PREGLED FORMULA IZ FIZIKE

KINEMATIKA ČESTICE Gibanje po pravcu

rr

vst

=dd

, rr

as

t=

dd

2

2 , s v t tt

t

= ∫ ( )d1

2

, v a tt

t

= ∫ d1

2

Jednoliko gibanje r r rs v t s= ⋅ + 0

Jednoliko ubrzano gibanje r r r rs a t v t s= ⋅ + ⋅ +

12

20 0 v2 = 2a·s + v0

2 r r rv v a t= + ⋅0

Gibanje po kružnici

ωϕ

=dd t

αϕ

=dd

2

2t

r r rv r= ×ω r r ra vr = ×ω r r ra rt = ×α

Jednoliko gibanje ϕ = ωt + ϕ0 Jednoliko ubrzano gibanje

ϕ = 12α·t2 + ω0·t + ϕo ω2 = 2α·ϕ + ω 0

2

ω = α·t + ω0 Kosi hitac vx = v0x = v0 cosα vy = v0y – gt = v0 sinα – gt

x = v0t cosα y = v0t sinα – 12

gt2

y xgx

v= −tan

cosα

α

2

02 22

tv

gH = 0 sinα ,

Hv

g= 0

2 2

2sin α X

vg

= 02 2sin α

DINAMIKA ČESTICE Newtonovi zakoni r rp m v= ⋅

r r r

Fm v

tpt

=⋅

=d( )

ddd

r rF ma= (m = konst.)

r rG m g= ⋅

FTR = µ·N, r r r rI F t p p

t

t

= = −∫ d1

2

2 1

Centar mase

r

r

rm r

m

i ii

n

ii

nCM = =

=

∑

∑1

1

rr

rr m

mCM = ∫d

Centripetalna sila r rF m rCP = − ω2 ,

rF m r m

vrCP = =ω 22

RAD I ENERGIJA. SUDARI

W F s= ⋅∫r rd P

Wt

= PWt

F v= = ⋅dd

r r

Emv

k =2

2 Ep = mgh E ksp =

12

2 η =WW

D

U

Elastični sraz m v m v m v m v1 1 2 2 1 1 2 2r r r r+ = ′ + ′

m v m v m v m v1 12

2 22

1 12

2 22

2 2 2 2+ =

′+

′

rr r

′ =− +

+v

m m v m vm m1

1 2 1 2 2

1 2

2( )

rr r

′ =− +

+v

m m v m vm m2

2 1 2 1 1

1 2

2( )

Neelastični sraz

m v m v m m v1 1 2 2 1 2r r r+ = + ′( ) r

r r

′ =++

vm v m v

m m2 2 1 1

1 2

r r r rv v v v1 2 1 2− = − ′− ′( ) qm mm m

v v= −⋅+

−12

1 2

1 21 2

2( )r r

Koeficijent restitucije: kv vv v

=′− ′−

r r

r r1 2

2 1

ROTACIJA KRUTOG TIJELA r r r

M r F= × I r m= ∫ 2 d I = ICM + m·d2 r r r r rL r p r mv= × = ×

rr

MLt

=dd

Vrtnja oko glavnih osi inercije r rL I= ⋅ω

r rM I= ⋅α (I = konst.)

Snaga i energija kod vrtnje

W M= ∫ dϕϕ

0

W = M·ϕ (M = konst.)

P = Mω E Ik = ⋅12

2ω

E m v Ik CM CM= ⋅ + ⋅12

12

2 2ω

Tijelo I Položaj osi tanki prsten m·r2 ⊥ na ravninu

prstena okrugla ploča (m·r2)/2 ⊥ na ravninu

ploče puni valjak (m·r2)/2 uzdužna os

valjka tanki šuplji valjak

m·r2 uzdužna os valjka

šuplji valjak m r r⋅ +( )12

22 2 uzdužna os

valjka kugla (2m·r2)/5 kroz središte

kugle tanka šuplja kugla

(2m·r2)/3 kroz središte kugle

tanki štap duljine l

(m·l2)/12 ⊥ na središte štapa

INERCIJSKI I NEINERCIJSKI SUSTAVI Galilejeve transformacije x = x’ + vt y = y’ z = z’ t = t’ v v vx= ′ + 0 v vy y= ′ v vz z= ′ a = a’

m a F F⋅ ′ = +r r ri

r rF m ai = − ⋅ 0 r rF m rCF = ⋅ ⋅ ′ω 2

r r rF m vCOR = ⋅ ⋅ ′ ×2 ω

GRAVITACIJA r rF G

m mr

r= − ⋅⋅1 22 0 r rγ = − ⋅G

mr

r2 0

E Gm m

r= − ⋅

⋅1 2 ϕ = − ⋅Gmr

RELATIVISTIČKA MEHANIKA Lorentzove transformacije

′ =−−

xx vt1 2β

y = y’ z = z’ ′ =− ⋅

−t

tvc

x2

21 β

l l= −021 β ∆

∆t

t=

−0

21 β β =

vc

Slaganje brzina

′ =−

− ⋅u

u vvc

ux

x

x1 2

′ =−

− ⋅u

uvc

uy

y

x

1

1

2

2

β

′ =−

− ⋅u

uvc

uz

z

x

1

1

2

2

β

Energija

pmv

=−1 2β

Emc

=−

2

21 β

E E mc mck = − =−

−

2 22

11

1β

r rvcE

p=2

E c p m c= +2 2 2 pc E mc E= +k k2 22

STATIKA FLUIDA

pFS

=dd

p = p0 + ρgh Fu = ρtgV

Barometarska formula

p p pgh

=−

0

0

0eρ

, T = konst., p0 = 101325 Pa, ρ0 = 1,225 kg/m3

∆∆

Th

= −6 5, K

km p p

h= −

⋅

0

5 255

10 0065

288, ,m

Površinska napetost: σ =∆∆WS

DINAMIKA FLUIDA

Q = Sv =konst. p ghv

+ +⋅

=ρρ 2

2konst.

F SvzTR = ⋅ ⋅η

dd

Re =⋅ ⋅ρηv l

Poiseuilleov zakon:

( )vp p

lR r=

−−1 2 2 2

4η Q

p pl

R=−π

η81 2 4

F lvTR = 8πη Stokesov zakon: FTR = 6πηRv

Turbulentno strujanje: F C S vOT =12 0

2ρ

TOPLINA I TEMPERATURA Rastezanje čvrstog tijela

lt = l0·(1 + α·∆T) α =−⋅

= ⋅l ll t l

lT

t 0

0 0

1 ∆∆

Vt = V0·(1 + γ·∆T) γ α=−⋅

= ⋅ =V VV t V

VT

0

0 0

13

∆∆

Jednadžba stanja idealnog plina

pV nRTmM

RT= =

pV = konst. T = konst.

V VTT

= 00

p = konst.

p pTT

= 00

V = konst.

Prijenos topline Q = mc∆T

QTx

St= −λ∆∆

RT

=∆Φ

RxS

=∆λ

q = hc(Tp – Tf)

TERMODINAMIKA Prvi zakon termodinamike

ð d ðQ U W= + U ni

RT=2

Molarni toplinski kapaciteti

Cn

QT V

Vkonst

=

=

1 dd .

Cn

QT p

pkonst

=

=

1 dd .

Cp – CV = R κ =CC

p

V

Specifični toplinski kapaciteti

cCMp

p= cCMV

V=

Rad plina: W p VV

V

= ∫ d1

2

Poissonove jednadžbe (đQ = 0)

pp

VV

1

2

2

1=

κ

, TT

VV

1

2

2

1

1

=

−κ

, TT

pp

1

2

1

2

1

=

−κκ

Rad plina pri adijabatskoj promjeni

( )WnR

T TnRT T

TpV T

T=

−− =

−−

=

−−

κ κ κ1 11

111 2

1 2

1

2

1

T = konst.: W nRTVV

nRTpp

= =ln ln2

1

2

1

Toplinski stroj

W Q Q Q Q QTT

= + = − = −

1 2 1 2 1

2

11

η = =−W

QQ Q

Q1

1 2

1

ε =QW

2 ,

Entropija

S SQT2 1

1

2

− = ∫ð

KINETIČKO-MOLEKULARNA TEORIJA TOPLINE

pNV

mv v= = ⋅13

13

2 2ρ ef

v vpVm

RTMef = = =2 3 3 pV = NkT

E kTk =32

Ui

NkTi

nRT= =2 2

Maxwellova raspodjela

NNv

N mkT

vmv

kTv = =

−

dd

exp4

2 2

32

22

π

vkTm

RTMmax = =

2 2 vkTm

RTm

=⋅

=⋅

8 8π π

Maxwell-Boltzmannova raspodjela

NNE

Nk T

EEkTE = =

⋅−

dd

exp2

3 3π

EkT

max =2

E kT=32

Molarni toplinski kapaciteti

Ci

RV =2

Ci

Rp =+ 22

Van der Waalsova jednadžba

( )p na

VV nb nRT+

− =2

2

aR T

p=

2764

2 2c

c

bRT

p= c

c8

Frekvencija sudara molekule u plinu: z nd v=43

2

TITRANJE Elastičnost FS

Ex

x=

∆ M = Dϑ Drl

G=π2

4

Harmonički oscilator

ms

tks

dd

2

2 0+ = s = A sin(ω·t + ϕo)

Tmk

= 2π E kA=12

2

Matematičko njihalo dd

2

2ϑ

ϑt

gl

= − Tlg

= 2π

Fizičko njihalo

It

mgLdd

2

2 0ϑ

ϑ+ = , TI

mgL= 2π , l

ImLr =

Prigušeno titranje dd

dd

2

2 022 0

st

st

s+ + =δ ω

s(t) = A·e–δ·t sin(ω·t + ϕ), ω ω δ= −02 2 , λ δ= ⋅T

Prisilno titranje dd

dd

sin2

2 02

02s

tst

s A t+ + =δ ω ω , AFm0 =

s(t) = A(ω) sin(ω·t + ϕ),

( )A

A( )ω

ω ω δ ω=

− +

0

02 2 2 2 24

, tanϕδω

ω ω=

−2

02 2 ,

ω ω δr = −02 22

Udari

ωω ω

=+1 2

2 f =

−ω ωπ

1 2

2

MEHANIČKI VALOVI

v = λ·f, ∂∂

µ ∂∂

22

2 2 0s

x Fs

t− =

s = A sin(ω·t – k·x), k =2πλ

, PA

k F=2

2ω

Transverzalni stojni valovi na užetu

vF

=µ

, sn = 2A sin(knx)cos(ωnx), λ n

ln

=2

Rub: čvrst-čvrst: λn = 2L/n

čvrst-slobodan: λ n

Ln

=−

42 1

slobodan-slobodan: λn = 2L/n, n = 1, 2, 3,… Longitudinalni valovi

u čvrstom tijelu: vE

=ρ

u tekućini: vK

=1ρ

u plinovima: vp RT

M=

⋅=

κρ

κ

Zvuk

( )LII

PP

= ⋅ = ⋅10 200 0

log log max

max

∆∆

, I0 = 10–12 Wm–2

f fv r vv r vp i

p

i=

− ⋅− ⋅

r r

r r0

0

ELEKTRICITET I MAGNETIZAM Coulombov zakon

1. Sila između dva točkasta naboja: r rF k

q qr

r21 2

212 21= ,

gdje je k =1

4 0πε ≈ 9·109 Nm2C–2, rr21 jedinični

vektor usmjeren od naboja 1 k naboju 2, a rF2 sila

koja djeluje na naboj 2. q1 i q2 su količine jednog odnosno drugog električnog naboja. To su skalarne veličine koje sadrže broj, uključivši predznak, i jedinicu naboja. 2. Ukupna sila n točkastih naboja koji djeluju na naboj qn, kojem poznajemo položaj, odnosno njegove koordinate x, y i z:

( )rr r

r rF kqqr

r kqq

r rr ri

ii

n

ii

ii

i

n

0 002

10 0

03 0

1= =

−−

= =∑ ∑$ , gdje je

rr i0 vektor od i–tog naboja sustava do točke (x, y, z), a $r i0 pripadni jedinični vektor. ( r rr r ri i i0 0 0

2⋅ = ).

Jakost električnog polja r

r

EFQ

=

Jakost električnog polja na udaljenosti r od naboja Q: r rE

Qr

r=1

4 2 0πε. Izraz vrijedi i za polje nabijene kugle

polumjera R, u području r ≥ R. Konstanta proporcionalnosti (dielektrična konstanta) jednaka je ε = ε0·εr, , gdje je εr relativna dielektrična konstanta. Električno polje sustava naboja: rE

qr

i

ii

n

i==∑ 1

4 02

10πε$r , gdje je rr i0 vektor od i–tog naboja

sustava do točke (x, y, z), a $r0i pripadni jedinični vektor. Polje vrlo dugog ravnog vodiča: r rE

rr=

λπε2 0

, λ – linijska gustoća naboja; rr0 –

jedinični vektor Polje ravnomjerno nabijene beskonačne ravnine: r rE x=

σε2 0 ; σ – plošna gustoća naboja na ravnini,

rx0 – jedinični vektor okomit na ravninu. Izraz vrijedi i za slučaj ravnomjerno raspoređenog naboja po zamišljenoj ravnini, koji stvara električno polje s obiju svojih strana.

Polje ravnomjerno nabijene beskonačne metalne ploče: r rE x=

σε 0 ; σ – plošna gustoća naboja na jednoj

strani ploče, rx0 – jedinični vektor okomit na nabijenu ploču i okrenut prema dielektriku. Izraz vrijedi i za polje u neposrednoj blizini metalne elektrode proizvoljnog oblika, ali tada za σ, koji se sada mijenja po elektrodi treba uzeti vrijednost koju on ima na mjestu elektrode tik uz promatranu točku u dielektriku. Polje između dviju ravnomjerno i suprotno nabijenih paralelnih ravnina: r rE x=

σε 0 .

Proporcionalnost između vektora električnog pomaka i jakosti električnog polja:

r rD E= ⋅ε .

Električni dipolni moment: rr

p d Q= ⋅ Moment para sila na dipol u homogenom električnom polju:

r r rM p E= ×

Potencijalna energija dipola: U p E= − ⋅rr

Gaussov zakon r rD S q

Si

i S

⋅ =

∫∫ ∑d , odnosno tok vektora

električnog pomaka rD kroz bilo koju zatvorenu

plohu, tj integral r rD S∫∫ ⋅d po toj plohi, jednak je

ukupnom električnom naboju obuhvaćenom tom plohom. Električni potencijal

Definicija: ( )V PE P

qE s V P

P

P

( )( )

d= = − ⋅ +∫p r r

0

0; gdje

je P0 referentna točka, a P točka za koju računamo potencijal. Razlika potencijala između dvije točke P1 i P2:

( ) ( )V P V P E sP

P

2 11

2

− = − ⋅∫r rd

Potencijal točkastog naboja: Vqr

=1

4 0πε

Električno polje je gradijent potencijala: r r r rE V

Vx

iVy

jVz

k= − = − + +

grad

∂∂

∂∂

∂∂

, ( , , )r r ri j k –

jedinični vektori Potencijal izolirane metalne kugle radiusa R:

VQR

=1

4 0πε

Potencijalna energija sustava naboja:

E E VPcijeli prostor

= ∫ε0 2

2d

Gustoća energije u električnom polju: u E=12 0

2ε

Kapacitet vodiča: C = Q/∆V

Kapacitet pločastog kondenzatora: CSdr= ε ε0

Kapacitet cilindričnog kondenzatora:

Cl

r r=

2 0

2 1

πεln( / )

; l – duljina cilindra, r – radius

cilindra, r2 > r1 Kapacitet kuglastog kondenzatora:

Cr r

r r=

−4 0

1 2

2πε ; r – radius kugle, r2 > r1

Paralelan spoj: C = C1 + C2 + C3 + … Serijski spoj: 1/C = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + … Električno polje u dielektriku između paralelnih

ploča: r rE E

r=

10ε

Energija kondenzatora: WC U Q

CQ U

=⋅

= =⋅2 2

2 2 2

Gustoća energije u dielektriku: w Er=12 0

2ε ε

Električna struja i Ohmov zakon:

Ohmov zakon: IUR

=

Pad napona: U = RI

Električna struja: Iqt

=dd

Gustoća struje: jIS

=

Serijski spoj otpora: R = R1 + R2 + R3 + … Paralelni spoj otpora: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + …

Električni otpor: RlS

= ρ

Ovisnost otpora o temperaturi: R2 = R1 (1 + α∆T)

Veza između vodljivosti i otpornosti: σρ

= =1 1

;GR

Električno polje u homogenoj žici: E = U/l Napon na stezaljkama izvora: U = E – RuI Snaga električne struje: P = UI Snaga na omskom vodiču: P = I2R Kirchhoffova pravila: I. Zbroj jakosti struja koje ulaze u čvor jednak je

zbroju jakosti struja koje izlaze iz čvora. II. U svakoj zatvorenoj petlji zbroj svih

elektromotornih sila jednak je zbroju svih padova napona na otpornicima: E R Ii

ii

ii∑ ∑=

Istosmjerna struja

RC strujni krug s baterijom: IER

t RC= −e

Izbijanje kondenzatora preko otpornika R:

IdQdt

ER

t RC= = − −e

Vremenska konstanta RC kruga: T = R·C Izmjenične struje Efektivna vrijednost periodički promjenjive veličine, npr. struje i(t), definirana je kao

IT

i t tT

ef = ⋅∫1 2

0

( ) d

Efektivna vrijednost sinusoidalnog napona i struje:

UU

ef = max

2; I

Ief = max

2

Induktivni otpor: RL = ωL

Kapacitivni otpor: RCC =1

ω

Impedancija: ( )Z R R RL C= + −2 2

Admitancija: Y GL

C= + −

221

ωω

Ohmov zakon za izmjeničnu struju: IUZ

U Y= = ⋅

Radna snaga izmjenične struje: P = UI cos ϕ Jalova snaga: Q = UI sin ϕ Prividna snaga: S P Q= +2 2

Faktor snage: cosϕ =RZ

Rezonantna frekvencija: fLC

=1

2π

Transformatorski omjer: U1 : U2 = I2 : I1 = N1 : N2 Trofazni sustav

Trofazni napon: ( )( )

U U t

U U t

U U t

R R

S S

T T

=

= +

= +

max

max

max

sin

sin

sin

ω

ω π

ω π

2 3

4 3

Trofazna struja: ( )( )

I I t

I I t

I I t

R R

S S

T T

=

= +

= +

max

max

max

sin

sin

sin

ω

ω π

ω π

2 3

4 3

Simetrični trofazni sustav u spoju zvijezda Linijski napon (napon između dvije faze, npr. R i S):

( )U U tRS R= ⋅ −3 6max sin ω π Odnos faznih i linijskih napona: U U U URS RT ST= = = ⋅3 , gdje je U = UOR = UOS = UOT fazni napon. Za trokutni spoj vrijedi: URS = URT = UST = U Snaga trofaznih sustava jednaka je zbroju snaga pojedinih faza, a u slučaju simetričnog sustava vrijedi P = 3·U·I, gdje su s U i I označeni fazni napon i fazna struja.

MAGNETIZAM Magnetsko polje Magnetska sila između dva naboja koji se gibaju:

( )r r r rF

q qr

v v r=⋅ ′

× ′ ×µπ0

24

Magnetsko polje točkastog naboja:

( )r r rB

qr

v r=′

′ ×µπ0

24

Gaussov zakon za magnetizam: r rB S⋅ =∫ d 0

Biot-Savartov zakon: ddrr r

HI l r

r=

×14 2π

Jakost magnetskog polja na osi prstena

postavljenog u x–y ravnini: ( )H

b Ib zz =

+

2

2 2 3 22

,

gdje je b polumjer prstena. Jakost polja u središtu prstena dobije se uvrštavajući z=0 u gornju jednadžbu. Jakost magnetskog polja cilindrične zavojnice -

solenoida: ( )HI n

z =⋅

−2 1 2cos cosθ θ , gdje je n broj

zavoja po jedinici duljine duž zavojnice. Jakost magnetskog polja na udaljenosti a od ravnog

vodiča: HI

a=

⋅2π

Sile po jedinici duljine između dvaju paralelnih vodiča kroz koje teku struje I1 i I2 udaljenih za a:

FI Ia

=

µπ0 1 2

42

Ampereov zakon: r rH l I⋅ =∫ ∑d

Kružna putanja u magnetskom polju: rp

qB=

Ciklotronska frekvencija: fqB

m=

2π

Lorentzova sila: r r r rF qE qv B= + ×

Sila na segment vodiča: d dr r rF I l B= ×

Veza između jakosti magnetskog polja i magnetske

indukcije: HB

=µ

, gdje je ( )µ µ χ= +0 1 m

magnetska permeabilnost. Elektromagnetska indukcija Inducirana EMS u vodljivom štapu duljine l koji se giba u magnetskom polju B brzinom v okomitom i na B i na l: Uind = vBl

Faradayev zakon: Uind = brzina promjene magnetskog toka,

Ut

Bind = −

ddΦ , integralni oblik

r rE st

B⋅ = −∫ dd

dΦ

zatvoreni put

Magnetski tok: ΦB B S= ⋅∫r r

d

Međuvodička indukcija: U MIt21 211= −

dd

Samoindukcija: U LIts = −

dd

Samoinduktivitet zavojnice po jedinici duljine: µ0n2π·b2, gdje je n broj zavoja po jedinici duljine, a b radius solenoida. Samoinduktivitet toroidalne zavojnice:

L N hba

=

µπ0 2

2ln

Samoinduktivitet ravnog vodiča: ( )( )L l l r= ⋅ −2 2 0 75µ ln , ; r – radius vodiča, l –

duljina vodiča, l » r Samoinduktivitet koaksijalnog kabela:

( )( )L l r r= ⋅ −2 0 25µ ln ,v u ; rv – vanjski radius, ru – unutarnji radius, l – duljina kabela Magnetska energija u zavojnici: W LIL = 1

22

Gustoća magnetske energije: w BB =1

2 0

2

µ

Istosmjerni RL strujni krug

Uključivanje: IER

RL

t= −

−1 e

Isključivanje: IER

RL

t=

−e

Vremenska konstanta RL kruga: T = L/R

MAXWELLOVE JEDNADŽBE r rD S V

VS

d d= ∫∫∫∫∫ ρ

r rB S

S

d =∫∫ 0

r r r rE s

tB S

K S

d d∫ ∫∫= −∂∂

r r r r r rH s J S

tD S

K S S

d d∫ ∫∫ ∫∫= +∂∂

d

divrD = ρ

divrB = 0

rotr

r

EBt

= −∂∂

rotr r

r

H JDt

= +∂∂

w Eel = ⋅12

2ε , w Hm = ⋅12

2µ

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI Valna jednadžba za električno polje

rE :

∆r

r

Ec

Et

− =1

02

2

2∂∂

( )∆r rE E= ∇∇ je Laplaceov operaror primijenjen na

vektor rE :

∆ ∆ ∆ ∆r r r r

r

r

r

E E i E j E k

Ex

Ey

Ez

i

Ex

Ey

Ez

j

Ex

Ey

Ez

k

x y z

x x x

y y y

z z z

= + +

= + +

+

+ + +

+

+ + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 .

v =1εµ

, c =1

0 0ε µ

( )r r r rE E t k r= ⋅ − ⋅0 sin ω , ( )r r r rB B t k r= ⋅ − ⋅0 sin ω ,

E vB0 0= , ( )r r rE B u= ×1εµ

, EH r

0

0

377=

Ωε

Ukupna gustoća energije: w E B= ⋅ +12

12

2 2εµ

Poytingov vektor: r r rS E H= ×

GEOMETRIJSKA OPTIKA Zakon loma sinsin

ul

nn

= 2

1

, ncv

= , sinunng = 2

1

Sferno zrcalo 1 1 2 1a b r f+ = = , m

ba

= −

Planparalelna ploča

∆ = −−

d u

un u

sincos

sin1

2 2

Prizma

δ = u1 – l1 + u2 – l2, A = l1 + l2, n

A

A=

+

sin

sin

minδ2

2

Sferni dioptar i tanka leća na

nb

n nr

1 2 2 1+ =−

, mnn

ba

= − ⋅1

2

,

1 1 1 1 12 1

1 1 2a bn n

n r r fJ+ =

−⋅ −

= =

FIZIKALNA OPTIKA Interferencija Uvjet za konstruktivnu interferenciju: optička razlika puta = mλ, m = 1, 2, 3,… Uvjet za destruktivnu interferenciju:

optička razlika puta = ( )2 12

m−λ , m = 1, 2, 3,…

Youngov pokus: ayd

m= λ

Tanka ploča: ( )2 2 12

2 2d n u m− = +sinλ

Newtonovi kolobari

drR

=2

2

dm

s =−2 1

4λ , m = 1, 2, 3,…, d

mt = 2

λ ,

m = 1, 2, 3,… Difrakcija Jedna pukotina

I Iy

y( )

sinα = 0

2

2 , yd

=πλ

αsin

uvjet za minimum: d sinα = nλ, n = ±1, ±2, ±3,… Dvije pukotine

I I

d

d

D

DD ( )sin sin

sin

sin sin

sin sinα

πλ

α

πλ

α

πλ

α

πλ

α=

0

2 22

Optička rešetka

I I

b

b

N d

d( )sin sin

sin

sin sin

sin sinα

πλ

α

πλ

α

πλ

α

πλ

α=

0

2 2

uvjet za maksimum: d sinα = mλ, m = 0, ±1, ±2,…

moć razlučivanja i disperzija spektra: ∆λλ

=1

mN,

dd cosαλ α

=m

d

Polarizacija Brewsterov zakon: tan uB = (n2/n1) Malusov zakon: I = I0 cos2ϕ

FOTOMETRIJA

dΦ = I dω, ES

Ir

= =dd

cosΦ

2 β

KVANTNA PRIRODA SVJETLOSTI Stefan-Boltzmannov zakon

( )I f T=∞

∫ λ λ, d0

, I = σT4

Wienov zakon: λmT = 2,898·10–3 mK Planckov zakon zračenja

( )f ,exp

λπλ

λ

Thc

hckT

= ⋅

−

2 1

1

2

5

( )f ,exp

f Th

cfh fkT

= ⋅

−

2

12

3π

Fotoelektrični efekt

E = h·f, mvhf Wi

2

2≤ −

Comptonov efekt hf + mc2 = hf’ + γmc2,

( )γ ϑ 2

mvh fc

h fc

h f fc

22 2

22

=

+

′

−

′cos

( )γ = −−

1 2 212v c

∆λ =2

22h

mcsin

ϑ , hmc

= ⋅2,42 10 m-12

STRUKTURA ATOMA Bohrov model 1 1 1

2 2λ= −

R

k n, r

hmZe

nn =ε

π0

2

22

za n = 1, 2, 3,…

EZ me

h nn = − ⋅2 4

202 28

1ε

, hν = En – Ek

Mosleyev zakon K–serija a ≈ 1

( )f cRn

Z a= −

−1

12

2

L–serija a ≈ 7,4

( )f cRn

Z a= −

−

12

12 2

2

Braggov zakon 2d sin ϑ = nλ, n = 1, 2, 3,…

De Broglieve relacije

γmc2 = hf, p mvh

= =γλ

ATOMSKA JEZGRA Defekt mase ∆m = Zmp + Nmn – mA Energija vezanja Eb = [Zmp + (A – Z)mn – mA]·c2 Eb = [ZmH + (A – Z)mn – mX]·c2

Zakon radioaktivnog raspada

ANt

N= − =dd

λ , N = N0 exp(–λt), λ =ln2

1 2T, τ

λ=

1

Nuklearne reakcije, a +X →→→→ Y + b

Q = (mX + ma)·c2 – (mY + mb)·c2, σ =∆∆N

nN x

Rutherfordov udarni presjek

( )( )σ ϑ

σ

πε ϑ= = ⋅dd sinΩ

Z e

m v

2 4

02 2 4 44

1

2

TABLICA ELEMENATA

Z X A Z X A Z X A Z X A Z X A 1. H 1,00794 21. Sc 44,956 41. Nb 92,906 61. Pm (145) 81. Tl 204,383 2. He 4,00206 22. Ti 47,88 42. Mo 95,94 62. Sm 150,36 82. Pb 207,2 3. Li 6,941 23. V 50,942 43. Tc (97) 63. Eu 151,965 83. Bi 208,98 4. Be 9,012 24. Cr 51,996 44. Ru 101,07 64. Gd 157,25 84. Po (209) 5. B 10,811 25. Mn 54,938 45. Rh 102,906 65. Tb 158,925 85. At (210) 6. C 12,011 26. Fe 55,847 46. Pd 106,42 66. Dy 162,50 86. Rn (222) 7. N 14,0067 27. Co 58,933 47. Ag 107,9 67. Ho 164,930 87. Fr (223) 8. O 15,9994 28. Ni 58,69 48. Cd 112,411 68. Er 167,26 88. Ra 226,025 9. F 18,998 29. Cu 63,546 49. In 114,82 69. Tm 168,934 89. Ac 227,028

10. Ne 20,179 30. Zn 65,39 50. Sn 117,71 70. Yb 173,04 90. Th 232,038 11. Na 22,989 31. Ga 69,723 51. Sb 121,75 71. Lu 174,967 91. Pa 231,035 12. Mg 24,305 32. Ge 72,61 52. Te 127,60 72. Hf 178,49 92. U 238,029 13. Al 26,98 33. As 74,92 53. I 126,904 73. Ta 180,948 93. Np 237,048 14. Si 28,086 34. Se 78,96 54. Xe 131,29 74. W 183,84 94. Pu (244) 15. P 30,974 35. Br 79,904 55. Cs 132,905 75. Re 186,207 95. Am (243) 16. S 32,06 36. Kr 83,80 56. Ba 137,327 76. Os 190,23 96. Cm (247) 17. Cl 35,453 37. Rb 85,468 57. La 138,906 77. Ir 192,22 97. Bq (247) 18. Ar 39,95 38. Sr 87,62 58. Ce 140,115 78. Pt 195,08 98. Cf (251) 19. K 39,098 39. Y 88,906 59. Pr 140,908 79. Au 196,967 99. Es (252) 20. Ca 40,078 40. Zr 91,224 60. Nd 144,24 80. Hg 200,59 100. Fm (257)

Z – redni broj X – simbol kemijskog elementa A – atomska masa

VAŽNIJE FIZIKALNE KONSTANTE brzina svjetlosti u vakuumu .......................................... c = 2,997925·108 m/s elementarni električni naboj.......................................... e = 1,602·10–19 C dielektrična konstanta vakuuma.................................... ε0 = 8,854·10–12 F/m permeabilnost vakuuma ................................................ µ0 = 4π·10–7 H/m gravitacijska konstanta.................................................. G = 6,672·10–11 Nm2kg–2 Planckova konstanta...................................................... h = 6,626076·10–34 Js reducirana Planckova konstanta.................................... h = 1,054573·10–34 Js Boltzmannova konstanta............................................... k = 1,38066·10–23 J/k plinska konstanta........................................................... R = 8,314 Jmol–1K–1

Avogadrova konstanta................................................... NA = 6,022·1023 mol–1 normirani molarni volumen plina ................................. Vmo = 22,4·10–3 m3mol–1 Loschmidtov broj .......................................................... nL = 2,687·1025 m–3 Stefan-Boltzmannova konstanta ................................... σ = 5,67·10–8 Wm–2K–4 Rydbergova konstanta................................................... R∞ = 1,0974·107 m–1 masa mirovanja elektrona ............................................. me = 9,11·10–31 kg masa mirovanja protona................................................ mp = 1,6726·10–27 kg masa mirovanja neutrona .............................................. mn = 1,675·10–27 kg atomska masena konstanta............................................ mu = 1,66·10–27 kg energijski ekvivalent atomske masene konstante.......... ∆Eu = 931,478 MeV akceleracija slobodnog pada ......................................... g = 9,80665 ms–2 Faradayeva konstanta .................................................... F = 96485,31 C/mol Comptonova valna duljina ............................................ λC = 2,4263·10–12 m Bohrov radius................................................................ r0 = 0,529177·10–10 m konstanta fine strukture................................................. α = 7,297353·10–3 srednji polumjer Zemlje................................................ 6,37·106 m masa Zemlje .................................................................. 5,96·1024 kg polumjer Sunca ............................................................. 6,95·108 m masa Sunca.................................................................... 1,98·1030 kg polumjer Mjeseca.......................................................... 1,74·106 m masa Mjeseca ................................................................ 7,33·1022 kg srednja udaljenost središta Zemlje i Sunca ................... 1,49·1011 m srednja udaljenost središta Zemlje i Mjeseca................ 3,84·108 m ophodno vrijeme Zemlje oko Sunca ............................. 265,25 dana ophodno vrijeme Mjeseca oko Zemlje.......................... 27,32 dana = 2,36·106 s kutna brzina vrtnje Zemlje oko svoje osi ...................... 7,272·10–5 rads–1

1

PREGLED FORMULA IZ MEHANIKE

KINEMATIKA

1. OSNOVNI POJMOVI KINEMATIKE. GIBANJE PO PRAVCU

a) Vektor položaja

r = x i + y j + z k

b) Brzina

kjirkjirv zyxtz

ty

tx

t++==++==

dd

dd

dd

dd

c) Akceleracija

kjirkjira zyxt

zt

ytx

t++==++== 2

2

2

2

2

2

2

2

dd

dd

dd

dd

d) Prijeđeni put

tzyxtst

t

t

t∫∫ ++==2

1

2

1

dd|| 222v

e) Pravocrtno gibanje

ttxtvs

tx

tva

txv

t

t

t

t∫∫ ==

==

=

2

1

2

1

dddd||

dd

dddd

2

2

f) Jednoliko pravocrtno gibanje: v = konst.

00

=+=

avtss

s0 - prijeđeni put do trenutka t = 0

g) Jednoliko ubrzano (usporeno) gibanje po pravcu: a = konst.

asvv

attvss

atvv

22

20

2

2

00

0

+=

++=

+=

v0 - brzina u trenutku t = 0

x

y

z

i j

k r

v

putanjačestice

O

2. GIBANJE PO KRUŽNICI

a) Gibanje u ravnini - polarne koordinate

x = r cosθy = r sinθ

b) Kružno gibanje: r = R = konst.

c) Kutna brzina

tddθω =

d) Kutna akceleracija

2

2

dd

dd

ttθωα ==

e) Tangencijalna brzina

vT = ωR

f) Radijalna (centripetalna) akceleracija

TR

R vRRv

a ωω === 22

g) Tangencijalna akceleracija

Rt

va TT α==

dd

h) Ukupna akceleracija22TR aaa +=

i) Jednoliko gibanje po kružnici: ω = ko

.

.

.2

0

konst

konstRva

konstRvt

TR

T

=

==

==+=

α

ωωθθ

j) Jednoliko ubrzano (usporeno) kružen

0,,2

220

2

2

00

0

≠+=

++=

+=

aaa

tt

t

RT

αθωω

αωθθ

αωω

ω0 - k

x

y

z

putanjačesticeO

rθ

2

nst.

je: α = konst.

utna brzina u trenutku t = 0

x

y

O

R

vT , aT

aR

θ

3

θ0 - prijeđeni kut do trenutka t = 0 3. GIBANJE U GRAVITACIJSKOM POLJU ZEMLJE

a) KOSI HITAC- jednadžbe putanje

20

20

00

2sin

2)(

cos)(

tgtvtgtvty

tvtvtx

y

x

−⋅=−=

⋅==

β

β

- putanja je oblika parabole

222

0 cos2)( x

vgxtgty

ββ −⋅=

- brzine

gtvtyv

konstvtxv

y

x

−==

===

β

β

sindd

.cosdd

0

0

- domet

gv

xDβ2sin2

0=

- maksimalna visina

gv

y2sin22

0max

β=

b) HORIZONTALNI HITAC: β = 0- jednadžbe putanje

2

0

2)(

)(

tgty

tvtx

−=

⋅=

- putanja je oblika parabole2

02)( x

vgxy −=

c) Vertikalni hitac prema gore: β = π /22

0 2)( tgtvty −=

d) Vertikalni hitac prema dolje: β = −π /22

0 2)( tgtvty −−=

x

y

v0

βv0x

v0y

g

x

y

v0

g

x

y

v0

g

x

y

v0

g

4

PREGLED FORMULA IZ MEHANIKE

DINAMIKA

2. NEWTONOVI ZAKONI

b) Prvi Newtonov zakon - definicija inercijalnog koordinatnog sustava: inercijalankoordinatni sustav je onaj sustav u kojem čestica (centar mase tijela) miruje ili se gibajednoliko pravocrtno ako je rezultantna sila F koja djeluje na česticu jednaka nuli.

F = 0 ⇒ a = 0, v = konst.

c) Drugi Newtonov zakon (vrijedi u inercijalnim koordinatnim sustavima)

F = maF - ukupna sila na česticum - masa čestice

d) Treći Newtonov zakon: ako na česticu 1 djeluje čestica 2 silom F21 , tada čestica 1 djelujena česticu 2 silom F12 pri čemu je

F21 = −F12

d) Težina (ovaj izraz vrijedi za tijela blizu površine Zemlje)

FG = mg g - ubrzanje u Zemljinom gravitacijskom polju g = 9,81 m/s2

e) Trenje

Ftr = µNµ - faktor trenjaN - sila kojom podloga djeluje na tijelo

f) Harmonička sila

FH = −kx k - koeficijent elastičnosti x - udaljenost od ishodišta

g) Sila linearnog otpora i kvadratnog otpora sredstva

F = −avF = −bv2

a, b - koeficijenti proporcionalnostiv - trenutna brzina čestice

3. INERCIJALNI I NEINERCIJALNI REFERENTNI SUSTAVI

b) Galilejeve transformacije

r' = r − vtt' = t ⇓x' = x − vxty' = y − vytz' = z − vztt' = t

b) Galilejeve transformacije: brzina crtanog sustava paralelna je osi x

y

z

z'

x'

y'

v

T

rr'

S

S'

5

x'T = xT − vt

c) Newtonov zakon za neinercijalne (ubrzane) referentne sustave

F + Fp = ma F - ukupna 'prava' sila na česticu

Fp - ukupna prividna sila na česticu

d) PRIVIDNE (PSEUDO) SILE- koordinatni sustav S' giba se po pravcu akceleracijom A

Fp = −mA

- koordinatni sustav vrti se kutnom brzinom ω: prividna sila naziva secentrifugalna sila

Fcf = mω2r

- čestica se giba u koordinatnom sustavu koji se vrti kutnom brzinom ω: prividnasila naziva se Coriolisova sila

FC = 2m v' × ωv' - brzina čestice u rotirajućem koordinatnom sustavu

4. ZAKONI ODRŽANJA ENERGIJE I IMPULSA

a) Impuls

p = mv

b) Drugi Newtonov zakon - izraz vrijedi i za sisteme sa promijenjivom masom, m = m(t)

tddpF =

c) Jednadžba gibanja rakete

kutvmF −=

dd

0

m0 - početna masa raketek - brzina promjene mase plinau - brzina izlaženja plina u odnosu na raketu

d) Impuls sile

∫=2

1

dt

t

tFJ

e) Impuls sile jednak je promjeni impulsa

∫ −==2

1

)()(d 12

t

t

ttt ppFJ

f) Zakon održanja impulsa - ako je komponenta ukupne vanjske sile na sistem od N česticajednaka nuli u nekom smjeru tada je komponenta impulsa sistema u tom smjeru konstantna

p1(t) + p2(t) + … + pN(t) = p1(t') + p2(t') + … + pN(t') = konst.

pi - komponente impulsa čestica u smjeru u kojem jekomponenta ukupne vanjske sile na sistem jednaka nuli

g) Rad

x'x

y y'

T

v

xT

x'T

S S'

6

∫∫ =⋅=2

1

2

1

dcosdr

r

r

r

rF rFW ϕ

h) Ako je F = konst. i ϕ = konst. rad je jednak

W = F⋅s⋅cosϕ s - prijeđeni put

i) Kinetička energija

2

2mvK =

j) Konzervativna sila - sila za koju je izraz za rad neovisan od putanje čestice

česticeputanjioneovisnavrijednostd2

1

⇒⋅∫r

r

rF

k) Potencijalna energija - potencijalnu energiju U možemo pridružiti samo konzervativnimsilama

xUF

dd−=

l) Potencijalna energija pridružena težinimghUmg GG =⇒−= kF

m) Potencijalna energija pridružena harmoničkoj sili

2

2kxUkx HH =⇒−= iF

n) Zakon održanja mehaničke energije - ako se čestica giba pod djelovanjem samokonzervativnih sila tada je njena mehanička energija konstantna

Emeh = K + U = konst.

o) Rad i promjena mehaničke energije - ako na česticu pored konzervativnih sila djeluju inekonzervativne (trenje, sila otpora), tada je rad nekonzervativnih sila jednak promjenimehaničke energije

x

y

z

FF cosϕ

putanjačestice

r

z

h

k

FG

xFH

ϕF

7

W = ∆Emeh = ∆K + ∆U

p) Snaga

ϕcosd

d Fvt

WP =⋅== vF

ϕ - kut između F i v

8

PREGLED FORMULA IZ MEHANIKE

STATIKA. ROTACIJA KRUTOG TIJELA

3. STATIKA

c) Centar mase za N čestica

M

mz

M

my

M

mx

M

mN

iii

N

iii

N

iii

N

iii

CM

∑∑∑∑==== ++== 1111 kji

r

r

M - ukupna masa sistema čestica ∑=

=N

iimM

1

d) Moment sile

M = r × F

e) Krak sile - najkraća udaljenost od hvatišta sile do osi rotacije

M = F⋅r sinϕ = F⋅l

d) Uvjeti ravnoteže krutog tijela

∑=

=k

ik

1

0F

∑=

=k

ik

1

0M (računati oko čvrste os

4. ROTACIJA KRUTOG TIJELA

c) Moment inercije za os O- sistem točaka

∑=

=N

iii rmI

1

2

z

y

r

x

Fl

i ili točk

x

O

e)

mr

z

1

m2

m3

m4

r2r3

r4

y

9

- kontinuirana raspodjela mase

∫= mrI d2

b) MOMENTI INERCIJE ZA ODABRANA TIJELA- čestica mase m

I = mr2

- štap mase m i duljine l

12

2mlI =

- puni cilindar mase m i radijusa R

2

2mRI =

- puna kugla mase m i radijusa R2

52 mRI =

z

x

y

O

dmr

10

c) Steinerov teorem (poučak o paralelnim osima) - moment inercije za os koja je paralelnaosi kroz centar mase

I = ICM + md2

ICM - moment inercije oko osi kroz centar mased - udaljenost između osi koja prolazi centrom mase i osi

oko koje računamo moment inercije

d) ANGULARNI MOMENT- za česticu

L = r × pp - impuls čestice

- za kruto tijelo

L = Iωω - kutna brzina

e) Newtonov zakon za rotaciju

tddLM =

f) Newtonov zakon za rotaciju pri konstantnom momentu inercije

αωM It

I ==dd

α - kutna akceleracija

g) Zakon očuvanja angularnog momenta - ako je komponenta ukupnog vanjskog momentasile na sistem od N čestica jednaka nuli u nekom smjeru tada je komponenta angularnogmomenta sistema u tom smjeru konstantna

L1(t) + L2(t) + … + LN(t) = L1(t') + L2(t') + … + LN(t') = konst.

Li - komponente angularnog momenta čestica u smjeru ukojem je komponenta ukupnog vanjskog momenta sile nasistem jednaka nuli

f) Kinetička energija rotacije

2

2ωIEk =