Přístrojová technika

Přístrojová technika

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Obsah přednášky

• Obecná teorie měření - chyby měření a zpracování dat

• Chyby měření závislých veličin, chyby při měření závislostí, fitování

• Techniky měření nejzákladnějších veličin

• Kalibrace a kalibrační křivka

• Měření elektrických veličin, převody měření jiných veličin na ně

• Použití multimetrů, čítačů a osciloskopů

• Zpracování elektrických signálů, modulární elektronika

• Spektroskopie ionizujícího i neionizujícího záření

• Urychlovačová technika a experimenty se svazky částic

• Experimenty částicové fyziky

• Cvičení : měření elektrických veličin, použití základních přístrojů,

• Cvičení : základní elektronika

• Cvičení : program Gnuplot

Fyzikální práce

• Teoretická fyzika

• Experimentální fyzika

Teoretický popis

tvorba matematického modelu

Pozorování a experiment

ověření matematického modelu

Jak ověřit experimentální model?

2r

MmF z

F

Mr n

rmF

Předpovědi téhož jevu od různých teoretických fyziků se mohou lišit.

Teorie je třeba srovnat se skutečností - provést experiment či pozorování.

Předpověď Měření

F = 100 N

F = 300 NF = 103 N

Měření 2

F = 292 N

Jak ověřit experimentální model?

2r

MmF z

F

Mr n

rmF

Předpovědi téhož jevu od různých teoretických fyziků se mohou lišit.

Je potřeba učinit více měření ...

PředpověďMěření

F = 100 N

F = 300 N 103, 292, 98, 115, 152, 87, 109, 76,

32, 94, 114, 152, 5, 201, 141, 101 N

... a z rozdělení naměřených hodnot je třeba usoudit na hodnotu měřené veličiny.

Teorie pravděpodobnosti a chyby měření

Při měření fyzikální veličiny se můžeme dopustit mnoha chyb – a vždy se nějakých dopustíme. Každé měření je zatíženo chybou. Chyby jsou v zásadě tří druhů:

• Hrubé chyby

• Systematické chyby

• Náhodné chyby (fluktuace)

Hrubé chyby

Hrubé chyby jsou zaviněny nepromyšleností experimentu, nepozorností fyzika nebo poruchou na přístrojích. Lze na ně přijít použitím šedé kůry mozkové – jako u každé

jiné činnosti, i u měření vždy pomůže, když při něm myslíme.

12

34

56

78

910

1112

1314

Kolik měří tato úsečka?

l = 8 cm

Systematické chyby

Systematické chyby vznikají obvykle špatnou kalibrací přístrojů nebo působením neznámého vlivu, který k měření trvale přidává (odebírá) nějakou hodnotu. Příkladem budiž měření se špatně označeným pravítkem. Systematické chyby se hledají a odstraňují těžko – tím se nebudeme zabývat.

1234567891011121314

Kolik měří tato úsečka?1234567891011121314

l = 14 cm

Náhodné chyby - fluktuace

I když odhlédneme od chyb hrubých či systematických, nikdy se nelze zbavit tzv. fluktuací. Fluktuace naměřené vznikají součtem mnoha vlivů okolního prostředí na experiment. Jejich základní vlastnosti jsou :

• Jsou velmi malé

• Je jich velmi mnoho různých druhů

• Každá sama o sobě je zcela náhodná a nezávislá na ostatních

• Jsou se stejnou pravděpodobností kladné či záporné

Příklad vidíte na obrázku vpravo – na přístroji odečítáme hodnotu cca 3 A, ačkoliv ve skutečnosti ručička ukazuje -3 A (viz stín přímého osvětlení). Tato chyba závisí na úhlu, pod jakým se na přístroj díváme – a ten může být pokaždé jiný. Této chybě se lze vyvarovat pečlivostí měření, ale fluktuace mají kořen až v kvantové povaze mikrosvěta, kde děje probíhají náhodně.

Předpokládáme, že samotná veličina se během měření nemění!


Jako nejjednodušší příklad předpokládejme, že při měření působí jen tři různé vlivy, a každý z nich měření náhodně upraví o +0.5 nebo o -0.5. Sepišme si tabulku možných oprav výsledku, víme-li, že naměřený výsledek je

cbaxx 0x0 – reálný výsledek, Δa – oprava za první vliv, Δb – oprava za druhý, Δc – oprava za třetí.

Δa Δb Δc Δa + Δb + Δc

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

+0.5

+0.5

+0.5

+0.5

-0.5

-0.5

+0.5

+0.5

-0.5

-0.5

+0.5

+0.5

-0.5

+0.5

-1.5

-0.5

+0.5

-0.5

+0.5

-0.5

+0.5

-0.5

-0.5

+0.5

-0.5

+0.5

+0.5

+1.5

2 1 0 1 2 3

Rozdělení chyby měření

Vidíme, že celková změna výsledku o +0.5 je stejně pravděpodobná jako o -0.5 a třikrát

pravděpodobnější než změna o ±1.5 .


Jako další příklad předpokládejme, že při měření působí opět jen tři různé vlivy, a.e každý z nich měření náhodně upraví o +0.5, -0.5, nebo jej neupraví vůbec. Sepišme si tabulku možných oprav výsledku, víme-li, že naměřený výsledek je

cbaxx 0x0 – reálný výsledek, Δa – oprava za první vliv, Δb – oprava za druhý, Δc – oprava za třetí.

2 1 0 1 2 3

Rozdělení chyby měření

Δa Δb Δc Δ Δa Δb Δc Δ Δa Δb Δc Δ


Budeme-li přidávat další fluktuace a rozšíříme-li jejich možnosti, budou se rozdělení dále komplikovat:

Co nám toto připomíná?

Gaussovo normální rozdělení

Karl Friedrich Gauss

1777-1855

2

2

2

)(

22

1)(

x

exN

Gaussovo normální rozdělení (hustota pravděpodobnosti) je jedno z nejdůležitějších statistických rozdělení vůbec. Je popsáno konstantami μ (poloha maxima na ose x) a σ (pološířka křivky v přibližně polovině výšky). Přesněji je to vzdálenost μ a inflexních bodů. Plocha, kterou křivka pod sebou uzavírá, je rovna jedné (to zajišťuje výraz před exponenciálním členem). Dokažte tato tvrzení.


Gaussovo rozdělení tedy popisuje rozdělení naměřených hodnot s tím, že hledaná hodnota je v místě vrcholu, tedy x0 = μ. Dá se ukázat, že uděláme-li n měření xi, pak

xn

n

iixn

x lim1

1

výběrový průměr

nxxn n

n

iin lim

1

2)(1

1

směrodatná odchylka (parametr rozdělení chyb)

Tj. lze nalézt konkrétní Gaussovo rozdělení, podle kterého se měření veličiny řídí.

Při každém měření je třeba nějakým způsobem vyjádřit, jak velkou chybu jsme udělali. Samotný výsledek (aritmetický průměr) je k ničemu, pokud nevíme, jak moc mu můžeme věřit. Šířka gaussiánu udává rozptyl měřených výsledků - tj. v podstatě kvalitu přístrojů a měřící metody. Čím užší je gaussián, tím větší má přístroj rozlišení (dovede od sebe rozlišit dvě blízké hodnoty veličiny).

Přístroj s dobrým rozlišením (σ = 0.1)


Při každém měření je třeba nějakým způsobem vyjádřit, jak velkou chybu jsme udělali. Samotný výsledek (aritmetický průměr) je k ničemu, pokud nevíme, jak moc mu můžeme věřit. Šířka gaussiánu udává rozptyl měřených výsledků - tj. v podstatě kvalitu přístrojů a měřící metody. Čím užší je gaussián, tím větší má přístroj rozlišení (dovede od sebe rozlišit dvě blízké hodnoty veličiny).

Přístroj se špatným rozlišením (σ = 0.4)



Z parametru σ lze také určit, z jakou pravděpodobností padne další měření do určeného okolí μ. Plocha pod křivkou v páse symetrickém kolem středu a širokém σ nalevo i napravo od středu je veliká přibližně 0.683 a s touto pravděpodobností tedy každé další měření padne do intervalu (μ - σ, μ + σ).

0.683

0.954

0.997

Do intervalu (μ - 2σ, μ + 2σ) se každé další měření vejde s pravděpodobností 0.954

Do intervalu (μ - 3σ, μ + 3σ) se každé další měření vejde s pravděpodobností 0.997

Aritmetický průměr

1. měření

2. měření

3. měření

Rozlišení nás ale obvykle moc nezajímá (pokud neměříme spektroskopické veličiny). Mnohem více nás zajímá, co se děje s aritmetickým průměrem (tj. naměřenou hodnotou veličiny) při opakovaných měřením. Díky fluktuacím si můžeme být jisti, že uděláme-li několik sad měření téže veličiny za týž podmínek, dostaneme aritmetický průměr pokaždé jiný :

Chyba aritmetického průměru

Směrodatnou chybu aritmetického průměru lze spočítat pomocí vzorce

n

ii

n xxnnn

x1

2)()1(

1

Tato chyba vyjadřuje, že se při dalším měření znovu vypočítaný aritmetický průměr do intervalu (μ - Δx, μ + Δx) trefí s pravděpodobností 68.3 %. Jako odhad chyby při měření jedné konstantní veličiny se pak obvykle udává interval (μ - 3Δx, μ + 3Δx) , ve kterém každý další aritmetický průměr skončí s pravděpodobností 99.7 %.

Každé fyzikální měření musí mít odhadnutou svou chybu - bez toho nemá vůbec žádnou

výpovědní hodnotu!

Chyba aritmetického průměru

n

ii

n xxnnn

x1

2)()1(

1

xx 3 x3

Použijeme-li předchozí vzorce, pak je hodnota měřené veličiny v tomto intervalu s pravděpodobností 99,7 % .

Výsledek zapisujeme ve tvaru

][30 jednotkaxxx

Pozn. : čísla je třeba zaokrouhlit na nějaký rozumný počet desetinných míst – a hlavně obě na stejný počet desetinných míst!

Zápis naměřeného výsledku

Zpracování výsledků v programu MS Excel

Uvedené výpočty sice nejsou těžké, ale zdlouhavé a otravné. Je proto výhodné na ně použít výpočetní techniku. Pokud jsme udělali desítky tisíc či dokonce milióny měření, nic jiného nám ani nezbývá. Pro malý počet měření (desítky) se dobře hodí nějaký tabulkový procesor (MSExcel, Open Office Calc). Dejme tomu, že jsme 20x měřili vzdálenost Praha-Brno a vyšly nám násle-dující hodnoty zapsané v rámečku vpravo. Zpracu-jme je v programu MS Excel.

197,855

200,694

204,367

201,740

200,956

202,699

207,779

197,743

206,260

202,998

200,283

204,691

204,181

203,421

203,496

209,535

197,594

206,571

211,751

210,157

Zpracování výsledků

Výsledky nejprve zapíšeme do jednoho sloupce. Můžeme je opatřit i pořadovými čísly, i když ta pro další výpočet nejsou důležitá. Lze na nich ale dobře demonstrovat funkci automatického rozkopírovávání obsahu buněk.

Pořadové číslo 1 zapíšeme normálně, pořadové číslo 2 pak jako vzorec -

součet předchozí buňky s číslem 1.

Klikneme myší na pravý dolní roh buňky a

roztáhneme ji do sloupce. Program bude při této

operaci automaticky měnit číslo řádků v zapsaném

vzorci. Každá nová buňka tak bude mít o 1 větší

hodnotu než předchozí.


Spočítáme aritmetický průměr (v jednom kroku) a chybu měření (ve více krocích). První krok je výpočet druhých ocnin rozdílů aritmetického průměru a naměřených hodnot.

Aritmetický průměr zapíšeme pomocí funkce součtu SUMA() dělené počtem měření. Forma

zápisu je zřejmé z obrázku.

Zadáme vzorec pro druhou mocninu rozdílů

jednotlivých měření a průměrů. Pro rozkopírování do všech řádků použijeme

stejnou funkci, jako u pořadových čísel. Musíme

ale zajistit, aby se neměnilo číslo buňky, ve které je

uložen průměr. To zajistíme zapsáním znaku

dolar před číslo řádku (popř. písmeno sloupce)


Další krok je druhé mocniny sečíst …

Provedeme rozkopírování jako

v případě pořadových čísel.

Dokončíme výpočet. Druhé mocniny pro všechna měření je

nejprve třeba sečíst …


… pak podělit n*(n-1), odmocnit a vynásobit třemi. Dostaneme absolutní chybu. Pokud bychom chtěli relativní, museli bychom do další buňky zapsat vzorec „ = 100 * ( 2 * D30 ) / D29 “ .

Dokončíme vzorec. Vydělíme výrazem

n*(n-1), odmocníme a

vynásobíme třemi.

V buňce D30 je nyní absolutní chyba měření a tedy

kmlPB 73.274.203


Pozn.: během zpracování dat můžete použít tzv. 3σ kritérium pro odstranění hrubých chyb. Provedete-li hrubou chybu, velikost příslušné naměřené hodnoty patrně bude hodně daleko od ostatních. Vesměs tedy můžete hodnoty, které jsou vzdálené o 3σn a více od aritmetického průměru z naměřených dat vyhodit (a přepočítat průměr a σn) . Je-li ale takových hodnot příliš, je třeba se zamyslet, zda za jejich výskytem neleží nějaký hlubší problém, než jen nepozornost při měření!

V předchozím příkladu je σn = 4.067, tedy všechny naměřené hodnoty menší než 199.69 a větší než 207.81 z naměřené sady dat vyhodit - zbytečně by nám kazily výsledek.

Chyby závislých veličin

Bývá častým případem, že měříme více různých veličin a na jejich základě pak stanovujeme požadovanou hodnotu. V rámečku napravo je například schéma úlohy měření konstanty e/m, kdy změříme urychlovací napětí elektronů (U), poloměry kružnic (R), které opisují v magnetickém poli a intenzitu pole (B). Předchozím postupem můžeme určit chybu měření pro každou z veličin, tj.

BBB

RRR

UUU

a víme, že konstantu lze spočítat ze vzorce

22

2

BR

U

m

eK

Jak lze nyní získat ? KKK


22

2),,(

BR

UBRUK

Předpokládejme, že máme naměřeno n hodnot od U, R i B. Častou chybou je dopočítat podle známého vzorce deset hodnot K a pak spočítat průměr a odchylku. TO JE VŠAK ŠPATNĚ! Takto vzniklé hodnoty nemají gaussovské rozdělení N(x) a vzorce proto nelze použít.

Lze ovšem ukázat, že máme-li naměřeny veličiny x1 ... xn a známe průměry a odchylky, pak platí

2

2

22

2

2

21

2

1

21 ),,,(

nn

n

xx

fx

x

fx

x

fy

xxxfy


22

2),,(

BR

UBRUK

Pro funkci K(U,R,B) to pak tedy bude :

3232

2323

2222

44

44

22

BURBR

U

B

K

BURBR

U

R

K

BRBRU

K

Do derivací dosadíme střední hodnoty. Je zjevné, že velikost výsledné chyby bude nesmírně citlivé pro malá R a B, tj. budou-li malé poloměry nebo malé pole, pak se i drobné chyby jejich měření podepíší obrovskou měrou na chybě celkové. Dosadíme a získáme

222222222

26422462244

442

16164

BBURRUUBR

BBRURBRUUBRK

Všimněte si, že pořád sedí jednotky!


Chyba součtu22

21

2121 1 xxy

x

y

x

yxxy

Chyba rozdílu je stejná díky druhým mocninám

22

21

2121 1,1 xxy

x

y

x

yxxy

Chyba násobku22

21

21

211

22

121 , xxxxyx

x

yx

x

yxxy

Chyba podílu

22

22

21

21

122

2

1

2212

1 ,1

xxxxxyx

x

x

y

xx

y

x

xy

Měření závislostí

Gaussovo rozdělení mají veličiny, jejichž vlastní hodnota se během měření nemění (podepisují se na ní pouze fluktuace). Pokud si ovšem veličiny během experimentu záměrně pozměňujeme (nebo se pozměňují samy), nelze vzorce pro průměr a odchylku použít.

A

V

R

Při měření odporů měříme proud a napětí. Obě veličiny si měníme regulací napětí zdroje. Výsledný odpor R je sice jen jeden a principiálně se nemá co měnit, měřené veličiny ale ano. Pokud bychom pro každou měřenou dvojici spočítali Ri = Ui Ii a z výsledných čísel dopočítali průměr a odchylku, bylo by to ŠPATNĚ, protože v takovém případě rozdělení Ri opět není gaussovské.

C o s t í m ?


A

V

R

U [V] I [A]107,5074 2,087575112,6532 2,343539124,967 2,587698133,725 2,841758

146,6796 3,035892157,3893 3,326307162,7348 3,565494176,3669 3,762262187,8068 4,066512195,6361 4,273882206,7545 4,521785

Protože měříme dvojice bodů, je možné je vynést jako naměřenou závislost. Víme, že platí Ohmův zákon U = RI, kde R je konstanta a o naměřených datech lze tedy předpokládat, že budou ležet na přímce popsané funkcí

IRIU )(

Z naměřených hodnot vidíme, že opravdu zhruba zachovávají lineární vzrůst, kvůli chybám měření jsou

ale "rozsypané" kolem nějaké přímky. Když

najdeme nejlepší možnou přímku, kolem

které se body motají, její směrnice nám určí

naměřené R.


A

V

R

U [V] I [A]107,5074 2,087575112,6532 2,343539124,967 2,587698133,725 2,841758

146,6796 3,035892157,3893 3,326307162,7348 3,565494176,3669 3,762262187,8068 4,066512195,6361 4,273882206,7545 4,521785

Protože měříme dvojice bodů, je možné je vynést jako naměřenou závislost. Víme, že platí Ohmův zákon U = RI, kde R je konstanta a o naměřených datech lze tedy předpokládat, že budou ležet na přímce popsané funkcí

IRIU )(

Z naměřených hodnot vidíme, že opravdu zhruba zachovávají lineární vzrůst, kvůli chybám měření jsou

ale "rozsypané" kolem nějaké přímky. Když

najdeme nejlepší možnou přímku, kolem

které se body motají, její směrnice nám určí

naměřené R.

Metoda nejmenších čtverců

Jak tuto přímku určit? Intuitivně tušíme, že by měla být zvolena tak, aby vzdálenosti bodů od ní byly co nejmenší.

n

iil

1

min

li+1

li

Tento princip je možnost, ale není úplně nejvhodnější. Vzoreček pro vzdálenost bodu od přímky totiž obsahuje absolutní hodnotu a s tou se špatně pracuje - a tato metoda má i další nevýhody.

12

R

UIRl iii

n

iiS

1

minSi+1

Si

Používá se tzv. Metoda nejmenších čtverců. Její princip je jasný z obrázku - přímka se položí tak,

aby součet čtverců naznačených v nákresu byl minimální. Strana čtverce je rozdíl funkční

hodnoty U(Ii) a naměřené hodnoty Ui .

Metoda nejmenších čtverců

n

iiS

1

minSi+1

Si

Používá se tzv. Metoda nejmenších čtverců. Její princip je jasný z obrázku - přímka se položí tak,

aby součet čtverců naznačených v nákresu byl minimální. Strana čtverce je rozdíl funkční

hodnoty U(Ii) a naměřené hodnoty Ui .

n

i

n

iiii UIRSRS

1 1

2)()( Toto je součet čtverců v závislosti na R. Jak jej udělat nejmenším?

022

0)(2)(

11

2

1

n

iii

n

ii

n

iiii

IUIR

UIRIRS

n

ii

n

iii

I

IUR

1

2

1Zderivovat a položit rovno nule.


A

V

R

U [V] I [A]107,5074 2,087575112,6532 2,343539124,967 2,587698133,725 2,841758

146,6796 3,035892157,3893 3,326307162,7348 3,565494176,3669 3,762262187,8068 4,066512195,6361 4,273882206,7545 4,521785

n

ii

n

iii

x

yxR

1

2

1I*I I*U4,357969 224,42985,492175 264,00726,696181 323,37698,075589 380,0141

9,21664 445,303411,06432 523,525112,71275 580,2314,15462 663,538516,53652 763,718618,26607 836,125620,44654 934,8994

Dopočítáme :

758.46

0194.127

168.5939

1

2

1

R

I

IU

n

ii

n

iii

Fitování

Postup se dá zobecnit na libovolné funkce s libovolným počtem parametrů (v předcho-zím příkladu byl parametr jeden - R). Tento postup se nazývá fitování.

Výraz chí kvadrát určuje kvalitu fitu, tj. jak moc křivka do bodů sedí. Spočítá se jako

n

i i

ii

x

yxf

12

22

tj. pro předchozí příklad je

0028.332

Čím menší je toto číslo, tím lépe křivka do bodů "sedí".

Fitování

Proložení naměřených bodů přímkou či křivkou se dnes již obvykle dělá s pomocí počítače (hledejte v programech výrazy fit, fitování, regrese, spojnice trendu a podobně). Křivka, kterou naměřené body proložíte, ale vždy musí mít fyzikální smysl ! Na obrázcích vlevo je také nějaké měření, u kterého se dá předpokládat, že závislost je lineární. Kvůli velkým chybám měření je ale u lineárního fitu mnohem větší chí2 než u fitu polynomem 9. stupně. Fit takovým polynomem ale nemá žádný fyzikální smysl.

Při tomto postupu je samozřejmě také třeba určit chybu nafitovaného parametru (či parametrů). Nebudeme zabíhat do podrobností, stačí vědět, že velikost chyb je nějakým způsobem úměrná velikosti čtverců (a tedy chí2). Chybu nám specializované programy (třeba GnuPlot) spočítají.

Pozn.: ovšem třeba MS Excel počítat chyby fitů neumí, takže má ve fyzice jen omezené použití.

Měření rozdělení

Je celkem častou úlohou zjistit, jaké má nějaká veličina rozdělení. To nás zajímá zejména ve spektroskopických úlohách.

Spektrum udává, kolik událostí nastane v nějakém určeném intervalu vzhledem k ostatním - na předchozích dvou obrázcích konkrétně kolik fotonů dané energie se vyskytuje v záření emitovaným nějakým zdrojem. Teoreticky se vlastně jedná o rozdělení pravděpodobnosti.

Rozdělení pravděpodobnosti je ovšem spojité - jak jej tedy naměřit, máme-li k dispozici pouze omezený čas a tedy omezený počet naměřených událostí (fotonů nějaké energie)?

Histogram a měření v kanálech

Mějme N naměřených hodnot (energií fotonů). Z nich si vytvoříme tzv. histogram.

n1 n2 n3 nk

k

iinN

1

a b

Měříme-li na intervalu <a, b> , vytvoříme rozdělení tohoto intervalu na k částí. Ke každé části přiřadíme počet událostí (fotonů), které do tohoto interválku padly. Tím získáme jakési zobrazení, které lze zobrazit v grafu.

Co je histogram

Hodnota události

Poč

et u

dálo

stí

Co je histogram

Hodnota události

Poč

et u

dálo

stí

Nafitujeme křivkou a rozdělení je hotovo.

Co je histogram

Hodnota události

Poč

et u

dálo

stí

Nafitujeme křivkou a rozdělení je hotovo.


Histogram s 500000 naměřenými hodnotami veličiny, která má normální rozdělení (fluktuace). Silně připomíná tvar Gaussova normálního rozdělení a lze jej gaussiánem snadno nafitovat.

Shrnutí

• Fyzikální práce

• Druhy chyb měření

• Chyby jedné veličiny a Gaussovo normální rozdělení

• Aritmetický průměr a chyba aritmetického průměru

• Zpracování v programu MS Excel

• Chyby závislých veličin

• Měření závislostí

• Fitování metodou nejmenších čtverců

• Měření rozdělení

CvičeníPráce s programem GnuPlot

Documents

Přístrojová technika