Povijest matematike I. - unizg.hr

Pramatematika Stari Egipat Mezopotamija Jonsko razdoblje grcke matematike

Povijest matematike I.Pramatematika; matematika u Mezopotamiji i starom Egiptu;

matematika jonskog razdoblja grcke matematike

Franka Miriam Bruckler

Ak. g. 2020./21.


Slika: c© FMB 1999 (CC BY-NC-ND)


Pramatematika

Poceci matematike vezani su uz brojanje i geometrijske uzorkete mjerenje. Najranije tragove matematike mozemo naci u oblikuzareza u kostima i kamenju (rovasi), te kao ornamente na glinenimposudama iz kamenog doba. Dva najpoznatija izvorapra-matematike potjecu iz Afrike:

kost iz Lebomba (stara oko 43.000 godina) i

kost iz Isanga (stara oko 20.000 godina, svrha nije sasvim

razjasnjena).

Nesto kasnije su se kao pomagala za biljezenje brojeva pojavilizetoni , te u juznoj Americi uzad s cvorovima ( quipu ).

Prva pomagala za racunanje bili su pak prsti (Aristotel:rasprostranjenost brojanja do deset nije rezultat izbora, nego prijeanatomska slucajnost). Racunanje se moze dokazati tek prijeca. 4000 godina.

https://afrolegends.com/2019/05/17/the-lebombo-bone-the-oldest-mathematical-artifact-in-the-world/

https://afrolegends.com/2013/08/29/the-ishango-bone-craddle-of-mathematics/

https://sites.utexas.edu/dsb/tokens/tokens/

https://andina.pe/agencia/noticia-bbc-mundo-por-seguimos-sin-descifrar-completo-los-misteriosos-quipus-incas-772473.aspx


Staroegipatska matematika: izvori i brojke

Najstariji izvori potjecu iz doba tzv. srednjeg carstva(2040.–1794.). Dva najvaznija su:

Rhindov papirus , kojeg je napisao pisar Ahmes oko1650. pr. Kr., Alexander Henry Rhind ga je 1858. kupio uLuxoru, a danas se cuva u British Museum u Londonu;

Moskovski papirus , koji potjece iz ca. 1850. g. pr. Kr. V. S.Goleniscev ga je 1893. donio u Moskvu.

Uz njih poznati su i Londonski kozni svitak iz istog doba, te kasnijipapirus Kairo. Iz njih je vidljivo da je staroegipatska matematikanastala iz prakticnih potreba drzavnih sluzbenika: mjeriteljstvo,gradevina, skladistenje, porezi, . . .Vec prije nego su otkrili izradu papirusa, stari su Egipcani osmislilibiljezenje brojeva koristeci dekadski, aditivan, nepozicijskihijeroglifski brojevni sustav :

https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10058

https://themathematicaltourist.wordpress.com/2012/10/19/moscow-mathematical-papyrus/

https://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_Mathematical_Leather_Roll

http://discoveringegypt.com/egyptian-hieroglyphic-writing/egyptian-mathematics-numbers-hieroglyphs/


Brojke u starih Egipcana

Hijeroglifskim brojkama zapisan danasnji datum 8. 3. 2021. je

|||||||| ||| ∩ ∩|

Iz hijeroglifa razvilo se hijeratsko pismo (kojim su pisani Rhindov

i Moskovski papirus) te odgovarajuce hijeratske brojke :

Kasnije se iz hijeratskog pisma razvilo demotsko pismo, odnosnoiz hijeratskih demotske brojke.

http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Diagrams/Hieratic.gif


Egipatski razlomci

Svi (pozitivni) razlomci prikazivani su kao zbrojevi jedinicnihrazlomaka (zbroj = nadopisivanje),1

hijeroglifska notacija: iznad brojke koja predstavljanazivnik razlomka, analogno hijeratski;

u Rhindovom papirusu nalazi tablica razlomaka tipa 22n+1 kao

zbroja jedinicnih (nije jasna metoda kojom je dobivena, aliizbjegava 2

m = 1m + 1

m ):

Moze li se svaki pozitivan razlomak zapisati kao zbroj jedinicnih?Kako bismo nasli takav zapis? Je li takav zapis jedinstven?

1Specijalni simbol je imao samo razlomak 23.


Teorem

Svaki pozitivan razlomak ima beskonacno mnogo egipatskih zapisa.

Neka je

p

q=

n∑i=1

1

ki.

Imamo

1 =1

2+

1

3+

1

6⇒ 1

kn=

1

2kn+

1

3kn+

1

6kn⇒

p

q=

(n−1∑i=1

1

ki

)+

1

2kn+

1

3kn+

1

6kn.

Ponavljamo li prethodno (dijeljenje zapisa za 1 s bilo kojim odnazivnika u zapisu p

q i supstitucijom u njega) dobit cemobeskonacno mnogo egipatskih zapisa istog razlomka. Dakle, akozapis postoji, onda ih ima beskonacno mnogo.


Teorem (Fibonacci)

Svaki pozitivan razlomak moze se prikazati u egipatskom obliku.

Fibonacci (Leonardo iz Pise)je oko 1200. g. uocio da to vrijedi, aliformalno za dokaz treba:

Lema (J. J. Sylvester (19. st.))

Neka je pq pozitivan razlomak manji od 1, p 6= 1. Neka je 1

n najveci

jedinicni razlomak manji od pq . Tada je p

q −1n = r

q n razlomak sasvojstvom r < p.

Dokaz.p

q− 1

n=

p n − q

q n

Pretpostavimo r = p n − q ≥ p. Ako je n = 1, onda je pq = 1 i

imamo trazeni zapis. Ako je n > 1 imamo p (n − 1) ≥ q, tj.pq ≥

1n−1 >

1n , sto je kontradikcija s pretpostavkom. �


Ako sad krenemo od pozitivnog razlomka i uvijek oduzimamonajveci jedinicni razlomak manji od njega, Sylvestorova lemagarantira da ce se brojnici smanjivati, a zbog dobrog uredaja naskupu N slijedi da ne mozemo nastaviti unedogled, pa vrijediFibonaccijev teorem.

Primjer

Zapisimo 37 na egipatski nacin:

1

2>

3

7>

1

3

3

7− 1

3=

2

9

1

4>

2

9>

1

5

2

9− 1

5=

1

45

Dobili smo jedinicni razlomak, dakle je

3

7=

1

3+

1

5+

1

45

(=

1

3+

1

10+

1

15+

1

30+

1

45= . . .

).


Staroegipatska aritmetika

Od brojeva susrecemo prirodne brojeve i pozitivne razlomke, ali sebrojevi jos ne gledaju kao apstraktni objekti. Zbrajanje ioduzimanje se u nepozicijskom sustavu provodi pregrupiranjemsimbola. Povremeno su se kao oznake za zbrajanje i oduzimanjekoristili znakovi

Mnozenje i dijeljenje svodili su se (gledano iz moderne perspektive)na koristenje distributivnosti i binarnog zapisa jednog faktora,odnosno djelitelja. Uz te cetiri osnovne operacije poznavali su i

√.

(samo jednostavne slucajeve).Pogledajmo to na primjerima mnozenja 25 sa 72 odnosno dijeljenja184 sa 17.


Primjer (25 · 72)

1 722 1444 2888 576

16 1152

Stoga je 25 · 72 = (1 + 8 + 16) · 72 = 72 + 576 + 1152 = 1800.

Primjer (184 : 17)

184 17

17 134 268 4

136 8

Sad: 184− 136 = 48, 48− 34 = 14 < 17. Dakle184 : 17 = 8 + 2 = 10 i ostatak 14 ( 184

17 = 10 + 1417 ).


Algebarski zadaci starih Egipcana

Zadatak (RP31)

Hrpa, njene dvije trecine, njena polovina i njena sedmina cine 33.Koliko sadrzi hrpa?

Vidimo da je termin”hrpa” odgovarao pojmu nepoznanice. Uz

zadatke s”hrpama”, tipicni su i zadaci s omjerima pefsu, koji su

opisivali kvalitetu piva ili kruha (pefsu je omjer kolicina dobivenogkruha/piva i utrosenog zita).

Zadatak (RP77)

Receno ti je da 10 des pive (pefsu 2) treba zamijeniti za kruhove(pefsu 5). Koliko kruhova ce biti? 2 pefsu = 10 des

5 hekat ,

5 pefsu = x des5 hekat

Uz takve linearne jednadzbe s jednom nepoznanicom nalazimo izadatke koji se svode na cisto kvadratne jednadzbe.


Geometrija u starih Egipcana

Stari su Egipcani znali racunati nekle povrsine (trokut,pravokutnik, trapez, krug) i volumene (kocka, kvadar, valjak, krnjakvadratna piramida).

Zadatak (RP41)

Koji je volumen valjkastog silosa za zito promjera 9 i visine 10?Oduzmi 1

9 od 9. Ostaje 8. Pomnozi 8 s 8, dobijes 64. Pomnozi 64s 10, to je 640 kubicnih kubita.a

a1 kubit ≈ 52,3 cm.

Ponovno vidimo pristup: zadaci se daju s rjesenjima, ali bezpostupaka i pokusaja generalizacije te bez formula.


Vidimo dakle da su stari Egipcani znali procijeniti povrsinu kruga

kao(

89d)2

. Iako jos nema nikakvih naznaka poznavanjaproporcionalnosti povrsine kruga s kvadratom polumjera/promjera,vidimo da staroegipatska procjena povrsine kruga aproksimaciji

π ≈ 32

9≈ 3.16.

Poznat je 14. zadatak u MP s korektnim pravilom zaizracunavanje volumena krnje uspravne kvadratne piramide.Egipcanima je bila jako vazna zemljopisna orijentacija hramova.Smjer sjever-jug utvrdivali su promatranjem tocaka na horizontugdje neka zvijezda izlazi i zalazi, a zatim se pomocu konopa

(3, 4, 5) utvrdivao smjer istok-zapad. Tek papirus Kairo (izca. 300. pr. Kr.) navodi i trojke (5, 12, 13) i (20, 21, 29).

http://numberwarrior.wordpress.com/2008/03/05/on-the-egyptian-value-for-pi/

https://www.jstor.org/stable/3854850?seq=1#page_scan_tab_contents

https://www.slideshare.net/sdlandau/the-egyptian-rope-stretchers


Mezopotamija

U podrucju Mezopotamije tijekom prva tri tisucljeca izmijenili su serazliciti dominantni narodi (Sumerani, Akadani, Babilonci, Asirci,Perzijanci), no od ca. 2500.pr.Kr. svi su koristili varijanteklinastoga pisma te su iz tog razdoblja sacuvane mnoge glineneplocice, od kojih stotinjak imaju matematicke sadrzaje (tablice,zadatke). Najvise ih je iz starobabilonskog carstva(ca. 1900.–1600. pr.Kr.). Dvije najpoznatije su:

YBC 7289 s vrlo dobrom aproksimacijom√

2 i

Plimpton 322 s tablicom pitagorejskih trojki.

Nedavno je otkrivena i jedna plocica na kojoj se moze naci ranioblik primjene trapezne formule.Cesto se cuje ili procita da su Sumerani odnosno Babilonci koristilisustav s bazom 60, ali . . .

http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-best-known-old-babylonian-tablet

http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html

http://www.sciencemag.org/news/2016/01/math-whizzes-ancient-babylon-figured-out-forerunner-calculus


Razvoj brojki u Mezopotamiji

Izvor: The comparative history of numerical notation

Klasicni babilonski brojevni sustav je bio prvi pozicijski sustav upovijesti, s primarnom bazom 60 i sekundardnom bazom 10, bezznamenke 0.

http://digitool.library.mcgill.ca/R/?func=dbin-jump-full&object_id=19493&local_base=GEN01-MCG02

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Diagrams/Babylonian_symbols.gif


Aritmetika

Osnovna tablica mnozenja velicine 60× 60 i nedostatak apsolutnepozicije svakako su bile mane, ali to je prvi pozicijski sustav upovijesti i za znanstveno racunanje je sve do indoarapskogdekadskog bio najpogodniji.Mnozenje su Babilonci olaksavali postupcima koji su ekvivalentniformulama

a b =(a + b)2 − a2 − b2

2, odnosno a b =

(a + b)2

4− (a− b)2

4

pa je za mnozenje brojeva potrebna samo tablica kvadratnihbrojeva. Dijeljenje se svodilo na mnozenje s reciprocnim brojem .

Primjer

1748 = 0 + a

60 + b3600 + . . .; a = 21; b = 15; 17

48 = (0; 21; 15)60.

http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2012-05


Algebarski zadaci

Mnoge plocice sadrze zadatke koji se svode na linearne i kvadratne,pa cak i kubne jednadzbe i njihove sustave.

BM 13 901

Povrsinu i moje nasuprotno skupio sam i dobio 0;45.(x2 + x = 45/60)

BM 13 901

Zbrojio sam povrsine obiju mojih strana i dobio 0;25,25. Strana je2/3 strane i 0;5. (x2 + y2 = 61

144 , y = 23x + 1

12 )

Opcenito je i sumersko-babilonska matematika prakticnoorijentirana (trgovina, gradevina, nasljedivanje, astronomija), arjesenja zadataka daju se bez argumenata, dokaza ili generalizacije.


Geometrija

Naravno, i oni su znali racunati povrsine kvadrata, pravokutnika, iznali su da su obujmi prizme i valjka jednaki umnosku povrsinebaze i visine. Aproksimacije povrsine i opsega kruga najcesce sesvode na π ≈ 3, ponekad π ≈ 3 1

8 . Primjerice, jedna plocica izrazdoblja 1900.–1600.pr.Kr. tvrdi da je opseg pravilnog sesterokutajednaka 24/25 opsega tom sesterokutu opisane kruznice):

π =?

r = a6 ⇒ O6 = 6a6 = 6r ≈ 24

25O =

24

25· 2rπ ⇒ π ≈ 25

8

Mnogi zadaci se rjesavaju koristeci proporcionalnost ekvivalentnukotangensu.


Sumersko-babilonska geometrija je inspirirana prakticnimproblemima, posebno iz gradevine. Na plocicama se mogu nacimnogi zadaci vezani, primjerice, za izgradnju kanala i nasipa,osobito cesto trapeznog presjeka.

Starobabilonski zadatak

”4 je duljina i 5 dijagonala. Kolika je sirina? Nije poznata. 4 puta4 je 16. 5 puta 5 je 25. Oduzmes 16 od 25 i ostaje 9. Sto dauzmem da dobijem 9? 3 puta 3 je 9. 3 je sirina.”

Ocito se koristi Pitagorin teorem (specijalni slucaj koji je bio

poznat i Egipcanima). Tablica Plimpton 322 sadrzi pitagorejske

trojke: trojke prirodnih brojeva k,m, n takve da je k2 + m2 = n2.Tocnije, u toj je tablici u drugom stupcu kraca kateta b trokuta, utrecem hipotenuza c , a u prvom stupcu su kvadrati omjera c/a.Poznavali su i Talesov teorem i koristili ga u komibinaciji sPitagorinim, npr. za odredivanje visine kruznog odsjecka nadtetivom poznate duljine u krugu poznatog promjera.

http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html


BM 85 196

Greda duljine (0; 30)60. Gornji kraj je skliznuo za (0; 6)60. Kolikose pomakao donji kraj?

Ovdje se podrazumijeva da je na pocetku greda cijela naslonjenana zid. Kad joj gornji kraj sklizne za 0, 60 6

60 = 110 dobivamo

praovkutni trokut s hipotenuzom duljine 3060 = 1

2 i vertikalnomkatetom (uz zid) 1

2 −1

10 = 410 = (0; 24)60 pa je trazeni odmak po

Pitagorinom teoremu jednak√1

4− 4

25=

3

10= (0; 18)60.

Za aproksimativno racunanje drugog korijena koristena je:


Heronova metoda za√.

ai+1 =1

2

(ai +

n

ai

)→√n

Primjer√

2 =?

12 ≤ 2 ≤ 22 ⇒ prva aproksimacija za√

2 je 1 = b√

2c.

Druga aprosimacija je1

2

(1 +

2

1

)= 1,5. Nastavljamo dalje:

Schritt a√n ≈

1 1 1,5

2 1,5 1,4166666666 . . .

3 1,4166666666 1,414215686275 . . .

4 1,414215686275 . . . 1,414213562375 . . .


Anticka grcka matematika

Pocetak razvoja: Mala Azija, jonski gradovi drzave(8./7. st. pr. Kr.) — poceci znanstvenog razmisljanja

Grci su od Fenicana preuzeli ideju alfabeta.

Tri perioda starogrcke matematike: jonski (ca. do pocetka5. st. pr. Kr.), atenski (do ca. kraja 4. st. pr. Kr.) tehelenisticki (do kraja antike), kojeg dijelimo na klasicni (dobitke kod Akcija 31. pr. Kr.) i postklasicni

najpoznatiji sekundarni izvor: Proklo, tocnije njegovikomentari Euklidovih Elemenata (5. st.)

za jonski period nije sacuvan nikoji originalni izvor, no u to sedoba matematika pocela formirati u znanost u kojoj se tvrdnjedokazuju logickim putem.


Tales iz Mileta

Prvi poimence poznati matematicar u povijesti je filozof,znanstvenik i inzinjer Tales iz Mileta (oko 624–527. pr. Kr.).Nijedno njegovo djelo nije opstalo i ne zna se je li uopce ista pisao.Prema Proklu, Tales je iz Egipta prenio geometrijska znanja uGrcku. Tradicionalno se navodi, ali to nije pouzdano, da je Talesprvi koji je svoje matematicke tvrdnje i dokazivao.

Teorem (Talesov poucak)

U svakom krugu je obodni kut nad svakim promjerom pravi.

Najstariji poznati dokaz mu se nalazi u Elementima ( EEIII31 ):

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Thales.html

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII31.html


A B

C

D

M

∠DCB = ∠CAB + ∠CBA, ∠MAC = ∠MCA, ∠MCB = ∠MBC⇒ ∠ACB = ∠DCB.

Talesovi poucci o proporcionalnosti: Pripisani su mu zbog legendeo odredivanju visine piramide.Oba navedena teorema pripisani su Talesu temeljem opisaDiogenese Laertiusa (2. st.) u biografiji Talesa.


Proklo pak Talesu pripisuje sljedeca cetiri teorema:

1 Svaki dijametar raspolavlja krug.

2 Kutevi uz osnovicu jednakokracnog trokuta su jednaki.

3 Vrsni kutevi su jednaki.

4 KSK-teorem o sukladnosti trokuta.

U oba slucaja postoje rasprave o smislu tvrdnji.Empirijski ili dokazano?


Starogrcka aritmetika

arithmos (α′ριθµo ′ς) = broj;

u starogrckom smislu brojevi su iskljucivo prirodni brojevi(izuzev broja

”jedan”, koji je izvor svih brojeva);

dvije vrste aritmetike: prakticna (logistika) i teorijska (”prava”

aritmetika);

za logistiku se u jonsko doba (do ca. 400. pr. Kr.) kaopomocna sredstva koriste kamencici i prsti;

teorijska aritmetika moze se smatrati zacetkom teorije brojeva.

Brojevni sustavi:

jonski period: akrofonski (aticki) brojevni sustav

1 5 10 50 100 500 1000 5000 10.000 50.000


Pitagorejci

Pitagora iz Samosa (ca. 569–475 pr. Kr.)

O zivotu Pitagore sa Samosa se jako malo pouzdano zna. Cak

nije sigurno je li ikoji od njemu pripisanih teorema sam otkrio i/ilidokazao.Kao dijete je putovao s ocem trgovcem po Sredozemlju. Bio jedobro obrazovan. Na njega su jako utjecali Tales i ucenik muAnaksimandar. Oko 535. pr. Kr. otputovao je u Egipat. Nakon stosu Perzijanci 525. pr. Kr. osvojili Egipat, cini se da je Pitagora oko5 g. proveo u perzijskom zatocenistvu. Oko 520. se vratio naSamos i tamo osnovao skolu

”polukrug”.

Iz ne pouzdano poznatih razloga iselio se oko 518. u Kroton ujuznoj Italiji i tamo osnovao pitagorejsku skolu. To je bila dijelomtajna zajednica pa mnogi podaci o njoj nisu pouzdani. Oko 508. jezbog politicko-ratnih sukoba u kojima su sudjelovali pitagorejcipobjegao u Metapont i vjerojatno ondje umro.

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html


Pitagorejci

Starogrcki pojam broja

Pitagorejci su prvi razvijali teorijsku aritmetiku. Premapitagorejskoj filozofiji bit svijeta je u harmoniji (prirodnih) brojeva.Razlomci nisu brojevi, nego omjeri dvaju brojeva (iako su uprakticnoj aritmetici koristeni).Pitagorejci su prvi koji brojeve gledaju kao samostalne objekte.Pridavana su im misticna znacenja, ali su dokazani i prvi rezultati onjima.Klasificirali su ih na parne i neparne brojeve: parni se mogupodijeliti na dva jednaka broja, a neparnima pri dijeljenju popolapreostaje jedinica.2 Pitagorejski rezultati o parnim i neparnimbrojevima nalaze se u EEIX.

2Jedinica ili monada (monos) nije broj, nego osnova svih brojeva. Tako udrugoj definiciji EEVII: Broj je skup jedinica.


Pitagorejci

Pitagorejske klasifikacije brojeva

pravcasti i ravninski (prosti i slozeni),

savrseni i prijateljski,

figurativni brojevi : trokutasti, kvadratni, pravokutni,peterokutni, sesterokutni brojevi,

kubicni, piramidalni, tetraedralni brojevi, . . .

http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html


Pitagorejci

Teorem ( EEIX36 )

Ako je p = 2m − 1 prost broj, onda je n = 2m−1p savrsen.a

aObrat (da ne postoje drugi parni savrseni brojevi osim onih gornjeg oblika)je pokazao tek Euler u 18. st.

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html


Pitagorejci

Pitagorejske trojke

Pitagorejska trojka je uredena trojka prirodnih brojeva takva da jezbroj kvadrata prva dva od njih jednaka kvadratu treceg.Primitivna je ako su joj clanovi relativno prosti.Pitagorejskih trojki ima beskonacno mnogo: Za svaki n ∈ N brojevi2n, n2 − 1 i n2 + 1 cine pitagorejsku trojku.

Teorem ( EEX29 ,lema)

Za svaka dva relativno prosta prirodna broja m > n, koji nisu obaneparni, je (2mn,m2 − n2,m2 + n2) primitivna pitagorejska trojka iobrnuto, za svaku primitivnu pitagorejsku trojku (a, b, c) postojedva relativno prosta prirodna broja m i n, koji nisu oba neparni,takvi da je (a, b, c) = (2mn,m2 − n2,m2 + n2).

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html


Pitagorejci

Teorem ( EEI32 )

U svakom trokutu je svaki vanjski kut jednak zbroju dvama njemunesusjednih unutrasnjih kutova, a zbroj sva tri unutrasnja kutajednak je dvama pravim kutovima.

Teorem ( EEI47 , EEI48 )

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad njegovomnajduljom stranicom jednak zbroju kvadrata nad njegovim kracimstranicama.

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI32.html




Pitagorejci

Teorem

Postoje samo tri pravilna poplocavanja ravnine.

Buduci da je zbroj kutova u n-terokutu 2n− 4 prava kuta, znaci daje u pravilnom n-terokutu svaki kut jednak α = 2n−4

n pravih kuteva.Ako se u nekoj tocki ravnine sastaje m pravilnih n-terokuta:

mα = m · 2n − 4

n· π

2= 2π.


Pitagorejci

Iracionalnost

Cesto se KRIVO kaze: Pitagorejci su otkrili iracionalne brojeve.Pitagorejci su smatrali da se cijeli svijet moze opisati prirodnimbrojevima. Posebno je to znacilo da im je osnovno uvjerenje bilo:Svake dvije istovrsne velicine su sumjerljive.Kako to suvremeno formulirati?Neki pitagorejac (navodno: Hipasus iz Metaponta oko450. g. pr. Kr.) je dokazao:

Teorem

Dijagonala kvadrata nije sumjerljiva njegovoj stranici.


Pitagorejci

Euklidov algoritam i iracionalnost

Jos od egipatskog i mezopotamskog doba bilo je lako usporeditiistovrsne velicine ako je iznos jedne prirodni visekratnik iznosadruge.

Pitagorejci su pak otkrili kako se snaci s”ostatkom”:


Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci





Pitagorejci

Zasto dijagonala kvadrata nije sumjerljiva stranici kvadrata?

a

d

d − a

aa

Stranica crvenog kvadrata ima duljinu d − a, a njegova dijagonalaje a− (d − a) = 2a− d , dakle je u svakom sljedecem korakuan+1 = dn − an i dn+1 = 2an − dn. Ako bi a i d bile sumjerljive sazajednickom mjerom m, onda bi u svakom koraku an i dn bilesumjerljive, istovremeno postajuci proizvoljno male (dakle, unekom trenu i manje od m).


Pitagorejci


a

d

d − a

aa



Pitagorejci


a

d

d − a

aa



Pitagorejci


a

d

d − a

aa



Pitagorejci

Omjer zlatnog reza

Zapravo, mozda je otkrice nesumjerljivih velicina vezano za omjer

”zlatnog reza”.

A BE

CD

F

d

d2

d2

x

Pitagorejci su uocili: Dijagonala pravilnog peterokuta se premavecem dijelu iste odnosi kao taj prema manjem.

a : x = x : (a− x).

https://en.wikipedia.org/wiki/Lute_of_Pythagoras#/media/File:Lute_of_Pythagoras.svg

Documents

Povijest matematike I. - unizg.hr