POLIEDRI

Ivana Bojovic 171/03

Sadrzaj

Poliedarske povrsi.............................................2Prizma..............................................................5Piramida...........................................................8Zarubljena piramida.........................................10Pravilni poliedri................................................11Povrsina poliedara............................................12Povrsina prizme................................................12Povrsina pravouglog paralelopipeda..................13Povrsina kocke..................................................13Povrsina piramide.............................................13Povrsina zarubljene piramide............................15Zapremina nekih poliedara................................16Zapremina kvadra(pravouglog paralelopipeda).16Zapremina kocke...............................................18Kavalijerijev princip. Zapremina prizme..........18Zapremina piramide..........................................19Zapremina zarubljene piramide........................19Literatura.........................................................21

1

Poliedarske povrsi i poliedri

Prosta poliedarska povrs je unija konacnog broja mnogouglova, pri cemu suzadovoljeni sledeci uslovi:

a) svaka stranica bilo kog mnogougla je stranica samo te povrsi ili samo josjedne, njoj susedne povrsi;

b) svaka dva susedna mnogougla pripadaju dvema razlicitim ravnima;c) svaka dva nesusedna mnogougla mogu se povezati nizom mnogouglova iz

tog skupa, tako da svaka dva uzastopna clana tog niza budu susedne povrsi.

Slika:1

Na slici 1 prikazane su proste poliedarske povrsi, a na slici 2 slozene poliedarskepovrsi.

Poliedarska povrs je zatvorena ako sve stranice mnogouglova pripadaju podvema povrsima, a otvorena ako neka od stranica mnogouglova pripada samojednoj povrsi.

2

Slika:2

Mnogouglovi od kojih je sastavljena poliedarska povrs nazivaju se strane(pljosni), a stranice i temena tih mnogouglova nazivaju se ivice i temena poliedarskepovrsi.

Prosta zatvorena poliedarska povrs razdvaja skup svih tacaka prostora nadva disjunktna skupa:

a) skup tacaka sa osobinom da za svaku tacku iz tog skupa postoji pravakoja sa poliedarskom povrsi nema zajednickih tacaka;

b) skup tacaka sa osobinom da takva prava ne postoji. Prvi od ovih skupovanaziva se spoljasnja oblast poliedarske povrsi, a drugi unutrasnja oblast.

3

Slika:3

Unija proste zatvorene poliedarske povrsi i njene unutrasnje oblasti nazivase poliedar. Pri tome se strane, ivice i temena poliedarske povrsi nazivajustranama, ivicama i temenima poliedra. Duz cije su krajnje tacke dva temenapoliedra koja ne pripadaju istoj strani naziva se dijagonala poliedra.

Poliedri mogu biti konveksni (sl. 3) ili konkavni (sl. 4). U ovom radu ce bitireci samo o konveksnim poliedrima.

4

Slika:4

Prizma

Poliedar koji ima n + 2 strane (n ≥ 3, n - prirodan broj ), od kojih su dven - tougaone i sadrzane u dvema paralelnim disjunktnim ravnima, dok su sveostale paralelogrami, naziva se n - tostrana prizma.

Dve n - tougaone strane prizme (koje pripadaju paralelnim ravnima) nazi-vaju se osnove prizme. Ostale (paralelogramske) strane prizme nazivaju se bocnestrane. Unija bocnih strana je bocna povrs ili omotac prizme.

5

A

B

C

D

E

A1

B1

C1

D1

E1

Slika:5

Petouglovi ABCDE i A’B’C’D’E’ na slici 5 su osnove, a paralelogrami ABB’A’,BCC’B’, CDD’C’, DEE’D’, EAA’E’ su bocne strane prizme.

Stranice n - tougaonih osnova prizme su osnovne ivice, a stranice bocnihstrana su bocne ivice prizme. Bocne ivice prizme su medusobno paralelne.

Temena osnova prizme su temena prizme (A, B, C, D, E, A’, B’, C’, D’, E’na sl. 5).

6

M

N

Slika:6

Razlikujemo prave i kose prizme. Prizma je prava ako su njene bocne ivicenormalne na ravni osnova (sl. 5), a ako bocne ivice nisu normalne na ravniosnova, prizma je kosa (sl. 6).

Duz ciji krajevi pripadaju ravnima osnova prizme i koja je normalna na teravni naziva se visina prizme. Kod prave prizme bilo koja bocna ivica je njenavisina. Na sl. 6 visina kose prizme je duz MN.

Prava prizma cije su osnove pravilni n - touglovi naziva se pravilna n -tostrana prizma.

Prizma cije su osnove paralelogrami naziva se paralelopiped. Duzine trijuivica paralelopipeda koje imaju zajednicko teme nazivaju se dimenzije paralelop-ipeda. Prav paralelopiped cije su osnove pravougaonici naziva se kvadar. Svestrane kvadra su pravougaonici. Kvadar cije su sve strane kvadrati naziva sekocka.

Presek prizme sa nekom ravni γ je:a) normalan (ako je ravan γ normalna na bocne ivice);b) paralelan (ako je ravan γ paralelna osnovama);c) dijagonalan (ako ravan γ sadrzi dve nesusedne bocne ivice).

7

Piramida

Poliedar koji ima n+1 strana (n ≥ 3, n - prirodan broj), od kojih je jedna n- tougao a sve ostale su trouglovi, naziva se n - tostrana piramida.

A

B

C

D

E

S

Slika:7

Na sl. 7 prikazana je petostrana, a na sl. 8 trostrana piramida. n - tougaonapovrs naziva se osnova piramide, a sve ostale trougaone strane nazivaju se bocnestrane. Unija svih bocnih strana cini omotac piramide.

8

A

B

C

V

O

H

Slika:8

Na sl. 7 osnova piramide je petougao ABCDE, trouglovi SAB, SBC, SCD,SDE i SEA su bocne strane piramide, a unija tih pet trouglova je omotac pi-ramide.

Stranice n - tougaone osnove piramide su osnovne ivice piramide, a stranicebocnih strana bocne ivice piramide. Na sl. 7 AB, BC, CD, DE, EA su osnovneivice, dok su SA, SB, SC, SD, SE bocne ivice piramide. Sve bocne ivice piramideimaju jednu zajednicku tacku koja se naziva vrh piramide.

Razlikujemo prave i kose piramide. Piramida je prava (sl. 7) ako su svebocne ivice jednake, inace je kosa (sl. 8).

Duz ciji su krajevi vrh piramide i normalna projekcija vrha na ravan osnovepiramide naziva se visina piramide (H). Ako je piramida prava oko njene osnovemoze se opisati krug. Podnozje visine nalazi se u centru tog kruga.

Ako je osnova prave piramide pravilan mnogougao, piramida je pravilna.

9

A B

CD

V

O

hH

Slika:9

Visina bocne strane piramide koja polazi iz vrha piramide naziva se apotemai odgovara toj bocnoj strani. Ako je piramida pravilna (kada su sve bocne stranepodudarne), to je apotema piramide (h) - sl. 9.

Jednakoivicna piramida je piramida cije su sve ivice iste duzine.Presek piramide sa nekom ravni γ je:a) paralelan (ako je ravan γ paralelna osnovi piramide )b) dijagonalan (ako ravan γ sadrzi dve nesusedne bocne ivice piramide).

Zarubljena piramida

Poliedar koji ima n+2 strane (n ≥ 3, n - prirodan broj), od kojih su dvehomoteticni n - touglovi u odnosu na neku tacku S, a sve ostale strane su trapezicije se paralelne stranice poklapaju sa odgovarajucim stranicama n - touglova,naziva se n - tostrana zarubljena piramida.

Ako se n - tostrana piramida presece nekom ravni koja je paralelna ravniosnove, dobija se mnogougao homotetican sa osnovom. Deo piramide izmedutih homoteticnih povrsi je n - tostrana zarubljena piramida.Na slici 10 prikazanaje cetvorostrana zarubljena piramida.

10

S2

S1

A B

CD

E

A1 B1

C1D1

F

H

h

Slika:10

Homoteticni mnogouglovi nazivaju se osnove zarubljene piramide, dok njenomotac sacinjavaju trapezi. Normala S1S2 na ravni osnove (ciji krajevi pri-padaju tim ravnima) naziva se visina zarubljene piramide.

Zarubljena piramida je prava ako je nastala od prave piramide, a pravilna akoje nastala od pravilne piramide. Kod pravilne zarubljene piramide podudarnesu sve bocne ivice, a bocne strane su podudarni jednakokraki trapezi. Visinasvake bocne strane (trapeza) je apotema pravilne zarubljene piramide. Pravakoja prolazi kroz vrh pravilne piramide i centar (centar opisane kruznice) osnovenaziva se osa te piramide. Osa pravilne zarubljene piramide je prava koja prolazikroz centar njenih osnova.

Pravilni poliedri

Konveksan poliedar je pravilan ako su sve njegove strane pravilni mnogou-glovi i ako svi njegovi rogljevi imaju isti broj ivicnih uglova. Iz ove definicijesledi da su sve ivice pravilnog poliedra medusobno jednake, da su svi ivicniuglovi medusobno podudarni i da su sve strane takode medusobno podudarne.

Postoji tacno pet razlicitih vrsta pravilnih poliedara. To su: tetraedar ,oktaedar , ikosaedar . heksaedar i dodekaedar.

Ako n oznacava broj stranica pravilnog mnogougla (koji cini stranu poliedra),m broj ivica u jednom temenu poliedra, s broj strana, i broj ivica, a t brojtemena poliedra, tada u svakom od navedenih pet slucajeva vazi:

1) ako je n=3, m=3 tada je s=4, i=6, t=4; imamo pravilan tetraedar kojiima cetiri strane (sve su jednakostranicni trouglovi);

11

2) ako je n=3, m=4 tada je s=8, i=12, t=6; imamo pravilan oktaedar kojiima osam strana (sve su jednakostranicni trouglovi);

3) ako je n=3, m=5 tada je s=20, i=30, t=12; imamo pravilan ikosaedarkoji ima dvadeset strana (sve su jednakostranicni trouglovi);

4) ako je n=4, m=3 tada je s=4, i=12, t=8; imamo pravilan heksaedar(kocku) koji ima sest strana (sve su kvadrati);

5) ako je n=5, m=3 tada je s=12, i=30, t=20; imamo pravilan dodekaedarkoji ima dvanaest strana (sve su pravilni petouglovi).

Povrsine poliedara

Povrsina poliedra je zbir povrsina svih mnogouglova koji obrazuju njegovupoliedarsku povrs.

Povrsina prizme

Ako sa P oznacimo povrsinu prizme, sa B povrsinu njene osnove a sa Mpovrsinu omotaca, tada je prema definiciji povrsina prizme

P = 2B + MTeorema 1: Povrsina omotaca bilo koje prizme jednaka je proizvodu obima

normalnog preseka i duzine njene bocne ivice.

A1

A2

A3

A4

A5

A1′

A2′

A3′

A4′

A5′

B1

B2

B3

B4

B5

Slika:11

Dokaz: Neka je A1A2...AnA′1A

′2...A

′n prizma i B1B2...Bn njen normalan

presek obima s. Na sl. 11. predstavljen je slucaj n = 5. Neka je b duzina

12

bocne ivice. Sve bocne strane su paralelogrami a stranice normalnog preseka sunjihove visine.

Zato imamo:P (A2A3A

′3A

′2) = b ∗ B2B3,

P (A3A4A′4A

′3) = b ∗ B3B4, ...

P (A1A2A′2A

′1) = b ∗ B1B2.

Sabiranjem ovih jednakosti dobija se:P (A2A3A

′3A

′2) + P (A3A4A

′4A

′3) + ... + P (A1A2A

′2A

′1) = b ∗B2B3 + B3B4 +

... + B1B2),tj. M = sb, gde je s obim normalnog preseka prizme.Ako je prizma prava, duzina bocne ivice jednaka je visini a normalni presek

je mnogougao podudaran osnovi prizme. Dakle, b=H i s=p, gde je p obimosnove, pa je povrsina omotaca prave prizme M = pH .

Povrsina pravouglog paralelopipeda

Neka su dimenzije paralelopipeda a, b, c. Ako je osnova pravougaonik sastranicama a i b, tada je:

M = 2(a + b) ∗ c,P = 2B + M = 2ab + 2(a + b) ∗ c, tj.P = 2(ab + ac + bc).

Povrsina kocke

Ako je duzina ivice kocke a, tada je B = a2, M = 4a2,P = 2a2 + 4a2, tj. P = 6a2.

Povrsina piramide

Ako je B povrsina osnove piramide a M povrsina njenog omotaca, onda zapovrsinu piramide vazi P = B + M .

U opstem slucaju, povrsina omotaca piramide nalazi se na taj nacin sto sepojedinacno izracunavaju povrsine svih strana koje sacinjavaju omotac. Speci-jalno, ako je piramida pravilna, omotac sacinjavaju podudarni trouglovi, paje odredivanje povrsine jednostavnije. Neposredno se dobija da je povrsinaomotaca pravilne piramide M = p ∗ h

2 , gde je p obim osnove piramide, a h jenjena apotema.

13

a

h

Slika:12

Dakle, ako je a osnovna ivica, a h apotema, povrsina omotaca pravilne n -tostrane piramide je M = n ∗ a ∗ h

2 (sl. 12).Ako je poznata povrsina osnove B i ako bocne strane piramide zahvataju sa

ravni osnove isti ugao ϕ, tada je povrsina omotaca M = B/ cosϕ. Zaista, nekaje A1A2...An osnova piramide i neka je SO visina piramide (sl. 13.). Ako jeSM visina strane SA1A2, na osnovu teoreme o tri normale zakljucujemo da jeOM visina trouglaOA1A2. Pri tome je OM = SM ∗ cosϕ. Zato je povrsinabocne strane SA1A2: A1A2 ∗SM/2 = A1A2 ∗OM/(2 cosϕ), tj. P (△A1A2S) =P (△A1A2O)/ cosϕ. Analogno se dobija P (△AkAk+1O)/ cosϕ, (k = 1, 2, 3, ..., n),gde smatramo da se tacke An+1 i A1 poklapaju. Sabirajuci ove jednakosti zak = 1, 2, 3, ..., n dobija se M = B/ cosϕ.

14

A1

A2 A3

S

O

M

Slika:13

Povrsina zarubljene piramide

Ako su B i B’ povrsine osnova, a M povrsina omotaca zarubljene piramide,tada je njena povrsina P = B + B′ + M .

15

A

B

C

D

E

F

O

A1

B1

C1

D1

E1

F1

O1

N

N1

h

Slika:14

U opstem slucaju, povrsina omotaca zarubljene piramide odreduje se takosto se izracunavaju pojedinacno povrsine svih bocnih strana (sl. 14). Tada je

M = P (BCC1B1) + P (CDD1C1) + ... + P (ABB1A1).Ako je rec o pravilnoj n - tostranoj zarubljenoj piramidi, tada sve bocne

strane imaju jednake povrsine, pa je povrsina omotacaM = n

2 ∗ (a1 + a2) ∗ h = 1s

2 ∗ (p1 + p2) ∗ h,gde su a1 i a2 stranice pravilnih mnogouglova u osnovama, p1 i p2 obimi tih

povrsi, dok je h apotema pravilne n - tostrane zarubljene piramide.

Zapremina nekih poliedara

Zapremina kvadra (pravouglog paralelopipeda)

Teorema 2: Zapremina pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodunjegove tri dimenzije.

Dokaz: Razmotrimo prvo slucaj kada su dimenzije paralelopipeda a,b,cprirodni brojevi. U tom slucaju, sa pravama koje su paralelne stranicama osnoveABCD, ta osnova moze da se izdeli na ab jedinicnih kvadrata. Ako se na svakiod tih kvadrata postavi jedinicna kocka, dobice se sloj cija je visina jednakajedinici duzine. Ceo paralelopiped moze se popuniti sa c takvih slojeva. Dakle,pravougli paralelopiped je popunjen sa abc disjunktnih jedinicnih kocaka, pa jenjegova zapremina

V=abc

16

A B

CD

A′ B′

C′D′

a

b

Slika:15

Ako se dimenzije a,b i c pravouglog paralelopipeda izrazavaju racionalnimbrojevima, tada se svodenjem tih brojeva na zajednicki imenilac n dobija

a=p/n, b=q/n, c=r/n,gde su p,q i r celi brojevi. Paralelopiped je popunjen sa pqr kocaka, sa

ivicom duzine 1/n. Kako je jedinicna kocka sastavljena iz n3 takvih kocaka,zapremina svake od njih je 1/n3. Prema tome, zapremina celog paralelopipedaje V = pqr(1/n3) = (p/n)(q/n)(r/n) = abc.

17

A B

C

a

b

c

Slika:16

Tvrdenje je tacno i u slucaju kada su iracionalni brojevi. Dakle, u svakomslucaju zapremina svakog pravouglog paralelopipeda jednaka je proizvodu nje-govih dimenzija.

Zapremina kocke

Neka je a duzina ivice kocke. Iz formule za zapreminu pravouglog paralelop-ipeda, uzimajuci da je a=b=c dobija se formula za zapreminu kocke V = a3.

Kavalijerijev princip. Zapremina prizme

Za izracunavanje zapremine geometrijskih tela cesto se koristi princip koji jeformulisao italijanski matematicar, Bonaventura Kavalijeri:

Ako se dva tela mogu dovesti u takav polozaj da ih svaka ravan koja ih sece,a paralelna je datoj ravni, sece po presecima jednakih povrsina, onda ta dva telaimaju jednake zapremine. Teorema 3: Zapremina prizme jednaka je proizvodupovrsine osnove i visine.

Dokaz: Neka je B povrsina osnove prizme AB...EA1B1...E1 i H visina teprizme. Posmatramo istovremeno pravougli paralelopiped visine c=H cija os-nova ima povrsinu a ∗ b = B. Osim toga, neka osnove prizme i paralelopipedaleze u ravnima α i β. Presecimo prizmu i paralelopiped sa proizvoljnom ravniγ (γ ‖ α ‖ β).

Preseci su mnogouglovi A2B2...E2 i M2N2P2Q2. Kako je A2B2...E2 po-dudarno sa AB...E i M2N2P2Q2 podudarno sa MNPQ, a povrsine osnova sujednake, to su i povrsine preseka sa ravni γ jednake, tj. B(A1B2...E2) =

18

B(M2N2P2Q2). Dakle, preseci prizme i pravouglog paralelopipeda bilo kojomravni γ koja je paralelna ravni osnova, imaju jednake povrsine. Na osnovuKavalijerijevog principa ta dva tela imaju jednake zapremine.

Medutim, zapremina paralelopipeda je V=abc=(ab)c=BH, pa je i zapreminaprizme jednaka V=BH.

Zapremina piramide

Teorema 4: Dve piramide sa osnovama jednakih povrsina i jednakim visi-nama imaju jednake zapremine.

Teorema 5: Zapremina piramide jednaka je trecini proizvoda povrsine os-nove i visine.

Dokaz: Posmatrajmo trougaonu piramidu VABC visine H sa povrsinom os-nove B. Neka je ABCA1V C1 trougaona prizma koja sa tom piramidom imazajednicku osnovu ABC, a jedna od bocnih ivica prizme se poklapa sa bocnomivicom piramide, na primer BV. Jasno je da je visina dobijene prizme takodejednaka H. Odsecimo od prizme posmatranu piramidu VABC, a preostali deoprizme presecimo ravni kroz tacke V,C i A1. Na taj nacin je prizma razlozenana tri piramide: VABC, VACA1 i VA1CC1.

Uporedimo zapremine te tri piramide. Na osnovu teoreme 4 imamo VVACA1=VVA1CC1

jer je:1) P (△ACA1) = P (△A1CC1);2) rastojanje od tacke V do ravni trougla ACA1 jednako rastojanju od tacke

V do ravni trougla CC1A1.Isto tako je VVABC=VVCA1C1 jer je:1) P (△ABC) = P (△V A1C1);2) rastojanje od tacke V do ravni trougla ABC jednako rastojanju od tacke

C do ravni trougla A1V C1.Iz ovoga sledi jednakost sve tri piramide.Dakle, prizma je razlozena na tri piramide jednakih zapremina pa je za-

premina svake od tih piramida jednaka trecini zapremine prizme, tj. 13BH. Na

osnovu teoreme 3 zakljucujemo da zapremina piramide ne zavisi od oblika os-nove, nego samo od povrsine osnove i visine. Prema tome, zapremina bilo kojepiramide jednaka je trecini zapremine prizme koja ima sa tom prizmom jednakupovrsinu osnove B i jednaku visinu H. Iz formule za zapreminu prizme sledi daje zapremina piramide V = 1

3BH .

Zapremina zarubljene piramide

Teorema 6: Ako je visina zarubljene piramide H i povrsine njenih osnovaB i B1 onda je zapremina te zarubljene piramide data formulom V ′ = H

3 (B +√BB1 + B1).

19

A

B

C

D

V

O

O1

A1

B1

C1

D1

h

h1

Slika:17

Dokaz: Dopunimo zarubljenu piramidu do pune piramide. Dobijena pi-ramida ima osnovu povrsine B i visinu h, a dodatna piramida ima osnovupovrsine B1 i visinu h1 = h − H . Zapremina zarubljene piramide moze sepredstaviti kao razlika zapremina dve piramide, tj. V’=V-V1, gde je V = Bh

3 i

V1 = B1h1

3 . Dakle, V ′ = 13 (Bh − B1h1). Na osnovu svojstva paralelnog preseka

piramide je:B

B1

= h2

h2

1

odakle je

B = B1h2

h2

1

, ili

V ′ = 13 (B1h

2h

h2

1

− B1h1) = B1

3 ∗ h3−h

3

1

h2

1

= B1

3 ∗ (h−h1)(h2+h1+h

2

1)

h2

1

= B1H

3 ∗h2+hh1+h

2

1

h2

1

= B1H

3 ∗ (h2

h2

1

+ h

h1

+ 1).

Kako je B

B1

= h2

h2

1

, to je

h

h1

=√

B

B1

, ili

V ′ = B1H

3 ( B

B1

+√

B

B1

+ 1) = B1HB

3B1

+ B1H√

BB1

3B1

+ B1H

3B1

= BH

3 + H√

BB1

3 +B1H

3 = H

3 (B +√

BB1 + B1).Dakle, formula za zapreminu zarubljene piramide jeV ′ = H

3 (B +√

BB1 + B1).

20

Literatura

1.Matematika sa zbirkom zadataka za 3. razred srednje skole, GradimirVojvodic, Zavod za udzbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2003.

2.Matematika sa zbirkom zadataka za 3. razred srednje skole, Jovan D.Keckic, Zavod za udzbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2001.

21