Upload
silvana-lukajic
View
903
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 1/17
Smjer „Informacione tehnologije”
Predmet
POSLOVNA I FINANSIJSKA MATEMATIKA
(seminarski rad)
Prof. dr Esad Jakupović
Student
Slavica Štrbac
Index br. 125-09/VIT
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 2/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
Banja Luka, april 2011.
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 3/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
SADRŽAJ
Contents
Predmet ........................................................................................................ 1
POSLOVNA I FINANSIJSKA MATEMATIKA ........................................................1
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 4/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
1.PROCENTNI I PROMILNI RAČUN
Srazmjeran račun pomoću kojeg direktan odnos dvije veličine (tekuće i bazne, dijela i cjeline)
izražavamo tako što jednu od veličina (baznu, odnosno cjelinu) uzimamo kao 100, odnosno
1000 jedinica nazivamo procentni odnosno promilni račun.
Pođimo od sledećih dogovora:
1%=1/100=0,01;
6%=6*1/100=6/100=0,06;
1‰=1/1000=0,001;
6‰=6*1/1000=6/1000=0,006.
Prema ovim dogovorima odnos broja 180 i 9000 možemo prikazati na sledeći način:
180:9000=2:100=
Uopštimo ovaj primjer i napišimo sledeću proporciju: (1)
P:G=p:1-G:P=1:p-P=pG
G-oznaka za baznu veličinu, cjelinu ili tzv. čistu glavnicu;
P-oznakaza tekuću veličinu, dio ili tzv. procentni (promilni) prinos;
p-oznaka za procentnu (promilnu) stopu i predstavlja tekuću veličinu na 1 jedinicu bazneveličine (glavnice), p se po želji i potrebi može prikazati u obliku s/100 ili s/1000 jedinica
glavnice (bazne veličine).
Iz ove činjenice i dolazi naziv za “procentni” odnosno “promilni” račun.
Proporcija (1) služi za tzv. procentni (promilni) račun od sto (hiljadu) jer predpostavlja rad sa
tzv. čistom glavnicom. Međutim u praksi se javljaju i slučajevi kada je data ili se
predpostavlja glavnica zajedno sa prinosom ili glavnica po odbitku prinosa. Za takve
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 5/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
slučajeve jednostavno formiramo izvedene proporcije polazeći od (1) poznate pod nazivom
proporcije za procentni (promilni) račun više i niže sto (hiljadu).
(G P):(1±p)= (2)
Iz (2) se po potrebi mogu dobiti:
P= (3)
G= (4)
je oznaka za uvećanu, odnosno umanjenu glavnicu.
Dakle, radi se o relativno jednostavnim obrascima, čija upotreba ne predstavlja veće
probleme. Ono što se u praktičnoj primjeni javlja kao problem je: kojim računom u
konkretnom slučaju treba raditi, tj. koju od proporcija koristiti. U tu svrhu dajemo sledeća
dva uputstva:
Ona vrijednost na koju se odnosi procentni prinos, odnosno ona vrijednost koja služi
kao baza upoređivanja (bazna veličina) uzima se kao čista glavnica.
Ako je u nekom problemu poznata ili se smatra poznatom (datom), čista glavnica, radi
se računom od sto (hiljadu); ako je poznata umanjena glavnica, radi se računom niže
sto (hiljadu); ako je poznata uvećana glavnica radi se računom više sto (hiljadu).
Napomena:
Ako je npr. 100KM čista glavnica, onda je 80KM 20% manja glavnica od 100KM, a 120KM
je 20% veća glavnica od 100KM.100KM je glavnica (veća vrijednost) od 80KM, ali 100KM nije uvećana glavnica u odnosu
na 80KM, već je 80KM umanjena glavnica u odnosu na čistu od 100KM. 100KM je manja
glavnica (manja vrijednost) od 120KM, ali 100KM nije umanjena glavnica u odnosu na
120KM, već je 120KM uvećana glavnica u odnosu na čistu od 100KM.
Na kraju imamo dva karakteristična i za ekonomiste značajna slučaja upotrebe i razlikovanja
procentnog računa od sto, niže sto i više sto. To su slučajevi izračunavanja marže i rabata.
1.1.Marža
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 6/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
je pozitivna razlika u cijeni koja se računa na nabavnu cijenu kao čistu glavnicu. Marža se
dodaje nabavnoj cijeni pa se dobije prodajna cijena kao uvećana glavnica
NC+M=PC
NC- oznaka za nabavnu cijenu
M- oznaka za maržu
PC- oznaka za prodajnu cijenu
1.2.Rabat
je pozitivna razlika u cijeni koja se računa na prodajnu vrijednost kao čistu glavnicu. Rabat se
oduzima od prodajne cijene pa se dobije nabavna cijena kao umanjena glavnica
PC-R=NC
R- oznaka za rabat.
Primjer:
Nabavljene su 4 količine robe i prodate: prva sa 2% zarade, druga sa 6% gubitka, treća sa 9%
zarade, a četvrta po nabavnoj cijeni. Pojedinačne zarade i gubici se računaju od:
a) Nabavnih
b) Prodajnih vrijednosti.
Prodajom robe ostvarena je ukupna zarada od 189.847,5KM. Izračunati sve nabavne i
prodajne vrijednosti i ukupnu zaradu u %, ako se zna da je druga nabavna vrijednost za
15.000 manja od prve, da je treća za 15% veća od druge, a četvrta za 15.000KM manja od
treće.
Rješenje:
a) Neka je x oznaka za prvu nabavnu vrijednost. Tada možemo postaviti sledeću
jednačinu:
0,02*x-0,06*(x-15.000)+0,09*1,15*(x-15.000)=189.847,5
Rješenje ove jednačine je x=3.000.000.
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 7/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
Tražene rezultate možemo tabelarno prikazati (Tab.10-1):
NV(G) Z(±P) PV(G±P)3.000.000 60.000,0 3.060.000,02.986.000 -179.100,0 2.805.900,03.432.750 308.947,5 3.741.697,53.417.750 - 3.417.750,012.835.500 189.847,5 13.025.347,5
Ukupna zarada (Z) u odnosu na ukupnu nabavnu vrijednost (NV) iznosi:
A u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost (PV) iznosi:
Napomena:
0,014575 je decimalni zapis procentne stope p=1,4575%, odnosno promilne stope p= 14,575.
b) Neka je x oznaka za prvu nabavnu vrijednost. Sada možemo postaviti sledeću
jednačinu:
*(x-1500)+ *1,15*(x-15000)=189.847,5
Rješenje ove jednačine je: x=2.459.413.
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 8/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
Tražene rezultate prikazujemo sledećom tabelom (Tab. 10-2):
NV(G±P) Z(±P) PV(G)
2.459.413,0 50.192,1 2.509.605,12.444.413,0 -138.363,0 2.306.050,02.811.071,9 278.018,4 3.089.093,32.796.074,9 - 2.796.074,9
10.510.975,8 189.847,5 10.700.823,3
Ukupna zarada u odnosu na ukupnu nabavnu vrijednost iznosi:
A u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost iznosi:
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 9/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
2. RAZMJERE
Upoređivanje veličina je često osnovna i nužna pretpostavka uspješne primjene metoda
kvantitativne analize. Upoređivati se mogu: neimenovani brojevi, istoimene veličine,
raznoimene veličine i uopšte osobine koje se mogu izraziti brojem. Imenovane veličine se
upoređuju tako što se stave u odnos neimenovani brojevi (brojni izrazi) koji predstavljaju
količine upoređivanih veličina.
2.1. Odnos neimenovanih veličina
Primjer:
1. 100-20=80 => 20-100= -80
Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 za 80 veći od broja 20, a da je 20 za 80 manji od broja
100.
2. 100:20=5=> 20:100=1/5
Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 pet puta veći od broja 20, odnosno da je broj 20 petina
broja 100.
2.2. Odnosi istoimenih veličina
1. 100km-20km=80km
Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km za 80 km veća od razdaljine koja iznosi 20
km.
2. 100km:20km=5
Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km 5 puta veća od razdaljine koja iznosi 20 km.
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 10/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
U geometrijskoj razmjeri a:b=q, a i b su članovi razmjere, q je oznaka za količnik ili
vrijednost razmjera.
Ako je |q| > 1 onda je |a| |q| puta veća od |b|;
Ako je |q| < 1 i q ≠0 onda je |a| 1/|q|-ti dio od |b|;
Ako je q =1 onda je a=b.
Primjer:
6:2=32:6=1/3
Ovi odnosi pokazuju da je broj 6 tri puta veći od broja dva, a broj 2 je trećina broja 6 (2 puta
1/(1/3) = 3-ći dio broja 6 ).
Pošto su ekonomske veličine uglavnom pozitivne, može se zaključiti da geometrijski odnos
(razmjera) dva pozitivna broja, izražen njihovim količnikom q, pokazuje koliko puta je prvi
veći od drugog (q>l), odnosno koji dio drugog je prvi (q<l) ili koliko jedinica prvog se
odnosi na jedinicu drugog člana broja.
Ako su članovi geometrijske razmjere brojevi , , ,..., , onda se ona naziva produžna
razmjera. Pošto u produžnim razmjerama nije (zagradama) definisan redoslijed dijeljenja, to
one nemaju jednoznačno određenu vrijednost, već se vrijednost određuje po parovima, za bilo
koja dva člana. Tako se može pisati:
: = , : = ..., : =
Ako je = =...= =q, onda brojevi , , ..., , čine geometrijski niz..
Osobine geometrijske razmjere a:b=q:
1) (m*a):b=m*q;
2) a:(n*b)=1/n*q, n≠0;
3) (m*a):(n*b)=m/n*q, n≠0;
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 11/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
4) (k*a):(k*b)=q,
ova osobina poznata je pod nazivom proširivanje razmjere (│k│>1) odnosno skraćivanje
razmjere
(│k│<1, k≠0).
Ova osobina se može prenijeti i na produžne razmjere, na sledeći način:
Neka je data razmjera : :...: : za koju važi
: = , : = ,..., : = .
Tvrdimo da je datoj razmjeri ekvivalentna razmjera:
( ):( ): ... :( ):( ), tj.
tvrdimo da je odnos članova ove razmjere isti kao odnos odgovarajućih članova date
razmjere.
Dokaz:
: = , jer je / = : = ;
: = ,
….
: = .
Prema tome, ako u datoj razmjeri svaki član pomnožimo ili podijelimo istim brojem, odnos bilo koja
dva člana novodobijene razmjere će biti isti kao odnos odgovarajućih članova date razmjere.
5) a : b = q <=> b : a = 1/q, pri čemu su q i 1/q međusobno recipročni brojevi.
Složena razmjera je rezultat umnoška odgovarajućih članova više prostih ili više produžnih razmjera.
Neka su date proste razmjere:
: = , : = ,…, : =
Tada se od ovih razmjera dobije sledeća "složena" razmjera:
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 12/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
( * *…* = ( * *…* , odnosno:
Istinitost ove tvrdnje možemo prikazati na sledeći način:
Date razmjere prikažimo ovako:
Ako ove jednačine pomnožimo međusobo tako što se posebno pomnože lijeve, a posebno
desne strane, dobićemo:
odnosno:
Odnosno:
( ,
što je trebalo i pokazati.
Neka su sada date produžne razmjere
tada se od ovih razmjera dobije sledeća "složena" razmjera:
( ,
odnosno
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 13/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
Za dokaz ove tvrdnje odredimo redoslijed dijeljenja, a time i vrijednost svake razmjere.
Dakle, neka je:
Ove razmjere se mogu pisati i ovako:
Međusobnim množenjem ovih jednačina dobija se:
odnosno:
Razmjera na lijevoj strani ove jednakosti bez određivanja redoslijeda dijeljenja glasi:
što se željelo pokazati.
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 14/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
Slično se od produžnih razmjera:
: … : ;
: … : ;
…
: … : ;
može dobiti složena razmjera:
Treba primjetiti da složene razmjere nisu nova vrsta razmjera, jer su krajnji rezultati prosteodnosno produžne razmjere, a “složenost” leži u činjenici da su rezultati više razmjera.
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 15/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
3. ANUITETI HETEROGENO RAZLIČITI ILI PROIZVOLJNO
ODREĐENI
Pošto u ovom slučaju ne postoji jedinstvena matematička veza između anuiteta, plan
amortizacije se radi prema opšte važećim pravilima.
; ; ;
Primjer:
Zajam od 50.000 KM treba otplatiti za najviše 5 mjeseci, mesečnim anuitetima koji su
najmanje 10% od ostatka duga, uz 8% kamate mjesečno. Izraditi plan otplaćivanja.
Riješenje: (Tab. 10-17)
Pretpostavimo da dužnik, u okviru datih ograničenja, može birati veličinu anuiteta. Ovo
međutim nije moguće u slučaju poslednjeg anuiteta koji mora obuhvatiti kamatu na ostatakduga i ostatak duga.
Tabela 10-17
j Dj -1 Ij=pc∙Dj-1 Aj Bj=Aj-Ij1 50.000,00 4.000,00 9.000,00 5.000,002 45.000,00 3.600,00 14.600,00 11.000,003 34.000,00 2.720,00 12.720,00 10.000,004 24.000,00 1.920,00 14.920,00 13.000,00
5 11.000,00 880,00 11.880.00 11.000,00Σ - 13.120,00 63.120,00 50.000,00
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 16/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
U problemima ove vrste treba voditi računa da po pravilu mora biti Aj>Ij, jer će se u
protivnom dug povećati.
Povjerilac kao izuzetak može dozvoliti i ovaj slučaj ali to kasnije mora biti nadoknađeno.
Pretpostavimo da je u obrađenom primjeru dozvoljeno da dužnik ne plati anuitet u drugom
mesecu, a da u trećem plati samo kamatu, onda bi plan amortizacije izgledao ovako (Tab. 10-
18).
Tabela 10-18
j Dj -1 Ij=pc∙Dj-1 Aj Bj=Aj-Ij
1 50.000,00 4.000,00 9.000,00 5.000,002 45.000,00 3.600,00 0,00 -3.600,003 38.600,00 3.888,00 3.888,00 0,004 48.000,00 3.888,00 18.888,00 15.000,005 33.600,00 20.688,00 36.288.00 33.600,00Σ - 18.064,00 68.064,00 50.000,00
5/11/2018 Poslovna i Finansijska Matematika - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/poslovna-i-finansijska-matematika 17/17
16
Slavica Štrbac Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika
4. LITERATURA
Prof.dr Esad Jakupović, Poslovna i finansijska matematika, Panevropski univerzitet
“APEIRON”, Banja Luka, 2008.godina