POČETAK TEORIJE SKUPOVA

Predavanja iz Matematičke logike Departman za matematiku i informatiku, PMF Novi Sad decembar 2012.

Razlozi za nastanak teorije skupova • Sredinom XIX veka matematički materijal se toliko nagomilao, da je došlo krajnje vreme za sintezu i preispitivanje osnova matematike.

• U to vreme matematičari postaju svesniji potrebe za strogošću prilikom uveđenja novih pojmova ili pri konstrukciji dokaza

• Ispituju se osnovi matematičke analize (infinitezimalnog računa) i pokušava da se pronikne u smisao sistema realnih brojeva

• Prvi radovi iz teorije skupova su posvećeni skupovima brojeva i skupovima funkcija

Bernhard Bolzano, 1781-1848.

• Studirao u Pragu matematiku, filozofiju, fiziku, a kasnije i teologiju

• Pacifista, želeo reforme, isteran sa univerziteta

• Nije objavljivao u uticajnim časopisima, mnogi radovi tek posle smrti objavljeni

• “Paradoxien des Unendlichen”, • Hteo celu matematiku (i nauku) da

stavi u jedan okvir, na jedan temelj (“Theory of Science”)

• Primetio da postoji bijekcija između nekih realnih intervala i njihovih pravih podintervala

• Bolzano-Weierstrassova teorema

Richard Dedekind, 1831-1916.

• Radovi iz teorije brojeva, algebre, osnova matematike – ideali, algebarski brojevi, polja, moduli, mreže, Dedekindovi preseci,…

• Gottingen (doktorirao kod Gaussa) • “Stetigkeit und irrazionale Zahlen”,

“Was sind und was sollen dio Zahlen” (1888.

• Dopisivao se sa Cantorom (bili prijatelji) • definicija beskonačnog skupa (“ono što

je ekvipotentno sa svojim pravim podskupom”)

• Pripremio teren za pojavu apstraktne teorije skupova

Georg Cantor, 1845-1918.

• Smatra se da je on otac apstraktne teorije skupova, jer je prvi počeo razmatrati skupove sa proizvoljnim elementima

• U periodu 1871-1883 postavio temelje dobro uređenih skupova

• Skupove uvodi neformalno (“naivna teorija skupova”), nema aksiome

• Za primere uzimao skupove iz radne matematike tog doba

• Polazna tačka su mu bili Fourierovi redovi

• Osnovna ideja: bijekcije među skupovima - ekvipotentnost

Cantor - biografija • Sin bogatog trgovca (Jevrejin) • Rođen u Petrogradu, ali se sa 11 godina seli sa porodicom u

Frankfurt (očeva bolest, toplija klima) • Otac odlučuje daa njegov sin mora postati “blistava zvezda na

tehničkom nebu”, a on želeo da studira matematiku • Dve godine studira tehniku, pa mu otac dozvoljava da studira

matematiku • Berlin: predavanja Weierstrassa, Kummera, Kroneckera,… • Radio u Halleu, maštao o Berlinu • Razvija svoju teoriju beskonačnosti i izaziva protiv sebe

Kroneckera, zbog tog sukoba nije mogao da pređe u Berlin • Oženio se 1874 (a iste godine objavljuje svoj revolucionarni rad),

2 sina, 4 ćerke, i iste godine upoznaje Dedekinda (istinski pobornik Cantorovih ideja)

• Kronecker (1981): “Cantor svojim idejama kvari omladinu…” • Sukob sa Kroneckerom ga uništava psihički, nervni slom,

depresija, tek pred kraj Kroneckerovog života dolazi do relativnog pomirenja

Leopold Kronecker, 1823-1891

• Rođen u Leipzigu, bogati roditelji Jevreji, otac obrazovan…

• Leopold savladao gradivo predviđeno školskim gradivom ističući se u svim predmetima

• Voleo muziku, uspešan pevač i pijanista • Veliki uticaj na njega Hegelovo delo

“Fenomenologija” • 1841. se usredređuje na matematiku • Značajni radovi iz algebarske teorije skupova,

algebre,… • Bogatstvo mu omogućavalo da se bavi samo

matematikom • 1860. postaje član Berlinske Akademije nauka i

urednik časopisa “ Crelle” • Zaduženja u akademiji izvršavao bez

nadoknade

Kronecker konstruktivista

• 1861-1881. predavao redovno na Univerzitetu u Berlinu • Radikalni konstruktivista: “Prirodni brojevi su jedini što

nam je dragi Bog dao, sve ostalo je čovekova izmišljotina” • Ne prihvata brojeve za koje nemamo algoritam za

generisanje cifara • Odbacuje problem aktuelne beskonačnosti kao veštački • Dozvoljavao samo one definicije matemat. pojmova do

kojih se stiže konačnim brojem koraka • Sukob sa mnogim matematičarima (recimo i sa

Weierstrassom, ali to nije uzdrmalo njihovo prijateljstvo)

Cantorovi rezultati

• 1874, časopis “Crelle”: Über die Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen”

• 1879-1884 - (6 radova) • definicija ekvipotentnosti, • dokazao da je Q prebrojiv, • da je R neprebrojiv (Cantorov dijagonalni postupak), • partitivni skup je uvek veće kardinalnosti od samog skupa, • dokazao osobine relacije “manje” među skupovima, • formulisao CH,… • Ordinali, kardinali,… • Nije znao: da dokaže ili opovrgne CH, da dokaže trihotomiju relacije

“manje”,… • Njegova otkrića u početku primljena sa nepoverenjem, oko 1895.

teorija skupova dostiže vrhunac, ALI - - - PARADOKSI!!! • Prava kriza teorije skupova, logike, matematike…

Pronalazak paradoksa • Cantorova otkrića u apstraktnoj teoriji skupova: u početku

nepoverenje, filozofi nezainteresovani.. • Oko 1895: teorija skupova dostiže vrhunac…Cantor sreće

prvi paradoks u svojoj teoriji • Piše Hilbertu 1896, ali ga ne publikuje (paradoks se javio

u tehničkom delu teorije…) • Godinu dana kasnije Burali-Forti ponovo otkriva isti

paradoks, i objavljuje ga • Burali-Fortijev paradoks (1897): “Po jednoj teoremi, dobro

uređen skup W svih ordinala ima veći ordinal od svih elementata iz W. No, to bi značilo da je W veći od svih ordinala, pa i od samog sebe.”

… i stižu novi paradoksi…

• Dve godine kasnije Cantor otkriva sličan paradoks u teoriji kardinala (publikuje ga 1932)

• Cantorov paradoks (1899): “ Po Cantorovoj teoremi, skup P(S) ima veći kardinalni broj nego skup S. Posmatrajmo sada skup svih skupova U. Tada P(U) ima veći kardinalni broj nego U, što je nemoguće jer P(U) je podskup od U.”

• U junu 1901. Bertrand Russell zapaža isti fenomen i posle analize dokaza Cantorove teoreme konstruiše novi paradoks, koji je mnogo elementarniji ( ne treba nam pojam ordinala, kardinala, čak ni partitivnog skupa)

Russellov paradoks • Russellov paradoks (1903): “ Posmatrajmo skup S

svih onih skupova koji nisu sami sebi elementi”. Da li je S element skupa S ili nije? Obe moguće pretpostavke nas dovode do kontradikcije tj. dobijamo da je S element od S ako i samo ako S nije element od S.”

• Russell obaveštava Fregea pismom o svom otkriću i publikuje paradoks 1903.

• Nezavisno od Russella, isti paradoks otkriva grupa matematičara (sa Zermelom na čelu) u Göttingenu

• Za razliku od prethodne dva paradoksa, Russellov paradoks je bio šok za one matematičare koji su se u to vreme bavili osnovama matematike

Kako ko prima paradoks? • Dedekind – njegov esej o prirodi i smislu brojeva se

bazira na Cantorovoj teoriji skupova, pa Dedekind zaustavlja publikovanje tog eseja

• Frege – on je bio najviše u šoku – baš onda je stavljao poslednje crte na svoj rad o formalnim sistemima, u Apendiksu kaže da je Russellovo otkriće uzdrmalo temelje njegove knjige

• Poincare – vodeći matematičar tog vremena, koji je u početku propagirao primenu teorije skupova, okreće se protiv te teorije

• A CANTOR? – Iako nije mogao da reši Russellov paradoks, on nije ni za trenutak izgubio veru u svoju teoriju

• HILBERT:” … većina matematičara ipak ne želi da bude izgnana iz raja u koji nas je Cantor uveo…”

Paradoksi koji liče na Russellov

• Paradoks lažova: Epimenid:”Svi Krićani lažu.” – jasnije: “Ja sada lažem.” ili “Ova rečenica je lažna”

Paradoks brice: Bilo jednom jedno selo koje je imalo svog bricu. Taj brica je brijao tačno one ljude u selu koji se ne briju sami. Pitanje je: Ko brije bricu?

…i još paradoksa… • Richardov paradoks (1905): (karikatura Cantorovog dijagonalnog postupka) Posmatrajmo one brojeve između 0 i 1 koji se mogu okaraktrisati rečenicom konačne dužine. Ovakvih brojeva ima prebrojivo mnogo, pa ih ispišimo u lisu L. Neka je r broj koji se pravi na sledeći način: Na i-tom decimalnom mestu u zapisu broja r stoji 1, ako i-ti broj u listi L na i-tom decimalnom mestu ima cifru različitu od 1; u suprotnom, na i-tom decimalnom mestu u broju r stoji cifra 2. Da li je broj r na listi L?

…paradoks koji nije matematički… • Grellingov paradoks (1908): Neke reči imaju istu osobinu

koju znače: na primer reč “srpska” srpska reč, “višesložna” je višesložna reč, itd… Druge reči opet nemaju tu osobinu: “crvena” nije crvena reč, ili “daleko”, “cvet”,… Ovakve reči ćemo zvati heterogene. Pitanje je: Da li je reč “heterogena” heterogena reč ili nije?

Evo sada nacrtani paradoksi-Escher

Drawing Hands

Escher: Print Gallery

Escher: Waterfall

Escher: Ascending and Descending

Magritte: Pipe

Analiza paradoksa

• Šta je zajedničko u tim paradoksima? • “samopozivanje” (self-reference) • Ključni pojam se definiše pomoću neke totalnosti kome pripada

• Kruženje u argumentaciji • Mnogi matematičari su se zabrinuli, jer se paradoksi javljaju u osnovama matematike, a i logika je dovedena u pitanje…

• Pojava paradoksa je dovela do snažnog razvoja matematičke logike a i matematike uopšte…

Kako izbeći paradokse u teoriji skupova? • Logicistički pristup: Logicisti smatraju da je matematika

deo logike, i da za “popravljanje” osnova matematikepre svega treba intervenisati u logici. • Russellova teorija tipova • Quine: New Foundation for Mathematical Logic (NF) – nije

saglasna sa AC! • Viševrednosne logike...

Intuicionistički pristup • Radikalno menjaju logiku • Dovodi u pitanje čitave grane klasične matematike • Ideje intuicionizma prvi put su izrekli Kronecker i njegovi saradnici

(1870-1880), oglašavajući se protiv metoda Weierstrassa • Nov podstrek: 1904: Dokazana je teorema o dobrom uređenju • Brower, 1907: eksplicitno definiše teze intuicionizma • Heyting, 1930: aksiome • Ne priznaju univerzalni karakter nekih osnovnih zakona logike

(zakon o isključenju trećeg, dvojna negacija,…) • Postojanje u matematici se poklapa sa konstruktibilnošću • Ne priznaju indirektne dokaze: ako treba da dokažemo da postoji

neki x sa osobinom A(x), onda se to ne može dokazati tako da se dokaže da nije za sve x ne A(x) (to je samo povod za traganje za konstruktivnim dokazom)

Aksiomatski pristup • Opis neke konkretne teorije: izdvojimo osnove objekte, relacije koje

postoje među time objektima (aksiome), dogovorimo se o pravilima izvođenja, i posle samo radimo u formalnoj teoriji

• Prvi aksiomatski sistema za teoriju skupova: Zermelo, 1908. • Posle je Fraenkel dopunio taj sistema aksioma, pa se sad zove

Zermelo-Fraenkelova (ZF) teorija skupova • NBG sistema akioma: Neumann (1925), a zatim su ga dopunili R.

Robinson, P. Bernays i K. Gödel. • Von Neumannova ideja: nisu nezgodni veliki skupovi, nego to što

dozvoljavamo da oni budu posle nečiji elementi – objekte kojima je zabranio da budu nečiji elementi zovemo KLASE, a oni drugi su SKUPOVI

• NBG teorija ima konačno mnogo aksioma • ZF teorija se može smatrati za podteoriju NBG teorije • ZF je neprotivrečna akko je NBG neprotivrečna