Přednáška č. 5

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

PRUŽNOST A PEVNOST

Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.

Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, kterésplňují svoji funkci a jsou bezpečné.

2 základní úlohy PP- pevnostní úloha- tuhostní úloha

Základní pojmyVnější síly - povrchové (F, M, …)

- objemové (vlastní tíha, ….)

Vnitřní síly – Vlivem působení vnějších sil se těleso deformuje a v tělese vznikajítzv. vnit řní síly .

MECHANIKA PODDAJNÝCH T ĚLES

Intenzitu vnitřních sil lze vyjádřit pomocí napětí

Napětí a deformace

Deformace materiálu

Poměrné prodloužení

Zkouška materiálu při smyku

Normálová složka napětí

Smyková složka napětí

Zkouška tahem

[ ]PaNmdA

dN == −2σ

[ ]PadA

dT=τ

l

l∆ε =

y

xtg

∆γγ ==ɺ

… zkosγ

G … modul pružnosti ve smyku

Závislost mezi nap ětím a deformací

Hookeův zákon pro smyk

Hookeův zákon

εσ ⋅= E

γτ ⋅= G

( ) PaE 11102,29,1 ⋅÷=

PaG 11108,0 ⋅=ɺ

ocel

Tahový diagram

… modul pružnosti v tahu [Pa]

Etg =α

E

Rovinná napjatost je popsána složkami

V zatěžovaném tělese vzniká napjatost

Jednoosá napjatost – namáhání prostým tahem

Rovinná napjatost

Rovinná napjatost je taková napjatost, kde všechna napětí leží v jedné rovině.

A

Fx =σ

τσσ ,, yx

Hookeův zákon pro rovinnou napjatost

−

−

=

τσσ

ν

ν

γεε

y

x

y

x

G

EE

EE

100

01

01

G

τγ =

[ ]xyxy

y EEEσνσσν

σε −=−= 1

[ ]yxyx

x EEEσνσ

σνσε −=−= 1

1−= CS

εSσ =

σCε =

~

~

~

~

Namáhání p římého prutu- tah (tlak)- krut jejich kombinace- ohyb

Prostý tah Napětí

Poměrné prodloužení

A

F=σ

=

p

p

k

KD kk

σσσ

[ ]mEA

Fll

l

l

EA

F

E=⇒=== ∆∆εσε ;

Dll ∆∆ ≤

Dovolené napětí

Pevnostní podmínka Tuhostní podmínka

Dσσ ≤

Prostý krutaFM k ⋅=

== Pam

Nm

W

M

k

k3

τ

[ ]3mWk16

3dWk

π= … průřezový modul v krutu

Úhel zkroucení Poměrný zkrut

…. polární kvadratický moment

Pevnostní podmínka Tuhostní podmínka

p

k

JG

lM=ϕ

ϕ

Dττ ≤ ( )DD ϑϑϕϕ ≤≤

[ ]4mJ p

p

k

JG

M

l== ϕϑ

ϑ

Kroutící moment

Napětí

[ ]Nm

Prostý ohyb

2

FRR BA ==

Prut namáhaný příčnými silami nazýváme nosník .

422max

FllFM o =⋅=

[ ]PaW

M

o

oo

maxmax =σ

…průřezový modul v ohybu …

Pevnostní podmínkaPrůběh napětí podél průřezu

Do σσ ≤max

[ ]3mWo

oσ

Reakce

Max. ohybový moment

Maximální napětí

Tuhostní podmínka Dvv ≤max

(průhyb)

INŽENÝRSKÉ VÝPOČTY V TECHNICKÉ PRAXI

Přednáška č. 5a

Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.

Obsah:

• Význam výpočtů v technické praxi• Druhy výpočtových metod

• Princip a vývoj MKP• MKP systémy

• Aplikace MKP

Inženýrské výpo čty v technické praxi

Význam výpo čtů v technické praxi

Při produkci výrobků je nutné znátvlastnosti a chování daného výrobku

v reálných (provozních) podmínkách

Simulace provozního procesu („odezva výrobku“ na provozní podmínky)

Analyticky řešitelné úlohy pružnosti:

• Namáhání přímých prutů (tah, tlak, krut, vzpěr a stabilita, …)

• Tenkostěnné a silnostěnné rotační nádoby• Rotující kotouče

• Desky kruhové a obdélníkové• …

Praktické úlohy většinou podstatněji složitější

Použití přibližných diskrétních výpočtových metod

• Metoda sítí

• Metoda konečných objemů• Metoda hraničních prvků

• Metoda konečných prvků (MKP)• …

Výhody použití výpo čtových metod v kombinaci s CAD systémy:

• Zkrácení vývojového času• Redukce výrobních nákladů a úspora surovin

• Inovace a tvořivost• Zvyšování kvality

• Dodržování stále přísnějších norem• …

Vyšší efektivita výroby

Náklady na změnu

výrobyFlexibilita

definovánívýroby

koncepce výroby

seriovávýroba

Flexibilita vs. náklady na změnu výroby

Vlivem zatížení docházík deformaci tělesaPole posuvů

Pole deformací (přetvoření)

Pole napětí:

Princip MKP

[ ]Txyzxyzzyx τττσσσ ,,,,,=σ

[ ]Tzyx uuuu ,,=

Zatížené pružné t ěleso

[ ]Txyzxyzzyx γγγεεε ,,,,,=ε

Deformační stav pružného tělesa je podle matematické teorie pružnosti popsán 15-ti rovnicemi

3 podmínky rovnováhy (Cauchyho)

(3 rovnice)

kde je matice operátorů, vektor objemových sil

6 geometrických rovnic

6 fyzikálních rovnic (rozšířený Hookeův zákon)

Princip MKP

0=+ Rσ∂∂∂∂

∂∂∂∂

uεT∂∂∂∂=

εDσ =

[ ] TZYX ,,=R

Deforma ční varianta

• Hledání neznámých funkcí posunutí u (x, y, z) je nahrazenohledáním konečného po čtu hodnot těchto funkcí, z nichž lzezkonstruovat přibližné řešení.

• Hledané neznámé funkce posunutí aproximujeme pomocíbázových polynomických funkcí v diskrétních bodech a s jejich pomocí vyjádříme neznámé posuvy v celém kontinuu.

• Matematicky se tak řešení diferenciálních rovnic převádí nařešení soustav algebraických rovnic.

Princip MKP

Princip MKP je založen na Lagrangeově principu:

Těleso je v rovnováze, jestliže celková potenciální energie deformace soustavy je minimální.

Celková potenciální energie

…. potenciální energie deformace vnitřních sil

…. potenciální energie deformace vnějších sil

Minimum

Princip MKP

ei EE +=Π

0u

=∂Π∂

iE

eE

iE

Postup:

Oblast A s hranicí Γ nahradíme konečným počtem prvků →diskretizace

→

Γ

A

b) Funkce posuvů u,v vyjádřímepomocí hodnot posuvův uzlových bodech

c) Sestavení celkové potenciální energie prvků jako funkceposuvů.

d) Sestavení celkové potenciální energie soustavy

zavedení okrajových podmínek

eiΠ

.3,2,1,, =ivu ii

,1∑

=

Π=Πn

i

ei

( ) yaxaayxv 654, ++=

( ) yaxaayxu 321, ++=

a) Funkce posuvů nahradíme polynomem

e) Minimalizace celkové potenciální energie soustavy

soustava lineárních algebraických rovnic s neznámými posuvy v uzlových bodech

f) Známe-li vektor neznámých posuvů u, potom lze

vyšetřit deformace

a napětí

Získáváme p řibližné řešení úlohy

uεT∂=

⇒=∂Π∂

0u

εDσ =

Vývoj MKP a její aplikacerok

oblasti použití

1960 -

1970 -

1980 -

1990 -

2000 -

průmysl automobilový, loďařský, letecký, vesmírný, stavební

průmysl spotřební, chemický (plasty), strojírenský

elektronika, mikromechanika

biologie, lékařství, fyzika, geofyzika

simulace výrobních procesů (lití, svařování, tváření), mechanika kompozitních a anizotropních materiálů

MKP systémy

Kompaktní systémy

• Vznik v 50. a 60. letech• Robustní systémy schopné řešit široké

spektrum úloh

• Vysoká cena• Např.: MARC, ANSYS, NASTRAN, ABAQUS,

COSMOS, SYSTUS, …

Specializované systémy:

• Zaměřeny na určitou oblast úloh• Např.: ADAMS, FLUENT, PAM-FLOW, PAM-

CRASH, DYNA, FORGE, FATIGUE …

Přístupné na Z ČU:

• Např.: ANSYS, MARC, ADAMS, SYSTUS, FLUENT, PAM-CRASH, DYNA, FATIGUE

Prostorová diskretizace

Princip MKP

• Základním předpokladem MKP je diskretizacespojitého kontinua na prvky - konečné počtem i velikostí

• Postavení fyzikálního modelu :- stanovení cíle výpočtu- rozhodnutí o typu úlohy- rozhodnout o dimenzi úlohy- izolace tělesa a nahrazenívlivu okolí vazbami, tj. stanovení okrajových podmínekřešení

Metodický postup p ři definování MKP úlohy:

Metodický postup p ři definování MKP úlohy:

• Postavení MKP modelu

- Volba typu prvku

- Volba hustoty sítě

- Kontrola sítě

Skladba MKP systém ů

• Preprocesor

• Solver

• Postprocesor

Čelist s vedením

Cíl řešení: dimenzovat čelist soustruhu- Řešení provedeno v prostoru

- Volba okrajových podmínek

- Materiál čelisti

- Provedena diskretizace s přihlédnutím ke koncentrátorům napětí

- Kontakt dotýkajících se ploch

Čelist s vedením

• Vyhodnocení chyby výpočtu

• Posouzení výsledků

• Ověření experimentem

Napěťová analýza rámu lisu

Tahová zkouška

Úlohy pružnosti a pevnosti

Simulace tvárného lomu tyčky

Diskretizace úlohy pomocí konečných prvků

Kumulace dutin

• Vibrační a tuhostní analýza experimentálního fúzního reaktoru Wendelstein 7-X (SRN)

Vtlačování kladky do trubky

Projekty a p ředdiplomní projektyBezpečnostní prvek v nárazníku

Bezpečnostní prvek nárazníku

Bezpečnostní prvek nárazníku

Nárazník – absorber energie