POSLOVNA MATEMATIKA

RALEVIĆ NEBOJŠA LANDIKA MIRJANA

POSLOVNA MATEMATIKA

Prijedor 2007.

N.Ralević, M.Landika: POSLOVNA MATEMATIKA

2

Autori:

Ralević Nebojša Landika Mirjana

Naziv: POSLOVNA MATEMATIKA

Recenzenti: Prof. dr Miloš Čanak

Prof. dr Esad Jakupović

Izdavači: Visoka škola za ekonomiju i informatiku - Prijedor

& M Power Banja Luka

Za izdavača: Prof.dr Aleksandar Đokić

Tiraž: 300

Prijedor, 2007.

ISBN 978-99955-20-06-9

Zabranjeno fotokopiranje, preštampavanje i drugi oblici umnožavanja ove knjige. Sva prava zadržavaju izdavač i autor.


3

P R E D G O V O R

Ovaj udžbenik napisan je prema nastavnom planu i programu za

predmet Poslovna matematika na Koledžu za informatiku i menadžment

Janjoš – Prijedor. Međutim, zbog svoje strukture i sadržaja mogu ga koristiti i

studenti svih visokih škola sličnog profila.

Najveći dio udžbenika posvećen je rešavanju problema iz finansijske

matematike tako da ga mogu koristiti i svi oni koji se bave biznisom u

području bankarstva, osiguranja, trgovine, proizvodnje i na sličnim

poslovima.

Dio materije posvećen je nekim oblastima iz opšte matematike, ali je

rasterećena nepotrebnog matematičkog formalizovanja tako da je mogu lako

koristiti i studenti koji nemaju detaljnije matematičko obrazovanje. Osim

toga, knjiga sadrži veliki broj urađenih zadataka i primjera za vježbanje pa u

tom smislu može poslužiti i kao praktikum za studente.

S obzirom na složenost obrađene materije moguće je da smo napravili

neke propuste i učinili određene greške pa sa zahvalnošću prihvatamo

konstruktivne kritike i sugestije kako bi se zapažene primjedbe u narednom

izdanju knjige ispravile.

AUTORI


4


5

I) DETERMINANTE

Determinanta je kvadratna šema brojeva koja ima svoju vrijednost.

Broj vrsta (kolona) određuje red determinante. Determinante imaju

višestruku primjenu, a ovde će biti razmotreno rješavanje sistema linearnih

jednačina pomoću determinanti.

1. DETERMINANTE DRUGOG REDA

Posmatrajmo determinantu koja ima dvije vrste i dvije kolone

2221

1211

aaaa

Ovo je determinanta drugog reda kao što se vidi ima dvije dijagonale

glavnu ( a11 \ a22) sporednu (a12 / a21). Vrijednost ove determinante dobija se

kada se od proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali oduzme proizvod

elemenata na sporednoj dijagonali:

22

12

21

11

aa

aa

= a11 a22 – a12 a21

determinanta:

31

12

= 2 3 – 1 ( – 1) = 6 + 1 = 7


6

Pomoću determinante drugog reda mogu se rješavati sistemi od dvije

linearne jednačine sa dvije nepoznate.

Posmatrajmo sistem:

a11 x+ a21 y = b1

a12 x+ a22 y = b2

Ako sa D označimo determinantu koju čine koeficijenti uz nepoznate,

tz. determinantu sistema:

D =22

12

21

11

aa

aa

= a11 a22 – a12 a21

Sa Dx determinantu koja se dobije tako da u prvoj koloni pišemo

slobodne koeficjente, a u drugu kolonu članove uz drugu nepoznatu:

Dx = 222

121

abab

= b1 a22 – b2 a12

I sa Dy determinantu koja se od determinante sistema razlikuje po

tome što drugu kolonu zamjenjuje kolona slobodnih članova:

Dy = 221

111

baba

= b1 a11 – b2 a21


7

Lako je pokazati da je rješenje sistema:

x = DDx

y = DDy

ako je sistem:

2x + y = 5

x – 2y = -1

onda je:

D = 31

12

= – 6 – 1 = – 7

Dx = 31

15

= – 15 + 1 = – 14

Dy = 11

52

= – 2 – 5 = – 7

Rješenje sistema je:

x = 7

14

DDx = 2

y = 7

7

DDy = 1


8

2. DETERMINANTE TREĆEG REDA

Posmatrajmo determinantu:

A =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Vrijednost ove determinante može se izračunati korišćenjem tz.

Sarusovog pravila. Naime, ako se pored determinante dopišu prve dvije

kolone:

A =

32

22

12

31

21

11

33

23

13

32

22

12

31

21

11

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

Onda kao što je označeno postaje tri glavne i tri sporedne dijagonale.

Vrijednost determinante dobija se kada se od zbira proizvoda elemenata sa

glavne dijagonale oduzme zbir proizvoda elemenata sa sporednih dijagonala:

A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – (a12 a21 a33 – a11 a23 a32 – a13 a22 a31 )

Na primjer, vrijednost sledeće determinante je:

A =

2

2

3

3

1

2

123

021

132

= 4 + 0 – 2 – (– 3 + 0 + 6) = 2 – 3 = 1


9

Slično kao kod determinanti drugog reda, pomoću determinanti trećeg

reda mogu se rješavati sistemi linearnih jednačina. Posmatrajmo sistem:

a11 x + a12 y + a13 z = b1

a21 x + a22 y + a23 z = b2

a31 x + a32 y + a33 z = b3

Koeficijenti uz nepoznate čine determinantu sistema:

D =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Slično kao kod sistema dvije jednačine sa dvije nepoznate ovde se

izračunavaju još tri determinante:

Dx =

33323

23222

13121

aabaabaab

Dy =

33331

23221

13111

abaabaaba

Dz =

33231

22221

11211

baabaabaa


10

Koje se od determinante sistema razlikuju po tome što kolona

slobodnih članova zamjenjuje kolonu uz odgovarajuću promjenljivu. Može se

pokazati da je rješenje sistema:

x = D

DX

y = DDY

z = D

DZ

posmatrajmo sistem jednačina:

x + y + 2z = 7

2x – y + z = 2

– x + y – z = -1

Ovdje je:

D =

1

1

1

1

2

1

111

112

211

= 1 – 1 + 4 – (– 2 + 1 +2) = 3

DX =

1

1

1

1

2

7

111

112

217

= 7 – 1 + 4 – (– 2 + 7 + 2) = 3

DY =

1

2

7

1

2

1

111

122

271

= – 2 – 7 – 4 – (– 14 – 1 – 4) = 6


11

DZ =

1

1

1

1

2

1

111

212

711

= 1 – 2 + 14 – (– 2 + 2 + 7) = 6

Pa je:

x = 13

3

DDX

y = 3

6

DDY = 2

z = 3

6

DDZ = 2

3. DETERMINANTE VIŠEG REDA

Determinanta D reda n može se izračunati razvijanjem po elementima

neke vrste (kolone) pri čemu se dobija n determinanti (n – 1) reda, tako da se

determinanta četvrtog reda može svesti na zbir četiri determinante trećeg

reda.

Razvijanje se vrši tako što se svaki element vrste (kolone) zamjenjuje

svojim algebarskim kofaktorom. Za element aij njegov algebarski kofaktor je:

(1 – 1)i+j aij Dij


12

Ovdje je Dij determinanta koja ostaje kada se isključe elementi i-te

vrste i j-te kolone. Onda je:

D = ijijj

ji Da )1(

Na primjer, posmatrajmo determinantu:

D =

2511

3223

1124

3112

Razvijanjem po elementima, recimo, prve vrste dobija se da je:

D = (– 1)1+1 2 251

322

112

+ (– 1)1+2 1

251

323

114

+ (– 1)1+3 (– 1)

221

323

124

+ (– 1)1+4 3 511

223

124

D = – 58 + 34 + 11 + 177 = 164

Kada u nekoj vrsti ili koloni ima nula sav posao oko izračunavanja se

olakšava ako se razvijanje vrši po elementima te vrste ili kolone.


13

Može se pokazati da determinanta ne mjenja vrijednost ako jednu

vrstu (kolonu) pomnožimo brojem i dodamo drugoj vrsti (koloni). Time

možemo neke elemente zamjeniti nulama. Tako, u prethodnom primjeru

možemo lako napraviti nule, Na primjer u drugoj koloni:

D =

2511

3223

1124

3112

122

=

5403

9007

5300

3112

=

= (– 1)1+2 1

543

907

530

D = 164

Dakle, ovim postupkom umjesto izračunavanja vrijednosti četiri

determinante trećeg reda izračunali smo vrijednost samo jedne.

Kao što se determinante drugog i trećeg reda mogu koristiti za

rješavanje odgovarajućih sistema linearnih jednačina slično je i sa

determinantama višeg reda. Dalje će biti razmotreni i drugi metodi koji su

često efikasniji od ovde prikazanih.


14

4. DISKUSIJA RJEŠENJA SISTEMA JEDNAČINA

S obzirom da se rješenja sistema linearnih jednačina dobijaju kao

količnici determinanti za nepoznate i determinante sistema može nastupiti

jedna od sljedeće tri situacije:

a) ako je determinanta sistema različita od nule sistem ima

jedinstveno (jedno rješenje).

b) ako je determinanta sistema jednaka nuli, a bar jedna od

determinanti za nepoznate različita od nule sistem nema rješenje.

c) ako je determinanta sistema jednaka nuli i sve determinante za

nepoznate jednake nuli sistem je neodređen (može imati beskonačno mnogo

rješenja).

Na primjer, posmatrajmo sistem jednačina:

kx + y = 3

x – y = 2

gdje je k – parametar (bilo koji broj). Rješenje ovog sistema pomoću

determinanti je:

D = 11

1

k

= – k – 1

DX = 12

13

= – 3 – 2 = – 5

DY = 21

3k = 2k – 3


15

Ako je D ≠ 0 tj. k ≠ -1 sistem ima jedinstveno rješenje:

x = D

DX = 1

5

k

= 1

5

k

y = DDY =

1

32

kk

Ako je D = 0 tj. k = -1 sistem nema rješenja jer je Dx = 5 ≠ 0

Posmatrajmo sledeći sistem jednačina

a2 x + y + z = 3

x + a y + 2z = 4

2x + (1+a) y + 3z = 7

gdje je a realan parametar. Ovde je:

D =

)1(

1

2

1

3)1(2

21

11 22

aa

a

aa

a

= 3a3 + 4 + 1 + a – (3 +2a2 +2a3 +2a) =

= (a – 1)(a +1)(a – 2)

Pošto je determinanta sistema D jednaka (a-1) (a+1) (a-2) onda kad

god je vrijednost parametra a≠ ±1 i a≠2 determinanta sistema je različita od

nule i sistem ima jedinstveno rješenje:

DX =

aa

aa

1

1

7

4

3

317

24

113

= 9a + 14 + 4 + 4a – (12 +6 +6a +7a) = 0


16

DY =

7

4

3

2

1

372

241

13 22 aa = 12a2 + 12 + 7 – (9 +14a2 +8) = – 2a2 +2 =

= - 2(a – 1)(a + 1)

DZ =

aa

a

aa

a

1

1

2

1

712

41

31 22

= 7a3 +8 + 3 +3a – (7 +4a2 +4a3 + 6a) =

= 3a3 – 4a2 – 3a + 4

DZ = (3a – 4)(a – 1)(a + 1)

Pošto je determinanta sistema D jednaka (a – 1)(a + 1)(a – 2), onda

kada god je vrijednost parametra a ± 1 i a 2 determinanta sistema je

različita od nule i sistem ima jedinstveno rješenje:

x = 0)2)(1)(1(

0

aaaDDX

y = 2

2

)2)(1)(1(

)1)(1(2

aaaa

aaDDY

z = 2

43

)2)(1)(1(

)1)(1)(43(

aa

aaaaaa

DDZ

Ako je a = -2 onda je D = 0 a Dy = -6 ≠ 0 što znači da sistem

jednačina nema rješenje.


17

Ako je a = -1 onda je:

D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0 što znači da je sistem neodređen.

Zamjenom ove vrijednosti u polazne jednačine dobija se da je:

x + y + z = 3

x – y + 2z = 4

2x + 3z = 7

Vidi se da treća jednačina predstavlja zbir prve dvije što znači da je

suvišna jer ne nosi bilo koju novu informaciju o vezi promjenljivih koja nije

sadržana u prve dvije jednačine. Dakle sistem se svodi na:

x + y + z = 3

x – y + 2z = 4

Pošto su ostale dvije jednačine sa tri nepoznate jednu nepoznatu treba

uzeti za parametar, npr. z = t. Sada je:

x + y = 3 – t

x – y = 4 – 2t

Odavde se lako vidi da je:

x = 2

1,

2

37 tyt

i z = t.

S obzirom da vrijednost parametra t može biti bilo koji realan broj to

znači da sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Iz gornjeg tz. opšteg

rješenja za neku konkretnu vrijednost može se dobiti posebno ili partikularno

rješenje. Na primjer za t = 3 je x = – 1, y = 1, z =3.


18

Preostalo je još da se vidi šta se dešava kada je parametar a = 1. Onda

je D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0 pa je sistem neodređen. Zamjenom ove

vrijednosti u polazni sistem je:

x + y + z = 3

x + y + 2z = 4

2x + 2y + 3z = 7

I ovde se vidi da je treća jednačina suvišna pa ostaje:

x + y + z = 3

x + y + 2z = 4

Oduzimanjem jednačina dobija se da je z = 1 pa je:

x + y = 2

Ako jednu od promjenljivih uzmemo za parametar, npr. y = t, pa je x

= 2 – t. Dakle opšte rješenje je

x = 2 – t, y = t, z = 1.

Pošto t može biti bilo koji realan broj sistem ima beskonačno mnogo

rješenja. Jedno partikularno rješenje, npr. za t = 2 je x = 0, y = 2, z = 1.


19

5. HOMOGENI SISTEM JEDNAČINA

Sistem jednačina kod koga su svi slobodni članovi nule naziva se

homogen sistem.

Na primjer sistem:

a11 x + a12 y +a13 z = 0

a21 x + a22 y + a23 z = 0

a31 x + a32 y + a33 z = 0

je jedan primjer homogenog sistema jednačina.

Očigledno je da ovaj sistem uvijek ima rješenje x = 0, y = 0, z = 0 koje

se naziva trivijalno rješenje. Postavlja se pitanje da li osim trivijalnog postoje

i neka druga rješenja. S obzirom da su determinante za nepoznate jednake

nuli jer uvijek sadrže jednu kolonu sa svim nulama ako je determinanta

sistema različita od nule sistem ima samo trivijalno rješenje. Ali ako je i

determinanta sistema jednaka nuli, kao što smo ranije vidjeli, sistem je

neodređen.


x – y + 2z = 0

2x + 3y – z = 0

4x + y + 3z = 0

Da bi se ustanovilo da li sistem ima i netrivijalnih rješenja treba

izračunati determinantu sistema:


20

D =

1

3

1

4

2

1

314

132

211

= 9 + 4 + 4 – (– 6 – 1 + 24) = 0

Dakle pošto je i determinanta sistema jednaka nuli sistem je

neodređen. To znači da je jedna od jednačina linearna kombinacija druge

dvije pa je prema tome suvišna i treba je izbaciti. Ako odstranimo treću

jednačinu biće:

x – y = -2t

2x + 3y = t

Lako se vidi da je opšte rješenje:

x = -t, y = t, z = t.

Jedno moguće partikularno rješenje je npr. za t = 2

x = -2, y = 2, z = 2.


21

ZADACI ZA VJEŽBU:

1. Izračunati determinante:

a) 13

32

b)

131

220

431

c)

1231

4321

3121

3112

d)

50000

32000

21200

31140

25213

2. Rješiti sistem jednačina pomoću determinanti:

a) 2x – y = 0

x + 2y = 7

b) x + 2y – z = 2

-x + y + z = 4

2x – y + 2z = 6


22

c) x - z + 2n = 3

y - n = 1

2x – y - z + n = 1

y + z = 2

3. Rješiti sistem jednačina:

a) x – y = 0

2x – 2y = 0

b) 2x - y + z = 0

x + 2y + z = 0

3x + y + 2z = 0

c) x + y + z + n = 0

x – y – 2z +2n = 0

2x + 2y – z – 3n = 0

5x + 3y – z + n = 0

4. Diskutovati rješenja sistema jednačina u zavisnosti od vrijednosti

realnog parametra k:

a) kx – 2y = 3

2x + y = k

b) (k²-1)x + y + z = 1

2x – y + 2z = 1,

5x + 2z = k,

c) x + y + kz = 0

kx + y + z = 0

x + ky + z = 0


23

TEST PITANJA

1. Šta je determinanta i kako se određuje njen red?

2. Kako se izračunava determinanta drugog reda?

3. Kako se izračunava determinanta trećeg reda?

4. Kako se izračunavaju determinante razvijanjem po vrstama

(kolonama)?

5. Kako se rješavaju sistemi jednačina pomoću determinanti?

6. Kako se diskutuju rješenja sistema jednačina?

7. Šta je homogen sistem jednačina i od čega zavise njegova rješenja?

8. Kako se rješava homogen sistem jednačina?

9. Šta je opšte, a šta partikularno rješenje?


24

II) MATRICE

Matrica je šema brojeva koja sadrži m – vrsta i n – kolona:

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

mxn

Gdje su m i n prirodni brojevi. Matrice se označavaju velikim slovima

abecede. Na primjer:

A = 32131

512

x

B = 1235 1x4

C =

33212

731

524

x

Oznaka pored matrice označava red matrice i nije obavezna. Za

razliku od determinante matrica može biti:

- pravougaona kao što su u prethodnom primjeru matrice A i B,

- kvadratna, kao što je matrica C.


25

Dok determinanta ima vrijednost matrica nema, ali uprkos tome sa

matricama se mogu izvoditi određene operacije, kao što su sabiranje,

množenje, transponovanje, invertovanje i sl.

Matrica čiji su svi elementi nule naziva se nula matrica i obično se

označava slovom O. Kvadratna matrica koja na tzv. glavnoj dijagonali ima

jedinice, a svi ostali elementi su joj nule, naziva se jedinična matrica i

označava se slovom I. Na primjep:

O =

2300

00

00

x

I = 2210

01

x

I =

33100

010

001

x

Matrica kod koje se zamjene mjesta vrsta i kolona naziva se

transponovana matrica i označava se transponovana matrica i označava se

slovom T iznad naziva matrice. Na primjer, ako je:

A =

434213

3121

5223

x


26

Onda je njena transponovana matrica:

AT =

34435

212

122

313

x

1. OPERACIJE SA MATRICAMA

1.1. Sabiranje matrica

Mogu se sabirati samo matrice istog reda, tako što im se sabiraju

odgovarajući elementi. Na primjer, ako su date matrice A i B:

A = 32423

211

x

B =

32120

312

x

Onda je:

A + B = 32543

103

x

1.2. Množenje matrice brojem

Matrica se množi brojem tako što se svaki njen element pomnoži tim

brojem. Na primjer ako je data matrica A, koju treba pomnožiti brojem 3:


27

A = 32423

211

x

Onda je:

3A = 321269

633

x

1.3. Množenje matrica

Posmatrajmo dvije matrice A = [ aij ]mxn i B = [ bij ]nxk. Proizvod AB

ovih matrica je matrica C = [ cij ]mxk pri čemu je:

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj

Očigledno je da matrica A ima onoliko kolona koliko matrica B ima

vrsta, dok rezultujuća matrica C ima isti broj vrsta kao matrica A i isti broj

kolona kao matrica B. Na primjer proizvod matrica:

A = 422412

3121

x

i B =

34131

213

221

312

x

je matrica C:

C = 32229

121110

x

Dakle, ne mogu se pomnožiti bilo koje dvije matrice ako nije ispunjen

uslov da prva matrica u proizvodu ima isti broj kolona koliko vrsta ima druga

matrica. To znači da množenje matrica nije komutativno tj.

A B B A


28

U prethodnom primjeru smo izračunali proizvod A B, ali proizvod

B A ne može da se izračuna, jer nije ispunjen pomenuti uslov. Čak i u

slučaju dvije kvadratne matrice istog reda ne važi zakon komutacije. Na

primjer, ako su date matrice:

A =

33132

121

012

x

i B =

33112

231

211

x

Onda je:

3311123

783

213

xBA

i

33237

5119

393

xAB

Postoje i neki izuzeci. Naime ako je A kvadratna matrica a I jedinična

matrica istog reda onda je:

A I = I A = A

Slično je i sa stepenovanjem kvadratnih matrica. Naime, ako je A

kvadratna matrica onda je:

A2 = A A , A3 = A A2 = A2 A,

A4 = A A3 = A3 A = A2 A2 itd.

Na primjer, ako je data kvadratna matrica:

A = 2222

31

x


29

Onda je:

A2 =

102

37

22

31

22

31AA

i

A3 = A A2 =

2618

271

102

37

22

31

Takođe je:

A3 = A2 A =

2618

271

22

31

102

37

O drugim izuzecima komutativnosti biće kasnije riječi. Međutim dok

za množenje matrica u opštem slučaju ne važi zakon komutacije, zakon

asocijacije važi. Naime, za tri matrice A, B i C je:

A B C = A (B C) = (A B) C

Navedeno vrijedi pod uslovom da je množenje moguće. Na primjer,

ako su date matrice:

A = 32221

132

x

, B =

2342

21

31

x

i C =

2232

01

x


30

Onda je:

B C = 2232

01

2342

21

31

xx

=

231210

65

95

x

224535

1215

231210

65

95

32221

132)(

xx

xCBA

Slično je:

22155

47

2342

21

31

32221

132

xx

xBA

i

224535

1215

2232

01

22155

47)(

xx

xCBA

1.4. Invertovanje matrica

Operacija dijeljenja (količnika) dvije matrice nije definisana, ali

pojam inverzne matrice u izvjesnom smislu može da zamjeni operaciju

djeljenja. Inverzija matrica je moguća samo za kvadratne matrice pod

uslovom da je njihova determninanta različita od 0 (tz.regularne matrice).

Dakle, za neku regularnu matricu A njena inverzna matrica A-1 je takva

matrica koja kada se pomnoži sa matricom A daje jediničnu matricu

tj.vrijedi:


31

A A-1 = A-1 A = I

Množenje neke matrice njenom inverznom matricom je komutativno.

Postoji više metoda za izračunavanje inverzne matrice. Ovdje će biti

prikazan algoritam pomoću koga se inverzna matrica određuje pomoću

tz.adjugovane matrice. Algoritam se sprovodi u četiri koraka:

- u prvom koraku pronalazi se determinanta matrice. Ukoliko je

determinanta različita od nule, matrica je regularna, dakle ima

inverznu matricu.

- U drugom koraku matrica se transponuje.

- U trećem koraku određuje se adjungovana matrica, tako što se svaki

element transponovane matrice zamjenjuje svojim minorom.

- U četvrtom koraku izračunava se inverzna matrica, tako što se

adjungovana matrica množi recipročnom vrijednošću determinante.

Na primjer, za datu matricu A, odrediti inverznu matricu:

A =

33212

130

121

x

1. det A =

1

3

2

2

0

1

212

130

121

= (6 – 4 + 0) – (0 – 1 + 6) = – 3

2. AT =

211

132

201


32

3. adj A = A* =

32

01)1(

12

21)1(

13

20)1(

11

01)1(

21

21)1(

21

20)1(

11

32)1(

21

12)1(

21

13)1(

332313

322212

312111

=

=

336

102

537

4. A-1 =

1123

10

3

23

51

3

7

336

102

537

3

1*

det

1 AA

Poslije izračunavanja inverzne matrice dobro je izračunati provjeru

rezultata, to jest vidjeti da li je:

A-1 A = I

Ovdje je:

A-1 A =

300

030

003

3

1

212

130

121

336

102

537

3

1 = I

Korištenjem osobina matrica i operacija nad matricama moguće je

rješavati matrične jednačine. Posmatrajmo jednačinu:

A X = B


33

Gdje su A i B date matrice, a X nepoznata matrica. Ako je A regularna

kvadratna matrica ova jednačina se može lako riješiti množenjem jednačine

invreznom matricom, A-1:

A X = B A-1

A-1 A X = A-1 B

I X = A-1 B

X = A-1 B

Ova matrična jednačina može se koristiti za rješavanje sistema linearnih

jednačina. Posmatrajmo sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate:

a11 x + a12 y + a13 z = b1

a21 x + a22 y + a23 z = b2

a31 x + a32 y + a33 z = b3

Sistem se može napisati u matričnom obliku:

131333 3

2

1

333231

232221

131211

xbbb

xzyx

xaaaaaaaaa

Odnosno:

A X = B

pa je, rješenje sistema:

X = A-1 B

kao što je ranije dokazano.


34


x + 2y + z = 5

3y – z = 1

2x + y + 2z = 7

U matričnom obliku ovaj sistem je:

7

1

5

212

130

121

zyx

Ili AX = B, pa je X = A-1 B. Pošto smo za ovu matricu A već ranije našli

inverznu matricu, to je:

2

1

1

7

1

5

1123

10

3

23

51

3

7

zyx

Dakle rješenje je:

x = 1 y = 1 i z = 2


35

1.5. Rang matrice

Pod pojmom rang matrice podrazumjeva se red najveće regularne

submatrice, date matrice. Na primjer, matrica:

431314

2123

3211

x

Može imati maksimalan rang tri, jer najveća kvadratna submatrica može

biti trećeg reda, tj. 3x3. Međutim, sve submatrice trećeg reda nisu regularne

jer su im determinante jednake nuli. Lako je uočiti da postoje regularne

submatrice drugog reda, tj. 2x2. Kao npr.submatrica u gornjem lijevom uglu:

23

11

Čija je determinanta 5. Dakle, rang ove matrice je 2. Umjesto ispitivanja

regularnosti svih submatrica, postoje efikasniji metodi za određivanje ranga

matrice korišćenjem pojma sličnosti matrica. Naime, dvije matrice su slične

tj.imaju isti rang ako se od jedne može doći do druge množenjem vrsta

(kolona) brojem, različitim od nule i sabiranjem sa drugim vrstama

(kolonama). Takođe, rang se ne mijenja ako vrste (kolone) zamjene mjesta.

Cilj ove procedure je da slične matrice imaju što više nula da bi se lakše

odredio rang.


36

U prethodnom primjeru je:

1314

2123

3211

)3(

)4(

)1(11550

11550

3211

0000

11550

3211

Sada se lako vidi da rang matrice ne može biti tri jer su determinante

svih submatrica trećeg reda jednake nuli, jer uvjek imaju treću vrstu

sastavljenu od nula. Lako se vidi da submatrica drugog reda u gornjem

lijevom uglu ima determinantu 5, što znači da je rang polazne matrice 2.

Rang matrice je tjesno povezan sa rješavanjem sistema linearnih

jednačina. Ranije je pokazano da se sistemi linearnih jednačina koji imaju isti

broj jednačina i nepoznatih mogu uspješno riješavati pomoću determinanti i

matrica.

Međutim, kada u sistemu jednačina broj jednačina i nepoznatih nije

isti, jedno od osnovnih pitanja jeste kada je sistem rješiv i ako jeste koliko

ima rješenja i kako se mogu naći.

Može se pokazati da sistem ima rješenja ako je rang matrice sistema

jednak rangu proširene matrice. Matricu sistema A čine koeficenti uz

nepozante. Proširenu matricu B dobijamo kada prethodnoj dodamo kolonu

slobodnih članova.


37


x + y – 2z = 1

2x – y +z = 1

3x +2y – z = 8

3x –y +4z = 7

Da bi se ustanovilo da li sistem ima rješenja, treba prvo odrediti

rangove pomenutih matrica:

7413

8123

1112

1211

)3(

)3(

)2(

41040

5510

1530

1211

)4(

)3(

41040

1530

5510

1211

)1(161000

161000

5510

1211

0000

161000

5510

1211

Sada je očigledno da je rang matrice sistema jednak rangu proširene

matrice, to jest rang (A) = rang (B), što znači da sistem ima rješenja koja se

mogu dobiti iz poslednje matrice:


38

x + y – 2z = 1

– y + 5z = 5

– 10 z = - 16

Iz treće jednačine se vidi da je z = 5

8

10

16

. Zamjenom u prvu

jednačinu je:

– y + 5 5

8 = 5

– y = 1 – 3

y = 3

Zamjenom vrijednosti za y i z, u prvoj jednačini je:

x + 3 – 2 5

8 = 1

x + 3 - 5

16 = 1

x = 1 – 3 + 5

16

x = 5

6

Dakle, ovaj sistem ima jedinstveno (jedno jedino) rješenje:

x = 5

6 , y = 3 i z =

5

8.

Iako je u sistemu bilo više jednačina nego nepoznatih, očigledno je da

je jedna od jednačina linearna kombinacija ostale tri jednačine, što znači da


39

ne sadrži bilo kakvu novu informaciju koja nije sadržana u ostalim

jednačinama.

Posmatrajmo sada jedan primjer sistema jednačina koji ima više

nepoznatih nego jednačina:

x + 2y – z + 2t = 7

2x – y + 3z + t =10

– 2x +y + z + 3t = 10

Prvo treba odrediti rang matrice i rang matrice sistema, da bi se

ustanovilo da li sistem ima rješenja:

)2(

)2(

103112

101312

72121

247150

43550

72121

204400

43550

72121

Vidi se da je rang matrice sistema rang (A) = 3, kao i rang proširene

matrice rang(B) = 3, što znači da sistem ima rješenja. Da bismo ih odredili

pođimo od poslednje matrice:

x + 2y – z + 2t = 7

- 5 y + 5z – 3 t = - 4

4 z + 4 t = 20


40

Pošto ima više nepoznatih nego jednačina jednu ćemo uzeti za

parametar, Na primjer neka je to poslednja nepoznata t. Dakle biće:

x + 2y – z = 7 – 2t

- 5 y + 5z = 3t – 4

4 z = 20 – 4t

Iz poslednje jednačine je z = 5 – t. Kada se dobijena vrijednost

zamjeni u drugu jednačinu biće:

– 5 y = 3 t – 4 - 5(5 – t)

– 5y = – 29 + 8t

y = t5

8

5

29

Zamjenom vrijednosti za y i z u prvu jednačinu dobija se:

x = 7 – 2t – 2( t5

8

5

29 ) + 5 – t

x = t5

1

5

2

Dakle rješenja sistema su:

x = t5

1

5

2 , y = t

5

8

5

29 i z = 5 – t

Ovdje sistem ima beskonačno mogo rješenja jer t može biti bilo koji

realan broj. Ovako napisano rješenje naziva se opšte rješenje. Iz njega se za

neke konkretne vrijednosti parametra t dobijaju takozvana partikularna

rješenja. Na primjer, za t = 3, dobija se partikularno rješenje:


41

x = 1,

y = 1 i

z = 2.

Dakle ukoliko ove vrijednosti zamjenimo u polazni sistem vidi se da

ovo zaista jeste jedno od rješenja sistema.


42

ZADACI ZA VJEŽBANJE

1. Date su matrice:

A =

321

132 B =

431

011 C =

122

321

Na osnovu njih potrebno je odrediti matricu D = 2 A – B + 3C.

2. Odrediti proizvode matrica:

a)

1

4

2

113

221

b)

13

22

31

12

c)

210

111

213

212

d)

221

113

204

101

232

121

3. Data je matrica:

A =

213

041

132

Odrediti matricu B = A2 – 2A + 3I


43

4. Nađi inverzne matrice za date matrice:

a) A =

31

12

b) B =

510

321

123

c) C =

400

230

112

5. Matričnom metodom rješite sisteme jednačina:

a) 3x – y = 1

- x +2y = 3

b) x + 2y – z =1

3x –y + z = 4

x + y – z = 0

c) x + 2z = 3

2x – y = 0

x + y + z = 4

6. Odrediti rang matrica:

a) A =

3221

1213

1121


44

b) B =

4220

2111

4223

2112

c) C =

84064

21211

32123

22121

13211

7. Riješiti sisteme jednačina, primjenom matrične metode:

a) x – y +2z = 4

2x – y +2z = 3

x – 2y +z = 1

4x - 4y +5z = 8

b) x + y + z + t = 5

x – y +2z – t = 0

2x – y – z + 2t = 4

c) 2x – y – z + n + m = 5

x + 2y + z – 2n + m = 6

3x + y - n + 2m = 11


45

TEST PITANJA:

1. Šta je matrica?

2. Kakva je razlika između determinante i matrice?

3. Pod kojim uslovom mogu da se pomnože dvije matrice?

4. Kada je množenje matrica komutativno?

5. Šta je inverzna matrica?

6. Kako se rješava matrična jednačina?

7. Šta je rang matrice i kako se određuje?

8. Koji uslov treba da bude zadovoljen da sistem jednačina ima rješenja?

9. Šta je opšte, a šta partikularno rješenje?


46

III) EKONOMSKE FUNKCIJE

Funkcija predstavlja zakonomjeran odnos između dvije ili više

promjenljivih veličina. Promjenljive veličine mogu biti: nezavisno

promjenljive i zavisno promjenljive, zavisno promjenljive veličine se

izražavaju matematičkim relacijama pomoću nezavisnih promjenljivih

veličina. Uobičajeno je da se nezavisno promjenljive veličine označavaju sa:

x – ako je riječ o funkciji sa jednom nezavisno promjenljivom ili x1, x2, ... , xn

– ukoliko imamo više nezavisno promjenljivih. Zavisno promjenljiva se

uobičajeno označava sa y ili f(x). Oblik zakonomjernog odnosa može biti:

linearan ili nelinearan. Funkcije mogu biti prekidne i neprekidne. Bez obzira

na oblik funkcionalne zavisnosti, opšti izraz funkcionalne zavisnosti

označavamo kao:

y = f (x) ili y = f (x1, x2, ... , xn)

Ekonomske funkcije su matematičke funkcije kojima se izražavaju

zavisnosti između ekonomskih veličina. Ekonomske funkcije omogućavaju

kvatifikovanje i razumijevanje ekonomski veličina, kao i odnosa među njima.

Najpoznatije ekonomske funkcije su:

- funkcija ponude,

- funkcija tražnje,

- funkcija ukupnih, prosječnih i graničnih prihoda,

- funkcija ukupnih prosječnih i graničnih troškova

- funkcija dobiti.


47

U svrhu ekonomskih istraživanja ponašanje funkcije pratimo samo u

prvom kvadrantu (područje gdje obe promjenljive veličine imaju nenegativnu

vrijednost), jer u većini realnih problema samo nenegativne vrijednosti

ekonomskih promjenljivih imaju realno značenje.

1. FUNKCIJA PONUDE

Ponuda proizvoda predstavlja količinu proizvoda koju su proizvođači

ponudili na tržištu. Pri tome, pod proizvodom podrazumijevamo, svaki oblik

proizvoda: gotove proizvode namjenjene neposrednoj upotrebi,

proluproizvode ili sirovine namjenjene proizvodnoj potrošnji, intelektualne

proizvode i usluge.

Veličina ponude zavisi od mnogo faktora, kao što su cijena proizvoda,

troškovi proizvodnje, vremenski i tehnološki uslovi, cijena iz prethodnog

perioda (najizrženija kod poljuprivrednih proizvoda) itd. Dominantan uticaj

na ponudu proizvoda na tržištu izražen je cijenom proizvoda. Obilježimo li

jediničnu cijenu proizvoda koji se nude na tržištu sa p, a količinu proizvoda

koji se nude na tržištu sa qp, zavisnost ponude u odnosu na cijenu proizvoda

možemo izraziti kao:

qp = f (p)

Funkcija tražnje qp = f (p), zavisno od uslova na koje će se primjeniti

ta funkcija, može biti linearna, kvadratna (parabolična), eksponencijalna

(hiperbolička) itd. Da bi određena funkcija ispunila uslov da bude funkcija

ponude, mora ispuniti dva uslova:


48

- kada je cijena veća od nule i količina ponuđenih proizvoda mora biti

veća od nule, što se može zapisati u obliku: p > 0, qp > 0,

- da bude zadovoljen zakon ponude: sa porastom cijena ponuda

proizvoda raste, odnosno funkcija kojom je izražena ponuda mora biti

rastuća, što znači da prvi izvod funkcije mora biti pozitivan, tj:

qp’ > 0, p > 0.

Ukoliko imamo slučaj da je funkcija tražnje data u linearnom obliku,

matematički izraz tražnje biti će:

qp = a + b p

gdje su:

qp – nivo ponude – količina proizvoda koja je ponuđena na tržištu,

p – jedinična cijena proizvoda,

a i b – nepoznati parametri funkcije tražnje, kojima se izražavaju različiti

slučajevi tražnje, a koji se određuju na osnovu datih cijena i njima

odgovarajućih količina,

a – označava minimalnu ponudu proizvoda pri cijeni od 0 N.J,

b – označava prosječan rast ponude za jedinični porast cijene (funkcija

ponude je rastuća funkcija, jer ukoliko cijene proizvoda rastu, na tržištu se

mogu ponuditi veće količine tih proizvoda i obratno).

Ukoliko na tržištu imamo uspostavljen odnos između cijene

proizvoda i cijene tih istih proizvoda, možemo pronaći zakonomjeran odnos

ponude proizvoda od njegove cijene izražen njegovom cijenom. Ukoliko

utvrdimo da je na tržištu ponuđeno qpi (i = 1, 2, ..., n) proizvoda sa cijenom pi

(i = 1, 2, ..., n) koja odgovara ponuđenoj količini proizvoda. Možemo

formirati niz od n linearnih jednačina oblika:

q pi = a + b pi


49

Niz od n linearnih jednačina dobijenih na gore opisan način, saberemo

i tako dobijemo prvu jednačinu sistema jednačina koja se naziva normalna

jednačina. Druga normalna jednačina novog sistema jednačina dobije se tako

da se svaka od prethodnih n jednačina pomnoži koeficjentima a i b, te se

nove jednačine saberu. Iz dobijenog sistema od dvije jednačine sa dvije

nepoznate (a i b) izračunavamo vrijednost nepoznatih parametara funkcije

ponude, a i b.

Kada se utvrdi funkcionalna zavisnost između ponude proizvoda i

njegove cijene, moguće je za bilo koju cijenu utvrditi veličinu ponude, isto

tako je moguće utvrditi za svaki nivo ponude cijenu proizvoda. Opisani

problemi se svode na rješavanje jednačine sa jednom nepoznatom.

Primjer 1. Na jednom tržištu uspostavljen je odnos između ponude

proizvoda (000 komada) i njegove cijene (KM/ kom), prikazan u tabeli 1.

p (KM/ kom) qp (000 kom)

10 9,5

12 10

13 12

14 13

18 15,5

20 18

Tabela 1. Nivo cijena i ponude proizvoda na posmatranom tržištu

Odrediti:

a) funkciju ponude u linearnom obliku tj. qp = a + b p, provjeriti da li

dobijena funkcija ispunjava uslove da se njome može izraziti

ponuda,


50

b) ponudu proizvoda, ukoliko je cijena 16 KM,

c) cijenu proizvoda, ako je ponuda 30.000 komada

Ovdje je: funkcija ponude u obliku linearne zavisnosti ponude

proizvoda u zavisnosti od njihove cijene, izražena u obliku: qp = a + b p.

Nepoznate parametre a i b, tražimo pomoću sistema od dvije normalne

jednačine. Na osnovu podataka u tabeli 1. imamo:

)1(

2018

185,15

1413

1312

1210

105,9

baba

babababa

Pomnožimo li svaku jednačinu odgovarajućim koeficjentom uz b (uz

a je u svakoj jednačini 1), dobijamo:

)2(

40020360

32418279

19614182

16913156

14412120

1001095

bababababa

ba

Sada saberemo jednačine sistema (1) i (2), te dobijamo dvije

normalne jednačine:

1. normalna jednačina je: 78 = 6a + 87b (3)

2. normalna jednačina je: 1.192 = 87a + 1.333 b (4)

Rješavanjem sistema jednačina (3) i (4) dobijamo:


51

78 = 6a +87b a = 13 – 14,5b

1.192 = 1.131 – 1.261,5b + 1.333b 61 = 71,5 b b = 0,85

b = 0,85

a = 13 – 14,5 0,88 = 0,675

Funkcija ponude može se izraziti u obliku:

qp = 0,675 + 0,85 p

Dobijene vrijednosti parametara a i b imaju sledeća značenja:

- Minimalna ponuda proizvoda na ovom tržištu je 675 komada, ukoliko

je cijena proizvoda 0, na tržištu će se ponuditi 675 komada ovog

proizvoda. Ova vrijednost nema realno značenje, ukoliko bi ta

vrijednost doslovno protumačena to bi značilo da je na tržištu moguće

ponuditi količinu od 675 komada proizvoda besplatno (sa cijenom 0).

- Ukoliko se cijena proizvoda poveća za 1 KM, ponuda proizvoda na

ovom tržištu povećati će se u prosjeku za 850 komada, i obrnuto.

Ova funkcija ima osobine funkcije tražnje, jer je qp >0 za svako p > 0

i q'p = 0,85 > 0, p , tako da ova funkcija ispunjava uslove da se njome može

izraziti ekonomska funkcija ponude.

b) qp (16) = 0,675 + 0,85 16 = 14,275

Ukoliko bi cijena proizvoda bila 16 KM, ponuda na tržištu bila bi

14.275 komada.

c) 30 = 0,675 + 0,85 p p = 85,0

325,29 = 34,5 KM/kom

Ukoliko je ponuda na tržištu 30.000 komada, proizvodi se nude po

cijeni od 34,5 KM/ kom.


52

Primjer 2. Koje od navedenih funkcija ispunjavaju uslove da se

mogu smatrati funkcijama ponude:

a) qp = 2p2 + p + 0,2

b) qp = 3

1

p + 7

c) qp = 4p – 5

Ovdje je:

a) Funkcija qp = 2p2 + p + 0,2 > 0, p>0,

q'p = 4p + 1 >0, - p4

1,

tako da se ovom funkcijom može iskazivati tražnja u oblasti od

4

1 do + , tako da ovo može biti funkcija ponude.

b) Funkcija qp = 3

1

p + 7 > 0, kada je p > 0, q'p = 3

4

3

1 p < 0, p >

0, tako da ovo ne može biti ekonomska funkcija ponude, jer je

opadajuća na dijelu na kome je p > 0.

c) Funkcija qp = 4p – 5 > 0, za p > 4

11 , q'p = 4 >0, p, tako da

se ovom funkcijom može iskazivati tražnja samo za cijene veće

od 4

11 .


53

2. FUNKCIJA TRAŽNJE

Tražnja predstavlja količinu proizvoda koja se potražuje na tržištu.

Tražnja nekog proizvoda (qt) zavisi od jedinične cijene proizvoda (p),

jedinične cijene supstitutivnih proizvoda (ps), cijene komplementarnih

proizvoda (pk), od dohotka potrošača (d), te od ostalih faktora (o), koji su:

opšti nivo cijena, struktura potrošača, navike potrošača za kupovinu

proizvoda, ukusa potrosača, vremena itd. Sve faktore koji utiču na tražnju je

nemoguće obuhvatiti, a pojedine faktore je teško kvantifikovati. Opšti oblik

funkcije tražnje može se zapisati u obliku:

qt = f (p, ps, pk, d, o)

Iz opšteg oblika funkcije tražnje mogu se izvesti sledeći oblici

funkcije tražnje, kojima su obuhvaćeni neki od faktora koji imaju dominantan

uticaj na tražnju, ti oblici su:

1. qt = f (p)

2. qt = f (p, ps, pk)

3. qt = f (p, ps, pk, d)

Ukoliko se osvrnemo na sve oblike funkcionalne zavisnosti tražnje

vidimo da svaki oblik funkcionalne zavisnosti uključuje jediničnu cijenu

proizvoda, što znači da jednična cijena proizvoda ima dominantan uticaj na

tražnju proizvoda na tržištu.

Funkcija tražnje zavisno od broja faktora ili uslova na koje se

primjenjuje može biti linearna, kvadratna (parabolična), eksponencijalna


54

(hiperbolička) itd. Funkcija f (p) ili bilo koja od navedenih funkcija može biti

funkcija tražnje ako ispunjava sledeće uslove:

- p > 0, q > 0, što znači da cijene i tražene količine moraju biti

pozitivne (negativne cijene i količine nemaju ekonomski smisao) i

- mora biti zadovoljen zakon tražnje: kada cijene rastu tražnja za

proizvodima opada, što proizilazi iz: qt' < 0, p > 0, prvi izvod funcije

tražnje mora biti negativan, da bi funkcija bila opadajuća.

Ukoliko se prema posmatranim uslovima na tržištu funkcija tražnje

prilagođava linearnoj zavisnosti i ukoliko tražnju posmatramo u zavisnosti od

jedinične cijene, funkcija tražnje se može iskazati na sledeći način:

qt = a + b p

gdje su:

qt – nivo tražnje – količina proizvoda koja se potražuje na tržištu,

p – jedinična cijena proizvoda,

a i b – nepoznati parametri funkcije tražnje, kojima se izražavaju različiti

slučajevi tražnje, a koji se određuju na osnovu datih cijena i njima

odgovarajućih količina,

a – označava maksimalnu tražnju proizvoda pri cijeni od 0 N.J,

b – označava prosječan pad tražnje za jedinični porast cijene (funkcija tražnje

je opadajuća funkcija, jer ukoliko cijene proizvoda rastu, na tržištu se

potražuju manje količine tih proizvoda i obratno).

Opservacijom tržišta možemo pratiti ponašanje tražnje u odnosu na

promjenu jedinične cijene proizvoda, te iz navedenog, možemo pronaći

zakonomjeran odnos ponude proizvoda od njegove cijene izražen njegovom

cijenom. Ukoliko utvrdimo da se na tržištu potražuje qti (i = 1, 2, ..., n)

proizvoda sa cijenom pi (i = 1, 2, ..., n) koja odgovara ponuđenoj količini

proizvoda. Možemo formirati niz od n linearnih jednačina oblika:


55

q ti = a + b pi

Niz od n linearnih jednačina dobijenih na gore opisan način,

saberemo i tako dobijemo prvu jednačinu sistema jednačina koja se naziva

prva normalna jednačina. Druga normalna jednačina novog sistema jednačina

dobije se tako da se svaka od prethodnih n jednačina pomnoži koeficjentima

a i b, te se nove jednačine saberu. Iz dobijenog sistema od dvije jednačine sa

dvije nepoznate (a i b) izračunavamo vrijednost nepoznatih parametara

funkcije ponude, a i b.

Ukoliko se utvrdi funkcionalni oblik zavisnosti tražnje proizvoda od

njegove cijene moguće je utvrditi kolika će biti tražnja na tržištu pri datom

nivou cijena. Jednako tako, moguće je utvrditi za svaki nivo tražnje jediničnu

cijenu proizvoda.

Primjer 3. Ukoliko je opservacijom tržišta ustanovljeno da su

jedinične cijene i tražnja koja odgovara tim cijenama bile, kao što je

prikazano u tabeli 2.

p (KM/ kom) qt (000 kom)

10 28

12 25

13 21

14 17

18 12

20 8

Tabela 2. Nivo cijena i tražnje proizvoda na posmatranom tržištu


56

Potrebno je odrediti:

a) funkciju tražnje u linearnom obliku tj. qt = a + b p, te provjeriti da

li dobijena funkcija ispunjava uslove da se njome može izraziti

tražnja,

b) tražnju proizvoda, ukoliko je cijena 16 KM,

c) cijenu proizvoda, ako je ponuda 30.000 komada

Ovdje je: funkcija tražnje proizvoda izražena u linearnom obliku, te

na bazi uočenog nivoa cijena i tražnje tražimo nepoznate parametre funkcije a

i b. Na bazi podataka u tabeli 2. imamo:

)1(

208

1812

1417

1321

1225

1028

babababababa

Pomnožimo li svaku jednačinu odgovarajućim koeficjentom uz b (uz a

je u svakoj jednačini 1), dobijamo:

)2(

40020160

32418216

19614238

16913273

14412300

10010280

bbababababa

Sada saberemo sve jednačine iz sistema jednačina (1) i (2), te

dobijemo novi sistem od dvije normalne jednačine, odnosno:

1. normalna jednačina: 111 = 6a + 87 b i

2. normalna jednačina: 1.467 = 87a + 1.333 b, odavde je:


57

111 = 6a + 87 b bba 5,145,186

87

6

111

1.467 = 87 (18,5 – 14,5 b) + 1.333 b = 1.609,5 – 1.261,5 b + 1.333b

1.467 – 1609,5 = (1.333 – 1.261,5)b – 142,6 = 71,5b

99,15,71

5,142

b

a = 18,5 – 14,5 b a = 18,5 + 28,86 = 43,36

Sada imamo, da je funkcija tražnje na ovom tržištu, data u linearnom obliku:

qt = 43,36 – 1,99 p

Na osnovu dobijenih vrijednosti parametara a i b, saznajemo:

- maksimalna tražnja za ovim proizvodom iznosi 43.360 komada, to je

tražnja koju možemo očekivati ako cijena proizvoda bude 0 KM,

- kada se cijena poveća za 1 KM, tražnja za ovim proizvodom će se u

prosjeku smanjiti za 1.990 komada.

- Funkcija qt je pozitivna u intervalu ; 21,79 tako da ima osobine

funkcije tražnje za sve cijene manje od 21,79;

- qt' = – 1,99 < 0, p , tako da je ova funkcija opadajuća

Funkcija qt = 43,36 – 1,99 p može biti funkcija tražnje za cijene manje od

21,79 KM.

b) ukoliko cijena proizvoda bude 16 KM, možemo očekivati tražnju od:

qt (16) = 43,36 – 1,99 16 =11,52 (11.520 komada)

c) ukoliko tražnja iznosi 30.000 komada, tada je jedinična cijena proizvoda:

30 = 43,36 – 1,99 p 1,99 p = 43,36 – 30 1,99 p = 13,36

71,699,1

36,13 p KM


58

Primjer 4. Koje od navedenih funkcija mogu predstavljati funkciju

tražnje i zašto:

a) qt = – p2 + 4p – 3

b) qt = p2 – 1

c) qt = ep

Ovdje je:

a) qt 1,2 = 2

24

2

12164

, tako da je qt1 = 1; qt2 = 3, sada

imamo, qt > 0, 1 < p < 3, tako da bi ova funkcija mogla

predstavljati tražnju samo za cijene koje se nalaze u intervalu od 1 do

3 N.J.,

qt' = – 2p + 4, qt' < 0, za p > – 2 , funkcija je opadajuća za

cijene veće od - 2 N.J,

Kada sumarno sagledamo oba uslova, zaključujemo da ova funkcija

može biti funkcija tražnje samo za cijene od 1 do 3 N. J.

b) qt 1,2 = 1 , qt > 0, za p ,11, , tako da bi ova funkcija

mogla biti funkcija tražnje za cijene veće od 1 N.J,

qt' = 2p, qt' > 0, za p > 0, za cijene veće od 0 N.J. ova funkcija

je rastuća

zaključujemo da ova funkcija ne može biti funkcija tražnje,

c) qt > 0, p, funkcija je pozitivna za sve pozitivne vrijednosti

cijena,

qt' = p ep > 0, za p > 0,


59

3. USLOV RAVNOTEŽE NA TRŽIŠTU

Ravnotežu na tržištu imamo ako su ponuda i tražnja jednake, ili

ravnotežu na tržištu imamo za onu cijenu odnosno količinu kada se ponuda i

tražnja proizvoda izjednačavaju. Matematički izraz ravnoteže na tržištu može

se zapisati u obliku:

qp = qt

Cijena koja odgovara ravnoteži na tržištu označava se sa p0, količina

koja odgovara ravnoteži na tržištu je: qt0 (p0) = qp0 (p0).

Primjer 5. Polazeći od funkcije ponude iz primjera 1. i funkcije

tražnje iz primjera 3. utvrditi cijenu odnosno količinu za koju je

uspostavljena ravnoteža na tržišu?

Ovdje je: qp = 0,675 + 0,85 p i qt = 43,36 – 1,99 p, pa imamo:

Ravnoteža na tržištu postže se kada je qp = qt, odnosno:

0,675 + 0,85 p = 43,36 – 1,99 p

0,85 p + 1,99 p = 43,36 – 0,675

2,84 p = 42,685

029,1584,2

685,42p

Cijena sa kojom se postiže ravnoteža na tržištu je p0 = 15,029 KM, dok toj

cijeni odgovara količina qt0 = qp0 = 13.452 komada.

(qt = 43,36 – 1,99 15,029; qp = 0,675 + 0,85 15,029).


60

Grafički se ravnoteža može prikazati na grafikonu 1.

Grafikon 1. Grafički prikaz ravnoteže na tržištu; tačka u kojoj se

sijeku grafikoni funkcija ponude (qp) i tražnje (qt)

Primjer 6. Ukoliko su funkcija ponude, odnosno tražnje date u

obliku: qp = 2ep i qt = 10e – p , odrediti cijenu, odnosno količinu za koju se

postiže ravnoteža na tržištu?

Ovdje je: qp = 2ep i qt = 10e – p, imamo: ravnoteža na tržištu postiže se

kada je

qp = qt

2ep = 10e – p

ep = 5e – p

lnep = ln (5e – p)

ln ep = ln5 + lne– p

p = 1,0694 – p

2 p = 1,6094

8047,02

6094,1p

05

101520253035404550

0 5 10 15 20 25

qtqp


61

Cijena za koju postižemo ravnotežu na tržištu iznosi: p0 = 0,8047 N.J,

dok je pri tome količina koja se traži i količina koja se nudi na tržištu qp0 = qt0

= 4,4721. Ravnoteža na posmatranom tržištu može se prikazati na grafikonu

2.



Primjer 7. Na jednom tržištu tražnja za proizvodom „x“, data je

funkcijom tražnje qt = 13e– p2 , dok je ponuda tog istog proizvoda data

sledećom funkcijom: qp = 5e3p. Potrebno je odrediti uslove pod kojima

imamo ravnotežu na tržištu ovog proizvoda?

Ovdje je: qt = 13e– p2 i qp = 5e3p, ravnotežu imamo kada je ispunjen

uslov: qt = qp, pa je:

13e– p2 = 5e3p

ln(13e– p2) = ln(5e3p)

ln13 + ln(e– p2) = ln5 + ln (e3p)

2,56495 – p2 = 1,60944 + 3p

– p2 – 3p + 0,95551 = 0

0

2

4

6

8

10

12

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

qp

qt


62

p1,2 = 2

58,33

2

82204,393

p1 = – 3,29; p2 = 0,29

pošto je p1 < 0, kao uslov ravnoteže prihvatamo cijenu od 0,29 N.J, količina

koja odgovara ravnotežnoj cijeni iznosi: qt0 = qp0 = 11,95. Ravnoteža na

tržištu posmatranog proizvoda može se ilustrovati prikazom na grafikonu 3.



4. ELASTIČNOST KAO MJERA

MEĐUZAVISNOSTI EKONOMSKIH VELIČINA

Elastičnost predstavlja sposobnost jedne veličine da se promjeni više

ili manje pod dejstvom neke druge veličine sa kojom je ta veličina u

funkcionalnoj vezi. Ukoliko su dvije veličine x i y međusobno povezane

funkcionalnom vezom tako da vrijedi: y = f(x), i ako su x i y neprekidne

varijable imamo kontinuelnu elastičnost ili elastičnost u jednoj tački.

0

20

40

60

80

100

120

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

qt

qp


63

Iz navedenog zaključujemo, da elastičnost ponude proizvoda znači

osobinu ponude da reaguje na promjenu cijene. Tako da ukoliko imamo

funkcionalnu međuzavisnost između ponude proizvoda (qt) i njegove cijene

(p), odnosno da možemo reći da vrijedi:

qt = f(p) ,

matematički izraz za elastičnost ponude možemo zapisati u obliku, količnika

relativnih promjena ponude i cijene:

Ep = p

qqp

pp

qq

p

p

p

p

,

Pri čemu su:

Ep – koeficijent elastičnosti ponude,

qp i p, apsolutne promjene ponude, odnosno cijene proizvoda, dok

su

p

p

qq

i pp

, relativne promjene navedenih veličina.

Ako je funkcija ponude neprekidna i diferencijalna na posmatranom

intervalu i kada Δp 0, vrijedi:

Ep = ,p

p

qqp

Zaključujemo da je elastičnost ponude granična vrijednost količnika

relativnih promjena ponude i cijene kada apsolutna promjena cijene teži nuli.

Takođe, elastičnost tražnje označava osobinu tražnje proizvoda na

tržištu da se promjeni u zavisnosti na promjenu cijene toga proizvoda.


64

Pođemo li od saznanja da tražnja za određenim proizvodom (qp) zavisi od

njegove cijene, odnosno da vrijedi:

qp = f(p),

navedeno se može zapisati na sledeći način:

Et = pq

qp

pp

qq

t

t

t

t

Pri čemu su:

Et – koeficijent elastičnosti tražnje,

qt i p, apsolutne promjene tražnje, odnosno cijene proizvoda, dok su

t

t

qq

i pp

, relativne promjene navedenih veličina.

Ako je funkcija tražnje neprekidna i diferencijalna na posmatranom

intervalu i kada Δp 0, vrijedi:

Et = ,t

t

qqp

Zaključujemo da elastičnost tražnje predstavlja graničnu vrijednost

količnika relativnih promjena tražnje i cijene kada apsolutna promjena cijene

teži nuli.

Elastičnost ponude, odnosno tražnje u odnosu na cijenu proizvoda se

primjenjuje jer:


65

- predstavlja relativnu mjeru međuzavisnosti između ponude (tražnje)

proizvoda i njegove cijene i izražava se u procentima;

- ne zavisi od jedinice mjere u kojoj se izražavaju pomenute veličine.

Ukoliko se cijena proizvoda promjeni za 1%, koeficijent elastičnosti

ponude (tražnje) pokazuje za koliko % će se promjeniti ponuda (tražnja), što

proizilazi iz:

Ako je: %1100

101,0

pp

, tada je

Ep = 100

100

1

p

pp

p

p

p

qqq

q

pp

qq

, odnosno

Et = 100

100

1

t

tt

t

t

t

qqq

q

pp

qq

Pojedine vrijednosti koeficjenta elastičnosti ukazuju na sledeće,

ukoliko je:

│Ep│ (│Et│) < 1 – tada ponuda (tražnja) proizvoda nije elastična u

odnosno na cijenu, relativna promjena cijene je veća u odnosu na relativnu

promjenu ponude (tražnje) toga proizvoda,

│Ep│ (│Et│) > 1 – imamo slučaj da je ponuda (tražnja) proizvoda

elastična u odnosu na cijenu, relativna promjena cijena je manja u odnosu na

relativnu promjenu ponude (tražnje) toga proizvoda,

│Ep│ (│Et│) = 1 – tada imamo slučaj jedinične elastičnosti ponude

(tražnje) u odnosu na cijenu, koliko se promjeni cijena toliko se promjeni i

ponuda (tražnja),


66

│Ep│ (│Et│) = 0 – imamo slučaj vertikalne odnosno savršene

neelastičnosti ponude (tražnje) proizvoda u odnosu na njegovu cijenu, to je

slučaj kada ponuđena (tražena) količina proizvoda ne reaguje na promjenu

cijene toga proizvoda,

│Ep│ = – imamo horizontalnu odnosno savršenu elastičnost

ponude proizvoda u odnosu na cijenu, tako da najmanje smanjenje cijene

proizvoda dovodi do pada ponuđene količine na 0, odnosno da najmanje

povećanje cijene proizvoda dovodi povećanja ponuđene količine do

beskonačnosti,

│Et│ = – imamo horizontalnu odnosno savršenu elastičnost tražnje

proizvoda u odnosu na cijenu, tada najmanje smanjenje cijene proizvoda

dovodi do povećanja tražnje do beskonačnosti, kao i da najmanje povećanje

cijene proizvoda dovodi do pada tražnje za tim proizvodom na 0.

Pojedine funkcije tražnje odnosno ponude mogu imati različit

koeficijent elastičnosti na pojedinim intervalima.

Primjer 8. Odrediti koeficjent elastičnosti, područje elastičnosti i dati

interpretaciju za cijenu p = 3 KM, za funkcije:

a) qt = 43,36 – 1,99 p

b) qp = 0,675 + 0,85 p

a) ovdje je: qt = 43,36 – 1,99 p, pa je:

- područje definisanosti ove funkcije je D(p) = [0;21,79],

- Et = 36,4399,1

99,1)99,1(

99,136,43,

p

pp

pqqp

tt

, pa imamo:

- Et(3) = – 0,16, tako da se pri nivou cijena p = 3 KM, za povećanje

cijena za 1%, tražnja za ovim proizvodom se smanjuje za 0,16 %,


67

- │Et│ > 1, – 1,99p > – 1,99p + 43,36 0 · p > 43,36, te imamo

nemoguću nejednačinu, tj. zaključujemo, da je

│Et│ < 1, p (0;21,79),

│Et│= , za p = 21,79,

│Et│= 0, za p = 0

Funkcija tražnje je neelastična u odnosu na cijenu za sve vrijednosti

cijena koje se nalaze u domenu funkcije tražnje, osim za cijene na rubovima

domena, kada je cijena 0 KM imamo savršenu neelastičnost, a za cijenu

21,79 KM imamo savršenu elastičnost tražnje.

b) Ovdje je: qp = 0,675 + 0,85 p, pa je:

- područje definisanosti ove funkcije je D(p) = [0,+ ]

- Ep = 675,085,0

85,085,0

85,0675,0,

pp

ppq

qp

pp

, pa imamo:

- Ep(3) = 0,79, zaključujemo da ukoliko se pri nivou cijena p = 3 KM,

povećanje cijena od 1%, prouzrokovaće povećanje tražnje za 0,79%,

- │Ep│> 1, tj. 0,85 p > 0,85 p + 0,675 0 · p > 0,675, tako dobijamo

nemoguću nejednačinu, tj. zaključujemo:

│Et│ < 1, p (0, + ),

│Et│= 1, za p = +

│Et│= 0, za p = 0,

Te je, funkcija ponude neelastična za sve cijene iz domena funkcije

ponude, osim za cijene na rubu domena. Za cijenu 0 KM imamo savršenu

neelastičnost ponude, a za beskonačno veliku cijenu imamo jediničnu

elastičnost ponude.

Primjer 9. Odrediti područja elastičnosti funkcije tražnje

qt = 3 p333 .


68

Ovdje je: qt = 3 p333 , pa imamo:

- navedena funkcija definisana je za cijene za koje vrijedi:

33 – 3p ≥ 0, odnosno kada je

33 ≥ 3p p 11,

tako da je domen navedene funkcije D(qt) = [0,11],

Et = ,t

t

qqp =

)333(2

3)3(

3332

13

3333 pp

ppp

Prema navedenom imamo:

│Et│= , za p = 11, tako da za cijenu od 11 N.J. imamo savršenu

elastičnost tražnje,

│Et│= 0, za p = 0, tako da za cijenu od 0 N.J. imamo savršenu

neelastičnost tražnje,

│Et│< 1, kada je 3p < 2(33 – 3p) 9p < 66 p < 3

22

9

66 , odnosno

kada p (0, 3

22),

│Et│= 1, kada je p = 3

22 N.J. imamo jediničnu elastičnost tražnje,

│Et│ > 1, kada je 3p > 2(33 – 3p) 9p > 66 p > 3

22

9

66 , odnosno

za cijene iz intervala: p ( 11,3

22).

Primjer 10. Odrediti područja elastičnosti funkcije ponude qp = p3 –

3p2 + 3p – 1.

Ovdje je: qp = p3 – 3p2 + 3p – 1, te je ova funkcija definisana za sve

cijene veće od 1 N.J, tj. D(p) = (1, + ) pa imamo:


69

Ep = ,p

p

qqp =

)1(

3

)1(

)1(3)363(

133 3

22

23

p

pp

ppppppp

p,

│Ep│= + , za p = 1, tako da za cijenu od 1 N.J. imamo savršenu

elastičnost tražnje,

│Ep│ < 1, kada je 3p < (p – 1) 2p < – 1 p < 2

1 , dok cijene

koje su manje od ove cijene nisu u oblasti u kojoj se nalazi oblasti u kojoj se

funkcija qp predstavlja funkciju ponude,

│Ep│ > 1, kada je 3p > (p – 1) 2p < – 1 p > 2

1 , odnosno za

cijene iz intervala: p (0,+ ), p 1.

Primjer 11. Odrediti koeficjent elastičnosti funkcije tražnje

qt = 1

1

p i protumačiti rezultat za p = 3.

Ovdje je: domen funkcije tražnje je, D(p) = (1, + ),

Et = 1)1(

1

1

1 2,

p

pp

p

pqqp

tt

Et(3) = 2

3

Ako cijenu proizvoda na nivou p = 3 povećamo za 1 %, tražnja za tim

proizvodom će pasti za 1,5 %.


70

5. FUNKCIJA PRIHODA

Za naše potrebe razlikovaćemo:

- ukupni prihod, P

- prosječni prihod p i

- granični prihod p'.

Ukupni prihod (P) predstavlja funkciju dvije promjenljive:

- količine proizvoda realizovanih na tržištu (q) i

- prodajne cijene proizvoda (p).

Ukupni prihodi se izračunavaju se kao proizvod realizovane količine

proizvoda na tržištu i prodajne cijene jedinične količine proizvoda:

P = f(p,q) = p q

Funkcija ukupnih prihoda može biti zapisana, na dva načina:

- preko količina realizovanih proizvoda, u obliku:

P = pq = q (q),

gdje je: p = (q), dok je (q) – inverzna funkcija funkcije tražnje

- preko prodajne cijene (p), u obliku:

P = pq = p f(p),

gdje je: q = f(p), a f(p) – funkcija tražnje

Kako se funkcija ukupnih prihoda izražava pomoću funkcije tražnje,

to funkcija tražnje određuje područje definisanosti funkcije ukupnih prihoda.


71

Funkcija prihoda, zavisno od uslova na koje se primjenjuje, može biti:

linearna, stepena, eksponencijalna. Funkcija ukupnih prihoda može biti data

ili je u nekim slučajevima treba odrediti.

Funkcija ukupnih prihoda se određuje preko funkcije tražnje, na

naprijed opisan način. Maksimalan prihod se postiže za onu cijenu ili

količinu za koju je prvi izvod funkcije jednak 0, a drugi izvod negativan, što

zapisujemo na sledeći način:

P(p0,q0) = Pmax, P' = 0 i P'' < 0

Prosječan prihod dobija se kao količnik ukupnih prihoda i realizovane

količine, što zapisujemo na sledeći način:

qPp = (p)

Iz čega se vidi da je funkcija prosječnih prihoda identična inverznoj

funkciji funkcije tražnje.

Granični prihod predstavlja promjenu ukupnih prihoda kada se

prodajna cijena promjeni za Δp, odnosno ako se realizovana količina

promjeni za 1 jedinicu. Ako se cijena promjeni za mali broj jedinica Δp 0,

tada je:

,

0lim P

pP

p

Potrebno je da granični prihod P' pokaže, takođe, za koliko se

promjeni ukupan prihod kada se ralizovana količina promjeni za 1 jedinicu.

Ukoliko je Δq = 1 relativno malo u odnosu na količinu, vrijedi dp = Δp i dq =

Δq, pa imamo:


72

P(q+Δq) – P(q) = P'dq

P(q+Δq) – P(q) = P'Δq, kako je Δq = 1, imamo:

P(q+1) – P(q) = P'

Pomoću graničnih prihoda saznajemo intervale rasta, odnosno

opadanja funkcije ukupnih prihoda, te ekstremne tačke funkcije ukupnih

prihoda. Ako je, za određene količine realizovanih proizvoda:

- P' < 0, funkcija ukupnih prihoda opada za te količine proizvoda,

- P' > 0, funkcija ukupnih prihoda raste,

- P' = 0, funkcija ukupnih prihoda ima ekstremnu tačku, ukoliko je za

istu količinu, drugi izvod funkcije P'' < 0, funkcija ima maksimum,

ako je P'' < 0, funkcija ima minimum, ukoliko je P'' = 0 funkcija ima

prevojnu tačku.

Primjer 12. Jedno preduzeće u toku šest mjeseci ostvarilo je

realizaciju proizvoda „x“, kako je prikazano u tabeli 3:

Mjesec Prodajna cijena u KM

(p)

Realizovana količina

000 komada (q)

P = pq

I 10 1.000 10.000

II 12 900 10.800

III 13 850 11.050

IV 14 700 9.800

V 14,5 600 8.700

VI 15 500 7.500

Tabela 3. Realizovane cijene i količine proizvoda na posmatranom tržištu


73

Potrebno je: pomoću funkcije tražnje u linearnom obliku, naći

funkciju ukupnih, prosječnih i graničnih prihoda.

Ovdje je: funkcija ukupnih prihoda P = pq = q (q). Funkcija tražnje

je linearna funkcija oblika qt = a + bp. Polazeći od podataka u tabeli 3.

formiramo dva sistema od po 6 linearnih jednačina (1) i (2), pa imamo:

)1(

15500

5,14600

14700

13850

12900

10000.1

abab

ababab

ab

)2(

15225500.7

5,1425,210700.8

14196800.9

13169050.11

12144800.10

10100000.10

abab

abababab

Sabiranjem jednačina ova dva sistema dobijamo dvije normalne

jednačine:

4.550 = 78,5 b + 6 a a = 758,33 – 13,08b

57.850 = 1.044,25 b + 78,5a

758,33 – 13,08 b = a

57.850 = 1.044,25 b + 78,5(758,33 – 13,08b) =

59.529,17 – 1.027,04 b – 1.678,91 = 17,21 b b = – 97,57

b = – 97,57

a = 758,33 – 13,08 · (– 97,57) = 758,33 + 1.276,46 = 2.034,79

Funkcija tražnje je: qt = – 97,57p + 2.034,79, pa odavde dobijamo inverznu

funkciju funkcije tražnje (q) = 85,2057,97

q

, sada imamo da je:

P = (q) q = qq85,20

57,97

2


74

Prosječan prihod je:

p = qP

,

tako da je prihod po jedinici realizovane količine jednak prodajnoj cijeni.

Funkcija graničnh prihoda je:

P' = – 0,0205 q + 20,85.

Primjer 13. Ukoliko je tražnja za proizvodom „x“data funkcijom qt =

2e-p, odrediti funkciju ukupnih troškova, kao i funkciju graničnih troškova, te

pri kojoj cijeni (količini) preduzeće koje plasira proizvod „x“, može očekivati

maksimalan prihod?

Ovdje je: qt = 2e-p , tako da je funkcija ukupnih troškova P = pqt, pa

imamo:

P = p 2e-p = pep2

,

Što predstavlja funkciju ukupnih prihoda izraženu pomoću cijene

proizvoda.

Inverzna funkcija funkcije tražnje je: (p) , koja se dobije iz funkcije

taražnje je:

qq

qe

qe

eq

q

q

q

2ln)(

2lnln

2

2

)(

)(

)(


75

Funciju ukupnih prihoda možemo izraziti i pomoću kličine proizvoda,

što je:

P = q (q) = q q2

ln

Funkcija prosječnih troškova je:

qq 2

ln)(

Funkcija graničnih troškova je P', pa imamo:

P' = 2e-p(1 – p)

P' = 0, kada je p = 1 i q = 0,74.

Kako je P''(1) < 0, za cijenu od 1 N.J. imamo maksimum funkcije ukupnih

prihoda.

- Funkcija ukupnih prihoda raste za cijene manje od 1 N.J;

- Za cijenu od 1 N.J, funkcija ukupnih troškova postiže maksimum;

- Za cijene veće od 1 N.J, funkcija ukupnih prihoda opada.

Funkcije tražnje ukupnih, prosječnih i graničnih troškova u zavisnosti

od cijene, odnosno realizovane količine možemo grafički prikazati na

grafikonu broj 4. odnnosno grafikonu broj 5.

Grafikon 4. Grafički prikaz tražnje, ukupnih i graničnih prihoda u

zavisnosti od cijene proizvoda

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4

q

P

p`


76

Grafikon 5. Grafički prikaz prosječnih, ukupnih i graničnih prihoda u

zavisnosti od realizovane količine proizvoda

Primjer 14. Ukoliko je tražnja proizvoda data funkcijom tražnje

qt = e-p,polazeći od funkcije tražnje:

a) odrediti funkciju ukupnog i graničnog prihoda u funkciji cijene

proizvoda;

b) odrediti funkciju ukupnih i graničnog prihoda u funkciji količine

proizvoda;

c) izračunati cijenu i količinu za koju funkcija ukupnih prihoda dostiže

maksimum;

d) koristeći funkciju graničnih prihoda izračunati interval rasta

ukupnog prihoda;

e) grafički ilustrovati funkciju ukupnih i graničnih prihoda.

Ovdje je qt = e-p, tako da je D(p) = [0,+ ], jer je funkcija tražnje

opadajuća i pozitivna za sve cijene veće od 0 N.J, pa imamo:

a) funkcija ukupnih prihoda u funkciji cijene proizvoda je:

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

pPp`


77

P = pq = p e-p

Funkcija graničnih prihoda u funkciji cijene, ima oblik:

P' = e-p – pe-p = (1 – p) e-p

b) funkcija ukupnih prihoda u funkciji realizovane količine je:

P = q (q)

gdje je (q) – inverzna funkcija funkcije tražnje, a ujedno i funkcija

prosječnih prihoda, pa imamo:

(q) = p = – ln q

Sada je funkcija ukupnih prihoda izražena u funkciji realizovanih

količina:

P = – q ln q

Funkcija graničnih prihoda jednaka je prvom izvodu funkcije ukupnih

troškova, tako da je:

P' = – (ln q + q q1 ) = – 1 – ln q

c) potrebno je odrediti cijenu, odnosno količinu za koju je P' = 0, pa

imamo:

P' = (1 – p) e-p = 0

1 – p = 0

p = 1

P'' = – e-p – e-p + p e-p = e-p (p – 2)

P''(1) = – e-1 < 0

Tako da funkcija ukupnih troškova postiže maksimalnu vrijednost za

cijenu od 1 N.J. Količina koja odgovara maksimalnom prihodu je:

qt = e-1 = 0,37

d) funkcija graničnih troškova je:

P' = (1 – p) e-p

- P' = 0, za cijenu od 1 N.J, tada imamo maksimalne ukupne prihode jer

je P''(1)< 0,


78

- P' > 0, za cijene manje od 1 N.J, odnosno za p (0,1), tada ukupni

prihodi rastu

- P' < 0, za cijene veće od 1 N.J, odnosno za p ∞), tada ukupni

prihodi opadaju

e) Funkcije ukupnih i graničnih troškova u zavisnosti od cijene

proizvoda mogu se ilustrovati na grafikonu 6.

Grafikon 6. Grafički prikaz funkcije ukupnih i graničnih prihoda u

zavisnosti od cijene proizvoda

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Pp`


79

6. ELASTIČNOST FUNKCIJE PRIHODA

Funkcija elastičnosti ukupnih prihoda omogućava da se izračuna

osjetljivost prihoda na promjene cijene proizvoda.

Ukupan prihod se može dati u funkciji cijene proizvoda

matematičkim izrazom:

P = p f(p)

Tako da funkciju elastičnosti ukupnih troškova pronalazimo (EP,p)

polazeći od:

EP,p = PPp ',

gdje je:

P – ukupni prihod koji se ostvari realizacijom proizvoda na tržištu i

p – prodajna cijena proizvoda.

Kako je P = pf(p), f(p) = q navedeno možemo uvrstiti u prethodnu

formulu tako da dobijamo:

EP,p = )`()()(

ppfpfpfp

p

EP,p = )(

1pf

pf '(p)

EP,p = 1 + Eq

gdje je:

Eq – funkcija elastičnosti tražnje.


80

Na osnovu relacije, kojom se dovodi u vezu funkcija elastičnosti

ukupnih prihoda i funkcija elastičnosti tražnje, možemo izvesti sledeće

zaključke:

- ako je Eq = 0 EP,p = 1, odnosno kada je tražnja savršeno

neelastična, tada funkcija ukupnih prihoda ima elastičnost 1,

- ako je Eq = – 1 EP,p = 0, imamo slučaj da je ukupni prihod savršeno

neelastičan, ujedno to je tačka maksimalnog ukupnog prihoda – kada

je ukupni prihod maksimalan ne reaguje na promjenu cijene,

- ako je – 1 < Eq < 0 , imamo slučaj da je tražnja neelastična, što ima

za posljedicu da je 0 < EP,p < 1,

- kada je tražnja elastična, tj. < Eq < – 1 , tada je EP,p < 0,

- maksimalna vrijednost funkcije elastičnosti ukupnih prihoda je 1, tj.

max pPE , =1.

Elastičnost tražnje se može da dovede u vezu sa graničnim prihodima.

Ako je funkcija ukupnih prihoda izražena pomoću cijene proizvoda P = p

f(p), granični trošak je:

P' = [p f(p)]' pa je:

P' = p' f(p) + p f '(p)

P' = f (p) [1+ )(

`

pfP

f ' (p)], kako je )(

`

pfP

f '(p) = Et

P' = q (1+ Et)

Iz poslednjeg obrasca možemo izvući sledeće zaključke:

- ako je Et = - 1, tada je P' = 0, te imamo potreban uslov za maksimum

funkcije ukupnih prihoda,

- kada je - 1 < Et < 0, onda su granični prihodi P' > 0, ukupni prihodi

rastu i tražnja je neelastična,


81

- kada je - < Et < -1, onda je P' < 0, tada je potražnja elastična a

ukupni prihodi su opadajući.


82

7. FUNKCIJA TROŠKOVA

U ovom radu razlikovaćemo:

- ukupne troškove (C),

- prosječne troškove (c) i

- granične troškove (C').

Elementi proizvodnje ulaze u tehnološki ili preobražajni proces kao

odgovarajući upotrebni kvalitet u potrebnim količinama. Radnik radnom

snagom djeluje pomoću sredstava za rad, u prebražajnom procesu, na

predmete rada. Dolazi do trošenja ovih elemenata ali trošenja u smislu

preobražaja upotrebnih kvaliteta materijala u upotrebni kvalitet novog

proizvoda. Pored toga, sredstva za rad se troše u vidu habanja, dok nakon

određenog broja ponavljanja proizvodnih ciklusa proizvodnje ne postanu

neupotrebljivi. Takođe, dolazi do zamora radnika zbog gubljenja njihove

bioenergije u procesu rada. To se naziva naturalni vid trošenja ulaganja.

Međutim, obim utrošene vrijednosti uslovljen je količinom utrošenih

elemenata proizvodnje: sredstava za proizvodnju i potrebnim radom koji je

uložen u proizvodnju, izražen u novčanom ekvivalentu-cijeni. Utrošena radna

snaga može se obnoviti dijelom novostvorene vrijednosti, izraženim u novcu

kao ekvivalentu materijalnih i drugih dobara za podmirivanje potreba

radnika. Iako u preobražajnom procesu nestaje upotrebnih kvaliteta

elemenata proizvodnje, njihova vrijednost se reprodukuje stvaranjem novog

proizvoda, čijom se razmijenom za novac omogućuje pribavljanje nove

količine ovih elemenata. Stoga ovaj oblik ulaganja predstavlja reprodukciono

trošenje elemenata proizvodnje, za razliku od finalne potrošnje proizvoda.


83

Veličina trošenja kao oblika ulaganja uslovljena je količinom

utrošenih upotrebnih kvaliteta elemenata proizvodnje-utrošcima i novčanim

izrazima njihove vrijednosti-cijenama. Proizvod utrošaka elemenata

proizvodnje i njihovih novčanih multiplikatora, cijena sredstava za

proizvodnju i zarada radnika, predstavljaju troškove. Na osnovu toga

izvodimo definiciju ovog oblika ulaganja: troškovi su novčani izraz

vrijednosti reprodukciono utrošenih elemenata proizvodnje

Ukoliko je C, funkcija ukupnih troškova obima proizvodnje q, tada

opšti oblik funkcije ukupnih troškova možemo zapisati kao:

C = F(q)

Da bi ovo bila funkcija ukupnih troškova moraju biti zadovoljeni

sledeći uslovi:

- q > 0, C > 0, kada je količina proizvedenih jedinica pozitivna, tada su

i troškovi pozitivni,

- C' > 0, funkcija ukupnih troškova raste sa porastom količine

proizvedenih jedinica.

Načini na koje se mogu izraziti ukupni troškovi, a zavisno od

postojećih uslova su:

- u obliku linearne funkcije: C = a + bq

- u obliku kvadratne funkcije: C = a + bq +c q2,

- u obliku kubne funkcije: C = a + bq + cq2 +d q3,

- u obliku: C = bqa ,

- u obliku eksponencijalne funkcije: C = a ebq,

- u obliku: C = (1 + bq)a,

- u obliku: C = aqcqbq

+ d, itd.


84

Već smo rekli da opšti oblik linearne funkcije ukupnih troškova se

izražava jednačinom:

C = a + bq

Gdje su:

q – broj proizvedenih jedinica,

Koeficjent b – pokazuje za koliko se troškovi uvećavaju kada se obim

proizvodnje promjeni za jedinicu odnosno to je pomjenljivi dio troškova u

ukupnim troškovima.

Koeficent a – označava dio fiksnih troškova u ukupnim troškovima.

Zaključujemo, da ukoliko se količina proizvedenih jedinica mjenja, u

zavisnosti od toga mjenjaju se i ukupni troškovi.

Kako se pronalazi oblik linearne funkcije troškova pokazaćemo na

primjeru. Postupak je isti kao kod dosada opisanih ekonomskih funkcija.

Primjer 15. U jednom preduzeću zabilježen je odnos između broja

proizvedenih jedinica i ukupnih troškova proizvodnje, u toku 6 mjeseci,

prikazani su u tabeli broj 4:

Proizvodnja (000 000 komada) Ukupni troškovi ( KM 106)

2 12

2,5 12,5

3 13

3,5 14

4 15

5 16

Tabela broj 4. Obim proizvodnje i ukupni troškovi proizvodnje u

jednom preduzeću za period od 6 mjeseci


85

Potrebno je odrediti obrazac u obliku linearne funkcije gdje će ukupni

troškovi biti dati u zavisnosti od proizvedene količine proizvoda.

Ovdje je:

)1(

516

415

5,314

313

5,25,12

212

baba

baba

baba

)2(

25580

16460

25,125,349

9339

25,65,225,31

2224

baba

baba

baba

Sada je:

(1) 82,5 = 6a +20b

(2) 283,25 = 20a +72,5 b

Rješenjem sistema normalnih jednačina (1) i (2) dobijamo: a = 9,04 i

b = 1,41, te je funkcija ukupnih troškova data u obilku:

C = 9,04 + 1,41 q

9,04 – označava fiksne troškove, koji u našem slučaju iznose 9.040.000

KM dok

1,41 – označava varijabilne troškove, koji iznose 1.410.000 KM, za

svaku jedinicu prizvedenog proizvoda ukupni troškovi rastu za 1.410.000

KM.

Granični troškovi se definišu kao prosječni varijabilni troškovi

izazvani posljednjim porastom količine proizvoda ili poslednjim slojem

proizvodnje. U ekonomskoj teoriji granični troškovi nazivaju se još i

marginalni, jer se odnose na povećano trošenje zbog dodajne, marginalne

proizvodnje i u posmatranom primjeru iznose 1.410.000 KM, jer je C′ = 1,41.


86

Primjer 16. Ispitati za koju vrijednost nezavisne varijable q, funkcija

C = qeq

može biti funkcija ukupnih troškova.

Ovdje je:

C = qeq

, pa imamo:

- q > 0, C > 0 q D(q) = (1, + ), ova funkcija može biti funkcija

ukupnih troškova za količine veće od jedne jedinice.

- C' > 0, C' = 2

)1(

qqeq

>0, za q > 1; data funkcija ukupnih troškova

rastuća je na cijelom domenu, a ekstremnu vrijednost je u tački u kojoj je prvi

izvod funkcije jednak 0:

- C' = 0, za q = 1, C'' = 4

)221(

qqqeq

C''(1) = e > 0 na

osnovu čega izvodimo zaključak da za količinu od 1 jedinice funkcija

ukupnih troškova ima minimum.

Funkcije ukupnih i graničnih troškova mogu se ilustrovati prikazom

na grafikonu broj 7.

Grafikon 7. Prikaz ukupnih i graničnih troškova u funkciji količine

proizvedenih jedinica

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 2 4 6 8 10

C

c`


87

Posječni troškovi (c) predstavljaju količnik ukupnih troškova i ukupne

proizvodnje. Sa povećanjem proizvodnje prosječni troškovi opadaju. Ovo

opadanje prosječnih troškova ima donju granicu, nakon čega prosječni

troškovi rastu. Prosječni troškovi igraju značajnu ulogu u analizi troškova pri

čemu se minimum prosječnih troškova utvrđuje za onu količinu za koju su

oni jednaki sa graničnim troškovima. Proučavanje troškova ima naročiti

značaj kod određivanja optimalne dobiti preduzeća.

Kada utvrđujemo minimum funcije troškova potebno je da prvi izvod

funkcije prosječnih troškova bude nula i da njen drugi izvod bude manji od

nula tj. c' = 0, a drugi izvod veći od nule, tj.c'' > 0.

Primjer 17. Na osnovu podataka iz primjera 15. utvrditi funkciju

prosječnih troškova c.

Ovdje je:

C = 9,04 + 1,41 q c = qC

, pa je c = q04,9

1,41

Kako je c' = 2

04,9

q < 0, prosječni troškovi opadaju sa porastom

obima proizvodnje.


88

8. FUNKCIJA ELASTIČNOSTI TROŠKOVA

Funkcija elastičnosti ukupnih (EC) i prosječnih troškova (Ec)

omogućava da se utvrdi osjetljivost ovih veličina u zavisnosti od promjene

obima proizvodnje.

Ukoliko su C i q, neprekidne varijable, a fukcija C = F(q)

diferencijalna funkcija. Kada se obim proizvodnje promjeni za Δq. Ukupni

troškovi promjeniće se za ΔC. Kada Δq 0, tada vrijedi:

qqCqqC

qC

qql

)()(limlim

00

= C'

gdje je: C' – granični trošak

Tako da vrijedi:

Ec = 1̀CCq

Ec = EC – 1 i EC = Ec + 1 (1)

gdje su: EC – funkcija elastičnosti ukupnih i Ec – funkcija elastičnosti

prosječnih troškova.

Iz relacija (1) zaključujemo:

- Ukoliko sa porastom obima proizvodnje opadaju granični troškovi.

Tada je Ec < 0, EC < 1 i C' < c, odnosno granični trošak manji je od

prosječnog i ima smisla povećavati obim proizvodnje.


89

- Ukoliko sa porastom obima proizvodnje rastu prosječni troškovi, tada

je Ec > 0, EC > 1 i C' > c, tada su granični troškovi relativno visoki,

- Ako sa porastom obima proizvodnje ne dolazi do promjene graničnih

troškova, tada su granični troškovi savršeno neelastični, dok ukupni

troškovi imaju jediničnu elastičnost, a granični troškovi su jednaki

prosječnim troškovima, što se zapisuje na sledeći način: Ec = 0, EC =

1 i C' = c.

Primjer 18. Data je funkcija ukupnih troškova u obliku

C = q3 – 2q2 + 2q, polazeći od navedene funkcije treba:

a) izračunati pri kome obimu je proizvodnja najekonomičnija,

b) koliko iznose granični troškovi za količinu od 2 jedinice,

c) izračunati funkcije elastičnosti ukupnih i prosječnih troškova, te

objasniti koeficijent elastičnosti ukoliko je q = 2,

d) grafički prikazati funkciju ukupnih, prosječnih i graničnih troškova.

Ovdje je: C = q3 – 2q2 + 2q, pa je:

a) c = qC

q2 – 2q + 2 – funkcija prosječnih troškova, pa dobijamo da

je c' = 2q – 2, tražimo vrijednost q kada je c' = 0, a to je q = 1, da bi

ovo bio minimum funkcije drugi izvod mora biti pozitivan za tu

vrijednost, c'' = 2 > 0. tako da minimum prosječnih troškova imamo

pri obimu od jedne jedinice proizvodnje.

b) C' = 3q2 – 4q + 2, pa je C'(2) = 6. Pri porastu obima proizvodnje za

1 jedinicu na nivou q = 2, ukupni troškovi će porasti za 6 N.J.


90

c) EC = `CCq =

22

2432

2

qqqq

i

Ec = EC – 1 =22

222

2

qq

qq

EC (2) = 3, ako se obim proizvodnje poveća za 1% na nivou od q = 2, ukupni

troškovi će porasti za 3%, dok će prosječni troškovi porasti za 2%.

d) Prosječni, ukupni i granični troškovi se mogu prikazati na grafikonu

8.

Grafikon 8. Prosječni, ukupni i granični troškovi

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10

C

C`

c


91

9. FUNKCIJA DOBITI

Dobit se definiše kao razlika između prihoda i troškova, kako smo

obradili funkcije ukupnih, prosječnih i graničnih prihoda i troškova,

razlikovaćemo i sledeće funkcije dobiti:

- funkcija ukupne dobiti (D),

- funkcija prosječne dobiti (d) i

- funkcija granične dobiti (D').

Navedene funkcije se dobiju kao razlika između odgovarajućih funkcije

prihoda i troškova, te je:

- funkcija ukupne dobiti: D = P – C,

- funkcija prosječne dobiti: d = p – c i

- funkcija granične dobiti: D' = P' – C'.

Pomoću funkcije dobiti moguće je izračunati optimalnu kombinaciju

ulaganja, tako da se postigne maksimalna dobit.


92

ZADACI ZA VJEŽBU:

1. Na jednom tržištu tražnja za proizvodom „X“ i njegova cijena bili su:

Cijena proizvoda

KM

Tražnja

000 komada

1 100

2 95

3 89

4 84

5 82

Odrediti linearni oblik funkcije tražnje, pa izračunati tražnju proizvoda pri

cijeni od 7 KM, kao i pri kojoj cijeni će tražnja iznositi 50.000 komada?

2. Da li funkcija q = 3e-4p, može biti funkcija tražnje?

3. Na jednom tržištu ponuda proizvoda „X“ i njegova cijena bili su:

Cijena proizvoda

KM

Ponuda

000 komada

1 30

2 37

3 45

4 52

5 55


93

Odrediti linearni oblik funkcije ponude, pa izračunati ponudu proizvoda pri

cijeni od 7 KM, kao i pri kojoj cijeni će ponuda proizvoda na tržištu iznositi

70.000 komada?

4. Da li funkcija q = 7e5p +1 može biti funkcija ponude?

5. Polazeći od podataka iz zadatka 1. i 3. odrediti za koju cijenu i

količinu proizvoda „X“ imamo ravnotežu na tržištu?

6. Polazeći od podataka iz zadatka 2. i 4. odrediti za koju cijenu i

količinu proizvoda imamo ravnotežu na tržištu?

7. Ukoliko su ponuda i tražnja na jednom tržištu date funkcijama: qt=

4·2-p i qp = 3·24p, odrediti cijenu i količinu proizvoda tako da se na tržištu

postigne ravnoteža?

8. Za funkcije tražnje iz primjera 1. i 3. odrediti funkcije elastičnosti

ponude. Protumačiti elastičnost ponude za cijenu p = 10.

9. Za funkcije ponude iz primjera 2. i 4. odrediti funkciju elastičnosti

tražnje. Protumačiti elastičnost ponude za cijenu p = 10.

10. Jedno preduzeće u toku šest mjeseci ostvarilo je realizaciju proizvoda

„x“, kako je prikazano u tabeli:


94

Mjesec Prodajna cijena u

KM (p)

Realizovana količina

000 komada (q)

P = pq

I 20 1.000 20.000

II 24 900 21.600

III 26 850 22.100

IV 28 700 19.600

V 29 600 17.400

VI 30 500 15.000

Potrebno je: pomoću funkcije tražnje u linearnom obliku, naći

funkciju ukupnih, prosječnih i graničnih troškova.

11. Ukoliko je tražnja za proizvodom „x“data funkcijom qt = 2e-3p,

odrediti funkciju ukupnih troškova, kao i funkciju graničnih troškova,

te pri kojoj cijeni (količini) preduzeće koje plasira proizvod „x“, može

očekivati maksimalan prihod?

12. Ukoliko je tražnja proizvoda data funkcijom tražnje qt = 3e-2p,

polazeći od funkcije tražnje:

a) odrediti funkciju ukupnog i graničnog prihoda u funkciji cijene

proizvoda;

b) odrediti funkciju ukupnih i graničnog prihoda u funkciji količine

proizvoda;

c) izračunati cijenu i količinu za koju funkcija ukupnih prihoda dostiže

maksimum;

d) koristeći funkciju graničnih prihoda izračunati interval rasta ukupnog

prihoda;

e) grafički ilustrovati funkciju ukupnih i graničnih prihoda.


95

13. U jednom preduzeću zabilježen je odnos između broja proizvedenih

jedinica i ukupnih troškova proizvodnje, u toku 6 mjeseci, a podci su

prikazani su u tabeli:

Proizvodnja (000 000

komada)

Ukupni troškovi ( KM

106)

2 24

2,5 25

3 26

3,5 28

4 30

5 32

Potrebno je odrediti obrazac u obliku linearne funkcije gdje će ukupni

troškovi biti dati u zavisnosti od proizvedene količine proizvoda.

14. Ispitati za koju vrijednost nezavisne varijable q, funkcija C = q

e q

3

2

može

biti funkcija ukupnih troškova.

15. Na osnovu podataka iz primjera 13. utvrditi funkciju prosječnih

troškova c.

16. Data je funkcija ukupnih troškova u obliku C = 3q3 – 6q2 + 2q,

polazeći od navedene funkcije treba:

- izračunati pri kome obimu je proizvodnja najekonomičnija,

- koliko iznose granični troškovi za količinu od 2 jedinice,

- izračunati funkcije elastičnosti ukupnih i prosječnih troškova, te

objasniti koeficijent elastičnosti ukoliko je q = 2,

- grafički prikazati funkciju ukupnih, prosječnih i graničnih troškova.


96

TEST PITANJA

1. Koje su najvažnije ekonomske funkcije?

2. Kako se može pronaći linearni oblik funkcije tražnje?

3. Koji su uslovi da neka funkcija bude funkcija tražnje?

4. Kako se može pronaći funkcija ponude?

5. Koji uslovi trebaju biti ispunjeni da bi određena funkcija bila funkcija

ponude?

6. Kada imamo ravnotežu na tržištu?

7. Objasniti pojam elastičnosti ekonomskih funkcija?

8. Od čega zavise prihodi od realizacije, koji su to prihodi?

9. Kako se izražavaju troškovi proizvodnje, koji su to troškovi?

10. Kako se pronalazi maksimum prihoda i minimum troškova?


97

IV) OMJERI I PROPORCIJE

Proporcija ili omjer predstavlja dva jednaka količnika vezana znakom

jednakosti. Opšti oblik proporcije može se zapisati u obliku:

Znak jednakosti kod proporcije čita se: „odnosi se isto kao“ ili „kao“.

Iz opšteg oblika proporcije vrijedi:

pba i p

dc

Svaka proporcija ima četiri člana, kod proporcije pisane u opštem

obliku a je prvi, b drugi, c treći, a d četvrti član proporcije. Pored toga,

članovi a i d nazivaju se vanjskim članovima proporcije, dok su b i c

unutrašnji članovi proporcije.

Primjer omjera, odnosno proporcije može npr. biti: Ukoliko 5 kg riže

košta 7,5 KM, tada će 15 kg riže koštati tri puta više, tj. 22,5 KM. Na osnovu

navedenog primjera, sastaviti ćemo dvije razmjere i to razmjeru težine i

razmjeru prodajnih vrijednosti:

- razmjera težine: - razmjera prodajnih vrijednosti:

15 kg : 5 kg = 3 22,5 KM : 7,5 KM = 3

Gornje dvije razmjere su međusobno jednake jer imaju isti količnik,

te se smiju povezati znakom jednakosti:

15 : 5 = 22,5 : 7,5

a : b = c : d


98

1. OSOBINE PROPORCIJA

Osnovne osobine proporcija su:

1. proizvod unutrašnjih i vanjskih članova proporcije su međusobno

jednaki. Tako da polazeći od opšteg oblika proporcije ovu osobinu

možemo zapisati u obliku: a d = c b

2. proporcija ostaje ista ukoliko unutrašnji članovi međusobno zamjene

mjesta, što se, polazeći od opšteg oblika proporcije, može zapisati na

sledeći način: a : c = b : d

3. proporcija ostaje ista ukoliko vanjski članovi proporcije međusobno

zamjiene mjesta, što se polazeći od opšteg oblika proporcije, može

zapisati na sledeći način: d : b = c : a

4. proporcija se neće promijeniti ukoliko oba spoljašnja člana zamijene

mjesta sa unutrašnjim članovima, što se može napisati na sledeći

način: b : a = d : c

5. proporcija ostaje valjana ukoliko istovremeno pomnožimo ili

podijelimo po jedan vanjski i jedan unutrašnji član proporcije sa istim

bojem različitim od nule, što se može zapisati na sledeći način, npr:

ak : bk = c : d ak : b = ck : d a : b·k = ck : d a : bk = ck : d

ili

dckb

ka

:: dkcb

ka

:: kdc

kba ::

kd

kcba ::

k 0

6. zbir članova proporcije na lijevoj strani odnosi se prema prvom članu

proporcije, kao što se zbir članova desne strane proporcije odnosi

prema trećem članu proporcije, što se, polazeći od opšteg oblika

proporcije može zapisati na sledeći način:

a : (a + b) = c : (c +d)


99

7. zbir članova proporcije na lijevoj strani odnosi se prema drugom

članu proporcije, kao što se zbir članova desne strane proporcije

odnosi prema četvrtom članu proporcije, što se, polazeći od opšteg

oblika proporcije može zapisati na sledeći način:

(a + b) : b = (c + d) : d

8. razlika članova proporcije na lijevoj strani odnosi se prema prvom

članu proporcije, kao što se razlika članova desne strane proporcije

odnosi prema trećem članu proporcije, što se, polazeći od opšteg


a : (a – b) = c : (c +d)

9. razlika članova proporcije na lijevoj strani odnosi se prema drugom

članu proporcije, kao što se razlika članova desne strane proporcije

odnosi prema četvrtom članu proporcije, što se, polazeći od opšteg


(a – b) : b = (c – d) : d

Na osnovu prve osobine proporcije, za svaku proporciju moguće je

izračunati nepoznati član proporcije ukoliko su poznata ostala tri člana

proporcije. Postupak je sljedeći:

- ukoliko je nepoznat unutrašnji član proporcije, on se izračunava

kao količnik proizvoda vanjskih članova proporcije i poznatog

unutrašnjeg člana, što se može zapisati na sledeći način:

a : x = c : d cdax

ili

a : b = x : d b

dax


100

- ukoliko je nepoznat vanjski član proporcije, on se izračunava kao

količnik proizvoda unutrašnjih članova i poznatog vanjskog člana,

što zapisujemo na sledeći način:

x : b = c : d d

cbx ili

a : b = c : x a

cbx

Primjer 1. Izračunati nepoznati član proporcije:

a) 4 : 12 = x : 9

b) 6

1:

9

12:

3

16 x

c) 3,75 : 0,5 = 4,8 : x

Ovdje imamo:

a) 12x = 94 312

36x

b) 2

1

1819

919

9

1918

19

9

196

1

3

19

9

12

6

1

3

16

6

1

3

16

9

12

xx

c) 3,75 x = 4,8 0,5 64,075,3

4,2x

Primjer 2. Izvesti niz od devetnaest proporcija koje su ekvivalentne

navedenoj proporciji:

6 : 4 = 3 : 2.


101

Ovdje imamo proporciju: 6 : 4 = 3 : 2, pa ako primjenimo pobrojana

pravila možemo je zapisati na sledeće načine da napisana proporcija ostane

valjana:

- 6 : 3 = 4 : 2,

- 2 : 4 = 3 : 6,

- 3 : 2 = 6 : 4,

- 4 : 2 = 6 : 3,

- 3 : 6 = 2 : 4,

- 2 : 3 = 4 : 6,

- 4 : 3 = 6 : 2,

- 6 2 : 4 2 = 3 : 2, odnosno 12 : 8 = 3 : 2,

- 6 2 : 4 = 3 2 : 2, odnosno 12 : 4 = 6 : 2,

- 6 : 4 2 = 3 : 2 2, odnosno 6 : 8 = 3 : 4,

- 6 : 4 = 3 2 : 2 2, odnosno 6 : 4 = 6 : 4,

- 2:32

4:

2

6 , odnosno 3 : 2 = 3 : 2,

- 2:2

34:

2

6 ,

- 2

2:3

2

4:6 , odnosno 6 : 2 = 3 : 1,

- 6 : 4 = 2

2:

2

3,

- (6 + 4) : 4 = (3 + 2) : 2, odnosno 10 : 4 = 5 : 2,

- 6 : (4 + 6) = 3 : (2 + 3), odnosno 6 : 10 = 3 : 5,

- (6 – 4) : 4 = (3 – 2) : 2, odnosno 2 : 4 = 1 : 2,

- 6 : (6 – 4) = 3 : (3 – 2), odnosno 6 : 2 = 3 : 1.


102

Primjer 3. Osloboditi se razlomaka u sledećim proporcijama, tako da

proporcije ostanu valjane.

a) 8:305

2:

2

3

b) 9:16

158:

6

5

Ovdje je potrebno pomnožiti prvi i drugi član u prvoj proporciji, i prvi

i treći član druge proporcije sa najmanjim zajedničkim sadržaocem

nazivnika, pa imamo:

a) prvi i drugi član proporcije množimo sa najmanjim zajedničkim

sadržaocem za 2 i 5, a to je 10, pa dobijamo:

8:30105

2:10

2

3 , pa je: 15 : 4 = 30 : 8,

b) prvi i treći član proporcije množimo najmanjim zajedničkim

sadržaocem za 6 i 16, a to je 48, pa dobijamo:

9:4816

158:48

6

5 , pa je 40 : 8 = 45 : 9.


103

2. RJEŠAVANJE PRAKTIČNIH PROBLEMA

PRIMJENOM PROPORCIJA

Mnoge praktične probleme moguće je izraziti pomoću jedne ili više

proprcija, pri čemu veličine koje ulaze u sastav problema mogu biti direktno

ili obrnuto proporcionalne. Nepoznati član proporcije se izračunava na način

kako je to naprijed opisano. U problemima koji se riješavaju primjenom

proporcija neophodno je prepoznati prirodu proporcionalnosti među

veličinama, odnosno da li su veličine direktno ili obrnuto proporcionalne

među sobom.

Ukoliko se u problemu javljaju dvije vrste međusobno

proporcionalnih veličina imamo prostu proporciju. Ako se u problemu javlja

tri ili više proporcija imamo složenu proporciju.

2.1. Proste proporcije

Ukoliko se u problemu javljaju dvije vrste proporcionalnih veličina,

bilo da su one direktno ili obrnuto proporcionalne, na osnovu tri poznata

člana proporcije može se izračunati nepoznat član proporcije. U problemima

ove vrste bitno je pravilno odrediti smjer proporcije, odnosno prepoznati da li

su veličine međusobom direktno ili obrnuto proporcionalne.

Problemi se riješavaju tako što u horizontalnom redu prvo napišemo

uslovni stav, a ispod njega upitni stav. Uslovni stav sadrži poznate članove


104

proporcije, dok upitni stav sadrži nepoznati član proporcije. Zatim strelicama

označimo smjer proporcionalnosti između veličina. Ukoliko je riječ o

direktnoj proporcionalnosti strelice su istog smjera, a kada imamo obrnuto

proporcionalnu zavisnost strelice su suprotnog smjera.

Primjer 4. Za 12 metara štofa plaćeno je 360 KM, koliko treba platiti

za 60 metara tog istog štofa?

Ovdje je:

Uslovni stav 12 m 360 KM

Upitni stav 60 m x KM

Veličine su direktno proporcionalne tako da postavljamo proporciju

oblika:

12 : 60 = 360 : x

Pomoću zapisane proporcije izračunavamo nepoznati član proporcije:

KMx 180012

36060

Za 60 metara štofa potrebno je platiti 1.800 KM.

Primjer 5. Pet radnika završi neki posao za 15 dana. Za koliko dana

bi taj isti posao završilo 10 radnika, pod uslovom da radnici jednako rade i da

radni dan jednako traje?

Ovdje je:

Uslovni stav 5 radnika 15 dana

Upitni stav 10 radnika x dana


105

Veličine su obrnuto proporcionalne, pa imamo:

5 : 10 = x : 15

Odakle izračunavamo nepoznati član proporcije:

danax 5,710

155

Navedeni posao 10 radnika bi završilo za 7,5 dana.

2.2. Složene proporcije

Pomoću složenih proporcija riješavamo probleme kod kojih

nepoznata veličina zavisi od 5, 7, 9 itd. poznatih veličina. I kod složenih

proporcija zadatak se postavlja u obliku uslovnog i upitnog stava, pri čemu se

iste veličine stavljaju jedna ispod druge. Kada zadatak postavimo, treba

voditi računa kakvi su odnosi, direktni ili obrnuti.

Pri rješavanju zadataka pomoću proporcije, sve proporcije od kojih

zavisi nepoznata postavljaju se prema proporciji u kojoj se nalazi nepoznata

veličina. Smijer proporcije označava se strelicom.

Primjer 6. Petnaest radnika za 6 dana zaradi 3.600 KM. Koliko KM

može zaraditi 18 radnika za 24 radna dana?

Ovdje je:

Uslovni stav 15 radnika 6 dana 3.600 KM

Upitni stav 18 radnika 24 dana x KM


106

Sve veličine su direktno proporcijalne, tako da složena proporcija

glasi:

18 : 15 = 24 : 6 = x : 3.600

Iz navedene složene proporcije nepoznati član dobijamo, na sledeći

načina:

KMx 280.17615

1824600.3

Za 24 radna dana, 18 radnika zaraditi će 17.280 KM.

Primjer 7. Dvanaest radnika završi neki posao za 20 dana radeći po 8

sati dnevno. Koliko bi radnika trebalo angažovati da rade po 10 sati dnevno i

da posao bude završen za 16 dana?

Ovdje je:

Uslovni stav 12 radnika 8 sati 20 dana

Upitni stav x radnika 10 sati 16 dana

Broj radnika je obrnuto proporcionalan broju sati dnevnog rada, kao i

broju radnih dana, tako da složena proporcija glasi:

x : 12 = 8 : 10 = 20 : 16

Iz složene proporcije izračunavamo nepoznati član na sledeći način:

121610

20812

x

Ukoliko želimo da posao bude završen za 16 dana, uz dnevni rad od

10 sati potrebno nam je 12 radnika.


107

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Za 824 kg pasulja plaćeno je 1.236 KM. Koliko treba platiti za 1.500

kg pasulja?

2. Za 580 američkih dolara plaćeno je 957 KM. Koliko konvertibilnih

maraka treba platiti za 3.540 američkih dolara?

3. Za 348.000 KM kupljeno je 250.000 kg šećera. Koliko je šećera

moguće kupiti za 2.436.000 KM?

4. Ako se za 25 kg kave dobije se 245 KM. Koliko se konvertibilnih

maraka može realizovati prodajom 327 kg kave?

5. Za 125 kg jabuka potrbno je platiti 115 KM. Koliko se treba platiti za

725 kg jabauka?

6. 14 radnika završi posao za 28 dana. Koliko radnika je potrebno da se

posao završi za 14 dana?

7. 10 radnika završe posao za 60 sati. Za koliko sati će isti posao obaviti

15 radnika?

8. Koliko dolara treba platiti za 175 m štofa, ako je za 3 m štofa plaćeno

45 dolara i ako 100 dolara vrijedi koliko i 163 KM?

9. Jedan radnik za 6 radnih dana završi posao radeći pri tome 8 sati

dnevno. Za koliko sati rada dnevno bi isti posao završila dva radnika,

ukoliko bi radili 4 dana?


108

10. Za 100 eura dobije se 700 hrvatskih kuna, dok se za 1 KM dobije

1,955831 eura. Koliko se KM može dobiti za 200 hrvatskih kuna?

11. Za 45 dinara dobije se 1 KM, dok se za 195,5 KM dobije 100 eura.

Koliko dinara se može dobiti za 50 eura?

12. Planirano je da popis robe u jednom preduzeću obavi 25 radnika za 60

sati rada. Nakon 12 sati rada, posao napusti 10 radnika. Koliko sati će

trajati popis robe u ovom preduzeću?

13. Bazen zapremine 100 m3 puni se pumpom kod koje je protok vode 25

m3/h, 4 sata. Koliko sati će se puniti isti bazen sa pumpom kod koje je

protok vode 15 m3/h?

14. Na nekom poslu 30 radnika zaradi 18.720 KM za 26 radnih dana.

Koliko bi na tome istom poslu zaradila grupa od 80 radnika za 10

dana?

15. Berbu jabuka u jednom voćnjaku može da obavi 80 radnika za 15

dana, ukoliko rade 10 sati dnevno. Za koliko dana berbu može obaviti

90 radnika uz rad od 8 sati dnevno?

16. Dvadesetpet radnika za 26 radnih dana uz rad u jednoj smjeni (8 sati

dnevno) izradi 500 komada stolica. Koliko stolica može izraditi 30

radnika uz rad u dvije smjene (u jednoj smjeni radi 15 radnika) za 24

dana?


109

17. Za postavljanje pločica u jednoj hali čija je dužina 20 m, a širina 16

m, potrebno je platiti 1.250 KM. Koliko bi trebalo platiti za

postavljanje istih pločica u prostoriji širine 24 m, a širine 18 m?

18. Cestu dužine 1.600 km i 6 metara širine 30 radnika asvaltira za 40

dana uz rad od 8 sati dnevno. Koliko bi radnika trebalo da se put

dužine 2.000 km i 8 m širine asvaltira za 30 dana uz rad od 6 sati

dnevno?

19. Neki posao 70 radnika može da završi za 25 dana ako rade 8 sati

dnevno. Nakon 15 dana 20 radnika je prebačeno na drugi posao.

Koliko sati dnevno treba da radi ostalih 50 radnika da bi posao

završili za isto vrijeme?

20. Preduzeće je isplatilo 1.440 KM petnaestorici radnika koji su radili 6

dana po 8 sati dnevno. Zbog povećanja obima poslovne aktivnosti

preduzeća, zaposleno je još 5 radnika i sada svi rade po 10 sati dnevo.

Koliko će im preduzeće isplatiti za 26 radnih dana?

21. Preduzeće koje proizvodi vuneni štof, od 48 kg vune dobije 150 m

štofa širine 1,6 m. Koliko metara štofa može proizvesti od 180 kg

vune, ako se proizvodi štof širine 1,5 m?

22. Buldožder od 45 konjskih snaga iskopa 5.200 m3 zemlje za 26 radnih

dana ako radi 8 sati dnevno. Koliko kubnih metara zemlje će iskopati

buldožder od 30 konjskih snaga za vrijeme od 15 dana, ako radi 10

sati dnevno?


110

TEST PITANJA

1. Šta je proporcija?

2. Koliko članova sadrži sadrži proporcija, i kako nazivaju ti članovi?

3. Koje vrste proporcija postoje?

4. Kakve su direktno proporcionalne veličine?

5. Kada imamo obrnuto proporcionalne veličine?

6. Kakve su to proste proporcije?

7. Kakve su to složene proporcije?

8. Koje su osobine proporcija?

9. Kako se izračunava nepoznati član proporcije?

10. Kako se riješavaju problemi u kojima je prisutna proporcionalnost

veličina?


111

V) VERIŽNI RAČUN

U praksi se susrećemo sa situacijama kada se određeni problemi

iskazuju nizom direktno proporcionalnih odnosa među veličinama. Takvi

problemi se uspješno riješavaju primjenom verižnog računa. Ukoliko su

veličine obrnuto proporcionalne, verižni račun nije podoban za primjenu.

Dakle, verižni račun je metoda za riješavanje problema gdje se

pojavljuje niz odnosa između veličina koje su direktno proporcionalne, a

sastoji se u pronalaženju nepoznatog člana proporcije, na osnovu poznatih

članova proporcija. U zavisnosti od toga da li se niz sastoji od dvije ili više

proporcija razlikujemo prosti i složeni verižni račun.

Drugi uslov, koji mora biti ispunjen da bi se naprijed opisani problemi

mogli riješavati primjenom verižnog računa je da su po dvije veličine

izražene u istoj mjernoj jedinici.

Verižni račun se primjenjuje naročito onda kada se novac ili mjerne

jedinice jedne zemlje treba pretvoriti u novac ili mjerne jedinice druge

zemlje.

Naziv verižni potiče od riječi verige koja znači lanac, jer je u

problemima koji se riješavaju primjenom verižnog računa, prisutan niz

jednačina koje su povezane u lanac. Imena veličina čine vezu između

poznatih i nepoznate veličine, tako da se lanac i slaže na osnovu toga.

Praktični problemi koji ispunjavaju uslove podobnosti za primjenu

verižnog računa, prevode se u model na sledeći način:


112

1. matematički model za riješavanje verižnim metodom sastoji se od

lijeve i desne strane koje su odvojene uspravnom linijom,

2. verižni model počinje pitanjem, dakle prvo mijesto na lijevoj strani

verižnog modela rezervisano je za nepoznatu veličinu X, dok na

prvo mjesto sa desne strane stavlja veličina na koju se odnosi

pitanje u problemu,

3. svaki sledeći stav verige treba početi jedincom kojom je završen

prethodni stav i

4. veriga, odnosno lanac je zaključen kada završimo jedinicom kojom

je lanac započet, odnosno jedinicom čija vrijednost se traži.


113

1. PROST VERIŽNI RAČUN

U problemima koji se rješavaju primjenom metoda prostog verižnog

računa, potrebno je na osnovu tri poznate veličine izračunati nepoznatu

veličinu. Pri tome mora biti ispunjen uslov da su parovi veličina direktno

proporcionalni i da su po dvije veličine istog imena, odnosno izražene u istim

mjernim jedinicama.

Kada se problem prevede u model podesan za riješavanje verižnim

računom, odnosno metodom, nepoznata veličina dobije se kao količnik

proizvoda veličina sa desne strane i poznatih veličina sa lijeve strane.

Primjer 1. Treba izračunati koliko KM košta 25 metara tkanine, ako

12 metara te tkanine košta 72 KM?

Ovdje je:

X KM = 25 m

12 m = 72 KM

Sada problem zapisujemo u obliku verižnog modela, koji ima oblik:

Primjenom verižnog računa izračunavamo vrijednost nepoznate

veličine X, tako da imamo:

X KM 25 m

12 m 72 KM


114

KMX 15012

7225

Za 25 m tkanine treba platiti 150 KM.

Primjer 2. 100 eura košta 195,5831 KM, koliko KM je potrebno

platiti za 500 eura?

Ovdje je:

X KM = 500 eur

100 eur = 195,5831 KM

Odnosno:

Pa imamo:

KMX 9155,977100

5831,195500

Za 500 eura potrbno je platiti 977,9155 KM.

Primjer 3. Koliko jardi (Yd) je udaljenost između Gradiške i Banja

Luke, ako ta udaljenost iznosi 48 kilometara (km) i ako je poznato da jedan

jard odgovara dužini od 0,914 kilometra?

Ovdje je:

X Yd = 48 km

0,914 km = 1 Yd

X KM 500 eur 100 eur 195,5831 KM


115

Odnosno:

Pa imamo:

YdX 872,431

914,048

Udaljenost između Gradiške i Banja Luke iznosi 43,872 Yd – jardi.

X Yd 48 km 0,914 km 1 Yd


116

2. SLOŽEN VERIŽNI RAČUN

Složeni verižni račun je matematička metoda za riješavanje problema

u kojima se na osnovu pet, sedam, devet itd. poznatih veličina traži šesta,

osma, deseta itd. nepoznata veličina. Pri tome je neophodno da su parovi

veličina direktno proporcionalni i da su po dvije veličine izražene u istim

jedinicama mjere.

Problem se prevodi u model podesan za riješavanje verižnim računom

na naprijed opisan način. Lanac, odnosno veriga počinje sa nepoznatom

veličinom, zatim slijede poznate veličine prema smislu, ali lanac se veže tako

da sledeći stav u lancu počinje veličinom kojom je prethodna završila, a

završava kada se na desnoj strani nađe mjerna jedinica kojom je počela prva

jednačina. Nepoznata veličina se traži kao količnik između: proizvoda

veličina sa desne strane verižnog modela i proizvoda poznatih veličina sa

lijeve strane verižnog modela, odnosno:

Pri tome se sa lijeve strane uvijek nalazi jedna poznata veličina manje

nego na desnoj strani.

Primjer 4. Za 8 libri (lb) olova plati se 51,90 američkih centa (cts).

Koliko konvertibilnih maraka treba platiti za 9.000 kg olova, ako se za 1

dolar plati 1,65 KM i ako je 1 lb = 0,454 kg?

X = (proizvod svih veličina sa desne strane) : (proizvod poznatih veličina sa lijeve strane)


117

Ovdje je:

X KM = 9.000 kg

0,454 kg = 1 lb

8 lb = 51,90 cts

100 cts = 1 $

1 $ = 1,65 KM

Odnosno:

Pa imamo:

KMX 75,109.211008454,0

65,1190,511000.9

Za 9.000 kg olova potrebno je platiti 2.109,75 KM.

Primjer 5. Jedan bušel pšenice košta 1,5 eura. Koliko je potrebno

konvertibilnih maraka (KM) za kupovinu 5 tona te iste pšenice, zajedno sa

transportnim troškovima od 5%, ako je 1 bušel 60 libri (1 lb = 0,454 kg), a za

1 euro se plaća 1,955831 KM?

Ovdje je:

X KM sa troškovima= 5 t

X KM 9.000 kg

0,454 kg 1 lb

8 lb 51,90 cts

100 cts 1 $

1 $ 1,65 KM


118

1 t = 1.000 kg

0,454 kg = 1 lb

60 lb = 1 bušel

1 bušel = 1,5 eur

1 eur = 1,955831 KM bez troškova

100 KM = 105 KM sa troškovima

Odnosno:

Pa imamo:

KMX 43,5651001160454,01

105955831,15,111000.15

Za 5 tona pšenice potrebno je platiti 565,43 KM.

Primjer 6. Kod nas se za jedan metar kubni cijepanog ogrevnog

drveta plaća 60 KM. Potrebno je sastaviti ponudu za kupca u Londonu za

jedan standard cijepanog ogrevnog drva, tako da se ponudi cijena sa 10 %

trgovačke marže, ako je poznato da jedna funta košta 43 KM i da jedan

standard odgovara zapremini od 4,672 m3. Po kojoj cijeni ćemo ponuditi

cijepano ogrevno drvo kupcu u Londonu?

X KM sa trošk. 5 t

1 t 1.000 kg

0,454 kg 1 lb

60 lb 1 bušel

1 bušel 1,5 eur

1 eur 1,955831 KM bez trošk.

100 KM bez trošk. 105 KM sa trošk.


119

Ovdje je:

X £ = 1 standard

1 standard = 4,672 m3

1 m3 = 60 KM bez marže

100 KM bez marže = 110 KM sa maržom

43 KM = 1 £

Odnosno:

Pa imamo:

170977,74310011

111060672,41

X ₤

Kupcu u Londonu ponudićemo cijepano ogrevno drvo po cijeni od

7,170977 £ za standard.

Primjer 7. Preduzeće u Zagrebu plaća za kompijuter u Beču cijenu

od 250 eura. Po kojoj cijeni može taj isti kompjuter kupiti preduzeće u Banjoj

Luci od preduzeća u Zagrebu, ako je za 1 eur potrebno platiti 7 hrvatskih

kuna, ako se za 26,5 KM dobije 100 hrvatskih kuna, te ako preduzeće iz

Zagreba ovo prodajom planira da zaradi 20 % od cijene koju je platilo za

kompjuter?

X £ 1 standard

1 standard 4,672 m3

1 m3 60 KM bez marže

100 KM bez marže 110 KM sa maržom

43 KM 1 £


120

Ovdje je:

X KM = 250 eur

1 eur = 7 kuna

100 kuna bez zarade = 120 kuna sa zaradom

100 kuna = 26,5 KM

Odnosno:

Pa imamo:

KMX 5,5561001001

5,261207250

Preduzeće u Banjoj Luci moraće za kompjuter da plati 556,5 KM.

X KM 250 eur

1 eur 7 kuna bez zarade

100 kuna bez zarade 120 kuna sa zaradom

100 kuna 26,5 KM


121

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Koliko KM treba paliti za 154 kg banana, ako 50 kg banana košta 60

KM?

2. 800 kg kave može se kupiti za 37.500 KM. Koliko se kave može

kupiti za 187.500 KM?

3. Za 15 radnih dana radnik zaradi 450 KM. Koliko može zaraditi radnik

za 26 radnih dana?

4. Koliko se KM može dobiti za 5.500 eura, ako 100 eura košta

195,5831 KM?

5. Koliko KM treba izdvojiti za kupovinu 1.800 kg kave, ako je za 1

libar kave (1 lb = 0,454 kg) potrebno platiti 88 američkih centi (1$

=100 centi)? Za 100 $ (dolara) potrebno je platiti 162 KM.

6. Koliko bi se funti moralo platiti za 1 jard štofa u Londonu, pa da

kupovna cijena za 1 metar štofa bude 18 KM, uz uslov da jedna funta

košta 43 KM? (1Yd = 0,914 m)

7. U Njemačkoj smo prodali 250 vagona pasulja po cijeni od 900 KM za

jednu tonu (1 vagon odgovara količini od 100 tona). Koliki promet u

eurima ćemo realizovati prodajom pasulja, ukoliko je za 1 euro

potrebno platiti 1,955831 KM?


122

8. Koliko bi koštalo 8 šlepera američke pšenice u Banjoj Luci, zajedno

sa troškovima prevoza koji iznose 12,5%, ako 1 bušel pšenice košta

25,2 centa i ako bušel ima težinu 60 libri, a za 1$ potrebno je platiti

1,62 KM? ( 1 šleper ima nosivost od 25.000 kg, 1 lb = 0,454 kg, 1$ =

100 cts).

9. Jedno preduzeće iz Njujorka nudi nam bakar po cijeni 42 dolara za

100 libri, a preduzeće iz Londona po cijeni od 61,5 funti za jednu

tonu. Koju ponudu ćemo prihvatiti kao povoljniju ako 1 dolar stoji

1,62 KM, a troškovi dopreme iz Njujorka iznose 17%, dok 1 funta

stoji 43 KM, a troškovi dopreme bakra iz londona izose 12%. (1 lb =

0,454 kg)?

10. Koliko je potrebno platiti za 5.000 kg kave u Njujorku, ako se za 1

libru kave plaća 175 centi i ako je jedan dolar 1,65 KM i troškovi

dopreme iznose 1% od prodajne cijene?


123

TEST PITANJA

1. Kakvi problemi se riješavaju primjenom verižnih modela?

2. Koji uslovi moraju biti ispunjeni da bi se problem mogao riješiti

primjenom verižnog računa?

3. Koji praktični problemi se rješavaju primjenom verižnog računa?

Navedi nekoliko primjera.

4. Kakav je to prost verižni račun?

5. Kakav je to složen verižni račun?

6. Koje su razlike između prostog i složenog verižnog računa?

7. Koja su pravila za postavljanje verižnog stava?


124

VI) PROCENTNI RAČUN

1. POJAM PROCENTA

U praksi, a i životu uopšte, potrebno je upoređivati razne veličine. To

upoređivanje vršimo zajedničkim mjerilom koje je vrlo često broj 100.

Pomoću broja 100 međusobni odnos dviju veličina tako što se naznačava

koliko jedinica jedne veličine dolazi na 100 jedinica druge veličine. Broj koji

pokazuje koliko se jedinica jedne veličine računa na 100 jedinica, iste

veličine zove se procent. On se zove još i procentna stopa. Procent se

obilježava sa % ili p.

Zbog česte upotrebe u praktičnom životu operacije u vezi sa

procentima nazivaju se procentni račun. Procentni račun sadrži, pored stalne

veličine 100, još tri veličine koje su direktno proporcionalne.

Veličine koje se javljaju u procentnom računu su:

G – glavnica – to je veličina od koje se računa procentni prinos;

P – prinos – je broj koji sadrži odgovarajući dio svih stotih dijelova

glavnice;

p% – procent – dio koji pripada broju 100;

100 – stalna veličina.

Ovo znači da pored stalne veličine broja 100, u zadacima procentnog

računa imamo: glavnicu, prinos i procent i rješavanje procentnog zadatka

sastoji se u iznalaženju jedne od njih kada su ostale dvije poznate.


125

Radi ilustracije možemo navesti nekoliko primjera praktične upotrebe

procentnog računa.

Primjer 1. (Upoređivanje troškova nabavke) Dva preduzeća su

nabavila sirovine i to: prvo preduzeće za 3.000.000 KM, a drugo za

8.000.000 KM. Troškovi nabavke prvog preduzeća iznosili su 600.000 KM, a

drugog preduzeća 200.000 KM. Potrebno je utvrditi koje preduzeće je

ostvarilo niže troškove nabavke, u odnosu na vrijednost nabavke.

Ovdje je:

Preduzeće Troškovi nabavke Vrijednost nabavke

I preduzeće 600.000 3.000.000

II preduzeće 200.000 8.000.000

Tabela 1. Troškovi i vrijednost nabavke kod posmatranih preduzeća

Upoređivanje troškova nabavke u odnosu na vrijednost nabavke

najbolje se može izvršiti uz pomoć zajedničkog mjerila broja 100, odnosno

broja koji će pokazati koliko je troškova nabavke imalo preduzeće na svakih

100 nabavljenih novčanih jedinica sirovine.

Prema navedenom primjeru, prvo preduzeće je za 100 KM sirovine

imalo troškove nabvke od:

KM20000.000.3

100000.600

,

Dok za nabavku 100 KM sirovine drugog preduzeća, troškovi iznose:

KM5,2000.000.8

100000.200


126

Pošto je prvo preduzeće za nabavku 100 KM vrijednosti sirovine

imalo 20, a drugo 2,5 KM troškova nabavke, zaključujemo da je drugo

preduzeće povoljnije nabavilo sirovinu u odnosu na prvo preduzeće.

Brojevi 20, odnosno 2,5 u navedenom primjeru su procenti. Znači

troškovi nabavke prvog preduzeća iznose 20%, a drugog 2,5% nabavne

vrijednosti. Drugačije zapisano:

p1 = 20%

p2 = 2,5 %

Primjer 2. (Izražavanje stepena korištenja kapaciteta) Planom

korištenja kapaciteta predviđeno je da preduzeće „X“ proizvede 120 garnitura

za sjedenje, dok je realizovana proizvodnja od 80 garnitura. Koliko je

proizvedeno garnitura na svakih 100 predviđenih?

Ovdje je: planirano 120, proizvedeno 80, pa je:

%67,66120

10080

p

Stepen korištenja kapaciteta u preduzeću „X“ iznosi 66,67%.

U procentima se najčešće izražavaju: ostvarenje planskog zadatka,

prebačaj plana, provizija, ažija, disažija, doprinos za socijalno osiguranje,

kalo, rastr, uspjeh grupa i pojedinaca, koeficijent dinamike, rentabilnost, itd.

Kod procentnog računa mogu se javiti, u odnosu na glavnicu tri

slučaja. Može biti data čista glavnica G, uvećana glavnica za procentni prinos

(G + P) i glavnica umanjena za procentni prinos (G – P). S obzirom na tri

vrste glavnice imamo tri oblika procentnog računa: prost, iznad sto i niže sto.


127

Procentnim računom rješavamo zadatke kod kojih je poznata čista

glavnica G, dok procentnim računom iznad sto i niže sto rješavamo zadatke

kod kojih je data uvećana (G + P), odnosno umanjena (G – P) glavnica.


128

2. PROST PROCENTNI RAČUN

Zadaci procentnog računa, ukoliko je data čista glavnica, rješavaju se

pomoću procentnog računa. Da se ne bi pogriješilo kod primjene ovog računa

na određeni zadatak, treba imati na umu da je čista glavnica veličina koja,

najčešće, predstavlja: prodajnu cijenu, fond plata, plate radnika, planski

zadatak, normu radnika, vrijednost osigrane robe, jedinstvenu cijenu u

prodaji na malo, planirani promet, brojno stanje stanovnika ranijeg perioda,

itd. Znači: glavnica je veličina vezana za stanje ranijeg datuma. Kada se

utvrdi da je data veličina u tekstu zadatka čista glavnica onda se primjenjuje

za njegovo rješavanje prost procentni račun. Pošto su veličine procentnog

računa direktno proporcionalne, možemo izvesti opštu formulu za prost

procentni račun.

Proporcija koja odgovara procentnom računu se može pisati u obliku:

pPG :100:

Iz navedene proporcije mogu se izvesti sledeće formule, za

izračunavanje svake veličine. Tako da je:

GPp

pPG

pGP

100

100100


129

Primjer 3. Prodajna vrijednost robe iznosi 20.000 KM, a razlika u

cijeni je 6% od prodajne cijene. Kolika je nabavna vrijednost robe?

Ovdje je: G = 20.000 KM, p = 6%, pa je:

KMpGP 200.1100

6000.20

100

Razlika u cijeni, dakle, iznosi 1.200 KM. Nabavnu vrijednost robe

dobijamo kada od prodajne vrijednosti oduzmemo razliku u cijeni.

Prodajna vrijednost robe KM 20.000

- 6% razlika u cijeni KM 1.200

Nabavna vrijednost robe KM 18.800

Primjer 4. Jedno trgovačko preduzeće po fakturi broj 18. nabavilo je

80.000 metara platna po cijeni od 20 KM/m. Troškovi nabavke iznose 20.000

KM. Ako je razlika u cijeni 26 % od prodajne cijene, izračunati nabavnu i

prodajnu cijenu nabavljenog platna kada je prodajna cijena platna 30 KM.

Ovdje je:

Fakturna vrijednost KM 80.00020 = 1.600.000

Troškovi nabavke KM 20.000

Nabavna vrijednost KM 1.620.000

Razlika u cijeni 26% od prodajne cijene KM 624.000

Povećanje razlike u cijeni KM 156.000

Prodajna vrijednost KM 80.00030 = 2.400.000


130

Razlika u cijeni dobijena je procentnim računom:

000.624100

26000.400.2

100

pGP

Primjer 5. Preduzeće je nabavilo 200 komada proizvoda „X“ po

cijeni 400 KM/kom sa rabatom od 12%. Izračunati koliki je rabat i kolika je

cijena nabavljenih proizvoda.

Ovdje je: G = 200400 = 80.000 KM (rabat se računa od fakturne

vrijednosti, a glavnica je vrijednost nabavljenih proizvoda), p = 12 %, pa je:

600.9100

12000.80

100

pGP

Prema tome, rabat iznosi 9.600 KM dok će nabavna cijena

predstavljati razliku između nabavne vrijednosti i rabata:

Fakturna vrijednost KM 80.000

- 12% rabata KM 9.600

Nabavna vrijednost KM 70.400

Nabavna cijena po komadu dobije se kada se podjeli nabavna

vrijednost sa brojem nabavljenih proizvoda, što iznosi: 352200

400.70 KM.

Primjer 6. Prodajna cijena u trgovini na malo iznosi 200 KM, a

ukupni rabat trgovinskog preduzeća na veliko 20 %. Ako je trgovinsko


131

preduzeće na veliko ustupilo maloprodavcu 14 % rabata, odrediti nabavnu

cijenu u trgovini na veliko.

Ovdje je: prodajna cijena G = 200, pa se 14 % i 6 % rabata računaju

prostim procentnim računom, pa imamo:

28100

142001

P

12100

62002

P

Nabavnu cijenu u trgovini na veliko računamo kada od prodajne

cijene u trgovini na malo oduzmemo 14 % rabata tj. 28 KM. Dobijena razlika

je nabavna cijena u trgovini na malo. Kada se od nabavne cijene u trgovini na

malo oduzme 6 % rabata dobiće se nabavna cijena u trgovini na veliko.

Tako da je:

Prodajna cijena na malo KM 200

- 14% rabata KM 28

Nabavna cijena u trgovini na malo KM 172

- 6% rabata KM 12

Nabavna cijena u trgovini na veliko KM 160

Primjer 7. Fakturna vrijednost kupljene robe iznosi 40.000 KM uz

5% skonta. Izračunati koliko je plaćeno za kupljenu robu, ako se roba plati

prije ugovorenog roka.

Ovdje je: G = 40.000, p = 5%, pa je:

KMP 000.2100

5000.40


132

Dakle, 5 % skonta iznosi 2.000 KM, tako da je za kupljenu robu

plaćeno: 40.000 – 2.000 = 38.000 KM.

Primjer 8. Ako je bruto težina neke robe 25.000 kg, a tara se računa 2

%, izračunati neto težinu robe.

Ovdje je: G = 25.000, p = 2 %, pa je:

kgP 500100

2000.25

Neto težina predstavlja razliku između bruto težine i tare, pa je neto

težina posmatrane robe: 25.000 – 500 = 24.500 kg.

Primjer 9. Trgovinsko preduzeće je za uvezenu robu od inostranog

dobavljača dobilo fakturu na iznos od 60.000 KM. Kolika je carina na

uvezenu robu, ako je carinska stopa 16%?

Ovdje je: G = 60.000, p = 16%, pa je:

KMP 600.9100

16000.60

Carina na uvezenu robu iznosi 9.600 KM.

Primjer 10. Za nabavljenu robu ispostavljena je faktura na iznos od

200.000 KM. Ako je poznato da troškovi nabavke iznose 17 % od fakturne

vrijednosti, izračunati koliko iznose troškovi za nabavljenu robu.


133

Ovdje je: G = 200.000, p = 17%, pa je:

KMpGP 000.34100

17000.200

100

Troškovi nabavljene robe su 34.000 KM.


134

3. PROCENTNI RAČUN IZNAD STO I NIŽE STO

Procentnim računom iznad sto i niže sto rješavamo zadatke kod kojih

je data uvećana, odnosno umanjena, glavnica za procentni prinos. Kao i

prethodni i ovaj oblik procentnog računa ima ogromnu primjenu u praksi. Da

bi se on pravilno primjenio potrebno je uočiti uvećanu, odnosno umanjenu

glavnicu datu u tekstu zadatka, kao i u problemima sa kojima se menadžeri

preduzeća susreću u svojoj praksi. Zato je potrebno upamtiti da je uvećana

glavnica veličina koja predstavlja: ostvarenu proizvodnju pri prebačenju

plana proizvodnje, zaradu radnika pri prebačenoj normi, broj stanovnika ove

godine u odnosu na prošlu godinu, uvećani prinos ove godine u odnosu na

prošlu godinu, bruto lični dohodak radnika, itd.

Umanjena glavnica je: nabavna cijena robe, zarada radnika po odbitku

obustava, neostvareni planski zadatak, neostvarena norma, iznos putnog

računa po odbitku akontacije, prodajna cijena robe poslije sniženja cijena, itd.

Znači i uvećana i umanjena glavnica su veličine za stanje kasnijeg

datuma.

Proporcija koja odgovara procentnom računu niže sto i iznad sto se

može pisati u obliku:

pPpPG :)100(:)(

Iz navedene proporcije mogu se izvesti sledeće formule, za

izračunavanje svake nepoznate veličine. Tako da je:


135

ppPPG

ppPGP

)100()(

100

)(

Pomoću nekoliko primjera ilustrovaćemo primjenu procentnog računa

niže sto i iznad sto.

Primjer 11. Jedno industrijsko preduzeće prebacilo je godišnji plan

proizvodnje sa 5 % i proizvelo 84.000 komada proizvoda. Koliki je plan

preduzeća i za koliko je taj plan prebačen?

Ovdje je: G + P = 84.000, p = 5%, pa je:

000.45100

5000.84

100

)(

p

pPGP

Plan je prebačen za 4.000 komada, a plan je iznosio:

G = 84.000 – 4.000 = 80.000 komada

Primjer 12. Otkup zemljoradničke zadruge je za 10% veći u ovoj

godini u odnosu na prošlu godinu, tako da iznosi 17.600.000 KM. Koliko je

iznosio otkup u prošloj godini?

Ovdje je: G + P = 17.600.000, p = 10%, pa je:

000.600.110100

10000.600.17

100

)(

p

pPGP


136

Otkup je u posmatranoj godini veći za 1.600.000 KM, a prošle

godine je iznosio:

G = 17.600.000 – 1.600.000 = 16.000.000 KM

Primjer 13. Ako radnik prebaci mjesečnu normu za 20% i primi platu

600 KM, kolika je njegova plata prema normi?

Ovdje je: G + P = 600, p = 20%, pa je:

10020100

20600

100

)(

p

pPGP

Plata radnika za 100% izvršenje norme iznosi:

G = 600 – 100 = 500 KM

Primjer 14. Ako je bruto lični dohodak radnika iznosio 684 KM, a

porezi i doprinosi na platu radnika iznose 52%, koliki je neto lični dohodak

radnika?

Ovdje je: G + P = 684, p = 52%, pa je:

23452100

52684

100

)(

p

pPGP

Neto lični dohodak je razlika između bruto plate (G + P) i poreza i

doprinosa na platu (P), pa je:

G = 684 – 234 = 450 KM


137

Primjer 15. Sa 24 % troškova nabavke roba košta 12.400 KM.

Kolika je fakturna vrijednost robe, a koliki su troškovi nabavke?

Ovdje je: G + P = 12.400, p = 24 %, pa je:

400.224100

24400.12

100

)(

p

pPGP KM

Troškovi nabavke iznose 2.400 KM, dok je fakturna vrijednost robe:

G = 12.400 – 2.400 = 10.000 KM

Primjer 16. Roba je pojeftinila za 15%, tako da sada ima vrijednost

od 85 KM. Za koliko je pojeftinila roba i koliko je koštala prije pojeftinjenja?

Ovdje je: G – P = 85, p = 15%, pa je:

1585

1585

100

)(

p

pPGP

Roba je pojeftinila za 15 KM, a prije popjeftinjenja koštala je:

G = 85 + 15 = 100 KM

Primjer 17. Neto težina neke robe je 9.400 kg. Izračunati bruto težinu

robe ako je tara 6%.

Ovdje je: G – P = 9.400, p = 6%, pa je:


138

60094

6400.9

100

)(

p

pPGP kg

Tara iznosi 600 kg, dok je bruto težina:

G = 9.400 + 600 = 10.000 kg

Primjer 18. Godišnji plan izvršen je 75% i to izvršenje je iznosilo

1.875.000 KM. Izračunati koliko je još neizvršeni plan.

Ovdje je: G – P = 1.875.000, p = 100 – 75 = 25%, pa je:

000.62575

25000.875.1

100

)(

p

pPGP KM

Neispunjeni plan iznosi 625.000 KM, dok je planirana vrijednost

proizvodnje:

G = 1.875.000 + 625.000 = 2.500.000 KM

Primjer 19. Nabavna vrijednost kupljene robe je 665.000 KM, a

razlika u cijeni je 5%. Kolika je prodajna vrijednost ove robe i kolika razlika

u cijeni?

Ovdje je: G – P = 665.000, p = 5%, pa je razlika u cijeni:

000.3595

5000.665

100

)(

p

pPGP KM


139

Prodajna vrijednost robe je:

G = 665.000 + 35.000 = 700.000 KM.

Primjer 20. Po odbitku 11% doprinosa budžeta iz ličnih dohodaka od

ukupne zarade radnika u mjesecu, 31% doprinosa socijalnom osiguranju i

fondu za stambenu izgradnju od mjesečne zarade i 25% na ime

administrativne zabrane radnik je primio 590,20 KM. Koliko iznosi bruto

zarada ovog radnika?

Ovdje je: G – P1 = 590,20; p1 = 25%, p2 = 31% i p3 = 11%, pa je:

Administrativna zabrana iznosi:

73,19675

252,590

100

)(

p

pPGP KM

Sabiranjem iznosa koji je radnik primio i administrativne zabrane

dobija se radnikova zarada po odbitku doprinosa:

590,20 + 196,73 = 786,93 KM

Doprinos socijalnom osiguranju i fondu za stambenu izgradnju iznosi:

55,35369

3193,786

100

)(

p

pPGP KM

Mjesečna zarada po odbitku doprinosa budžetu iznosi: 786,93 +

353,55 = 1.140,48 KM. Doprinos bužetu je:

96,14089

1148,140.1

100

)(

p

pPGP KM

Bruto zarada ovog radnika iznosi: 1.140,48 + 140,96 = 1.281,44 KM.


140

Primjer 21. Jedno preduzeće je nabavilo robu za 540.000 KM, pri

čemu je marža za nabavljenu robu 10%. Kolika je prodajna vrijednost robe?

Ovdje je: G – P = 540.000, p = 10%, pa je marža:

000.6090

10000.540

100

)(

p

pPGP KM

Prodajna vrijednost robe je: G = 540.000 + 60.000 = 600.000 KM.

Prinose prednjih zadataka zbog umanjene odnosno uvećane glavnice

iznalazili smo primjenom izvedenih obrazaca procentnog računa iznad sto i

niže sto. Međutim, u praksi se rijetko na taj način izračunava prinos. Češći je

slučaj da se prinos, ako su ispunjeni uslovi primjene procentnog računa iznad

sto i niže sto, izračunava prostim procentnim računom s tim da se mora

pronaći stopa različita od stope date u tekstu zadatka, odnosno praktičnog

problema, koja obezbjeđuje iznalaženje istog prinosa. Ta nova stopa koja

daje isti prinos primjenom na uvećanu, odnosno na umanjenu glavnicu

procentnog računa. Ta procentna stopa naziva se komforna procentna stopa i

označava se sa pk.

Iznalaženje komforne procentne stope, za rješavanje problema

primjenom prostog procentnog računa, kada se zna procentna stopa inad sto

ili niže sto.

Kako procentni prinos glavnice G i procentni prinos umanjene

glavnice G – P moraju biti isti imamo:

100100100kk ppGGpG

ili


141

000.10100100kk ppGpGpG

što poslije skraćivanja sa 100

G daje:

100k

kpp

pp

odnosno

100 p = 100 pk – p pk

Odakle dobijamo obrazac za izračunavanje komforne procentne stope

za procentni račun niže sto:

Po istoj analogiji dobili bismo komfornu procentnu stopu za procentni

račun iznad sto, koja bi se izračunala po obrascu:

Primjer 22. Nabavna vrijednost robe jednog preduzeća iznosila je

420.000 KM, a razlika u cijeni 20%. Kolika je razlika u cijeni? Uporediti

rezultate dobijene primjenom procentnog računa niže sto i komforne

procentne stope.

Ovdje je: G – P = 420.000, p = 20 %, pa je:

000.10580

20000.420

100

)(

p

pPGP KM, razlika u cijeni dobijena

primjenom procentnog računa iznad sto.

Komforna procentna stopa u navedenom slučaju iznosi:

pppk

100

100

pppk

100

100

pppk

100

100


142

%2520100

20100

100

100

pppk , pa je razlika u cijeni dobijena

korištenjem komforne procentne stope:

000.105100

25000.420

100

kpG

P KM

U oba postupka dobijeni su isti rezultati. Prodajna cijena robe iznosi

420.000 + 105.000 = 525.000 KM.


143

4. IZRAČUNAVANJE PROCENTA

U cilju poslovnih operacija vezanih za mnoge vidove poslovne prakse

na osnovu datih podataka potrebno je izračunati procenat. Da bi se izračunao

procenat, moraju biti poznati čista glavnica i prinos.

Iz osnovne proporcije koja vezuje elemente procentnog računa

G : P = 100 : p,

odakle je:

GPp 100

Bez obzira na uslove u procentnom problemu (zadatku), procenat se

može izračunati po gornjoj formuli.

Primjer 23. Ako je cijena nekog proizvoda po jedinici pojeftinila za 6

KM/kom, koliki je pad cijene u procentima, ako se isti proizvod ranije

prodavao po cijeni od 20 KM po komadu?

Ovdje je: G = 20, P = 6, pa je:

%3020

1006100

GPp

Proizvod je pojeftinio za 30%.

Primjer 24. Kolika je ušteda materijala u procentima kad je prema

planu predviđeno da se utoši materijala u vrijednosti od 875.000 KM, a kada

je proces proizvodnje dovršen ustanovljena je potrošnja materijala u

vrijednosti od 805.000 KM.


144

Ovdje je: G = 875.000, G – P = 805.000 P = 875.000 – 805.000 =

70.000, pa je:

%8000.875

100000.70100

GPp

Ušteda materijala iznosila je 8%.

Primjer 25. Broj stanovnika u jednom mjestu smanjio se za 40.000,

tako da danas iznosi 160.000 stanovnika. Koliko je smanjenje u procentima?

Ovdje je: P = 40.000, G – P = 160.000 G = 160.000 + 40.000 =

200.000, pa je:

%20000.200

100000.40100

GPp

Broj stanovnika smanjen je za 20%.

Napomena: Sve što je naprijed rečeno za procentni račun važi i za

promilni račun samo se umjesto stalne veličine 100 koristi stalna oznaka

1.000. promil se označava znakom ‰.


145

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Jedna grupa radnika je planski zadatak koji je definisan kao proizvodnja

od 20.000 komada nekog proizvoda prebacila za 8%. Koliko proizvoda

su proizveli ovi radnici?

2. Neto težina neke robe je 1.840 kg. Kolika je njena bruto težina kada je

tara 5%?

3. Jedna radionica je proizvela za 2.000 komada stolica više od

planiranog broja, što u procentima iznosi 5%. Koliki je planski zadatak

ove radionice i koliko stolica je proizvedeno u toj radionici?

4. Provizija od 1.625 KM računata je od 33.040 KM. Kolika je provizija u

procentima?

5. Trgovina na malo kupila je robu za 60.000 KM, a tu istu robu prodala

za 70.000 KM. Koliko je na svakih 100 KM kupljene robe zaradila ta

trgovina?

6. Broj stanovnika jednog mjesta povećao se u toku poslednjih 10 godina

za 4% i iznosi 104.000 stanovnika. Koliko stanovnika je živjelo u tom

mjestu prije 10 godina?

7. Mjesečna zakupnina jednog poslovnog objekta povećana je za 300 KM

i sada iznosi 6.300 KM. Koliko iznosi povećanje zakupnine u

procentima?


146

8. U jednom preduzeću radilo je 12 radnika, u sledećoj godini u istom

preduzeću radilo je 18. Koliko je radnika više u sledećoj godini u

procentima?

9. U jednoj školi bilo je 124 učenika sa slabim ocjenama, što u procentima

iznosi 8%. Koliko je ukupno učenika u toj školi?

10. U jednom gradu u toku poslednje dvije godine rođeno je 3.000 beba,

tako da je nakon toga broj stanovnika toga grada iznosio 63.000

stanovnika. Koliko se broj stanovnika povećao u procentima?

11. U jednu političku partiju učlanjeno je 84.000 stanovnika jedne izborne

jedinice, što čini 12 % glasača te izborne jedinice. Koliko glasača broji

ta izborna jedinica?

12. Poslovna jedinica jednog proizvodnog preduzeća proizvela je u toku

godine 735.000 komada proizvoda. Koliki je planirani obim

proizvodnje te poslovne jedinice, ako je plan proizvodnje prebačen za

7%?

13. U jednom butiku hlače su poskupile za 5%, pa su nakon izvjesnog

vremena pojeftinile za 20%, tako da sada koštaju 84 KM. Koliko su

koštale hlače prije navedenih promjena cijena?

14. Koji broj uvećan za 5% iznosi 38.000?

15. Koji broj umanjen za 5% iznosi 63.000?


147

16. Preduzeće je prodalo 1/4 robe sa zaradom od 20%, 2/5 sa zaradom od

15%, a ostalu robu sa zaradom 10%. Koliko je iznosila nabavna cijena

robe ako je ukupna zarada iznosila 14.500 KM?

17. Jedan proizvod koji se prodaje u trgovačkom preduzeću pretrpio je

sledeće promjene cijene: prvo je pojeftinio za 10%, pa zatim je

pojeftinio za 25% i nakon toga je poskupio za 20%. Nakon svih

navedenih promjena cijene proizvod se prodavao po cijeni od 16,2 KM.

Kolika je bila cijena tog proizvoda prije svih navedenih promjena

cijena?

18. U jednoj trgovini 20% proizvoda prodaje se sa maržom od 10%, 1/4

proizvoda prodaje se sa maržom od 17% a svi ostali proizvodi prodaju

se sa maržom od 25%. Na taj način trgovina ostvari ukupnu zaradu od

2.000 KM. Koliki ukupan porez na promet ostvari ta trgovina, ako

porez na promet iznosi 17% od nabavne cijene proizvoda?


148

TEST PITANJA

1. Šta je procent, i kako se izračunava?

2. Koje veličine se pojavljuju u procentnom računu?

3. Kako glasi osnovna proporcija kod prostog procentnog računa?

4. Kakva je razlika između procentnog računa „iznad sto“ i „niže sto“?

5. Koja je osnovne proporcije za procentni račun „iznad sto“?

6. Koja je osnovna proporcija za procentni račun „niže sto“?

7. Šta je i kako se izračunava komforna procentna stopa?

8. Šta je i kako se izračunava glavnica kod procentnog računa?

9. Šta je i kako se izračunava prinos kod procentnog računa?

10. Šta je promil i kako se izračunava?


149

VII) RAČUN PODJELE

Račun podjele koristi se za riješavanje problema kada je potrebno

podijeliti jedan određeni iznos na više dijelova prema određenim uslovima.

Uslovi podjele su određeni omjeri. Način podjele može zavisiti od jednog ili

više uslova.

Ukoliko podjela zavisi od jednog uslova primjenjujemo prosti račun

podjele. Ako podjela određenog iznosa zavisi od dva ili više uslova potrebno

je primjeniti složeni račun podjele.

Praktično, račun podjele primjenjuje se u slučajevima kada treba

podijeliti:

- zajedničke troškove preduzeća na pojedine poslovne jedinice,

- zajedničke prihode ili dobitke na pojedine nosioce istih,

- dohodak preduzeća prema određenom dogovoru ili određenom

propisu na više nosioca poslovne aktivnosti,

- troškove prevoza heterogenih roba prema težini ili vrijednosti,

- uopšteno, kada je određenu svotu potrebno podijeliti na više

dijelova u datom omjeru.


150

1. PROSTI RAČUN PODJELE

Posti račun podjele koristimo u slučajevima kada je problem formulisan

na način da je potrebno određenu svotu podijeliti na više dijelova prema

određenom kriteriju. Iznos koji se dijeli naziva se svota i označavamo je sa K.

Za riješavanje ovakvih problema mogu se primjeniti dva pristupa:

- svođenje na jedinicu i

- primjena proporcija.

Ukoliko problem podjele rješavamo svođenjem na jedinicu, postupak

je sledeći:

- odredimo ukupan broj dijelova na koje je potrebno izvršiti podjelu

– k, broj dijelova je jednak zbiru članova proporcije,

- zatim se izračuna ekvivalentni broj – e, koji je jednak količniku

svote i broja dijelova i

- svaki pripadajući dio jednak je proizvodu ekvivalentnog broja e i

člana proporcije na koji se odnosi dio u podjeli.

Ukoliko problem rješavamo primjenom proporcije, postavimo

proporcija koliko imamo dijelova. Proporcije se postavljaju tako što se

ukupan broj dijelova - k stavi u odnos sa članom proprcije na kojeg se odnosi

dio u podjeli sa jedne strane, a sa druge strane u odnos se stave svota i

nepoznati član koji predstavlja dio svote koji će određenom učesniku pripasti

u podjeli.

Primjer 1. Veletrgovina je nabavila 25.000 ženskih hlača koje treba

podijeliti na tri prodavnice, u omjeru 7 : 8 : 10. Koliko hlača će dobiti

pojedine prodavnice?


151

Ovdje je: K = 25.000 komada, omjer je 7 : 8 : 10 = x : y : z, pa

imamo:

a) ukoliko problem rješvamo svođenjem na jedinicu imamo:

000.125

000.25

251087

kKe

k

sada izračunavamo dio koji u podjeli pripada svakoj pojedinoj

prodavnici:

- prva prodavnica dobija x = 7 1.000 = 7.000 komada

- druga prodavnica dobija y = 8 1.000 = 8.000 komada

- treća prodavnica dobija z = 10 1.000 = 10.000 komada

UKUPNO: 25.000 komada

b) ukoliko problem rješavamo proporcijom, imamo:

- prva prodavnica dobija količinu od x – komada hlača, x se određuje

iz proporcije:

25 : 7 = 25.000 : x 000.725

000.257

x komada,

- druga prodavnica dobija količinu od y – komada hlača, y se dobija

iz proporcije:

25 : 8 = 25.000 : y 000.825

000.258

y komada,

- treća prodavnica dobija količinu od z – komada hlača, z se dobija iz

proporcije:

25 : 10 = 25.000 : z 000.1025

000.2510

z komada

UKUPNO: 25.000 komada


152

Primjer 2. Tri radnika su ostvarili bonus dohodak u iznosu od 600

KM. Dobijeni iznos će biti podjeljen u omjeru 0,25 : 0,40 : 0,35. Koliko

novaca će dobiti svaki od pojedinih radnika?

Ovdje je: K = 600; 0,25 : 0,40 : 0,35 = x : y : z, pa je:

a) svođenjem na jedinicu dobijamo:

k = 0,25 + 0,40 + 0,35 = 1,

6001

600e , tako da imamo:

- prvi radnik dobija x = 0,25 600 = 150 KM,

- drugi radnik dobija y = 0,40 600 = 240 KM,

- treći radnik dobija z =0,35 600 = 210 KM

UKUPNO: 600 KM

b) primjenom proporcije:

- prvi radnik dobija bonus od – x KM

1 : 0,25=600 : x 1501

60025,0

x KM,

- drugi radnik dobija bonus od – y KM

1:0,40 = 600 :y 2401

40,0600

y KM,

- treći radnik dobija bonus od – z KM

1: 0,35 = 600 :z 2101

35,0600

z KM

UKUPNO: 600 KM

Primjer 3. Trgovačko preduzeće nabavilo je 2.400 kg kave, 4.000 kg

šećera i 3.600 kg brašna. Za troškove transporta plaćeno je 1.500 KM. Koliko


153

iznose troškovi prevoza za svaku pojedinu robu, ako su transportni troškovi

srazmjerni težini nabavljene robe?

Ovdje je: K = 1.500 KM; 2.400 : 4.000 : 3.600 = x : y : z, pa imamo:

Navedena proporcija se može uprostiti ukoliko se svaki član

proporcije podjeli sa 400, tako dobijamo: 400

600.3:

400

000.4:

400

400.2 = 6 : 10 : 9,

a) ukoliko koristimo pristup riješavanja svođenjem na jedinicu, sada

možemo izračunati ukupan broj dijelova u diobi – k i ekvivalentni broj - e, te

je:

6 + 10 + 9 = 25 = k

6025

500.1e

- dio troškova koji se odnosi na prevoz kave iznosi:

x = 60 6 = 360 KM,

- dio troškova koji se odnosi na prevoz šećera je:

y = 60 10 = 600 KM,

- dio troškova koji se odnosi na prevoz brašna je:

z = 60 9 = 540 KM

UKUPNO: 1.500 KM

b) ukoliko problem rješavamo primjenom proporcije dobijamo, da

pojedinim vrstama roba pripadaju sledeći troškovi:

- za kavu: 25 : 6 = 1.500 : x 25

500.16 x = 360KM


154

- za šećer: 25 : 10 = 1.500 : y 25

500.110 y = 600 KM

- za brašno: 25 : 9 = 1.500 : z 25

500.19 z = 540 KM

UKUPNO: 1.500 KM


155

2. SLOŽENI RAČUN PODJELE

Ako podjela zavisi od dva ili više uslova imamo problem koji je

moguće rješiti primjenom složenog računa podjele. Problemi iz područja

složenog računa podjele rješavaju se svođenjem na prosti račun podjele.

Suština svođenja više proporcija za uslov podjele na jednu proporciju.

Postupak je sledeći:

- ukoliko su veličine u proporciji direktno proporcionalne udjelu u

podjeli ti brojevi se stave u odnos,

- ukoliko su veličine u proporciji obrnuto proporcionalne udjelu u

proporciji u odnos se stave njihove recipročne vrijednosti,

- proporcija prema kojoj će se vršiti podjela dobije se da se pomnože

respektivno članovi svih proporcija koje se odnose na uslov podjele

(svi prvi članovi, pa svi drugi članovi itd) i na osnovu toga se

dobije proporcija na kojoj će se bazirati podjela,

- kada se dobije proporcija na kojoj će se bazirati podjela primjenjuje

se prost račun podjele.

Primjer 4. Dobitak od 12.600 KM treba podijeliti na dvije poslovne

jedinice preduzeća srazmjerno uloženim sredstvima i vremenu rada. Koliko

treba da dobije svaka poslovna jedinica, ako je u prvu uloženo 30.000 KM i

ako je radila 2 godine, dok je u drugu uloženo 50.000 KM i radila je 3

godine?

Ovdje je: K = 12.600; x : y = 30.000 : 50.000 i 2 : 3, pa imamo:

x : y = 30.000 2 : 50.000 3 = 60.000 : 150.000 = 2 : 5, odnosno:

x : y = 2 : 5, te je:


156

k = 7, e = 800.17

600.12

Sada možemo izračunati pripadajući dio svake poslovne jedinice:

a) svođenjem na jedinicu dobijamo:

- I poslovnoj jedinici pripada iznos od x = 1.800 2 = 3.600 KM

- II poslovnoj jedinici pripada iznos od y = 1.800 5 = 9.000 KM

UKUPNO: 12.600 KM

b) primjenom proporcije dobijamo:

- I poslovnoj jedinici pripada iznos od

7 : 2 = 12.600 : x 7

2600.12 x = 3.600 KM

- II poslovnoj jedinici pripada iznos od

7 : 5 = 12.600 : y 7

5600.12 y = 9.000 KM

UKUPNO: 12.600 KM

Primjer 5. Tri preduzeća su sklopila ugovor o zajedničkoj izgradnji

skladšta u vrijednosti od 180.000 KM. Ulaganje u izgradnju skladišta treba

da bude proporcionalno broju zaposlenih radnika u preduzećima i obrnuto

srazmjerno udaljenosti preduzeća od skladišta koje se gradi. Podaci o broju

zaposlenih radnika i udaljenosti pojedinih preduzeća prikazani su u tabeli

broj 1. Koliki iznos treba da participiraju preduzeća pri izgradnji skladišta, uz

navedene uslove?

Preduzeće Broj zaposlenih radnika Udaljenost (km)

I 120 5

II 184 4

III 200 10

Tabela 1. Podaci o preduzećima koja učestvuju u izgradnji skladišta


157

Ovdje je: K = 180.000 KM; x : y : z = 120 : 184 : 200 i 10

1:

4

1:

5

1, pa

imamo:

x : y : z = 10

200:

4

184:

5

120 = 24 : 46 : 20 = 12 : 23 : 10, odnosno:

x : y : z = 12 : 23 :10, te je:

k = 12 + 23 + 10 = 45 i

000.445

000.180e

Sada možemo izračunati pripadajući dio za svako preduzeće, primjenom

metode svođenja na jedinicu, tako dobijamo:

- I preduzeće treba uložiti 4.000 12 = 48.000 KM

- II preduzeće treba uložiti 4.000 23 = 92.000 KM

- III preduzeće treba uložiti 4.000 10 = 40.000 KM

UKUPNO: 180.000 KM

Primjer 6. Na izgradnji ceste radila su tri radnika, tako da je:

- I radnik radio je 5 dana po 8 sati dnevno,

- II radnik radio je 7 dana po 6 sati dnevno i

- III radnik radio je 12 dana po 4 sata dnevno.

Za obavljeni posao namjenjena su novčana sredstva u iznosu od 1.040 KM,

što je potrebno podijeliti na ova tri radnika srazmjerno broju radnih dana i

broju sati rada u toku dana.

Ovdje je: K = 1.040 KM; x : y : z = 5 : 7 : 12 i 8 : 6 : 4, pa imamo:

x : y : z = (5 8) : (7 6) : (12 4) = 40 : 42 : 48 = 20 : 21 : 24, odnosno:

x : y : z = 20 : 21 : 24 , te je:


158

k = 20 + 21 + 24 = 65 i

1665

040.1e

Sada možemo izračunati koliki dio zarade pripada

pojedinimradnicima, tako da radnici za izvršeni rad dobijaju sledeću novčanu

naknadu:

- I radnik dobija 16 20 = 320 KM

- II radnik dobija 16 21 = 336 KM

- III radnik dobija 16 24 = 384 KM

UKUPNO: 1.040 KM


159

ZADACI ZA VJEŽBU

1) Trgovinsko preduzeće je nabavilo pošiljku koja sadrži tri vrste robe,

i to:

roba A, kojoj je fakturna vrijednost 46.000 KM

robu B, kojoj je fakturna vrijednost 146.000 KM

robu C, kojoj je fakturna vrijednost 200.000 KM

Ukupni troškovi transporta, prevoza i utovara iznose 1.980 KM.

Koliko troškova se odnosi na robe A, B i C, ukoliko se troškovi

dijele prema visini fakturne vrijednosti?

2) Dva radnika treba da podijele 560 KM, i to tako da prvi radnik 140

KM više od drugog. Koliko novca će dobiti svaki od ova dva

radnika?

3) Trgovačko preduzeće primilo je u jednoj pošiljci: 1.600 kg brašna,

700 kg riže i 2.100 kg soli. Ukupni troškovi nabavke iznose 660

KM. Koliko novaca pripada pojedinoj nabavljenoj robi, ako se

troškovi nabavke dijele prema težini?

4) Dohodak od 42.300 KM treba podijeliti na tri poslovne jedinice

jednog preduzeća. Prva poslovna jedinica dobija 1/5 dohotka, druga

poslovna jedinica dobija 5/6 dohotka, a treća dobija ostatak

dohotka. Koliki dohodak dobija svaka poslovna jedinica?

5) Troškovi poslovanja trgovačkog preduzeća iznose 18.120 KM.

Troškove poslovanja preduzeća treba podijeliti na tri prodavnice u


160

skladu sa visinom ostvarenog prometa. Koliki troškovi poslovanja

pripadaju pojedinim prodavnicama, ako su ove prodavnice ostvarile

promet kako slijedi: prva je ostvarila promet od 124.800 KM, druga

240.000 KM i treća 360.000 KM?

6) Tri radnika treba da podijele nagradu u iznosu od 2.700 KM, tako

da prvi radnik dobije 2/5, drugi 1/4, a treći ostatak. Koliki iznos

dobija svaki pojedini radnik?

7) Nasljedstvo od 26.400 KM treba podijeliti na tri nasljednika

obrnuto srazmjerno godinama starosti nasljednika. Koliko novaca

pripada svakom nasljedniku, ako je prvi star 7, drugi 14, a treći 21

godinu?

8) Iznos od 36.000 KM treba podijeliti na 4 lica, tako da svako sledeće

dobije po 2.000 KM više od prethodnog. Koliki iznos dobija svako

od ova četiri lica?

9) Preduzeće je nabavilo sirovinu koju treba koristiti za proizvodnju

dva proizvoda, fakturna vrijednost prve sirovine izosila je na 69.000

KM, a druge sirovine 84.000 KM. Troškovi nabavke ove dvije

sirovine iznose 459 KM. Radi kalkulacije cijene koštanja ovih

proizvoda potrebno je podijeliti troškove nabavke na ove dvije

sirovine u skladu sa njihovim fakturnim vrijednosima. Koliko

troškova nabavke pripada kojoj sirovini?

10) Dobit od 28.000 KM treba da podjele tri preduzeća, srazmjerno

uloženim sredstvima i vremenu rada. Koliko od dobiti treba da

dobije svako preduzeće, ako je prva uložila 80.000 KM i radila 2


161

mjeseca, ako je druga uložila 50.000 KM i radlia 3 mjeseca, i ako je

treća uložila 100.000 KM i radila 4 mjeseca?

11) Posao su obavila su tri grupe radnika i zaradili ukupno 23.850 KM.

Zaradu treba da podijele prema broju ostvarenih sati rada. Prvi

grupa od 30 radnika radila je 9 dana po 6 sati dnevno, druga grupa

od 20 radnika, radila je 8 dana po 8 sati dnevno i treća grupa od 40

radnika radila je 6 dana po 10 sati dnevno. Radni sat za sve tri grupe

plaća se jednako. Koliko od zarade pripada svakoj grupi?

12) Tri preduzeća su odlučila da zajednički izgrade skladište u

vrijednosti 129.200 KM. Ovaj iznos treba da podjele srazmjerno

broju zaposlenih, a obrnuto srazmjerno udaljenosti preduzeća od

skladišta. Sa koliko će KM učestvovati svako preduzeće ako:

I preduzeće ima 48 zaposlenih radnika i udaljeno je 4 km

II preduzeće ima 112 zaposlenih radnika i udaljeno je 3,5 km

III preduzeće ima 198 zaposlenih radnika i udaljeno je 5,5 km.


162

TEST PITANJA

1. Koji problemi se mogu riješiti primjenom računa podjele?

2. Koje vrste računa podjele postoje?

3. Šta je svota kod računa podjele?

4. Šta je ekvivalentni broj kod računa podjele?

5. Kojim metodama se mogu riješiti problemi podjele?

6. Koja je razlika između računa proste podjele i složene podjele?

7. Kako se formira srazmjera podjele ako su veličine direktno

proporcionalne udjelu u podjeli?

8. Kako se formira srazmjera podjele ako su veličine obrnuto

proporcionalne udjelu u podjeli?

9. Kako se riješavaju problemi složene podjele?

10. Kod kojih praktičnih problema se koristi račun podjele?


163

VIII) RAČUN SMJESE

Račun smjese koristi se za rješavanje problema kada se miješaju robe

različitih kvaliteta ili cijena da bi se dobila smjesa određenog kvaliteta ili

cijene. Dobijeni kvalitet ili cijena smjese je takav da je da je kvalitet smjese

bolji od kvaliteta najslabijeg a lošiji od kvaliteta najboljeg dijela smjese, kao

da je cijena smjese skuplja od najjeftinijeg, a jefitinija od najskupljeg dijela

smjese.

Zadatak je da se utvrdi u kome omjeru treba miješati date kvalitete ili

cijene da bi se dobila tražena kvaliteta ili cijena. Kod ovih zadataka važi:

- težina smjese jednaka je zbiru težina pojedinih sastavnih dijelova,

- prilikom miješanja se ništa ne smije dobiti niti izgubiti tj. za

pomješanu robu treba dobiti isti novčani iznos koji bi se dobio kada

bi se robe prodavale ne pomješane.

Račun smjese primjenjuje se u dva slučaja:

- kada želimo da odredimo cijenu za robu dobijenu mješanjem roba

čije cijene i količine su poznate i

- kada treba da odredimo u kakvom omjeru treba miješati date

kvalitete da bi se dobio željeni kvalitet.

Prost račun smjese imamo kada mješamo dvije vrste roba. Složen račun

smjese kada miješamo tri ili više vrsta robe.


164

1. ODREĐIVANJE PROSJEČNE CIJENE

Određivanja prosječne cijene smjese, podrazumijeva da se odredi

prosječna cijena robe koja se dobije mješanjem roba različitih cijena.

Određivanje prosječne cijene smjese vrši se tako što se odredi vrijednost

pojedinih sastavnih dijelova, zatim se te pojedine vrijednosti saberu i podijele

zbirom količina sastavnih dijelova.

Primjer 1. U jednoj trgovini pomješano je 100 kg kave po 8 KM, 40

kg kave po 8,8 KM i 60 kg kave po 7,2 KM. Koliko KM košta kilogram kave

dobijen miješanjem ove tri vrste?

Ovdje je:

100 kg á KM 8 = KM 800

40 kg á KM 8,8 = KM 352

60 kg á KM 7,2 = KM 432

200 kg smjese vrijedi 1.584 KM

Dobili smo da 200 kg smjese vrijedi 1.584 KM, odakle proizilazi da 1

kg smjese vrijedi 200

584.1 = 7,92 KM.


165

2. ODREĐIVANJE OMJERA MIJEŠANJA

Određivanje omjera miješanja je problem kod kog treba utvrditi koje

količine roba datih kvaliteta treba pomiješati da se dobije traženi kvalitet

smjese. U ovim zadacima potrbno je odrediti omjer u kome će se miješati

pojedine komponente, što se može utvrditi:

- direktno i

- zaključivanjem.

Da bi se utvrdio omjer mješanja, odnosno udio pojedinih dijelova u

smjesi, potrebno je:

- poredati mjere kojim je određen kvalitet tih roba (npr. cijene) po

veličini,

- u drugom redu se piše smjesa koja se mora naći između najlošijeg i

najboljeg kvaliteta,

- zatim se obrnutim redoslijedom oduzme kvalitet smjese (ps) od

kvaliteta pojedinih dijelova smjese (p1, p2, ... , pn ), tako da se

dobije omjer mješanja,

- nakon toga se saberu članovi proporcije kojom se izražava omjer

mješanja (k) i sa tim bojem se podjeli ukupna količina smjese (K),

čime se dobije ekvivalentni broj učešća u smjesi (e),

- član omjera se pomnoži sa ekvivalentnim brojem (e), čime se

dobije učešće određene robe u smjesi.

Ukoliko imamo tri i više dijelova smjese, uvjek se upoređuje jedna

bolja i jedna lošija vrsta sa srednjom vrijednošću. Ovo vezivanje je


166

proizvoljno tako da u takvim slučajevima može pojavito beskonačno mnogo

rješenja.

Primjer 2. Prodano je 1.500 kg pšenice po cijeni od 0,196 KM. U

prodajnoj vrijednosti pšenice su dvije vrste pšenice čija cijena je 0,18 KM i

0,22 KM, koliko je svake od ove dvije vrste pšenica uključeno u prodanu

količinu?

Ovdje je: K = 1.500 kg, p1 = 0,18; p2 = 0,22; ps = 0,196, pa imamo:

1. ukoliko utvrđivanje omjernih brojeva vršimo direktnom metodom,

imamo:

0,18

0,196

0,22

0,22 – 0,196

0,196 – 0,18

0,024 8

000.1 = 3

0,016 8

000.1 = 2

3 300 = 900 kg

2 300 = 600 kg

5 1.500 kg

k = 3 + 2 = 5 e = 5

500.1 = 300

Potrebno je pomješati 900 kg pšenice čija je cijena 0,18 KM i 600 kg

pšenice cijene 0,22 KM, da bi se dobilo 1.500 kg pšenice po cijeni od 0,196

KM.

Radi kontrole utvrdimo vrijednost pojedinih udjela u smjesi, kao i

smjese, pa imamo:

900 kg á KM 0,18 = KM 162

600 kg á KM 0,22 = KM 132

1.500 kg = KM 294


167

Ako 1.500 kg smjese vrijedi 294 KM, tada vrijedi:1 kg =

KM196,0500.1

294

2. ukoliko utvrđivanje omjernih brojeva vršimo metodom zaključivanja,

imamo:

0,18

0,196

0,22

+ 0,016

– 0,024

0,024 8

000.1 = 3

0,016 8

000.1 = 2

3 300 = 900 kg

2 300 = 600 kg

5 1.500 kg

k = 3 + 2 = 5 3005

500.1 e

Zaključili smo na sledeći način:

Ako bismo pšenicu koja košta 0,18 KM prodavali po 0,196 KM zaradili

bismo 0,016 KM, a ako bismo pšenicu od 0,22 KM prodali po 0,196 KM

izgubili bismo 0,024 KM (ovi brojevi predstavljaju pretpostavljene dobitke,

odnosno gubitke). Omjerne brojeve za ove dvije vrste roba dobijamo kada

zamjenimo mjesta pretpostavljenom dobitku i dobitku zamjenimo mjesta.

Primjer 3. Poljuprivredno gazdinstvo ima tri vrste pasulja koje prodaje

po 4, 5 i 6 KM za jedan kg. Kupac želi da kupi 1.800 kg pasulja, i spreman je

platiti 5,2 KM za jedan kg. Koliko od svke vrste pasulja treba uzeti da bi se

udovoljilo zahtjevu kupca?

Ovdje je: K = 1.500 kg; p1 = 4; p2 = 5; p3 = 6; ps = 5,2 KM pa imamo:


168

a) direktnom metodom:

4

5

5,2

6

6 – 5,2 = 0,8

6 – 5,2 = 0,8

(5,2 – 4) + (5,2 – 5) = 1,4

4

4

7

4 120 = 480 kg

4 120 = 480 kg

7 120 = 840 kg

15 1.800 kg

k = 4 + 4 + 7 = 15 12015

800.1 e


smjese, pa imamo:

480 kg á KM 4 = KM 1.920

480 kg á KM 5 = KM 2.400

840 kg á KM 6 = KM 5.040

1.800 kg = KM 9.360

Ako 1.800 kg smjese vrijedi 9.360 KM, tada vrijedi:1 kg =

KM2,5800.1

360.9 .

Treba uzeti po 480 kg pasulja cijene 4 i 5 KM/kg i 840 kg pasulja

cijene 6 KM, kako bi se dobilo 1.800 kg pasulja po cijeni od 5,2KM/kg.

b) metodom zaključivanja:

4

5

5,2

6

+ 1,2

+ 0,2

– 0,8

5 : 5 = 1

10 : 5 = 2

10 : 5 = 2

1 360 = 360 kg

2 360 = 720 kg

2 360 = 720 kg

5 1.800 kg

k = 1 + 2 + 2 = 5 3605

800.1 e


169

Omjerne brojeve za prvu i drugu vrstu pasulja 5 i 10 uzimamo

proizvoljno, te na temelju njih utvrđujemo pretpostavljeni dobitak. Omjerni

broj za treću vrstu računamo na bazi prva dva:

5 kg po KM 1,2 = KM 6

10 kg po KM 0,2 = KM 2

UKUPNO: KM 8

Kako miješanjem ništa ne smije da se izgubi niti dobije treći omjerni

broj određuje da na trećoj vrsti pasulja moramo izgubiti 8 KM. Znajući da na

jednom kilogramu treće vrste pasulja gubimo 0,8 KM, to znači da treći

omjerni broj iznosi 8,0

8= 10.


smjese, pa imamo:

360 kg á KM 4 = KM 1.440

720 kg á KM 5 = KM 3.600

720 kg á KM 6 = KM 4.320

1.800 kg = KM 9.360

Ako 1.800 kg smjese vrijedi 9.360 KM, tada vrijedi:

1 kg = KM2,5800.1

360.9 .

Ovdje smo dobili dva moguća rješenja problema.


170

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Veletrgovina ima dvije vrste ženskih hlača: cijene po komadu 95 i 80

KM. Trgovina na malo spremana je kupiti 600 komada hlača po cijeni

od 90 KM po komadu. Koliko hlača od ove dvije vrste treba dati

trgovina na veliko, trgovini na malo tako da ispuni njen zahtjev, a da

ne ostvari gubitak?

2. Rakiju od 90%, 70% i 64% treba pomješati, tako da se dobije 1.720

litara rakije jačine 76%. Koliko pojedinih vrsta rakije treba uzeti da se

dobije željena smjesa jačine 76%?

3. Veletrgovina ima brašno cijene od 0,80 KM/kg, 0,98 KM/kg i 1,00

KM/kg. Kupac želi da kupi 14.500 kg brašna po cijeni od 0,85

KM/kg. Koliko kilograma od svake vrste brašna treba uzeti da se

ispune zahtjevi kupca?

4. Trgovina želi pomješati robu od 3,55; 3,70 i 3,90 KM, da bi dobila

mješavinu od 3,75 KM. U kom omjeru treba mješati robu?

5. Od čolkolade 100 gr koja ima cijenu 1,2 KM/kom uzeto je 240

komada. Koliko komada čokolade 100 gr po cijeni od 1,4 i 1,5

KM/kom treba uzeti da bi se dobila smjesa po cijeni od 1,35

KM/kom?

6. Trgovačko preduzeće je nabavljalo više puta nabavljalo jedan artikl,

tako da ima na zalihi taj proizvod po cijeni od 7,2 ; 7,6 ; 8,2 i 9,2 KM

za jedan komad. Mješanjem ovih proizvoda želi dobiti prosječnu


171

cijenu od 8 KM/ kom. Koliko komada proizvoda po cijeni od 7,2 ; 8,2

i 9,2 KM/ kom će uzeti, ako se uzme količina od 70 komada

proizvoda po cijeni od 7,6 KM/ kom?

7. Proizvodno preduzeće u procesu proizvodnje može sirovinu koju

ugrađuje u finalni proizvod nabaviti od 4 dobavljača po cijenama od

70, 73 i 76 KM/ kg. Proizvođaču je za jedan ciklus proizvodnje

potrebno 8.800 kg sirovine. Pri tome je neophodno da se ostvari

prosječna cijena sirovine od 74 KM/kg i da u smjesi bude 2.000 kg

najjeftinije sirovine. Koju količinu ostalih sirovina treba uzeti?

8. Zlatarskoj radnji potrebno je 25,2 kg zlata, finoće 840. Da bi dobila tu

leguru, treba da uzme zlato finoće 920, 800, 750 i 580. Zlata finoće

920 uzima 15,6 kg, po koliko će uzeti zalata od ostale tri vrste?

9. Pomješan je proizvod po cijeni od 1,75; 2 i 2,25 KM/ kom tako da je

dobijena smjesa sa cijenom od 2,1 KM/ kom. U kom omjeru su

mješani proizvodi?

10. U prodavnici kućanskih aparata pomješane su 4 vrste CD – plejera, i

to po cijeni po 120, 112, 100 i 96 KM/ kom, tako da je dobijena

mješavina sa prosječnom cijenom od 114 KM/ kom. Izračunati koliko

je od svake vrste CD – plejera uzeto ako je dobijeno 40 komada

mješavine?


172

TEST PITANJA

1. Šta je račun smjese?

2. Koji su praktični primjeri primjene računa smjese?

3. Koji principi važe kod računa smjese?

4. Koje vrste računa smjese imamo?

5. Kako se određuje prosječna cijena kod računa smjese?

6. Kako se određuje omjer mješanja?

7. Koje metode se primjenjuju kod određivanja omjera mješanja?

8. Ukratko objasniti direktni metod utvrđivanja omjera mješanja?

9. Ukratko odjasnite metod zaključivanja u određivanju omjera

mješanja?

10. Koliko rješenja možemo dobiti ukoliko mješamo tri ili više vrsta

roba?


173

IX) KAMATNI (INTERESNI) RAČUN

Većina ljudi koji se bave finansijskim aspektima poslovanja imala je

priliku da se u procesu školovanja i obrazovanja upozna sa najvažnijim

pojmovima i procedurama iz domena finansijske matematike. Mnogi od njih,

zbog preobimnih i previše teoretski orijentisanih školskih kurseva, imaju

često teškoće kada se suoče čak i sa tako jednostavnim problemom kao što je

izračunavanje kamate. U daljem tekstu biće razmotreni neki osnovni aspekti

ove problematike.

1. PROST KAMATNI RAČUN

Iznos koji se plaća za korišćenje pozajmljenih sredstava predstavlja

interes ili kamatu. Pozajmljena svota obično se naziva glavnica odnosno

kapital. Procentualni dio glavnice koji se plaća na ime interesa za jedinicu

vremena (godina, mjesec, dan, ... ) naziva se interesna stopa (godišnja,

mesečna, dnevna, ... ). Tako, naprimjer, interesna stopa od 25% godišnje

označava da četvrtinu vrijednosti pozajmljenog kapitala treba platiti kao

cijenu pozajmice za godinu dana. Jasno je, dakle, da interesna stopa

predstavlja izraz vrijednosti kapitala, tj. njegovu cijenu.


174

Izračunavanje prostog interesa

Postupak za izračunavanje interesa (kamate) zavisi od ugovora

između povjerioca i dužnika. U ugovoru, između ostalog, pored kapitala,

interesne stope i vremena trajanja pozajmice, mora biti naznačen i metod

obračuna interesa. Naime, interes može biti obračunat jedanput za cio period

pozajmice na osnovu čiste glavnice, i tada se naziva prost interes. Ako se

interes obračunava više puta u toku perioda pozajmice, svaki put na osnovu

glavnice uvećane za interes, takav interes se naziva složen ili interes na

interes.

Iako prost interes ima prevashodno teorijsko-metodološki smisao kao

osnova za razvijanje koncepta složenog interesa, on ima i važan aplikativni

značaj kod kvantifikacije finansijskih transakcija.

Najopštije rečeno, prost interes se izračunava kao proizvod kapitala,

vremena i intenziteta interesne stope ( interesna stopa podjeljena sa 100), tj.:

INTERES = KAPITAL x VRIJEME x (INTENZITET INTERESA)

Ova opšta formula modifikuje se u zavisnosti od toga kako je

izraženo vrijeme.

Tako, ako se uvedu oznake: K – kapital, n – vrijeme (broj godina), p –

interesna stopa (godišnja), I – interes, onda je:

100

pnKI


175

Prost interes se lako može izračunati na osnovu ove formule kada su

poznati kapital vrijeme i interesna stopa. Na osnovu nje se može izračunati i

bilo koja od ove četiri veličine kada su ostale tri poznate.

Primjer 1. (Izračunavanje prostog interesa) Koliko interesa donosi

kapital od 800.000 KM za pet godina, ako je interesna stopa 15% godišnje.

Ovdje je: K = 800.000, n = 5, p = 15 % pa je:

KMpnKI 000.600100

155000.800

100

Primjer 2. Koji kapital uz 4 % godišnje kamate donosi za 3 godine

donosi 240.000 KM interesa?

Ovdje je: I = 240.000, n = 3, p = 4 % pa je:

KMpn

IK 000.000.243

100000.240100

Primjer 3. Preduzeće je podiglo zajam od banke u iznosu od 100.000,

na 2 godine i pri tome je preduzeće platilo iznos od 25.000 KM kao naknadu

za korišteni zajam. Kolika je interesna stopa banke?

Ovdje je: K = 100.000, n = 2, I = 25.000 pa je:

%5,122000.100

100000.25100

nKIp


176

Primjer 4. Koliko godina je potrebno da kapital od 230.000 KM, uz

interesnu stopu od 5% godišnje, donese interes od 34.500 KM?

Ovdje je: K = 230.000, I = 34.500, p = 5% pa je:

godinepK

In 35000.230

100500.34100

Primjer 5. Dva kapitala se razlikuju za 5.000 KM. Veći kapital je

ukamaćen sa 6% godišnjeg interesa na 4 godine, a manji sa 2,5% godišnjeg

interesa na 6 godina. Pri tome, je interes prvog kapitala dvostruko veći od

interesa drugog kapitala. Odredi koliko iznose uloženi kapitali i koliko iznose

interesi osvareni ulaganjem tih kapitala?

Ovdje je: K2 = K1 – 5.000, I1 = 2 · I2, p1 = 6%, p2 = 2,5%, n1 = 4, n2 =

6 pa je:

100111

1

pnKI

100222

2

pnKI

Uvažavajući polazne pretpostavke imamo:

100

5,262

100

64 21

KK

K1 ·24 = 30 · (K1 – 5.000)

24 · K1 = 30 · K1 – 150.000


177

24 · K1 – 30 · K1 = – 150.000

– 6 K1 = – 150.000

K1 = 25.000

K2 = K1 – 5.000 = 25.000 – 5.000 = 20.000

000.6100

64000.251

I

000.3100

5,26000.202

I

Iznos prvog kapitala je 25.000 KM, a njegovim ulaganjem ostvaren je

interes od 6.000 KM. Drugi kapital iznosi 20.000 KM, a njegovim ulaganjem

ostvaren je interes od 3.000 KM.

Primjer 6. Uz koji godišnji interes uloženi kapital, za pet godina,

donese interes dva puta veći od uloženog kapitala?

Ovdje je: I = 2 K, n = 5 pa je:

100

pnKI

1002

pnKK

2 K = K · 0,05 · p

2 = 0,05 p

0,05 p = 2

p = 40 %


178

U prethodnim primjerima vrijeme je izraženo u godinama. Međutim,

prost interesni račun ima adekvatnu praktičnu primenu samo za kratke

intervale vrijemena, tj. za dane i mjesece. Prema tome, u formulama prostog

interesnog računa umesto broja godina obično figuriše razlomak koji

predstavlja dio godine za koji je izvršena pozajmica, tj.

n = broj dana trajanja pozajmice ili broj dana u godini

n = broj mjeseci trajanja pozajmice

broj mjeseci u godini

Tačan broj dana u godini je 365 (366 u prestupnim godinama), a

odgovarajući prost interes koji se izračunavana osnovu tog broja naziva se

tačan prost interes. Za računanje tačnog broja dana može se koristiti tabela 1.

često se zbog jednostavnijeg izračunavanja konvencionalno uzima da je broj

dana u godini 360, a prost interes koji se izračunava korišćenjem ovog broja

naziva se običan prost interes. Tačan prost interes je za 1,4% manji od

običnog. Uprkos ovako maloj razlici, danas nema potrebe za izračunavanjem

običnog prostog interesa jer se i tačan prost intres lako izračuna pomoću

kalkulatora.

Dakle, ako se broj dana pozajmice označi sa d, onda se prost interes

izračunava po formuli:

500.36365100

pdKpdKI

Ukoliko broj mjeseci trajanja pozajmice označimo sa m, znajući da je

broj mjeseci u godini 12, u ovom slučaju prost interes izračunavamo po

formuli:


179

200.112100

pmKpmKI

Primjer 7. (Izračunavanje tačnog prostog interesa) Koliki interes

donosi kapital od 500.000 KM za 45 dana, ako je interesna stopa 18%

godišnje?

Ovdje je: K = 500.000, d = 45, p = 18%, pa je:

096.11500.36

1845000.500

500.36

pdKI KM

Kapital od 500.000 KM, za 45 dana, uz interesnu stopu od 18 %,

donese interes od 11.096 KM.

Primjer 8. Koliki interes će donijeti kapital od 158.700 KM, za pet

mjeseci uz interesnu stopu 6% godišnje?

Ovdje je: K = 158.700, m = 5, p = 6%, pa je:

50,967.3200.1

65700.158

200.1

pmKI

Kapital od 158.700 KM, za 5 mjeseci, uz interesnu stopu od 6 %,

donese interes od 3.967,50 KM.

Primjer 9. Koliko kapitala treba uložiti da bi se uz interesnu stopu od

5%, za 146 dana ostvario interes od 2.000 KM?


180

Ovdje je: p = 5%, d = 146, I = 2.000, pa je:

000.1001465

500.36000.2500.36

pdIK KM

Potrebno je uložiti 100.000 KM.

Primjer 10. Koliko kapitala je potrebno uložiti na 6 mjeseci da bi se

uz interesnu stopu 4,5 % realizovao interes od 9.000 KM?

Ovdje je: m = 6, p = 4,5%, I = 9.000, pa je:

KMpm

IK 000.4005,46

200.1000.91200

Potrebno je uložiti 400.000 KM kapitala.

Primjer 11. Kolika je interesna stopa kojom se za 100 dana ostvari

inters od 5.000 KM na ulog od 146.000 KM?

Ovdje je: d = 100, I = 5.000, K = 146.000, pa je:

%5,12100000.146

500.36000.5500.36

dKIp

Interesna stopa iznosi 12,5 %.

Primjer 12. Sa obrtnim kapitalom od 225.000 KM, preduzeće je za

pola godine zaradilo 16.875 konvertibilnih maraka. Kojoj interesnoj stopi

odgovara ostvarena zarada?


181

Ovdje je: K = 225.000, m = 6, I = 16.875, pa je:

%156000.225

200.1875.16200.1

mKIp

Navedena zarada odgovara interesnoj stopi od 15 %.

Primjer 13. Za koliko dana kapital od 182.500 KM uz interesnu

stopu 4% omogući ostvarenje dobitka od 2.000 KM?

Ovdje je: K = 182.500, p = 4, I = 7.300, pa je:

danapK

Id 1004500.182

500.36000.2500.36

Za 100 dana kapital od 182.500 uz kamatnu (interesnu) stopu od 4 %,

omogući ostvarivanje interesa od 7.300 KM.

Primjer 14. Koliko mjeseci je potrebno da se uloženi iznos, uz

interesnu stopu od 60% udvostruči?

Ovdje je: 2 K = K + I, p = 60%, K = 24.000, pa je:

imjepK

Im sec2060

200.1200.1

Potrebno je 20 mjeseci da bi uloženi iznos uz interesnu stopu od 60 %

udvostručio svoju vrijednost.


182

Primjer 15. Jedan kapital nepoznate vrijednosti podeljen je na tri dela

i uložen na sledeći način, 25% kapitala uloženo je uz interesnu stopu od 8% u

periodu od 29.05. do 29.07, 45% kapitala uloženo je u periodu od 01.06. do

31.07. uz interesnu stopu 4%, ostatak kapitala je uložen uz interesnu stopu

5% u periodu od 15.09. do 14.12. Ukupan interes koji je nastao ovim

ulaganjima iznosio je 25.000 KM, koliko je kapitala uloženo?

Ovdje je:

d1 = 210 – 149 = 61,

d2 = 212 – 152 =60,

d3 = 348 – 258 = 90,

p1 = 8 %,

p2 = 4 %,

p3 = 5 %,

K1 = 0,25 K,

K2 = 0,45 K,

K3 = (1 – 0,25 – 0,45) K = 0,30 K,

I = I1 + I2 + I3 = 25.000, pa je:

000.25600.35

59030,046045,06125,0321

KKKIIII

000.25500.36

135108122

KKK

000.25500.36

365

K

K = 2.500.000 KM


183

Ukupno je uloženo 2.500.000 konvertibilnih maraka. Vrijednost

prvog kapitala iznosi K1 = 0,25 · 2.500.000 = 625.000 KM, drugi kapital

iznosi K2 = 0,45 · 2.500.000 = 1.125.000 KM, avrijednost trećega kapitala je

K3 = 0,30 · 2.500.000 = 750.000 KM. Ukupno je uloženo:

K = K1 + K2 + K3 = 625.000 + 1.125.000 + 750.000 = 2.500.000 KM.

Tabela 1. Broj dana od svakog dana u godini koji počinje od 1. januara

Dan u

mes

Jan

Feb

Mar

Apr

Maj

Jun

Jul

Avg

Sep

Okt

Nov

Dec

Dan u

mes 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36

37 38 39 40 41

42 43 44 45 46

47 48 49 50 51

52 53 54 55 56

57 58 59

60 61 62 63 64

65 66 67 68 69

70 71 72 73 74

75 76 77 78 79

80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95

96 97 98 99 100

101 102 103 104 105

106 107 108 109 110

111 112 113 114 115

116 117 118 119 120

121 122 123 124 125

126 127 128 129 130

131 132 133 134 135

136 137 138 139 140

141 142 143 144 145

146 147 148 149 150 151

152 153 154 155 156

157 158 159 160 161

162 163 164 165 166

167 168 169 170 171

172 173 174 175 176

177 178 179 180 181

182 183 184 185 186

187 188 189 190 191

192 193 194 195 196

197 198 199 200 201

202 203 204 205 206

207 208 209 210 211 212

213 214 215 216 217

218 219 220 221 222

223 224 225 226 227

228 229 230 231 232

233 234 235 236 237

238 239 240 241 242 243

244 245 246 247 248

249 250 251 252 253

254 255 256 257 258

259 260 261 262 263

264 265 266 267 268

269 270 271 272 273

274 275 276 277 278

279 280 281 282 283

284 285 286 287 288

289 290 291 292 293

294 295 296 297 298

299 300 301 302 303 304

305 306 307 308 309

310 311 312 313 314

315 316 317 318 319

320 321 322 323 324

325 326 327 328 329

330 331 332 333 334

335 336 337 338 339

340 341 342 343 344

345 346 347 348 349

350 351 352 353 354

355 356 357 358 359

360 361 362 363 364 365

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

NAPOMENA: U prestupnim godinama, posle 28. februara dodaje se 1 na

tabelarne vrijednosti


184

Prost diskont

Kada se u prostom interesnom računu kapital sabere sa interesom

dobija se veličina koja se naziva uvećani kapital. Ako se uvećani kapital

označi sa A, onda je:

A = K + I

Kapital K predstavlja tzv. Sadašnju vrijednost veličine A i naziva se

diskontovana vrijednost veličine A. Razlika ove dve vrijednosti (interes) I =

A – K naziva se još i diskont. Ovako definisan diskont predstavlja tzv. Realni

diskont ili, kako ga neki autori nazivaju, racionalni diskont. Proces

izračunavanja diskontovane vrijednosti naziva se diskontovanje.

Iz izraza za prost interes lako se može izvesti formula za

izračunavanje diskontovane vrijednosti K date veličine A, tj.:

500.361

200.11

1001

pdA

pmA

pnAK

Primjer 16. (Izračunavanje realnog diskonta) Koliki kapital treba

uložiti 20. marta da bi 30. aprila iste godine narastao na 2.500.000 KM, ako

je interesna stopa 20% godišnje.

Ovdje je: A = 2.500.000, d = 120 – 79 = 41 ( 20.03. je 79, a 30.04. je

120. dan u godini), p = 20%, pa je diskontovana vrijednost:


185

070.445.2

500.36

20411

000.500.2

500.361

pd

AK

Diskont iznosi I = A – K = 54.930.

Primjer 17. Dužnik je vratio banci nakon 7 mjeseci kredit sa 5%

godišnje kamate u iznosu od 247.000 KM. Koliki je iznos kredita koji je

dužnik podigao u banci, te koliko iznose kamate na podignuti kredit?

Ovdje je: A = 247.000, m = 7, p = 5%, pa je diskontovana vrijednost:

000.240

200.1

571

000.247

200.11

pm

AK

Kredit je iznosio 240.000 KM, a bankarska kamata:

I = A – K = 7.000 KM.

Primjer 18. Dva različita kapitala su uložena u banku uz godišnju

kamatnu stopu od 3%, pri čemu je poznata razlika među tim kapitalima, koja

iznosi 5.000 KM. Nakon dve godine ti kapitali zajedno sa kamatama iznosila

su 47.700 KM. Koliko iznose uloženi kapitali i koliki interes su donijeli

ulagaču?

Ovdje je: A1 + A2 = 47.700, n = 2, p = 3%, K1 – K2 = 5.000, pa imamo:

1001

2121 pn

AAKK


186

000.45

100

321

700.4721

KK

K1 + K2 = 45.000

K1 – K2 = 5.000 K1 = 5.000 + K2

5.000 + K2 + K2 = 45.000 2 K2 = 40.000 K2 = 20.000

K1 = 5.000 + K2 = 5.000 + 20.000 = 25.000

Kapitali su iznosili 25.000 i 20.000 KM, a donijeli su ulagaču interes

u iznosu od: I = 47.700 – (25.000 + 20.000) = 2.700 KM.

Primjer 19. Kada će kapital od 25.000 KM uložen u banku 25.01.

vrijediti 25.340 KM, ako kamata iznosi 4% godišnje?

Ovdje je: K = 25.000, A = 25.340, p = 4%, pa je:

124

4000.25

500.36000.25340.25500.36

pK

KAd

Potrebno je da prođe 124 dana, tako da će 149. (124 + 25 = 149) dana

u istoj godini, odnosno 29.05. iste godine kapital od 25.000, uložen 25.01. uz

kamatu 4% vrijediti 25.340 KM.

Primjer 20. Kolika je kamatna stopa uz koju bi kapital od

60.000 KM, za pet godina vrijedio 75.000 KM?

Ovdje je: K = 60.000, A = 75.000, n = 5, pa imamo:


187

%55000.60

)000.60000.75(100)(100

nK

KAp

Uz kamatnu stopu od 5%, kapital od 60.000 KM će za 5 godina

vrijediti 75.000 KM.

Primjer 21. Na koliko mjeseci otplate je odobren potrošački kredit

od 45.000 KM, ako je banci na ime kredita uplaćeno 46.050 KM i ako je

kamatna stopa 4 %?

Ovdje je: K = 45.000, A = 46.050, p = 4%, pa imamo:

74000.45

)000.45050.46(200.1)(200.1

pK

KAm

Kredit je odobren na 7 mjeseci.

Primjer 22. Preduzeće je u četvrtini godine uložilo 22.500.000 a

ostvarilo prihod od 23.843.750 KM, kojoj interesnoj stopi odgovara ostvareni

poslovni rezultat?

Ovdje je: A = 23.843.750, K = 22.500.000, m = 3, pa imamo:

%153000.500.22

)000.500.22750.834.23(200.1)(200.1

mK

KAp

Interesna stopa od 15% omogućila bi da se ostvari jednak poslovni

rezultat.


188

Bankarski diskont

Realni diskont se, kao što je već rečeno, dobija kao razlika uvećanog

kapitala i njegove diskontovane vrijednosti. U bankarstvu se, iako

neopravdano, ne koristi ovaj, već tzv. bankarski diskont koji neki autori

nazivaju i komercijalni diskont.

Za razliku od realnog diskonta, kod bankarskog diskonta sadašnja

vrijednost kapitala ne dobija se diskontovanjem uvećanog kapitala od te

vrijednosti.

U opštem slučaju ovaj diskont se izračunava kao proizvod krajnje

vrijednosti kapitala, vremena i intenziteta diskonta (diskontna stopa

podeljena sa 100)

DISKONT = (KRAJNJI KAPITAL) x VRIJEME x (INTENZITET

DISKONTA)

Ako se uvedu oznake: A – krajnji kapital, n,m,d – vrijeme (broj

godina, broj mjeseci, broj dana), p – diskontna stopa (godišnja) i D – diskont,

onda je:

500.36200.1100

pdApmApnAD

Diskontovana vrijednost je: K = A – D


189

Primjer 23. (Izračunavanje bankarskog diskonta) Na osnovu

podataka iz primjera 16. izračunati bankarski diskont.

Ovdje je: A = 2.500.000, d = 41, p =20%, pa je bankarski diskont:

164.56500.36

2041000.500.2

500.36

pdAD

Diskontovana vrijednost iznosi: K = A – D = 2.443.836

Diskontovana vrijednost, prema realnom diskontu iznosi: K =

2.445.070, iz čega vidimo da je realni diskont veći od komercijalnog.

Primjer 24. Na osnovu podataka iz primjera 17. izračunati bankarski

diskont.

Ovdje je: A = 247.000, m = 7, p = 5%, pa bankarski diskont iznosi:

16,204.7200.1

57000.247

200.1

pmAD

Diskontovana vrijednost iznosi: K = 247.000 – 7.204,16 =

239.795,83 KM.

Diskontovana vrijednost, prema realnom diskontu iznosi:

K = 240.000 KM.

Iz poslednja dva primjera vidi se da je bankarski diskont veći od

realnog. Iako je izračunavanje bankarskog diskonta nešto jednostavnije, za

njegovu primenu nema matematičkog opravdanja. Naime, za dovoljno veliki

vremenski period može se dogoditi da diskontovana vrijednost postane


190

negativna, što razume se, nije realno. Sem toga, korišćenjem bankarskog

diskonta banka može prisvojiti neprimjerenu vrijednost, o čemu će biti riječi

kada budemo govorili o eskontovanju mjenica.


191

2. SLOŽEN INTERES

Složen interes predstavlja interes koji nastaje kad se interes koji

donosi neki kapital za određeni period vremena dodaje kapitalu, i zajedno sa

njim donosi interes na neki duži period vremena. Dodavanje interesa

osnovnom kapitalu ili kapitalu koji je uvećan za interes naziva se

kapitalisanje.

Zavisno od dužine vremenskog perioda kapitalisanje može biti

godišnje ( per annum, skraćeno se piše pa), polugodišnje (per semestre, piše

se ps), tromesečno (per quartale, piše se pq), mesečno (per mensem, piše se

pm).

Uobičajeno je da se kapitalisanje vrši godišnje ili polugodišnje, a

interesna stopa se utvrđuje na godišnjem nivou.

Ako se kapitalisanje vrši krajem svakog obračunskog vremenskog

perioda računanje interesa je dekurzivno i obeležava se slovom d uz interesnu

stopu.

Kod bankarskih zajmova interes se izračunava i unapred odbija od

kapitala, a takvo obračunavanje naziva se anticipativno računanje interesa i

obeležava se slovom a uz interesnu stopu.


192

Izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala

Kapital koji se daje pod interes na interes predstavlja tzv. sadašnju

vrijednost i obično se označava sa K. Svota na koju je narastao kapital dat

pod interes na interes poslije određenog perioda predstavlja krajnju

vrijednost kapitala ili uvećani kapital i označava se sa Kn.

Krajnja vrijednost Kn kapitala K na kraju n – te godine uz p% interesa

godišnje dekurzivno i godišnje kapitalisanje izračunava se po formuli:

n

npKK

1001

Izraz 100

1p

se obično označava sa r i predstavlja interesni činilac.

Ako se uzme u obzir ova oznaka, krajnja vrijednost kapitala je Kn = K r n,

gde rn predstavlja krajnju vrijednost jedinice novca na kraju n – te godine uz

p % interesa godišnje dekurzivno i godišnje kapitalisanje.

Primjer 26. (Izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala kada se

kapitalisanje vrši na kraju godine) Na koju će svotu narasti kapital od

5.000.000 konvertibilnih maraka uz 12% (pa) d i godišnje kapitalisanje za 8

godina.

Ovdje je: K = 5.000.000, p = 12%, n = 8 pa je:

r = 1 + 100

p = 1 + 0,12 = 1,12


193

Kn = K · rn = 5.000.000 · 1,128 = 12.379.816 KM

Primjer 27. U kome vremenu 250.000 konvertibilnih maraka naraste

na 400.000 konvertibilnih maraka uz interesnu stopu od 4% (pa) d?

Ovdje je: K = 250.000, Kn = 400.000, p = 4 %, r = 1 + 0,04 = 1,04 pa

je:

Kn = K r n

KK

r nn

000.250

000.40004,1 n

1,04 n = 1,6

n log 1,04 = log 1,6

98357,11017033339,0

20411998,0n

n = 11 godina, 11 mjeseci i 24 dana

Primjer 28. Kolika je sadašnja vrijednost kapitala koji uz interesnu

stopu od 12% (pa) d, za 10 godina naraste na 310.585 konvertibilnih maraka?

Ovdje je: p = 12% (pa)d r = 1,12, n = 10, Kn = 310.585, pa je:

KMrKK n

n 000.10010585,3

585.310

12,1

585.31010


194

K = 100.000 konvertibilnih maraka.

Ako kapitalisanje vršimo m puta godišnje, onda p postaje m puta

manje, a n postaje m veće. Prema tome, kada se m puta vrši kapitalisanje u

toku jedne godine formula za krajnju vrijednost kapitala postaje:

nm

mn mpKK

1001

Primjer 29. (Izračunavanje krajnje vrijednosti i kapitala kada se

kapitalisanje vrši više puta godišnje) Na koju će sumu narasti kapital

7.500.000 konvertibilnih maraka uz 15% (pa) d i polugodišnje kapitalisanje

za 10 godina.

Ovdje je: K = 7.500.000, p = 15%, n = 10, m = 2, pa je:

883.858.311002

151000.500.7

1001

102

nm

mn mpKK

Primjer 30. Neko uloži u banku 60.000 konvertibilnih maraka sa

interesnom stopom od 10 % (pa) d. Taj isti iznos banka pozajmi sa

interesnom stopom 12% godišnje i polugodišnje kapitalisanje. Koliko zaradi

banka na opisani način za 8 godina?

Ovdje je: K = K1 = K2 = 60.000, p1 = 10% (pa) d, p2 = 12% d, m2 = 2,

n = n1 = n2 = 8, pa je:

r1 = 1 + p1/100 = 1 + 10/100 = 1,10

r2 = 1 + p2/(m2 · 100) = 1 + 12/(200) = 1,06


195

Zarada banke X predstavlja razliku između konačnih vrijednosti ovih

kapitala, tj.:

X = Kn2 – Kn1 = K ( r2mn + r1

n) = 60.000 (1,062·8 + 1,108) = 60.000 (1,0616

– 1,108)

X = 60.000 · 0,396762885 = 23.805,77 KM

Zarada banke iznosi 23.805,77 konvertibilnih maraka.

Očigledno je da se korišćenjem gornje formule ne postiže isti efekat

koji bi se postigao pri godišnjem kapitalisanju. Za postizanje istog efekta

koristi se tzv. konformna (ekvivalentna) stopa pK. Ova stopa se izračunava po

formuli:

1

1001100 m

Kpp

Lako se može pokazati da je p/m > pK, tj. da je relativna stopa veća

od konformne.

Primjer 31. (Izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala kada se

kapitalisanje vrši više puta godišnje korišćenjem konformne stope) Na koju

će sumu narasti kapital od 7.500.000 konvertibilnih maraka uz 15% (pa) d i

polugodišnje kapitalisanje za 10 godina.

Ovdje je: K = 7.500.000, p = 15%, n = 10, m = 2, pa je konformna

stopa:

%42,71100

1511001

1001100

m

Kpp

pa je:


196

KMpKKnm

Kmn 683.341.30

100

42,71000.500.7

1001

102

što je isto kao kada se vrši godišnje kapitalisanje, tj.:

KMpKKn

n 683.341.30100

151000.500.7

1001

10

Primjer 32. (Izračunavanje interesa kod kratkoročnih pozajmica)

Preduzeće je pozajmilo 500.000 konvertibilnih maraka na 13 dana sa

mesečnom stopom od 25% dekurzivno i dnevno kapitalisanje. Izračunati

interes koji preduzeće mora da plati korišćenjem konformne i relativne stope.

Ovdje je: K = 500.000, p = 25% (p.m.) i dnevno kapitalisanje, m = 31

( broj dana u mjesecu), d = 13. Dnevna komformna stopa je:

%72,0125,011001100

251100 3131

Kp

Narasli kapital je:

KMpKKd

Kd 11,876.548

100

72,01000.500

1001

13

a interes je:

i = Kd − K = 48.876,11 konvertibilnih maraka

Ako bi se umesto komformne koristila relativna stopa, onda je:

11,032.55531100

251000.500

311001

13

d

dpKK


197

a interes je:

i = Kd − K = 55.032,11 konvertibilnih maraka

Ako bi se pak koristio prosti interes lako se može videti da je narasli

kapital 552.419,35 konvertibilnih maraka, a interes 52.419,35 konvertibilnih

maraka.

Primjer 33. Uz koju kamatnu stopu (pa) d za 10 godina uloženi

kapital dostigne svoju trostruku vrijednost?

Ovdje je: n = 10, Kn = 3 K, pa je:

r 10 = KK n = 3

10 log r = log 3

log r = 0,477121254

10

log r = 0,0477121254

r = 1,1161

p = 11,61 %

Za male interesne stope razlika između konformne i relativne stope je

zanemarljiva. Na primjer, za godišnju stopu od 9% dnevna relativna stopa

iznosi 0,0246%, a dnevna konformna stopa 0,0236%.


198

Izračunavanje sadašnje vrijednosti kapitala

Iz formule za izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala lako se

uočava da se sadašnja vrijednost kapitala K izračunava se na osnovu formule:

nmn

mp

KK

1001

Primjer 34. (Izračunavanje sadašnje vrijednosti kapitala) Koji

kapital će poslije 5 godina uz interes od 15% (pa) d i tromesečno

kapitalisanje narasti na 10.000.000 KM.

Ovdje je: Kn = 10.000.000, p = 15%, n = 5, m = 4, pa je:

923.788.4

4100

151

000.000.10

1001

54

nmn

mp

KK

Kapital od 4.788.923 KM će poslije 5 godina uz kamatnu stopu od

15% (pa) d i tromjesečno kapitalisanje narasti na 10.000.000 KM.

Primjer 35. Koja će se glavnica uvećati za 12 godina, sa interesnom

stopom od 9% d godišnje do istog iznosa kao 58.500 konvertibilnih maraka

za 6 godina sa interesnom stopom 7,5% d – sve uz četveromesečno

kapitalisanje?

Ovdje je: n1 = 12, n2 = 6, m = m1 = m2 = 3, p1 = 9, p2 = 7,5, Kn1 = Kn2,

K2 = 58.500, pa je:


199

03,1300

91

1001

1

11

mpr

025,1300

5,71

1001

2

22

mpr

58.500 · 1,02518 = K · 1,0336

77,480.31898278328,2

240.91K

Glavnica od 31.480,77 KM.

Suma uloga

U svim dosadašnjim slučajevima posmatrali smo jedan ulog, odnosno

samo jedan kapital. U praktičnim situacijama ponekad se dešava da se

ulaganja ponavljaju u jednakim vremenskim razmacima. Ulozi mogu biti

jednaki, ili različiti. Za izračunavanje sume uloga koristi se složeni interesni

račun, s obzirom da se posle svakog obračunskog perioda narasloj sumi uloga

dodaje i interes na tu sumu za period između dva ulaganja. Ovdje će biti

riječi o sumi jednakih uloga kod kojih se razmak između ulaganja podudara

sa razmakom između kapitalisanja.

Ako se ulaganje vrši početkom svakog obračunskog perioda, kaže se

da je ulaganje anticipativno, a ako se ulaže krajem svakog obračunskog

perioda, tada je ulaganje dekurzivno.


200

2.3.1. Ulaganje početkom obračunskog perioda

Ako se početkom svake godine u toku n godina ulaže po u

konvertibilnih maraka godišnje sa p% (pa) d interesa pri godišnjem

kapitalisanju, i ako se sa Sn označi zbir svih uloga sa interesom na interes,

tada se on izračunava na osnovu formule:

Sn = u r n + u r n – 1 + u r n – 2 + ... + u r

ili

1

)1(

r

rruSn

n

Primjer 36. (Izračunavanje sume anticipativnih uloga) Početkom

svake godine ulaže se u banku po 1.000.000. Kakvo će biti stanje uloga na

kraju pete godine ako se interes računa uz 12% (pa) d i godišnje kapitalisanje.

Ovdje je: u = 1.000.000, p = 12%, n = 5, pa je:

189.115.7112,1

)112,1(12,1000.000.1

1

)1( 5

rrurS

n

n

Na kraju pete godine uloženi iznosi zajedno sa ostvarenim interesom

iznosti će 7.115.189 KM.

Primjer 37. Koliko godina je potrebno da se ulaže 10.000

konvertibilnih maraka početkom godine, uz interesnu stopu od 10% (pa) d,

da bi ulog dostigao vrijednost od 51.051 konvertibilnih maraka?


201

Ovdje je: u = 10.000, p = 10%(pa) d r = 1,1, Sn = 51.051 KM, pa

je:

1

)1(

rrurS

n

n

11,1

)11,1(1,1000.10051.51

n

51.051 = 100.000 (1,1n – 1) │: 100.000

0,51051 = 1,1n – 1

1,51051 = 1,1n

log 1,51051 = n log 1,1

41,1log

51051,1logn

Četri godine je potrebno da se ulaže po 10.000 KM, početkom godine,

da bi uz interesnu stopu 10% (pa) d dostigla vrijednost od 51.051

konvertibilnih maraka.

Primjer 38. Koliki iznos je potrebno ulagati, početkom godine, da bi

uz interesnu stopu od 7% (pa) d, nakon tri godine imali 68.799 konvertibilnih

maraka?

Ovdje je: n = 3, p = 7% (pa) d r = 1,07, Sn = 68.799 KM, pa je:


202

1

)1(

rrurS

n

n

107,1

)107,1(07,1799.68

3

u

68.799 = 3,44 · u

u = 20.000 konvertibilnih maraka

Potrebno je ulagati 20.000 konvertibilnih maraka, početkom tri

godine, sa interesnom stopom od 7% (pa) d da bi dobili 68.799 konvertibilnih

maraka.

Primjer 39. Neka osoba ulaže u banku početkom svakog polugodišta

po 15.000 KM iduće četiri godine. Koliko će ta osoba imati u banci na kraju

osme godine ako je na kraju četvrte godine podigla iznos od 20.000 KM?

Prve tri godine banka odobrava godišnju interesnu stopu od 40%, a preostale

godine 10%. Obračun kamata je složen, polugodišnji i dekurzivan. (Koristiti

konformnu interesnu stopu).

Ovdje je: u = 20.000, p1 = 40% r1 = 1,40, p2 = 10% r2 = 1,10, m = 2, pa je:

Komforna kamatna stopa:

1832,140,111 rpK

0488,110,122 rpK

Suma uloga za prve 3 godine, tj. prvih šest perioda:


203

76,954.16811832,1

)11832,1(1832,1000.15

1

)1( 6

1

611

6,1

k

kk

rrruS

Uloženi kapitali će u četvrtoj godini dostići vrijednost:

C4 = S1,6 · rk22 + u · rk2

2 + u · rk2 = 168.954,76 · 1,1 + 20.000 · 1,1 + 20.000 · 1,0488

C4 = 218.082,24, tako da vrijednost na kraju osme godine X, izračunava

se kao interes na interes na kapital od četvrte do osme godine uz polugodišnje

kapitalisanje, što iznosi:

X = (C4 – 20.000) rk28 = (218.082,24 – 20.000) 1,04888 = 290.012,21

konvertibilnih maraka

2.3.2. Ulaganje karajem obračunskog perioda

Ako se krajem svake godine u toku n godina ulaže po u konvertibilnih

maraka godišnje sa p% (pa) d interesa na interes pri godišnjem kapitalisanju,

i ako se sa Sn označi zbir svih uloga sa interesom na interes, tada se on

izračunava na osnovu formule:

Sn’ = u r n – 1 + u r n – 2 + u r n – 3 + ... + u r + u

ili

Sn’1

)1(

rru n


204

Primjer 40. (Izračunavanje sume dekurzivnih uloga) Neka su svi

uslovi iz primjera 31. isti, osim što se sada traži suma dekurzivnih uloga.

Ovdje je: u = 1.000.000, p = 12%, n = 5, pa je:

Sn’ = KMrru n

847.352.6112,1

)112,1(000.000.1

1

)1( 5

Razlika između sume uloga uz ulaganje početkom i krajem perioda

iznosi 7.115.189 – 6.352.847 = 762.342 KM.

Primjer 41. Koliko godina je potrebno da se ulaže 15.000

konvertibilnih maraka krajem godine, uz interesnu stopu od 10% (pa) d, da bi

ulog dostigao vrijednost od 91.576,5 konvertibilnih maraka?

Ovdje je: u = 15.000, p = 10%(pa) d r = 1,1, Sn’ = 91.576,5 KM,

pa je:

Sn’ 1

)1(

rru n

91.576,5 = 11,1

)11,1(000.15

n

91.576,5 = 150.000 (1,1n – 1) │: 150.000

0,61051 = 1,1n – 1

1,61051 = 1,1n

log 1,61051 = n log 1,1

n = 1,1log

61051,1log

n = 5


205

5 godina je potrebno da se ulaže po 15.000 KM, krajem godine, da bi

uz interesnu stopu 10% (pa) d dostigao vrijednost od 91.576,5 konvertibilnih

maraka.

Primjer 42. Koliki iznos je potrebno ulagati, krajem godine, da bi uz

interesnu stopu od 9% (pa) d, nakon tri godine imali 81.952,5 konvertibilnih

maraka?

Ovdje je: n = 3, p = 9% (pa) d r = 1,09, Sn’ = 81.952,5 KM, pa je:

Sn’ = 1

)1(

rru n

81.952,5 = 109,1

)109,1( 3

u

81.952,5 = 3,2781 · u

u = 25.000 konvertibilnih maraka

Potrebno je ulagati 25.000 konvertibilnih maraka, krajem tri godine,

sa interesnom stopom od 9% (pa) d da bi dobili 81.952,5 konvertibilnih

maraka.

Primjer 43. Neka osoba ulaže u banku krajem svakog polugodišta po

10.000 konvertibilnih maraka iduće tri godina. Koliko će ta osoba imati u

banci na kraju sedme godine ako je na kraju četvrte godine podigla iznos od

30.000 konvertibilnih maraka? Prve tri godine banka odobrava intresnu stopu

od 30%, a za prostale godine 20%. (Primjenite konformnu interesnu stopu).


206

Ovdje je: u = 10.000, n1 = 3, m = 2, p1 = 30% r1 = 1,3, n2 = 4, p2 =

20% r2 = 1,2, pa imamo:

Komforna kamatna stopa:

pK1 = 1402,130,11 r

pK2 = 0954,120,12 r

Suma uloga za prve 3 godine, tj. prvih šest perioda:

S1,6’ = KMrru n

03,378.8511402,1

)11402,1(000.10

1

)1( 61

Nakon podizanja toga, se ulog oročava kao interes na interes, koji bi

da nije bilo podizanja taj iznos bi iznosio:

C 6,14 = K r k2 2 · n2 = 85.378,03 · 1,09548 = 177.070,96

Nakon što je podignut iznos od 30.000 konvertibilnih maraka nakon

četiri godine, C7 se umanjuje za interes na interes tokom 3 godine, odnosno 6

perioda:

C8,14 = 30.000 · 1,09546 = 51.840

Tako da nakon sedam godina ulagač u banci ima:

C7 = 177.070,96 – 51.840 = 125.230,96 konvertibilnih maraka


207

3. AMORTIZACIJA ZAJMOVA

Riječ kredit, ili u užem smislu zajam, predstavlja određeni dužničko –

poverilački odnos zasnovan na ustupanju prava raspolaganja novcem ili

nekim drugim predmetom od strane poverioca dužniku, na određeno vrijeme

i prema uslovima ugovora koji se zasniva između poverioca i dužnika.

Ako ovaj dužničko – poverilački odnos primenimo na privredne

organizacije, onda bi pod kreditom, u našim uslovima podrazumijevali

ugovor između banke, kao poverioca i privredne organizacije kao dužnika, na

osnovu kojeg banka ustupa novčana sredstva privrednoj organizaciji na

raspolaganje, s tim da ih namenski koristi i u roku vrati.

Zajmovi najviše služe za investicione svrhe te se dugoročni kredit

naziva investicioni zajam. Zajam se po pravilu odobrava jednokratno u

određenoj visini, a dužnik ga otplaćuje u određenim otplatnim iznosima

tj.anuitetima.

Amortizacija zajmova jednakom anuitetima

Amortizacioni zajmovi su oni čije se otplaćivanje vrši postepeno po

planu. Otplaćivanje takvih zajmova se naziva amortizacija zajmova.

Prema tome, amortizovati neki zajam znači postepeno ga otplatiti

prema unapred utvrđenom planu amortizacije. Način otplaćivanja zajma


208

može biti različit. Zajam se može amortizovati jednakim ili različitim

otplatama, s tim da se interes plaća posebno. Pored takvog načina

otplaćivanja zajma, postoji mogućnost otplaćivanja zajma određenom sumom

novca kojom se otplaćuje jedan dio zajma, odnosno duga, i istovremeno se

izmiruje tekući interes na dug za protekli period. Ta suma, koja se plaća u

utvrđenim rokovima, a u sadrži u sebi otplatu i interes, nazivamo anuitet.

Anuitet kao i otplata može biti nepromenljiv, a može se menjati. Mi

ćemo posmatrati slučajeve kada su anuiteti jednaki, jer su u praksi takvi

slučajevi češći.

Izrčunavanje anuiteta

Kad se zajam amortizuje jednakim anuitetima, dužnik plaća krajem

svakog perioda amortizacije istu sumu, koja se naziva anuitet.

Pošto zajam K mora biti jednak zbiru svih dikontovanih anuiteta na

dan isplate zajma, to je zbir svih sadašnjih vrijednosti anuiteta jednak zajmu,

tj.:

K = nra

ra

ra

ra

32

ili

K = a ·

)1(

1

rrrn

n


209

gdje je K - zajam, a – anuitet, n – vrijeme otplaćivanja zajma, r = 1 +

100

p– interesni činilac.

Iz izraza za zajam lako se dobija formula za izračunavanje anuiteta a,

tj.:

a = K ·

1

)1(n

n

rrr

gdje a, K, n i r imaju već objašnjena značenja.

Primjer 44. (Amortizacija zajmova) Zajam od 5.000.000 KM

amortizuje se jednakim godišnjim anuitetom u toku 4 godine uz 18% interes

(pa) d. Izračunati anuitet.

Ovdje je: K = 5.000.000, p = 18%, n = 4, pa je:

r = 1 + 100

p = 1,18

i

a = K ·

1

)1(n

n

rrr

= KM693.858.1118,1

)118,1(18,1000.000.54

4

Primjer 45. Zajam od 50.000 konvertibilnih maraka se otplaćuje 12

godina jednakim 6 mjesečnim anuitetom. Koliko iznosi anuitet ako je

kamatna godišnja stopa 8%, a kapitalisanje polugodišnje d?

Ovdje je: K = 50.000, n = 12, m =2, p = 8% r = 1,04, pa imamo:

a = K ·

1

)1(nm

nm

rrr

=

104,1

)104,1(04,1000.5024

24

3.279,34 KM


210

Primjer 46. Koliko iznosi zajam ako je otplaćen za 8 godina

jednakim tromjesečnim anuitetom koji iznosi 500 konvertibilnih maraka.

Banka računa 16% kamate svakog tromesečja d?

Ovdje je: n = 8, m = 4, p = 16% r = 1,04, a = 500, pa imamo:

K = a ·

)1(

1

rrrmn

mn

= KM75,936.8)104,1(04,1

)104,1(50032

32

Primjer 47. Zajam od 30.000 konvertibilnih maraka treba otlatiti u tri

godine anuitetima krajem svakog perioda. Koliki su anuiteti ako je svaki

sledeći dvostruko veći od prethodnog? Obračun kamata je složen, godišnji, a

interesna stopa 10% godišnje.

Ovdje je:

K = 30.000, p = 10% r = 1,1, n = 3, a2 = 2 a1, a3 = 2 a2 = 4 a1,

pa imamo:

K = 3

12

1133

221 42

ra

ra

ra

ra

ra

ra

30.000 = 31

211

1,1

4

1,1

2

1,1

aaa

30.000 · 1,13 = a1 (1,12 + 2,2 + 4) a1 = 66,388.541,7

930.39

Pa je: a1 = 5.388,66, a2 = 10.777,32 i a3 = 21.554,64 konvertibilnih

maraka.


211

Primjer 48. Sedma otplatna kvota zajma iznosi 10.500

konvertibilnih maraka, a dvanaesta 17.693 konvertibilnih maraka. Koliki je

zajam ako je vrijeme amortizacije 15 godina uz jednake godišnje anuitete?

Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.

Ovdje je: K7 = 10.500, K12 = 17.693, n = 15, pa imamo:

Kn = K1 · rn – 1

56

1

111

7

12 rrKrK

KK

r5 = 1,685 r = 5 685,1 = 1,109

K1 = 67

rK

= 5.625,88 K =

1109,1

)1109,1(88,625.5

1

)1( 15151

rrK

192.020,01

Zajam iznosi 190.020,01 konvertibilnih maraka.

Amortizacioni plan

Amortizacioni plan predstavlja šemu amortizacije zajma koja u

svakom periodu otplate sadrži podatke o ostatku duga, interesu na ostatak

duga i otplati.


212

Pretpostavimo da se zajam od K konvertibilnih maraka amortizuje n

godina jednakim godišnjim anuitetima sa p% (pa) d i godišnje kapitalisanje.

Označimo sa Ki, Ii i Bi ostatak duga, interes i otplatu u i – toj godini.

Tada je:

u prvoj godini K1 = K I1 = ( K1 · p) / 100 B1 = a – I1

u drugoj godini K2 = K1 – B1 I2 = ( K2 · p) / 100 B2 = a – I2

u trećoj godini K3 = K2 - B2 I3 = ( K3 · p) / 100 B3 = a – I3

............................................................................................................................

u n – toj godini Kn = Kn-1 – Bn-1 In = ( Kn · p) / 100 Bn = a – In

Jasno je da poslednja otplata mora biti jednaka poslednjem ostatku

duga. Zbog preglednosti, amortizacioni plan se predstavlja u tabeli, kao što se

može videti iz narednih primjera.

Primjer 49. (Izrada amortizacionog plana) Na osnovu podataka iz

primjera 45. napraviti plan amortizacije zajma.

Ovdje je: K = 5.000.000, n = 4, p = 18%, pa imamo:

K1 = 5.000.000,

I1 = (5.000.000 · 18)/100 = 900.000

B1 = 1.858.693 – 900.000 = 958.693

K2 = 5.000.000 – 958.693 = 4.041.307

I2 = (4.041.307 · 18)/100 = 727.435

B2 = 1.858.693 – 727.435 = 1.131.258


213

K3 = 4.041.307 – 1.131.258 = 2.910.049

I3 = (2.910.049 · 18)/100 = 523.809

B3 = 1.858.693 – 523.809 = 1.334.885

K4 = 2.910.049 – 1.334.885 = 1.575.164

I4 = (1.575.164 · 18)/100 = 283.530

B4 = 1.858.693 – 283.530 = 1.575.164

Plan amortizacije zajma prikazan je u tabeli 2.

Preiod

I

Ostatak duga

Ki

Interes

Ii

Otplata

Bi

1

2

3

4

5.000.000

4.041.307

2.910.049

1.575.164

900.000

727.435

523.809

283.530

958.693

1.131.258

1.334.885

1.575.164

Tabela 2. Plan amortizacije zajma

Primjer 50. Dugoročni zajam iznosi 8.000.000 konvertibilnih

maraka, otplaćuje se jednakim polugodišnjim anuitetima u periodu od 3

godine uz godišnju interesnu stopu 12%. Napraviti plan amortizacije zajma.

Ovdje je: K = 8.000.000, p = 12%, n = 3, m = 2, r = 1,06, pa imamo:

a = 106,1

06,006,1000.000.832

32

= 1.626.901

K1 = 8.000.000,

I1 = (8.000.000 · 12)/200 = 480.000

B1 = 1.626.901 – 480.000 = 1.146.901


214

K2 = 8.000.000 – 1.146.901 = 6.853.099

I2 = (6.853.099 · 12)/200 = 411.186

B2 = 1.626.901 – 411.186 = 1.215.715

K3 = 6.853.099 – 1.215.715 = 5.637.384

I3 = (5.637.384 · 12)/200 = 338.243

B3 = 1.626.901 – 338.243 = 1.288.658

K4 = 5.637.384 – 1.288.658 = 4.348.726

I4 = (4.348.726 · 12)/200 = 260.924

B4 = 1.626.901 – 260.924 = 1.365.977

K5 = 4.348.726 – 1.365.977 = 2.982.749

I5 = (1.587.663 · 12)/200 = 178.965

B5 = 1.626.901 – 178.965 = 1.447.936

K6 = 2.982.749 – 1.447.936 = 1.534.813

I6 = (3.333.461 · 12)/200 = 92.088

B6 = 1.626.901 – 92.088 = 1.534.813

Plan amortizacije zajma prikazan je u tabeli 3.

Period

I

Ostatak duga

Ki

Interes

Ii

Otplata

Bi

1

2

3

4

5

6

8.000.000

6.853.099

5.637.384

4.348.726

2.982.749

1.534.813

480.000

411.186

338.243

260.924

178.965

92.088

1.146.901

1.215.715

1.288.658

1.365.977

1.447.936

1.534.813

Tabela 3. Plan amortizacije zajma


215

4. ESKONTOVANJE MJENICA

Pod pojmom eskontovanje mjenice podrazumjeva se transakcija u

kojoj banka kupuje mjenicu prije roka njenog dospeća. Imalac mjenice koji

želi prijevremeno da ostvari svoja potraživanja dobija sumu, tzv. eskontovanu

vrijednost, koja je manja od nominalne vrijednosti mjenice za interes od dana

eskontovanja do dana dospeća. S obzirom da diskontovati znači prodati, a

eskontovati znači kupiti, ovaj interes za banku predstavlja eskont a za imaoca

mjenice diskont. Stopa po kojoj se računa interes naziva se eskontna

(diskontna) stopa.

U bankarskoj praksi eskont (diskont) računa se korišćenjem prostog

interesnog računa kao bankarski eskont (diskont), mada bi, kao što je već

ranije istaknuto sa matematičkog stanovišta bilo opravdano računati realni

eskont (diskont).

Izračunavanje eskontovane vrijednosti mjenice

Za izračunavanje eskontovane vrijednosti mjenice prvo treba odrediti

prost interes na nominalnu vrijednost mjenice za broj dana od dana

eskontovanja do dana prispeća. Oduzimanjem tog interesa od nominalne

vrijednosti dobija se eskontovana vrijednost mjenice.

Primjer 51. (Izračunavanje eskontovane vrijednosti mjenice)

Preduzeće je 15. aprila prodalo banci mjenicu od 8.000.000 KM sa rokom


216

dospeća 30. juna. Kolika je eskontovana vrijednost ove mjenice ako je

eskontna stopa 25%?

Ovdje je: K = 8.000.000, d = 181 – 105 = 76 ( 15.04. je 105, a 30.06.

je 181. dan u godini), p = 25%, pa je eskont:

I = 500.36

2576000.000.8

500.36

pdK = 416.438 KM

a eskontovana vrijednost mjenice:

E = K – I = 8.000.000 – 416.438 = 7.583.562 KM

Primjer 52. Kada dospeva mjenica na 600.000 konvertibilnih

maraka, eskontovana 31.01. ako po odbitku 16% eskonta njezina

eskontovana vrijednost iznosi 568.438,40 konvertibilnih maraka.

Ovdje je: K = 600.000, E = 568.438,4, p = 16%, pa imamo:

I = K – E

I = 600.000 – 568.438,4 = 31.561,6

I = 500.36

pdK , te je:

d =16000.600

6,651.31500.36500.36

pKI

= 120 dana

Mjenica dospjeva za 120 dana. 31.01. je 31 dan u godini, tako da

mjenica dospeva 151 (151 = 31 + 120), a to je 31.05, dakle, mjenica dospeva

31.05.


217

Primjer 53. Koliko iznosi eskontna stopa, sa kojom je eskontovana

mjenica, ako je preduzeće za mjenicu koja dospjeva 06.10 od 50.000

konvertibilnih maraka, 01.06 platilo 45.998,60 konvertibilnih maraka?

Ovdje je: K = 50.000, E = 45.998,60, d = 127 ( 06.10. je 279 dan u

godini, 01.06. je 152 dan u godini, tako da je 279 – 152 = 127), sada imamo:

I = K – I = 50.000 – 45.998,6 = 4.001,4

127000.50

4,001.4500.36500.36

dK

Ip = 23%

Mjenica je eskontovana sa eskontnom stopom od 23%.

Izračunavanje nominalne vrijednosti mjenice

Potreba za izračunavanjem nominalne vrijednosti mjenice javlja se u

slučaju kada se po osnovu potraživanja na dužnika trasira mjenica sa

kasnijim rokom dospeća. U tom slučaju nije poznata nominalna već

eskontovana vrijednost mjenice.

Polazeći od izraza za izračunavanje prostog interesa lako se može

dobiti sledeća formula za izračunavanje nominalne vrijednosti mjenice:

K =

500.361

pdE

gdje je sa E označena eskontovana vrijednost mjenice.


218

Nominalna vrijednost je bitna i za svođenje dvije ili više mjenica, sa

različitim rokom dospijeća, eskontnom stopom i vrijednošću, na jednu

mjenicu koja se naziva ekvivalentna mjenica. Ekvivalentne mjenice su one

koje imaju jednaku sadašnju vrijednost na određeni datum. Sve mjenice

svedu na sadašnju vrijednost i zamjene jednom mjenicom, čija vrijednost je

na taj određeni datum jednaka zbiru sadašnjih vrijednosti svih uključenih

mjenica. Postupak se sastoji u tome:

- da se mjenice podijele na one koje dospijevaju prije određenog

datuma i one koje dospijevaju poslije određenog datuma;

- izračuna se interes na svaku mjenicu od datuma njenog dospijeća

do određenog datuma;

- saberu se nominalne vrijednosti svih mjenica, te im se doda iznos

interesa za mjenice koje dospijevaju prije određenog datuma i na

kraju se oduzme interes svih mjenica koje dospijevaju nakon

određenog datuma.

Primjer 54. ( Izračunavanje nominalne vrijednosti mjenice)

Preduzeće potražuje 17. maja 12.500.000 KM. Na dužnika je trasirana

mjenica sa rokom dospeća 31. decembra i prodata banci. Izračunati mjeničnu

sumu ako je diskontna stopa 18%.

Ovdje je: E = 12.500.000, d = 365 – 137 = 228 (17.05. je 137. a

31.12. je 365. dan u godini), p = 18%, pa je nominalna vrijednost mjenice:

K =

500.36

182881

000.500.12

500.361

pd

E = 14.569.229,79 KM


219

Primjer 55. Tri mjenice glase:

50.000 konvertibilnih maraka dospeva 10.10.



Kojim iznosom se mogu podmiriti te tri mjenice jednom mjenicom

koja dospeva 05.09. iste godine? Eskontna stopa iznosi 10%.

Ovdje je: p = 10%, n1 = 35 (od 05.09 do 10.10), n2 = 32 (od 04.08 do

05.09), n3 = 95 (od 02.06. do 05.09.), pa imamo:

452,479500.36

3510000.50

500.361

1

dpKI

0137,263500.36

3210000.30

500.362

2

dpKI

5479,520500.36

9510000.20

500.363

3

dpK

I

Ekvivalentne mjenice su one koje imaju jednaku sadašnju vrijednost na

određeni datum (u posmatranom primjeru to je 05.09.). Prema načelu

ekvivalencije mjenica dobijamo:

02.06 04.08 05.09 10.10

50.000 20.000 30.000

X

+ K2

+K3

- K1


220

X = (K3 + I3) + (K2 + I2) + (K1 – I1)

X = (20.000 + 520,5479) + (30.000 + 263,0137) + (50.000 – 479,452) =

100.304,11

Navedene mjenice se mogu podmiriti iznosom od 100.304,11

konvertibilnih maraka.


221

ZADACI ZA VJEŽBU

1. Koliko interesa donosi kapital od 2.400.000 KM za pet godina,

ako je interesna stopa 7,5% godišnje.

2. Koji kapital uz 2 % godišnje kamate donosi za 6 godine donosi

360.000 KM interesa?

3. Preduzeće je podiglo zajam od banke u iznosu od 300.000, na 6

godine i pri tome je preduzeće platilo iznos od 75.000 KM kao

naknadu za korišteni zajam. Kolika je interesna stopa banke?

4. Koliko godina je potrebno da kapital od 125.000 KM, uz

interesnu stopu od 10% godišnje, donese interes od 69.000 KM?

5. Dva kapitala se razlikuju za 10.000 KM. Veći kapital je

ukamaćen sa 12% godišnjeg interesa na 8 godine, a manji sa 5%

godišnjeg interesa na 12 godina. Pri tome, je interes prvog

kapitala dvostruko veći od interesa drugog kapitala. Odredi

koliko iznose uloženi kapitali i koliko iznose interesi osvareni

ulaganjem tih kapitala?

6. Uz koji godišnji interes uloženi kapital, za deset godina, donese

interes četiri puta veći od uloženog kapitala?

7. Koliki interes donosi kapital od 5.000.000 KM za 90 dana, ako je

interesna stopa 9% godišnje?


222

8. Koliki interes će donijeti kapital od 317.400 KM, za pet mjeseci

uz interesnu stopu 3% godišnje?

9. Koliko kapitala treba uložiti da bi se uz interesnu stopu od 2,5%,

za 73 dana ostvario interes od 1.000 KM?

10. Koliko kapitala je potrebno uložiti na 12 mjeseci da bi se uz

interesnu stopu 9 % realizovao interes od 18.000 KM?

11. Kolika je interesna stopa kojom se za 200 dana ostvari inters od

10.000 konvertibilnih maraka na ulog od 292.000 KM?

12. Sa obrtnim kapitalom od 450.000 KM, preduzeće je za pola

godine zaradilo 33.750 konvertibilnih maraka. Kojoj interesnoj

stopi odgovara ostvarena zarada?

13. Za koliko dana kapital od 91.250 KM uz interesnu stopu 2%

omogući ostvarenje dobitka od 1.000 KM?

14. Koliko mjeseci je potrebno da se uloženi iznos, uz interesnu

stopu od 30% udvostruči?

15. Jedan kapital nepoznate vrijednosti podeljen je na tri djela i

uložen na sledeći način, 50% kapitala uloženo je uz interesnu

stopu od 16% u periodu od 27.03. do 27.05, 20% kapitala

uloženo je u periodu od 01.04. do 05.06. uz interesnu stopu 5%,

ostatak kapitala je uložen uz interesnu stopu 10% u periodu od

15.06. do 13.08. Ukupan interes koji je nastao ovim ulaganjima

iznosio je 40.000 KM, koliko je kapitala uloženo?


223

16. Koliki kapital treba uložiti 20. marta da bi 30. aprila iste godine

narastao na 5.000.000 KM, ako je interesna stopa 10% godišnje.

17. Dužnik je vratio banci nakon 14 mjeseci kredit sa 10% godišnje

kamate u iznosu od 497.000 KM. Koliki je iznos kredita koji je

dužnik podigao u banci, te koliko iznose kamate na podignuti

kredit?

18. Dva različita kapitala su uložena u banku uz godišnju kamatnu

stopu od 6%, pri čemu je poznata razlika među tim kapitalima,

koja iznosi 10.000 KM. Nakon dve godine ti kapitali zajedno sa

kamatama iznosila su 95.400 KM. Koliko iznose uloženi kapitali

i koliki interes su donijeli ulagaču?

19. Kada će kapital od 500.000 KM uložen u banku 25.01. vrijediti

506.800 KM, ako kamata iznosi 8% godišnje?

20. Kolika je kamatna stopa uz koju bi kapital od 180.000 KM, za pet

godina vrijedio 225.000?

21. Na koliko mjeseci otplate je odobren potrošački kredit od 90.000

KM, ako je banci na ime kredita uplaćeno 92.100 KM i ako je

kamatna stopa 8%?

22. Preduzeće je u četvrtini godine uložilo 45.000.000 a ostvarilo

prihod od 47.768.500 KM, kojoj interesnoj stopi odgovara

ostvareni poslovni rezultat?


224

23. Na osnovu podataka iz primjera 16. izračunati bankarski diskont.

24. Na osnovu podataka iz primjera 17. izračunati bankarski diskont.

25. Na koju će svotu narasti kapital od 25.000.000 konvertibilnih

maraka uz 12% (pa) d i godišnje kapitalisanje za 8 godina.

26. U kome vremenu 500.000 konvertibilnih maraka naraste na

800.000 konvertibilnih maraka uz interesnu stopu od 4% (pa) d?

27. Kolika je sadašnja vrijednost kapitala koji uz interesnu stopu od

12% (pa) d, za 10 godina naraste na 1.552.925 konvertibilnih

maraka?

28. Na koju će sumu narasti kapital 15.000.000 konvertibilnih

maraka uz 7,5% (pa) d i polugodišnje kapitalisanje za 5 godina.

29. Neko uloži u banku 120.000 konvertibilnih maraka sa interesnom

stopom od 10 % (pa) d. Taj isti iznos banka pozajmi sa

interesnom stopom 12 % godišnje i polugodišnje kapitalisanje.

Koliko zaradi banka na opisani način za 4 godina?

30. Na koju će sumu narasti kapital od 15.000.000 konvertibilnih

maraka uz 12% (pa) d i polugodišnje kapitalisanje za 6 godina.

31. Preduzeće je pozajmilo 1.000.000 konvertibilnih maraka na 26

dana sa mesečnom stopom od 12% dekurzivno i dnevno

kapitalisanje. Izračunati interes koji preduzeće mora da plati

korišćenjem konformne i relativne stope.


225

32. Uz koju kamatnu stopu (pa) d za 15 godina uloženi kapital

dostigne svoju trostruku vrijednost?

33. Koji kapital će posle 5 godina uz interes od 12% (pa) d i

kvartalno kapitalisanje narasti na 20.000.000 KM.

34. Koja će se glavnica uvećati za 10 godina, sa interesnom stopom

od 12% d godišnje do istog iznosa kao 128.372 konvertibilnih

maraka za 5 godina sa interesnom stopom 12% d – sve uz

tromesečno kapitalisanje?

35. Početkom svake godine ulaže se u banku po 2.000.000. Kakvo će

biti stanje uloga na kraju pete godine ako se interes računa uz

15% (pa) d i godišnje kapitalisanje.

36. Koliko godina je potrebno da se ulaže 50.000 konvertibilnih

maraka početkom godine, uz interesnu stopu od 15% (pa) d, da bi

ulog dostigao vrijednost od 789.292 konvertibilnih maraka?

37. Koliki iznos je potrebno ulagati, početkom godine, da bi uz

interesnu stopu od 9% (pa) d, da bi nakon četiri godine imali

124.617,8 konvertibilnih maraka?

38. Neka osoba ulaže u banku početkom svakog polugodišta po

55.000 KM iduće tri godine. Koliko će ta osoba imati u banci na

kraju šeste godine ako je na kraju četvrte godine podigla iznos od

100.000 KM? Prve tri godine banka odobrava godišnju interesnu

stopu od 20%, a preostale godine 15%. Obračun kamata je


226

složen, polugodišnji i dekurzivan. (Koristiti konformnu interesnu

stopu).

39. Neka su svi uslovi iz primjera 31. isti, osim što se sada traži suma

dekurzivnih uloga. Koji kapital na 6 godina uz interes 6% donosi

7.200 KM interesa?

40. Jedan štediša podijelio je svoj kapital na četri jednaka dijela. Prvi

dio je oročen uz interesnu stopu od 3%, drugi uz 4%, treći uz

4,5% i četvrti uz 5%. Koliko iznosi kapital, ako je štediša ostvario

ukupan interes od 1.650 KM za godinu dana?

41. Uz koju interesnu stopu treba dati kapital od 2.000 KM da za tri

godine donese 500 KM interesa?

42. Za koje vrijeme će bilo koji kapital uz interesnu stopu od 5% (pa)

d postati tri puta veći?

43. Za koje vrijeme će kapital od 3.000 KM uz 6% interesa donijeti

interes od 60 KM?

44. Sa kojom interesnom stopom treba dati kapital od 6.000 KM na 5

godina da bi donio isti interes kao i kapital od 9.000 KM uz

interes od 1,5% više interesa za 3 godine?

45. Koji kapital uz 10% interesa godišnje donosi isto toliko interesa

kao i kapital od 60.000 KM uz 8% interesa godišnje?

46. Ušteđevina jednog lica donijela je izvjestan interes za 2 godine uz

4%. Kada bi istu svotu uložio za 2 godine duže uz interes od 5%


227

dobio bi 2.400 KM više interesa. Kolika je bila ušteđevina, a

koliki interes?

47. Dva lica su svoju ušteđevinu od 36.000 KM dala na štednu

knjižicu. Prvo lice svoj kapital daje na 6 mjeseci uz 4% i dobija

dvostruko veći interes od drugog lica koje je svoju ušteđevinu

oročilo na 8 mjeseci uz 3% intresa. Kolika je ušteđevina prvog,

odnosno drugog lica?

48. M.M. dao je 1/5 svoga kapitala uz 4%, jednu trćinu uz 6% a

ostatak uz 5% sve (pa) d. Koji je kapital dat na poslugu ako je

poslije 3 godine donio 23.100 KM interesa?

49. Kapital od 40.000 KM daje godišnje isto toliko interesa kao

kapital od 30.000 KM uložen uz 1/3 % više interesa (pa) d. Sa

kojom su interesnom stopom uložena ova dva kapitala?

50. Dva su kapitala za tri godine data na poslugu. Jedan je dat uz 4%

(pa) d interesa; drugi, koji je za 2.000 KM veći, dat je uz 6% (pa)

d. Koliki je prvi kapital, a koliki drugi kapital ako zajedno donose

2.640 KM intresa?

51. Neko uloži 1/3 svoga kapitala uz 2% (pa) d interesa i dobije

godišnje 1.484 KM intresa. Uz koju stopu da uloži ostatak novca

da bi mjesečno dobijao 742 KM intresa?

52. Koliko godina je potrebno da se ulaže 25.000 konvertibilnih

maraka krajem godine, uz interesnu stopu od 12% (pa) d, da bi

ulog dostigao vrijednost od 133.821,2 konvertibilnih maraka?


228

53. Koliki iznos je potrebno ulagati, krajem godine, da bi uz

interesnu stopu od 8% (pa) d, da bi nakon osam godine imali

212.732,6 konvertibilnih maraka?

54. Neka osoba ulaže u banku krajem svakog polugodišta po 30.000

konvertibilnih maraka iduće tri godina. Koliko će ta osoba imati u

banci na kraju sedme godine ako je na kraju četvrte godine

podigla iznos od 10.000 konvertibilnih maraka? Prve tri godine

banka odobrava intresnu stopu od 15% (pa) d, a za prostale

godine 10% (pa) d. (Primjenite konformnu interesnu stopu).

55. Zajam od 10.000.000 KM amortizuje se jednakim godišnjim

anuitetom u toku 48 godine uz 9% interes (pa) d. Izračunati

anuitet.

56. Zajam od 150.000 konvertibilnih maraka se otplaćuje 6 godina

jednakim tromjesečnim anuitetom. Koliko iznosi anuitet ako je

kamatna godišnja stopa 4%, a kapitalisanje polugodišnje d?

57. Koliko iznosi zajam ako je otplaćen za 16 godina jednakim

tromjesečnim anuitetom koji iznosi 250 konvertibilnih maraka.

Banka računa 20% kamate svakog tromesečja d?

58. Zajam od 45.000 konvertibilnih maraka treba otlatiti u tri godine

anuitetima krajem svakog perioda. Koliki su anuiteti ako je svaki

sledeći dvostruko veći od prethodnog? Obračun kamata je složen,

godišnji, a interesna stopa 15% godišnje.


229

59. Petnaesta otplatna kvota zajma iznosi 1.404.928 konvertibilnih

maraka, a dvanaesta 1.000.000 konvertibilnih maraka. Koliki je

zajam ako je vrijeme amortizacije 20 godina uz jednake godišnje

anuitete? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan

60. Na osnovu podataka iz primjera 45. napraviti plan amortizacije

zajma.

61. Dugoročni zajam iznosi 12.000.000 konvertibilnih maraka,

otplaćuje se jednakim tromjesečnim anuitetima u periodu od 4

godine uz godišnju interesnu stopu 17%. Napraviti plan

amortizacije zajma.

62. Preduzeće je 25. januara prodalo banci mjenicu od 24.000.000

KM sa rokom dospeća 30. maj. Kolika je eskontovana vrijednost

ove mjenice ako je eskontna stopa 12%?

63. Kada dospeva mjenica na 7.500.000 konvertibilnih maraka,

eskontovana 30.05 ako po odbitku 18% eskonta njezina

eskontovana vrijednost iznosi 7.389.041 konvertibilnih maraka.

64. Koliko iznosi eskontna stopa, sa kojom je eskontovana mjenica,

ako je preduzeće za mjenicu izdanu 15.09. od 150.000

konvertibilnih maraka, 13.12. platilo 142.685, konvertibilnih

maraka?

65. Preduzeće potražuje 29. jula 1.500.000 KM. Na dužnika je

trasirana mjenica sa rokom dospeća 13. decembra i prodata banci.

Izračunati mjeničnu sumu ako je diskontna stopa 24%.


230

66. Kada dospijeva mjenica za koju je banka na dan 08.03. po

odbitku 8% eskonta u iznosu od 800 KM isplatila 35.000 KM?

67. Jedna zemljoradnička zadruga kupi svoje članove na kredit robe u

vrijednosti 600.000 KM, pod uslovom da 200.000 KM plati

poslije 3 mjeseca, 300.000 KM poslije 10 mjeseci, a 100.000 KM

poslije 16 mjeseci. Kada bi zadruga cio dug mogla isplatiti

odjednom, a da ne ošteti ni sebe ni preduzeće od kojeg je kupila

robu, ako se na ime intresa računa 5,5%?

68. Neko je bio dužan da isplati odmah 2.000 KM, poslije 6 mjeseci

3.000 KM, a poslije 8 mjeseci 5.000 KM. Međutim on isplati

4.000 KM poslije 5 mjeseci. Kada mora platiti ostatak duga, a da

ne ošteti ni povjerioca ni sebe, ako se na ime interesa računa 7%?

69. Neko je dužan da plati 1/4 svoga duga poslije 6 mjeseci, 1/3

poslije 10 mjeseci, a ostatak poslije 20 mjeseci. Poslije kog

vremena može isplatiti cio dug odjednom ako je interesna stopa

4%?

70. Tri mjenice glase:




Kojim iznosom se mogu podmiriti te tri mjenice jednom

mjenicom koja dospeva 15.09. iste godine? Eskontna stopa iznosi

15%.


231

TEST PITANJA

1. Kako se izračunava prost interes?

2. U čemu je razlika između realnog i komercijalnog diskonta?

3. Šta je složen interes?

4. Kako se izračunava složen interes?

5. Šta je sadašnja vrijednost i kako se izračunava?

6. Kakva je razlika između suma dekurzivnih i anticipativnih uloga?

7. Šta je anuitet i kako se izračunava?

8. Kako se pravi amortizacioni plan?

9. Kako se izračunava eskontovana vrijednost mjenice?

10. Kako se izračunava nominalna vrijednost mjenice?


232

LITERATURA

1. Andrijić, S. Konverzija zajma, Sarajevo: Svjetlost, 1978.

2. Davidovik, N. Osnovi na matematikata za ekonomisti, Skopje:

Kultura, 1978.

3. Đorđević, M. i Nenadović, N. Matematika za ekonomiste, Beograd:

naučna knjiga, 1985.

4. Elazar, M. Privredna i finansijska matematika, Beograd: Savremena

administracija, 1961.

5. Kiš, T. i Vugdelija, D. Privredna i finansijska matematika – zbirka

izrađenih zadataka s komentarom, Subotica: Ekonomski fakultet,

1982.

6. Kraljević, J. Poslovna matematika – zbirka riješenih zadataka sa 1.

kolokvija iz Poslovne matematike, Zagreb: Progres, 1999.

7. Kraljević, J. Poslovna matematika – zbirka riješenih zadataka sa 2.

kolokvija iz Poslovne matematike, Zagreb: Progres, 1999.

8. Krčmar, M. Finansijska matematika i metode investicionog

odlučivanja, Sarajevo: Kemigrafika, 2002.

9. Ralević, R. Finansijska i aktuarska matematika, Beograd: Savremena

administracija, 1980.

10. Ralević, R. i dr. Matematika za ekonomiste II, Bijeljina: FST, 1994.


233

S A D R Ž A J P R E D G O V O R ............................................................................... 3 I) DETERMINANTE ............................................................................ 5

1. DETERMINANTE DRUGOG REDA ................................................ 5 2. DETERMINANTE TREĆEG REDA ................................................. 8 3. DETERMINANTE VIŠEG REDA ................................................... 11 4. DISKUSIJA RJEŠENJA SISTEMA JEDNAČINA .......................... 14 5. HOMOGENI SISTEM JEDNAČINA ............................................... 19 ZADACI ZA VJEŽBU: ..................................................................... 21 TEST PITANJA ................................................................................ 23

II) MATRICE ........................................................................................ 24 1. OPERACIJE SA MATRICAMA ...................................................... 26

1.1. Sabiranje matrica ............................................................................. 26 1.2. Množenje matrice brojem ................................................................ 26 1.3. Množenje matrica ............................................................................ 27 1.4. Invertovanje matrica ........................................................................ 30 1.5. Rang matrice .................................................................................... 35

ZADACI ZA VJEŽBANJE ............................................................... 42 TEST PITANJA: ............................................................................... 45

III) EKONOMSKE FUNKCIJE ........................................................... 46 1. FUNKCIJA PONUDE ....................................................................... 47 2. FUNKCIJA TRAŽNJE ..................................................................... 53 3. USLOV RAVNOTEŽE NA TRŽIŠTU ............................................. 59 4. ELASTIČNOST KAO MJERA MEĐUZAVISNOSTI EKONOMSKIH VELIČINA ............................................................ 62 5. FUNKCIJA PRIHODA ..................................................................... 70 6. ELASTIČNOST FUNKCIJE PRIHODA .......................................... 79 7. FUNKCIJA TROŠKOVA ................................................................. 82 8. FUNKCIJA ELASTIČNOSTI TROŠKOVA .................................... 88 9. FUNKCIJA DOBITI ......................................................................... 91 ZADACI ZA VJEŽBU: ..................................................................... 92 TEST PITANJA ................................................................................ 96

IV) OMJERI I PROPORCIJE .............................................................. 97 1. OSOBINE PROPORCIJA ................................................................. 98 2. RJEŠAVANJE PRAKTIČNIH PROBLEMA PRIMJENOM PROPORCIJA ................................................................................. 103

2.1. Proste proporcije ............................................................................ 103 2.2. Složene proporcije ......................................................................... 105

ZADACI ZA VJEŽBU .................................................................... 107 TEST PITANJA .............................................................................. 110


234

V) VERIŽNI RAČUN ......................................................................... 111 1. PROST VERIŽNI RAČUN ............................................................. 113 2. SLOŽEN VERIŽNI RAČUN .......................................................... 116

ZADACI ZA VJEŽBU .................................................................... 121 TEST PITANJA ............................................................................... 123 VI) PROCENTNI RAČUN .................................................................. 124

1. POJAM PROCENTA ...................................................................... 124 2. PROST PROCENTNI RAČUN ....................................................... 128 3. PROCENTNI RAČUN IZNAD STO I NIŽE STO ......................... 134 4. IZRAČUNAVANJE PROCENTA .................................................. 143

ZADACI ZA VJEŽBU .................................................................... 145 TEST PITANJA ............................................................................... 148 VII) RAČUN PODJELE ........................................................................ 149

1. PROSTI RAČUN PODJELE ........................................................... 150 2. SLOŽENI RAČUN PODJELE ........................................................ 155

ZADACI ZA VJEŽBU .................................................................... 159 TEST PITANJA ............................................................................... 162 VIII) RAČUN SMJESE ........................................................................... 163

1. ODREĐIVANJE PROSJEČNE CIJENE ........................................ 164 2. ODREĐIVANJE OMJERA MIJEŠANJA ...................................... 165

ZADACI ZA VJEŽBU .................................................................... 170 TEST PITANJA ............................................................................... 172 IX) KAMATNI (INTERESNI) RAČUN ............................................. 173

1. PROST KAMATNI RAČUN .......................................................... 173 1.1. Izračunavanje prostog interesa ....................................................... 174 1.2. Prost diskont .................................................................................. 184 1.3. Bankarski diskont .......................................................................... 188

2. SLOŽEN INTERES ......................................................................... 191 2.1. Izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala ..................................... 192 2.2. Izračunavanje sadašnje vrijednosti kapitala ................................... 198 2.3. Suma uloga .................................................................................... 199

3. AMORTIZACIJA ZAJMOVA ........................................................ 207 3.1. Amortizacija zajmova jednakom anuitetima ................................. 207

4. ESKONTOVANJE MJENICA ........................................................ 215 4.1. Izračunavanje eskontovane vrijednosti mjenice ............................ 215 4.2. Izračunavanje nominalne vrijednosti mjenice ............................... 217

ZADACI ZA VJEŽBU .................................................................... 221 TEST PITANJA ............................................................................... 231 LITERATURA................................................................................. 232 SADRŽAJ ........................................................................................ 233


235

CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna i univerzitetska biblioteka Republike Srpske, Banja Luka 51(075.8) 51-77/33 (075.8) RALEVIĆ, Nebojša Poslovna matematika /Nebojša Ralević / Mirjana Landika. – 1.izd. – Banja Luka : M Power ; Prijedor : Koledž za informatiku i menadžment „Janjoš”, 2007. (Banja Luka : M Power). – 234 str. graf.prikazi, tabele; 25 cm Tiraž 300 . ISBN 978-99955- 20-06-9 1. Landika, Mirjana COBISS.BH-ID 501784

Documents

POSLOVNA MATEMATIKA