POLGONO

La denominacin de polgono palabra compuesta de poli , del griego: muchos; y gonos del griego: ngulos

Un polgono es una porcin del plano limitada por una lnea poligonal cerrada. Los segmentos de la lnea poligonal se llaman lados del polgono. Los extremos de los lados se llaman vrtices. Cada dos lados consecutivos determinan un ngulo del polgono. Se llama diagonal de un polgono a cualquier segmento de recta que una dos vrtices que no sean consecutivos.

NGULOS DE UN POLGONO

En un polgono se contemplan dos tipos de ngulos: los interiores y los

exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados

contiguos y los exteriores son sus suplementarios.

CLASIFICACIN:

De acuerdo al nmero de lados los polgonos se clasifican en:

NOMBRE N DE LADOS

NOMBRE N DE LADOS

Tringulo 3

Hexadecgono 16

Cuadriltero 4

Heptadecgono 17

Pentgono 5

Octodecgono 18

Hexgono 6

Eneadecgono 19

Heptgono 7

Isodecgono 20

Octgono 8

Triacontgono 30

Enegono 9

Tetracontgono 40

Decgono 10

Pentacontgono 50

Endecgono 11

Hexacontgono 60

Dodecgono 12

Heptacontgono 70

Tridecgono 13

Octacontgono 80

Tetradecgono 14

Eneacontgono 90

Pentadecgono 15

Hectgono 100

Si todos los lados del polgono son iguales, el polgono se denomina equiltero.

Si todos los ngulos del polgono son iguales, el polgono se denomina equingulo.

Por la igualdad o desigualdad de lados se clasifican en regulares e irregulares

Los polgonos que son equingulos y equilteros se llaman regulares.

Si un polgono no es equiltero ni equingulo es llamado Irregular.

Segn la forma de la regin que encierran, los polgonos se clasifican en concavos y convexos

Un polgono es convexo si todos sus ngulos interiores miden menos de 180.

En un polgono convexo al poner dos puntos cualesquiera en su interior, el segmento formado por ellos queda totalmente en el interior del polgono.

Un polgono es cncavo si por lo menos uno de sus ngulos interiores es mayor de 180

En un polgono convexo al poner dos puntos cualesquiera en su interior, no siempre el segmento formado por ellos queda totalmente en el interior del polgono.

POLGONO SIMPLE Y COMPLEJO

Un polgono simple es un polgono cuyos lados no adyacentes no se interceptan. Un polgono simple divide al plano geomtrico que lo contiene en dos regiones: la regin interior al polgono y la regin exterior a l.

Un polgono que no es simple se denomina polgono complejo

Polgono simple hexagonal. Polgono complejo pentagonal Polgono complejo y estrellado

POLGONOS ESTRELLADOS.

Los polgonos que tengan sus ngulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una lnea quebrada continua y cerrada, se llaman Polgonos Estrellados.

CARACTERSTICAS DE LOS POLGONOS REGULARES

LINEAS Y PUNTOS:

En los polgonos regulares, se consideran las propiedades geomtricas de las siguientes lneas y puntos:

ABDCA: Permetro. O: Centro

: Diagonal : Radio : Apotema

El permetro que est formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.

La diagonal que es la lnea que une dos ngulos no consecutivos.

El centro que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vrtices.

El radio que es la lnea que une el centro con uno de sus vrtices; por lo cual un polgono regular tiene tantos radios como ngulos.

El apotema que es la lnea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polgono regular tiene tantos apotemas como lados

Ejercicio

Determina los puntos y lineas en el siguiente polgono

NGULOS:

En los polgonos regulares se distinguen dos tipos de ngulos:

a, b, c, d : Interiores

o: Central

Los ngulos interiores que son los que se forman en el vrtice entre los lados.

Los ngulos centrales que son los que se forman con vrtice en el centro del polgono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vrtices consecutivos. Por lo tanto, un polgono regular tiene tantos ngulos centrales, todos iguales, como lados.

Como la medida de la suma de todos los ngulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360, entonces la medida del ngulo central de un polgono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.

El ngulo central de un polgono regular de n lados es

360/n grados sexagesimales o, lo que es lo mismo, 2 /n radianes

ngulo central del tringulo equiltero: 360 3 = 120. ngulo central del cuadrado: 360 4 = 90. ngulo central del pentgono: 360 5 = 72. ngulo central del hexgono: 360 6 = 60. ngulo central del octgono: 360 8 = 45. ngulo central del decgono: 360 10 = 36.

El ngulo interior de un polgono regular de n lados es: 180 grados sexagesimales.

Por ejemplo en un tringulo cada ngulo interior es igual a:

180 = * 180 = 60 donde n=3

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS POLGONOS REGULARES:

En todos los polgonos regulares, el trazado de sus

radios los divide en tantos tringulos como lados

posean; cuyas alturas son iguales al apotema del

polgono, y cuyas bases sumadas son iguales al

permetro del polgono.

En consecuencia, la superficie de un polgono regular ser igual a la suma de las superficies de los tringulos que lo forman.

SUPERFICIE DE LOS POLGONOS IRREGULARES.

Cualquier polgono irregular, puede descomponerse en tringulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando stas con perpendiculares desde un vrtice a una diagonal.

Por lo tanto, conociendo la medida de las lneas que conformen las bases y alturas de esos tringulos, ser posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polgono irregular.

POLGONOS INSCRIPTOS Y CIRCUNSCRIPTOS.

Se dice que un polgono est inscrito en un crculo, cuando todos los vrtices coinciden con puntos de su circunferencia.

Se dice que un polgono est circunscripto en un crculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunferencia.

CUADRILTEROS

Son los polgonos ms estudiados despus de los tringulos.

Los cuadrilteros son polgonos que tienen cuatro lados.

Los cuadrilteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vrtices y dos diagonales. En todos los cuadrilteros la suma de los ngulos interiores es igual a 360. Otros nombres usados para referirse a este polgono son tetrgono y cuadrngulo.

Se dividen en:

A. Paralelogramos

B. No paralelogramos.

A. PARALELOGRAMOS

Un paralelogramo es un polgono formado por cuatro lados, paralelos dos a dos.

Algunas de sus propiedades son:

Los lados opuestos son congruentes

Dos pares de lados son paralelos

Los ngulos opuestos son congruentes.

Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos tringulos congruentes.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Dos ngulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios

A + B + C + D = 360

Los paralelogramos se clasifican segn sus ngulos en:

1. Paralelogramos rectngulos

2. Paralelogramos no rectngulos

PARALELOGRAMOS RECTNGULOS

Son paralelogramos cuyos ngulos son todos ngulos rectos.

Existen dos clases de paralelogramos rectngulos:

El cuadrado: Todos sus lados son iguales, diagonales congruentes, cuatro ngulos rectos, las diagonales forman ngulos rectos.

El rectngulo : Todos sus lados son iguales, diagonales congruentes

PARALELOGRAMOS NO RECTNGULOS

Son paralelogramos cuyos ngulos son dos de ellos agudos y los otros dos obtusos.

Existen dosclases de paralelogramos no rectngulos:

El rombo : Los cuatro lados iguales, sus diagonales son perpendiculares entre s, los ngulos opuestos son congruentes y son bisecados por las diagonales

El romboide : lados opuestos iguales.

Rectngulo

B. CUADRILTEROS NO PARALELOGRAMOS

CLASES DE TRAPECIOS

El trapecio rectngulo se caracteriza porque uno de los ngulos es un ngulo recto.

El trapecio issceles se caracteriza porque sus dos lados no paralelos tienen el mismo tamao.

CLASES DE TRAPEZOIDES

Trapezoide asimtrico:

Cuatro lados desiguales

Posee dos pares de lados iguales

pero no paralelos. Sus diagonales

son perpendiculares. Tambin es

llamado trapezoide biissceles

Trapezoide simtrico: (deltoide)

TRAPECIO:

Es un cuadriltero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no

TRAPEZOIDE:

Es un cuadriltero que no tiene ninguno de sus lados paralelo a otro.

CUADRILTEROS CNCAVOS Y CONVEXOS

A. Cuadriltero convexo:

Cada uno de los ngulos interiores es menor de 180. O bien, dados dos puntos cualesquiera interiores al cuadriltero, el segmento que los une tiene todos sus puntos interiores al cuadriltero.

Se dice que un cuadriltero es convexo cuando al trazar una recta sobre el cuadriltero lo corta a lo ms en "dos lados".

B. Cuadriltero cncavo:

Uno de los ngulos (D) es mayor de 180. Podemos encontrar dos puntos, P, Q, tales que el segmento PQ tenga puntos, X, exteriores

al cuadriltero.

Se dice que un cuadriltero es cncavo cuando al trazar una recta sobre el cuadriltero lo corta en ms de dos lados".

RESUMEN