1.2. POLÍGONOS

DIBUJO TÉCNICO IBLOQUE 1: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

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U.D. 2. POLÍGONOS

1. TRIÁNGULOS. DEFICICIÓN Y CLASIFICACIÓN; PROPIEDADES. TRAZADO DE SUS RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN

DEFINICIÓNFigura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN TRIÁNGULO. DESIGNACIÓN. Vértices.- Puntos de intersección entre las rectas. Se designan con letras mayúsculas. Lados.- Segmentos entre vértices. Se designan con las mismas letras minúsculas del

lado opuesto. Así el lado opuesto del vértice A es el lado a, el lado opuesto al vértice B es el lado b y el lado opuesto al vértice C es el lado c.

Ángulos.- Se les nombra con la misma letra que se su vértice, colocando sobre ella el símbolo que indica ángulo. Â, B, C

PROPIEDADES La suma de los tres ángulos interiores es de 180º: Â+B+C=180º Un lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos: a<(b+c) Un lado es mayor que la diferencia de los otros dos: c>(b-c)

CLASIFICACIÓN Según sus lados :

Equilátero.- Tiene los tres lados iguales: a=b=c

Isósceles.- Tiene dos lados iguales y uno desigual a=b=c

Escaleno.- Todos los lados son desiguales a=b=c

Según sus ángulos: Rectángulo.- Tiene un ángulo recto.

1____________________________________________________________________________Marta Rodríguez Hernández en Audiovisio

http://blog.educastur.es/martarh/


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U.D. 2. POLÍGONOS Acutángulo.- Los tres ángulos son agudos.

Obtusángulo.- Uno de sus ángulos es obtuso.

TRAZADOS DE RECTAS Y PUNTOS NOTABLES.Circuncentro- Punto intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Se designa con la letra C.Mediatriz de un triángulo.- Mediatriz del lado de un triángulo. Un triángulo tiene tres mediatrices.

Baricentro.- Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Se designa con la letra G.Mediana de un triángulo.- Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas.




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U.D. 2. POLÍGONOSOrtocentro- Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Se designa con la letra H.Altura de un triángulo.- Perpendicular trazada a un lado por el vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas.

Incentro.- Punto donde se cortan las tres bisectrices interiores de un triángulo. Se designa con la letra I.Bisectriz interior de un triángulo- Bisectriz trazada a cada uno de los ángulos interiores de un triángulo.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOSPara construir un triángulo se necesitan tres datos. Habrá que tener en cuenta las características particulares del triángulo que se va a construir, pues puede haber datos implícitos. Por ejemplo, un triángulo equilátero puede construirse con un solo dato, por ejemplo un lado, porque son conocidos los otros dos (un equilátero tiene los tres lados iguales).

Dependiendo del método empleado para la construcción de triángulos se harán diferentes apartados:

Casos directos: casos en los que solo intervienen lados y ángulos. Por lugares geométricos: aquellos casos que se resuelven mediante lugares

geométricos.




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Por transformaciones geométricas: aquellos casos que se resuelven aplicando simetría, semejanza y homotecia.

A. CASOS DIRECTOSConstrucción de triángulos escalenos.-

1. Dados los tres lados.

2. Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ambos

3. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

4. Dados un lado y los ángulos adyacentes




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Construcción de triángulos isósceles.-1. Conocido el lado desigual y el ángulo desigual. Sobre un ángulo de 180º se dibuja el

ángulo desigual dado. De este modo, determinando la bisectriz su ángulo suplementario, conoceré el valor del ángulo igual.

2. Conocido el lado igual y el ángulo igual. Sobre una semirrecta se lleva el dibuja el ángulo igual dado, para llevar sobre uno de los lados la magnitud del lado igual dado. A partir del nuevo extremo determinado se traza un arco de magnitud igual al lado igual hasta que corte al otro lado del ángulo igual.

3. Conocidos el lado igual y el ángulo desigual. Sobre una semirrecta se dibuja el ángulo desigual. A partir de su vértice se lleva sobre los lados del ángulo la magnitud del lado igual.




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U.D. 2. POLÍGONOS4. Conocidos el lado desigual y el ángulo igual. A partir de los vértices del lado igual, se

dibujan dos ángulos del valor del ángulo igual y se prolongan los lados hasta que se corten.

Construcción de triángulos rectángulos.-1. Conocidos los dos catetos

2. Conocida la hipotenusa y un cateto1er procedimiento: 2º procedimiento:

3. Conocida la hipotenusa y un ángulo adyacente.

4. Conocida un cateto y un ángulo adyacente.




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5. Conocido un cateto, siendo un triángulo rectángulo isósceles.

B. POR LUGARES GEOMÉTRICOSEl estudio de los casos en los que intervengan elementos notables, así como los que se resuelven mediante la aplicación de arco capaz, se realizará en DT II

C. POR TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICASEl estudio de los casos solucionados por aplicación de semejanza y homotecia se verán el tema correspondiente a lo largo de los dos cursos de Dibujo Técnico.

2. CUADRILÁTEROS. ANÁLISIS Y CONSTRUCCIÓN

DEFINICIÓNFigura plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a dos.

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN CUADRILÁTERO. DESIGNACIÓN. Vértices.- Puntos de intersección entre las rectas. Se designan con letras mayúsculas.

Generalmente y para evitar errores se sigue el criterio de nombrar los vértices consecutivos por orden alfabético de tal forma que las diagonales siempre son AC y BD

Lados.- Segmentos que unen dos vértices consecutivos. Se designan como segmentos cuyos extremos son los vértices: AB, BC, CD Y AD.

Diagonales.- Segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Se nombran como segmentos de dos vértices opuestos... También se les puede llamar d1 y d2, cuando no se preste a confusión.

Ángulos.- Se les nombra con la misma letra que a su vértice, colocando el símbolo de ángulo: A; B, C Y D

PROPIEDADES




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U.D. 2. POLÍGONOS La suma de los ángulos interiores es de 360º: Â+B+C+D=360º Si se dibuja la diagonal de un cuadrilátero, queda descompuesto en dos triángulos, de

forma que la suma de los ángulos de los triángulos es igual a la suma de los ángulos del cuadrilátero. 180º+180º=360º

CLASIFICACIÓN

PARALELOGRAMOS Lados paralelos dos a dos

CuadradoRectánguloRomboRomboide

CUADRILÁTEROSTRAPECIOS Lados opuestos

paralelos

T. RectánguloT. IsóscelesT. Escaleno

TRAPEZOIDESNo tiene lados paralelos

TrapezoideTrapezoide bisósceles

ANÁLISIS Y CONSTRUCCIONESCUADRADOCaracterísticas.-

Cuatro lados iguales. Cuatro ángulos de 90º. Diagonales iguales y perpendiculares en sus puntos medios.

Construcciones.-1. Dado el lado:

2. Dada la diagonal:1er procedimiento: 2º procedimiento:




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U.D. 2. POLÍGONOS3. Dada la suma de la diagonal y el lado. Se dibuja un cuadrado auxiliar cualquiera

l1=A1B1C1D1. Sobre su diagonal, d1 y a partir de A1, se lleva la suma l1+d1 para obtener N1. Se une N1 con B1. Sobre la misma diagonal se lleva ahora la suma dada d+l obteniendo N. Se traza la paralela a B1N1 por N, para obtener el punto B y un triángulo semejante a A1N1B1. Basta con trazar paralelas al cuadrado auxiliar partiendo de B para conseguir el cuadrado buscado.

RECTÁNGULOCaracterísticas.-

Lados iguales y paralelos dos a dos Cuatro ángulos de 90º. Diagonales iguales, oblicuas y se cortan en sus puntos medios formando ángulos

iguales dos a dos por ser opuestos por el vértice.Construcciones.-

1. Dados sus lados:

2. Conocida la diagonal y el lado:




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1er procedimiento: 2º procedimiento:

3. Dada la suma de la diagonal y un lado y el otro lado.

ROMBOCaracterísticas.-

Cuatro lados iguales, oblicuos y paralelos dos a dos Ángulos opuestos iguales. Diagonales desiguales, perpendiculares y se cortan en sus puntos medios.

Construcciones.-1. Dadas las diagonales

2. Dados el lado y la diagonal.


Sobre un extremo A de la suma de la diagonal y el lado AM, se levanta una perpendicular sobre la que se lleva el otro lado dado AD. Se unen los extremos D y M. Se dibuja la mediatriz de este segmento y se determina el punto de intersección con AM, B, que será el otro extremo del lado AB. Determina el otro extremo C trazando paralelas a los lados. Observa como el triángulo DBM es un isósceles al ser DB=BM, en el que la diagonal del rectángulo es el lado igual del isósceles.



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3. Dados la altura y el lado. (En los casos en los que nos den la altura se resuelve siguiendo las mismas pautas).

4. Dados un ángulo y el lado.

5. Dados el lado y la suma de las diagonales.-


Dibuja un segmento BM=(d1

+d2

)/2.

Dibujar por M un ángulo de 45º y con centro en B y radio igual al lado conocido trazar un arco que nos determina sobre el lado del ángulo de 45º hallado, el vértice C. Se trazan las diagonales perpendicularmente por B y por C y se determinan por simetría los otros dos vértices.



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ROMBOIDECaracterísticas.-

Lados iguales y paralelos dos a dos Ángulos opuestos iguales (no rectos). Diagonales desiguales, oblicuas y se cortan en sus puntos medios, formando ángulos

iguales dos a dos por ser opuestos por el vértice.Construcciones.-

1. Dados los lados y un ángulo comprendido entre ellos

2. Dados los lados y la altura a partir de uno de ellos.




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3. Dados un lado y las dos diagonales.

TRAPECIOSTRAPECIO RECTÁNGULOCaracterísticas.-

Dos lados paralelos, a los que llamamos bases mayor (AB) y menor (CD). Ángulos rectos y los otros dos son suplementarios Diagonales desiguales, oblicuas y no se cortan en sus puntos medios.

Construcciones.-1. Dadas las bases y la altura.

TRAPECIO ISÓSCELESCaracterísticas.-

Dos lados paralelos, a los que llamamos bases mayor (AB) y menor (CD).




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U.D. 2. POLÍGONOS Ángulos iguales dos a dos. Los ángulos interiores son suplementarios. Diagonales iguales, oblicuas y no se cortan en sus puntos medios.

Construcciones.-1. Dadas las bases y la altura

TRAPECIO ESCALENOCaracterísticas.-

Dos lados paralelos, a los que llamamos bases mayor (AB) y menor (CD). Todos los ángulos son diferentes y suplementarios. Diagonales desiguales, oblicuas y no se cortan en sus puntos medios.

Construcciones.-1. Dada la base mayor, las diagonales y la altura.

3. POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS Y ESTRELLADOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.

3.1. POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS




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U.D. 2. POLÍGONOSDEFINICIÓNPolígono.- Figura plana limitada por un número n de lados.Polígono regular.- Polígono que tiene todos ángulos y lados iguales.

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN POLÍGONO REGULAR. Vértices.- Puntos de intersección entre las rectas. Se designan con letras mayúsculas o

números. Lados.- Segmentos que unen dos vértices consecutivos. Se designan como segmentos

cuyos extremos son los vértices: AB, BC, CD, etc. Diagonales.- Segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Ángulos interiores.- Los que forman dos lados consecutivos. Apotema.- Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. Perímetro.- Segmento suma de todos los lados.

PROPIEDADES La suma de los ángulos interiores es de Sn=180º·(n-2)

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

TRIÁNGULO Y HEXÁGONO

CUADRADO Y OCTÓGONO

HEPTÁGONO




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PENTÁGONO Y DECÁGONO

ENEÁGONO

MÉTODO GENERAL




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3.2. POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.DEFINICIÓNPolígono en forma de estrella. También llamados polígonos cóncavos.Se obtienen a partir del polígono regular convexo de n lados o de la división en n partes d ella circunferencia circunscrita uniendo los vértices de modo consecutivo.El polígono se cierra en el mismo vértice que se comenzó: el trazado puede hacerse sin levantar el lápiz del papel. Si no se cumple esta condición, como en el caso del hexágono, se obtienen los llamados falsos estrellados.En este tipo de polígonos cóncavos existen tres términos que identifican a cada forma estrellada:

El paso: la alternancia en la unión de los vértices no consecutivos (número de divisiones que abarca un lado).

El género: número de cuerdas (lados) utilizadas (igual al número de puntas o vértices).

La especie: número de vueltas completas para cerrar la forma (igual al paso).

ELEMENTOS BÁSICOS DE UN POLÍGONO REGULAR ESTRELLADOLos elementos básicos son:




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U.D. 2. POLÍGONOS Lados.- Segmentos que unen dos vértices no consecutivos. No coincide con

el número de lados del polígono convexo delo que parte. Mientras que en los lados convexos los llamamos ln a estos se les puede designar como l*.

Vértices.- Número de puntas de la estrella.

NÚMERO DE ESTRELLADOS DE N VÉRTICESSe pueden construir tantos estrellados como cifras primas con n haya, menores que n/2.Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respecto a dicho número de lados.

Por ejemplo: pentágono (5 lados): los números menores que la mitad de sus lados son el

2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de dos en dos.

heptágono: tiene 7 lados , la mitad es 3,5, y los números enteros serán 2 y 3, por lo que tiene dos estrellados, de paso 2 y de paso 3.

ORDEN DE UN POLÍGONO ESTRELLADOSSe refiere al número de estrellados que se obtienen a partir del convexo, siendo de primer orden el de menor número de vértices, el de 2º orden el siguiente, etc.

Por ejemplo: el heptágono convexo admite dos estrellados, el de primer orden tomando

los vértices de dos en dos, y el de 2º orden tomando los vértices de tres en tres.

El número de vértices alternos que se toman coincide con la especie, e decir, con el número de vueltas a dar para completarlo.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOSSe ejemplo:

si partimos de un pentágono regular convexo y unimos sus vértices saltando de dos en dos (con paso 2), se obtiene una estrella pentagonal.




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NOTA.- Algunas designaciones, así como los dibujos se deben completar en las clases.

BIBLIOGRAFÍA

-Dibujo Técnico 1, editorial EDITEX, 1º Bachillerato, Jon Arrate, Francisco Javier Gutiérrez,

José Ramón Gutiérrez, Gaspar Regato

-Trazado Geométrico, Mario Gonzáles Monsalve y Julián Palencia Cortés.



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