Predikatska logika - II deo

Jelena Ignjatovic

Logika i teorija skupva

Logika i teorija skupova

Ugnjezdeni kvantifikatori

Ugnjezdeni kvantifikatori

U matematici i informatici se cesto srecu kvantifikatori koji se javljaju u oblasti dejstvadrugih kvantifikatora, kao, na primer, u

(∀x)(∃y)(x + y = 0).

Takve kvantifikatore nazivamo ugnjezdeni kvantifikatori, na engleskom nested quanti-fiers.

1. Primer

Neka je sa Q(x, y) oznacen predikat ”x + y = 0”.

Ako je domen skup realnih brojeva, koji od iskaza

(∃y)(∀x)Q(x, y) i (∀x)(∃y)Q(x, y)

je tacan?

Resenje: Formulom (∃y)(∀x)Q(x, y) je predstavljen iskaz:

”Postoji realan broj y tako da za svaki realan broj x vazi x + y = 0”.

Ako bi to bilo tacno, onda bi bilo x = −y, za svaki realan broj x, sto ocigledno nije moguce.Dakle, ovo tvrdenje nije tacno.

Logika i teorija skupova

Ugnjezdeni kvantifikatori (cont.)

1. Primer (cont.)

Formulom (∀x)(∃y)Q(x, y) je predstavljen iskaz:

”Za svaki realan broj x prostoji realan broj y tako da je x + y = 0”.

Ovo tvrdenje je tacno, jer za proizvoljan realan broj x mozemo uzeti da je y = −x, i zatako izabrano y ocigledno vazi x + y = 0.

Napomena

Ovaj primer pokazuje koliko je redosled pojavljivanja kvantifikatora u formulibitan, jer zamena mesta kvantifikatora u formuli moze potpuno izmeniti njensmisao.

2. Primer

Na jezik predikatske logike prevesti recenicu

”Postoji neko ko poznaje svakog”.

Koristicemo oznaku K(x, y) za ”x poznaje y”.

Resenje: Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pisemo

(∃x)(x poznaje svakog).

Logika i teorija skupova

Ugnjezdeni kvantifikatori (cont.)

2. Primer (cont.)

Izraz ”x poznaje svakog” je i dalje u obicnom govornom jeziku, i znaci da ”za svako yvazi da x poznaje y”.Prema tome, ”x poznaje svakog” se moze izraziti sa (∀y)K(x, y). Dakle, ”postoji neko kopoznaje svakog” se moze izraziti sa (∃x)(∀y)K(x, y).

3. Primer

Sledecu recenicu izraziti na jeziku predikatske logike:

”Ako je osoba zenskog pola i ako je roditelj, tada je ta osoba necija majka”.

Resenje: Ova recenica zapravo znaci sledece:

”Za svaku osobu x, ako je osoba x zenskog pola i osoba x je roditelj, tada postoji osoba ytako da je osoba x majka osobe y”.Dakle, uzecemo da je univerzum razmatranja skup svih ljudi (osoba), i uvescemo sledecepredikate:

F(x): ”x je zenskog pola”;

P(x): ”x je roditelj”;

M(x, y): ”x je majka od y”.

Logika i teorija skupova

Ugnjezdeni kvantifikatori (cont.)

3. Primer (cont.)

Sada se gornja recenica moze zapisati u obliku

(∀x)(

(F(x) ∧ P(x))⇒ (∃y)M(x, y))

Kako se y ne javlja u formuli F(x) ∧ P(x), to kvantifikator ∃y mozemo izvuci skroz levo,i na taj nacin dobijamo ekvivalentnu formulu

(∀x)(∃y)(

(F(x) ∧ P(x))⇒M(x, y))

O pravilu na osnovu koga je u ovakvom slucaju ispravno izvlaciti kvantifikator, visecemo govoriti kasnije.

4. Primer

Sledecu recenicu izraziti na jeziku predikatske logike:

”Svako ima tacno jednog najboljeg prijatelja”.

Resenje: Ova recenica se moze izraziti na sledeci nacin:

”Za svaku osobu x, osoba x ima tacno jednog najboljeg prijatelja”.

Dekle, neformalno mozemo pisati

(∀x)(osoba x ima tacno jednog najboljeg prijatelja)

gde se univerzum razmatranja za x sastoji od svih ljudi.

Logika i teorija skupova

Ugnjezdeni kvantifikatori (cont.)

4. Primer (cont.)

Dalje, treba simbolicki da izrazimo da ”osoba x ima tacno jednog najboljeg prijatelja”.

Da ”osoba x ima tacno jednog najboljeg prijatelja” znaci da ”postoji osoba y koja jenajbolji prijatelj osobe x”, i takode, ”ako je osoba z najbolji prijatelj osobe x, onda osobaz mora biti isto sto i osoba y”.Dakle, ako uvedemo predikat B(y, x) sa znacenjem ”y je najbolji prijatelj od x”, onda seovo moze izraziti sa

(∃y)(

B(y, x) ∧ (∀z)(B(z, x)⇒ z = y))

Prema tome, polazna recenica se moze simbolicki izraziti sa

(∀x)(∃y)(

B(y, x) ∧ (∀z)(B(z, x)⇒ z = y))

Prema zakonu kontrapozicije, ovo je logicki ekvivalentno formuli

(∀x)(∃y)(

B(y, x) ∧ (∀z)(z , y⇒ ¬B(z, x)))

5. Primer

Sledecu recenicu prevesti u logicki izraz:

”Zbir dva pozitivna cela broja je pozitivan broj”.

Logika i teorija skupova

Ugnjezdeni kvantifikatori (cont.)

Resenje:

Pre no sto prevedemo ovu recenicu u logicki izraz, primetimo da ona zapravo znaci

”Za svaka dva pozitivna cela broja, njihov zbir je pozitivan broj”.

Uvodimo promenljive x i y, za koje je univerzum razmatranja skup svih celih brojeva,kao i oznaku + za operaciju sabiranja, i dobijamo

”Za sve pozitivne cele brojeve x i y, x + y je pozitivan broj”,

i dakle, dolazimo do logickog izraza

(∀x)(∀y)(

(x > 0) ∧ (y > 0)⇒ (x + y > 0))

6. Primer

Sledecu recenicu prevesti u logicki izraz:

”Svaki realan broj, osim nule, ima multiplikativni inverz”.

Resenje: Neka je dat realan broj a. Za realan broj b kaze se da je multiplikativni inverz

od a ako je ab = 1.

”Za svaki realan broj x, ako je x , 0, onda postoji realan broj y takav da je xy = 1”.

Simbolicki se ovo moze izraziti sa

(∀x)(

(x , 0)⇒ (∃y)(xy = 1))

.

Logika i teorija skupova

Restrikcija kvantifikatora

Primeri:

Ponekad se kvantifikovanje vrsi samo nad nekim podskupom univerzuma razmatranja.Neka je domen kolekcija svih zivotinja.

Treba izraziti recenice: ”Svi psi su sisari” ili ”Neki psi su ridi”.

Razmotrimo prvo tvrdenje ”Svi psi su sisari”.

Ovo tvrdenje mozemo preformulisati na sledeci nacin: ”Ako je x pas, onda je x sisar”,sto dovodi do formule

(∀x)(

P(x)⇒ S(x))

.

Generalno, ta formula moze da se prevede sa

”Sve individue sa svojstvom P(x) imaju svojstvo S(x)”.

Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo samo na individue sadatim svojstvom, onda koristimo implikaciju da bi ogranicili domen.

Umesto (∀x)(

P(x)⇒ Q(x))

obicno pisemo

(∀x ∈ D) Q(x)

gde je D = {x |P(x)} skup svih vrednosti promenljive x za koje je P(x) tacno, odnosno,skup svih objekata iz univerzuma razmatranja koji imaju svojstvo P(x).

Logika i teorija skupova

Restrikcija kvantifikatora (cont.)

Primeri:

Razmotrimo sada tvrdenje ”Neki psi su ridi”.

Jasno, tvrdenje ”x je pas i x je rid” se moze prevesti u P(x)∧R(x), pa se ”postoje neki ridipsi” moze prevesti u

(∃x)(

P(x) ∧ R(x))

.

Generalno, ta formula moze da se prevede sa

”Neke individue sa svojstvom P(x) imaju i svojstvo R(x)”.

Dakle, kada zelimo da ogranicimo primenu egzistencijalnog kvantifikatora, onda koris-timo konjunkciju.

Umesto (∃x)(

P(x) ∧Q(x))

pisemo

(∃x ∈ D) Q(x).

7. Primer

Definiciju granicne vrednosti napisati kao logicki izraz.

Resenje: Setimo se da se granicna vrednost funkcije definise na sledeci nacin:

limx→a

f (x) = b

znaci da za svaki realan broj δ > 0 postoji realan broj ε > 0 tako da kad god je |x − a| < δonda je |f (x) − b| < ε.

Logika i teorija skupova

Restrikcija kvantifikatora (cont.)

7. Primer (cont.)

Ovo mozemo simbolicki napisati na sledeci nacin:

(∀δ)(

(δ > 0)⇒(

(∃ε)(ε > 0) ∧ (∀x)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)))

Za sve tri promenljive ε, δ i x, univerzum razmatranja je skup svih realnih brojeva.Ako ovde upotrebimo restrikciju kvantifikatora, onda se gornja formula moze pojed-nostaviti, cime dobijamo formulu

(∀δ > 0)(∃ε > 0)(∀x)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

Pri tome, ∀ε > 0 zapravo znaci ∀ε ∈ R+, a ∀δ > 0 znaci ∀δ ∈ R+, gde je sa R+ oznacenskup svih realnih brojeva vecih od nule.Umesto poslednje formule cesto pisemo i

(∀δ > 0)(∃ε > 0)(∀x ∈ R)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

Dakle, ovaj izraz znaci da ako je x ”dovoljno blisko” broju a, onda f (x) mora biti ”dovoljnoblisko” broju b.

Pitanje:

Sta je negacija od (∀x ∈ D) Q(x)?

Logika i teorija skupova

Restrikcija kvantifikatora (cont.)

Negacija restrikcije kvantifikatora

Imamo sledece:

¬(∀x ∈ D) Q(x) ≡ ¬(∀x)(

P(x)⇒ Q(x))

≡ (∃x)¬(

P(x)⇒ Q(x))

≡ (∃x)(

P(x) ∧ ¬Q(x))

≡ (∃x ∈ D)¬Q(x)

¬(∀x ∈ D) Q(x) ≡ (∃x ∈ D)¬Q(x)

Negacija restrikcije kvantifikatora

Odredimo negaciju za (∃x ∈ D) Q(x):

¬(∃x ∈ D) Q(x) ≡ ¬(∃x)(

P(x) ∧Q(x))

≡ (∀x)¬(

P(x) ∧Q(x))

≡ (∀x)(

P(x)⇒ ¬Q(x))

≡ (∀x ∈ D)¬Q(x)

¬(∃x ∈ D) Q(x) ≡ (∀x ∈ D)¬Q(x)

Logika i teorija skupova

Restrikcija kvantifikatora (cont.)

8. Primer

Jezikom predikatske logike izraziti cinjenicu da ne postoji limx→a f (x).

Resenje: Postojanje ove granicne vrednosti moze se neformalno izraziti sa

(∃b ∈ R)(limx→a

f (x) = b)

(∃b ∈ R)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

Dakle, negaciju prethodne formule mozemo izraziti na sledeci nacin:

¬(∃b ∈ R)(∀δ > 0)(∃ε > 0)(∀x ∈ R)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

≡ (∀b ∈ R)¬(∀δ > 0)(∃ε > 0)(∀x ∈ R)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

≡ (∀b ∈ R)(∃δ > 0)¬(∃ε > 0)(∀x ∈ R)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

≡ (∀b ∈ R)(∃δ > 0)(∀ε > 0)¬(∀x ∈ R)(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

≡ (∀b ∈ R)(∃δ > 0)(∀ε > 0)(∃x ∈ R)¬(|x − a| < δ⇒ |f (x) − b| < ε)

≡ (∀b ∈ R)(∃δ > 0)(∀ε > 0)(∃x ∈ R)(|x − a| < δ ∧ ¬(|f (x) − b| < ε))

≡ (∀b ∈ R)(∃δ > 0)(∀ε > 0)(∃x ∈ R)(|x − a| < δ ∧ |f (x) − b| > ε).

Logika i teorija skupova

Redosled kvantifikatora

Tacnost formula

Razmotrimo formulu (∃x)(∃y) P(x, y), i pretpostavimo da je ona tacna.To znaci da postoji neko x0 tako da je tacno (∃y) P(x0, y).Dalje, da je (∃y) P(x0, y) tacno znaci da postoji neko y0 tako da je tacno P(x0, y0).Dakle, pronasli smo x0 i y0 takve da je P(x0, y0) tacno.Sada se vracamo unazad, i zakljucujemo sledece.Prvo, zakljucujemo da je tacno (∃x)P(x, y0), i dalje, zakljucujemo da je tacno(∃y)(∃x)P(x, y).Prema tome, dobili smo da iz tacnosti formule (∃x)(∃y) P(x, y) sledi tacnost formule(∃y)(∃x) P(x, y).Na isti nacin dokazujemo da iz tacnosti formule (∃y)(∃x) P(x, y) sledi tacnost formule(∃x)(∃y) P(x, y).

Logika i teorija skupova

Redosled kvantifikatora (cont.)

Komentar

Slicno se moze zakljuciti i za formule

(∀x)(∀y) P(x, y) i (∀y)(∀x) P(x, y)

(∀x)(∀y) P(x, y) je tacno ⇔ ¬(∀x)(∀y) P(x, y) je netacno

⇔ (∃x)(∃y)¬P(x, y) je netacno

⇔ (∃y)(∃x)¬P(x, y) je netacno

⇔ ¬(∀y)(∀x) P(x, y) je netacno

⇔ (∀y)(∀x) P(x, y) je tacno.

Zakljucak

Dakle, iz svega ovoga zakljucujemo da vazi

(∃x)(∃y) P(x, y) ≡ (∃y)(∃x) P(x, y)

(∀x)(∀y) P(x, y) ≡ (∀y)(∀x) P(x, y)

To vazi i za proizvoljan konacan broj univerzalnih, odnosno egzistencijalnih kvantifika-tora.Medutim, ovo vazi samo za istorodne kvantifikatore, dok raznorodni kvantifikatori nemogu zameniti svoja mesta.

Logika i teorija skupova

Redosled kvantifikatora (cont.)

9. Primer

Neka je sa P(x, y) oznacen predikat ”x+y = 0”, pri cemu je univerzum razmatranja skupsvih realnih brojeva.Koja je istinitosna vrednost izraza (∀x)(∃y)P(x, y) i (∃y)(∀x)P(x, y)?

Resenje: Izraz (∀x)(∃y)P(x, y) ima znacenje

”Za svaki realan broj x postoji realan broj y takav da je x + y = 0”.

Ovo tvrdenje je tacno jer, bilo koji realan broj x da izaberemo, postoji realan broj y, obicnoga oznacavamo sa −x, takav da je x + y = 0.Prema tome, izraz (∀x)(∃y)P(x, y) je tacan.Sa druge strane, izraz (∃y)(∀x)P(x, y) ima znacenje

”Postoji realan broj y takav da za svaki realan broj x vazi x + y = 0”.

Ako bi zaista postojao takav broj y, onda bi za x = 0 dobili da je y = 0, a za x = −1 bidobili da je y = 1, i time smo dosli do kontradikcije.Dakle, ne postoji realan broj y sa takvim svojstvom, sto znaci da je izraz (∃y)(∀x)P(x, y)netacan.

Logika i teorija skupova

Redosled kvantifikatora (cont.)

9. Primer

Ovim smo dokazali da izrazi (∀x)(∃y)P(x, y) i (∃y)(∀x)P(x, y) nisu logicki ek-vivalentni.Drugim recima, univerzalni i egzistencijalni kvantifikator ne mogu menjatisvoja mesta.

10. Primer

Neka je sa P(x, y) oznacen predikat ”x 6 y”, pri cemu je univerzum razmatranja skupsvih prirodnih brojeva.Koja je istinitosna vrednost izraza (∀x)(∃y)P(x, y) i (∃y)(∀x)P(x, y)?

Resenje: Izraz (∀x)(∃y)P(x, y) ima znacenje

”Za svaki prirodan broj x postoji prirodan broj y koji je veci ili jednak broju x.”

Sa druge strane, izraz (∃y)(∀x)P(x, y) ima znacenje

”Postoji najveci prirodan broj”

sto je netacno.

Logika i teorija skupova

Redosled kvantifikatora (cont.)

Napomena

Za izraze (∀x)(∃y)P(x, y) i (∃y)(∀x)P(x, y) smo videli da nisu logicki ekvivalentni.Medutim, i izmedu njih postoji izvestan odnos. Naime, vazi sledece:

Ako je (∃y)(∀x)P(x, y) tacan izraz, onda je i (∀x)(∃y)P(x, y) tacan izraz.Obratna implikacija ne vazi.

Zaista, neka je tacno (∃y)(∀x)P(x, y), odnosno neka postoji y0 tako da vazi (∀x)P(x, y0).To znaci da za svaki x vazi P(x, y0), odakle sledi da za svaki x vazi i (∃y)P(x, y), odakledobijamo da je tacan i izraz (∀x)(∃y)P(x, y).

Komentar

Ako je univerzum razmatranja skup pozitivnih celih brojeva, onda je izraz

(∃y)(∀x)(y 6 x)

tacan, jer ako promenljiva y uzme vrednost 0, onda je tacno (∀x)(0 6 x). Odavde sledida je tacno i

(∀x)(∃y)(y 6 x),

jer bilo koju vrednost za x da izaberemo, uvek mozemo za y uzeti neku vrednost

(na pr. 0), takvu da je y 6 x.

Logika i teorija skupova

Redosled kvantifikatora (cont.)

Obratna implikacija

Zasto iz tacnosti izraza (∀x)(∃y)P(x, y) ne sledi tacnost izraza (∃y)(∀x)P(x, y)?Razlog lezi u tome sto u izrazu

(∀x)(∃y)P(x, y)

vrednost za y koju biramo tako da vazi (∃y)P(x, y) zavisi od toga koju vrednost za x smoprethodno izabrali.Naime, za razlicite vrednosti za x moramo uzimati razlicite vrednosti za y, kao, naprimer, u izrazu (∀x)(∃y)(x + y = 0) gde za x = 0 uzimamo y = 0, za x = 1 uzimamoy = −1, itd.Sa druge strane, u izrazu

(∃y)(∀x)P(x, y)

vrednost za y koju biramo tako da vazi (∀x)P(x, y) mora biti zajednicka za sve vrednostiza x koje potom biramo.Tako u slucaju izraza (∃y)(∀x)(x+ y = 0) imamo da ne postoji takva vrednost za y koja bikasnije bila zajednicka za sve vrednosti promenljive x koje bi smo izabrali.Ako bi uzeli bilo koje y0, onda bi x + y = 0 vazilo za x = −y0 , ali ne bi vazilo ni za jednudrugu vrednost za x.Zato ovaj izraz nije tacan.

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici

Napomena

Sva pravila zakljkucivanja koja smo koristili u iskaznoj logici vaze i u predikatskoj logici.Pored toga, u predikatskoj logici postoje i pravila koja u sebe ukljucuju predikate ikvantifikatore.

Argumentacija u predikatskoj logici

Argumentacija u predikatskoj logici je niz izraza predikatske logike, gdeposlednji izraz u tom nizu nazivamo zakljuckom, a ostale premisama.Forma argumentacije je ispravna ako, bez obzira na to kojim smo konkretnimpredikatima zamenili predikatske simbole u premisama i zakljucku, ako sutako dobijene premise tacne, onda mora biti tacan i zakljucak.

11. Primer - Univerzalna instancijacija

Termin instanca moze se shvatiti kao poseban slucaj necega, a instancijacija kaoizvlacenje posebnog slucaja iz neceg opsteg.

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

Univerzalna instancijacija

Univerzalna instancijacija je sledeca argumentacija:

(∀x) P(x)

∴ P(c)

gde je c neki poseban clan univerzuma razmatranja.

Naziv univerzalna instancijacija treba da naznaci da se vazenje svojstva P u nekompojedinacnom slucaju dobija kao poseban slucaj vazenja tog svojstva u opstem slucaju,za sve objekte nekog univerzuma razmatranja.

12. Primer

Pretpostavimo da treba da pojednostavimo algebarski izraz rk+1 · r, gde je r neki posebanrealan broj, a k neki poseban ceo broj.Iz algebre znamo da vaze sledeca opsta tvrdenja:

(1) Za svaki realan broj x i sve cele brojeve m i n je xm · xn= xm+n .

(2) Za svaki realan broj x je x1= x.

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

12. Primer

Sada gornji izraz uproscavamo na sledeci nacin:

rk+1 · r = rk+1 · r1 Korak 1

= r(k+1)+1 Korak 2

= rk+2 asocijativnost za sabiranje

Zakljucujemo na sledeci nacin:

Korak 1: Za svaki realan broj x je x1= x opste tvrdenje (2)

r je poseban realni broj poseban slucaj∴ r1

= r zakljucak

Korak 2: Za svaki realan broj x i sve celebrojeve m i n je xm · xn

= xm+nopste tvrdenje (1)

r je poseban realni broj i k + 1 i 1 su posebniceli brojevi

poseban slucaj

∴ rk+1 · r1= r(k+1)+1 zakljucak

Dakle, u oba ova slucaja smo koristili univerzalnu instancijaciju.

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

13. Primer - Univerzalna generalizacija

Univerzalna generalizacija je sledeca argumentacija:

P(c) za proizvoljan c

∴ (∀x) P(x)

Ovo je pravilo zakljucivanja koje tvrdi je (∀x) P(x) tacno, ako je data premisa P(c) tacnaza proizvoljan element c univerzuma razmatranja.Univerzalnu generalizaciju koristimo tako sto uzimamo proizvoljan element c uni-verzuma razmatranja, dokazujemo da je P(c) tacno, i onda na osnovu toga zakljucujemoda je tacno (∀x) P(x).

14. Primer - Egzistencijalna instancijacija

Egzistencijalnom instancijacijom nazivamo sledecu argumentaciju:

(∃x) P(x)

∴ P(c) za neki element c

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

14. Primer - Egzistencijalna instancijacija

Ovo je pravilo zakljucivanja koje koristimo da, u slucaju kada je poznato da je (∃x) P(x)tacno, iz toga zakljucimo da postoji neki poseban element c univerzuma razmatranja zakoji vazi P(c).

15. Primer - Egzistencijalna generalizacija

Egzistencijalnom generalizacijom nazivamo sledecu argumentaciju:

P(c) za neki element c

∴ (∃x) P(x)

Ovo je pravilo zakljucivanja se koristi da se zakljuci da je (∃x) P(x) tacno, ukoliko jepoznat neki poseban element c za koji vazi P(c).Drugim recima, ako znamo za neki elementr c univerzuma razmatranja za koji je P(c)tacno, onda znamo da je (∃x) P(x) tacno.

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

16. Primer

Dokazati ispravnost sledece argumentacije:

”Neki student prve godine nije procitao knjigu””Svaki student prve godine je polozio ispit”

∴ ”Neko ko je polozio ispit nije procitao knjigu”

Resenje:

Uvedimo oznake

P(x) : ”x je student prve godine”,

K(x) : ”x je procitao knjigu”, i

I(x) : ”x je polozio ispit”.Tada se gornja argumentacija moze izraziti sa

(∃x)(

P(x) ∧ ¬K(x))

(∀x)(

P(x)⇒ I(x))

∴ (∃x)(

I(x) ∧ ¬K(x))

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

Ispravnost argumentacije

Korak Razlog

1. (∃x)(

P(x) ∧ ¬K(x))

prva premisa

2. P(a) ∧ ¬K(a) egzistencijalna instancijacija iz 1.3. P(a) specijalizacija iz 2.

4. (∀x)(

P(x)⇒ I(x))

druga premisa

5. P(a)⇒ I(a) univerzalna instancijacija iz 4.6. I(a) modus ponens iz 3. i 5.7. ¬K(a) specijalizacija iz 2.8. I(a) ∧ ¬K(a) konjunkcija iz 6. i 7.

9. (∃x)(

I(x) ∧ ¬K(x))

egzistencijalna generalizacija iz 8.

Univerzalni modus ponens

Univerzalni modus ponens je kombinacija univerzalne instancijacije i modus ponensa.

(∀x)(

P(x)⇒ Q(x))

P(a) za neki poseban a

∴ Q(a)

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

Najpoznatiji primer argumentacije - Aristotel

Svi ljudi su smrtniSokrat je covek

∴ Sokrat je smrtan

17. Primer

Neka je data sledeca argumentacija:

Ako je broj paran, onda je njegov kvadrat parank je poseban broj koji je paran

∴ k2 je paran broj

Izraziti ovu argumentaciju jezikom predikatske logike i odrediti da li je ispravna.

Resenje: Uvedimo oznake za predikate

E(x) : ”x je paran”

S(x) : ”x2 je paran”

i neka je sa k, kao i gore, oznacen neki poseban broj koji je paran.

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

17. Primer

Tada se gornja argumentacija moze izraziti sa

(∀x)(

E(x)⇒ S(x))

E(k), za neki poseban broj k

∴ S(k)

Ocigledno, ova argumentacija ima formu univerzalnog modus ponensa, pa je ispravna.

Univerzalni modus tolens

Univerzalni modus tolens je kombinacija univerzalne instancijacije i modus tolensa.

(∀x)(

P(x)⇒ Q(x))

¬Q(a) za neki poseban a

∴ ¬P(a)

Logika i teorija skupova

Argumentacija u predikatskoj logici (cont.)

Univerzalni modus tolens

Primer ovakve argumentacije takode srecemo jos kod Aristotela:

Sva ljudska bica su smrtnaZevs nije smrtan

∴ Zevs nije ljudsko bice

Logika i teorija skupova