Politechnika Krakowskaim. Tadeusza Kościuszki

Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki StosowanejKierunek Matematyka

Dorywalski Andrzej

Wycena Opcji Pogodowych(praca magisterska)

Promotor: Dr M. Wiciak

Kraków 2010

Spis treści

1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Instrumenty pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Kontrakty forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Kontrakty futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Opcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Zarys historyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Wycena swapów pogodowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Wycena aktuarialna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2. Wycena Rynkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3. Rola prognozy pogody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Wycena opcji pogodowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1. Zastosowanie prognozy pogody . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2. Wycena oparta o rynek opcji pogodowych . . . . . . . . . . 12

2. Elementy Analizy Stochastycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1. Podstawowe twierdzenia i definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1. Warunkowa Wartość Oczekiwana . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2. Martyngały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Proces Wienera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4. Całka Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.5. Wzór Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.6. Stochastyczne równanie różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . 212.1.7. O reprezentacji martyngału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.8. Twierdzenie Girsanowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Wycena martyngałowa w model rynku z czasem ciągłym . . . . . . 232.2.1. Model rynku finansowego z czasem ciągłym . . . . . . . . . . 232.2.2. Wycena martyngałowa instrumentów pochodnych . . . . . . 26

3. Wycena opcji pogodowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Model Blacka-Scholesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1. Wycena instrumentów w modelu Blacka - Scholesa . . . . . 313.2.2. Wzór Blacka-Scholesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Model Blacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1. Wzór Blacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2. Równanie różniczkowe w modelu Blacka . . . . . . . . . . . 38

3.4. Proces cen opcji pogodowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. Model rynku zrównoważonego dla opcji pogodowych . . . . . . . . . 403.6. Wycena na rynku zrównoważonym dla opcji pogodowych . . . . . . 42

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

1. Wstęp

1.1. Wprowadzenie

W ciągu ostatnich lat pojawiła się nowa atrakcyjna klasa aktywów : dyre-waty pogodowe. Nieskorelowane praktycznie z większością innych inwestycjidoprowadziły do powstania stanowisk do spraw obrotu opcjami pogodowy-mi w dużej ilości przedsiębiorstw ubezpieczeniowych, bankach, funduszachhedgingowych czy też przedsiębiorstwach energetycznych. Portfel opcji po-godowych, który posiadają te firmy zawiera paręset kontraktów o wielkościod paręnastu tysięcy aż do dziesiątek milionów dolarów.

Strategie obrotu kontraktami różnią się między przedsiębiorstwami, asame opcje mogą służyć do tworzenia zyskownych portfeli inwestycyjnychna przeróżne sposoby. Na przykład:

— Dywersyfikacja portfela za pomocą opcji pogodowych może dać dobryzwrot z inwestycji przy małym ryzyku, dzięki wielu różnym i nieskorelo-wanym indeksom pogodowym, na których oparte są opcje.

— Portfel opcji pogodowych oraz zwykłych towarów może mieć duży zwrot,ale niskie ryzyko, ze względu na korelacje pogody i cen towarów.

— Portfel złożony z bardziej standardowych inwestycji (takich jak akcjei obligacje), który zawiera małą liczbę opcji pogodowych może obni-żyć ryzyko inwestycji, które byłoby większe niż przy portfelu złożonymz samych standardowych aktywów. Dzieje się tak ze względu na brakkorelacji pomiędzy dyrewatami pogodowymi, a produktami dostępnymina zwykłych rynkach finansowych.

Dla tych, którzy obracają i inwestują w opcje pogodowe metody uży-wane przy wycenie i szacowaniu ryzyka są bardzo ważne. Niniejsza pracapoświęcona jest podstawowym metodom wyznaczania sprawiedliwej cenyopcji pogodowych.

W rozdziale pierwszym zajmiemy się przybliżeniem pojęcia opcji po-godowych, przedstawiamy zarys historyczny ich pojawienia się w obiegu,najpierw pozagiełdowym, a następnie giełdowym. Przypominamy równieżpodstawowe pojęcia dotyczące opcji. Omówimy podstawowe metody wyce-ny swapów pogodowych stosowane na rynkach. Stają się one podstawą dowyceny bardziej skomplikowanych instrumentów, jakimi są opcje pogodowe.Zagadnienia te przybliżymy w oparciu o prace Jewsona opublikowane przezRisk Menagement Solution, [5-8].

W rozdziale drugim przypominamy podstawową wiedzę z zakresu analizystochastycznej, [4,9-13]. Zawarte w nim są definicje i twierdzenia potrzebnedo skonstruowania wiarygodnego modelu wyceny różnego rodzaju instru-mentów finansowych. Na koniec rozdziału skupimy się na modelu rynkuz czasem ciągłym, w którym przybliżymy metodę wyceny martyngałowejinstrumentów pochodnych.

2

W rozdziale trzecim przedstawiamy podstawowy model wyceny opcji naakcje jakim, to jest model Blacka-Scholesa. Stanie się on podstawą do dal-szych rozważań i modyfikacji, które pozwolą wyprowadzić wzory na cenętak egzotycznych opcji, jak opcje pogodowe. Najpierw więc przedstawiamymodel z pracy Blacka z roku 1976, [1], dla opcji opartych o kontrakty for-ward. Ostatecznie, modyfikujemy model Blacka, tak by zamiast opierać sięo kontrakty forward, opierać się o swapy pogodowe. Takie podejście pozwalana sprawiedliwą wycenę opcji pogodowych,[1,7,14].

1.2. Instrumenty pochodne

Instrumenty pochodne czy też dyrewaty to rodzaj papierów wartościo-wych, instrumentów finansowych, których wartość uzależniona jest od war-tości innych instrumentów finansowych, zwanych instrumentami bazowymi.

Instrumentem bazowym mogą być akcje, obligacje, wysokość stopy pro-centowej, wartość indeksu giełdowego, a także tak nietypowe wskaźniki jakliczba dni słonecznych, wielkość opadu śniegu czy deszczu – derywaty pogo-dowe.

Instrumenty pochodne można podzielić na dwie grupy:

— instrumenty o ryzyku symetrycznym (kontrakty terminowe, mogą to byćkontrakty typu forward i futures oraz swapy),

— instrumenty o ryzyku niesymetrycznym (opcje, warranty, obligacje za-mienne).

Niesymetryczność ryzyka w opcjach polega na tym, że z jednej strony mo-żemy zarobić nieograniczoną kwotę pieniędzy ryzykując znaną z góry kwotękapitału (zapłaconą premię opcyjną w przypadku nabycia opcji kupna lubsprzedaży) lub zarobić z góry ustaloną kwotę pieniędzy (otrzymaną premięopcyjną) ryzykując możliwość poniesienia nieograniczonej straty (wystawia-jąc opcję kupna bądź sprzedaży).

Instrumenty potwierdzają uzyskanie przez nabywcę prawa do otrzymaniaw przyszłości określonej wartości pieniężnej lub dokonania transakcji.

Najczęściej są wykorzystywane w celu zabezpieczenia (minimalizacji ry-zyka) oraz coraz częściej do spekulacji. Ze względu na zjawisko dźwigni fi-nansowej (lewar) pozwalają osiągnąć duży zysk przy znacznie mniejszymzaangażowaniu środków własnych niż przy wykorzystaniu klasycznych in-strumentów finansowych.

Rynek instrumentów pochodnych powstał w wyniku konieczności zabez-pieczenia się uczestników transakcji finansowych przed ryzykiem wystąpieniasytuacji przeciwnej do przewidywanej przez nich. Obok transakcji zabez-pieczających (ang. hedging) zawierane są również transakcje o charakterzespekulacyjnym, związane z przejmowaniem ryzyka.

3

1.2.1. Kontrakty forward

Kontrakt forward jest to instrument finansowy, transakcja terminowanp. na kurs walut, cenę ryżu. Polega na kupnie lub sprzedaży zasobu Xza Y . Kurs po jakim zostanie dokonana transakcja oraz wielkość transakcjizostają ustalone w dniu jej zawarcia, natomiast fizyczna dostawa zasobówmusi nastąpić w ściśle określonym dniu w przyszłości. W przypadku niektó-rych forwardów po upływie terminu umowy można nie dostarczać zasobów,a tylko zapłacić różnicę pomiędzy ceną poprzednio uzgodnioną w kontrak-cie a ceną obowiązującą w dniu wygaśnięcia umowy. W transakcjach typuforward istnieje ryzyko nie wywiązania się z umowy transakcyjnej ponieważinstrument ten nie podlega standaryzacji i nie jest regulowany przez izbęrozliczeniową.

Forward to produkt typu tailor made (uszyty na miarę) - każda umowajest tworzona dla indywidualnego klienta, dlatego negocjowane są następu-jące warunki (dotyczy kontraktu walutowego):

— kwoty w obu walutach, które zostaną wymienione,

— data, godzina i miejsce wykonania,

— jeżeli ma być rozliczny w gotówce, to bierze się średnią różnicy pomiędzykursami kupna i sprzedaży, kwotowanymi przez określony bank,

— jeżeli jedna ze stron spóźni się z dokonaniem płatności wówczas naliczanesą odsetki od należnej kwoty rozliczenia.

W chwili wystawiania kontraktu wartość teraźniejsza netto rynkowegokontraktu forward jest równa zeru. Kontrakty są zawierane dlatego, że jed-na strona transakcji np. kupujący oczekuje, że cena za określony czas będzieróżniła się od ceny wykonania transakcji.

— Zysk lub strata nabywcy kontraktu forward wynosi:

Zysk/strata = cena natychmiastowa – cena wykonania x (liczba zakon-traktowanych jednostek),

— Zysk lub strata sprzedawcy kontraktu forward wynosi:

Zysk/strata = cena wykonania - cena natychmiastowa x (liczba zakon-traktowanych jednostek).

Przykład zastosowania kontraktu forward to:

— walutowy, w którym strony transakcji ustaliły, że jedna z nich w okre-ślonym dniu zapłaci X EUR za Y USD,

— procentowy, czyli FRA, w którym strony transakcji ustaliły, że jednaz nich w określonym dniu zapłaci kupon o stałym oprocentowaniu oduzgodnionej wartości, w zamian za kupon o zmiennym oprocentowaniu,

4

— cenowy, w którym strony transakcji ustaliły, że jedna z nich w określonymdniu zapłaci X USD za Y ton miedzi.

1.2.2. Kontrakty futures

Kontrakt futures (kontrakt terminowy) to instrument finansowy, będącyrodzajem umowy, zawartej pomiędzy kupującym (sprzedającym) a giełdąlub izbą rozliczeniową, w której sprzedający zobowiązuje się sprzedać okre-ślony instrument bazowy za ściśle określoną cenę w ściśle określonym ter-minie. Cena, według której strony przeprowadzą transakcje w przyszłości,zwana jest ceną terminową, zaś dzień, w którym strony zobowiązane są prze-prowadzić transakcję, to data rozliczenia lub data dostawy.

Znaczna większość kontraktów futures jest rozliczana gotówkowo - zale-dwie kilka procent kontraktów jest rozliczane w drodze dostawy aktywówbazowych.

Podstawowa forma kontraktu futures jest taka sama jak kontraktu for-ward. Różnica polega na tym, że futures jest rozliczany na koniec każdegodnia. Można powiedzieć, że kontrakt futures jest jak ciąg kontraktów for-ward.

Ryzyko kredytowe tego kontraktu jest praktycznie wyeliminowane (aleoczywiście istnieje prawdopodobieństwo niewywiązania się kontrahenta z kon-traktu), ponieważ strony transakcji wpłacają zabezpieczenie początkowe(gdy saldo rachunku spadnie poniżej pewnego uzgodnionego minimum, inwe-stor musi złożyć dodatkowe zabezpieczenie, jeśli tego nie zrobi, jego pozycjazostanie zamknięta, zanim dojdzie do wykorzystania kwoty zabezpieczenia).Kontrakty te są standaryzowane; np. aktywa bazowe, terminy wykonaniakontraktów (4 w ciągu roku), wielkości kontraktów, negocjowana jest tylkocena, w przeciwieństwie do kontraktów forward, które są w całości negocjo-wane.

Możliwości wykorzystania tych instrumentów to :

— hedging – zabezpieczenie ceny planowanego lub obecnego portfela,— arbitraż – wykorzystanie chwilowej nierównowagi na rynku w celu zre-

alizowania zysku bez ryzyka,— spekulacje – otwieranie pozycji na rynku derywatów w celu zrealizowania

zysku.

Rodzaje kontraktów futures:

— walutowy,— procentowy,— indeksowy,— towarowy.

Rozliczenie transakcji futures:

* Pozycja długa.W dniu rozliczenia: zapłata i przyjęcie instrumentu bazowego po z góry

5

ustalonej cenie. Zamknięcie pozycji: zawarcie transakcji „odwrotne”, tj.sprzedaż tej samej liczby kontraktów. Osoba otwierająca pozycję długą(kupująca kontrakt) zobowiązuje się do kupienia w przyszłości określo-nej ilości instrumentu bazowego po określonej cenie. Nabywca kontraktuliczy na wzrost ceny instrumentu bazowego w przyszłości. Jeśli jego prze-widywania się sprawdzą, będzie mógł on nabyć instrument bazowy pocenie niższej (wynikającej z kontraktu) i sprzedać go drożej na rynkukasowym. Inwestor zrealizuje wtedy zysk. W przypadku, gdy cena narynku kasowym będzie niższa od tej wynikającej z kontraktu – nabywcadługiej pozycji poniesie stratę.

* Pozycja krótka.W dniu rozliczenia: dostarczenie instrumentu bazowego po z góry ustalo-nej cenie. Zamknięcie pozycji: zawarcie transakcji ”odwrotnej”, tj. kupnotej samej liczby kontraktów. Osoba otwierająca pozycję krótką (sprzeda-jąca kontrakt) zobowiązuje się do sprzedania w przyszłości określonejilości instrumentu bazowego po określonej cenie. Sprzedawca kontrak-tu liczy na spadek ceny instrumentu bazowego w przyszłości. Jeśli jegoprzewidywania się sprawdzą (cena na rynku kasowym będzie niższa odtej ustalonej w kontrakcie), będzie mógł sprzedać instrument bazowypo cenie wyższej (wynikającej z kontraktu). Inwestor zrealizuje wtedyzysk. W przypadku, gdy cena na rynku kasowym będzie wyższa od tejwynikającej z kontraktu – sprzedający kontrakt poniesie stratę.

1.2.3. Opcje

Opcja jest to instrument finansowy o niesymetrycznym profilu wypłaty.Może być przedmiotem obrotu na giełdzie.

Opcja (w klasycznym rozumieniu) daje jej posiadaczowi („nabywcy”)prawo (lecz nie obowiązek) do nabycia lub sprzedaży danego dobra po z gó-ry określonej cenie. Prawo to może być zrealizowane w dniu wygaśnięciaopcji (opcja europejska) lub w dowolnym dniu od daty zawarcia kontraktuopcyjnego do daty wygaśnięcia włącznie (opcja amerykańska), ewentualniew kilku ściśle określonych datach (opcja bermudzka).

W przeciwieństwie do nabywcy, sprzedający opcję („wystawca”) jest zo-bowiązany do sprzedania lub zakupu danego dobra od nabywcy opcji, jeżeliten uzna, że zechce z posiadanego prawa skorzystać (czyli uzna wykonanieopcji za opłacalne). W praktyce opcja zostaje zrealizowana, jeśli przewi-dywana przez nią cena jest lepsza niż cena oferowana na wolnym rynkuw danym czasie. Zysk nabywcy opcji jest wówczas równy różnicy międzyceną rynkową, a ceną realizacji opcji.

Z tego względu w wielu wypadkach rozliczenie opcji odbywa się nie po-przez zawarcie faktycznej transakcji do której opcja uprawnia (rozliczenierzeczywiste), lecz jedynie przez wypłatę posiadaczowi opcji przez wystawcęsumy pieniężnej, odpowiadającej w/w różnicy cen (rozliczenie nierzeczywi-ste). Z reguły rozliczenie rzeczywiste stosuje się w przypadku towarów orazobligacji. W przypadku innych aktywów, częściej spotykane jest rozliczenienierzeczywiste.

W zamian za nabycie opcji nabywca płaci wystawcy cenę, zwaną premiąopcyjną. Wartość opcji silnie zależy nawet od niewielkich wahań notowań

6

przedmiotu transakcji, ponadto zależy ona od różnych innych czynników,dlatego wartość opcji trudno jest wyceniać. Istnieją różne metody i modeleokreślania ceny opcji.

Główny podział opcji wygląda następująco:

* Opcje na rynku regulowanym.

opcje na akcje opcje na towary opcje na obligacje i stopę procentową opcje na indeksy opcje na kontrakty futures

* opcje na rynku nieregulowanym (OTC)

opcje na stopę procentową opcje na waluty opcje na swapy

Podział opcji ze względu na styl

* opcja europejska – może być wykonana tylko w momencie wygaśnięcia* opcja amerykańska – może być wykonana przed terminem wygaśnięcia* opcja egzotyczna – opcja która może być wykonana tylko w ściśle okre-

ślonych warunkach i przy zachowaniu szeregu warunków.

1.3. Zarys historyczny

Finansowe instrumenty pochodne oparte na indeksach meteorologicznychpojawiły się po raz pierwszy w Stanach Zjednoczonych w 1996 i 1997 roku.Główną przyczyną skonstruowania tych instrumentów była chęć zabezpie-czenia przedsiębiorstw z sektora energetycznego przed ryzykiem pogodo-wym. Dziś te instrumenty są już stosowane w wielu innych sektorach, głów-nie jako narzędzie zarządzania ryzykiem, a cały rynek rozwija się w ogrom-nym tempie.

Rynek ubezpieczeniowy od dawna oferował różnego rodzaju ubezpie-czenia pogodowe tzw. pluvius contracts. Jednak tego rodzaju polisy chro-nią podmioty tylko przed zdarzeniami pogodowymi o charakterze katastro-ficznym. Zatem pojawienie się kontraktów pogodowych, jako instrumentówchroniących przed ryzykiem niekatastroficznym, skutecznie wypełniło niszęna rynku ubezpieczeń.

Powstanie rynku pogodowych transakcji finansowych przypisuje się gwał-townym zmianom, jakie zaszły w amerykańskim sektorze energetycznym poroku 1990. Odejście od monopoli na rzecz wolnej konkurencji przyniosły no-we spojrzenie na ryzyko, jakie towarzyszyło przedsiębiorstwom tego sektora.Wówczas to udziałowcy i analitycy szybko zauważyli, że warunki pogodoweodgrywają najważniejszą rolę w kreowaniu popytu na energie elektryczną,a w konsekwencji w kreowaniu zysków tychże firm.

7

Na dzień dzisiejszy nie ustalono, kto oficjalnie zawarł pierwszą umowępogodową na świecie. Przykładowo Aquila Inc. twierdzi, iż zawarła umowęw 1996 roku z Consolidated Edison Inc., która wyraźnie miała charakterochrony finansowej przed niską temperaturą w sierpniu tego roku. Rok póź-niej, we wrześniu 1997 roku Enron Inc. oraz Koch Energy Trading ogłosiłypublicznie fakt zawarcia kontraktu pogodowego na okres zimy 1997-1998dla lokalizacji Milwaukee (USA). Strony uzgodniły, że rozliczenie finansoweodbędzie się w oparciu o indeks temperatury HDD (Heating Degree Day1).W wielu źródłach, ze względu na wielkość tej transakcji oraz posłużenie sięindeksem, który później został uznany za standard tego rynku, to właśnieEnron Inc. oraz Koch Energy Trading są wskazywani jako pionierzy trans-akcji pogodowych.

Istotny wpływ na rozwój tego rynku miała zima roku 1997. Otóż wysokietemperatury, jakie odnotowano w tym okresie w Stanach Zjednoczonych,były wynikiem działania silnego oceanicznego prądu El Nino. Meteorolo-dzy określili tę zimę jako najcieplejszą, jaką zanotowano w całej historiiStanów Zjednoczonych. Temperatura znacznie odbiegająca od oczekiwanejwyrządziła znaczne straty w gospodarce Stanów Zjednoczonych. Fakt tendodatkowo zwrócił uwagę mediów oraz przedsiębiorstw na instrumenty za-rządzania ryzykiem pogodowym w przedsiębiorstwie.

Początkowo pogodowe instrumenty pochodne były stosowane tylko w prz-edsiębiorstwach energetycznych północy stanów Zjednoczonych. Jednak dy-namiczny rozwój tego rynku zachęcił na przełomie lat 1997-1998 wiele firmubezpieczeniowych (m.in AIG, American Re, Swiss Re) do poszerzenia swo-jej oferty o produkty oferujące podobne możliwości. Pod koniec roku 1998zawarto pierwszą w Europie umowę „na pogodę”. Był to kontrakt wymia-ny swap pomiędzy Enron Inc. oraz Scottish Hydro Electric. Mniej więcejw tym samym czasie aktywnym graczem na europejskim rynku pogodowychkontraktów stał się francuski bank Societe Generale oraz fundusz BarepAsset Management. Pomimo tego całkowity obrót w Europie stanowił wciążniewielki procent udziału w światowym handlu tymi instrumentami.

Podana w 1999 roku przez Departament Handlu Stanów Zjednoczonychinformacja, iż blisko 12% (1/9) produktu krajowego brutto jest bezpośredniowrażliwa na zmianę, dodatkowo wzbudziła zainteresowanie tymi instrumen-tami, a w konsekwencji przyczyniła się do dalszego wzrostu tego rynku.

Sukces, jaki odniesiono na rynku pozagiełdowym (OTC) w latach 1997-98przyczynił się do wprowadzenia na giełdę Chicago Mercantile Exchange(CME) we wrześniu 1999 roku kontraktów terminowych futures opartycho indeks HDD. Początkowo kontrakty te były kwotowane tylko dla czterechlokalizacji w Stanach Zjednoczonych na okres sezonu grzewczego.

Rok 2000 był kontynuacją wzrostu całego rynku, zarówno ze względu naliczbę zawieranych kontraktów, jak i wartość na jaką opiewały. To nakłoniłoinne giełdy do wprowadzenia kontraktów pogodowych na swoje parkiety.I tak pod koniec 2000 roku Londyńska Giełda Instrumentów Pochodnych(LIFFE) rozpoczęła kwotowanie kontraktów terminowych futures i opcji na

1 Objaśnienie indeksu pojawia się w dalszej części pracy

8

średnie miesięczne temperatury w trzech lokalizacjach: Berlin, Paryż i Lon-dyn. Podobne kontrakty pojawiły się kilka miesięcy później na fińskiej gieł-dzie w Helsinkach oraz połączonym parkiecie niemieckiej Deutsche Borsei francuskiej Powernext. W połowie 2001 roku giełda CME, rozpoczęła ob-rót kontraktami na pogodę dla pięciu amerykańskich miast.

Historycznym momentem całego rynku okazało się bankructwo EnronInc., które miało miejsce pod koniec 2001 roku. Zdarzenie to miało dwojakiwpływa na rynek. Po pierwsze upadek firmy, która była poważnie zaanga-żowana na światowym rynku energetycznym, spowodował na początku 2002roku ogromne straty finansowe wielu firm energetycznych. Wskutek tegowiększość przedsiębiorstw została przejęta przez konkurencję lub ogłosiłaupadłość. Drugim, znacznie poważniejszym skutkiem, była utrata zaufaniawielu przedsiębiorstw do stosowania tych instrumentów jako narzędzi ograni-czonego ryzyka. To spowodowało, że na wyżej wymienionych giełdach w 2002roku zanotowano tylko kilka niewielkich transakcji. W konsekwencji brak za-interesowania zmusił giełdy, z wyjątkiem giełdy w Chicago, do wycofania sięz kwotowania tych instrumentów. Dopiero po dwóch latach rynek odrodziłsię i powrócił do trendu wzrostowego osiągając nowe rekordy.

1.4. Wycena swapów pogodowych

Zaczniemy od zarysu wyceny swapów pogodowych jako, że jest to naj-prostszy przypadek. Takimi kontraktami handluje się bez premii, a wypłatajest liniowo związana z dowolnym indeksem pogodowym. Swapy jako forwar-dy (które są w większości ograniczone czasowo, a więc nieliniowe) podlegająhandlowi na rynkach pozagiełdowych w dużej ilości krajów i w oparciu o wie-le indeksów. Swapy jako futures (które nie posiadają ograniczeń czasowych)podlegają obrotowi na Chicago Mercantile Exchange dla miesięcznych i se-zonowych kontraktów dla 29 lokalizacji : 18 w USA, 9 w Europie i dwiew Japonii. Wszystkie swapy będące w obrocie oparte są o dzienne tem-peratury, ale są one zamieniane w miesięczne i sezonowe indeksy ustalaneróżnymi metodami w zależności od regionu. W USA, instrumenty są rozli-czane w oparciu o skumulowane indeksy HDD (Heating Degree Day) orazCDD (Cooling Degree Day). Metodę konstruowania indeksu temperaturyHDD oraz indeksu CDD dla jednego dnia przedstawiają poniższe formuły:

Dzienny HDD = max(65F − przeciętna temperatura danego dnia, 0)Dzienny CDD = max(przeciętna temperatura danego dnia− 65F, 0)

Tak skonstruowane indeksy kumuluje się za okres m-dni, zwykle miesiącalub sezonu

HDD =m∑t=1

max(65F − yt, 0),

CDD =m∑t=1

max(yt − 65F, 0),

gdzie yt to przeciętna temperatura dnia, a m liczba dni w przyjętym okresie.W Europie, stosuje się indeksy HDD, CAT oraz FROST DAYS. Indeks HDD

9

dla lokalizacji w Europie jest obliczany podobnie jak W USA z tą różnicąże temperatury podawane są w C co powoduje, że indeks przyjmuje niższewartości. Posługiwanie się stopniami Celsjusza oraz specyficzne warunki kli-matyczne Europy spowodowały, iż w połowie 2004 roku dla kontraktów wy-stawianych w okresie letnim dla lokalizacji w Europie wprowadzono indeksCAT ( Cumulative Average Temperature ) zamiast wcześniejszych indeksówCDD. Indeks CAT w okresie m dni wyraża się za pomocą formuły

CAT =m∑t=1

yt.

We wrześniu 2005 roku uruchomiono kwotowanie miesięcznych i sezo-nowych kontraktów futures na podstawie indeksu FROST DAY. Index tenjest obliczany dla lokalizacji Amsterdam-Schipol w Holandii i jest kierowanygłównie do firm budowlanych. Jego konstrukcja jest bardziej złożona od po-przednich i określa dzień mroźny jako dzień, w którym przynajmniej jednoz poniższych warunków zostało spełnione:

— o godzinie 700 czasu lokalnego temperatura powietrza była ≤ −3, 5C,— o godzinie 1000 czasu lokalnego temperatura powietrza była ≤ −1, 5C,— o godzinie 700 i 1000 czasu lokalnego temp. powietrza była ≤ −0, 5C,

Indeks „dni mroźnych” jest kumulowany w okresie listopad-marzec, z wy-jątkiem sobót, niedziel i Świąt Bożego Narodzenia. Wartość jednego punktuto 10000 EUR.

W Japonii wszystkie instrumenty oparte są o miesięczny indeks MAT(Montly Average Temperature). Indeks ten jest stosowany na giełdzie CMEdla miast Osaka i Tokio i jest obliczany według formuły

MAT =

m∑t=1

yht

m,

gdzie yht jest dobową przeciętną temperaturą obliczaną jako średnia z 24obserwacji dokonanych w odstępstwach godzinnych w danej dobie. Wartośćtego indeksu jest podawana przez Japońską Agencje Meteorologiczną jakoPacific Rim Index.

1.4.1. Wycena aktuarialna

Przytoczymy najpierw wycenę aktuarialną, ponieważ dla niektórych kon-traktów pogodowych jest to jedyna możliwość wyceny, ze względu na brakobserwowalnego rynku. Wycena aktuarialna bierze pod uwagę odpowiedniehistoryczne dane meteorologiczne i prognozy do przewidywania rezultatówdla ustalonego indeksu.

Pierwszą fazą takiej analizy jest oczyszczenie i korekta ze względu naistnienie braków w obserwacjach czy zmiany stacji, w której odbywały sięobserwacje. Nawet po korekcie i oczyszczeniu danych meteorologicznych nie

10

są one stałe ze względu na zawieranie w nich trendów ze względu na zmianyklimatyczne i urbanizację stacji meteorologicznych z biegiem czasu. Problemten może być rozwiązany na dwa sposoby: albo używając krótkich okresówczasowych z aktualnymi danymi, gdzie błąd będziemy traktować za tak małoistotny, że będzie go można pominąć, albo korzystając z dłuższych okresówczasowych z jednoczesną próbą uwzględnienia trendów w modelach.

Głównym celem wyceny aktuarialnej dla kontraktów opartych o swapypogodowe jest ustalenie oczekiwanego poziomu indeksu, które często nazy-wa się fair strike (sprawiedliwą ceną realizacji). Jeżeli handlujemy kontrak-tem z dużą częstotliwością na poziomie sprawiedliwej ceny realizacji, wtedyśrednio żadna ze stron transakcji nie wygrywa czy przegrywa. Możemy więcoszacować cenę realizacji na podstawie historycznych wartości dla ustalonegoindeksu.

1.4.2. Wycena Rynkowa

Teraz przybliżymy sytuację, w której istnieje obserwowalny rynek dlaswapów pogodowych. Dla pewnych lokalizacji, w szczególności Londyn, Chi-cago i Nowy York, możemy przyjąć, że handel odbywa się z wystarczającączęstotliwością, że rynek możemy uważać za efektywny na tyle by wyznaczałsprawiedliwą cenę realizacji. Więc dla wyceny aktualnej wartości posiadanejpozycji, ceny rynkowe mogą być użyte zamiast danych aktuarialnych. Porów-nując wyniki wyceny metodą aktuarialną z wyceną rynkową zazwyczaj nieodbiegają one od siebie. Jedynie w przypadku znaczących różnic w podażyi popycie wyniki mogą znacznie się różnić.

Wraz z chwilą przybliżania się terminu wygaśnięcia kontraktów, wycenarynkowa zaczyna pokrywać się z ceną fundamentalną, by pokryć się w dniuwygaśnięcia kontraktu.

1.4.3. Rola prognozy pogody

Przed i w czasie trwania okresu pomiarowego prognoza pogody odgrywaważną rolę przy przewidywaniu oczekiwanego zwrotu z inwestycji w swapypogodowe. Większość ruchów w cenie spowodowana jest właśnie przez zmia-ny prognoz meteorologicznych. Prognoza meteorologiczna może być włączo-na w szacowanie uczciwej wartości realizacji większości swapów pogodowychw bardzo prosty sposób. Zacząć trzeba od upewnienia się, że prognoza z któ-rej korzystamy reprezentuje oczekiwania przyszłych temperatur. Więc, dlakontraktów opartych o sumy temperatur w okresie jego trwania, lub dla kon-traktów w których nie ma szans na przekroczenie okresu pomiaru, prognozypogody mogą być dodane do analizy aktuarialnej dla danego kontraktu.W innych przypadkach, takich jak kontrakty oparte o dzienne temperaturyw sytuacji, gdy możliwe jest przekroczenie przez temperaturę okresu pomia-ru, są bardziej skomplikowane i powinny być wyceniane przy użyciu metodprobabilistycznych dla określenia przyszłych temperatur.

1.5. Wycena opcji pogodowych

Zajmiemy się teraz wstępnym omówieniem wyceny opcji pogodowych,które są kontraktami o nieliniowej wypłacie, i są handlowane z premią.Pierwszą możliwość jaką rozważymy będzie brak istnienia rynku swapów

11

pogodowych w lokalizacji, dla której chcemy handlować opcją pogodową. Je-dyną możliwą metodą w tej sytuacji jest metoda aktuarialna oparta o histo-ryczne dane meteorologiczne. Analiza jest odrobinę bardziej skomplikowananiż dla swapów pogodowych ze względu na to że interesuje nas teraz bardziejprzewidywana wartość indeksu, niż wartość oczekiwana. Głównym źródłemzysku jest wypłata z opcji i jest on często utożsamiana z ceną sprawiedliwą(fair strike) opcji. Kontrakt opcyjny handlowany wiele razy z premią, napoziomie ceny sprawiedliwej nie przyniesie ani zysku, ani straty.

Najprostszym sposobem do oszacowania oczekiwanej wypłaty z opcji jesttak zwana burn analysis, w której sprawdzamy jak zachowa się opcja napodstawie danych z lat przeszłych. Bardziej skomplikowanym podejściemjest dopasowywanie rozkładu do historycznej wartości indeksu i obliczenieoczekiwanej wypłaty z tego rozkładu. Obie te metody były w użytku od po-czątku istnienia rynku pogodowego, choć pierwsze wzmianki na ten tematprzedstawił Goldman Sachs,[3]. Dopasowywanie rozkładu może dać czasaminieznacznie dokładniejsze przybliżenia sprawiedliwej wartości (premii) orazdokładniejsze szacowanie ryzyka w extremalnych warunkach. Rozkład nor-malny znajduje zastosowanie w kontraktach sezonowych, ale niekonieczniedla standardowych kontraktów miesięcznych czy też egzotycznych kontrak-tów opartych o ekstremalne pogodowe wydarzenia, takie jak choćby liczbadni mroźnych (temperatura poniżej zera) po okresie zimowym.

Ilość dostępnych danych historycznych nie daje rozkładu oczekiwanegoindeksu bardzo dokładnie. Zdarza się również często, że potrafimy dopaso-wać większą ilość rozkładów za pomocą testów probabilistycznych. Dla opcjibliskiej momentowi wypłaty, kiedy obliczamy oczekiwaną wypłatę, możemywybrać dowolny z rozkładów, gdyż nie mają one aż takiego wpływu narezultat jak na przykład ilość lat w trendzie. Dla opcji, w których czas wy-gaśnięcia opcji jest odległy wybór rozkładu staje sie istotniejszy.

1.5.1. Zastosowanie prognozy pogody

Zastosowanie prognozy pogody w wycenie opcji pogodowych jest bardziejskomplikowane niż w przypadku swapów. Dla ilustracji rozważmy przypa-dek, w którym indeks ma rozkład normalny i jest w związku z tym całkowicieokreślony przez odchylenie standardowe. Oznacza to, że może być łatwo ob-liczony, jak w przypadku swapów. Zaś obliczenie odchylenia standardowegostaje się bardziej skomplikowane. Można to zrobić za pomocą trzech różnychmetod, które można znaleźć w Jewson i Caballero [5].

1.5.2. Wycena oparta o rynek opcji pogodowych

Rozważymy teraz wycenę opcji pogodowych w przypadku płynnego ryn-ku dla swapów pogodowych. W tej sytuacji możemy sobie wyobrazić za-bezpieczanie opcji za pomocą kontraktów swap, i przy prostych założeniach(rynek jest zrównoważony i cena kontraktu swap jest równa oczekiwanemuustalonemu indeksowi) model jest zmodyfikowaną wersją modelu Blacka [1]dla wyceny opcji na kontraktach forward. W modelu Blacka proces jest wy-znaczony przez geometryczny ruch Browna.

W rzeczywistości rynek swapów pogodowych nie jest bardzo płynny, więcpowyższe modele nie opierają się na urzeczywistnionych założeniach takich

12

jak, nieskończona płynność czy bezkosztowe transakcje. Jednakże, zabez-pieczanie opcji swapami jest możliwe. Optymalna ilość zabezpieczającychswapów zależy od płynności, poziomu kosztów transakcji i awersji do ryzykahandlujących. Kiedy wyceniamy opcje na indeksy dla których istnieje han-del kontraktami swap staje się praktyką używanie stanu kontraktu zamiastaktuarialnego oszacowania oczekiwanej wartości indeksu. To może być roz-ważane jako:

— wycena aktuarialna, przy założeniu, że kontrakt swap jest dobrą progno-zą dla oczekiwanego indeksu, lub

— wycena arbitrażowa, gdzie planujemy zabezpieczać opcje poprzez kon-trakt swap, lub

— przybliżenie jakie powinno się doliczyć do ceny opcji, ze względu na kosztzabezpieczania tylko jednym swapem.

13

2. Elementy Analizy Stochastycznej

W poniższym rozdziale przybliżymy podstawową teorię potrzebną dowyceny opcji pogodowych. Zaczniemy od warunkowej wartości oczekiwanej,następnie zdefiniujemy pojęcie martyngału i procesu Wienera.

2.1. Podstawowe twierdzenia i definicje

2.1.1. Warunkowa Wartość Oczekiwana

Niech (Ω,F , P ) będzie przestrzenią probalistyczną, tzn. Ω 6= ∅ jest zbio-rem zdarzeń elementarnych, F jest σ-algebrą podzbiorów Ω, P : F → [0, 1]jest miarą probabilistyczną.

Niech X : Ω → R będzie zmienną losową, to znaczy X−1(A) ∈ F dlakażdego zbioru borelowskiego A ∈ B(R). Dodatkowo zakładamy, że X jestcałkowalna, czyli

∫Ω

|X| dP <∞. Wtedy istnieje wartość oczekiwana EX i

EX =∫Ω

XdP.

Rozważmy dodatkowo σ-algebrę G ⊂ F .

Definicja 2.1. Warunkową wartością oczekiwaną X pod warunkiem G na-zywamy zmienną losową E (X|G) taką, że

1. E (X|G) jest G-mierzalna2. dla każdego A ∈ G ∫

A

XdP =∫A

E (X|G) dP.

Twierdzenie 2.2. Dla każdej σ-algebry G ⊂ F i zmiennej losowej całkowal-nej X istnieje E (X|G) . Jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnościądo zbiorów miary zero.

Twierdzenie 2.3 (Własności WWO). Niech X,X1, X2 będą zmiennymilosowymi całkowalnymi oraz G ⊂ F będzie σ-algebrą. Wtedy

1. jeżeli X jest G-mierzalna, to E (X|G) = X p.n.

2. jeśli X ≥ 0, to E (X|G) ≥ 0 p.n.

3. |E (X|G)| ≤ E (|X||G) p.n.

4. E (aX1 + bX2|G) = aE (X1|G) + bE (X2|G)

5. jeśli Xn X p.n. , to E (Xn|G) E (X|G) p.n.

6. własność wieży: jeżeli σ-algebry F1 ⊂ F2 ⊂ F , to

E (X|F1) = E (E (X|F2) |F1) = E (E (X|F1) |F2) p.n.

14

7. E (E (X|G)) = EX p.n.8. jeżeli zmienna losowa X jest niezależna od σ-algebry G, to E (X|G) =EX p.n.

9. jeżeli Y jest ograniczoną zmienną losową G-mierzalną, to

E (XY |G) = Y E (X|G) p.n.

2.1.2. Martyngały

Niech (Ω,F , P ) będzie przestrzenią probalistyczną oraz T = [0, T ],T ∈ R. Elementy zbioru T interpretujemy jako czas.

Przypomnijmy, że procesem stochastycznym nazywamy odwzorowanie

X : T × Ω 3 (t, ω) 7→ Xt(ω) ∈ R,

takie, że Xt : Ω→ R jest odwzorowaniem mierzalnym dla każdego t ∈ T .

Proces stochastyczny X będziemy również oznaczać (Xt)t∈T

Definicja 2.4. Trajektorią (realizacją) procesu stochastycznego (Xt)t∈T na-zywamy funkcję T 3 t 7→ Xt(ω) ∈ R, przy ustalonym zdarzeniu elementar-nym ω.

Definicja 2.5. Proces X i Y są nierozróżnialne, jeśli zachodzi równość

P (ω : Xt(ω) = Yt(ω) ∀t ∈ T ) = 1.

Definicja 2.6. Proces stochastyczny (Xt)t∈T nazywamy ciągłym (prawo-stronnie, lewostronnie), jeżeli prawie wszystkie jego trajektorie są funkcjamiciągłymi (odpowiednio prawostronnie, lewostronnie).

Definicja 2.7. Filtracją nazywamy niemalejącą rodzinę σ-algebr F = (Ft)t∈T ,zawartych w F .

Definicja 2.8. Mówimy, że proces stochastyczny X jest adaptowany do fil-tracji F, jeżeli zmienne losowe Xt są Ft-mierzalne dla każdego t ∈ T .

Definicja 2.9. Proces X adaptowany do filtracji F, taki że zmienne losoweXt są całkowalne dla t ∈ T , nazywamy:

1. martyngałem, jeśli E (Xt|Fs) = Xs dla s ≤ t,

2. nadmartyngałem, jeśli E (Xt|Fs) ≤ Xs dla s ≤ t,

3. podmartyngałem, jeśli E (Xt|Fs) ≥ Xs dla s ≤ t.

Definicja 2.10. Mówimy, że proces (Yt)t∈T jest prognozowalny, jeżeli zmien-na losowa Yt jest mierzalna względem σ-ciała

⋂s<t

Fs dla każdego t ∈ T .

Twierdzenie 2.11 (Dooba-Meyera). Dla każdego prawostronnie ciągłego,całkowalnego z kwadratem martyngału X istnieje niemalejący, startującyz zera proces prognozowalny A oraz martyngał M , takie, że dla wszystkicht ∈ T mamy

X2t = Mt +At p.n.

15

Proces A oznaczamy symbolem 〈X〉t i nazywamy kompensatorem. 〈X〉tjest prognozowalnym, niemalejącym i startującym z zera procesem stocha-stycznym, który kompensuje proces X2 do martyngału.

2.1.3. Proces Wienera

Definicja 2.12. Proces stochastyczny X : T ×Ω→ R nazywamy procesemprogresywnie mierzalnym względem filtracji F, jeżeli ∀t ∈ T ∀A ∈ B(R)

(s, w) ∈ [0, t]× Ω : Xs(ω) ∈ A ∈ B([0, t])×Ft.

Definicja 2.13. Proces stochastyczny W : T ×Ω→ R nazywamy procesemWienera względem filtracji F = (Ft)t∈T , jeżeli spełnia następujące warunki:

1. W0 = 0 p.n. ,

2. Wt −Ws ma rozkład N (0, t− s), czyli rozkład normalnyo parametrach m = 0, σ2 = t− s dla 0 ≤ s < t,

3. Wt −Ws nie zależy od Fs dla 0 ≤ s < t,

4. W jest procesem ciągłym,

5. W jest adaptowany do F.

Twierdzenie 2.14. Jeżeli W jest procesem Wienera względem filtracji F, to

— W jest F-martyngałem,

—(W 2t − t

)t∈T jest F-martyngałem,

—(

exp(λWt − λt2

2 ))t∈T

jest F-martyngałem (λ ∈ R).

Dowód. Dowód pominiemy. Można go znaleźć w [4].

2.1.4. Całka Ito

Przytoczymy definicję całki Ito względem ciągłego, całkowalnego z kwa-dratem martyngału M . Przypomnijmy, że zgodnie z twierdzeniem 2.14 pro-ces Wienera W jest martyngałem. Przyjmując w szczególności M = W ,otrzymujemy całkę Ito względem procesu Wienera.

Przypomnijmy następujące oznaczenie: mówimy, że proces stochastycz-ny X ∈ Λ, jeśli X jest progresywnie mierzalny, adaptowany do filtracji F

i E(

t∫0

X2s d 〈M〉s <∞

)dla każdego t ∈ T .

Definicja 2.15. Mówimy, że X jest procesem prostym, jeżeli istnieje ciągsilnie rosnący (tn)n∈N taki, że t0 = 0 i tn +∞, gdy n → ∞, oraz ist-nieje ciąg ograniczonych zmiennych losowych (ξn)n∈N, przy czym ξn jest

16

Ftn-mierzalna dla każdego n ∈ N, takie, że

Xt(ω) = ξ0(ω)110(t) +∞∑j=0

ξj(ω)11(tj ,tj+1](t).

Definicja 2.16. Jeżeli X jest procesem prostym, M jest ciągłym martyn-gałem, całkowalnym z kwadratem, to całką Ito nazywamy proces postaci

t∫0

XsdMs =∞∑j=0

ξj(Mt∧tj+1(ω)−Mt∧tj (ω)

)dla t ∈ T .

Zapoznamy sie teraz z kilkoma własnościami całki Ito potrzebnymi w dal-szej części pracy, [4].

Twierdzenie 2.17. Niech X,Y będą procesami prostymi, a, b ∈ R. Wtedy

1. Liniowość:T∫0

(aXu + bYu)dMu = aT∫0

XudMu + bT∫0

YudMu.

2.s∫0

XudMu +t∫sXudMu =

t∫0

XudMu dla 0 < s < t ≤ T .

3. Proces (t∫

0

XudMu)t∈[0,T ] jest martyngałem o średniej zero i o ciągłych

trajektoriach.

4. E(

t∫sdMu

t∫sYudMu| Fs

)= E

(t∫sXuYudMu| Fs

),

5. E(

t∫0

XudMu

)2

= Et∫

0

X2ud 〈M〉u .

Własność (5) umożliwia konstrukcje całki Ito dla procesów z klasy Λ,w której zachowują się wszystkie własności całki Ito dla procesów prostych.Dokładną konstrukcję można znaleźć np. w [9].

2.1.5. Wzór Ito

Niech (Ω,F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją F = (Ft)t∈T ,zaś W procesem Wienera względem F.

Definicja 2.18. Załóżmy, że1. a, b : T × Ω→ R są progresywnie mierzalne;

2. P(

ω ∈ Ω :t∫

0

|a(s, ω)ds <∞|)

= 1 dla każdego t ∈ T ;

3. Et∫

0

b2(s)ds <∞ dla każdego t ∈ T .

Mówimy, że proces stochastyczny X : T ×Ω→ R ma różniczkę stocha-

17

styczną

dXt = a(t)dt+ b(t)dWt,

jeżeli X jest procesem ciągłym oraz

P (ω ∈ Ω : X(t, ω) = X(0, ω)+

t∫0

a(s, ω)ds+

t∫0

b(s, ω)dWs, ∀t ∈ T ) = 1.

Twierdzenie 2.19 (Lemat Ito). Załóżmy, że proces X ma różniczkę sto-chastyczną postaci dXt = a(t)dt + b(t)dWt oraz, że funkcja f : T × R → Rma ciągłe pochodne cząstkowe ft, fx, fxx. Niech ηt = f(t,Xt). Wtedy

dηt =(ft(t,Xt) + fx(t,Xt)a(t) +

12fxx(t,Xt)b2(t)

)dt+ fx(t,Xt)b(t)dWt.

Dowód. Przyrost funkcji f(t,Xt) na odcinku (0, t) można zapisać w postaci

f(t,Xt)− f(0, X0) =n−1∑i=0

[f(ti+1, Xti+1)− f(ti, Xti)

],

przy czym 0 = t0 < t1 < . . . < tn = t jest podziałem odcinka (0, t), takim, że

max0≤i≤n−1

(ti+1 − ti)→ 0 gdy n→ 0.

Na mocy wzoru Taylora (przy oznaczeniach: (4ti = ti+1−ti oraz4Xti =Xti+1 −Xti) mamy

f(ti+1, Xti+1)− f(ti, Xti) =

∂f

∂t(ti, Xti)4ti +

∂f

∂x(ti, Xti)4Xti +

12∂2f

∂x2(ti, Xti) [4Xti ]

2 +Ri

przy czym Ri jest resztą szeregu. Naturalnie oczekujemy, aby sumy

n−1∑i=0

∂f

∂t(ti, Xti)4ti,

n−1∑i=0

∂f

∂x(ti, Xti)4Xti ,

były zbieżne odpowiednio do całek

t∫0

∂f

∂t(s,Xs) ds ,

t∫0

∂f

∂t(s,Xs) dXs =

t∫0

a(s)∂f

∂t(s,Xs) ds+

t∫0

b(s)∂f

∂x(s,Xs) dXs,

18

Można pokazać, żen−1∑i=0

RiP→ 0 według prawdopodobieństwa. Rozważmy

bardziej szczegółowo sumę

In =12

n−1∑i=0

∂2f

∂x2(ti, Xti) [4Xti ]

2.

Ponieważ

[4Xti ]2 ≈ a2(ti)(4ti)2 + 2a(ti)b(ti)4ti4Wti + b2(ti)[dWti ]

2,

gdzie dwa pierwsze człony są wyrazami nieskończenie małymi rzędu wyższe-go niż 4t, więc asymptotyczne zachowanie się sumy In jest takie samo jaksumy

In =12

n−1∑i=0

b2(ti)∂2f

∂x2(ti, Xti) [4Xti ]

2.

Dokonajmy teraz drugiego (rzadszego) podziału odcinka (0, t) : 0 = t0 <t1 < . . . < tN = t, takiego że

max0≤k≤N−1

(tk+1 − tk

)→ 0 gdy N → 0,

i każdy przedział (tk, tk+1) zawiera taką liczbę nk punktów podziału odcinka,że min

knk →∞, gdy n→∞. Wtedy

In =12

N−1∑k=0

∑b2(ti)

∂2f

∂x2(ti, Xti) [4Wti ]

2,

przy czym wężyk nad drugą sumą oznacza sumowanie po takich i, dla któ-rych ti ∈ (tk, tk+1). Ze względu na ciągłość Xt i ∂2f

∂t2(t, x) otrzymujemy na-

stępujące wyrażenie asymptotyczne

In w12

N−1∑k=0

b2(tk)∂2f

∂x2(tk, Xtk)

∑[4Wtk ]2,

Zgodnie z definicją procesu Wienera, mamy

In w12

N−1∑k=0

b2(tk)∂2f

∂x2(tk, Xtk) (tk+1 − tk).

Ponieważ In jest sumą przybliżoną całki

12

t∫0

b2(s)∂2f

∂x2(s,Xs) ds,

więc ostatecznie mamy

19

f(t,Xt) − f(0, X0) =

=

t∫0

[∂f

∂t(s,Xs) + a(s)

∂f

∂x(s,Xs) +

12b2(s)

∂2f

∂x2(s,Xs)

]ds+

+

t∫0

b(s)∂f

∂x(s,Xs)dWs,

skąd wynika wzór Ito.

Szczególnym przypadkiem wzoru Ito jest wzór za całkowanie przez czę-ści, [4].

Twierdzenie 2.20 (Wzór na całkowanie przez części). Jeśli procesy sto-chastyczne X,Y mają różniczki stochastyczne postaci dX(t) = a1(t)dt +b1(t)dWt oraz dY (t) = a2(t)dt+ b2(t)dWt , to

d(X(t)Y (t)) = X(t)dY (t) + Y (t)dX(t) + b1(t)b2(t)dt. (1)

Dowód. Stosujemy wzór Ito dla f(t, x) 7→ x2. Wtedy

dX2t = (2Xta1(t) +

12

2b21(t))dt+ 2Xtb(t)dWt,

dY 2t = (2Yta1(t) +

12

2b21(t))dt+ 2Ytb(t)dWt.

Z liniowości całki Ito mamy

d(Xt + Yt) = (a1 + a2)dt+ (b1 + b2)dWt,

więc

d(Xt+Yt)2 = 2(Xt+Yt)(a1 +a2)dt+12

2(b1 +b2)2dt+2(Xt+Yt)(b1 +b2)dWt.

Następnie liczymy

d(Xt + Yt)2 = dX2t + dY 2

t + 2d(XtYt),

skąd mamy

d(XtYt) =12

(d(Xt + Yt)2 − dX2t − dY 2

t ) = (Xta1 +Xta2 + Yta1 + Yta2)dt

+12

(b21 + 2b1b2 + b22)dt+ (Xtb1 +Xtb2 + Ytb1 + Ytb2)dWt

− (Xta1 +12b21)dt−Xtb1dWt − (Yta2 +

12b22)dt+ Ytb2dWt

= (Yta1 +Xta2)dt+ b1b2dt+ (Xtb2 + Ytb1)dWt

= XtdYt + YtdXt + b1b2dt.

W szczególności jeżeli proces X2 jest procesem nielosowym, czyli postacidX2(t) = a2(t)dt, wzór na całkowanie przez części przyjmie postać

d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) (2)

20

2.1.6. Stochastyczne równanie różniczkowe

Definicja 2.21. Niech η będzie F0-mierzalną zmienną losową i niecha, b : T × R→ R spełniają założenia 1, 2, 3 definicji 2.18. Wówczas procesX jest rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego

dXt = a(t,Xt)dt+ b(t,Xt)dWt, (3)

na przedziale T z warunkiem początkowym X0 = η, gdy proces X jest ciągły,adaptowany do filtracji F oraz dla każdego t ∈ T mamy

Xt = η +

t∫0

a(s,Xs)ds+

t∫0

b(s,Xs)dWs p.n.

Jedyność i istnienie rozwiązania równania (3) jest konsekwencją nastę-pującego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności, [10].

Twierdzenie 2.22. Zakładamy, że współczynniki a i b równania (3) speł-niają warunek Lipschitza

∃K ∀x, y ∀t ∈ T |a(t, x)− a(t, y)|+ |b(t, x)− b(t, y)| ≤ K|x− y|,

oraz warunek liniowego wzrostu

∃K ∀x ∀t ∈ T |a(t, x)|2 + |b(t, x)|2 ≤ K(1 + |x|2).

Wówczas istnieje rozwiązanie równania (3). Ponadto jest ono jedynew sensie nierozróżnialności procesów.

2.1.7. O reprezentacji martyngału

Twierdzenie 2.23 (O reprezentacji martyngału). Jeśli proces (Mt)t∈[0,T ]

jest martyngałem względem filtracji F, to ma przedstawienie

Mt = M0 +

t∫0

XsdWs, ∀t ∈ [0, T ].

dla pewnego procesu X mierzalnego i adaptowanego do filtracji F. Jeśli Mjest martyngałem całkowalnym z kwadratem, to X ∈ Λ, [13].

2.1.8. Twierdzenie Girsanowa

Rozważamy przestrzeń probalistyczną (Ω,F , P ) z filtracją F = (Ft)t∈[0,T ]

generowaną przez proces Wienera W i uzupełnioną o zbiory miary zero. Roz-ważamy ponadto miarę probabilistyczną Q równoważną mierze P i taką, żejej pochodna Radona-Nikodyma dQ

dP = εT , gdzie

εt = exp

t∫0

γudWu −12

t∫0

γ2udu

dla t ∈ [0, T ]. (4)

21

Zakładamy, że γ jest procesem progresywnie mierzalnym, adaptowanym,całkowalnym z kwadratem i spełniającym warunek EP (e( 1

2

∫ T0 γ2

udu)) <∞.Proces ε nazywamy eksponentą stochastyczną.

Dzięki następującemu kryterium, miaraQ jest miarą probabilistyczną, [4].

Twierdzenie 2.24 (Kryterium Nowikowa). Jeśli

EP (exp(12

∫ T

0γ2udu)) <∞,

to EP (εT ) = 1.

Przy takich założeniach mamy

Twierdzenie 2.25 (Girsanowa). Jeżeli W jest procesem Wienera względemmiary P , to proces

Wt = Wt −t∫

0

γudu dla t ∈ [0, T ]

jest procesem Wienera względem miary Q.

22

2.2. Wycena martyngałowa w model rynku z czasem ciągłym

2.2.1. Model rynku finansowego z czasem ciągłym

Zaczniemy od wprowadzenia pojęcia matematycznego modelu rynku fi-nansowego z czasem ciągłym. W tym celu rozważamy przestrzeń probali-styczną (Ω,F , P ) z filtracją F = (Ft)0≤t≤T spełniającą warunki zwykłe, tzn.zupełną (oznacza, to że F0 zawiera wszystkie zbiory P - miary zero) orazprawostronnie ciągłą (tzn. Ft = Ft+ =

⋂s>tFs ). Dodatkowo zakładamy,

że σ-ciało F0 jest trywialne, tzn. jeżeli A ∈ F0, to P (A) = 0 lub P (A) = 1oraz, że FT = F .

Przyjmujemy, że na rynku notowanych jest d+ 1 instrumentów pierwot-nych, których ceny opisane są przez procesy stochastyczne S0, S1, . . . , Sd

w przestrzeni (Ω,F , P ). Procesy te spełniają następujące warunki:

1. są adaptowane do filtracji F,2. są prawostronnie ciągłe z lewostronnymi granicami,3. są ściśle dodatnimi podmartyngałami,

spełniającymi warunek : E(∫ t

0 S2udu

)<∞.

Przestrzeń (Ω,F , P ) z filtracją F wraz z procesami cen d+ 1 instrumen-tów pierwotnych S =

(S0, S1, . . . , Sd

)będziemy nazywali modelem rynku

finansowego i oznaczali M. Naszym celem będzie przedstawienie metodywyceny i zabezpieczania przed ryzykiem instrumentów pochodnych (opcjipogodowych), które są modelowane jako zmienne losowe FT -mierzalne, czy-li wykorzystujące pełną informacje dostępną w chwili T . Takie instrumentynazywamy instrumentami pochodnymi typu europejskiego.

Do wyceny instrumentów pochodnych potrzeba najpierw zdefiniowaćproces dyskontowy, mierzący wartość pieniądza w czasie, tzw. numeraire.

Definicja 2.26. Numeraire to proces stochastyczny X = (Xt)0≤t≤T , któryprawie na pewno jest ściśle dodatni dla każdego t ∈ [0, T ].

Dalej w toku rozumowania zakładamy, że jako numeraire wybieramyinstrument B = (Bt)t∈T i będzie to obligacja o stałej stopie procentowejr > 0. Wtedy Bt = ert dla t ∈ [0, T ]. Dla uproszczenia będziemy zakładać,że na rynku dostępny jest tylko jeden instrument ryzykowny S = (St)0≤t≤T .

Definicja 2.27. Strategią inwestycyjną nazywamy parę ϕ = (ϕ0t , ϕ

1t ) dla

t ∈ [0, T ], lewostronnie ciągłych procesów prognozowalnych, takich, że

∫ T

0E∣∣ϕ0t

∣∣ dt <∞ oraz

∫ T

0E(ϕ1t

)2dt <∞.

Zmienną losową ϕ0t interpretujemy jako ilość pieniędzy zainwestowanych

w obligacje w chwili t, a ϕ1t liczbę akcji posiadanych przez inwestora w chwili

t. Wartości ϕit mogą być również ujemne, co interpretujemy jako kredyt, dlai = 0, oraz krótką pozycje, dla i = 1. Zmienne losowe ϕit mogą przyjmowaćwartości rzeczywiste dzięki założeniu, że instrumenty finansowe są nieskoń-czenie podzielne.

23

Definicja 2.28. Procesem wartości strategii ϕ nazywamy proces (Vt(ϕ))t∈[0,T ] ,

Vt(ϕ) = ϕ0tBt + ϕ1

tSt, t ∈ [0, T ].

By zaobserwować zmiany instrumentów w czasie, będziemy rozważaćprocesy zdyskontowane. Zdyskontowanym procesem wartości strategii ϕ na-zywać będziemy

Vt(ϕ) =Vt(ϕ)Bt

= e−rtVt(ϕ), t ∈ [0, T ].

Analogicznie zdyskontowany proces cen akcji wyraża się wzorem

St =StBt

= e−rtSt, t ∈ [0, T ].

W dalszej części pracy będziemy zajmować się tylko strategiami samofi-nansującymi się, czyli bez wpłat ani wypłat z naszego portfela. Stąd zmianywartości portfela następować będą tylko poprzez zmiany wartości poszcze-gólnych walorów.

Definicja 2.29. Mówimy, że strategia ϕ jest samofinansująca się, jeśli

dVt(ϕ) = ϕ0tdBt + ϕ1

tdSt, t ∈ [0, T ].

Będziemy korzystać z następującego kryterium samofinansowania się stra-tegii.

Lemat 2.30. Strategia ϕ jest samofinansująca się wtedy i tylko wtedy gdy

dVt(ϕ) = ϕ1tdSt.

Dowód. Załóżmy, że strategia ϕ jest samofinansująca się. Wtedy korzystającz definicji procesów (Vt(ϕ))t i B,

dVt(ϕ) = ϕ0tdBt + ϕ1

tdSt,

dBt = rertdt

oraz wzoru na całkowanie przez części w postaci (2), otrzymujemy

dVt(ϕ) = d(e−rtVt(ϕ)

)= −re−rtVt(ϕ) + e−rtdVt(ϕ) =

= −re−rt(ϕ0tBt + ϕ1

tSt)dt+ e−rt

(ϕ0tdBt + ϕ1

tdSt)

== ϕ1

t

(−re−rtStdt+ e−rtdSt

)= ϕ1

td(e−rtSt

)=

= ϕ1tdSt

24

Z drugiej strony, jeżeli dVt(ϕ) = ϕ1tdSt, to

dVt(ϕ) = d(ertVt(ϕ)

)= rertVt(ϕ) + ertdVt(ϕ) = rVt(ϕ) + ertϕ1

tdSt

= rϕ0tBtdt+ rϕ1

tStdt+ ertϕ1t

(−re−rtStdt+ e−rtdSt

)= ϕ0

tdBt + ϕ1tdSt,

czyli strategia ϕ jest samofinansująca.

Definicja 2.31. Strategię ϕ nazywamy strategią oswojoną, jeżeli

P(Vt(ϕ) ≥ 0 ∀t ∈ [0, T ]

)= 1.

Definicja 2.32. Strategię oswojoną ϕ nazywamy strategią arbitrażową, je-żeli

V0(ϕ) = 0, P (VT (ϕ) ≥ 0) = 1, P (VT (ϕ) > 0) > 0.

Brak możliwości arbitrażu na rynku M oznacza brak na nim strategiiarbitrażowej.

Przypomnijmy, że miara P jest równoważna mierze P ∗ wtedy i tylkowtedy, gdy P (A) = P ∗(A) dla każdego A ∈ F .

Definicja 2.33. Miarę P ∗ nazywamy równoważną miarą martyngałową, je-żeli P ∗ jest równoważna mierze P oraz zdyskontowany proces cen (St)t∈[0,T ]

jest martyngałem względem P ∗.

Poniżej przedstawimy związek między możliwością arbitrażu a istnieniemrównoważnej miary martyngałowej.

Twierdzenie 2.34. Jeżeli w modelu rynku M istnieje równoważna miaramartyngałowa P ∗, to model M pozbawiony jest arbitrażu.

Dowód. Niech P ∗ będzie równoważną miarą martyngałową. Rozważmy do-wolną samofinansującą się, oswojoną strategię ϕ, taką, że V0 (ϕ) = 0. Zgod-nie z lematem 2.30 dVt (ϕ) = ϕ1

tdSt, i ponieważ(ϕ1t

)t∈ Λ, więc z własności

(3) twierdzenia 2.17 proces V (ϕ) jest P ∗ - martyngałem. Stąd w szczegól-ności

EP ∗(VT (ϕ)

)= EP ∗

(VT (ϕ) |F0

)= V0 (ϕ) = 0.

Skoro strategia ϕ jest oswojona, a miary P i P ∗ są równoważne, to

VT (ϕ) ≥ 0 p.n.

Zatem z własności całki względem miary P ∗

P ∗(VT (ϕ) = 0

)= 1.

25

Stąd oczywiście P ∗(VT (ϕ) > 0

)= 0, a z równoważności miar P i P ∗,

P(VT (ϕ) > 0

)= 0, czyli również P (VT (ϕ) > 0) = 0.

Zatem nie istnieje strategia arbitrażowa, więc na rynku nie ma możliwościarbitrażu.

2.2.2. Wycena martyngałowa instrumentów pochodnych

Załóżmy obecnie, że na rynkuM istnieje równoważna miara martyngało-wa P ∗. Wybrany został także numeraire (Bt)t∈T . Naszym celem jest wycenaeuropejskich instrumentów pochodnych na tym rynku , tj. instrumentówo czasie realizacji T . Zakładamy przy tym, że instrumenty te spełniają wa-runek regularności: jeśli X jest instrumentem pochodnym o czasie realizacjiT , to X/Bt ∈ L1(P ∗), czyli

∫ΩX/BtdP

∗ <∞.

Definicja 2.35. Strategię ϕ nazywamy dopuszczalną, jeśli jest samofinan-sująca się i oswojona.

Definicja 2.36. Instrument pochodny X nazywa się osiągalny, jeśli ist-nieje przynajmniej jedna strategia inwestycyjna ϕ dopuszczalna taka, żeVT (ϕ) = X. Strategię tę nazywa się strategią replikującą X.

Definicja 2.37. Ceną arbitrażową instrumentu osiągalnego X nazywamycenę, przy której nie ma możliwości arbitrażu.

Cenę arbitrażową instrumentu X w chwili t będziemy oznaczać symbo-lem πt(X).

Równoważnie, cena arbitrażowa instrumentu X jest równa wartości port-fela replikującego dany instrument, tzn. πt(X) = Vt(ϕ), gdzie ϕ jest strategiąreplikującą X, [4].

Następujący wynik podaje tzw. martyngałową wycenę instrumentu po-godowego X.

Twierdzenie 2.38. Dla dowolnego P ∗-osiągalnego X mamy

πt(X) = Bt EP ∗(X

BT

∣∣∣∣Ft) . (5)

Dowód. Instrument X jest osiągalny, zatem istnieje dopuszczalna strategiareplikująca ϕ, tj. VT (ϕ) = X. Ponieważ πt(X) = Vt(ϕ) i proces V jestmartyngałem, mamy

πt(X) = Vt(ϕ) = BtVt(ϕ) =

= Bt EP ∗(VT (ϕ)BT

∣∣∣∣Ft) = Bt EP ∗(X

BT

∣∣∣∣Ft) ,dla dowolnego t ∈ T .

26

3. Wycena opcji pogodowych

3.1. Wstęp

Przedstawimy najpierw model Blacka-Scholesa (MBS), w którym cenaopcji może być wyznaczona na podstawie ceny instrumentu finansowego,który jest jego podstawą.

Założenia modelu są następujące:

— akcje są nieskończenie podzielne,

— cena zakupu akcji jest taka sama jak cena sprzedaży,

— akcje nie przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji,

— nie ma kosztów transakcji ani podatków,

— dopuszczalne są pozycje ujemne, tzn krótka sprzedaż i zaciąganie kredytuna rachunku bankowym,

— krótkoterminowa stopa procentowa wolna od ryzyka nie zmienia się w okre-sie ważności opcji.

Na podstawie tych założeń pokażemy w twierdzeniu 3.3, że cena opcjiC = C(t, St) o wypłacie X = X(St) jest wyznaczona deterministycznie przezcząstkowe równanie różniczkowe (PDE):

∂C

∂t(t, s) +

12σ2s2∂

2C

∂s2(t, s) + rs

∂C

∂s(t, s)− rC(t, s) = 0, (6)

z warunkiem końcowym C(T, s) = X(s), gdzie σ oznacza współczynnikzmienności cen akcji, r stopę procentową.

To równanie stało się podstawą do wyceny opcji na akcje. Zmodyfikowanenastępnie przez Blacka, [1], staje się podstawą do obliczenia ceny opcji po-godowych, co zostanie przedstawione w dalszej części pracy, w której przyj-miemy jako uproszczenie:

— że istnieje płyny liniowy kontrakt swap ”pogodowy”,— kontrakt swap jest używany do hedgingu opcji na ten sam indeks.

W dalszym ciągu będziemy przyjmować, że na rynku istnieje tylko jedenrodzaj instrumentu finansowego (akcja) oraz możliwy jest wybór tylko jednejobligacji o stałym oprocentowaniu, w którą możemy inwestować.

27

3.2. Model Blacka-Scholesa

Zaczniemy od wyprowadzenia wzoru na cenę akcji w modelu Blacka-Sch-olesa. Zakładamy, że handlujemy opcją na akcje, i ograniczamy ryzyko tejopcji poprzez akcje będące podstawą kontraktu.

Zakładamy, że proces cen akcji S oraz dynamika cen obligacji B wyzna-czone są poprzez stochastyczne równania różniczkowe:

dSt = µStdt+ σStdWt, (7)

dBt = rBtdt, B0 = 1,

gdzie µ to stopa aprecjacji, σ współczynnik zmienności, a (Wt)0≤t≤T jestprocesem Wienera. Pierwszy składnik po prawej stronie równania opisujepowolny wznoszący się dryf, podczas gdy drugi składnik równania opisujelosowe wahania spowodowane pojawieniem się nowych informacji na rynkuoraz wahania podaży i popytu. Efekt pojawienia się nowych informacji narynku jest losowy, ponieważ, jeśli nie byłby losowy, to byłby przewidywalny,i dlatego od razu uwzględniony w cenie.

Możemy także rozważyć, jak zdyskontowana wartość cen akcji zmienia sięw czasie. Wartość akcji w czasie t, zdyskontowana do czasu t0, jest wyrażona

St = er(t0−t)St,

więc, zgodnie ze wzorem na całkowanie przez części (2), proces zdyskonto-wanych cen spełnia stochastyczne równanie rózniczkowe

dSt = (µ− r)Stdt+ σSdWt.

Rozwiązaniem równania (7) jest geometryczny ruch Browna, czyli procespostaci

St = S0e

(µ−σ

2

2

)t+σWt ,

dowód tego faktu można znaleźć w np. w [13].

Rozważmy miarę martyngałową P ∗ zdefiniowaną przez pochodną Rado-na-Nikodyma (4)

dP ∗

dP

∣∣∣∣F

= εT ,

28

gdzie εt zdefiniowana jest wzorem

εt = exp(∫ t

0γsdWs −

12

∫ t

0γ2sds

).

Proces (εt) jest adaptowany, progresywnie mierzalny i∫ T

0 γ2sds <∞.

Z twierdzenia Girsanowa 2.25, proces (Wt)t∈[0,T ] zadany równaniem

dWt = dWt − γtdt, ∀t ∈ [0, T ], (8)

jest P ∗ - procesem Wienera, więc z (7) i (8) dynamika S względem P ∗

opisana jest równaniem

dSt = (µ− r + σγt)Stdt+ StdWt. (9)

Jeżeli S ma być P ∗- martyngałem , to zgodnie z punktem 3 twierdzenia 2.17musi być spełniona równość dSt = StdWt. Więc

µ− r + σγt = 0, ∀t ∈ [0, T ]. (10)

Stąd

γt ≡ γ =r − µσ

.

Proces (γt)t∈[0,T ] nazywa się zwykle rynkową ceną ryzyka. Jeśli jest zna-ny, to można jednocześnie zdefiniować miarę P ∗.

Przekształcone równanie (9), za pomocą wzoru na całkowanie przez czę-ści (2) dla St = ertSt, wyznacza dynamikę S względem miary P ∗, [4]

dSt = rStdt+ σStdWt. (11)

Proces cen akcji względem tej miary wyraża się wzorem

St = S0 exp(

(r − σ2

2)t+ σWt

). (12)

Uogólnieniem wyżej formułowanych wniosków jest następujące twierdzenie,[4].

29

Twierdzenie 3.1. Jeśli model MBS jest wolny od arbitrażu, to istniejeprogresywnie mierzalny proces γ : [0, T ]× Ω→ Rd nazywamy rynkową cenąryzyka, taki że

r(t)1d − µ(t) = σ(t)γt, ∀t ∈ [0, T ],

gdzie 1d jest d-wymiarowym wektorem złożonym z jedynek.

Odwrotnie, jeśli istnieje proces rynkowej ceny ryzyka, który dodatkowospełnia warunki:

1.T∫0

||γt||2dt <∞, P − p.n.,

2. EP

(exp

(T∫0

γudWu − 12

T∫0

||γu||2du

))= 1,

to model MBS jest wolny od arbitrażu.

Zajmiemy się teraz problemem zupełności klasycznego modelu Blacka -Scholesa. W modelu tym wyznaczyliśmy już poprzednio równoważną mia-rę martyngałową P ∗. Niech X będzie instrumentem pochodnym, takim żeX ∈ L1(P ). Wtedy także X ∈ L1(P ∗) i możemy zdefiniować proces

Mt = E∗(e−rTX|Ft

).

Ponieważ

E∗(Mt|Fs) = E∗(e−rTE∗(X(ST )|Ft)|Fs)= e−rTE∗(X(ST )|Fs) = Ms,

proces M jest P ∗-martyngałem.Z twierdzenia 2.23 o reprezentacji martyngału mamy

Mt = M0 +∫ t

0hu dWu,

gdzie W jest P ∗-procesem Wienera. Wtedy z równania (9)

dSt = σStdWt oraz Mt = M0 +∫ t

0ϕ1u dSu

gdzie ϕ1t = ht

σSt. Definiujemy

ϕ0t = Mt − ϕ1

t St = Mt −htσ,

stąd otrzymujemy strategię samofinansującą się ϕt = (ϕ0t , ϕ

1t ), np. w [13].

Pokazaliśmy w ten sposób, [4], że instrument X jest osiągalny

X = erTMT = erT (ϕ0T + ϕ1

T ST ).

Ponieważ X był dowolnym instrumentem, więc wykazaliśmy, że rynekMBS

jest zupełny, [4].

30

3.2.1. Wycena instrumentów w modelu Blacka - Scholesa

Pokażemy teraz jak wyceniać instrumenty pochodne w modelu Blac-ka - Scholesa. Załóżmy przy tym, że rynkowa miara ryzyka γ istnieje. Wtedyw modeluMBS istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa P ∗ na (Ω,FT )o pochodnej Radona-Nikodyma (4)

dP ∗

dP= εT = exp

(∫ T

0γudWu −

12

∫ T

0||γu||2du

),

gdzie

γ =r − µσ

.

Taki model jest wolny od arbitrażu i zupełny. Model ten nazywa sięmodelem standardowym.

Twierdzenie 3.2. Niech MBS będzie standardowym modelem Blacka-Sch-olesa, a X instrumentem pochodnym w tym modelu, takim że X

BT∈ L1(P ∗).

Cena arbitrażowa instrumentu X jest dana wzorem

πt(X) = BtE∗(X

BT

∣∣∣∣Ft) = E∗(e−r(T−t)X

∣∣∣Ft) . (13)

Dowód. Wzór (13) wynika bezpośrednio z twierdzenia 2.38.

Skąd

Wniosek 1. W przypadku, gdy t = 0, arbitrażowa cena wypłaty X wynosi

π0(X) = V0(ϕ) = E∗(e−rTX). (14)

31

Twierdzenie 3.3. Rozważmy instrument X = X(ST ) przy czym zakłada-my, że funkcja X : R+ −→ R jest całkowalna. Wtedy cena arbitrażowa tegoinstrumentu dana jest wzorem πt(X) = C(t, St), gdzie C(t, s) jest rozwiąza-niem równania

∂C

∂t(t, s) +

12σ2s2∂

2C

∂s2(t, s) + rs

∂C

∂s(t, s)− rC(t, s) = 0 (15)

z warunkiem końcowym C(T, s) = X(s).

Równanie (15) nazywamy równaniem Blacka-Scholesa.

Dowód. Zauważmy najpierw, że πt(X) można przedstawić jako funkcję dwóchzmiennych t i St. Zgodnie z (13),

πt(X) = e−r(T−t)E∗ (X| Ft) ,

następnie wykorzystując dynamikę procesu S względem P ∗, (11),

dSt = rStdt+ σStdWt,

z (12) otrzymujemy

πt(X) = e−r(T−t)EP ∗ (X(ST )| Ft) =

= e−r(T−t)EP ∗(X(Ste

r(T−t)eσ(WT−Wt)− 12σ2(T−t)

)∣∣∣Ft) .Zmienna losowa St jest Ft-mierzalna, zaś przyrost WT −Wt jest niezależ-

ny względem σ-ciała Ft. Zatem warunkowa wartość oczekiwana jest funkcjąt i St, a więc

πt(X) = C(t, St).

Niech Mt = e−rTE∗ (X(St)| Ft). Wtedy proces M jest P ∗-martyngałemi Mt jest funkcją dwóch zmiennych t i St, oznaczamy Mt = G(t, s). Dlaprocesu G(t, s), korzystając z twierdzenia 1, znajdujemy różniczkę stocha-styczną

dG =∂G

∂tdt+

∂G

∂s(rsdt+ σsdWt) +

12σ2s2∂

2G

∂s2dt =

=(∂G

∂t+ rs

∂G

∂s+

12σ2s2∂

2G

∂S2

)dt+ σs

∂G

∂sdWt.

Z tego, że proces (G(t, St)t∈T ) jest P ∗-martyngałem, wnioskujemy ztwierdzenia własności (3) 2.17, że współczynnik przy dt zeruje się, czyli

32

funkcja (t, s) 7→ G(t, s) spełnia równanie różniczkowe cząstkowe

∂G

∂t+ rs

∂G

∂s+

12σ2s2∂

2G

∂s2= 0, (16)

z warunkiem końcowym

G(T, s) = e−rTX(s).

Ponieważ πt(X) = ertMt, więc C(t, St) = ertG(t, St), czyli C(t, s) =ertG(t, s). Wynika stąd, że G(t, s) = e−rtC(t, s). Obliczamy pochodne cząst-kowe

∂G

∂t(t, s) = −re−rtC(t, s) + e−rt

∂C

∂t(t, s),

∂G

∂s(t, s) = e−rt

∂C

∂s(t, s),

∂2G

∂s2(t, s) = e−rt

∂2C

∂s2(t, s),

i wstawiamy te wyrażenie do równania (16) dla G(t, s).Stąd

−re−rtC(t, s) + e−rt∂C

∂t(t, s) + rSe−rt

∂C

∂s(t, s) +

12σ2s2e−rt

∂2C

∂s2(t, s) = 0,

co po skróceniu przez e−rt daje równianie Blacka-Scholesa.

3.2.2. Wzór Blacka-Scholesa

Zajmiemy sie teraz wyprowadzeniem wzoru Blacka - Scholesa dla euro-pejskiej opcji kupna. W dowodzie skorzystamy z następującego lematu.

Lemat 3.4. Jeżeli X ma rozkład normalny N(m,σ2) względem P , to

EP(eaX1X≥k

)= eam+a2σ2/2N(d),

gdzie d = σ−1(−k+m+aσ2), a N jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.

Dowód. Zakładamy, że X ma rozkład normalny N (m,σ2) względem miaryP , t.j. o gęstości

f(x) =1

σ√

2πexp

(−(x−m)2

2σ2

).

Przypomnijmy, że dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego wyra-ża się wzorem

N(x) =1

2π

∫ x

−∞exp(

−t2

2)dt.

33

Obliczamy zatem

E(exp(aX)11X≥k) =∫ ∞k

exp(ax)1

σ√

2πexp(

−(x−m)2

2σ2)dx =

=∫ ∞k

1σ√

2πexp(

ax2σ2 − (x−m)2 − am2σ2 − a2σ4

2σ2)×

× exp(am+a2σ2

2)dx =

= exp(am+a2σ2

2)∫ ∞k

1σ√

2πexp(

−(x−m− aσ2)2

2σ2)dx =

= exp(am+a2σ2

2)∫ d

−∞

1√2π

exp(−t2

2)dt,

gdzie d = σ−1(−k +m+ aσ2). Czyli

E(eaX11X≥k) = eam+a2σ2

2 N(d)

Niech X oznacza europejską opcję kupna o cenie wykonania K i terminierealizacji T . Przypomnijmy, że wówczas

X = (ST −K)+ =ST −K, gdy ST > K,0, gdy ST ≤ K,

gdzie St dla t ∈ [0, T ], jest ceną akcji, na którą wystawiono rozważaną opcje.Niech Ct = πt(X) oznacza cenę wypłaty X w chwili t ∈ [0, T ].

Twierdzenie 3.5 (wzór Blacka-Scholesa). Cena europejskiej opcji kupnaakcji w chwili 0 ≤ t ≤ T wyraża się wzorem

C(t, St) = StN(d1(St, T − t))−Ke−r(T−t)N(d2(St, T − t)), (17)

gdzie

d1(St, T − t) =ln S

K + (r + σ2

2 )(T − t)σ√T − t

,

oraz

d2(St, T − t) =ln S

K + (r − σ2

2 )(T − t)σ√T − t

.

Dowód. Wykażemy prawdziwość wzoru dla t = 0, dowód dla dowolnegot ∈ (0, T ) można znaleźć np. w [13]. Arbitrażowa cena wypłaty X, zgodnieze wzorem (14), wynosi

C(0, S0) = π0(X) = E∗(e−rTX) = e−rTE∗((ST −K)+).

34

Zgodnie z (12),

St = S0 exp(

(r − σ2

2)t+ σWt

),

gdzie W jest procesem Wienera względem miary martyngałowej P ∗. W szcze-gólności

ST = S0 exp(

(r − σ2

2)T + σWT

).

Zauważmy, że zachodzi następująca równość zbiorów:

ST ≥ K =

exp(

(r − σ2

2)T + σWT

)≥ K

S0

=

(r − σ2

2)T + σWT ≥ ln

K

S0

=

WT ≥ k

gdzie k =

ln KS0−(r−σ

2

2

)T

σ . Stąd

C(0, S0) = e−rTE((

S0 exp((

r − σ2

2T

)+ σWT

)−K

)11WT≥k

)= S0e

−σ2T2 E∗

(eσWT 11WT≥k

)− e−rTKE∗

(11WT≥k

)Z definicji procesu Wienera zmienna losowa WT ma rozkład N (0, T ),

zatem zgodnie z lematem 3.4 mamy, że

C(0, S0) = S0N

σ2T − ln KS0

+(r − σ2

2

)T

σ√T

− e−rTK (1−N(k√T

))

= S0N (d1(S0, T ))− e−rtKN (d2(S0, T ))

gdzie

d1(S0, T ) =ln S0

K + (r + σ2

2 )T

σ√T

d2(S0, T ) =−k√T

=ln S0

K + (r − σ2

2 )T

σ√T

35

3.3. Model Blacka

3.3.1. Wzór Blacka

Zajmiemy się teraz rynkiem kontraktów terminowych w modelu Blac-ka. Jak wiemy istnieją dwa podstawowe typy umów terminowych: kontraktyforward oraz futures. Zaznaczymy jedynie, że zasadniczą cechą odróżniającąkontrakty futures od kontraktów forward jest występująca jedynie w przy-padku kontraktów futures procedura „marking to market” oraz związanez nią wahania tzw. depozytu zabezpieczającego.

Ze względu na losowe fluktuacje stóp procentowych (stochastyczny cha-rakter ich zmian) ceny kontraktów forward i futures są w praktyce różne.Jednak przy pewnych upraszczających założeniach te kontrakty będą miałyidentyczne ceny,[4]. Przyjmijmy, jak poprzednio, proces cen obligacji (Bt)t∈Tjako numeraire . Niech ft oraz Ft oznacza odpowiednio ceny futures i for-ward akcji St w chwili t w kontraktach terminowych wygasających w chwiliT . Zakładamy również,[4], że cena kontraktu forward Ft akcji St spełniarównanie

Ft =StBt

∀t ∈ [0, T ] ,

a ceny forward i futures są równe, gdy stopy procentowe są deterministyczne.

Rozważmy teraz ceny futures w klasycznym rynku Blacka-Scholesa (jed-na akcja oraz obligacja) pozbawionym arbitrażu. Oczywiście, w tym przy-padku jest spełnione założenie o nielosowym charakterze stóp procentowych,a Bt = e−r(T−t) dla każdego 0 ≤ t ≤ T. Niech P ∗ będzie równoważną miarąmartyngałową.

Twierdzenie 3.6. Niech ft = fS(t, T ) będzie ceną futures w kontrakcie naakcję St o terminie realizacji (wygaśnięcia kontraktu futures) T . Wtedy

ft = E∗ (ST | Ft) .

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika, że cena futures jestP ∗-martyngałem.

Dowód. Wiemy, że ft = Ft, gdzie Ft jest ceną kontraktu forward na akcję St.W modelu Blacka - Scholesa dynamika cen akcji względem miary P jest danarównaniem

dSt = µStdt+ σStdWt.

Mamy także

Ft =StBt

= Ster(T−t), t ∈ [0, T ]. (18)

Na podstawie wzoru na całkowanie przez części w postaci (2) otrzymujemywięc

dft = (µ− r)ftdt+ σftdWt, f0 = S0erT .

36

Zmiana miary P na P ∗ jest dana przez pochodną Radona-Nikodyma

dP ∗

dP= εT = exp

((r − µσ

)WT −

12

(r − µσ

)2

T

).

Postępując analogicznie jak w modelu Blacka-Scholesa zamieniamy miaręP na P ∗ i otrzymujemy

dft = σftdWt,

gdzie W jest standardowym procesem Wienera względem miary P ∗. Ozna-cza to, że proces (ft)t∈[0,T ] jest P ∗-martyngałem. Ponieważ zachodzi ciągrówności ft = fT = FT = ST , więc

ft = E∗(fT | Ft) = E∗(ST | Ft). (19)

Możemy teraz przejść do wyceny opcji na kontrakty terminowe. Wyko-rzystując twierdzenie 3.6 oraz wycenę martyngałową instrumentów w mo-delu Blacka-Scholesa.

Twierdzenie 3.7 (Wzór Blacka). Rozważmy kontrakt futures na akcję So terminie realizacji T oraz europejską opcje kupna na ten kontrakt o cenierealizacji K i czasie zapadalności T . Cena tej opcji dla dowolnego t ∈ [0, T ),dana jest wzorem

C(T − t, ft) = e−r(T−t)(ftN(d1(ft, T − t))−KN(d2(ft, T − t)

),

gdzie

d1(ft, T − t) =ln(f/K) + 1

2σ2(T − t)

σ√T − t

,

d2(ft, T − t) = d1(ft, T − t)− σ√T − t.

Dowód. Następujące twierdzenie, udowodnione zostało po raz pierwszy w pra-cy Blacka, [1].Przeprowadzimy go w przypadku, gdy t = 0. Z twierdzeniem 2.38 uzyskuje-my

C(T, f0) = B0E∗(

(f0 −K)+

BT

)= E∗

(e−rT (f0 −K)11f0>K

).

Wykorzystując dynamikę cen futures (19) oraz wzór (18) otrzymujemy

fT = f0 exp(σWT −

12σ2T

).

Ponieważ,analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 3.5, zachodzi równośćf0 > K =

WT > k

, gdzie

k =ln(K/f0) + σ2

2 T

σ,

37

więc

C(T, f0) = e−rTE∗((

f0 exp(σWT −σ2

2T )−K

)11WT>k

)= f0e

−(r+σ2

2)TE∗

(eσWT 11WT≥k

)− e−rTKE∗

(11WT≥k

).

Z definicji procesu Wienera zmienna losowa WT ma rozkład N (0, T ), zatemzgodnie z lematem 3.4, mamy, że

C(T, f0) = f0 e−rTN

(ln(ft/K) + 1

2σ2(T )

σ√T

)− e−rTK

(1−N(

k√T

))

= f0 e−rTN (d1(f0, T ))− e−rTKN (d2(f0, T )) ,

gdzie

d1(f0, T ) =ln(ft/K) + 1

2σ2T

σ√T

,

d2(f0, T ) = d1(ft, T )− σ√T .

3.3.2. Równanie różniczkowe w modelu Blacka

Zamiast zabezpieczać opcje akcjami, możemy sobie wyobrazić zabezpie-czenie opcji, kontraktami forward na te akcje. Hedging stały2 pozwala namwyprowadzić cenę kontraktu forward gdzie argumentem będzie cena akcji.Przypomnijmy, że zgodnie z (18).

Ft = er(T−t)St.

Możemy zatem, tak jak w pracy Blacka, [1], zapisać rozwiązanie równaniaBlacka-Scholesa (6) jako funkcję o argumencie Ft. Tak więc używając na-stępującego podstawienia St = Fte

−r(T−t) oraz korzystając z następującychprzekształceń.

∂C

∂t(t, Ft) =

∂C

∂t+∂C

∂Ft

∂Ft∂t

=∂C

∂t− rFt

∂C

∂Ft,

∂C

∂St(t, Ft) =

∂C

∂Ft

∂Ft∂St

= er(T−t)∂C

∂Ft,

∂2C

∂S2t

(t, Ft) =∂2C

∂F 2t

(∂Ft∂St

)2

=∂2C

∂F 2t

(er(T−t))2,

2 polega na zajęciu pozycji i utrzymywaniu jej, bez żadnych modyfikacji, przez całyokres trwania zabezpieczenia

38

przekształcamy równanie Blacka-Scholesa (15) do postaci

∂C

∂t− rFt

∂C

∂Ft+

12σ2S2

t

∂2C

∂F 2t

(∂Ft∂St

)2

+ rSter(T−t) ∂C

∂Ft− rC = 0

Ostatecznie otrzymujemy

∂C

∂t+

12σ2F 2

t

∂2C

∂F 2t

− rC = 0. (20)

Zauważmy, że składnik rS ∂C∂S w równaniu (15) znika. Czynnik ten jestpowiązany ze zmianą wartości portfela spowodowaną wzrostem wartości ak-cji o stały procent bez poniesienia ryzyka. Więc, kiedy zabezpieczamy siękontraktem forward ten czynnik znika, ponieważ nie posiadamy żadnychpieniędzy do czasu zakończenia tego kontraktu.

Rozważmy zdyskontowaną cenę opcji na kontrakt forward C(t, Ft)

C(t, Ft) = er(T−t)C(t, Ft).

Obliczamy poszczególne pochodne

∂C

∂t=

∂(Cer(t−T ))∂t

=∂C

∂ter(t−T ) + rCer(t−T ),

∂C

∂Ft=

∂(Cer(t−T ))∂Ft

=∂C

∂Fter(t−T ),

∂2C

∂F 2t

=∂2(Cer(t−T ))

∂F 2t

=∂2C

∂F 2t

(er(t−T ))2,

wtedy równanie (20) upraszcza się jeszcze bardziej

∂C

∂t+

12σ2F 2

t

∂2C

∂F 2t

= 0,

przyjmując jeszcze prostszą postać.

39

3.4. Proces cen opcji pogodowych

Po przybliżeniu standardowej wyceny opcji w modelu Blacka - Schole-sa, pokażmy jak ta teoria może być wykorzystana do ustalenia ceny opcjipogodowej za pomocą kontraktów swap. Kluczem do tego jest wyznaczenieprocesu cen dla kontraktu swap. Kiedy już to zrobimy, nie będzie problemuz zastosowaniem nieznacznie zmodyfikowanej teorii i otrzymaniem ceny opcjipogodowej.

Zakładamy poniżej, jak w [7], że wszystkie kontrakty swap są linowe,a ich instrumentem bazowym jest skumulowana średnia temperatur (CAT)lub jeden z liniowych indexów temperatury (HDD lub CDD)3. To w dużejmierze upraszcza analizę, i stanowi rozsądny model dla większości kontrak-tów będących w obrocie giełdowym.

Zakładamy, że handlujemy wykorzystując ceny kontraktów swap zamiastcen realizacji w celu dostosowania się do teorii Blacka - Scholesa w bardziejklarowny sposób (gdzie akcje mają ceny). Innymi słowy, zamiast operowaćbezkosztowymi kontraktami swap z ceną wykupu K, która daje x−K, jeśliindex będzie miał wartość x, ustalimy, że płacimy premię za kupno kontraktuswap, który wypłaci nam x kwoty rozliczenia. Premia, którą trzeba by za-płacić za taki zmieniony kontrakt swap jest wyznaczona (w sensie zwykłegokontraktu) wzorem

premium = St = Ker(t−T ). (21)

Te nowe kontrakty z premią są podobne do akcji, tak samo jak bezkosz-towe swapy do kontraktów forward na akcje. Innymi słowy, możemy myślećo tych kontraktach swap z premią właśnie jak o akcjach, a o prawdziwychbezkosztowych kontraktach jak o forwardach na te akcje.

3.5. Model rynku zrównoważonego dla opcji pogodowych

W celu wyliczenia procesu cen dla kontraktów swap przyjmiemy założe-nie, że rynek jest zrównoważony pod wpływem podaży i popytu. To prowadzido naszych nowo stworzonych kontraktów swap z premią, którymi handlu-jemy z zaniżonym oczekiwanym zwrotem z inwestycji, czyli na wysokościoczekiwanej wartości indeksu. Jeżeli w naszych szacunkach zaniżona wartośćoczekiwana zwrotu z inwestycji się nie zmienia, wtedy cena kontraktu swapbędzie tylko rosła na poziomie stopy wolnej od ryzyka. Ten przykład niema sensu dla akcji, skoro fundamentalnym powodem, dla którego kupujemyakcje jest chęć zainwestowania: nikt nie kupowałby akcji jeżeli nie istniałobyprawdopodobieństwo wzrostu cen akcji szybciej niż stopa wolna od ryzyka.Jednakże fundamentalnym powodem, dla którego handlujemy kontraktamiswap nie jest chęć spekulacji, ale ograniczenia ryzyka.

3 HDD - heating degree day, CDD - cooling degree day

40

Jak więc oszacować oczekiwaną wartość indeksu i oczekiwany zwrot in-westycji? Zakładamy, że wszyscy uczestnicy rynku używają tych samychdanych historycznych do przewidywania i szacowania oczekiwanych warto-ści indeksów kontraktów swap.

Zmiana oczekiwanej wartości indeksu dana jest poprzez proces Wienera

dRt = σdWt.

Z równości (21), cena (kontraktu swap z premią) jest dana

St = er(t−T )Rt,

tak więc całkując przez części

dSt = rStdt+ er(t−T )σdWt

= rStdt+ σsdWt

(22)

gdzie σs = er(t−T )σ zostało zdefiniowane tak by usunąć czynnik dyskontu-jący.

Dyskontując cenę w czasie t, tak by cofnąć się do t0

St = er(t0−T )St,

tak więc

dSt = er(t0−T )σdWt

= σd dWt

(23)

gdzie σd = er(t0−T )σ zostało również zdefiniowane by pozbyć się czynnikadyskontującego. Możemy zauważyć, że ze względu na własność całki Ito,twierdzenie (2.17), zdyskontowana cena kontraktu swap jest martyngałem.

Otrzymaliśmy więc następujące równania określające dynamikę ceny kon-traktu swap oraz ceny zdyskontowanej:

dSt = rStdt+ σsdWt,

dSt = σd dWt.

W przeciwieństwie do procesu cen w równaniu (7), losowa część zmianyceny swapa nie jest powiązana z ceną tego kontraktu. Dzieje się tak ponieważlosowa część jest całkowicie określona przez zmiany prognozy i temperatury.Zauważmy, że pomimo dużej autokorelacji temperatury jest to całkowicie

41

pominięte w procesie cen kontraktu swap. Jest tak ponieważ, autokorelacjatemperatury jest znana z prognozy i w związku z tym została zawarta w ob-liczeniach indeksu.

W końcu zauważmy, ze cena kontraktu może przyjąć wartości ujemne.To byłoby nie do przyjęcia dla akcji: jeżeli cena akcji przyjęłaby wartościujemne, wtedy ten, który kupiłby akcje (za ujemną cenę tzn. otrzymałbyza to pieniądze), mógłby je wyrzucić i mieć zysk bez ponoszenia ryzyka.Jednakże, kupowanie kontraktu swap po ujemnej cenie nadal niesie za sobąryzyko płacenia w terminie wygaśnięcia kontraktu, więc coś takiego jak zyskbez ryzyka w tym przypadku nie istnieje.

Jednym z założeń zrobionych przy obliczaniu ceny kontraktu swap jestzałożenie o używaniu tych samych danych historycznych i prognoz do szaco-wania oczekiwanej wartości indeksu. To założenie, oczywiście, nie jest speł-nione w rzeczywistości na rynku wtórnym, gdyż inwestorzy szukają możliwo-ści do zysku poprzez używanie bardziej aktualnych, dokładniejszych danychhistorycznych, albo bardziej prawidłowych prognoz. My jednak utrzymuje-my, że cena kontraktu swap dana przez równanie (22) jest prawidłowa,[7].Uzasadnimy to twierdzeniem, że rynek zawrze w cenie powszechnie dostępnedane. Zmienność ceny nadal będzie zależna od zmiany w prognozach i do-stępnych danych jak jest to opisane powyżej.

3.6. Wycena na rynku zrównoważonym dla opcji pogodowych

Proces cen kontraktów swap dany w równaniu (22) pozwoli nam terazna wycenę opcji o tym samym indeksie, w oparciu o założenie, że swapamimożna handlować bez ponoszenia kosztów i używać ich do delta hedgingu4.Powtarzając rozumowanie z dowodu twierdzenia 3.3, wychodząc tym razemz równania (22), otrzymujemy odpowiednik równania Blacka-Scholesa, czylirównanie postaci

∂C

∂t+

12σ2s

∂2C

∂S2+ rS

∂C

∂S− rC = 0, (24)

Jest to równanie dla kontraktów swap z premią. Zauważmy, że jedyną róż-nicą pomiędzy równaniem (24) a oryginalnym równaniem Blacka-Scholesajest współczynnik przy drugiem członie równania cząstkowego. Musimy te-raz transformować powyższe równanie tak aby C była funkcją ceny wykupuK i t, skoroK jest wielkością którą możemy zaobserwować na rynku kontrak-tów terminowych. Postępujemy podobnie jak w przypadku modelu Blacka

∂C

∂t=

∂C

∂t+∂C

∂K

∂K

∂t=∂C

∂t− rK ∂C

∂K,

∂C

∂S=

∂C

∂K

∂K

∂S= er(T−t)

∂C

∂K,

∂2C

∂S2=

∂2C

∂K2

(∂K

∂S

)2

=∂2C

∂S2(er(T−t))2.

4 konstrukcja portfela odpornego na wahania indeksu

42

Równanie (24) przyjmie postać

∂C

∂t+

12σ2 ∂

2C

∂K2− rC = 0. (25)

Pozbyliśmy się czynnika rS ∂C∂S , a σs upraszcza się znów do σ. To równaniejest podobne do równania (20), z tą różnicą, że współczynnik przy drugimczłonie zmienia się z σ2S na σ2.

Równanie cząstkowe (25) pozwala na wyznaczenie ceny opcji pogodowej.Jeżeli zapiszemy wyliczoną cenę za pomocą zdyskontowanej wartości opcjiw momencie T

C = er(t−T )C,

to równanie (25) upraszcza sie do

∂C

∂t+

12σ2 ∂

2C

∂K2= 0, (26)

Przy opcjach pogodowych wykorzystuje się częściej w praktyce standar-dowe odchylenie od indeksu σx, niż dziennego współczynnika zmienności σ.Dzieje się tak, gdyż σx może być łatwo wyliczone na podstawie historycznychdanych meteorologicznych. Najprostszą zależnością łączącą σx z σ jest, [8] :

σx =

(T − t0)

12σ dla t ≤ t0,

(T − t)12σ dla t0 ≤ t ≤ T,

gdzie t0 jest czasem rozpoczęcia kontraktu, T czasem wygaśnięcia kontraktu,a σ jest stałą.

Mówiąc ogólnie, możemy zawrzeć efekt pokrywania się prognozy z okre-sem trwania kontraktu, w którym σ zmienia się deterministycznie. Jewsonw [5] proponuje prosty model oparty na trapezach, który zawiera w sobieten efekt dla σ2. Dla kontraktów dłużych niż miesiąc, możemy także zawrzećefekt sezonowości w wartości σ.

Kiedy σ zmienia się deterministycznie, wtedy równanie (26) przyjmujepostać

∂C

∂t+

12σ2∂2C

∂K2= 0, (27)

gdzie σ jest wartością średnią z σ2 w czasie trwanie kontraktu,[14].

43

Podobnie jak równanie Blacka-Scholesa, równanie (26) może być takżerozwiązane analitycznie. Zastosowanie funkcji Greena dla tego równania dajenam wzór na cenę opcji pogodowej, [7]

C =1√2π

1σ

(T − t)−12 exp

(− (x−K)2

2σ2(T − t)

). (28)

Możemy to zweryfikować poprzez obliczenie poszczególnych pochodnychcząstkowych powyższego równania

∂C

∂t= C

[− (x−K)2

2σ2(T − t)2+

12(T − t)

],

∂C

∂K= C

[(x−K)σ2(T − t)

],

∂2C

∂K2= C

[− (x−K)2

σ4(T − t)2− 1σ2(T − t)

],

które po podstawieniu prowadzą do wzoru (26).

44

Literatura

[1] F.Black, The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics,3:167–179, 1976.

[2] F.Black, M.Scholes The pricing of options and corporate liabilities, Journal ofPolitical Economy, 81:637–654, 1973.

[3] Goldman Sachs, Kelvin Ltd. Offering circular, 1999.[4] J.Jakubowski, A.Palczewski, M.Rutkowski, Ł.Stettner, Matematyka finansowa:

Instrumenty pochodne, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.[5] S.Jewson, R.Caballero, Closed-form expressions for the pricing of weather de-

rivatives: Part 2, Risk Management Solution, London, 2004.[6] S.Jewson Intrudaction to weather derivative pricing, Risk Management Solu-

tion, London, 2004.[7] S.Jewson, M.Zervos, The Black-Scholes equation for weather derivatives, RMS,

London 2003.[8] S.Jewson, Weather derivative pricing and risk management: volatility and value

at risk, Risk Management Solutions, London 2002.[9] J.Karatzas, S.E.Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus,

Springer-Verlag, Berlin 1988.[10] P.Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, A New Approach,

Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1990.[11] K.Sobczyk, Stochastyczne równania różniczkowe, Wydawnictwo

Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996.[12] A.Weron, R.Weron, Inżynieria finansowa: Wycena instrumentów pochodnych,

Symulacje komputerowe, Statystyka rynku, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,Warszawa 1998-99.

[13] M.Wiciak, Wybrane zagadnienia teorii opcji, Wydawnictwo PK, Kraków 2007.[14] P.Wilmott, Derivatives, Wiley, 1999.

45