Polinomios Interpolantes.

Cabudare, 26 de

Cabudare , 10 de Febrero 2013.

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO

Integrante:Fremy Salazar Materia: Análisis NuméricoCarrera: Ing. Mantenimiento Mecánico

Interpolación Polinómicas

El Problema De La Interpolación

Consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva.

Para calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. De igual forma puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero puede que sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos.

Interpolación polinómica.

Es cuando se utilizan polinomios como funciones de aproximación.

Extrapolación.

Se presenta cuando en la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos.

Tabla De Diferencias

Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar los coeficientes de polinomios interpolantes.

Los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de xLa finalidad es determinar el comportamiento de la función, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)).

En una tabla de diferencias se debe arreglar los datos con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda.

Un ejemplo:

x f(x) Af(x) A2f(x) A3f(x) A4f(x) A5f(x) A6f(x)0,0 0,000 0,203 0,017 0,024 0,020 0,032 0,1270,2 0,203 0,220 0,041 0,044 0,052 0,1590,4 0,423 0,261 0,085 0,096 0,2110,6 0,684 0,346 0,181 0,3070,8 1,030 0,527 0,4881,0 1,557 1,0151,2 2,572

Polinomio de Avance de Newton-Gregory

Cuando la función que ha sido tabulada, se comporta como un polinomio (esto se puede decir observando que sus diferencias de orden n-ésimo sean iguales o casi), se le puede aproximar al polinomio que se le parece. El problema consiste entonces en encontrar los medios más sencillos para escribir el polinomio de n-ésimo grado correspondiente.

Polinomio Interpolante de Gauss.

Donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.  En la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo.

Interpolación De Hermite.

En esta unidad se busca un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada sub-intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Interpolación Usando Splines.

La   desventaja es que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación.

Uso de los splines donde los mismos son funciones s(x) continúas por pedazos con las siguientes propiedades:

1. s(x) es polinomio cúbico en .2. existen y son continuas en .3. s(x) interpola a la función f en los datos .4. s(x) es continua en el intervalo.

Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente:

Los intervalos   no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la definición de la función en los nudos. Un spline de grado 1 se puede definir por:

Polinomio Interpolante De Lagrange.

Construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: donde se supone que  si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton  

En la aplicación del Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar

ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un error.

Nota:

El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces: p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1, ... , xn].

Polinomios de interpolación de Lagrange.

Formula.

 

Cita: http ://www.uv.es/~diaz/mn/node38.html