44
Arapska matematika Srednjevjekovna Europa Povijest matematike Srednjevjekovna arapska i europska matematika Franka Miriam Br¨ uckler 30. oˇ zujka 2021.

Povijest matematike - unizg.hr

  • Upload
    others

  • View
    17

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Povijest matematikeSrednjevjekovna arapska i europska matematika

Franka Miriam Bruckler

30. ozujka 2021.

Page 2: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

”Arapska“matematika

Godine 622. zapocinje muslimansko racunanje godina (Muhamedovodlazak iz Meke u Medinu); nakon Muhamedove smrti (632.)njegovi nasljednici (kalifi) zapocinju osvajanja . Do kraja 7. st.osvojena je Mezopotamija i Perzija te Egipat, a pocetkom 8. st. ivelik dio Iberskog poluotoka i mnoga druga podrucja.Matematiku tih podrucja u razdoblju 8.–15. st. obicno nazivamoarapskom jer je sluzbeni jezik bio arapski. Ona se razvila dijelompod utjecajem grcke tradicije, a dijelom indijske.Kalifi su poslali svoje izaslanike da sustavno skupe znanstvena ifilozofska djela grcke antike te su ta djela isto tako sustavno (ikvalitetno!) prevodena na arapski jezik.

Page 3: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Kuca mudrosti

Prvi poticatelj znanosti i prevodenja grckih znanstvenih tekstovana arapski bio je kalif abasidske dinastije { alert Harun al-Rasid ,koji je vladao 768.–809. U Bagdadu je njegov sin, kalif al-Ma’mun(vladao 813.–833.), osnovao Kucu mudrosti (Bayt al-H. ik. ma),vrstu akademije, koja je bila glavni znanstveni centar arapskogsvijeta do pada Bagdada pri provali Mongola (1258.).Prevodenje je bilo vrlo poticano jer se smatralo dijelom istrazivanjai doprinosa znanstvenom napretku. Tako su do 10. st. prevedeniElementi i jos neka Euklidova djela, O sferi i valjku te O mjerenjukruga od Arhimeda, gotovo sva Apolonijeva djela, DiofantovaAritmetika, Menelajeva Sphaerica, Ptolemejev Almagest, . . . Natemelju tih prijevoda od 9. st. stvaraju se vlastiti, novi,matematicki doprinosi.

Page 4: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Arapske brojke

Do 10. st. u arapskom su se kalifatu koristila tri tipa aritmetike:

racun na prste: brojevi se pisu rijecima; ovaj nacin racuna sukoristili trgovci i racunovode; od 7. st. koristen je i arapskialfabetski sustav (abdzad).

seksagesimalni sustav: brojevi oznaceni arapskim slovima, akoristio se najcesce za astronomiju;

indijski dekadski sustav: znamenke su negdje tijekom 8. i 9.st. preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, takoda se u raznim krajevima koristilo donekle razlicite oblikeznamenki; ispocetka su ih koristili na prasnjavim plocama kojesu omogucavale isto sto i danas ploca i kreda; al-Uqlidisi je u10. st. pokazao kako metode prilagoditi za pero i papir.

Page 5: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Usporedba indijskih brojki Nagari i ranih arapskih brojki:

Istocna (2. red) i jedna zapadna (3. red; g.obar: pjescane brojke)inacica arapskih brojki te jedna europska iz 13. st.(4. red):1

1Istocna se inacica koristi i danas u bliskoistocnim arapskim zemljama i zovuje indijskim brojkama (huruf hindayyah).

Page 6: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Al-Hvarizmı , ca. 780.–850.

Bio je prvi veliki arapski matematicar, djelovao je u Kuci mudrosti.Onjega potjece najstariji arapski opis indijskog pozicijskog sustava;arapski original je izgubljen, a najstarija sacuvana arapska djela natu temu su stotinjak godina mlada. Poznat je latinskisrednjevjekovni prijevod njegova djela, Dixit algorizmi / Algoritmide numero Indorum iz kojeg je izveden naziv algoritam.No, Al-Hvarizmı je jos poznatiji i vazniji po tome sto s njimezapocinje razvoj prave algebre. Njegova Al-Kitab al-muhtas.ar fihisab al-gabr wa-l-muqabala bila je napisana da bi se stanovnistvoznalo nositi sa svakodnevnim matematickim problemima. Prvi dioje apstraktniji, drugi prakticniji. Knjiga se bavi rjesavanjemlinearnih i kvadratnih jednadzbi (opisanih rijecima), te prakticnimzadacima iz mjeriteljstva i nasljedivanja.

Page 7: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Arapska algebra

Al-Hvarizmı razlikuje sest tipova jednadzbi, a to su jednadzbe kojebismo danas zapisali ovako: ax2 = bx , ax2 = c , bx = c ,ax2 + bx = c , ax2 + c = bx , ax2 = bx + c . Zasto ne dva tipa?Razlog je u tome sto su se kao rjesenja prihvacala samo pozitivna(realna) rjesenja, a u sredenom obliku zahtijevalo se da svikoeficijenti budu pozitivni. Sve jednadzbe al-Hvarizmı svodi najedan od tih tipova koristeci dvije operacije: al-gabr(nadopunjavanje) i al-muqabala (izjednacavanje).

Primjer

2x2 − 5x + 8 = 4

al-gabr +5x (uklanjanje negativnih clanova) daje2x2 + 8 = 5x + 4, a zatim al-muqabala (grupiranje clanova s istompotencijom) svodi jednadzbu na 2x2 + 4 = 5x .

Page 8: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

x2 + 10x = 39 (x2 + bx = c)

”Kvadrat i deset korijena cine 39 jedinica.”

1 uzmi pola broja korijena: = 5

2 kvadriraj to: 25

3 pribroji to broju jedinica: 39 + 25 = 64

4 korjenuj: 8

5 od toga oduzmi pola broja korijena: 8− 5 = 3. To je rjesenje.

6 postupak opravdava geometrijski:

x2 5x

5x 52

Page 9: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

x2 + 21 = 10x (x2 + c = bx)

x2 21x

=

x 5x 5x

5 5

5

25− 21 = 222

x

”Prepolovi broj korijena. To je 5.

Pomnozi to sa sobom i umnozak je25. Od tog oduzmi 21 koji je dodankvadratu i ostatak je 4. Uzmi njegovkvadratni korijen, 2, i oduzmi ga odpola broja korijena, od 5. Ostaje 3.To je korijen kojeg trazis, ciji kvadratje 9. Alternativno, mozes dodatikvadratni korijen polovici brojakorijena i zbroj je 7. To je ondakorijen kojeg trazis i kvadrat je 9.”

”Kad naides na zadatak koji vodi na ovaj slucaj, pokusaj ga rijesiti zbrajanjem, a ako

to ne uspije, uspjet ce s oduzimanjem. U ovom slucaju funkcionira i zbrajanje ioduzimanje, za razliku od ostala tri slucaja u kojima se treba prepoloviti broj korijena.Znaj i da u zadatku koji vodi na ovaj slucaj pomnozis pola broja korijena sa sobom,ako je umnozak manji od broja dirhama pribrojenih kvadratu, slucaj je nemoguc. Akoje pak jednak broju dirhama, onda je korijen jednak polovici broja korijena.”

Page 10: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Al-Mahanı (9. st.) je bio perzijski matematicar i astronom,znacajan je po ideji svodenja geometrijskih problema na algebarske.Abu Kamil (9./10. st.) je vjerojatno potjecao iz Egipta. Bio je

nastavljac Al-Hwarizmıjevog djela i nazvao Al-Hwarizmıja

”utemeljiteljem algebre”. Njegovo djelo o algebri prevedeno je na

latinski u 12. st. i koristio ga je Fibonacci te je tako utjecalo nauvodenje algebre u Europu.Bio je prvi arapski matematicar koji je znao rjesavati nekediofantske jednadzbe (kod njega susrecemo

”zadatak 100 ptica”),

a pokazao je i razumijevanje identiteta xmxn = xm+n (izrazenogrijecima). Bavio se i geometrijom.

Page 11: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Al-Karagi , 10./11. st.

Perzijski matematicar i inzinjer. Smatra ga se prvom osobom kojaje potpuno oslobodila algebru od geometrije: Kod njega jesvodenje na potpun kvadrat cisto racunski postupak koji nijepotrebno geometrijski ilustrirati.I kod njega jos nedostaje ikakva simbolika, ali je ocito da razumijepravilo xmxn = xm+n, cak i za neke negativne eksponente (ali ne i0). Promatrao je i zbrojeve monoma (dakle polinome) i racunskeoperacije s njima.

Page 12: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Smatra ga se i prethodnikom matematicke indukcije.

Primjer

Al-Karagijev”induktivni dokaz” relacije

n∑i=1

i3 =

(n∑

i=1

i

)2

:

Prvo dokazuje(1 + 2 + 3 + . . .+ 9)2 + 103 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 10)2, onda(1 + 2 + 3 + . . .+ 8)2 + 93 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 9)2 i t.d. Zakljucuje:

(1 + 2 + . . .+ 10)2 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 8)2 + 93 + 103 =

= (1 + 2 + 3 + . . .+ 7)2 + 83 + 93 + 103 = . . . =

= 13 + 23 + 33 + . . .+ 103.

Page 13: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Omar Khayyam (Umar al-Hayyam), 1048.–1131.

Perzijski matematicar, astronom, filozof i pjesnik , djelovao jedoba seldzuckih osvajanja.Pokusao je dokazati Euklidov peti postulat, koristio je metodusrodnu starijim indijskim numerickim metodama za racunanje n-tihkorijena (poznavao je Pascalov trokut binomnih koeficijenata, nonjega je znao vec al-Karagi).Glavno matematicko djelo mu je Risalah fil-barahin ’ala masa’ilal-gabr wa’l-Muqabalah, poznato kratko kao Algebra. U njemu jeprosirio Al-Hwarizmıjevu klasifikaciju i na kubne jednadzbe. Tvrdioje da se rjesenja opcenito ne mogu dobiti ravnalom i sestarom.Prvi je primijetio da postoje kubne jednadzbe s vise od jednogrjesenja, ali je uspio naci samo jedan primjer s dva rjesenja.

Page 14: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Khayyamove kubne jednadzbe

Tako je dobio ukupno 19 tipova jednadzbi, od kojih su 5 bezkonstantnog clana pa se svode na kvadratne, a ostale su:

1 x3 = c ;2 x3 + bx = c ;3 x3 + c = bx ;4 x3 = bx + c ;5 x3 + ax2 = c ;6 x3 + c = ax2;7 x3 = ax2 + c ;8 x3 + ax2 + bx = c ;9 x3 + ax2 + c = bx ;

10 x3 + bx + c = ax2;11 x3 = ax2 + bx + c ;12 x3 + ax2 = bx + c ;13 x3 + bx = ax2 + c ;14 x3 + c = ax2 + cx .

Page 15: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Primjer Khayyamovog rjesavanja kubne jednadzbe

Khayyam je kubne jednadbe (osim prvog tipa) rjesavao presjecimakonika. Primjerice:

x3 + bx = c

b > 0⇒ b = B2, c > 0⇒ c : b = C (c = B2C )

x3 + B2x = B2c

Uzmimo kruznicu promjera C i parabolu s tjemenom S na toj kruznici,takvom da joj je os tangenta na kruznicu i da je razmak fokusa iravnalice B/2. Neka je X sjeciste kruznice i parabole, Q projekcija X napromjer kruznice SS ′ te P tocka na osi parabole sa svojstvom |SP| = B.

Page 16: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Buduci da je X na paraboli: |SQ|2 = |SP| · |XQ|, tj.|SQ| : |XQ| = B : |SQ|.No, X je i na kruznici pa je 4SS ′X pravokutan pa je4SQX ∼ 4XQS ′. Slijedi |SQ| : |XQ| = |XQ| : |QS ′|.Stoga je

B : |SQ| =|SQ|2B

: (C − |SQ|),

dakle je x = |SQ| je rjesenje!

X

S S ′Q

P

B

C

x

Page 17: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Geometrija u Arapa

al-Battani (Albategnius, 9./10. st.) je bio jedan od najvecihbliskoistocnih astronoma u povijesti. Glavno astronomsko djelo,Kitab al-zij, je u 11. st. prevedeno na latinski i bitno je utjecao narenesansne europske astronome. Trajanje solarne godine izracunaoje na ca. 2 min tocno, dao katalog 489 zvijezda, . . .Posebno je zasluzan za razvoj trigonometrije. Izradio je tablicusinusa (polutetiva), a pokazao je i da u pravokutnom trokutu vrijedi

b sinα = a sin(90◦ − α).

Koristio je i jos pet drugih trigonometrijskih velicina, koje bi danasbile kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans.

Page 18: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Abu l-Wafa , 10. st.

Perzijski matematicar i astronom.Knjiga o geometrijskim konstrukcijama potrebnim obrtniku:konstrukcije pravilnih mnogokuta (do n = 10), parabola, pribliznatrisekcija kuta, upisivanje i opisivanje pravilnih mnogokutakruznicama, konstrukcije s fiksiranim sestarom . . .Novom metodom je izradio trigonometrijske tablice s tocnoscu odotprilike osam decimala. Poznat je i njegov izracun udaljenostiBagdada do Meke.Djelo o aritmetici za trgovce je jedino arapsko djelo tog doba ukom se pojavljuju negativni brojevi. Ne koristi indijske brojke, vecbrojeve opisuje rijecima.

Page 19: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Al-Hayt.am (Alhazen), oko 965.–1040.

Dao je bitne doprinose matematici, optici, astronomiji, anatomiji,medicini, oftalmologiji, fizici i inzenjerstvu opcenito, filozofiji ipsihologiji idr. U srednjevjekovnoj Europi bio je poznati i kaoPtolomaeus Secundus, a danas se smatra ocem moderne optike.Proveo je mnoge opticke eksperimente i prvi pokazao da vid u okunastaje uslijed loma zraka svijetla, da je Mjesecevo svjetloposljedica refleksije i dr.

Alhazenov problem geometrijske optike

Za dvije tocke A i B u ravnini i zrcalnu kruznicu traze se tocke Tna kruznici, takve da se u njima zraka svjetla iz A lomi tocnoprema B.

Rijesio je taj problem koristeci Apolonijevu teoriju konika, no to jerjesenje vrlo komplicirano. U 17. st. je Christiaan Huygens nasaojednostavnije rjesenje.

Page 20: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Generalizirao je i prvi tip Hipokratovih mjeseca:

Kao i Khayyam, pokusao je dokazati Euklidov 5. postulatsvodenjem na kontradikciju.Bavio se savrsenim brojevima i navodno da je prije Eulera on bioprvi koji je dokazao teorem o parnim savrsenim brojevima.Objasnio je i koristio Wilsonov teorem (p > 1 je prost ako i samoako je 1 + (p − 1)! djeljivo s p) kojeg je otkrio Bhaskara I u 7. st.,a ime je dobio po engleskom matematicaru Johnu Wilsonu koji gaje iskazao u 18. st. Prvi poznati dokaz tog teorema dao jeJoseph-Louis Lagrange 1773.

Page 21: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Teorija brojeva u Arapa

abit ibn Qurra (836.–901.) je djelovao u Kuci mudrosti i osimmatematikom se bavio i medicinom, filozofijom i astronomijom.Dao je novi dokaz Pitagorinog teorema, opisao je magicnekvadrate, a najpoznatiji je po svojim rezultatima iz teorije brojeva.Iz fascinacije savrsenim brojevima proizasao je i njegovi interes zaprijateljske brojeve, te je dokazao

Teorem (T¯

abitov teorem o prijateljskim brojevima)

Ako su za neki prirodan broj n > 1 brojevi p = 3 · 2n−1 − 1,q = 3 · 2n − 1 i r = 9 · 22n−1 − 1 prosti, onda su brojevi 2n p q i2n r prijateljski.

Za n = 2 se dobije par 220 i 284, a za n = 4 je navodno T¯

abitdobio par 17296 i 18416, kojeg je u 17. st. iznova otkrio Fermat.Osim ta dva para do danas je poznat samo jos jedan koji se dobijeza n = 7. Brojevi oblika 3 · 2n − 1 = (1011 . . . 1)2 danas se zovuTabitovim brojevima.

Page 22: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Ibn Sına (Aviccena) (oko 980.–1037.) je bio jedna od

najznamenitijih licnosti svoga doba; lijecnik, prirodoznanstvenik ifilozof; Knjiga lijecenja (Al-Qanun) — vrsta enciklopedije, jedan odcija cetiri dijela je posvecen matematici (dijeli ju na geometriju,astronomiju, aritmetiku i glazbu).Tu se mogu naci zadaci poput: Ako pri dijeljenju broja s 9dobijemo ostatak 1 ili 8, treba pokazati da je ostatak pri dijeljenjukvadrata tog broja s 9 jednak 1.

Page 23: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Dva matematicara mongolskog razdoblja

Nasir ad-Din at.-Tusi , 13. st., je zivio u u sjevernom Iranu u dobamongolskih osvajanja. Nakon sto je Hulegu-Han osvojio tvrdavuAlamut (u kojoj se dotad al-Tusi nalazio), al-Tusi je ostao unjegovoj sluzbi kao znanstveni savjetnik; osnovao je opservatorij uAzerbejdzanu (Maragha), a sudjelovao je i u osvajanju Bagdada.Napisao je vazna djela o logici, etici, filozofiji, matematici iastronomiji,te mnoge komentare grckih tekstova. Kao i neki drugiarapski matematicari prije njega, koristio je metode za pribliznoracunanje 2. i 3. korijena slicne indijskim i kineskim.U komentaru Ptolemejeva Almagesta (1247.) uveo je raznetrigonometrijske tehnike za izracunavanje tablica sinusa. Najvaznijidoprinos mu je odvajanje trigonometrije kao matematickediscipline. U svom Traktatu o cetverokutu je dao prvi potpunprikaz ravninske i sferne trigonometrije (1260.).

Page 24: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Al-Kasi , oko 1380.–1429.

Posljednji znacajni matematicar arapskog srednjevjekovnog svijeta.Nakon siromasne mladosti dospio je u Samarkand, gdje je postojaoznanstveni centar i opservatorij kojeg je osnovao Timurov unukUlug Beg (1394.–1449.). Doba Ulug Bega je poznato kaoznanstveni vrhunac mongolskog doba. Tu je al-Kasi postaopredstojnik opservatorija i glavni tamosnji astronom i matematicar.Glavno djelo mu je Kljuc aritmetike, koje sadrzi binomnu formulu,racunanje n-tih korijena, numericko rjesavanje jednadzbiiterativnim postupcima, konstrukcije kupola, . . . .U jednoj raspravi posvecenoj Ulug Begu bavi se indijskim brojevnimsustavom i racunanjem (cak i s iracionalnostima), a tu je i kasnijaNewtonova metoda i teorija decimalnih razlomaka i racuna s njima(u zapadnu Europu ce ih uvesti tek Stevin 135 godina kasnije).

Page 25: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Osmislio je originalni iterativni numericki postupak zaizracunavanje trigonometrijskih tablica. Tako je (znamenku poznamenku iz kubne jednadzbe) odredio sin 1◦ na 9seksagezimalnih, tj. 18 decimalnih mjesta.Dvije zanimljivosti: U Francuskoj se poucak o kosinusima i dandanas naziva al-Kasijevim teoremom; 2π je izracunao na 16decimala (n = 3 · 228; tek 200 godina kasnije ce van Ceulen dobitibolju tocnost).

Page 26: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Rani srednji vijek (6.–10. st.)

U 4. st. u Europu su prodrli Huni i Germani. Godine375. podijeljeno je Rimsko carstvo; Zapadno rimsko carstvopropalo je 476. i obicno se ta godina uzima kao pocetak europskogsrednjeg vijeka. Godine 529. bizantski car Justinijan I je boreci seprotiv pogana zatvorio atensku neoplatonsku Akademiju i timeprekinuo tisucljetni razvoj grcke matematike.Nikomah iz Geraze (1./2. st.) je napisao uvod u (teorijsku)aritmetiku pitagorejskog stila, na cijem temelju je Anicius ManliusSeverinus Boethius (ca. 480–525) napisao De institutionearithmetica. Ta je knjiga usprkos niskog matematickog nivoakoristena u europskim crkvenim skolama sve do 17. st., a posebnoje popularna bila 10.–12. st. U srednjem se vijeku matematikapoducavala u crkvenim i samostanskim skolama kao dioquadrivium-a. To je pojam kojeg je uveo Boethisu kao zajednickinaziv za

”matematicke predmete” aritmetiku, geometriju,

astronomiju i glazbu.

Page 27: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Srednjevjekovno racunanje bilo je izuzetno naporno. Nije tomeuzrok bio samo u prekidu tradicije znanosti, nego i za racunanjeneprakticni rimski brojevni sustav, koji je sve do 13. st. bio uisklucjivoj upotrebi. Stoga je za srednjevjekovne ucenjake racunanjedatuma Uskrsa spadalo u najzahtjevnije matematicke zadatke.Krajem 5. st. nastala je Franacka. Car Karlo Veliki (okrunjengodine 800.) bio je prvi koji je nakon toga potaknuo organizaciju(crkvenih) skola kako bi Europu sacuvao od intelektualnogpropadanja. Prijatelj, savjetnik i ucitelj sinova Karla Velikog bio jeAlkuin (oko 735.–804.). Medu ostalim, razvio je karolinske

minuskule, temeljni alfabet za danasnje latinicno pismo, koji jeomogucio lakse citanje knjiga. Osnovao je niz skola i pisaomatematicke udzbenike, a napisao je i najstariju latinsku zbirkumatematickih zadataka Propositiones ad acuendos iuvenes selementarnim aritmetickim, logickim i kombinatornim zadacima irjesenjima (uglavnom bez postupka).

Page 28: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Kao i u Rimu, racunanje se u srednjem vijeku ucilo u glavi, sprstima i pomocu abakusa. Srednjevjekovni europski abakus bio jevarijanta grcko-rimskog abakusa. Kad je u 9. st. doslo do prvihkontakata Europljana s muslimanskom tradicijom, postepeno suupoznavali indoarapske brojke te su se razdvojile dvije

”skole”:

abacisti, koji su zagovarali iskljucivo koristenje rimskih brojki sabakusom kao pomagalom, te algoristi, koji su se zalagali zaindoarapski decimalni sustav.Jedan od prvih koji je u Europi koristio indoarapske brojke bio jeGerbert od Aurillaca (oko 946.–1003.). Studirao je u Kataloniji,

gdje je naucio koristiti indijske brojke (bez nule) i susreo se smuslimanskom matematikom. Pisao je o aritmetici i geometriji.Iako su iz danasnje perspektive njegovi spisi elementarni, zatadasnje Europljane bili su iznimni te je optuzivan da je sklopiopakt s vragom. No, ipak je 999. izabran za papu Silvestra II.Opisao je novu verziju abakusa , prilagodenu indoarapskimbrojkama, koja je koristila apices (kamencice s oznakama znamenki1 do 9).

Page 29: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Visoki srednji vijek (ca. 1000.–1300.)

Iako i dalje dominiraju latinski jezik i rimske brojke te vrlo skromnoobrazovanje, dolazi do jaceg razvoja kulture. Ovo je doba romanikei gotike, razdvanja katolicke i pravoslavne crkve, krizarskih ratova,te kontakta s arapskim svijetom, prvenstveno preko Spanjolske.Al-Andalus, popularnije muslimanska Spanjolska, zapocinjeosvajanjima 711., a zavrsava nestankom emirata Granade 1492.Arapi (Mauri) su Iberski poluotok osvojili u 8. st., a njihova jevladavina bila stabilna do 11. stoljeca. Od 929. do 1031. to jesamostalni kalifat Cordoba. Cordoba je postala znanstveni centar svelikom knjiznicom. Pod maurskom vladavinom se poticaloprevodenje znanstvenih djela raznih izvora, sto je doprinijeloozivljavanju grcke i otkricu arapske i indijske matematike.

Page 30: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Prevodioci (”preveo i prilagodio”)

U 12. st. doslo je do intenzivnijeg kontakta europske s grckom iindijskom matematikom putem direktnog kontakta s Arapima(osobito talijanski trgovci) i prijevodima s arapskog i hebrejskog.Prije toga u opticaju su bili samo neki dijelovi Euklidovih iHeronovih djela u rimskom prijevodu.Tek 1145. godine u Europi je izdana prva knjiga s potpunimrjesenjem kvadratne jednadzbe (naravno, misli se na pozitivnarealna rjesenja). Bio je to latinski prijevod knjige spanjolskogzidovskog matematicara Abrahama bar-Hiyya-e (1070.–1136.). Istegodine Robert od Chestera preveo je al-Khwarizmijevu Algebru.Adelard of Bath (1075.–1160.) je studirao u Francuskoj, boravio ujuznoj Italiji i Turskoj, u Siriji i Palestini. Navodno je pohadaopredavanja iz matematike u Cordobi prerusen u muslimana. Do1533., kad je pronaden original, sva su europska izdanja Elemenatabila temeljena na njegovom prijevodu. Preveo je i Almagest, apisao je i o abakusu, aritmetici i dr.

Page 31: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Skolastika

U 11. i 12. st. Crkva pocinje poticati obrazovanje i znanost.Nastaju prva sveucilista (Bologna, Paris, Oxford, Montpellier,Cambridge, Padova, Napoli, Toulouse, . . . ) koja postaju

”dom”

prirodnih znanosti i matematike. Skolastika izvorno znaci sustavnoposredovanje znanja kroz predavanja i rasprave. Cijenilo se logickozakljucivanje (ponekad i do apsurda) i dalje razvili aristotelovskulogiku.Nakon obrazovanja u latinskom jeziku, uobicajeno je bilo da sestudent s 14 ili 15 godina upise na neko sveuciliste, na kojem biprvo studirao trivium (gramatika, retorika, dijalektika), a zatimquadrivium. Time se postizao stupanj baccalaureus. Dalje semoglo studirati medicinu, pravo ili teologiju do stupnja magistra.

Page 32: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Fibonacci (Leonardo iz Pise)

Moze se reci da je postojao tocno jedan veliki srednjevjekovnieuropski matematicar: Leonardo iz Pise (poznat kao Fibonacci,sto je skraceno od clan obitelji Bonacci, zivio je otprilike1170.–1250.). Vec kao djecak putovao je s ocem koji je bio cariniku Bugia-i (danasnji Alzir, tad je Bugia bila trgovacka kolonija Pise)u sjevernu Afriku i kasnije u Egipat, Bizant, Siriju, Grcku i Siciliju,gdje je imao prilike upoznati matematicke spise Arapa, Indijaca,Pitagorejaca, Euklida i dr. Kako je Leonardo trebao postatitrgovac, puno je paznje posveceno tome da dobro nauci racunati.U razdoblju 1200.–1225. boravio je u Pisi i bavio se matematikom.Sadrzajno on zapravo vise spada u renesansu nego u srednji vijek.

Page 33: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Fibonaccijeva djela

Liber Abbaci (1202., 1228.)

Practica Geometriae, 1220./21.

Flos, 1225.

pismo carskom filozofu Teodoru

Liber Quadratorum, 1225.

Page 34: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Liber Abbaci iliti Knjiga o racunanju

rimske brojke i brojanje prstima

indoarapski pozicijski sustav s nulom!!!

racunanje u dekadskom sustavu (indoarapske brojke)

razlomci i racunanje s njima (uveo je razlomacku crtu)

trgovacka racunica (tu je i problem sto ptica :-))

zadaci zabavne matematike (Fibonaccijevi brojevi2)

neki od tih zadataka vode na jednadzbe i sustave (ukljucivoneodredene)

nepoznanicu naziva res (arapski: ay) ili radix ; druge potencijenepoznanice: quadratus/census, cubus, census de censu, cubuscubi ; konstanta: numerus, denarius, dragma

ocit utjecaj arapske matematike (npr. klasifikacija i rjesavanjekvadratnih jednadzbi)

2Ime im je u 19. stoljecu dao Eduard Lucas. Zanimljivo je da se pojavljuju umnogim neocekivanim, cak i prirodnim, kontekstima, a povezani su i sa zlatnimrezom.

Page 35: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Zadatak o pronadenom novcaniku

Naden je novcanik s nepoznatim iznosom b novca u njemu.Cetvorica nalaznika imajuu po xi , i = 1, 2, 3, 4 novca. Uvjeti vodena sustav

x1 + b = 2(x2 + x3)

x2 + b = 3(x3 + x4)

x3 + b = 4(x4 + x1)

x4 + b = 5(x1 + x2)

Kaze Leonardo:

”Pokazat cu da ovaj problem nije rjesiv ako se ne dozvoli da je prvi

partner u dugu.” — razumije negativne brojeve!!!Kao jedno rjesenje daje −1, 4, 1, 4 i b = 11.

Page 36: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Ostala djela

Godine 1220. Fibonacci je napisao Practica Geometriae,kompilacija geometrijskih rezultata (Euklid, arapska trigonometrija,. . . ). Potrebna algebarske pravila u arapskoj tradiciji izlaze bezpozivanja na geometriju.U Liber quadratorum (1225.) opisao je metode za nalazenjepitagorejskih trojki i dao prvi dokaz identiteta

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (bc + ad)2,

tj. umnozak dva zbroja kvadratnih brojeva je zbroj kvadratnihbrojeva (sto je bila jos Diofantova tvrdnja).U Flosu se bavi raznim algebarskim zadacima.

Page 37: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Car Friedrich II je 1225. s dvorom dosao u Rim te odgodio odlazaku krizarski rat kako bi organizirao natjecanje iz matematike. Natom je natjecanju Friedrichov dvorski filozof Ivan iz Palerma zadaosljedece zadatke:

1 Tri covjeka posjeduju hrpicu novca, a udjeli su im 12 , 1

3 i 16 . S

vremenom, svaki je uzimao ponesto novca, sve dok nista nijepreostalo. Prvi je vratio 1

2 od koliko je uzeo, drugi 13 od onog

sto je uzeo i treci 16 iznosa kojeg je uzeo. Ako se tako skupljen

novac podijeli na tri jednaka dijela i svakom da po jedan,ispada da svaki posjeduje koliko mu po pravu i pripada.Koliko je novca bilo u pocetnoj hrpi i koliko je tko uzeo?

2 naci broj x takav da su x2 ± 5 kvadrati razlomaka;

3 rijesiti jednadzbu x3 + 2x2 + 10x = 20.

Page 38: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

1; 22, 07, 42, 33, 04, 40 (Flos)

Treci je zadatak Ivan iz Palerma preuzeo iz Khayyamove Algebre.Fibonacci je dokazao da ta jednazba nema rjesenja u cijelim niracionalnim brojevima niti medu euklidskim kvadratnimiracionalnostima, a zatim navodi aproksimativno rjesenje tocno nadevet decimala, no nema izvora kako je to aproksimativno rjesenjedobio.O Fibonaccijevom zivotu iza 1228. se gotovo nista ne zna, osim damu je republika Pisa dodijelila stipendiju kao nagradu zasavjetovanje u matematici vezano za racunovodstvo i slicna pitanja.

Page 39: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Prva osoba koja je korektno formulirala zakon kosine bio jeNijemac Jordanus Nemorarius (13. st.). Njegovi Demonstratio dealgorismo i Demonstratio de minutiis su opisi indoarapskogbrojevnog sustava. Napisao je i teorijsko aritmeticko djelo Deelementis arithmeticae artis te geometrijsko Liber phylotegni detriangulis, zatim tekst o stereografskoj projekciji Demonstratio deplana spera te De numeris datis, prvo naprednije europskoalgebarsko djelo nakon Diofanta. Nemorarius je koristio slova kaooznake nepoznanica, no njegova djela nisu imala veceg utjecaja.

Page 40: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Kasni srednji vijek (14. i 15. st.)

Englez Thomas Bradwardine (ca. 1295.–1349.) je djelovao uOxfordu, a kasnije je bio kancelar crkve St Paul’s u Londonu ikapelan kralja Edwarda III. Godine 1348. postao je nadbiskupCanterburyja, ali kralj Edward ponistio je to imenovanje.Bradwardine je godinu kasnije je ponovno izabran, ovaj put izgledabez protivljenja kralja, no ubrzo je umro od kuge. Bavio selogikom, matematikom, teologijom i filozofijom. Pisao je ozvjezdastim mnogokutima i izoperimetrickim likovima,proporcijama, . . . Razlikovao je dva tipa beskonacnosti: kateticnu(odgovara nasem pojmu transfinitnog, tj. onom sto vec otpocetkanedostaje ogranicenost) i sinkateticnu (odgovara nasem pojmuinfinitnog, tj. onom sto iz konacnog nastaje neogranicenim rastom).

Page 41: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Nicole d’Oresme (ca. 1330–1382)

Francuski biskup i financijski savjetnik francuskog kralja Karla V.Prva osoba koja je dozvolila razlomke kao eksponente. Specijalno,poznavao je pravilo xaxb = xa+b i za razlomljene eksponente.Kod njega nalazimo rano poimanje funkcije i grafa: delatitudinibus formarum. Za njega su sve mjerljive velicine, osimbrojeva (koje dozivljava na starogrcki nacin), kontinuirane te semogu prikazivati duljinama, povrsinama i volumenima.U Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum iQuestiones super geometriam Euclidis opisuje kako ilustriratiodnos protezanja (extensio) i iznosa (intensio) kvalitete (to surazne fizikalne pojave, npr. brzina, koje mogu imati razliciteintenzitete i koje se nalaze u odnosu s protezanjem, primjericevremenom). Intenzitete je nanosio vertikalno kao duljine (latitudo)nad vodoravnom crtom, na kojoj su protezanja prikazana isto kaoduljine (longitudo).

Page 42: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

No, to naravno jos nisu bile funkcije ni njihovi grafovi. Oresme nezahtijeva okomitost latituda u odnosu na longitude i spominje imogucnost trodimenzionalne interpretacije.Crtu koja povezuje gornje krajeve naziva Linea intensionis (ili Lineasummitatis). Ovisno o obliku tako dobivene figure Oresmerazlikuje uniformne kvalitete (Qualitas uniformis, konstantnogintenziteta, uniformno diformne (Uniformiter difformis, kod kojih jeLinea intensionis kosi pravac, te diformno diformne (Difformiterdifformis, sve ostale).

Page 43: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

Pokazao je i tzv. Mertonski teorem, nazvan po oxfordskom MertonCollege, ciji znanstvenici su ga izrekli 1330ih: U slucaju uniformnodiformne brzine (dakle, gibanja s konstantnom akceleracijom) jeprijedeni put jednako kao za uniformnu brzinu, ako je to ona usrednjem trenutku. Oresme je to pokazao usporedbom povrsinepravokutnika i trapeza te se vidi da je put znao interpretirati kaopovrsinu. To je jedan od najranijih primjera matematicke fizike.Poznat je i po prvom dokazu divergencije nekog reda, konkretno:harmonijskog,

1+1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)+ . . . > 1+

1

2+

1

2+

1

2+ . . . ,

a pokazao je i konvergenciju geometrijskog reda∑

n22n .

Page 44: Povijest matematike - unizg.hr

Arapska matematika Srednjevjekovna Europa

1/2 1/4

1/4

1/8

1/8

1/8