Clase8_2 teoria y probabilidad de colas ude@

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Distribuciones Muestrales

Distribucin de la media muestral

Vernica Guarn.

Universidad de Antioquia

Teora de la probabilidad y colasIngeniera de Sistemas

6 de mayo de 2015

Teora de la probabilidad y colas Distribucin de la media muestral

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1 Distribuciones Muestrales


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En el proceso de identificar y explicar las caractersticas esen-ciales que permiten describir el comportamiento de un fen-meno, nuestro objetivo es el de establecer de manera aproxima-da dicho comportamiento usando parte de toda la informacinrelevante acerca del fenmeno.


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Cuando se desea estimar un parmetro poblacional se puedepresentar cualquiera de los prximos 3 casos:

1 Estimar la proporcin de lavadoras que se descomponenantes del tiempo de garanta.

2 Estimar el tiempo promedio que una persona permaneceen fila.

3 Estimar la variabilidad en los dimetros de tuercas decierto tipo.

Note en los casos anteriores que la caracterstica de inters esuna proporcin, un promedio y una varianza; las cuales en cadacaso son nicas


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Definicin:Sean X y Y dos variables aleatorias con una distribucin con-junta, se dice que X y Y son estadsticamente independien-tes S y solo s:

p(x , y) = p(x)p(y) si X y Y son discretas.

f (x , y) = f (x)f (y) si X y Y son continuas.

Si en algn caso al menos una pareja (x , y) no cumple lo ante-rior se dice que X y Y son dependientes.


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De esta manera, si X y Y son estadsticamente independientes,entonces:

pX |y = p(x) o pY |x = p(y) Para el caso discreto.

fX |y = f (x) o fY |x = f (y) Para el caso continuo.


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Sean a, b, c y d , constantes. Si X y Y son independientes,entonces:

1 P(a < X < b, c < Y < d) = P(a < X < b)P(c < Y < d)2 E [XY ] = E [X ]E [Y ]3 Cov(X ,Y ) = 0 (Ojo: si Cov(X,Y)=0 no implica que X y Y

sean independientes)4 Var(aX + bY ) = a2Var(X ) + b2Var(Y )

Recuerde que: Var(X Y ) = Var(X ) + Var(Y ) 2Cov(X ,Y )


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Definicin:Si las variables aleatorias X1,X2, . . . ,Xn cumplen que:

1 Las Xi con i = 1,2, . . . ,n son variables aleatoriasindependientes.

2 Cada Xi tiene la misma distribucin de probabilidad.Entonces se dice que X1,X2, . . . ,Xn, forman una muestra alea-toria (m.a); as que el conjunto de las n variables son estadsti-camente independientes e idnticamente distribudas. De modoque:

f (x1, x2, . . . , xn) =n

i=1

f (xi) y E [Xi ] = Var [Xi ] = 2 i = 1,2,3, . . . ,n


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De una muestra aleatoria nos interesa principalmente dos cosas

1 Estimar los parmetros desconocidos de la f.d.p. Porejemplo: la media,la varianza, una proporcin, etc.

2 Realizar inferencias 1 sobre los parmetros de undistribucin.

1Este tema se estudia ms adelanteTeora de la probabilidad y colas Distribucin de la media muestral

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Un Estadstico es una funcin de la muestra aleatoria que notiene cantidades desconocidas. No todos los estadsticos quese definen a partir de una m.a. son de inters. La idea est enencontrar aquellos que permiten obtener mejores aproximacio-nes a los parmetros de inters. (Por ejemplo la media , lavarianza 2 o una proporcin p).

Una buena aproximacin para es: X = 1nn

i=1 XiUna buena aproximacin para 2 es: S2 = 1n1

ni=1(Xi X )2

Una buena aproximacin para p es: Xn ,X b(n,p)


Usuario-RandTexto tecleadoEstadsticos

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Cul es la distribucin de X ?

Cul es la distribuccin de 2 ?

Cul es la distribucin de Xn ; con X b(n,p)?.


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Distribucin de la media muestral:

Sea X1,X2, ...,Xn una muestra aleatoria de una distribucin conmedia y varianza 2. Sea X = 1n

ni=1 Xi Entonces:

E [X ] = E

[1n

ni=1

Xi

]

=1n

ni=1

E [Xi ] Por propiedad del valor esperado

=1n

ni=1

como los Xi son una m.a. tienen la misma media

=1n

(n)

=


Usuario-RandTexto tecleadolas xs son de una distribucion normal

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Distribucin de la media muestral:

Var [X ] = Var [1n

ni=1

Xi

=1n2

ni=1

Var [Xi ]

=1n2

ni=1

2 los Xi tienen la misma varianza

=1n2(n2

)=2

n

As la distribucin muestral de X , tiene media y varianza 2

n .


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Anlogamente se tiene que si T =n

i=1 Xi , entonces E [T ] = ny Var(T ) = n2

Teorema:Suponga que X1, . . . ,Xn es una muestra aleatoria de una pobla-cin normal con media y varianza 2, entonces

X N(, 2/n) T =n

i=1

Xi N(n,n2)

As

X /n N(0,1) y T n

n N(0,1)


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Ejemplo:

En una prueba de fatiga por tensin con un espcimen de ti-tanio, el nmero esperado de ciclos hasta la primera emisinacstica (utilizada para indicar la iniciacin del agrietamiento)es = 28000 y = 5000. Sean X1,X2, . . . ,X25 una muestraaleatoria de tamao 25, donde cada Xi es el nmero de ciclosen un espcimen diferente seleccionado al azar. Entonces, elvalor esperado del nmero de ciclos medio muestral hasta laprimera emisin es E(X ) = = 28000, y el nmero total es-perado de ciclos para los 25 especmenes es E(T ) = n =25(28000) = 700000.


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Solucin:

La desviacin estndar de X y T son:

x =n =

500025

= 1000

T =n =

25(5000) = 25000


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Ejemplo:

El tiempo que requiere una rata de cierta subespecie seleccio-nada al azar para encontrar su camino a travs de un laberintoes una v.a normalmente distribuida con = 1.5 min y = 0.35min. suponga que se seleccionan 5 ratas. sean X1, . . . ,X5 sustiempos en el laberinto. Suponiendo que las Xi son una m.ade esta distribucin normal, Cul es la probabilidad de que eltiempo total T = X1 + + X5 de las 5 sea de entre 6 y 8 min?


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Solucin:

T tiene una distribucin normal con T = n = 5(1.5) = 7.5y varianza 2T = n

2 = 5(0.1225) = 0.6125, por tanto T =0.783. Estandarizando a T tenemos,

P(6 T 8) =(

6 7.50.783

Z 8 7.50.783

)= P(1.92 Z 0.64) = (0.64) (1.92)= 0.7115


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Ahora se quiere determinar la probabilidad de que el tiempo pro-medio muestral X (una variable normalmente distribuida) sea alo ms de 2 min.Solucin:Primero veamos que x = = 1.5 y x = n =

0.355

= 0.1565.Entonces,

P(X 2) = (Z 21.50.1565) = P(Z 3.19) = (3.19) = 0.9993


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Ejercicio:

El dimetro interno de un anillo de pistn seleccionado al azares una v.a con valor medio de 12 cm y desviacin estndar de0.04 cm.

a) Si X es el dimetro medio de una muestra aleatoria de n = 16anillos, Dnde est centrada la distribucin de X y cul es ladesviacin estndar de X?

b) Responda las preguntas planteadas en el inciso a) con untamao de muestra de n = 64 anillos.

c) En cul de las dos muestras aleatorias, la del inciso a) ola del b), es ms probable que X est dentro de 11.912 cm y12.004 cm? Explique su razonamiento.


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Qu pasa cuando la muestra aleatoria no proviene de una nor-mal?


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Teorema del lmite central (TLC):

Sean X1,X2, . . . ,Xn una muestra aleatoria de una distribucincon media y varianza 2. Sea X la media muestral (la cualdepende de n), entonces cuando n tiende a infinito, la distribu-cin muestral de X

/n es aproximadamente normal estndar.

Es decir:

X /n

n N(0,1)

Entre mayor sea el n mejor es la aproximacin. Si la distribu-cin muestral es simtrica y continua, los tamaos muestralespermiten obtener buenas aproximaciones. Si la distribucin esdiscreta, se requiere de tamaos de muestra grandes.


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As

P(X a) = P ( X

/n a /n

)Si 2 es desconocida y n es grande, se puede reemplazar a 2

por S2. As:

X S/n

n N(0,1)


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Ejemplo:

Una compaa de electrnica fabrica resistores que tienen unaresistencia promedio de 100 y una desviacin estndar de 10.La distribucin de la resistencia es normal, encuentre la proba-bilidad de que al tomar una muestra de n = 25 resistores, laresistencia promedio de estos sea menor que 95.


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Solucin:

Ntese que la distribucin de muestreo de X es normal, conmedia x = 100 y desviacin estndar de

x =1025

= 2

Al estandarizar el punto X = 95, se tiene que:

P(X 95) = (Z 951002 ) = P(Z 2.5) = (2.5) =0.0062


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Ejemplo:

Supngase que una v.a X tiene una distribucin uniforme conti-nua

f (x) =

{12 4 x 60 en otro caso.

Encuentre la distribucin de la media muestral de una m.a detamao n = 40


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Solucin:

La media y la varianza de X son = 5 y 2 = (64)2

12 =13 .

El (TLC) indica que la distribucin de X es aproximadamentenormal con media x = = 5 y varianza 2x =

2

n =1

3(40) =1

120


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Ejercicio:

La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor mediode 10000 lb/pulg2 y una desviacin estndar de 500 lb/pulg2.

Cul es la probabilidad de que la resistencia a la ruptura me-dia de una muestra aleatoria de 40 remaches sea (est) entre9900 y 10200?


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Resolver los ejercicios de las pginas 307 (Probabilidad y esta-dstica aplicada a la ingeniera (Montgomery))


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Referencias

Montgomery D.C y Runger G.C. Probabilidad y Estadstica Apli-cadas a la Ingeniera. Limusa Wiley, 2004, segunda edicin.

Mendenhall W., Beaver R.J. y Beaver B.M. Introduccin a laprobabilidad y estadstica (12. ed.). Mxico: Cengage Learning,2008

Roessler, R y Alder H.L. Introduction to probability and statistics(6. ed.). Estados Unidos: W. H. Freeman, 1977



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