µO-CAF -1- 1

Capítulo 5:

Resonadores en microondas

Los circuitos resonantes (en baja y alta frecuencia)son muy utilizados en ingeniería electrónica en una gran variedad de aplicaciones: filtros,

osciladores, medidores de frecuencia y amplificadores sintonizados. El capítulo comienza recordando la teoría básica de circuitos resonantes, siendo la tecnología la que diferencie los circuitos resonantes en las distintas bandas

frecuencia. Las tecnologías expuestas para realizar circuitos resonantes en microondas

serán: líneas de transmisión, guías de onda formando cavidades resonantes y guías dieléctricas constituyendo resonadores dieléctricos.

µO-CAF -1- 2

ÍNDICE

• Introducción– Circuito resonante serie.– Circuito resonante paralelo.– Definiciones: factor de calidad cargado y descargado de un circuito.

• Circuitos resonantes en alta frecuencia• Resonadores basados en líneas de transmisión.

– Resonancia serie– Resonancia paralelo

• Cavidades resonantes.– Cavidades rectangulares.– Cavidades cilíndricas.

• Resonadores dieléctricos• Excitación de resonadores

µO-CAF -1- 3

INTRODUCCIÓN I: CIRCUITO RESONANTE SERIE

• Definición: – Resonancia serie o circuito resonante: en sus bornes hay mínimo de voltaje y máximo

de corriente lo que supone mínimo del módulo de la impedancia.– Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y

mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.

• Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia

V I

Zin

CS

LSRS

? / ? 0

|Zin(? )|

BW

R

R/0.707

µO-CAF -1- 4

INTRODUCCIÓN II: CIRCUITO RESONANTE SERIE

• Impedancia de entrada al circuito resonante

• Balance energético

• Un circuito resuena cuando la energía media almacenada por el campo magnético coincide con la almacenada por el campo eléctrico. Esto supone que la impedancia de entrada a dicha frecuencia de resonancia es real.

sssin C

jLjRZ⋅

⋅−⋅+=ω

ω1

( )emlosss

ssinin WWjPC

jLjRIIZIVP −⋅+=

⋅

⋅−⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ωω

ω 21

21

21

21 22*

ssce

sm

sloss

CICVW

LIW

IRP

⋅⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

2

22

2

2

141

41

4121

ω

( )

2

22I

WWjPZ emloss

in−⋅+

==ω

µO-CAF -1- 5

INTRODUCCIÓN III: CIRCUITO RESONANTE SERIE, DEFINICIONES

• Pulsación de resonancia: aquella a la que se cumple la condición de resonancia.

• Factor de calidad o de sobretensión: relación existente entre la energía media almacenada en el circuito y la energía perdida por segundo.

• Definición en función del margen de frecuencias

sso CL ⋅

=1

ω

loss

em

PWW

segundopordisipadaenergíaalmacenadamediaenergía

Q+

⋅=⋅= ωω

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) sssosin

oo

sososin

ss

ssin

LjRLjRZ

ddf

jddf

jC

jLjRZ

fjRC

jLjRZ

oo

22

...!2

1

1

22

⋅∆⋅+=⋅−⋅+=

+⋅−

⋅+⋅−⋅+

⋅

⋅−⋅+=

⋅+=⋅

⋅−⋅+=

==

ωωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωω

ωω

ωωωω

( ) ( ) ( )αω

ωω ⋅⋅+⋅=⋅

⋅⋅∆⋅+= QjRQR

jRZ so

ssin 12

( )α

ωω

=⋅∆

o

2

µO-CAF -1- 6

INTRODUCCIÓN IV: CIRCUITO RESONANTE PARALELO

• Definición: – Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y

mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.

• Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia– Las expresiones que rigen su funcionamiento son las duales de las del circuito serie.

? / ? 0

|Zin(? )|

BW

R

R/0.707

V

I

Vg Zin

CPLPRPV

I

Vg Zin

CPLPRP

µO-CAF -1- 7

FACTOR DE CALIDAD CARGADO, AISLADO Y EXTERIOR

LPGP CPGO GL

Circuito resonante de

factor Q

LPGP CPCPGO GL

Circuito resonante de

factor Q

• La energía almacenada es única por lo que la variación del factor de calidad irá ligada a la variación en las pérdidas que pueda haber.

• Si pudieran separarse los efectos de las pérdidas dependiendo de si la causa fuera interna o externa al circuito tendríamos:– Factor de calidad aislado o en vacío, Q: las pérdidas se deben exclusivamente al

circuito resonador.– Factor de calidad exterior, Qex, las pérdidas se deben a los circuitos exteriores a que se

conecta el resonador– Factor de calidad cargado: incluye todos los efectos de pérdidas, internos y externos, y

es el que realmente se puede medir, QL.

GO GL

LP

GP

CP

GO GL

LP

GP

CPLP

GP

CPLP

GP

CPLP

GP

CPCPCP

µO-CAF -1- 8

FACTOR DE CALIDAD: CONEXIÓN DE RESONADORES

• Hay tantos factores de calidad externos cuantas conexiones del resonador tengamos al exterior. Así se pueden clasificar los resonadores por su conexión:– Resonadores a reflexión: solo existe un terminal que aporta energía al resonador.

Tiene una configuración tipo dipolo y hay un solo Qext

– Resonadores a transmisión: se aporta energía al resonador por un terminal y se extrae por otro. Tiene una configuración tipo cuadripolo y hay dos Qext: Qext1 y Qext2

• Si la energía almacenada es común y las pérdidas han podido separarse el factor de calidad cargado, que es el que se puede medir, viene dado por:

• Si las resistencias exteriores son Rex1 y Rex2

• Que para el circuito paralelo tendremos:

21

1111

exexL QQQQ++=

2222

1111 ;

ex

s

sex

sso

ex

soex

ex

s

sex

sso

ex

soex

RR

QRR

RLR

LQ

RR

QRR

RLR

LQ

⋅=⋅

⋅⋅=

⋅=

⋅=⋅

⋅⋅=

⋅=

ωω

ωω

p

ex

po

ex

ex

p

pex

ppo

ex

poex R

RQ

LR

G

GQ

GG

GC

G

CQ 11

1111 ⋅=

⋅=⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅=

ω

ωω

µO-CAF -1- 9

FACTOR DE ACOPLAMIENTO

• Relación entre los factores de calidad externo e interior: s

• Si se normaliza la resistencia exterior a un valor 1 resulta:– Resonador serie: s= 1/rs

– Resonador paralelo: s=1/gp

• Clasificación de resonadores atendiendo al factor de acoplamiento:– Resonador subacoplado: s<1? Q<Qext (pérdidas en el resonador mayores que en el

circuito exterior)? rs>1 (para circuito serie)– Resonador sobreacoplado: s>1 ? Q>Qext (pérdidas en el resonador menores que en el

circuito exterior)– Acoplmiento crítico: s=1

==⋅⋅

⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅

===

ex

p

p

ex

p

ex

s

ex

s

ex

ex

R

R

GG

GV

GVparalelo

RR

RI

RIserie

resonadorelenPérdidasexteriorcircuitoelenPérdidas

QQ

s

2

2

2

2

2121

:

2121

:

µO-CAF -1- 10

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2

0

j0.5

-j0.5

0

j1

-j1

0

j2

-j2

0

Cavidad subacoplada:RS>ZO

Acoplamiento crítico:RS = ZO

Cavidad sobreacoplada:RS<ZO

REPRESENTACIÓN DE LOS FACTORES DE ACOPLAMIENTO

µO-CAF -1- 11

RESONADORES EN ALTA FRECUENCIA

• Inconvenientes en alta frecuencia:– El aumento de la frecuencia de resonancia supone reducir la inductancia o capacidad:

caso límite, reducción a un hilo, concepto de línea de transmisión.– Una bobina acaba siendo auto resonante: capacidades parásitas y resistencias parásitas– En un circuito no cerrado el efecto de la radiación se hace no despreciable.

• Conclusiones sobre alta frecuencia:– Una sección de línea de transmisión puede resonar en determinadas circunstancias.– Se puede reducir las pérdidas cerrando la estructura y pasando al concepto de cavidad

resonante.– Los conceptos de resonancia serie y paralelo siguen siendo válidos pero se repiten

cada media longitud de onda.

• Tipos de resonadores en alta frecuencia:– Basados en líneas de transmisión– Cavidades resonantes– Resonadores dieléctricos

µO-CAF -1- 12

z=l z=0

Zin

Zo, β, α

l= n λ/2

n=1

n=2

l

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES

CONDICIÓNDE RESONANCIA

PARALELO

CONDICIÓNDE RESONANCIA

SERIE

µO-CAF -1- 13

ANÁLISIS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES

• Valores de voltaje y corriente en cualquier punto de la línea:

• Supongamos que está acabada en cortocircuito

• Condición de resonancia:

• Frecuencias de resonancia

( ) ( )( ) ( )zjzj

o

o

zjzjo

eeZV

zI

eeVzV

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅Γ−⋅=

⋅Γ+⋅=

ββ

ββ

( ) ( )( ) ( ) z

ZV

eeZV

zI

zVjeeVzV

o

ozjzj

o

o

ozjzj

o

⋅⋅=⋅+⋅=

⋅⋅⋅−=⋅−⋅=

⋅⋅−

⋅⋅−

β

β

ββ

ββ

cos2

sen2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅−⋅

⋅⋅

+⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅

⋅−⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅

⋅+⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=

∫∫

∫

∫

222

0

*

0

*

2

0

*

2

0

*

22sen

21

21

22sen

124

1

22sen

124

1

ooo

ll

loss

ol

E

ol

H

ZGRl

lZGRlIzVzVGzIzIRP

lllLI

zVzVCW

lllLI

zIzILW

ββ

ββ

ββ

( ) ,...3,2,1;4

02sen =⋅=⇒=⋅ nnllλ

βeff

oneffonon

p

l

cnf

f

cn

f

vnnl

εε

λ

⋅⋅⋅=⇒

⋅⋅=⋅=⋅=

4;

444

µO-CAF -1- 14

z=l z=0

Zin

Zo, β, α

l= n λ/2

n=1

l

l/2

RESONANCIA SERIE (I)

V I

Zin

CS

LSRS

µO-CAF -1- 15

RESONANCIA SERIE (II)

• Valor de la impedancia:

• Considerando una línea de bajas pérdidas:

• Valor de la impedancia:

• Parámetros del resonador

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )lljljl

ZljZlZZlZZ

ZZ ooZLo

oLoin

L⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅+

==

βαβα

βαγγ

tgtgh1tgtgh

tghtghtgh

0

( ) ll ⋅≅⋅ ααtgh ( )ooo

lω

πωω

πωω

πωπβ

⋅∆≈

⋅∆=

⋅∆+=⋅ tgtgtg

⋅∆⋅+⋅⋅≈

⋅∆⋅⋅⋅+

⋅∆⋅+⋅

≈

<<

⋅∆⋅⋅

oo

lo

ooin jlZ

lj

jlZZ

o

ωπωα

ωπωα

ωπωα

ωωα 1

1

αβ

απω

ωπ

α

22

2;

=⋅

=⋅

=

⋅=⋅⋅=

resonancia

o

o

osos

lRL

Q

ZLlZR

µO-CAF -1- 16

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES CERRADAS POR AMBOS EXTREMOS

• En el caso de que las líneas de transmisión se encuentren cerradas por ambos extremos la resonancia existirá cuando se cumpla la condición en ambos lados. Esto quiere decir que será a múltiplos de media longitud de onda.

• La condición de resonancia en este caso será:

( ) ( ) 0=+ xZxZ iin

din

µO-CAF -1- 17

Zin

Zo, β, α

l l1

C

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES ACORTADAS

0.2 0.5 1 2

j0.2

-j0.2

0

j0.5

-j0.5

0

j1

-j1

0

j2

-j2

0

XC

2π-φc

2?

01

1tan

arctan2

2

ZCw

ZX

o

CC

C

⋅⋅=

+=

=−

θ

πφ

πθφ

µO-CAF -1- 18

CAVIDADES RESONANTES (I)

• Definición: volumen cerrado por paredes conductoras metálicas dentro del cual se introduce y extrae energía por diversos métodos.

• Análisis más complicado que en líneas de transmisión porque hay infinitos modos de propagación. – En modos TEM existen voltajes y corrientes definidos de forma unívoca– El estudio se hace a partir del modo de la guía y se particulariza para unas condiciones

de cierre determinadas.

• Campo en una guía:

• Constante de fase en una guía

• Si se cierra en z=0 por un cortocircuito perfecto

( ) ( )[ ]zjzjt

mnmn eAeAyxezyxE ββ −−+ += ,,,22

2

−

−=

bn

am

kmnππ

β

0=tE −+ −= AA

( ) ( ) 0sin2,,, =−= + djAyxedyxE mnt β

,...,3,2,1 == lldmn πβ

µO-CAF -1- 19

CAVIDADES RESONANTES (II)

a

b

d

d

a

m=1

l=1

x

x

y

y

z

z

222222

+

+

=⇒+=

dl

bn

am

kkk mnlcπππ

β

222

22

+

+

==

dl

bn

amcck

frrrr

mnlmnl

πππεµπεµπ

µO-CAF -1- 20

CAVIDADES RESONANTES (III)

222222

+

+

=⇒+=

dl

bn

am

kkk mnlcπππ

βSi dividimos la expresión

por el número de onda de corte asociado al TE10 resulta

22

2

10

202

+

=

da

lkk

caf

c

c

µO-CAF -1- 21

FACTOR DE CALIDAD DE UNA CAVIDAD RECTANGULAR CON EL MODO TE101

dzl

ax

akEj

H

dzl

ax

ZjE

H

dzl

ax

EE

z

TEx

y

ππηπ

ππ

ππ

sincos

cossin

sinsin

0

0

0

=

−=

= ∫ ==V yye E

abddvEEW 2

0*

164εε

( )

+=+= ∫ 222

2

220

** 1164 akZ

Eabd

dvHHHHWTE

V zzxxm ηπµµ

( ) ( )

( ) ( )[ ]

+++=

=+=+

=+==

∫∫

∫ ∫∫ ∫

==

= == =

ad

dal

abd

dablER

dxdzyHyHR

dydxHRdxdyzHRP

s

a

x zx

d

zs

d

z

b

y zs

b

y

a

x xsc

228

00

00

2

22

2

2

220

0

22

0

0 0

2

0 0

2

ηλ

z

( )( )[ ]3323322

3

2

22

22

30

221

2

22

14

2

addalbdbalRbkad

ad

dal

abd

dablR

abdkP

WQ

s

sc

ec

+++=

+++

==

πη

πηω

δεεω

tan12

=′′′

==d

ed P

WQ

111

−

+=

dc QQQ

µO-CAF -1- 22

EXCITACIÓN DE RESONADORES (I)

Sonda magnética Sonda eléctrica Apertura

µO-CAF -1- 23

EXCITACIÓN DE RESONADORES IMPRESOS (I)

I CS

LSRS

C

Zin

µO-CAF -1- 24

BIBLIOGRAFÍA

• Apuntes de resonadores, Daniel Segovia• Pozar, capítulo 6• Collin, capítulo 7