Posodobitveni program Uporaba GeoGebre pri pouku …pefprints.pef.uni-lj.si/2254/1/Sparl_Geogebra.pdf · Pred vami je delovno gradivo z zgo s ceno predstavitvijo vsebine de-lavnic,

Posodobitveni program

Uporaba GeoGebre pri pouku matematike

Pedagoska fakulteta, Univerza v Ljubljani

8. december 2012, zadnji popravek 11. december 2012.

Kazalo

1 Predgovor 3

2 Gibanja in krivulje v GeoGebri (dr. M. Razpet) 42.1 Dioklova cisoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Elipsa in Cassinijevi ovali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Hipopeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Cikloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Noziscne krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Ovojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.7 Fermatov princip v optiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.8 Kavstike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.9 Sklepne besede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 GeoGebra in matematicna analiza (dr. M. Slapar) 83.1 Vnos in graficna predstavitev funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Odvod funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Iskanje nicel in ekstremov funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Integral funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 GeoGebrina preglednica in osnove statistike (dr. B. Kuzman) 144.1 Osnove vnosa podatkov v preglednico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1.1 Relativne kopije in sklici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.2 Urejanje tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.3 Izdelava seznama tock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.4 Absolutni sklici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.5 Vnos graficnih objektov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.6 Vnos preko sledi graficnih objektov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Osnovni ukazi za statistiko in verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.1 Vsote, povprecja, histogrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Analiza ene spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.3 Regresijska analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.4 Racunanje verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 GeoGebrina orodja za simbolno racunanje (dr. P. Sparl) 20

1

Uporaba GeoGebre pri pouku matematike, PSD program, 8. december 2012

2/ 23


Slika 1: Izvedba seminarja 8. decembra 2012

1 Predgovor

Spostovani udelezenci seminarja. Pred vami je delovno gradivo z zgosceno predstavitvijo vsebine de-lavnic, ki smo jih pripravili dr. Marko Razpet, dr. Marko Slapar, dr. Primoz Sparl in podpisani. Z na-slednjimi izvedbami seminarja bomo gradivo se nekoliko dopolnili in izboljsali, upam pa, da vam bo zeta razlicica v pomoc pri vasem samostojnem delu. Gradivo je bilo pripravljeno za verzijo GeoGebra 4.2(november 2012), ki je prosto dostopna na spletnem naslovu www.geogebra.org. Prirocnik za uporaboGeoGebre v angleskem jeziku je na voljo na naslovu http://www.geogebra.org/book/intro-en.pdf.Ob prvi izvedbi se zelim posebej zahvaliti sodelavcem, ki so mi pomagali pripraviti seminar, vsemudelezencem pa zelim prijetno delo v delavnicah in obilo ustvarjalnih idej za uporabo GeoGebre privasem pouku.

Dr. Bostjan Kuzman, koordinator [email protected]

3/ 23


2 Gibanja in krivulje v GeoGebri (dr. M. Razpet)

GeoGebra je odlicno programsko orodje za konstrukcijo ravninskih krivulj in njihovo raziskovanje. Pritem mislimo na krivulje, ki jih je mozno opisati bodisi z geometrijsko definicijo ali pa s primernimimatematicnimi funkcijami. Veliko pa je takih krivulj, ob katerih lahko se malo pokramljamo o njihovizgodovini.

Pri studiju in konstrukciji krivulj izrabimo cim vec moznosti, ki jih nudi GeoGebra. Zelo prav nampridejo na primer ze vgrajene funkcije za dolocevanje presecisc, pravokotnic, vzporednic, simetral,tangent in zrcalnih slik. Zelo dobrodosla je moznost vklopa sledi, pri cemer z gibanjem ene tockepo dani krivulji dobimo novo krivuljo ali pa celo druzino krivulj, ki ima pogosto zanimivo ovojnico,morda celo novo krivuljo.

Zanimive probleme, ki jih resujemo z GeoGebro, najdemo tudi v geometrijski optiki, na primerFermatov princip pri odboju in lomu svetlobe. Z GeoGebro lahko na preprostih primerih potrdimoodbojni in lomni zakon.

2.1 Dioklova cisoida

Dioklova cisoida je algebrska krivulja tretjega reda, ki je definirana geometrijsko, z nekoliko truda papridemo tudi do njene enacbe. Cisoida je zgodovinsko pomembna krivulja, ker pomaga kot neevklidskoorodje resiti problem podvojitve kocke, to se pravi, konstruirati rob kocke, ki ima dvakrat vecjoprostornino od dane kocke.

2.2 Elipsa in Cassinijevi ovali

Na prvi pogled elipsa in Cassinijev oval nimata nic skupnega razen da sta definirana skoraj z istimbesedilom. Elipsa je mnozica tock v ravnini, katerih vsota razdalj od dveh tock te ravnine je stalna.Cassinijev oval je mnozica tock v ravnini, katerih produkt razdalj od dveh tock te ravnine je stalen.Spoznali pa bomo, da to ni res. Elipsa ima poleg osnovne se to lepo lastnost, da nam omogocakonstrukcijo Cassinijevih ovalov. Ker ima elipsa dva osnovna podatka, veliko in malo polos, je zedruzina vseh elips pestra, prav tako pa tudi druzina Cassinijevih ovalov. V posebnem primeru jeCassinijev oval Bernoullijeva lemniskata, ki je ze sama zase zanimiva krivulja. Cassinijevi ovali naj bi

Slika 2: Bernoullijeva lemniskata.

bili po prepricanju Giovannija Domenica Cassinija (1625–1712) tirnice planetov okoli Sonca, cepravje Johannes Kepler (1571–1630) ze vedel, da so to elipse.

4/ 23


2.3 Hipopeda

Hipopeda, ki je dobila ime po konjski nogi, je prav tako kot Cassinijev oval krivulja, definiranageometrijsko. Tudi njeni enacbi sta si precej podobni. Poseben primer hipopede je spet Bernoullijevalemniskata. Hipopeda nudi zanimive raziskave v zvezi s tetivnimi stirikotniki.

2.4 Cikloida

Zgodovinska krivulja je tudi cikloida, ki nastane kot sled tocke na obodu kroga, ki se brez drsenja kotalipo mirujoci premici. Zgodovinska je zato, ker je resitev tako imenovanega problema brahistohrone,krivulja najhitrejsega spusta. Zgodovinsko predstavlja zacetek novega podrocja v matematiki, varia-cijskega racuna. Variacijski racun nam olajsa delo pri marsikaterem problemu v optiki in mehanike,ne le v matematiki.

Cikloida ima tudi posplositve. Lahko gledamo sled tocke znotraj ali zunaj kotalecega se kroga.Lahko pa krog kotalimo po kaksni drugi krivulji. Dobro so obdelani primeri kotaljenja kroga pozunanji ali notranji strani mirujoce kroznice. Pri tem nastanejo epicikloide oziroma hipocikloide. Zeloznana epicikloida je kardioida, od hipocikloid pa omenimo astroido in Steinerjevo krivuljo ali deltoido.Poudariti je treba, da je oblika teh krivulj odvisna od razmerja polmerov mirujoce in kotalece sekroznice.

Posplositev pojma cikloide dobimo tudi takrat, ko se ena krivulja brez drsenja kotali po drugi.Tipicen primer je parabola, ki se tako kotali po premici. Gorisce parabole pri tem opisuje veriznico.

2.5 Noziscne krivulje

Za definicijo noziscne krivulje K′ dane krivulje K moramo imeti na razpolago se tocko P v ravninikrivulje K. Mnozica vseh pravokotnih projekcij (nozisc) tocke P na vse tangente krivulje K je noziscnakrivulja K′ krivulje K. Zanimivih primerov noziscnih krivulj je veliko. Lepe primere dobimo s kroznico,parabolo in astroido kot z osnovnimi krivuljami pri razlicnih izborih tocke P . Vse to lahko preprostopreucujemo z GeoGebro.

Obstaja tudi obraten proces: pri dani tocki P poiskati dani krivulji K′ tako krivuljo K, ki ima zasvojo noziscno krivuljo ravno K′. V tem primeru je treba obvladati pojem ovojnice enoparametricnedruzine premic. Kako je s tem, bomo videli v nadaljevanju.

2.6 Ovojnice

Enoparametricne druzine krivulj imajo pogosto ovojnice. Ovojnica enoparametricne druzine krivuljje taka krivulja, ki se v vsaki svoji tocki dotika ene od clanic druzine, v razlicnih tockah pa razlicnihclanic. Z ovojnicami pogosto dobimo znane krivulje, lahko pa tudi popolnoma novo. Lahko se zgodi, daje ena in ista krivulja obenem noziscna krivulja neke druge krivulje in ovojnica neke enoparametricnedruzine krivulj ali pa se kaj. Najenostavneje je opazovati enoparametricne druzine premic in kroznic.Analiticno poiskati enacbo ovojnice pa je vcasih tezak problem. Zanimiva je ovojnica druzine kroznic,ki imajo sredisca na dani kroznici in potekajo skozi isto tocko te kroznice. GeoGebra nam nudi tudimoznost pogledati, kaj je evoluta cikloide. Pa tudi vsaj vtis o evolutah drugih krivulj dobimo, cepravse morda nimamo njihovih enacb. Evoluto krivulje lahko namrec obravnavamo kot ovojnico druzinenormal te krivulje. V strogem smislu pa je evoluta dane krivulje mnozica sredisc vseh pritisnjenihkroznic na to krivuljo. Ovojnica vseh tangent krivulje pa je seveda ravno ta krivulja.

2.7 Fermatov princip v optiki

Fermatov princip v optiki pravi, da svetloba med dvema tockama ubere tako pot, da je cas prehodamed njima, najkrajsi (stacionaren), vmes pa se svetloba lahko odbija ali lomi. GeoGebra nam ilustriraFermatov princip v preprostih primerih odboja in loma (Slika 3). Tako znova potrdimo odbojni inlomni zakon. GeoGebra nam omogoca tudi opazovati odboj in lom svetlobe na krivih ploskvah. Prilomu svetlobe na ravni ploskvi si lahko pomagamo s preprosto geometrijsko konstrukcijo (Slika 4),tako da nam ni treba posebnega racunanja. Konstrukcijo je poznal Thomas Harriot (1560–1621),

5/ 23


Slika 3: Lom svetlobe.

angleski matematik in astronom, ki je ze 20 let pred Willebrordom Snelom van Royenom (1580–1626)poznal lomni zakon, ki ga pa nikoli ni objavil. V primeru krive ploskve se svetloba odbija ali lomi vtocki, kakor da bi bila tam meja kar tangentna ravnina na to ploskev.

Fermatov princip velja tudi za opticna telesa, v katerih se lomni kolicnik zvezno spreminja. Vtakem primeru pot svetlobe ne poteka vec po premicah, ampak po bolj zapletenih krivuljah. Do tehpridemo z metodami variacijskega racuna. V nekaterih primerih so te krivulje elipticni loki.

Slika 4: Geometrijska konstrukcija lomljenega zarka.

2.8 Kavstike

Kavstike so ovojnice na dani krivulji odbitih ali lomljenih zarkov oziroma njihovih premic nosilk. Ovoj-nica odbitih zarkov je katakavstika, ovojnica lomljenih zarkov pa diakavskika dane krivulje. Oblikakavstik je odvisna od te krivulje in od snopa zarkov, ki padajo nanjo. Preprosta sta primera kata-kavstike kroznice glede na zarke, ki bodisi nanjo padajo vzporedno bodisi iz neke tocke te kroznice.Kavstike lahko opazimo tudi v vsakdanjem zivljenju, na primer v skodelici za kavo ali pri prehodusvetlobe skozu polno steklenico vode. Katakavstika parabole glede na zarke, ki padajo na njeno os,je nekoliko manj znana Tschirnhausova kubika (Slika 5). Katakavstika eksponentne krivulje glede nazarke, ki padajo nanjo vzporedno z ordinatno osjo, pa je stara znanka – veriznica.

Primer diakavstike, ki se jo da poiskati analiticno, dobimo, ce snop vzporednih zarkov pravokotnopada na ravno stran polkroznega valja, ki ima vecji lomni kolicnik kot njegova okolica (Slika 6).

6/ 23


Slika 5: Nastanek Tschirnhausove kubike.

Slika 6: Primer diakavstike.

2.9 Sklepne besede

V okviru enodnevnega seminarja je nemogoce pokazati, za kaj vse se da uporabiti GeoGebro. Vprimeru krivulj je toliko moznosti, da vseh zlepa ne izcrpamo v tako kratkem casu. Specializiraneknjige o krivuljah nam dajo marsikatero idejo, kaj bi v tem pogledu lahko z GeoGebro se naredili.

7/ 23


3 GeoGebra in matematicna analiza (dr. M. Slapar)

3.1 Vnos in graficna predstavitev funkcije

Najbolj preprosta moznost za definicijo in ponazoritev funkcije je preprost vpis predpisa funkcije v vno-stno vrstico. Samo funkcije in s tem njeno graficno predstavitev lahko vnaprej omejimo na dolocen defi-

Slika 7: Preprost vnos funkcije

nicijski interval z ukazom Funkcija[ <funkcija>, <zacetna vrednost x-a>, <koncna vrednost x-a> ].Nekoliko bolj zapleten je postopek vnosa sestavljene funkcije. V primeru, ko imamo opravka s funkcijo,

Slika 8: Omejitev funkcije na interval.

ki je sestavljena iz samo dveh delov, lahko to preprosto naredimo z if stavkom

If[ <pogoj>, <potem>, <sicer> ].

Funkcijo

f(x) =

{0 , x ≤ 0

e−1

x2 , x > 0

tako vnesemo z ukazomf(x)=If[x=<0,0,e^(-1/(x^2))].

V kolikor imamo opravka s funkcijo, ki je sestavljena iz vec kot dveh delov, uporabimo ugnezdeneIf ukaze.

8/ 23


Slika 9: Preprosta sestavljena funkcija.

Funkcijo

f(x) =

−1 , x ≤ −1

x2 − 2 , −1 < x < 24− x , x ≥ 2

lahko vpisemo z ukazom

f(x)=If[x=<-1,-1,if[x>=2,4-x,x^2-2]].

Poglejmo si se, kako lahko graficno ponazorimo definiciji funkcij sinus in kosinus. Sinus kota α je

Slika 10: Bolj zapletena sestavljena funkcija

geometrijsko podan kot y koordinate tocke na enotski kroznici s srediscem v izhodiscu, pri cemer se tatocka nahaja pod kotom α glede na x-os. Podobno je cosα x-koordinata take tocke. Neenakosti med

3.2 Odvod funkcije

Odvod funkcije f v tocki a je definiran z limito

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= limh→0

f(a+ h)− f(a)h

.

Sam kvocientkx =

f(x)− f(a)x− a

9/ 23


Slika 11: Grafa funkcij sinus in kosinus

predstavlja smerni koeficient sekante grafa funkcije f skozi tocki (a, f(a)) in (x, f(x)). Odvod funkcijef v tocki a je torej limita smernih koeficientov teh sekant, ko se tocka x priblizuje tocki a. To namseveda omogoca definicijo tangente na graf funkcije f v (a, f(a)) kot tisto primico skozi (a, f(a)),katere smerni koeficient je enak f ′(a). To geometrijsko motivacijo odvoda lahko lepo ponazorimo zGeoGebro. Sam odvod funkcije lahko v GeoGebri dobimo s pomocjo ukaza Odvod, ali pa kar kot f ′(x).

Slika 12: Geometrijska interpretacija odvoda.

3.3 Iskanje nicel in ekstremov funkcije

V GeoGebri nicle in ekstreme lahko iscemo s pomocjo ukazov Nicla in Ekstrem. Sintaksa je neko-liko drugacna pri polinomih kot pri ostalih funkcijah. Za numericno iskanje nicel sta med najboljpreprostimi metodami v matematiki najbolj uporabljeni metoda bisekcije in Newtonowa tangentnametoda. Pri metodi bisekcije gre za zelo preprosto in intuitivno iskanje nicel z razpolavljanjem inter-vala. Graficno lahko metodo zelo preprosto prikazemo z ukazom Sredisce (Sredisce daljice ali kroga)in tako skonstruiramo zaporedje priblizkov. Poglejmo si to na primeru funkcije f(x) = ex + x.

Poglejmo si bolj podrobno Newtonovo tangentno metodo. Naj bo f(x) zvezno odvedljiva funkcijain f(a) = 0. Newtonova tangentna metoda nam da zaporedje priblizkov nicle funkcije f . Naj box0 neko stevilo blizu nicle a. Naslednji priblizek x1 dobimo tako, da v tocki (x0, f(xn)) postavimotangento in z x1 oznacimo vrednost presecisca te tangente z x osjo. Postopek nato nadaljujemo:v kolikor smo ze skonstruirali zaporedje priblizkov x0,1 , . . . , xn je xn+1 presecisce tangente na graf

10/ 23


Slika 13: Odvod funkcije.

Slika 14: Iskanje nicel in ekstremov.

Slika 15: Iskanje nicel z bisekcijo.

funkcije f v tocki (xn, f(xn)) z x−osjo. Enacba tangente na f v (xn, f(xn)) je

y − f(xn) = f ′(xn)(x− xn)

in zatoxn+1 = xn −

f(xn)f ′(xn)

.

11/ 23


Izkaze se, da tako podano rekurzivno zaporedje precej hitro konvergira proti nicli a, ce je le f ′(a) 6= 0 inxn dovolj blizu a. Ce je bil x0 izbran nerodno, zaporedje lahko divergira, ali pa imamo tako imenovanoperiodicno fiksno tocko.

Slika 16: Iskanje nicel s tangentno metodo.

3.4 Integral funkcije

Naj bo f omejena funkcija, definirana na zaprtem intervalu [a, b]. S tockami

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

razdelimo interval [a, b] na n podintervalov. Vsak tak izbor tock

D = {x0, x1, . . . , xn}

imenujemo particija intervala [a, b]. Na vsakem intervalu [xk−1, xk] izberimo poljubno tocko ξk.Oznacimo in definiramo Riemannovo vsoto funkcije f prirejeno delitvi D in izboru tock ξ1, ξ2, . . . , ξnkot

s(D) =n∑

k=1

f(xk)(xk − xk−1).

Riemannov oziroma doloceni integral ∫ b

af(x)dx

je neke vrste limita teh Riemannovih vsot, ko gra dolzina najdaljsega podintervala [xk−1, xk] proti0. Funkcije, pri katerih Riemannov integral obstaja imenujemo (Riemannovo) integrabilne funkcije.Med drugim so take kosoma zvezne funkcije. Posebni primeri Riemannovih vsot so tako imenovaneleve in desne Riemannove vsote, kjer za tocko ξk vedno vzamemo levo oz. desno robno tocko in-tervala [xk−1, xk] in pa (v primeru zveznih funkcij) spodnje in zgornje Darbouxove vsote, kjer zaξk vzamemo tocko, v kateri je dosezen minumum oz. maksimum funkcije na intervali [xk−1, xk].Splosno Riemannovo vsoto je v GeoGebri nekoliko tezje ponazoriti, ima pa GeoGebra ze vgrajeneukaze za leve Riemannovo vsoto (LevaVsota) ter spodnje in zgornje Darbouxove vsote (SpodnjaVsotain ZgornjaVsota). Nima pa vgrajene desne vsote. Ze iz definicije je razvidno, da je Riemannov integraldokaj preprosto numericno aproksimirati. Najbolj znana numericna metoda za racunanje dolocenegaintegrala je trapezna metoda, kjer nad vsakim intervalom [xk−1, xk] integral aproksimiramo s ploscinotrapeza. Poglejmo si, kako lahko s pomocjo le teh aproksimiramo integral funkcije f(x) =

√1− x2 nad

intervalom [−1, 1], kar je ravno ploscina polovice kroga (π/2). Spomnimo se, da je nedoloceni integralfunkcije f taka funkcija F , da velja F ′(x) = f(x). GeoGebra zna izracunati preproste nedoloceneintegrale, vendar pa odpove pri nekoliko bolj zapletenih primerih. Doloceni in nedoloceni integral nam

12/ 23


Slika 17: Zgornje in spodnje Daurbouxove vsote.

Slika 18: Trapezna metoda.

poveze osnovni izrek integralskega racuna. Ta nam pove, da je pod dokaj milimi pogoji na fnkcijo f ,funkcija

F (x) =∫ x

af(t)dt

nedoloceni integral funkcije f .

Slika 19: Osnovni izrek integralskega racuna.

13/ 23


4 GeoGebrina preglednica in osnove statistike (dr. B. Kuzman)

Od razlicice 3.2 dalje je v programu GeoGebra mozna tudi uporaba preglednice. Njeno osnovnodelovanje in funkcionalnost sta podobna kot pri programu Excel in podobnih programih za urejanjepodatkov. Ceprav ponuja GeoGebrina preglednica manj funkcij kot specializirani programi, je njenaprednost ucinkovito povezovanje z ostalimi graficnimi in algebrskimi orodji GeoGebre, od razlicice 4.0dalje pa ima tudi zanimivo zbirko orodij, ki jih lahko uporabimo pri poucevanju vsebin s podrocjastatistike in verjetnosti. Pri nasem delu bomo uporabili razlicico GeoGebra 4.2, v kateri vklopimoprikaz preglednice v meniju Pogled oziroma z bliznjico Ctrl+Shift+S.

4.1 Osnove vnosa podatkov v preglednico

V tem razdelku se seznanimo z osnovnimi nacini vnosa podatkov v preglednico.

4.1.1 Relativne kopije in sklici

Z uporabo relativnega kopiranja (povlek kvadratka pri izbrani celici cez ostale celice v vrstici oz.stolpcu) in vnasanjem formul vnesite 50 clenov naslednjih zaporedij:

• 1, 1, 1, 1, 1, . . .

• 1, 2, 3, 4, 5, . . . (zaporedna stevila n)

• 1, 4, 9, 16, 25, . . . (kvadrati n2)Namig: Ce so v stolcu B zaporedna stevila n, potem v celico C1 vnesemo "=B1^2", nato vrednosts povlekom relativno kopiramo navzdol.

• 4, 7, 10, 13, 16, . . . (aritmeticno zaporedje 1 + 3n)

• 12 ,

14 ,

18 ,

116 , . . . (geometrijsko zaporedje 1

2n )

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . (Fibbonaccijevo zaporedje F (n) = F (n−1)+F (n−2), F (1) = 1, F (2) = 1).

Slika 20: Preglednica z zaporedji in seznam tock v graficnem oknu.

14/ 23


4.1.2 Urejanje tabele

Vklopite vrstico z nastavitvami tabele (majhni trikotnik pri napisu Tabela) in preizkusite razlicnemoznosti (spreminjanje barv, poravnav, vrivanje vrstic in stolpcev, kopiranje polj).

4.1.3 Izdelava seznama tock

Oznacite polja z zaporednimi stevili od 1 do 10 in njihovimi kvadrati, nato po desnem kliku miskeizberite moznost Izdelaj seznam tock. Tako podatke iz tabele na enostaven nacin prikazemo v geome-trijskem oknu.Namig: Faktor povecave v geometrijskem oknu lahko spreminjamo s kolesckom miske, risalno povrsinopa premikamo tako, da ob pritisnjeni tipki Ctrl pritisnemo levi gumb na miski.

4.1.4 Absolutni sklici

Z uporabo absolutnih sklicev smo izdelali tabelo postevanke 20x20 (Slika 21). Pri tem smo upostevalinaslednja pravila za vnos formul:

• A1 – relativni sklic na vrednost A1 (pri povleku vodoravno se naslednja celica sklice na B1 itd.).

• $A1 – absolutni sklic na vrednost A1 pri povleku vodoravno.

• A$1 – absolutni sklic na vrednost A1 pri povleku navpicno.

• $A$1 – absolutni sklic na vrednost A1 pri povleku v obe smeri.

Slika 21: Izdelava postevanke s pomocjo absolutnih sklicev

Namig: Ce v polje B2 namesto ”=$A2 B$1”vnesemo ”=Ostanek[$A2 B$1,11]”in vnos kopiramo vostale celice, namesto obicajne postevanko dobimo Cayleyevo tabelo za mnozenje ostankov po modulu11.

4.1.5 Vnos graficnih objektov

V GeoGebrino preglednico lahko vnesemo tudi graficne in druge objekte. Ce jih zelimo videti v al-gebrskem oknu, moramo vkljuciti prikaz pomoznih objektov. Primer z zaporedjem polmerov, srediscin kroznic je razviden na Sliki 22. Tudi barvo posamezne kroznice lahko nastavimo tako, da jeodvisna od dinamicnih parametrov, denimo polmera (desni klik na enacbo kroznice, nato izbira La-stnosti/Dodatno).

15/ 23


Slika 22: Zaporedje kroznic glede na dano sredisce in polmer

4.1.6 Vnos preko sledi graficnih objektov

Podatke lahko v tabelo prenesemo tudi z belezenjem sledi tock ali drugih graficnih objektov. Za primerbomo definiramo drsnik t na intervalu [0, 3] in tocko T = (t, t2). Ko vkljucimo sled tocke (desni klikna tocko in izbira Vklop sledi oziroma Zapis v tabelo), se vrednosti belezijo v ustreznih celicah tabele(Slika 23).

Slika 23: Vrednosti za t in t2, pridobljene iz sledi tocke T . V tretjem stolpcu smo izracunali razlikody med dvema sosednjima vrednostima y(T ), v cetrtem pa razliko d(dy) med dvema sosednjimavrednostima za dy. Zakaj je ta vrednost konstantna?

16/ 23


4.2 Osnovni ukazi za statistiko in verjetnost

4.2.1 Vsote, povprecja, histogrami

Z GeoGebrino preglednico lahko enostavno uredimo razlicne podatke in na njih izvedemo osnovnostatisticno analizo. Na spodnji sliki smo vnesli podatke o izpitu s tremi nalogami, ki ga je pisalo 10ucencev. Nato smo izracunali vsoto in povprecja in narisali ustrezni histogram rezultatov pri prvinalogi v graficnem oknu. Pri tem smo:

• Iz vrednosti v drugem stolpcu tabele izdelali seznam naloga1.

• Z ukazom Histogram[{seznam frekvencnih razredov}, {seznam vrednosti}] narisali ustre-zni histogram. Kot seznam frekvencnih razredov smo vnesli {-0.5,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5}.

Slika 24: Preglednica z rezultati nekega izpita in histogram rezultatov pri prvi nalogi.

17/ 23


4.2.2 Analiza ene spremenljivke

Z orodjem za analizo posamezne spremenljivke lahko na enostaven nacin pridobimo osnovne statisticneparametre o izbranem vzorcu.

Slika 25: Analiza podatkov o uspehu pri prvi nalogi iz prejsnje preglednice

4.2.3 Regresijska analiza

Slika 26: Na osnovi podatkov o mesecni bruto placi v Republiki Sloveniji za prvih 8 mesecev leta 2012lahko s pomocjo trendne crte napovemo nadaljnjo rast zneska bruto plac.

18/ 23


4.2.4 Racunanje verjetnosti

Slika 27: Z uporabo preglednice lahko naredimo simulacijo poskusa, v katerem 20-krat vrzemo postenkovanec in prestejemo stevilo padlih grbov. Nase rezultate lahko primerjamo z grafom ustrezne bi-nomske in normalne porazdelitve.

Slika 28: Z uporabo orodja zlahka dolocimo verjetnost, da je v 20 metih postenega kovanca padlonajmanj 5 in najvec 9 grbov.

19/ 23


5 GeoGebrina orodja za simbolno racunanje (dr. P. Sparl)

Eden izmed moznih pogledov, oziroma prikazov, ki jih ponuja GeoGebra, se imenuje Simbolno racunanjeoziroma v anglescini CAS - Computer Algebra System. Simbolno racunanje je bilo v GeoGebro do-dano pred kratkim (od vkljucno verzije 4.2. naprej), pravzaprav je bilo do konca novembra 2012omogoceno le v testni (beta) verziji GeoGebre, zato je zaenkrat pripadajoca dokumentacija zelo skopa,oziroma prakticno neobstojeca. Kljub temu si oglejmo nekaj osnovnih moznosti, ki jih glede simbol-nega racunanja ponuja GeoGebra.

Pogled Simbolno racunanje sestoji iz celic, vsaka izmed katerih ima polje za vnos (zgoraj) in poljeza izpis (spodaj). V polje za vnos vnasamo na podoben nacin kot v obicajno vrstico za vnos, le da jetreba biti pozoren na naslednje razlike:

• Uporabljamo lahko spremenljivke, ki se nimajo dodeljene nobene vrednosti (cesar v obicajnivrstici za vnos ne smemo poceti). Tako na primer za nedefinirani spremenljivki a in b pri vnosu(a+b)^3 kot izpis dobimo a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.

• Ce zelimo spremenljivki dodeliti neko vrednost, moramo uporabiti simbol := in ne le =, ki gauporabljamo v obicajni vrstici za vnos. Znak za enacaj = se v pogledu Simbolno racunanjeuporablja za enacbe. Tako na primer vnos a := 3b+1 spremenljivki a dodeli vrednost 3b + 1,medtem ko vnos a = 3b+1 predstavlja zgolj pripadajoco enacbo.

Kar zadeva polje za izpis imamo v GeoGebri tri (oziroma celo stiri) moznosti (posamezno izmedprvih treh moznosti izberemo v orodni vrstici - prvi trije gumbi). Lahko zahtevamo, da GeoGebraizpise natancno vrednost rezultata (znak enakosti), lahko zahtevamo, da GeoGebra poda numericnipriblizek na zeljeno stevilo decimalnih mest natancno (gumb z znakom ≈), ali pa zahtevamo, da vvrstici z izpisom izpise nespremenjen vnos, torej brez opravljenih izracunov (gumb z znakom kljukice).Natancnost decimalnih mest nastavimo v meniju Moznosti (Options), pod rubriko Zaokrozi (Roun-ding). Ce pa izpisa sploh ne zelimo, lahko ob vnosu na koncu vrstice dopisemo podpicje in polje zaizpis bo ostalo prazno.

Ce zelimo spremeniti vrednost spremenljivke, ki ze obstaja, je treba to storiti v celici, kjer je bilata spremenljivka definirana. V nasprotnem primeru bo ustvarjena nova spremenljivka, ki bo dobilaneko novo, se prosto ime. Na primer, ce spremenljivka a ze obstaja, mi pa v novi celici vnesemoa := 7, bo ustvarjena nova spremenljivka z novim imenom (neka crka, ki se ni bila uporabljena), kibo dobila vrednost 7. Spremenljivke lahko tudi izbrisemo iz sistema. Uporabimo ukaz Brisi (Delete)ali pa oznacimo celico, v kateri je bila definirana pripadajoca spremenljivka in nato uporabimo gumbza brisanje v orodni vrstici (ali stisnemo tipko Delete na tipkovnici).

Glede vnosa in izpisa v pogledu Simbolno racunanje povejmo le se naslednje. Ce v prazni celicinapisemo zaklepaj ), se nam zadnji izpis zapise v navadnih oklepajih, ce pa pritisnemo tipko =, seizpise zadnji vnos. Sklicujemo se lahko tudi na rezultate drugih celic. Ce zelimo na primer rezultatuiz celice 7 pristeti 2, lahko to storimo tako, da zapisemo bodisi #7 + 2 bodisi $7 + 2, odvisno od tegaali zelimo, da se po vnosu na mesto, kamor smo zapisali sklic na drugo celico, zapise vsebina izpisa tecelice ali ne.

Oglejmo si sedaj, kako lahko z GeoGebro prikazemo manipuliranje s preprostimi enacbami. De-nimo, da zelimo iz enacbe 2a+3

7 = b− 1 izraziti spremenljivko a. Po potrebi izbrisemo spremenljivki ain b, nato pa v novo celico vnesemo to enacbo, torej (2a + 3)/7 = b - 1. V izpisu seveda dobimo

2a+ 37

= b− 1.

Seveda bomo enacbo najprej na obeh straneh pomnozili s 7. To lahko storimo tudi v GeoGebri.Pritisnemo tipko ), da dobimo prejsnji rezultat v oklepajih, nato pa le se dopisemo *7. Tako bo nasvnos izgledal takole: ((2a + 3) / 7 = b - 1)*7. V izpisu vidimo, da je GeoGebra zares obe stranienacbe pomnozila s 7. Dobimo enacbo

2a+ 3 = 7b− 7.

20/ 23


Zopet stisnemo tipko ) in dopisemo - 3, pa dobimo enacbo

2a = 7b− 10.

Celotno enacbo delimo se z 2, pa koncno dobimo

a =7b− 10

2.

Na podoben nacin lahko enacbe tudi potenciramo (tudi korenimo). Oglejmo si na primer se kakoprikazemo izrazavo spremenljivke x iz enacbe y = 2x2 + 16x + 5. Po vnosu enacbe najprej obemastranema pristejemo 27, nato pa ju delimo z 2. Dobimo enacbo

y + 272

= x2 + 8x+ 16.

To smo seveda storili zato, ker je moc desno stran zapisati kot kvadrat, namrec x2 +8x+16 = (x+4)2.GeoGebra zna faktorizirati polinome. To dosezemo z ukazom Faktoriziraj (Factor) ali gumbom zafaktorizacijo v orodni vrstici. (Omenimo, da lahko vsak ukaz zapisemo bodisi v slovenscini bodisi vanglescini. V slednjem primeru se bo po vnosu vpisani “angleski” ukaz v polju za vnos avtomatskospremenil v pripadajoci “slovenski” ukaz.) Zopet pritisnimo tipko ), oznacimo del x2 + 8x + 16 inpritisnimo gumb za faktorizacijo. Dobimo enacbo

y + 272

= (x+ 4)2.

Sedaj lahko enacbo korenimo. Pritisnemo znak ), nato pa dopisemo ^(1/2). Tako potem dobimoenacbo √

y + 27√2

= |x+ 4|.

Zgoraj smo omenili ukaz Faktoriziraj za faktorizacijo. GeoGebra ima se celo vrsto drugihpodobnih ukazov. Vse najdete na spletni strani http://wiki.geogebra.org/en/CAS_Commands (opisiso zaenkrat na voljo le v angleskem jeziku). V nadaljevanju si bomo ogledali nekatere izmed njih.

• Faktoriziraj (Factor): S tem ukazom dobimo faktorizacijo polinoma (ali celega stevila) nadracionalnimi stevili. Tako na primer ukaz Faktoriziraj[100] vrne 22 · 52, medtem ko ukazFaktoriziraj[x^3 - x^2 + 2x - 2] vrne (x2 + 2)(x− 1). Razlog, zakaj GeoGebra ni faktori-zirala tudi polinoma x2 +2, je seveda v tem, da se ga nad racionalnimi stevili ne da faktorizirati.GeoGebra sicer pozna tudi ukaz CFaktor (CFactor), ki naj bi vrnil faktorizacijo nad komple-ksnimi stevili, a v resnici vrne le faktorizacijo na polinome s kompleksnimi koeficienti, katerihrealni in imaginarni del pa morata biti racionalna. Tako bo CFaktor[x^2 - 2 = 0] vrnil x2−2,bo pa CFaktor[x^2 + 1 = 0] vrnil faktorizacijo (x− i)(x+ i).

• Faktorizacija(Factors): Ta ukaz je zelo podoben prejsnjemu, le da tokrat kot rezultat dobimofaktorizacijo kot seznam parov. Na primer, Faktorizacija[12] vrne {{2, 2}, {3, 1}} (zadeva jesicer prikazana kot matrika, a gre v resnici za seznam seznamov).

• Resi(Solve): Zgoraj smo videli, kako lahko z GeoGebro prikazemo “rocno” resevanje enacb.GeoGebra pa zna enacbe resevati tudi sama. Z ukazom Resi (Solve) GeoGebro povprasamopo resitvi pripadajoce enacbe. Kot argument lahko zgolj zapisemo enacbo, GeoGebra pa bov tem primeru poizkusila resiti enacbo na “glavno” spremenljivko. Ce zelimo sami povedatina katero spremenljivko naj GeoGebra resi enacbo, lahko to eksplicitno zahtevamo tako, daza enacbo zapisemo vejico in ime spremenljivke. Na primer, ukaz Resi[2x+3a-5=0] bo vrnilresitev x = −3a+5

2 , medtem ko bo ukaz Resi[2x+3a-5=0,a] vrnil resitev a = −2x+53 . GeoGebra

sicer naceloma zna resevati tudi enacbe poljubno velikih redov, a obicajno pri le-teh ne dobimorezultata (racunanje traja predolgo). Z GeoGebro lahko resujemo tudi sisteme enacb, ki jih

21/ 23


podamo kot seznam enacb (prav tako pa je potem potrebno dodati seznam spremenljivk, nakatere zelimo, da GeoGebra resi sistem). Tako na primer ukazResi[{x^2 + y^2 - 6x + 2x + 2 = 0, 2y - 3x + 8 = 0}, {x,y}]vrne presecisci premice z enacbo y = 3/2x − 4 s kroznico z enacbo (y + 1)2 + (x − 3)2 = 8.Ukaz Resi[{x^2 + y^2 = 6, 2x^2 - 3y^2 = 9}, {x,y}] pa vrne vsa stiri presecisca pripa-dajoce kroznice in hiperbole. Omenimo, da GeoGebra pozna tudi ukaza CResi (CSolve) inResiNumericno (NSolve), ki enacbe resujeta nad kompleksnimi stevili (za razliko od ukazaCFaktoriziraj tokrat zares nad celotnimi kompleksnimi stevili), oziroma s pomocjo numericnihmetod (aproksimacija). V slednjem primeru lahko podamo tudi zacetno tocko. Na primer, ukazCResi[x^2 - 2] (ce enacaj in desno stran izpustimo, GeoGebra to tretira tako, kot bi dopisali= 0) vrne resitvi x =

√2 in x = −

√2, ukaz ResiNumericno[x^3 - 2x + 1] vrne vse tri nicle

tega kubicnega polinoma (na ustrezno natancnost, seveda).

• Resitve (Solutions): Ta ukaz (kot tudi CResitve) se obnasa povsem podobno kot zgornji(Resi) le da tokrat kot rezultat dobimo le vrednosti resitev. Tako bo ukaz Resi[2x = 3] vrnilx = 3/2, medtem ko bo ukaz Resitve[2x=3] vrnil 3/2.

• Odvod (Derivative): Ta ukaz vrne odvod dane funkcije. Kot drugi argument lahko navedemospremenljivko, po kateri naj GeoGebra dano funkcijo odvaja. Kot tretji argument lahko potemvnesemo se naravno stevilo, recimo 5, pa bo GeoGebra izracunala 5-ti odvod dane funkcije poizbrani spremenljivki.

• Integral (Integral): V primeru, da kot edini argument podamo funkcijo, bo GeoGebraizracunala nedoloceni integral te funkcije (dodala bo tudi konstanto). Ce gre za integral sparametrom, lahko GeoGebri kot drugi argument podamo ime spremenljivke, po kateri integri-ramo. Ce zelimo racunati dolocen integral, je treba dodati kot nova argumenta se spodnjo inzgornjo mejo. Tako na primer ukaz Integral[x sin(x)] vrne sin(x) - x cos(x) + c, ukazIntegral[1/x^2, 2, Infinity] pa vrne 1/2. Da, GeoGebra pozna tudi pojem neskoncnosti.Namesto besede Infinity lahko vstavimo kar simbol za neskoncnost.

• Limita (Limit): V GeoGebri lahko racunamo tudi limite funkcij (in zaporedij). Kot argumentapodamo funkcijo in tocko, v kateri zelimo limito izracunati. Le-ta je lahko tudi ∞ ali −∞.Ce je funkcija podana s parametrom, lahko kot vmesni argument specificiramo se spremen-ljivko. Na primer Limita[(a x^2 + a^2 x - 3)/(2 x^2 - a),x,Infinity] vrne rezultat a

2 .Racunamo lahko tudi leve (LimitaLeva, oziroma LimitBelow) in desne (LimitaDesna, oziromaLimitAbove) limite. Na primer LimitaDesna[1/x, 0] vrne ∞.

• Vsota(Sum): Ta ukaz izracuna vsoto vseh nastetih elementov. Na primer, Vsota[1,2,3,4,5,6]vrne 21. Pravo veljavo pa ta ukaz dobi sele, ko ga uporabimo tako, da vsoto podamo implicitno.V tem primeru kot prvi argument podamo nek izraz, ki je odvisen od spremenljivke, ki jopodamo kot drugi argument. Kot tretji in cetrti argument podamo zacetno in koncno vrednostspremenljivke. Tako na primer ukaz Vsota[n,n,1,10] vrne 55. Kot eno izmed mej pa lahkouporabimo tudi nedefiniran parameter. Na primer, ukaz Vsota[i,i,1,n] vrne 1

2n2 + 1

2n (to pasedaj ze znamo tudi faktorizirati, da dobimo znano formulo n(n+1)

2 ). Kot pri limitah in integralihlahko tudi tu racunamo neskoncne vsote. Na primer Vsota[(1/3)^n,n,0,Infinity] vrne 3

2 .

• ParcialniUlomki (PartialFractions): Ta ukaz za dano (racionalno) funkcijo poisce razcepna parcialne ulomke. Na primer, ukaz ParcialniUlomki[(2x+1)/(x^2 + 5x + 6)] vrne 5

x+3 −3

x+2 .

• Kolicnik (Div): Ta ukaz vrne kvocient pri deljenju. Kot argumenta lahko damo dve stevili ali padva polinoma. Tako na primer Kolicnik[100,7] vrne 14, Kolicnik[x^3-7x+2, 2x^2 + 3x + 1]pa 2x−3

4 .

• Ostanek (Mod): Ta ukaz je komplementaren k prejsnjemu. Tokrat dobimo ostanek pri deljenju pr-vega argumenta z drugim. Tako Kolicnik[100,7] vrne 2, Kolicnik[x^3-7x+2, 2x^2 + 3x + 1]pa −21x+11

4 .

• Deljenje (Division): Ta ukaz zdruzuje oba prejsnja. Tokrat kot rezultat dobimo par, pri cemerje prvi element kolicnik, drugi pa ostanek.

22/ 23


• NSV (LCM): Ta ukaz vrne najmanjsi skupni veckratnik obeh argumentov (stevil ali polinomov).Lahko pa mu kot argument damo tudi seznam stevil ali polinomov. V tem primeru bo sevedavrnil najmanjsi skupni veckratnik vseh stevil oziroma polinomov. Tako na primer NSV[12,45]vrne 180, medtem ko NSV[{2x^2-5x-3,4x^2-8x-5,2x^2-11x+15}] vrne 4x3− 20x2 + 19x+ 15.

• NSD (GCD): Povsem analogno kot zgornji ukaz, le da tokrat dobimo najvecji skupni deljitelj.

• JePrastevilo (IsPrime): Ime ukaza pove vse. za dano naravno stevilo vrne true ali falseglede na to ali je stevilo prastevilo ali ne.

• NaslednjePrastevilo (NextPrime): Vrne najmanjse prastevilo, ki je vecje od argumenta.

• PrejsnjePrastevilo (PreviousPrime): Kot prej, le da tokrat vrne najvecje prastevilo, ki jemanjse od danega stevila (ce obstaja).

• BinomskiKoeficient (BinomialCoefficient): Vrne vrednost pripadajocega binomskega ko-eficienta. Eden izmed argumentov je lahko tudi nedefinirana spremenljivka. Tako na primerBinomskiKoeficient[10,4] vrne 210, BinomskiKoeficient[n,4] pa n4−6n3+11n2−6n

24 , kar se-veda lahko faktoriziramo v n(n−1)(n−2)(n−3)

24 .

• nPr (nPr): Podobno kot prejsnji ukaz (ki vrne stevilo kombinacij brez ponavljanja), le da tokratdobimo stevilo variacij brez ponavljanja.

23/ 23

Documents

Posodobitveni program Uporaba GeoGebre pri pouku …pefprints.pef.uni-lj.si/2254/1/Sparl_Geogebra.pdf · Pred vami je delovno gradivo z zgo s ceno predstavitvijo vsebine de-lavnic,