PREDICCIÓN DE LA RADIACIÓN TÉRMICA EN CAVIDADES …

PREDICCIÓN DE LA RADIACIÓN TÉRMICA EN CAVIDADES ESFÉRICAS CON EL MÉTODO DE LOS VOLÚMENES FINITOS

Rebollo, Daniel; Velasco, Marisol; Bocca, José Carlos

Universidad Nacional de San Juan, Facultad de Ingeniería, Departamento de Electromecánica. Avenida Libertador San Martín (Oeste) 1109 - CPA: J5400ARL - San Juan - Argentina.

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Palabras claves: Radiación Térmica, Coordenadas Esféricas, Volúmenes Finitos.

Resumen. En ingeniería existen situaciones en las que el problema radiante está definido en un dominio esférico, como podría ser el caso de contenedores de gases a alta presión y el análisis de combustión en gotas de combustible, para las cuales es posible establecer condiciones de simetría con el consiguiente ahorro de tiempo y esfuerzo en la resolución de problemas.En trabajos anteriores, en una primera etapa, se analizó el proceso de transferencia de calor por radiación térmica con dispersión anisotrópica en cavidades multidimensionales de forma arbitraria en coordenadas cartesianas y, posteriormente, en coordenadas cilíndricas. El análisis cubría diferentes configuraciones térmicas y variadas condiciones de borde.En este trabajo se ha simulado numéricamente un proceso de transferencia de calor por radiación térmica en una cavidad esférica rellena con un medio que absorbe, emite y dispersa anisotrópicamente la radiación térmica por medio de un código computacional basado en el método de los volúmenes finitos. Aquí se extiende al análisis a una cavidad tridimensional en coordenadas esféricas, rellena con un medio gris absorbente, emisor y anisotrópicamente dispersante. Las superficies de la cavidad son opacas o transparentes, grises, difusas e isotérmicas. Se analiza la influencia del coeficiente de absorción, coeficiente de dispersión, dimensiones de la cavidad y reflectividad de las paredes.Se ha realizado un exhaustivo y detallado análisis de error y los resultados obtenidos se han comparado con los resultados disponibles.

Mecánica Computacional Vol XXXIII, págs. 3399-3413 (artículo completo)Graciela Bertolino, Mariano Cantero, Mario Storti y Federico Teruel (Eds.)

San Carlos de Bariloche, 23-26 Setiembre 2014

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1 INTRODUCCIÓN

En situaciones de altas temperaturas el transporte radiante se transforma en el principal mecanismo de transferencia de calor, por lo que es importante desarrollar herramientas que permitan predecir las cantidades de energía transferidas en un rango amplio de situaciones. En la ingeniería existen ejemplos de aparatos y dispositivos de forma esférica en los cuales se necesita calcular el transporte radiante. Esta situación ha sido frecuentemente considerada por los investigadores en aplicaciones prácticas de motores de combustión interna, turbinas térmicas y hornos industriales que queman combustibles fósiles, donde el dióxido de carbono y el vapor de agua, formados como productos de la combustión, absorben y emiten cantidades significativas de radiación térmica. La importancia de la radiación térmica también puede ser apreciable en fenómenos ambientales y procesos de enfriamiento en dispositivos electrónicos. En todos estos fenómenos la radiación térmica juega un rol muy importante por lo que existe un gran interés en desarrollar modelos de análisis que permitan obtener resultados en forma rápida, precisa y económica. Además de la absorción y la emisión, la dispersión también es importante en la radiación térmica, como en el caso de la luz solar absorbida por una nube de polvo o dispersada por la atmósfera, la dispersión de la luz de las estrellas por el polvo interestelar, la propagación de las ondas de radio en la atmósfera y como herramientas de diagnostico de gases.

Existe una gran cantidad de trabajos relacionados al estudio de la radiación térmica en geometrías esféricas, la mayoría de ellos son simulaciones numéricas donde se aplica una gran variedad de métodos numéricos, entre los que se destaca el método de los volúmenes finitos que se ha transformado en uno de los métodos más usados y con mayor futuro. En el método de los volúmenes finitos la ecuación integral de conservación de la intensidad de radiación térmica se obtiene integrando la ecuación gobernante de la transferencia radiante sobre volúmenes de control y ángulos sólidos discretos. Se usan varios tipos de funciones de interpolación para la intensidad. La formulación captura la aproximación de difusión para medios fuertemente atenuantes y no esta tan afectada por el efecto de los rayos como el método de las ordenadas discretas. Este método es totalmente compatible con el método de los volúmenes finitos usado para resolver problemas de dinámica de fluidos computacional y transferencia de calor por conducción y convección.

A continuación se hace una revisión bibliográfica de los trabajos publicados en donde se han considerado problemas de transporte radiante en coordenadas esféricas. Sparrow et al. (1961) hicieron un análisis de la radiación térmica en un gas gris, emisor, absorbente y no isotermo con una fuente de calor volumétrica, confinado entre dos esferas concéntricas de paredes negras e isotérmicas, el principio de conservación de la energía resulta en una ecuación integral que se ha resuelto para una amplia gama de condiciones geométricas y radiativas. Ryhming (1966) estudiaron la transferencia radiante entre dos esferas concéntricas con superficies negras a diferentes temperaturas separadas por un gas absorbente y emisor con coeficiente de absorción constante, obteniendo soluciones para los casos límites de medio fino y grueso. Viskanta y Crosbie (1967) analizaron el problema de la transferencia radiante entre esferas concéntricas con paredes opacas, difusas y a diferentes temperaturas rellenas con un medio gris, absorbente, emisor y con una fuente de calor distribuida uniformemente utilizando un método de superposición. Olfe (1968) usó una aproximación diferencial modificada para obtener expresiones aproximadas del flujo radiante y la distribución de temperatura en un medio gris encerrado entre dos esferas concéntricas mantenidas a diferentes temperaturas. Loyalka (1970) aplicó una técnica variacional, previamente usada en geometrías planas y cilíndricas, para obtener resultados precisos de la transferencia de calor radiante a través de un gas gris encerrado entre esferas concéntricas. Armaly y Saad (1972) desarrollaron un método aproximado para estudiar la transferencia radiante entre dos esferas concéntricas mantenidas a

D. REBOLLO, M. VELASCO, J.C. BOCCA3400


diferentes temperaturas asumiendo una distribución de temperatura a través del gas, asignando un salto de temperatura apropiado en las condiciones de borde para evaluar el flujo de calor. Pomraning y Siewert (1982) derivaron una forma integral de la ecuación de la transferencia radiante para una esfera homogénea con fuentes internas, irradiación externa y superficies reflectantes difusas y especulares. Thynell y Ozicik (1985) aplicaron el método de Galerkin para resolver la transferencia radiante en una esfera emisora, absorbente e isotrópicamente dispersante con fronteras que emiten y reflejan en forma difusa. Siewert (1985) utilizaron técnicas de transformación integral y el método FN para resolver problemas de transferencia radiante con dispersión isotrópica en geometrías esféricas y cilíndricas. El-Wakil et al. (1988) resolvieron el problema de la transferencia radiante en una esfera con fuentes de radiación uniformemente distribuidas y de tipo polinomial. Tsai et al. (1989) investigaron el efecto de la variación espacial del coeficiente de absorción y dispersión en la transferencia radiante entre esferas concéntricas rellenas con un medio absorbente, emisor y anisotrópicamente dispersante. Jones y Bayazitoglu (1990) aplicaron el MOD para resolver la transferencia de calor combinada en una esfera absorbente y emisora determinando los límites paramétricos dentro de los cuales la radiación y conducción pueden ser tratadas en forma combinada. Wilson y Nanda (1990) utilizaron un método de colocación para resolver las ecuaciones de la transferencia radiante en una esfera absorbente y emisora con dispersión anisotrópica lineal y paredes reflectantes. Jia et al. (1991) aplicaron el método de Galerkin para estudiar la transferencia radiante entre esferas concéntricas rellenas con un medio gris, absorbente, emisor e istrópicamente dispersante, con paredes opacas y grises que emiten y reflejan en forma difusa. Pessoa-Filho y Thynell (1994) presentaron una solución aproximada de la ecuación de la transferencia radiante en un medio gris, absorbente, emisor y anisotrópoicamente dispersante con paredes isotérmicas que emiten y reflejan en forma difusa, siendo válida tanto en geometrías planas como esféricas. Sghaier et al. (2000) modificaron el MOD para resolver la ecuación de la transferencia radiante en un medio esférico utilizando una expansión en polinomios de Legendre para resolver las derivadas angulares. Ben Abdallah et al. (2001) determinaron el campo de temperatura en un medio esférico, gris, absorbente, emisor y no dispersante con generación interna de calor utilizando una técnica de traceado de los rayos que permite seguir la curvatura esférica. Altaç y Tekkalmaz (2004) corrigieron los resultados de Tsai et al. (1989) obtenidos en una pared esférica con propiedades radiantes variables con el radio. Trabelsi et al. (2005) modificaron el MOD para resolver la ecuación de la transferencia radiante en un medio esférico partiendo la intensidad de radiación térmica en dos componentes, la proveniente de las paredes de la cavidad, llamada directa, y la proveniente del medio participante, llamada difusa, transformando la ecuación de la transferencia radiante en dos ecuaciones simultaneas. Cassell y Williams (2006) construyeron una ecuación integral para la intensidad de flujo en un medio absorbente y dispersante usando la forma integro-diferencial de la ecuación de la transferencia radiante en una esfera uniformemente irradiada desde una fuente externa con una distribución angular arbitraria, obteniendo, además, una solución analítica para el caso de un medio no dispersante en el límite de ópticamente transparente. Cassell y Williams (2007) ampliaron su trabajo anterior incluyendo dispersión anisotrópica y condiciones de borde de Fresnel incorporando reflexión y refracción en la superficie externa y en la interfase entre dos regiones internas. Aouled-Dlala et al. (2006) presentaron una nueva técnica para mejorar el desempeño del MOD resolviendo problemas acoplados de radiación y conducción en coordenadas cilíndricas y esféricas aproximando el término de la derivada angular usando una expansión en polinomios de Chebyshev. Tekkalmaz y Altac (2007) emplearon la aproximación del Núcleo Sintético SKn, el cual se basa en aproximar la integral de los núcleos de transferencia por núcleos sintéticos, reduciendo la ecuación integral de la transferencia radiante a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas, para resolver la transferencia radiante entre dos esferas concéntricas rellenas con un medio participante y dispersión anisotrópica

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lineal. Kim et al. (2008a) fueron los primeros en aplicar el MVF para resolver la ecuación de la transferencia radiante entre dos esferas concéntricas rellenas con un medio emisor, absorbente e isotrópicamente dispersante, introduciendo una técnica de mapeo para simplificar la solución de problemas con simetría esférica, transformando la dependencia unidimensional espacial - unidimensional angular en una bidimensional espacial, simplificando el tratamiento de las derivadas angulares. Kim et al. (2008b) ampliaron su trabajo anterior a una mezcla bifásica de un gas no gris y una nube de partículas usando una versión extendida del WSGGM. Finalmente, He et al. (2011) usaron el software TracePro basado en el método de traceado de rayos para modelar una fuente de radiación uniforme de forma esférica de gran tamaño con el objeto de calibrar la imagen de sensores remotos con grandes campos de visión.

De la revisión bibliográfica presentada se desprende que existe un marcado interés en desarrollar herramientas computacionales que permitan predecir el transporte radiante en geometrías esféricas multidimensionales. Estas herramientas computacionales pueden ser usadas para facilitar el cálculo y diseño de dispositivos industriales, análisis y estudio de fenómenos ambientales y en todas las situaciones en la que estén involucrado el transporte radiante.

2 FORMULACIÓN MATEMÁTICA

2.1 Ecuación de la transferencia radiante

La ecuación de la transferencia radiante para un medio gris, absorbente, emisor y dispersante viene dada por (Kim, 1990; Chui, 1990; Siegel y Howell, 1992; Brewster, 1992; Modest, 1993; Chai, 1994)

s⋅∇ i=−βi+S (1)

donde i(r,s) es la intensidad de radiación térmica, r es el vector de posición en el sistema de coordenadas adoptado, s es el vector de dirección, β=κ +σ es el coeficiente de extinción y S el término fuente, dado por:

S=κib+σ4π

∫ω=0

4π

iΦdω (2)

donde κ coeficiente de absorción, σ es el coeficiente de dispersión, ib es la intensidad de radiación térmica perteneciente al cuerpo negro, Φ es la función de dispersión y ω es el ángulo sólido.

2.2 Función de dispersión

La función de dispersión expresada como una serie de polinomios de Legendre, es (Kim, 1990; Modest, 1993; Dombrosky, 1996; Rebollo, 2007, 2008a, 2009a)

Φ (θ l , θk )=1+∑m=1

M

Am Pm (cos θl ) Pm (cosθk ) (3)

donde θ es el ángulo polar, k representa la dirección incidente, l representa la dirección emitida, Am son los coeficientes de la serie de Legendre y Pm son los polinomios de Legendre.

Para poder calcular la función de dispersión es necesario conocer los coeficientes Am, los cuales están relacionados a los coeficientes de dispersión de Mie por medio de un conjunto de ecuaciones (Modest, 1993), y se encuentran tabulados en los trabajos de Kim (1990), An et al. (2005), Byun et al. (2004) y Hao et al. (2003).

2.3 Divergencia de la energía radiante



El flujo de calor en la dirección s se relaciona con la intensidad i de la siguiente manera (Brewster, 1992; Chai, 1994; Chui, 1990; Kim, 1990; Modest, 1993; Siegel y Howell, 1992)

qr= ∫ω=0

4π

i sdω (4)

así, la divergencia de la energía radiante se puede escribir como

∇⋅qr=κ(4γT4− ∫ω=0

4π

i d ω) (5)

donde γ es la constante de Stefan–Boltzmann y T es la temperatura absoluta.

2.5 Condición de frontera radiante

En este trabajo se consideran superficies radiantes grises, opacas o transparentes, difusas e isotérmicas. La condición de borde para esta situación se puede escribir como (Chai, 1994; Chui, 1990; Kim, 1990):

iwl =iext+εw ibw+

ρw H w

π(6)

donde el subíndice w representa la pared, ε es la emisividad, ρ la reflectividad, ib es la intensidad de radiación del cuerpo negro, la cual depende de la cuarta potencia de la temperatura absoluta de la pared, y H es la irradiación hemisférica, es decir, el flujo de calor radiante incidente en la pared. Estos últimos se calculan como:

ibw=γT w

4

π(7)

Hw=∫sk⋅nw <0

iwk∣sk⋅nw∣dωk (8)

donde n es la normal unitaria a la pared. La ecuación (6) muestra que en la superficie pueden existir tres componentes, la incidencia externa difusa, la emisión debida al estado térmico de la superficie y la parte reflejada de la intensidad incidente sobre la superficie.

En todos los problemas analizados en este trabajo, se supone que las superficies de la cavidad son opacas o transparentes, grises y difusas. La rugosidad de la superficie y la deposición de productos de la combustión hacen que estas dos últimas suposiciones sean validas en muchas aplicaciones de la ingeniería.

2.6 Formulación en coordenadas esféricas

La formulación matemática de la ecuación (1-2) de la transferencia radiante, presentada anteriormente, está dada en forma tensorial, vectorial y direccional, es decir, independiente del sistema de coordenadas adoptado. Aquí se da una descripción muy breve de la formulación matemática para el caso particular de coordenadas esféricas, una descripción más detallada se puede encontrar en Peraiah A. (2004).

Las ecuaciones de la transferencia radiante (1-2), para un sistema de coordenadas esféricas, viene dada por

μ∂ i∂ r

+η

r∂ i∂Θ

+ξ

r sinΘ

∂ i∂Φ

−1−μ

2

r∂ i∂μ

−ξcot Θ

r∂ i∂ϕ

=−βi+κ ib+σ4π

∫ω=0

4π

iΦdω (9)

en la que la intensidad radiante i=( r , s ) se expresa como i=(r ,Θ ,Φ ,θ ,ϕ ) donde



(r ,Θ ,Φ ) son las coordenadas del sistema esférico, (θ ,ϕ ) el ángulo polar y azimutal de la dirección radiante y (μ ,η , ξ ) los cosenos directores de la dirección radiante expresados como μ=cos θ , η=sin θsinϕ y ξ=sinθsinϕ .

Te / Ti εi εe

GalerkinJia et al.( 1991)

DOMSghaier

et al. (2000)

FLT-DOM

Sghaier et al.

(2000)

FLT-MDOMTrabelsi

et al. (2005)

MDOMKim et

al. (2008a)

FVMKim et

al. (2008b)

MVFRebollo

0,5 0,5 0,5 0,09914 0,09248 0,09977 0,09890 0,09869 0,09866 0,09733

1,0 0,11087 0,10360 0,11312 0,11055 0,11030 0,11027 0,10862

1,0 0,5 0,17183 0,15195 0,17281 0,17108 0,17046 0,17038 0,16892

1,0 0,21038 0,18456 0,21733 0,20883 0,20834 0,20827 0,20617

2,0 0,5 0,5 −1,58604 −1,49584 −1,61580 -1,59339 −1,57897 -1,58034 -1,55681

1,0 −1,77357 −1,64680 −1,79980 -1,79316 −1,76474 -1,76643 -1,74002

1,0 0,5 −2,74880 −2,47264 −2,81600 -2,75925 −2,72734 -2,72926 -2,70170

1,0 −3,36557 −2,95330 −3,47938 -3,41774 −3,33344 -3,33625 -3,29950

Tabla 1: Flujo de calor radiante adimensional para incidencia difusa desde la pared con Ri/Re=0.5 y τe=1.0

Figura 1: Influencia de la relación entre las temperaturas de la esfera exterior e interior sobre la distribución de la temperatura adimensional para εi=εe=0.5, Ri/Re=0.5 y τe=1.0.

Donde Θ es el ángulo polar entre el radio vector r y el eje z, Φ es el ángulo azimutal entre el eje x y la proyección de r en el plano x-y, θ es el ángulo polar entre el vector posición r y el vector de dirección s, y φ es el ángulo azimutal entre el vector posición r y la proyección del vector dirección s en el plano x-y. En el cálculo de las integrales sobre el ángulo sólido se debe tener en cuenta que en el sistema de coordenadas esférico, a diferencia del sistema de coordenadas cartesiano, cambia el ángulo entre la dirección radial y la dirección radiante con el



ángulo polar y azimutal, en el sistema cartesiano los ángulos entre las direcciones espaciales y las direcciones radiantes se mantienen constantes.

Figura 2: Influencia del espesor óptico sobre la distribución de temperatura adimensional para εi=εe=0.5, Te/Ti=2.0 y Ri/Re=0.5.

Figura 3: Influencia del espesor óptico sobre la distribución de temperatura adimensional para εi=εe=0.5, Te/Ti=2.0 y Ri/Re=0.5.

Para el caso de simetría esférica, el problema radiante es independiente de los ángulos Θ, Φ y ϕ y la ecuación (9) se simplifica notablemente, resultando



μ∂ i∂ r

−1−μ

2

r∂ i∂μ

=−βi+κ ib+σ4π

∫ω=0

4π

iΦdω (10)

en la que la intensidad radiante se expresa como i=(r ,θ ) .Toda la formulación matemática presentada en este trabajo está basada en la suposición de

comportamiento gris del medio participante, es decir, independiente de la longitud de onda de la radiación térmica. En trabajos previos (Rebollo, 2008b, 2009b; Rebollo et al. 2010; Rebollo y Rodriguez, 2011) se han presentados diferentes modelos para el tratamiento de gases no grises, los cuales no han sido implementados, por el momento, en este trabajo en geometrías esféricas.

Figura 4: Influencia de la función de dispersión sobre la distribución de temperatura adimensional para εi=εe=0.5, Te/Ti=0.5, Ri/Re=0.5 y τe=1.0.

3 RESULTADOS Y DISCUSIONES

En esta sección se hace una descripción muy breve de las configuraciones analizadas en este trabajo, las cuales fueron propuestas por algunos autores hace ya algún tiempo, y reproducidas a lo largo de los años en muchos trabajos publicados, por lo que se han transformado en configuraciones clásicas en el análisis de la transferencia radiante. Se presentan los resultados obtenidos al reproducir estas diferentes configuraciones térmicas, se hace un muy breve análisis de resultados y se comparan resultados mostrando algunos errores. Todos los resultados están expresados en el sistema internacional para facilitar la comparación con los publicados originalmente.

3.1 Incidencia difusa desde la pared isotérmica

Para el problema de la incidencia difusa desde la pared se consideran dos esferas concéntricas, isotérmicas, opacas, difusas y grises, de radio Ri y Re, de temperaturas Ti y Te y emisividades εi y εe. La cavidad entre las dos esferas concéntricas está rellena con un gas gris, absorbente, emisor y dispersante, de temperatura Tg, variable con el radio r, con un coeficiente de absorción κ, un coeficiente de dispersión σ y un espesor óptico τ=βr. Este problema fue



estudiado por Jia et al. (1991), Sghaier et al. (2000), Trabelsi et al. (2005) y Kim et al. (2008a,b).

Tekkalmaz, Altac (2007)

MVF Rebollo Exacta SK1 SK2

Ω ρ Γ ρ Γ ρ Γ ρ Γ

dispersión isotŕopica

0,1 0,14750 0,32817 0,14108 0,32366 0,14094 0,32372 0,14112 0,32376

0,3 0,22878 0,37639 0,22045 0,37226 0,21890 0,37280 0,22090 0,37340

0,5 0,33240 0,44297 0,32261 0,43931 0,31736 0,44077 0,32454 0,44363

0,7 0,47110 0,53979 0,46060 0,53669 0,44757 0,53911 0,46689 0,54898

0,9 0,67040 0,69119 0,66044 0,68867 0,63137 0,69036 0,67912 0,72087

dispersión anisotrópica lineal hacia adelante

0,1 0,14252 0,33478 0,13626 0,33021 0,13614 0,33029 0,13633 0,33025

0,3 0,21491 0,39817 0,20695 0,39389 0,20560 0,39454 0,20782 0,39446

0,5 0,31182 0,48275 0,30240 0,47889 0,29788 0,48041 0,30584 0,48124

0,7 0,44722 0,60015 0,43676 0,59687 0,42550 0,59824 0,44683 0,60394

0,9 0,64784 0,77236 0,63694 0,76975 0,61132 0,76791 0,66367 0,78903

dispersión anisotrópica lineal hacia atrás

0,1 0,15238 0,32175 0,14581 0,31730 0,14564 0,31732 0,14581 0,31740

0,3 0,24187 0,35630 0,23316 0,35233 0,23144 0,35259 0,23333 0,35358

0,5 0,35111 0,40791 0,34088 0,40445 0,33512 0,40530 0,34184 0,40930

0,7 0,49198 0,48849 0,48132 0,48557 0,46711 0,48734 0,48501 0,499720,9 0,68929 0,62402 0,68002 0,62157 0,64867 0,62378 0,69299 0,65994

Tabla 2: Reflectividad ρ y transmisividad Γ para diferentes albedos de dispersión Ω, dispersión isotrópica y anisotrópica, correspondientes al Caso A τi=1.0, τe=2.0.

En la Tabla 1 se muestran resultados del flujo de calor adimensional en la misma forma que fue presentado en los trabajos citados q *=(r / R e) (qr / γT i

4 ) para diferentes combinaciones de

temperaturas Te/Ti, emisividades εi y εe, con una relación de radios Ri/Re=0.5 y un espesor óptico τe=1.0. Junto a los resultados obtenidos en este trabajo se incluyen los resultados de Jia et al. (1991), Sghaier et al. (2000), Trabelsi et al. (2005) y Kim et al. (2008a,b), de la comparación surge que el error máximo, en valor absoluto, tomando los resultados de este trabajo como valores de referencia, son respectivamente del 2.07%, 10.49%, 5.45%, 3.58%, 1.55% y 1.52%. Los resultados de Sghaier et al. (2000) son los que muestran mayores errores si se los compara con todos los resultados publicados. Comparando con los resultados de Kim et al. (2008b), que utilizan el MVF, se aprecia que el mayor error máximo es del 1.52%.

En la Figura 1 se puede observar la influencia de la relación entre las temperaturas de la esfera exterior e interior sobre la distribución de la temperatura adimensional en el medio para εi=εe=0.5, Ri/Re=0.5 y τe=1.0. Allí se pueden comparar los resultados obtenidos en este trabajo con los resultados de Sghaier et al. (2000) y Kim et al. (2008b) donde se observa un muy buen nivel de coincidencia. Se advierte el salto de temperatura entre el gas, próximo a las esferas, y las paredes sólidas, como consecuencia de que la radiación térmica es el único modo de transferencia de energía presente, este salto se incrementa con la relación de temperaturas en las proximidades de la pared interior y no parece modificarse en las proximidades de la pared exterior. Como es natural, la temperatura adimensional se incrementa con el radio cuando la



temperatura de la pared exterior es mayor que la interior y disminuye en el caso contrario.


MVF Rebollo Exact SK1 SK2



0,1 0,06467 0,04758 0,05996 0,04412 0,05983 0,04414 0,05995 0,04414

0,3 0,13948 0,06453 0,13016 0,06036 0,12882 0,06071 0,13006 0,06069

0,5 0,23949 0,09644 0,22620 0,09109 0,22179 0,09302 0,22600 0,09263

0,7 0,38749 0,16804 0,37216 0,16063 0,36163 0,16922 0,37216 0,16674

0,9 0,66157 0,38898 0,64996 0,37814 0,63115 0,42233 0,65371 0,40910


0,1 0,05725 0,05027 0,05313 0,04664 0,05299 0,04661 0,05312 0,04665

0,3 0,11787 0,07558 0,11012 0,07081 0,10870 0,07060 0,11005 0,07097

0,5 0,20612 0,12279 0,19503 0,11633 0,19034 0,11660 0,19496 0,11708

0,7 0,34945 0,22342 0,33620 0,21460 0,32511 0,22011 0,33679 0,21778

0,9 0,63856 0,49510 0,62749 0,48426 0,60835 0,52514 0,63396 0,50178


0,1 0,07189 0,04507 0,06660 0,04177 0,06649 0,04180 0,06659 0,04179

0,3 0,15945 0,05543 0,14853 0,05179 0,14738 0,05225 0,14843 0,05211

0,5 0,26876 0,07679 0,25325 0,07240 0,24932 0,07458 0,25299 0,07397

0,7 0,41944 0,12902 0,40193 0,12293 0,39234 0,13160 0,40165 0,129460,9 0,68053 0,31213 0,66813 0,30197 0,65012 0,34430 0,67029 0,33749

Tabla 3: Reflectividad ρ y transmisividad Γ para diferentes albedos de dispersión Ω, dispersión isotrópica y anisotrópica, correspondientes al Caso B τi=1.0, τe=4.0.

La Figura 2 muestra la influencia del espesor óptico sobre la distribución de temperatura adimensional para εi=εe=0.5, Te/Ti=2.0, Ri/Re=0.5 y tres valores del espesor óptico τ. Junto a los resultados de este trabajo se muestran los correspondientes a Kim et al. (2008b). Se advierte que para el menor espesor óptico (medio ópticamente fino) la distribución de temperatura es más uniforme, al aumentar el espesor óptico se incrementa el gradiente de temperatura, llegando a un extremo casi lineal para el mayor espesor óptico (medio ópticamente grueso), semejante al caso de conducción. También se observa que los saltos de temperatura, entre las paredes de las esferas y el gas, en las inmediaciones de las paredes, se reducen al incrementarse el espesor óptico, debido al incremento de la absorción y emisión con el coeficiente de extinción.

En la Figura 3 se puede observar la influencia del espesor óptico sobre la distribución de temperatura adimensional para las mismas condiciones de la Figura 2, εi=εe=0.5, Te/Ti=2.0, Ri/Re=0.5 y τ=0.1;1.0;10.0, donde la temperatura adimensional se presenta por medio de una función de la temperatura elevada a la cuarta potencia, tal cual la presentaron originalmente Sghaier et al. (2000). Esta función de la cuarta potencia de la temperatura dificulta la interpretación de los resultados, pero el análisis hecho para la Figura 2 sigue siendo válido y solo se incluye por motivos de comparación.

Todos los resultados mostrados corresponden al caso de dispersión isotrópica, en la Figura 4 se puede ver la influencia de la función de dispersión sobre la distribución de temperatura adimensional para εi=εe=0.5, Te/Ti=0.5, Ri/Re=0.5 y τe=1.0, donde se incluyen los resultados de



Sghaier et al. (2000). Como en el caso de la Figura 3, Sghaier et al. (2000) emplean una función de la temperatura elevada a la cuarta potencia, lo que dificulta la interpretación de resultados. La función de dispersión anisotrópica hacia adelante (forward) y hacia atrás (backward) empleada por Sghaier et al. (2000) son las mismas que utilizaron Tsai y Özişik (1990). Si las paredes de las esferas fuesen negras, se debería esperar que los valores de la temperatura sean superiores para dispersión anisotrópica hacia adelante, intermedios en dispersión isotrópica y menores para dispersión hacia atrás, como las paredes reflejan en forma difusa la mitad de la radiación incidente, la componente reflejada por ambas paredes perturba esta distribución produciéndose un cruzamiento, tal cual lo reflejan los resultados de Sghaier et al. (2000). Este cruzamiento no es tan evidente en nuestros resultados, además, se observan diferencias apreciables entre nuestros resultados y los de Sghaier et al. (2000), estas diferencias son más notables en las cercanías de la pared interior que en la pared exterior. Recordando las diferencias expuestas en el análisis de la Tabla 1 respecto a los resultados de Sghaier et al. (2000), es muy probable que el problema se encuentre en la formulación matemática de las condiciones de borde, que para el caso de radiación térmica, resulta siempre un tema de controversia.


MVF Rebollo Exact SK1 SK2



0,1 0,04857 0,27988 0,04566 0,27349 0,04552 0,27349 0,04566 0,27351

0,3 0,11500 0,31843 0,10750 0,31131 0,10597 0,31095 0,10749 0,31149

0,5 0,19932 0,37128 0,18786 0,36399 0,18248 0,36228 0,18796 0,36470

0,7 0,31153 0,44766 0,29797 0,44162 0,28387 0,43580 0,29867 0,44375

0,9 0,47166 0,56655 0,46120 0,56562 0,42731 0,54787 0,46416 0,57155


0,1 0,04107 0,28643 0,03881 0,27968 0,03867 0,27968 0,03881 0,27969

0,3 0,09256 0,33993 0,08686 0,33197 0,08534 0,33174 0,08690 0,33210

0,5 0,16250 0,41078 0,15365 0,40250 0,14827 0,40107 0,15394 0,40305

0,7 0,26185 0,50891 0,25097 0,50205 0,23679 0,49648 0,25223 0,50384

0,9 0,41233 0,65392 0,40270 0,65209 0,36832 0,63405 0,40709 0,65736


0,1 0,05590 0,27354 0,05234 0,26751 0,05221 0,26745 0,05223 0,26752

0,3 0,13589 0,29878 0,12660 0,29254 0,12516 0,29190 0,12657 0,29274

0,5 0,23192 0,33717 0,21789 0,33094 0,21277 0,32855 0,21788 0,33171

0,7 0,35321 0,39746 0,33704 0,39225 0,32355 0,38535 0,33740 0,394510,9 0,51851 0,49837 0,50720 0,49791 0,47465 0,47892 0,50925 0,50407

Tabla 4: Reflectividad ρ y transmisividad Γ para diferentes albedos de dispersión Ω, dispersión isotrópica y anisotrópica, correspondientes al Caso C τi=4.0, τe=5.0.

3.2 Incidencia difusa externa

El problema de la incidencia externa difusa en coordenadas esféricas consiste en un par de esferas concéntricas, cuyas superficies interior y exterior, junto con el medio que las separa, son transparentes a la radiación térmica externa. Para el caso analizado en este trabajo, la intensidad de radiación externa, ecuación (6), es unitaria ie=1W m-2 sr-1 y es la única fuente de



radiación, por lo que la intensidad incidente interna y las temperaturas de las paredes y del gas son nulas, ii=0, Te=Ti=Tg=0 K, las paredes son transparentes ρi=ρe=1, el coeficiente de extinción es constante β=1m-1, el espesor óptico τ=βr en las paredes toma valores τi=1;4 y τe=2;4;5, el albedo de dispersión Ω=σ/β=0.1;0.3;0.5;0.7;0.9 y, finalmente, la función de dispersión, ecuación (3), se considera isotrópica M=0, anisotrópica lineal M=1 hacia adelante A1=1 y hacia atrás A1=-1. Esta configuración fue estudiada primeramente por Tsai et al. (1989), para un medio homogéneo y heterogéneo, posteriormente, Altaç y Tekkalmaz (2004) fueron los primeros en mostrar que los resultados de Tsai et al. (1989) eran erróneos. Sin embargo, los resultados de Altaç y Tekkalmaz (2004) seguían siendo inseguros, incluso los presentados en Tekkalmaz y Altaç (2007) para un medio heterogéneo. Por este motivo, en este trabajo solo se comparan resultados para un medio homogeneo, dados por Tekkalmaz y Altaç (2007) que sí resultan precisos.

Las Tablas 2, 3 y 4 muestran resultados correspondientes a la reflectividad y transmisividad hemisférica tal cual la definieran Tsai et al. (1989), la reflectividad se calcula como la relación entre el flujo de calor saliente y el flujo de calor entrante sobre la esfera exterior ρ=q+

(τe)/q-( τe) , mientras que la transmisividad se calcula como la relación entre el flujo

de calor saliente por la esfera interior respecto al flujo de calor entrante por la esfera exterior Γ=q-

(τ i) /q-(τe) . Se incluyen resultados de Tekkalmaz y Altaç (2007) obtenidos al

resolver la ecuación de la transferencia radiante con una solución exacta y una solución aproximada SKn de primer orden (n=1) y segundo orden (n=2) para tres tamaños de esferas diferentes identificadas como Caso A (τi=1.0, τe=2.0), Caso B (τi=1.0, τe=4.0) y Caso C (τi=4.0, τe=5.0). Si se calculan los errores relativos tomando como valor de referencia los resultados correspondientes a la solución exacta, tal cual lo hicieron Tekkalmaz y Altaç (2007), se puede constatar que para el Caso A, con dispersión isotrópica, el error máximo en la reflectividad es del 4,55%, 4,40% y 2,38% para nuestros resultados, y los obtenidos con SK1

y SK2 respectivamente, mientras que para la transmisividad los errores son del 1,39%, 0,45% y 4,68%. Para dispersión anisotropica lineal hacia adelante los errores son del 4,59%, 4,02% y 4,20% para la reflectividad y del 1,38%, 0,32% y 2,50% para la transmisividad y, para dispersión anisotropica lineal hacia atrás, los errores son del 4,50%, 4,61% y 1,91% para la reflectividad y del 1,40%, 0,36% y 6,17% para la transmisividad. Para el Caso B se puede verificar que para dispersión isotrópica el error máximo en la reflectividad es del 7,85%, 2,89% y 0,58% mientras que para la transmisividad los errores son del 7,84%, 11,69% y 8,19%, para dispersión anisotropica lineal hacia adelante, los errores son del 7,76%, 3,30% y 1,03% para la reflectividad y del 7,78%, 8,44% y 3,62% para la transmisividad, y para dispersión anisotropica lineal hacia atrás, los errores son del 7,95%, 2,70% y 0,32% para la reflectividad y del 7,89%, 14,02% y 11,76% para la transmisividad. Finalmente, para el caso C, con dispersión isotrópica, el error máximo en la reflectividad es del 6,97%, 7,35% y 0,64% mientras que para la transmisividad los errores son del 2,34%, 3,14% y 1,05%, para dispersión anisotropica lineal hacia adelante los errores son del 6,56%, 8,54% y 1,09% para la reflectividad y del 2,41%, 2,77% y 0,81% para la transmisividad, y para dispersión anisotropica lineal hacia atrás, los errores son del 7,34%, 6,42% y 0,40% para la reflectividad y del 2,25%, 3,81% y 1,24% para la transmisividad.

4 CONCLUSIONES

En este trabajo se ha desarrollado un código computacional para el cálculo de la transferencia radiante en cavidades esféricas con paredes grises, difusas, reflectantes y transparentes, rellenas con un medio gris absorbente, emisor y anisotrópicamente dispersante.

El código computacional utiliza el método de los volúmenes finitos para resolver las



ecuaciones de la transferencia radiante junto con una expansión de los polinomios de Legendre para tener en cuenta los efectos de la dispersión anisotrópina.

Se han reproducido una gran cantidad de configuraciones geométricas y térmicas existentes en la literatura y se han evaluado la influencia de los parámetros radiantes más importantes.

Los resultados obtenidos fueron comparados con los resultados existentes en la literatura, donde se han usado métodos numéricos diferente para resolver la ecuación de la transferencia radiante.

De la comparación de resultados se puede concluir que las herramientas computacionales desarrolladas en este trabajo proporcionan resultados con un grado de precisión aceptable.

Se ha verificado la capacidad del método de los volúmenes finitos para resolver problemas de radiación térmica siendo totalmente confiable y seguro para resolver las configuraciones térmicas analizadas en este trabajo.

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