DISKRETNE MATEMATIKE STRUKTURE

ELEMENTI TEORIJE SKUPOVAProf. dr Esad Jakupovi4.1. O OPISNOJ TEORIJI SKUPOVATeorija skupova je nastala krajem prolog vjeka kao opisna matematika teorija. Tvorac teorije skupova je bio njemaki matematiar G. Cantor. Od njega potie i opisna definicija skupa navedena u uvodnom poglavlju (Skup je objedinjenje izvjesnih elemenata u jednu cjelinu). U izgradnji teorije skupova potrebno je pretpostaviti da vae izvjesne aksiome (istine koje se ne dokazuju, tj. reenice koje prihvatamo za istinite).Kantor je implicitno koristio sledee tri aksiome: Aksioma o jednakosti dva skupa. Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.

Aksioma apstrakcije. Za unapred zadato svojstvo P(x) postoji skup {x | P(x)} iji su elementi upravo oni objekti koji imaju to svojstvo.

Aksioma izbora. Za svaki neprazan skup S postoji funkcija iji su originali neprazni podskupovi tog skupa a slike su elementi originala, tj.

Teorija skupova izgraena na ovim aksiomama je protivrjena. Aksioma apstrakcije dovodi do sledee kontradikcije poznate pod nazivom Russelov paradoks po B. Russelu koji gaje otkrio 1903. g.Russelov paradoks. Posmatrajmo skup P svih skupova S koji nisu sami sebi element; ;, tj. P={ }, (Na primjer, skup nije sam sebi element jer {1, 2} {1, 2}). Moe se postaviti pitanje da li je . Ako se pretpostavi P P onda je P jedan od skupova S za koje vai S S pa slijedi P P. Meutim, pretpostavka P P kae da je P jedan od skupova S za koje je S S pa P P. Dakle, postoji kontradikcija.Ovaj i drugi paradoksi otkriveni u teoriji skupova doveli su do njene revizije jer je bilo potrebno jednu fundamentalnu matematiku disciplinu kao to je teorija skupova osloboditi od protivrjenosti. To je dovelo i do razvoja matematike logike (na primjer, do uvoenja formalnih teorija, izmeu ostalog, i formalnih teorija skupova). Raznim programima revizije teorije skupova uklonjene su uoene pretivrjenosti ali nije dokazano da se nove protivrjenosti ne mogu pojaviti.

4.2. KARDINALNI BROJ SKUPAKardinalni broj kA (ili ) konanog skupa A je broj elemenata toga skupa. Za beskonane skupove kardinalni brojevi se oznaavaju posebnim simbolima. Kardinalni broj kN skupa prirodnih brojeva N se obeleava sa (itati: alef nula). Kardinalni broj kR skupa realnih brojeva R obiljeava se sa c.Kardinalni brojevi beskonanih skupova takoe imaju smisao broja elemenata u skupu ali je ovde situacija bitno komplikovanija u odnosu na konani sluaj. Radi lakeg manipulisanja sa kardinalnim brojevima uvodi se sljedea definicija.Definicija 1. Skupovi A i B imaj isti kardinalni broj (ili imaju istu moi ili ekvivalentni su) ako postoji preslikavanje f: A B koje je bijekcija.Ako su skupovi A i B konani; njihova ekvivalentnost znai da imaju isti broj elemenata. Ovakvo tumaenje ekvivalentnosti skupova prihvata se i za sluaj beskonanih skupova.

Relacija ekvivalentnosti skupova je relacija ekvivalencije. Zaista, A je ekvivalentno sa A jer je identiko preslikavanje skupa A bijekcija iz A u A (refieleksivnost). Ako je A ekvivalentno sa B, onda postoji koje je bijekcija, inverzno preslikavanje je takoe bijekcija i B je ekvivalentno sa AAko je A ekvivalentno sa B i B ekvivalentno sa C onda postoje bijekcije no tada je takoe bijekcija i A je ekvivalentno sa C (tranzitivnost)Klase ekvivalencije relacije ekvivalentnosti skupova sadre skupove istog kardinalnog broja. Kardinalni broj skupa je dakle zajednika karakteristika posmatranog skupa i svih njemu ekvivalentnih skupova. Sasvim apstraktno, kardinalni broj skupa se moe definisati kao klasa ekvivalencije (u odnosu na relaciju ekvivalentnosti skupova) kojoj skup pripada.Neobina injenica u vezi kardinalnih brojeva se sastoji u tome to kardinalni brojevi beskonanih skupova nisu svi isti. Do tog zakljuka dolazimo na osnovu sledee teoreme.

Teorema 1. Skup Ai njegov partitivni skup P( A) imaju razliite kardinalne brojeve.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da A i P(A) imaju iste kardinalne brojeve. Tada: prema definiciji 1 postoji bijekcija .Posmatrajmo skup , , tj. skup svih elemenata iz A koji nisu elementi svoje slike (a). ( (a) je element skupa P(A), tj. podskup skupa A). Poto je Z P(A) i poto je bijekcija, postoji b A takvo da je .Razmotrimo da li je b Z. .

Ako je b , onda b , tj. B Z.Ako , onda , tj. b Z.

U oba sluaja dobijamo kontradikciju. Dakle, bijekcija ne postoji. Ovim je teorema dokazana.

Definicija 2. Skup je prebrojiv ako je ekvivalentan skupu prirodnih brojeva N. Beskonani skupovi koji nisu ekvivalentni sa N nazivaju se neprebrojivi..Prebrojivi skupovi imaju, naravno, kardinalni broj N0 i oni se karakteriu injenicom to se njihovi elementi mogu poredati u niz. Naime, po definiciji, niz je funkcija , a ako su svi elementi od S u nizu onda je bijekcija a to znai S je ekvivalentno sa N.Konani i prebrojivi skupovi nazivaju se diskretni skupovi.

Teorema 2. Skup realnih brojeva je neprebrojiv.Dokaz. Skup realnih brojeva R je ekvivalentan sa intervalom (0, 1) jer je funkcija bijekcija iz R u (0, 1).

Dokazaemo da je interval (0, 1) neprebrojiv skup.Elementi ovog intervala se na jedinstven nain mogu prikazati pomou decimalnih brojeva koji imaju beskonano mnogo cifara iza decimalne zapete.To vai i za racionalne brojeve jer se, na primer, broj 0,543 moe predstaviti kao 0,542999...

Pretpostavimo daje (0, 1) prebrojiv. Tada se njegovi elementi mogu svrstati u niz. Neka je taj niz predstavljen sledeom emom u kojoj oznaava j-tu cifru i-tog broja u nizu.Tzv. Kantorovim dijagonalnim postupkom odreujemo broj koji pripada intervalu (0, 1) a koji se ne nalazi u navedenom nizu brojeva. To je, na primer, broj , gdje je Ovako formiran broj razliit je od prvog broja niza jer im se prve cifre razlikuju. Slino tome, taj broj je razliit od n-tog lana niza jer razlika postoji u n-toj cifri.Ovim je teorema dokazana. Dakle, N0