Matematicki fakultetStojanovic Gordana 88/1

SEMINARSKI RAD

Pravilni poliedri i njihova konstrukcija

Beograd, 2002.

SADRŽAJ

Uvod …………………………………………………2

Uopste o pravilnim poliedrima…………………5

Konstrukcije pravilnih poliedara………………13 -konstrukcija pravilnog tetraedra…………...13 -konstrukcija pravilnog oktaedra…………...14 -konstrukcija pravilnog dodekaedra………..15

-konstrukcija pravilnog ikosaedra………….17

Literatura……………………………………...18

1

UVOD

Istorija pravilnih poliedara ne pocinje otkricem pojedinih pravilnih

geometrijskih tela,vec saznanjem da ta tela imaju neka zajednicka svojstva

koja ih karakterisu.

Dokazacemo da postoji tacno pet topoloskih pravilnih poliedara, koji se

nazivaju Platonovim telima.

Platon (429-348 p.n.e.) se zalio na neznanje svojih savremenika.Licno se nije bavio cisto matematickim istrazivanjima, ali je podsticao svoje ucenike na taj rad:

Njegovi savremenici i ucenici su ispunili mnoge praznine u nauci.Dok su,

npr., pitagorejci (uza skola Pitogorina), od pravilnih poliedara poznavali

samo kocku i tetra edar, a mozda jos i dodekaedar, Teetet (umro 369 p.n.e.)

im dodaje oktaedar i ikosaedar i prvi postavlja teoriju svih pet pravilnih

poliedara.Da su pitagorejci mogli poznavati dodekaedar, vidi se iz toga sto

su ga Etrurci vestacki predstavljali po ugledu na kristalni oblik u kome se

javlja pirit u severnoj Italiji i obelezavali ga narocitim znacima kao predmet

kulta.

Jedan takav vestacki primerakiz steatita nadjen je i brizljivo proucen.Utvrdeno je da potice iz prvog gvozdenog doba (La Tène-period

2

1000-900 p.n.e.).Etrurci ili Gali mogli su to znanje preneti u juznu

Italiju,gde su ga primili pitagorejci.Teetetovi radovi se javljaju u I u XIII

knjizi Euklidovih Elemenata , a (325p.n.e.) u kojoj se rapravlja upravo o

pravilnim poliedrima.

I Aristotel (384-322p.n.e.) je poznavao pravilne poliedre, ali njegova

“Matematicka rasprava” nije sacuvana, a i “Istorija geometrije” koju je

napisao njegov ucenik Teofrast (374-287p.n.e.), I druga koju je napisao

njegov ucenik Eudem (350-290p.n.e.) su izgubljene.

Kasnije, Papo (oko 295p.n.e.) izvesne brojne odnose izmedu osnovnih

elemenata pet pravilnih poliedara .

Kepler (1571-1630g.) je nastavio teoriju pravilnih poliedara svojim

zvezdastim poliedrima, a pokusao je i da redukuje rastojanja planeta

Suncevog sistema na metricke osobine Platonovih tela alternativno upisanih

i opisanih oko nebeskih sfera pridruzenih planetama:

Saturnu,Jupiteru,Marsu,Zemlji,Veneri i Merkuru koje su odvojene

redom,kockom,tetraedrom,dodekaedrom,oktaedrom i ikosaedrom.

Naravno,Kepler nije nista znao o Uranu,Neptunu i Platonu koji su otkriveni

kasnije 1781.,1846.,i 1930-te godine.

Teorija pravilnih poliedara igra vrlo vaznu ulogu ne samo u teorijskoj

matematici I geometriji, vec i u primenjenoj matematici,mehanici i fizici.

3

Teodrija poledara raznovrsnih oblika danas predstavlja posebnu oblast koja

je, narocito u vezi sa kristalografijom, postala i zasebna grana nauke o

prirodi, a kao specijalni deo ona ulazii u topologiju.

Posle pravilnih tela, koja imaju jednake pravilne rogljeve i jednake pravilne

stranice i koja se zovu Platonovi poliedri, prvi tipovi poliedara sa najmanjim

odstupanjem od pravilnosti su tzv.Arhimedovi poliedri: jednakorogljasti

polupravilni poliedri i jednakostranicni polupravilni poliedri.Prva i druga

kategorija Arhimedovih poliedara sadrzi po petnaest tela. Sada cemo se malo konkretnije upoznati sa pojmom poliedra i konstruisati

pet topoloski pravilnih poliedara;

4

UOPŠTE O PRAVILNIM POLIEDRIMA

Poliedar je geometrijsko telo ograniceno ravnima.Presekom tih ravni

nastaju mnogouglovi koji se nazivaju strane poliedra.Strane

mnogouglova su ivice poliedra, a u svakoj ivici se sastaju po dva

mnogougla.Poliedar moze biti konveksan (ako sav lezi samo sa jedne

strane ravni svake svoje strane) ili konkavan, u suprotnom.

□Def.

Da bismo utvrdili koje vrste pravilnih poliedara mogu postojati poci cemo

od zbira ivicnih uglova (konvesnog-ispupcenog) roglja.

□T//

5

Konveksni poliedar je pravilan ako su sve njegove strane podudarni pravilni poligoni i ako su svi njegovi rogljevi pravilni i podudarni

Zbir strana bilo kojeg konveksnog roglja manji je od cetiri prava ugla

SA1A2…An-konveksni rogalj

Ako sve ivice ovog roglja presecemo nekom ravni, dobijamo tacke preseka

A1,A2,….,An I trouglove SA1A2,SA2A3,…

Oznacimo uglove u tim trouglovima sa a1,b1,c1;

a2,b2,c2, itd., a uglove poligona A1A2….An sa φ1,….φn.

Uzmimo sada da su tacke A1,A2,A3…temena triedara.

Kako je u svakom triedru jedna strana manja od zbira, a veca od razlike

druge dve strane imamo da je:

φ1<b1+cnφ2<b2+c1. . + φ1+φ2+…+φn<(b1+cn)+(b2+c1)+(b2+c1)+…+(bn+cn-1). (n-2)*2R=φ1+….+φn (zbir uglova u mnogouglu);φn<bn+c n-1 oznacimo a1+a2+….+an=s

i znamo a1+b1+c1=2Ra2+b2+c2=2R…

I iz sveg ovoga sledi da je:

6

(n-2)*2R<n*2R-S S<4R

Znaci ne postoji ni jedan poliedar sa rogljem ciji bi zbir ivicnih uglova

bio≥4R

Vazi sledeca teorema :

□T//

dokaz:

a) Ako su strane pravilnog poliedra jednakostranicni trouglovi, onda one

mogu obrazovati konveksne rogljeve sa tri, cetiri ili pet strana, jer je u svakom tom slucaju zbir strana jednog roglja manji od 4R.Ne postoji rogalj od sest takvih strana , jer bi njihov zbir bio jednak 4R.

b) Pretpostavimo da su strane pravilnog poliedra kvadrati.One mogu

obrazovati samo triedre , jer je u tom slucaju zbir strana jednog roglja

<4R. Ne postoji rogalj sa cetiri takve strane , jer bi njihov zbir bio 4R.

c) Pretpostavimo da su strane pravilnog poliedra pravilni petouglovi.One

mogu obrazovati samo triedre, jer ugao u pravilnom petouglu ima

7

Postoji samo pet pravilnih poliedara.

108˚, pa je zbir od tri strane jednog roglja manji od 4R, dok bi zbir od

cetiri strane bio veci od 4R.Znaci ne postoje pravilni poliedri cije bi

strane bile pravilni sestouglovi, sedmouglovi itd., odnosno postoji samo

pet pravilnih poliedara.

8

□T//

Dokaz:

Po dve strane poligona koje cine povrs poliedra sastaju se u jednoj

njegovoj ivici, pa je broj tih strana dva puta veci nego broj ivica.Kako

svaki poligon ima isto uglova koliko i stranica, a svaki ugao poligona

cini po jedan ivicni ugao poliedra, sledi da je broj uglova dva puta

veci od broja ivica kocke.

□T// (Euler-ova teorema)

Dokaz:

k- broj temena poliedral- broj pljosnim- broj ivicaR- prav ugao

1) Neka je n1,n2,…nl broj stranica poligona koji obrazuju povrs

poliedra.Tada je zbir ivicnih uglova:

S=n1*2R-4R+n2*2R-l*4R+….+nl*2R-4S=(n1+…….+nl)*2R-l*4R

9

Svaki pravilni poliedar ima po dva puta vise ivicnih uglova nego ivica

U svakom konveksnom poliedru zbir broja temena I broja strana je za dva veci od broja ivica.

S=2m*2R-l*4RS=(m-l)*4R

(n1+….+nl; jednak je dvostrukom broju ivica)

2) Ako projektujemo sve ivice posmatranog poliedra na neku ravan tako

da se svaka njegova ivica projektuje u duz, a svaka strana u poligon sa

istim brojem stranica, tada se zbir S svih njegovih ivicnih uglova nece

promeniti i moze se izracunati:

Prvo odredimo zbir unutrasnjih uglova u poligonu ABCD…koji obrazuje

konturu projekcije poliedra.t-broj stranica tog poligona => zbir njegovih unutrasnjih uglova je

= t*2R-4R

10

Tome zbiru treba dodati zbirunutrasnjih uglova poligona cija su temena u

unutrasnjosti konture ABCD…,a odgovaraju prednjoj strani poliedra

(temena G,H,….).Taj zbir iznosi onoliko puta po 4R koliko ima tih

temena.Zatim se ponovo uzima zbir unutrasnjih uglova poligona konture

projekcije poliedra I njemu dodaje zbir unutrasnjih uglova poligona cija su

temena u unutrasnjosti konture, a odgovaraju straznjoj strani poliedra.I taj

drugi zbir iznosi onoliko puta po 4R koliko ima tih temena u unutrasnjosti

konture (temena K,L,….).Odavde sledi: S=2

Kako svaki konveksni poliedar ima dva puta vise ivicnih uglova nego ivica,

imamo:

Ln=2n Ks=2m => K+l=m+2

Iz svego ovoga sledi da je:

.k=4n\2n+2S-ns .l=4s\2n+2S-ns .m=2ns\2n+2S-ns

11

n S k l m Naziv pravilnog poliedra3 3 4 4 6 Tetraedar3 4 6 8 12 Oktaedar3 5 12 20 30 Ikosaedar4 3 8 6 12 Heksaedar5 3 20 12 30 dodekaedar

Oko svakog pravilnog poliedra moze se opisati sfera i u svaki se moze

upisati sfera.Centri opisane i upisane sfere se poklapaju.

12

Konstrukcije pravilnih poliedara

Za konstrukcije pravilnih poliedara mozemo upotrebiti kosu projekciju

kocke.Pri tome cemo odnos duzine slike stranice A′B′ I duzine te stranice

AB, tj. A′/B′=q zvati prikrata (skracenje).

Taj odnos zavisi od nagibnog ugla α.

1. Konstrukcija pravilnog tetraedra

U kocki ABCD (α=30º, q=½) temena ABCD spojimo medu sobom i

dobijamo pravilni tetraedar ABCD.

Ivice dobijenog poliedra su dijagonale strana kocke, pa su sve medu sobom

jednake.Znaci, strane dobijene piramide cine cetiri podudarna pravilna

trougla.

13

2. Konstrukcija pravilnog oktaedra

Data je kocka u kosoj projekciji .Sredine njenih strana su temena pravilnog

oktaedra.

14

3. Konstrukcija pravilnog dodekaedra

Konstruisimo prvo pravilan petougao A1B1C1D1E1, a zatim pomocu njega

I kocke cija je ivica jednaka dijagonali C1E1 datog petougla konstruisimo

pravilni dodekaedar.

15

U sredini kvadrata BCGF kocke povucemo normalu n na ravan toga

kvadrata.Ona polazi kroz sredinu S date kocke. Sada prenosimo

petougao A1B1C1D1E1 na kocku tako da njegova dijagonala C1E1

poklopi ivicu kocke FG.Zbog date priklade (skracenja q=½) ona ce na

slici biti jednaka polovini svoje prave velicine.Visina D1Q prolazice

kroz sredinu K ivice FG, a njena krajnja tacka Q npasce u neku tacku M

na normali n .Tu cemo tacku dobiti kada PQ prenesemo iz tacke K do

preseka sa n.PQ uzimamo u pravoj velicini, jer je visina petougla tom

polozaju paralelna ravni projekcije.Zatim, MK produzimo preko K i od

K prenesemo PD1 u pravoj velicini.Tako dobijamo tacku L.

16

Kroz tacku M povucemo paralelnu osi y i iz te tacke prenesemo s jedne i

druge strane po cetvrtinu (zbog odnosa q= ½) osnovice A1B1

petougla.Najzad, spojimo tacke N i F,O i G, F i L, G i L.Time smo

preneli dati petougao I konstruisali njegovu kosu projekciju.

Zatim kroz tacku M I sredinu R ivice BC povucemo pravu i od M

prenesemo duz MT=ML=D1Q.Time je odreden i drugi petougao

ONBTC. Konstrukcija se nastavlja ovako:

Kroz tacku L povucemo pravu paralelno ivici EF kocke i na njoj

odmerimo pravu velicinu A1B1=LU stranice petougla, jer je ivica LU

paralelna ravni projekcije.Zatim kroz tacku S povucemo paralelu osi y I

na njoj odmerimo duz SV=½SM.Kroz tacku V prolazi vertikalna ivica,

koja se na slici prikazuje u pravoj velicini A1B1. Slicno se dobijaju i

ostale ivice i temena dodekaedra.

4. Konstrukcija pravilnog ikosaedra

Pravilni ikosaedar se konstruise tako sto mu se za temena uzmu

sredine svih strana poliedra.

17

Literatura

-Cepanac N.: Geometrija za vise razrede gimnazije-stereometrija Beograd, 1956.;

18

-Kosmajac M.: Geometrija za IIIrazred usmjerenog srednjeg obrazovanja Podgorica, 1982.;

-Lucic Z: Geometrija, Beograd, 1994.;

-Euklidovi elementi- knjiga XIII Beograd, 1957.;

19