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Matematica discreta: dai poliedri al DNA Pianeta Galileo 2011 Giorgio Ottaviani Dipartimento di Matematica Universit` a di Firenze 28 Novembre 2011 Giorgio Ottaviani Matematica discreta

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Matematica discreta: dai poliedri al DNAPianeta Galileo 2011

Giorgio Ottaviani

Dipartimento di MatematicaUniversita di Firenze

28 Novembre 2011

Giorgio Ottaviani Matematica discreta

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Introduzione

Il discreto viene rapprentato con i numeri naturali.

Il continuo viene rapprentato con i numeri reali.

Giorgio Ottaviani Matematica discreta

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Si puo dividere all’infinito ?

Democrito, nato nel 460 a.C., e il fondatore dell’atomismo

Schema classico di un atomo di elio:

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I paradossi di Zenone

Zenone di Elea concepisce nel V secolo a.C. il paradosso di Achillee la tartaruga.

Un secolo dopo Aristotele suggerisce che lo spazio non puo esserediviso all’infinito.

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Achille e la tartaruga

Dopo la partenza

Dopo un altro attimo

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Il numero di Avogadro

Il numero di Avogadro e un ponte tra il mondo microscopico e ilmondo macroscopico.

N = 6, 02214 · 1023

N e il numero di atomi di idrogeno in un grammo di idrogeno=numero di atomi di carbonio in 12 grammi di carbonio=...

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Il discreto approssima il continuo

Archimede, per calcolare l’area del cerchio, lo approssimava conpoligoni regolari di n lati.

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Il reticolo intero

Il piano cartesiano puo essere approssimato con i punti acoordinate intere

I punti disegnati rappresentano la visione discreta del piano.

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Numeri quadrati

Ogni numero dispari e differenza di due numeri quadrati.

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L’area di un poligono nel piano discreto

Come si calcola l’area di questo poligono ?

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La formula di Pick

Consideriamo un poligono i cui vertici hanno coordinate intere. Sia

i = numero dei punti interni al poligono

b = numero dei punti sul bordo del poligono

Allora

Formula di Pick

Area = i +b

2− 1

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Applicazioni della formula di Pick

i = b = i = 14 b = i = 14 b = 9

Quindi Area = i + b2 − 1 = 14 + 9

2 − 1 = 352 = 17, 5

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Applicazioni della formula di Pick

i = b = i = 10 b = i = 10 b = 12

Quindi Area = i + b2 − 1 = 10 + 12

2 − 1 = 15

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I cinque solidi platonici

Vertici Spigoli Facce

Tetraedro 4 6 4

Cubo 8 12 6

Ottaedro 6 12 8

Dodecaedro 20 30 12

Icosaedro 12 30 20

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La caratteristica di Eulero

Vertici Spigoli Facce V-S+F

Tetraedro 4 6 4 2

Cubo 8 12 6 2

Ottaedro 6 12 8 2

Dodecaedro 20 30 12 2

Icosaedro 12 30 20 2

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Alcuni tori

χ = caratteristica di Eulero

χ = V − S + F = 2− 2g

χ

Toro 0

Bitoro -2

Tritoro -4

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Il problema dell’imballaggio di cerchi

Come sistemare dei cerchi di ugual raggio sul piano, in modo da

avere densita massima?

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L’imballaggio quadrato

Densita =π

4= 0, 7853 . . .

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Imballaggio esagonale

Teorema di Lagrange (1773)

L’imballaggio esagonale e il piu denso

Densita =π

2√

3= 0, 9068 . . .

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Imballaggio di sfere

Qual e l’imballaggio di sfere piu denso ?

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La Congettura di Keplero

La congettura prevede che l’imballaggio usato per le arance e ilmigliore possibile. Ha strati esagonali.

La sua densita e π3√

2= 0, 74048 . . ..

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La Dimostrazione della Congettura di Keplero

Nel 1998 il matematico americano Hales annuncia unadimostrazione della congettura. E’ lunga 250 pagine e richiede 3Gigabyte di spazio disponibile per calcoli su un computer.E’ stata pubblicata ma sono rimasti dei dubbi sulla sua validita.

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Il computer puo certificare la correttezza di unadimostrazione ?

Nel 2003 Hales ha annunciato l’inizio di un progetto per unadimostrazione certificata dal computer. E’ necessario scrivere ladimostrazione in un linguaggio formale. Sono stimati circa 20 annidi lavoro.

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Filogenetica

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Uomo-Scimpanze-Gorilla

Human

Chimpanzee

Gorilla

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Orango e Macaco

Orangutan

Rhesus macaque

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Confronto tra Alberi filogenetici

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Allineamento di sequenze di DNA

Homo Sapiens CTGCCTAGCAAACTCAAACTACGAACGCACT...Scimpanze CTGCCTAGCAAACTCAAATTATGAACGCACC...Gorilla CTGCCTAGCAAACTCAAACTACGAACGAACC...

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Albero filogenetico piu probabile

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Visione moderna, il continuo approssima il discreto

Il discreto descrive il mondo naturale. Ma e molto complesso...

Usiamo il continuo per approssimarlo.

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The end

Grazie dell’attenzione !

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