Diskretne strukture, Predikatska logika - I deonasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2114/DS-P04-PL-1.pdf · Drugi deo ove reˇcenice, ”je ve´ce od 3” je predikat koji ukazuje na svojstvo

PredikatiPredikatiPredikati

Na prethodnim predavanjima izv rsili smo logicku analizu slozenih iskaza,

onih koji se sastoje od jednostavnijih iskaza koji su povezani logickim

veznicima.

Takva analiza pojasnjava mnoge aspekte ljudskog zakljucivanja, ali ipak

nije dovoljna za razmatranje mnogo slozenijih tvrdenja koja se javljaju

u matematici.

Na primer, iskaznim formulama se ne mogu izraziti tvrdenja poput

”Postoji element skupa X koji nije element skupa Y ”,

”x + y > 0”,

”x = y + 3”, i slicno.

Logickom i simbolickom analizom takvih tvrdenja bavi se predikatska

logika, kojom cemo se mi baviti u nastavku.

Diskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deo


U matematici se cesto radi sa recenicama koje u sebe ukljucuju promen-

ljive, poput sledecih

”x > 3”, ”x = y + 3”, ”x + y = z”.

Prvo sto kod ovakvih recenica mozemo primetiti je to da ne mozemo

govoriti o njihovoj istinitosti ili neistinitosti sve dok promenljivim x, y

i z ne dodelimo neke konkretne vrednosti.

Na primer, ako u ”x > 3” promenljivoj x dodelimo vrednost 5, onda

dobijamo tacan iskaz, ali ako joj dodelimo vrednost 1, dobijamo netacan

iskaz, ali bilo koju konkretnu vrednost da dodelimo promenljivoj x, uvek

dobijamo iskaz.

Drugo, mozemo primetiti da recenica ”x je vece od 3” ima dva dela.

Prvi deo je promenljiva x, koja ovde ima ulogu subjekta.



Drugi deo ove recenice, ”je vece od 3” je predikat koji ukazuje na

svojstvo koje subjekat moze imati.

Recenicu ”x je vece od 3” mozemo oznaciti sa P (x), gde P oznacava

predikat, a x je promenljiva.

Pri ovakvom nacinu oznacavanja, kada promenljivoj x dodelimo neku

konkretnu vrednost a, onda P (x) postaje iskaz P (a) koji ima svoju

istinitosnu vrednost.

Na primer, P (5) je tacan iskaz, a P (1) je netacan iskaz.

Recenicu ”x = y+3”, u kojoj se javljaju dve promenljive x i y mozemo

oznaciti sa Q(x, y), gde je Q predikat, a ”x+y = z”, sa tri promenljive

x, y i z, oznacavamo sa R(x, y, z), gde je R predikat.



U prethodnim slucajevima, za predikat P , koji deluje na jednu promen-

ljivu, govoricemo da je unarni predikat.

Za predikat Q, koji deluje na dve promenljive, govoricemo da je binarni

predikat, a za predikat R, koji deluje na tri promenljive, govoricemo da

je ternarni predikat.

U opstem slucaju, za P predikat koji deluje na n promenljivih x1, x2,

. . . , xn, gde je n prirodan broj, pisemo

P (x1, x2, . . . , xn)

i kazemo da je P n-arni predikat.

Izraz P (x1, x2, . . . , xn) nazivamo iskaznom funkcijom, jer dodeljiva-

njem konkretnih vrednosti promenljivim dobijamo tacan ili netacan

iskaz.



Primer 1: Neka je Q(x, y) oznaka za ”x = y + 3”.

Tada je Q(1, 2) oznaka za ”1 = 2+3”, sto je ocigledno netacan iskaz.

Sa druge strane, Q(3, 0) je oznaka za ”3 = 0 + 3”, sto je tacan iskaz.

Primer 2: Neka je R(x, y, z) oznaka za ”x + y = z”.

Tada je R(1, 2, 3) oznaka za ”1 + 2 = 3”, sto je tacan iskaz.

Sa druge strane, R(0, 0, 1) je oznaka za ”0 + 0 = 1”, sto je netacan

iskaz.


KvantifikatoriKvantifikatoriKvantifikatori

Kao sto smo videli u prethodnim razmatranjima, kada se promenljivim

u iskaznoj funkciji dodele konkretne vrednosti, onda ta iskazna funkcija

postaje iskaz sa izvesnom istinitosnom vrednoscu.

Medutim, postoji i drugi vazan nacin da se od iskazne funkcije nacini

iskaz, koji se naziva kvantifikovanje.

Ovde cemo razmatrati dva tipa kvantifikovanja – univerzalno kvan-

tifikovanje i egzistencijalno kvantifikovanje.

Veliki broj matematickih tvrdenja tvrdi da nesto vazi za sve vrednosti

koja promenljiva moze da uzme u nekom datom skupu.

Taj skup u kome promenljiva uzima svoje vrednosti naziva se univerzum

razmatranja ili domen.

Drugim recima, univerzum razmatranja specifikuje sve moguce vred-

nosti koje promenljiva x moze da uzme.


Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator

Univerzalna kvantifikacija iskazne funkcije P (x) je iskaz

”P (x) je tacno za sve vrednosti promenljive x u datom univerzumu

razmatranja.”

Ovaj iskaz simbolicki zapisujemo kao

(∀x) P (x) ili ∀x P (x)

pri cemu kazemo sledece:

❏ (∀x)P (x) je univerzalni kvantifikator;

❏ P (x) je oblast dejstva ovog kvantifikatora;

❏ promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;

❏ simbol ∀ citamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako” ili ”za sve”,

odnosno, (∀x) P (x) citamo ”za svako x P (x)” ili ”za sve x P (x)”.



Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao

celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika.

Tvrdenja koja sadrze reci ”svaki”, ”svako”, ”svi”, ”bilo koji”, ”ma koji”

i slicno, obicno ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju.

Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”za svaki x”,

sto se potom prevodi u ∀x.



Primer 3: Neka je P (x) oznaka za ”x + 1 > x”. Koja je istinitosna

vrednost iskaza (∀x) P (x), ako za univerzum razmatranja

uzmemo skup svih realnih brojeva.

Resenje: Imamo da je P (x) tacno za svaku vrednost koju promenljiva

x uzme u skupu realnih brojeva, sto znaci da je (∀x) P (x) tacan iskaz.

Primer 4: Neka je Q(x) oznaka za ”x < 2”. Koja je istinitosna

vrednost iskaza (∀x) Q(x), ako je univerzum razmatranja

skup svih realnih brojeva.

Resenje: Imamo da je Q(x) nije tacno za svaku vrednost koju promen-

ljiva x uzme u skupu realnih brojeva, jer, na primer, nije tacno Q(3),

a to znaci da je (∀x) Q(x) netacan iskaz.



Napomena 1: Ako je univerzum razmatranja konacan skup, i svi

njegovi elementi su a1, a2, . . . , an, tada je univerzalni

kvantifikator (∀x) P (x) isto sto i konjunkcija

P (a1) ∧ P (a2) ∧ · · · ∧ P (an).

Naime, (∀x) P (x) tacan iskaz ako i samo ako su tacni svi iskazi P (a1),

P (a2), . . . , P (an).

Prema tome, univerzalnu kvantifikaciju mozemo shvatiti kao neku vrstu

uopstenja konjunkcije, i videcemo da ima mnoga ista ili slicna svojstva

koja ima i konjunkcija.



Napomena 2: Precizno odredivanje univerzuma razmatranja je vrlovazno kada se koriste kvantifikatori.

Naime, istinitosna vrednost kvantifikovanog iskaza jako zavisi od toga

koji univerzum razmatranja je izabran. Na primer, istinitosna vrednost

izkaza (∀x) (x2 > x) zavisi od toga da li smo za univerzum razmatranja

izabrali skup realnih brojeva ili skup prirodnih brojeva.

Primetimo da je x2 > x ako i samo ako je x2 − x > 0, odnosno

x(x − 1) > 0. Prema tome, x2 > x ako i samo ako je x 6 0 ili x > 1.

Dakle, iskaz (∀x) (x2 > x) je netacan ako je univerzum razmatranja

skup realnih brojeva, jer x2 > x nije tacno za sve realne brojeve, jer

nije tacno za realne brojeve x za koje vazi 0 < x < 1.

Medutim, x2 > x je tacno za sve prirodne brojeve, i (∀x) (x2 > x) je

tacan iskaz ako je univerzum razmatranja skup prirodnih brojeva.



Napomena 3: Da bi se za iskaz oblika (∀x) P (x) dokazalo da je

netacan, dovoljno je naci bar jednu vrednost promen-

ljive x u datom univerzumu razmatranja za koju je P (x) netacno.

Takva vrednost promenljive x naziva se kontraprimer iskaza (∀x) P (x).

Na primer, kada smo napred pokazali da iskaz (∀x) (x2 > x) nije tacan

ako je univerzum razmatranja skup realnih brojeva, kontraprimer je bio

svaki realan broj x za koji vazi 0 < x < 1.


Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator

Mnogi iskazi u matematici tvrde da postoji element nekog skupa sa izves-

nim svojstvom, i njih izrazavamo uz pomoc egzistencijalne kvantifikacije.

Egzistencijalna kvantifikacija iskazne funkcije P (x) je iskaz

”postoji vrednost promenljive x u datom univerzumu razmatranja

za koju je P (x) tacno.”

Ovaj iskaz simbolicki zapisujemo kao

(∃x) P (x) ili ∃x P (x)

pri cemu kazemo sledece:

❏ (∃x)P (x) je egzistencijalni kvantifikator;

❏ P (x) je oblast dejstva ovog kvantifikatora;

❏ promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;

❏ simbol ∃ citamo ”postoji”, odnosno (∃x) P (x) citamo ”postoji x

tako da vazi A” ili ”postoji x tako da A”.



Tvrdenja koja sadrze reci ”neki”, ”za neki”, ”bar jedan” i slicno, obicno

ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju.

Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”postoji x

tako da”, sto se potom prevodi u ∃x.

Na primer, neka je P (x) predikat ”voleti sirovo meso”.

Tada je (∃x)P (x) oznaka za

”Postoje ljudi koji vole sirovo meso”

ili

”Neki ljudi vole sirovo meso”.



Primer 5: Neka je P (x) oznaka za ”x > 3”. Koja je istinitosna

vrednost iskaza (∃x) P (x), ako za univerzum razmatranja

uzmemo skup svih realnih brojeva.

Resenje: Na primer, imamo da je P (x) tacno za vrednost x = 4, i

dakle, (∃x) P (x) je tacan iskaz.

Primer 6: Neka je Q(x) oznaka za ”x = x + 1”. Koja je istinitosna

vrednost iskaza (∃x) Q(x), ako je univerzum razmatranja

skup svih realnih brojeva.

Resenje: Kako je Q(x) netacno za svaku vrednost koju promenljiva x

uzme u skupu realnih brojeva, to je iskaz (∃x) Q(x) netacan.



Napomena 4: Ako je univerzum razmatranja konacan skup, i svi

njegovi elementi su a1, a2, . . . , an, tada je egzisten-

cijalni kvantifikator (∀x) P (x) isto sto i disjunkcija

P (a1) ∨ P (a2) ∨ · · · ∨ P (an).

Naime, (∃x) P (x) tacan iskaz ako i samo ako je tacan bar jedan od

iskaza P (a1), P (a2), . . . , P (an).

Prema tome, egzistencijalnu kvantifikaciju mozemo shvatiti kao neku

vrstu uopstenja disjunkcije, i videcemo da ima mnoga ista ili slicna

svojstva koja ima i disjunkcija.


Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorima

Narednom tabelom dajemo kratku rekapitulaciju znacenja univerzalnog

i egzistencijalnog kvantifikatora:

TABELA 1 Kvantifikatori

Iskaz Kada je tacan? Kada je netacan?

(∀x) P (x) P (x) je tacno za svako x Postoji x za koje je P (x) netacno

(∃x) P (x) Postoji x za koje je P (x) tacno P (x) je netacno za svako x



Ponekad je korisno razmisljati o kvantifikovanju kao o petljama koje

koristimo u programiranju.

Neka se univerzum razmatranja sastoji od n objekata a1, a2, . . . , an.

Da bi odredili istinitosnu vrednost iskaza (∀x) P (x), mozemo formirati

petlju kojom, jednu po jednu, utvrdujemo istinitosne vrednosti iskaza

P (a1), P (a2), . . . , P (an).

Ukoliko utvrdimo da je neki od tih iskaza netacan, zavrsavamo postupak

i utvrdujemo da je iskaz (∀x) P (x) netacan.

U suprotnom, ako smo prosli kroz celu petlju i time ustanovili da su

svi iskazi P (a1), P (a2), . . . , P (an) tacni, onda utvrdujemo da je iskaz

(∀x) P (x) tacan.



Slicno, da bi odredili istinitosnu vrednost iskaza (∃x) P (x), mozemo

formirati petlju kojom, jednu po jednu, utvrdujemo istinitosne vrednosti

iskaza P (a1), P (a2), . . . , P (an).

Ukoliko utvrdimo da je neki od tih iskaza tacan, zavrsavamo postupak

i utvrdujemo da je iskaz (∃x) P (x) tacan.

U suprotnom, ako smo prosli kroz celu petlju i time ustanovili da su svi

iskazi P (a1), P (a2), . . . , P (an) netacni, onda utvrdujemo da je iskaz

(∃x) P (x) netacan.


Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljive

Potsetimo se da se u (∀x) P (x), odnosno (∃x) P (x), iskazna funkcija

P (x) naziva oblast dejstva kvantifikatora ∀x, odnosno ∃x.

❏ Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora ∀x ili

∃x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kazemo da je

vezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana.

Na primer, u izrazu (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) promenljiva x se javlja tri

puta, i sva tri pojavljivanja su vezana.

❏ Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno pojav-

ljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom.

Kasnije cemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli moze imati i

vezana i slobodna pojavljivanja.

U takvim slucajevima je neophodno jasno istaci poziciju na kojoj se

javlja promenljiva o kojoj govorimo.



Primer 7: Odrediti vezane i slobodne promenljive u

(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).

Jedino pojavljivanje promenljive x je slobodno, jer na x ne deluje nije-

dan kvantifikator. Sva pojavljivanja promenljivih z i y su vezana.

Primer 8: Odrediti vezane i slobodne promenljive u

(∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ∨ (∀x)R(x).

Ovde su sva pojavljivanja promenljive x vezana. Oblast dejstva kvantifi-

katora ∃x je P (x) ∧ Q(x), jer ∃x deluje samo na taj izraz.

Primetimo i da se u sustini nista ne menja ako gornji iskaz zapisemo sa

dve razlicite promenljive x i y, tj. kao (∃x)(P (x)∧Q(x))∨ (∀y)R(y).



Napomena 5: Da bi se kvantifikovanjem iskazna funkcija pretvorila u

iskaz, tim kvantifikovanjem moraju biti vezane sve

promenljive koje se javljaju u toj iskaznoj funkciji.

Na primer,

(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).

nije iskaz, jer je promenljiva x slobodna, i istinitost tog izraza zavisi od

toga koju ce vrednost ta promenljiva uzeti u univerzumu razmatranja.

Sa druge strane, sve promenljive u

(∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ∨ (∀y)R(y)

su vezane, i taj izraz predstavlja iskaz.


Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora

Cesto se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza.

Na primer, razmotrimo tvrdenje

”Svaki student u grupi pohada kurs iz matematike”.

Ako je univerzum razmatranja skup svih studenata iz date grupe, ovo

tvrdenje se moze prevesti sa (∀x)P (x), gde P (x) znaci ”x pohada

kurs iz matematike”.

Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da svaki student u grupi pohada

kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa

”Postoji student u grupi koji ne pohada kurs iz matematike”

a to se moze izraziti sa (∃x)¬P (x).

Ovaj primer ilustruje sledecu logicku ekvivalenciju

¬(∀x) P (x) ≡ (∃x) ¬P (x)



Sa druge strane, razmotrimo tvrdenje

”Postoji student u grupi koji pohada kurs iz matematike”.

Ako je univerzum razmatranja skup svih studenata iz te grupe, ovo se

moze prevesti sa (∃x)P (x), gde je P (x) tvrdenje ”x pohada kurs iz

matematike”.

Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da postoji student u grupi koji

pohada kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa

”Svaki student u grupi ne pohada kurs iz matematike”

a to se moze izraziti sa (∀x)¬P (x)

Ovaj primer ilustruje logicku ekvivalenciju

¬(∃x) P (x) ≡ (∀x) ¬P (x)



Zapazanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati sledecom

tabelom:

TABELA 1 Negacija kvantifikatora

Negacija Ekvivalentan

izraz

Kada je negacija

tacna?

Kada je negacija

netacna?

¬(∃x)P (x) (∀x)¬P (x) P (x) je netacno za

svako x

Postoji x za koje je

P (x) tacno

¬(∀x)P (x) (∃x)¬P (x) Postoji x za koje je

P (x) netacno

P (x) je tacno za

svako x



Napomena 6: Neka se univerzum razmatranja sastoji od n objekata

a1, a2, . . . , an.

Na osnovu Napomena 1 i 4 i DeMorganovih zakona za konjunkciju i

disjunkciju imamo da je

¬(∀x) P (x) ≡ ¬(P (a1) ∧ P (a2) ∧ · · · ∧ P (an))

≡ ¬P (a1) ∨ ¬P (a2) ∨ · · · ∨ ¬P (an))

≡ (∃x) ¬P (x)

¬(∃x) P (x) ≡ ¬(P (a1) ∨ P (a2) ∨ · · · ∨ P (an))

≡ ¬P (a1) ∧ ¬P (a2) ∧ · · · ∧ ¬P (an))

≡ (∀x) ¬P (x)



Odavde se vidi da logicke ekvivalencije

¬(∀x) P (x) ≡ (∃x) ¬P (x)

¬(∃x) P (x) ≡ (∀x) ¬P (x)

predstavljaju uopstenje DeMorganovih zakona za konjunkciju i disjunk-

ciju, pa ih nazivamo DeMorganovi zakoni za kvantifikatore.



Primer 9: Odrediti negaciju iskaza

(a) ”Postoji posten politicar”;

(b) ”Svi Amerikanci jedu cizburgere”.

Resenje: (a) Ako je P (x) oznaka za ”x je posten”, tada gornje tvrdje-

nje postaje (∃x) P (x).

Kao sto smo videli, negacija ovog iskaza je (∀x) ¬P (x), odnosno

”Svaki politicar je neposten”.

Napomenimo da se u obicnom govoru ponekad kaze ”Svi politicari nisu

posteni”, sto nije sasvim precizno, jer cesto znaci i ”Nisu svi politicari

posteni”, a to, jasno, ima drugacije znacenje od gornjeg iskaza.

Ovo je jos jedan primer koji pokazuje da se veoma mnogo mora voditi

racuna o preciznoj formulaciji iskaza.



(b) Ako je Q(x) oznaka za ”x jede cizburgere”, tada gornje tvrdjenje

postaje (∀x) Q(x), a negacija toga je (∃x) ¬Q(x), sto se moze iskazati

sa

”Postoji Amerikanac koji ne jede cizburgere”,

ili sa

”Neki Amerikanci ne jedu cizburgere”.



Primer 10: Odrediti negaciju iskaza

(a) (∀x) (x2 > x);

(b) (∃x) (x2 = 2).

Resenje: (a) Negacija od (∀x) (x2 > x) je iskaz ¬(∀x) (x2 > x), koji

je ekvivalentan sa (∃x) ¬(x2 > x), a ovaj iskaz se moze zapisati u

obliku (∃x) (x2 6 x).

(b) Negacija od (∃x) (x2 = 2) je iskaz ¬(∃x) (x2 = 2), koji je ekviva-

lentan sa (∀x) ¬(x2 = 2), sto se moze zapisati u obliku (∀x) (x2 6= 2).

Istinitosna vrednost svih ovih iskaza zavisi od univerzuma razmatranja

sa kojim cemo raditi.


Documents

Diskretne strukture, Predikatska logika - I deonasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2114/DS-P04-PL-1.pdf · Drugi deo ove reˇcenice, ”je ve´ce od 3” je predikat koji ukazuje na svojstvo