Print 11 Naprezanja i Deformacije G

8/18/2019 Print 11 Naprezanja i Deformacije G

http://slidepdf.com/reader/full/print-11-naprezanja-i-deformacije-g 1/11

1

1

Teorija naprezanjai deformacija

11. dio

2

• 3D – Prostorno stanje naprezanja

• 2D – Ravninsko stanje naprezanja

• 1D – Jednoosno stanje naprezanja

3

Tenzor naprezanja

• 3D - Prostorno stanje naprezanja

puni” tenzor:32 = 9 podataka

= z zy zx

yz y yx

xz xy x

ij

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ

4

Simetrinost tenzora naprezanja

=

z zy zx

yz y yx

xz xy x

ij

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ

yz zy

xz zx

xy yx

τ=τ

τ=τ

τ=τ

6 podataka

Zakon o jednakostiposminih naprezanja:

5

Dokaz za 2D - ravninsko stanje naprezanja

( ) ( )

yx xy

yx xy

M

dydx: / 022

dy 1dx-2

2

dx 1dy

M

τ=τ

=⋅⋅τ⋅⋅τ

=Σ 0

6

Glavna naprezanja

=

3

2

1

00

00

00

σ

σ

σ

σ gl

Nema posminih naprezanja !!



2

7

Prva invarijanta naprezanja

.321 konst z y x =++=++ σ σ σ σ σ σ

8

Mohrove kružnice naprezanja 3D

9

2D - Ravninsko stanje naprezanja:

y

tgσ σ

τ ϕ

−=

x

xy22

2

2

2,122

xy

y x y xτ

σ σ σ σ σ +

−±

+=

σx

σy

τxy

Glavna naprezanja: σ1 i σ2 i njihov smjer ϕ:

10

Glavna naprezanja i njihov smjer

11

Glavna naprezanja i njihov smjer

A (σx;τxy)

B (σy;τyx)

C (σ1;0)

D (σ2;0)

12

Najvee posmino naprezanje

H (σs;τmaks)

2

2

21 σ−σ==τ

σ+σ=σ

r maks

y xs



3

13

Mohrove kružnice tipinih stanjanaprezanja

1. Jednoosno naprezanje:a) vlano σx > 0

b) tlano σx < 0

2. Izotropno naprezanje σy = σx

3. isto smicanje τxy

14

1. a) Jednoosno vlano naprezanje

15

A (σx;0)

B (0;0)

Glavna naprezanja:

σ1= σx

σ2= 0

16

Maksimalnoposmino

naprezanja:

τmaks = τC= r = σ1 /2

17

1. b) Jednoosno tlano naprezanje

18

A ( - σx;0)

B (0;0)

Glavna naprezanja:

σ1= 0

σ2= - σx



4

19

Maksimalno

posmino

naprezanje

τmaks= τC

20

2.a) Izotropnorastezanje

A (σx;0)

B (σy ;0)

21

2. b) Izotropnosabijanje

A ( - σx;0)

B ( - σy ;0)

22

3. a)

Smicanje0> xyτ

A (0; τxy)

B (0; τyx )

Glavna naprezanja:

σ1= τxy

σ2= - τxy

23

3. b)Smicanje

(uvijanje)

0< xyτ

A (0; -τxy)

B (0; τyx )

Glavna naprezanja:

σ1= τxy

σ2= - τxy

24

1D- Jednoosno stanje naprezanja

hb A ⋅=

N

N



5

251

0

0

σ=σ==

=⋅+−

=Σ

x

x

A

N p

A p N

F

N

26

27

Ovisnost naprezanja o presjeku

Presjek C - C

N

28ϕ

ϕ

cos

cos

A A

hb A

=

⋅=

N

29ϕσ=ϕ⋅==

=⋅+−

=Σ

coscos A

N

A

N p

A p N

F

x

x

0

0

N

30



6

31

ϕ σ σ

ϕ σ ϕ σ

2

1

2

cos

coscos

⋅=

⋅=⋅= x p

ϕ σ

τ

ϕ ϕ σ ϕ τ

2sin2

sincossin

1 ⋅=

⋅⋅=⋅= x p

32

Mohrova kružnica naprezanja

ϕ⋅σ=τ=τ

ϕ⋅σ=σ=σ

ϕ

ϕ

2sin2

1

cos

1

21

33

Sile u presjeku nosaa

Dinama sila: - glavni vektor sila

- vektor glavnog momenta

P

M

34

Sile u presjeku nosaa

Dinama sila: - glavni vektor sila


P

M

k T jT i N P z y

⋅+⋅+⋅=

35

Sile u presjeku nosaaDinama sila: - glavni vektor sila


P

M

k M j M i M M z yt

⋅+⋅+⋅=

36

Veze izmeu unutrašnjih sila i

komponenata tenzora naprezanja



7

37

Tenzor naprezanja

σττ

τστ

ττσ

=σ

z zy zx

yz y yx

xz xy x

ij

Normala ravnine presjeka podudara s osi x

Naprezanja: σx; τxy τxz 38

Normalno naprezanje

Posmino naprezanje

dAdN dA

dN x x ⋅== σ σ

dAdT dA

dT ⋅== τ τ

39

Normalno naprezanje

Uzdužna sila N

Posmino naprezanje

Poprene sile

dAdN dA

dN x x

⋅== σ σ

⋅== A A

x dAdN N σ

dAdT dA

dT ⋅== τ τ

⋅== A A

xy y y dAdT T τ

⋅== A A

xz z z dAdT T τ 40

Momenti savijanja My i Mz

⋅⋅= A

x y dA z M σ

⋅⋅−= A

x z dA y M σ

41

Moment uvijanja - torzije

( ) ⋅⋅−⋅⋅== A

xy xz xt dA zdA y M M τ τ

42

Deformacije



8

43

1. Duljinska (normalna) deformacija ε

2. Kutna (posmina) deformacija γ

3. Obujamska deformacija Θ

44

Tenzor deformacija – tenzor drugog reda

=

=

z zy zx

yz y yx

xz xy x

z zy zx

yz y yx

xz xy x

ij

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

32 = 9 podataka+mjerna jedinica

45

Simetrinost tenzora deformacija

• 6 podataka

xy yx xy γ ε ε 2

1==

=

z zy zx

yz y yx

xz xy x

ij

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

ε

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

46

1. Duljinska deformacija ε

l

l

l

∆=

→0limε

47

x A B

AB AB

AB B Aε ε =

−=

→

11lim

y AC

AC AC

AC C Alim ε=

−=ε

→

11

48

• Kutna

deformacija

xy

AC A B

BAC C γ π

γ =

∠−=

→→

111AB2

lim



9

49

2. Kutna deformacija γ

ili posmina deformacija

50

Predznaci deformacija

51

Ravinsko stanje deformacija

εz= εzx = εzy = 0

52

Glavne deformacije (γ = 0)

ε1 = ?

ε2= ?

ϕ0 = 0

53 54



10

55

Mohrova kružnica deformacija

56

57

Glavne deformacije22

2,12

1

22

+

−±

+=

xy

y x y xγ

ε ε ε ε ε

y x

xy

y

xy

tgε ε

γ

ε ε

γ

ϕ −

=−

⋅=

2

2

1

2x

0

y x

xytg

ε ε ϕ

−=02

58

59

3. Obujamska deformacijarelativna promjena elementarnog obujma Θ

60

3. Obujamska deformacijarelativna promjena elementarnog obujma Θ

a

a

a x

∆=

→0limε

b

b

b y

∆=

→0limε

c

c

c z

∆=

→0limε



11

61

3. Obujamska deformacija

V

V

V

∆=Θ

→0lim

c

c

b

b

a

asr

∆+

∆+

∆≈Θ

z y xV V

V ε ε ε ++≈

∆=Θ

→0lim

Θ

62

3. Obujamska deformacija

.321 konst z y x =++=++=Θ ε ε ε ε ε ε

Documents

Print 11 Naprezanja i Deformacije G