAP
Consideramos 1k y usando definición la condición referente a prob
aditiva y por hipótesis inductiva se tiene
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
113
)()()()()())(()(1
11
11111
1
1
k
i
i
k
i
kiki
k
iki
k
ii
k
i APAPAPAPAPAAPAP
111.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por:
eoc
cxx
xx
XF
0
13
10
)(
Calcular valor de c
Rep.:
2/2
7
23
2
14
231
2
13
23
233)3(
2222
1
1
0 1
cc
cc
cc
xxdxxdxdxx
cc
07676 22 cccc
Ecuación de segundo grado
232
)23(2
2
226
2
86
2
28366
6,14142,4 21 cc
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
114
112.- La función de densidad de una variable continua es:
)2,0(0)(
)2,0(2)( 3
xsixf
xsibaxxf
Determinar a y b sabiendo que 1357,0)12
1(
xP
Rep.:
14414424
2)2(42
0
3
2
0
2
0
3
bababx
xadxbdxxadxbxa
1357,0332
73
324322
42
4)2(
1
2
1
43
b
ab
aab
ab
abx
axdxbax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
4./3424,4967
7/144
ba
ba
3696,1732428
72828
ba
ba
02912,0
356
3696,10
3696,10356
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
115
Reemplazando en 1 se tiene
113.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en EEUU tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
10)1(20
)(
3
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )20,0( xP
Rep.:
a) 20
1
0
1
0
222
1
0
1
0
23 )21)((20)21()1(20)1)(1(20)1( dxxxxxdxxxxxdxxxxdxxx
2208,0
4
8835,0
1165,014
a
a
a
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
116
1
0
43232 )22(20 dxxxxxxx
)54
3
3
3
2(20)33(20
54321
0
432 xxxxdxxxxx 1
20
120)
5
1
4
31
2
1(20
b) 54323 4152010)1(20)( xxxxdtttxF
c) )20,0( xP =
5432
5
14
5
115
5
120
5
110
5
1
F
26272,0
114.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada
por:
eoc
xkexf
x
0
0)(3
a) Determinar el valor de k
b) Función de distribución acumulada
c) )63( xP
d) )9( xP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
117
Rep.:
a)
3
113113333 3
0
9,0
0
3
0
3
kkekekekduekdxekdxke
x
uu
xx
3
xu
dudu3
1
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
33
0
13
10)()(
,0)( xF Para x<0
Luego 3
3
1))((x
edx
xFd
que es lo que se esperaba
c) )63( xP = )3()6(3
16
3
3 FFdxe
x
= 12 11 ee
= 224,064,0864,0
d) )9( xP = 95,01)9( 3 eF
La probabilidad que exceda los 9 minutos es 1- 05,095,01)9( F
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
118
115.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de
distribución es igual a:
01)( xparaeXF x
Calcular:
a) )2( xP
b) )5,15,0( xP
c) ))3ln()2(ln( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )2( xP =1- )2( xP
= 1- )2(F
= )1(1 2 e = 2e
b) )5,15,0( xP = )5,0()5,1( xPxP
= )5,0()5,1( FF
= 5,05,1 11 ee
= 5,15,0 ee
c) ))3ln()2(ln( xP = ))2(ln())3(ln( FF = )3ln()2ln( ee =6
1
3
1
2
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
119
116.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de
distribución es igual a:
03)( 4 xparaeXF x
Calcular:
a) )1( xP
b) )21( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )2( xP =1- )1( xP
= 1- )1(F
= )3(1 4xe = 44 e
b) )21( xP = )1()2( xPxP
= )1()2( FF
= 48 33 ee
= 84 ee
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
120
117.- Dado 3,2 Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un
ebraa lg
,{1 F }3,2
5,
2
5,2,3,2
,{2 F }2
5,2,3,
3
4,3,
2
5,3,2
Rep.:
1F es un algebra porque 13,2
5
2
5,2/ F
2F No es un algebra porque 23,3
4
2
5,2 F
118.- Dado }.,,{ luispedrojuan cual de las siguientes familias de es un
ebraa lg
}},{},{,{1 luispedrojuanF
}},{},,{},{},{,,{2 pedrojuanluisjuanluispedroF
}},{},{},,{},{,{3 luisjuanpedropedrojuanluisF
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
121
1F No es un algebra ya que 1F
2F Es un algebra ya que no todos los elementos tiene su complemento
3F No un algebra ya que 3F
119.- Dado }.2,1,0{ .completar }}1{},0{{ para obtener un algebra. Agregar
más subconjuntos si es posible.
Rep.:
}}2{},1,0{},2,0{},1{},2,1{},0{},2,1,0{,{F
Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los
requisitos para ser un ebraa lg .
120.- La función de densidad de una variable continua es:
)2,0(0)(
)2,0(5
13)( 3
xsixf
xsixbaxxf
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
122
Determinar a y b sabiendo que 1237,0)21( xP
Rep.:
15
2
3
241
5
2
3
83
25
1
33
5
13)
5
13(
232
0
2
2
0
2
0
3
b
aba
xb
xadxxbdxxadxbxxa
711,39270
3301224010
1
5
2
3
24
25
1
33)
5
13(
2
1
233
ba
babababax
bx
adxbxax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
2/711,39270
3/156120
ba
ba
422,718540
4518360
ba
ba
208,0
180
578,37
578,37180
a
a
a
Reemplazando en 1 se tiene
66,6
6
96,39
156208,0120
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
123
121.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
10)2(8
15
)(
22
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )20,0( xP
Rep.:
a. 8
15
1
0
1
0
1
0
1
0
43222 448
15)44( dxxdxxdxxdxxxx
115
8
8
15
5
11
3
4
8
15
544
34
8
15 543
xxx
b. 5432
8
3
8
15
2
5)2(
8
15)( xxxdtttxF
c. )20,0( xP =
5
5
1
8
34
5
1
8
153
5
1
2
5
5
1
F
017,06250
107
25000
428
25000
375500
25000
3
1000
3
50
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
124
122.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:
21
214
2
10
)(2
xpara
xparax
xpara
xf
Determinar
a) )2
1
3
1( xP =
x
xdxdxxdxxdx
x2
34
12
4
12
4
1
4
2 32
2
1
3
1
22
1
3
1
2
2592
235
648
235
4
1
3
2
81
11
24
1
4
1
=0,090
b) )12
1( xP
xx
dxdxxdxxdxx
234
12
4
12
4
1
4
2 31
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=24
7
3
1
24
21
24
2412481
24
12
3
1
4
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
125
123.- Sea }8,6,4,2{ conjunto de números pares menores a 10 Veamos si
}}8,6{},4,2{},8,6,4{},2{,,{ T
Compuesta por estas números. Cumple con las condiciones para ser
ebraAlg
Rep.:
a) T Cumple con esta condición
b) si TATA C cumple con la condición
Ya que cada elemento de T tiene un complemento.
c) si TATAnumerableINnAA Nnn
)(,
0
paraebraaunaesT lg
}8,6{}8,6{
}2{
}8,6,4{
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
126
124.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada
por:
0
10)33
1(
5
4
)(
3 xdxxxxf
Determinar esperanza y Varianza
a) dxxdxxdxxxxXE
1
0
4
1
0
2
1
0
3 35
4
3
1
5
4)3
3
1(
5
4)(
=
225
128
1125
640
25
12
45
4
25
12
45
4
55
12
315
4
5
12
15
4 531
0
1
0
5342
xxxxdxxdxx
)()()var( 22 xExEx
)( 2xE dxxdxxdxxxx
1
0
5
1
0
3
1
0
32 33
1
5
4)3
3
1(
5
4
15
7
5
2
15
1
5
2
1565
12
415
4
5
12
15
4 641
0
1
0
6453
xxxxdxxdxx
)()()( 22 xExExVar
= 1430,050625
7241
50625
1638423625
50625
16384
15
7
378,01430,0
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
127
125.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución
30
0
8
9
4
9
)(
3
xsi
xk
xf
a) calcular el valor de k
b) Hallar )2()31( XPXP
Rep.:
a)
9
4
729
64
729
641
64
729
2
9
32
81
232
81
32
81
8
9
4
93
3332
3
3
0
3
3
0
3
kkkkx
kdxxkdxx
k
b1)
23384
103682
23384
5184
2
1
2
9
23384
5184
223328
5184
23328
5184
23328
5184)31(
23
1
3
1
xdxxdxxXP
b2)46656
5184
2
1
23328
5184
223328
5184
23328
5184)1(
21
0
xdxxXP =
1458
162
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
128
126.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
2,0)3
11()( 3 xsixcxf
)2,0(0)( xsixf
a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.
b) Probabilidad de que X este comprendida
entre 0y 1
Rep.:
a) Se verifica
2
0
3 1)3
11(1)( dxxcdxxf
10
31
3
10
43
1 4
ccx
xc
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
21
201210
3
00
)()(4
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
129
b)
12
11
10
3
43
1
10
3
3
1
10
3)
3
11(
10
3)10(
41
0
1
0
33
1
0
xxdxxdxdxxXP
40
13
12
13
10
3
127.- La función de densidad de probabilidad de una variable
Aleatoria X está dada por:
eoc
xxxf
0
10216
1
)(
2
Determinar
a) )(xE
b) )(xVar
Rep.:
a) )(xE =
192
43
12
43
16
1
2
4
3
4
4
1
16
1
24
34
416
144
16
1)44(
16
12
16
1 2341
0
1
0
23
1
0
1
0
22
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
130
b) )(xVar = )()( 22 xExE
)( 2xE
240
38
15
38
16
1
3
41
5
1
16
1
34
44
516
144
16
1)44(
16
12
16
1 3451
0
1
0
2
1
0
34
1
0
1
0
2222
xxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx
)(xVar = )()( 22 xExE
= 1081,04423680
478536
4423680
221880700416
36864
1849
120
19
128.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi - 3 -1 2 3
)(xif
4
1
4
1
4
1
4
1
4
13
4
12
4
11
4
13
2
xixi -
= -4
3
4
2
4
1
4
3 =
4
1
4
19
4
14
4
11
4
19)(2 xifxi =
4
23
4
9
4
4
4
1
4
9
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
131
222 )( xifxi = 16
91
16
192
16
1
4
23
3848,24
91
16
91
129.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por:
eoc
cxx
xx
XF
0
14
10
)(
Calcular valor de c
Rep.:
2/2
9
24
2
71
241
2
14
24
244)4(
2222
11 1
cc
cc
cc
xxdxxdxdxx
cc c
09898 22 cccc
Ecuación de segundo grado
742
)74(2
2
728
2
288
2
36648
35,1645,6 21 cc
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
132
130.- La función de densidad de una variable continua es:
)3,0(0)(
)3,0(43)( 3
xsixf
xsibaxxf
Determinar a y b sabiendo que 1357,0)21( xP
Rep.:
1124
243112
4
8134
4343)43(
43
0
3
3
0
3
0
3
b
abaxb
xadxbdxxadxbxa
5428,04845
163324844
38124
43)43(
2
1
43
ba
bababa
baxbx
adxbax
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones
1/5428,04845
448243
ba
ba
5428,04845
448243
ba
ba
01746,0
198
4572,3
4572,3198
a
a
a
Reemplazando en 1 se tiene
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
133
131.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes
automovilísticos en EEUU tiene la siguiente función de densidad
eoc
xsixx
xF 0
10)1(12
)(
2
Calcular
a. Función de densidad
b. Función de distribución acumulada
c. )10,0( xP
Rep.:
a. 12
1
0
1
0
1
0
1
0
322 212)21( dxxdxxdxxdxxxx
112
112
4
1
3
2
2
112
432
212
432
xxx
b. 4322 386)1(12)( xxxdtttxF
005,0
48
24,0
44801746,0243
b
b
b
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
134
c. )10,0( xP =
432
10
13
10
18
10
16
10
1
F 0523,0
132.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2
llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada
por:
eoc
xkexf
x
0
02)(4
a) Determinar el valor de k
b) Función de distribución acumulada
c) )84( xP
d) )4( xP
Rep.:
a)
8
118118884222 4
00
4
0
4
kkekekekduekdxekdxke
x
uu
xx
4
xu
dxdu4
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
135
b)
x xtX
edtedtdttfxF0
44
0
18
10)()(
,0)( xF Para x<0
Luego 4
2
1))((x
edx
xFd
que es lo que se esperaba
c) )84( xP = )4()8(2
18
4
4 FFdxe
x
= 12 11 ee
= 224,064,0864,0
d) )4( xP = 64,01)4( 1 eF
133.- Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de
distribución es igual a:
01)( xparaeXF x
Calcular:
a) )1( xP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
136
b) )21( xP
c) ))2ln()1(ln( xP
Rep.:
Como )()( xXPxF entonces se tiene que:
a) )1( xP =1- )1( xP
= 1- )1(F
= )1(1 1 e =1e
b) )21( xP = )1()2( xPxP
= )1()2( FF
= 12 11 ee
= 21 ee
c) ))2ln()1(ln( xP = ))1(ln())2(ln( FF = )2ln()1ln( ee =2
1
2
11
134.- Dado 1,0 Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un
ebraa lg
,{1 F }1,2
1,
2
1,0,1,0
,{2 F }1,3
2,
3
2,0,1,
2
1,
2
1,0,1,0
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
137
Rep.:
1F No es un algebra porque 11,2
1
2
1,0/ F
2F No es un algebra porque 21,3
2
2
1,0 F
135.- Dado }.8,7,6,5{ En alguna de las siguientes familias de un
conjuntos un ebraa lg
}}8,6{},7,5{,{1 F
}}8,6{},8,7,6{},5{},7,5{,,{2 F
}}8,7,6{},6{},5{},7,5{,,{3 F
Rep.:
1F No es un algebra ya que 1F
2F No es un algebra ya que falla la 3 condición ya que 2}4,3{}1{ F
3F Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
138
136.- Dado = {5, 6,7} .completar }}7{},6{{ para obtener un algebra.
Agregar más subconjuntos si es posible.
Rep.:
}}5{},7,6{},6,5{},6{},7,5{},7{},7,6,5{,{F
Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los
requisitos para ser un ebraa lg .
137.- Demostrar la certeza o falsedad de la siguiente propuesta sean
xfxf 21 ,
Dos funciones de densidad y 21 , XX Constantes no negativas tales que
121 xx y entonces )(xh )()( 2211 xfXxfX sea una función de Densidad.
Rep.:
)(xh )()( 2211 xfXxfX Para )()(,0 2121 xfyxfyXX función de densidad
a) Como 21 , XX son positivos entonces )()( 2211 xfXxfX es mayor o igual a
cero
b)
))()(( 2211 xfXxfX dx 1X
dxxf )(1 2X
dxxf )(2
= 121 XX
)(xh Es función de densidad
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
139
138.- Sea x una variable Aleatoria discreta con función de densidad
4
1)1(
4
7)0(
4
1)1( fff
Evaluar
)1)3
1( XP
Rep.:
El recorrido de la variable es }1,0,1{R
)1)3
1( XP = )1)3
1(13
1( XoXP
= )3
113
11( XoXP
= )6,03,1( XoXP =4
1)1( XP
139.- Sea ( ), T y ),( kTK son 2 espacios topológicos donde
2},{ kTT
a) Determinar Tribu de Borel (B )T asociado al espacio topológico ), T
b) Sobre el espacio medible ),( TB defina una medida de probabilidad
Rep.:
a) La tribu de Borel asociada a este espacio es
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
140
)TB ={ }, = T
b) :p )TB 1,0 tal que
Asi
AsiAP
1
0)(
140.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada
por:
0
10)3
2(
5
1
)(
2 xdxxxxf
Determinar esperanza y Varianza y Desviación Estándar
a) dxxdxxdxxxxXE
1
0
2
1
0
3
1
0
2
3
2
5
1)
3
2(
5
1)(
=
10
1
30
3
15
1
30
1
153035
1
415
2
5
1
15
2 341
0
1
0
3423
xxxxdxxdxx
)()()var( 22 xExEx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
141
)( 2xE dxxdxxdxxxx
1
0
3
1
0
4
1
0
22
3
2
5
1)
3
2(
5
1
1500
115
20
1
75
2
2075
2
45
1
515
2
5
1
15
2 451
0
1
0
4534
xxxxdxxdxx
)()()( 22 xExExVar
= 60,01500
100
1500
15115
100
1
1500
115
141.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que
llega a una tienda en un periodo de unas 8 horas. Dada la siguiente
información.
x 1 2 3 4 5 6 7 8
)(xp 0,21 0,15 0,11 0,17 0,20 0,08 0,05 0,03
Encontrar esperanza
03,0805,0708,0620,0517,0411,0315,0221,01)( xE
= 59,3
()( ExVar )() 22 xEx
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
142
03,06405,04908,03620,02517,01611,0915,0421,01)( 2 xE
= 77,16
88,1277,16)( xVar
= 89,3
142.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución
20
0
42
9
)(
2
xsi
xk
xf
Calcular el valor de k
Hallar )4
1()2
10()21( XPXPXP
Rep.:
a)
3
2
6
4
36
16
36
161
16
36
2
4
8
9
28
9
8
9
42
9 2222
2
2
0
2
2
0
2
kkkkx
kdxxkdxx
k
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
143
b1)4
3
2
3
2
1
2
1
2
4
2
1
22
1
2
1
2
1)21(
22
1
2
1
xdxxdxxXP
b2) )2
10( XP 2
1
0
21
02
1
2
1dxxdxx
22
1 2x=
16
10
8
1
2
1
b3)64
1
32
1
2
1
22
1
2
1)
41(
241
0
xdxxXP
143.- La función de densidad de probabilidad de una variable
Aleatoria X está dada por:
eoc
xxxf
0
10)4(9
1
)(
Determinar
a) )(xE
b) )(xVar
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
144
Rep.:
a) )(xE =
24
5
48
10
6
10
9
1
3
1
2
4
9
1
32
4
9
14
9
1)4(
9
1)4(
9
1 321
0
1
0
2
1
0
1
0
xxdxxdxxdxxxdxxx
b) )(xVar = )()( 22 xExE
)( 2xE
108
13
12
13
9
1
4
1
3
4
9
1
434
9
14
9
1)4(
9
1)4(
9
1 431
0
1
0
32
1
0
1
0
22
xxdxxdxxdxxxdxxx
)(xVar = )()( 22 xExE
= 0769,062208
4788
62208
27007488
576
25
108
13
144.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi - 2 -1 1 3
)(xif
2
1
2
1
2
1
2
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
145
2
13
2
11
2
11
2
12
2
xixi -
= -2
3
2
1
2
1
2
2 =
2
1
2
19
2
11
2
11
2
14)(2 xifxi
= 2
15
2
9114
2
9
2
1
2
1
2
4
222 )( xifxi
= 25,74
29
4
130
4
1
2
15
6925,225,7
145.- Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es
proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de
obtener con este dado un número impar.
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
146
{1,2,3, 4,5,6} y el algebra a= )(P
Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es
6,5,4,3,2,1)( iikkP
k Constante de proporcionalidad
Luego
6
1 21
11211
i
kkki
({P Que salga impar})= })5,3,1({P
7
3
21
9
21
5
21
3
21
1
146.- La función de densidad de probabilidad de una variable
Aleatoria X está dada por:
eoc
xxxf
0
10)31(4
3
)(
2
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
147
Determinar
a) )(xE
b) )(xVar
c) desviación estándar
Rep.:
a) )(xE
16
9
4
3
4
3
4
92
2
1
4
3
49
36
24
3
964
3961
4
3)31(
4
3)31(
4
3
432
1
0
1
0
3
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
22
xxx
dxxdxxdxxdxxxxdxxxdxxx
b) )(xVar = )()( 22 xExE
)( 2xE
1
0
22
1
0
22 )31(4
3)31(
4
3dxxxdxxx dxxxx 2
1
0
2 9614
3
1
0
1
0
4
1
0
32 964
3dxxdxxdxx
240
114
60
38
4
3
5
9
4
6
3
1
4
3
59
46
34
3 543
xxx
)(xVar = )()( 22 xExE
= 158,061440
9744
61440
1944029184
256
81
240
114
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
148
c) Desviación estándar
398,0)( xVar
147.- La función de probabilidad de X de defectos de cada 5 metros de la
pavimentación de una calle con ancho uniforme es
xi 1 2 3 4 5
)(xif 0,21 0,18 0,09 0,22
a) 3,022,009,018,021,01
b) 22,0509,043,0318,0221,012
xixi
= 21,0 + 93,21,136,09,036,0
= )(2 xifxi 22,02509,0163,0918,0421,01
= 57,105,544,17,272,021,0
c) 222 )( xifxi
= 58,857,10
= 99,1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
149
d) )(
)(/)2/3(
BP
BAPBAPXXP
772,079,0
61,0
)2(
)3(
XP
XP
148.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución
30
0
4
3
2
3
)(
2
xsi
xk
xf
a) calcular el valor de k
b) Hallar )1()21( XPXP
Rep.:
a) 9
4
81
16
81
161
16
81
2
9
8
9
28
9
8
9
4
3
2
3 2222
2
3
0
2
3
0
2
kkkkx
kdxxkdxx
k
b1)3
1
2
3
9
2
2
1
2
4
9
2
29
2
9
2
9
2)21(
22
1
2
1
xdxxdxxXP
b3)9
1
2
1
9
2
29
2
9
2)1(
21
0
xdxxXP
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
150
149.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de
probabilidad:
2,0)4
11()( 2 xsixcxf
)2,0(0)( xsixf
a) Hallar la constante c y la función de
distribución de probabilidad.
b) Probabilidad de que X este comprendida
entre 0y 1
Rep.:
a) Se verifica
2
0
2 1)4
11(1)( dxxcdxxf
8
31
3
8
34
1 3
ccx
xc
x
xsi
xsix
x
xsi
dttfxF
21
20128
3
00
)()(3
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
151
b)
12
11
8
3
34
1
8
3
4
1
8
3)
4
11(
8
3)10(
31
0
1
0
22
1
0
xxdxxdxdxxXP
32
13
12
13
8
3
150.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi - 2 -1 4
)(xif
3
1
3
1
3
1
3
14
3
11
3
12
2
xixi -
= -3
4
3
1
3
2 =
3
1
3
116
3
11
3
14)(2 xifxi
= 73
21
3
16
3
1
3
4
222 )( xifxi
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
152
= 9
62
9
163
9
17
151.- sea ebraAlg 2T y ( ),T un espacio medible. Cuál de las
siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de
probabilidad.
a) 2)(0 AP
b) 1)( P
c) )()(0
1
n
i AnPAnP
d) Todas las Anteriores
152.- sea },,,{ polinomiotrinomiobinomiomonomio clasificación de expresiones
algebraicas según su número de términos
Veamos si
},{},,{},,,{},{,,{ polinomiomonomiotrinomiobinomiotrinomiobinomiomonomiopolinomioT
Cumple con las condiciones para ser ebraAlg
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
153
Rep.:
a) T Cumple con esta condición
b) si TATA C cumple con esta condición
Ya que el complemento de cada elemento
se encuentran presentes
Por lo tanto es ebraAlg .
c) TAnINnAnA n
,,0
Cumple con las 3 condiciones por lo tanto es un ebraAlg .
153.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución
eoc
xxc
xf 0
202
3
)(
32
Calcular c
6
1
6
11614
2
34
42
3
2
3
2
3 2224
2
2
0
2
0
3232
cccc
xcdxxcdxxc
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
154
154.- Dada la siguiente función
xexf
x
016
1)( 16
Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad
Rep.:
11616
1
16
1
16
116
0
1616
00
1616
0
eeeeduedxedxe
x
uu
xx
155.- Dada la siguiente tabla
Calcular la esperanza, Varianza, Desviación Estándar
Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el
siguiente:
xi -3 -2 1 3 5
f(xi)
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
Rep.:
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
155
)(XiE = )(xifxi
= 5
12
5
13
5
15
5
13
5
11
= 5
3
5
5
5
3
5
1
5
2
5
3
)()()( 22
ii xExExVar
)(2
ixE = )(2
xifxi
= 5
125
5
19
5
11
5
14
5
19
= 5
48
5
25
5
9
5
1
5
4
5
9
)()()( 22
ii xExExVar
= 25
231
25
9240
25
9
5
48
Desviación estándar
039,35
231
25
231)( xVar
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
156
156.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución
eoc
xxk
xf 0
208
36
)(
2
Calcular k
3
1
144
16
144
161
16
1441
2
4
8
36
28
36
8
36
8
36 2222
2
2
0
2
0
22
kkkkx
kdxxkdxxk
157.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:
21
224
2
20
)(2
xpara
xparax
xpara
xf
Determinar
a) )3
41( xP =
x
xdxdxxdxxdx
x2
34
12
4
12
4
1
4
2 32
3
4
1
23
4
1
2
324
91
81
91
4
12
3
1
3
8
81
64
4
1
Teoría de probabilidad y variable aleatoria
Nivel proyección
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
157
b) )5
61( xP
xx
dxdxxdxxdxx
234
12
4
12
4
1
4
2 35
6
1
5
6
1
25
6
1
25
6
1
2
= 6160,01500
241
4
1
375
241
375
7501259002162
3
1
5
12
375
216
4
1
