Poglavje 1 Posebna teorija relativnosti

Poglavje 1

Posebna teorija relativnosti

Dvajseto stoletje je v fiziko prineslo dve revolucionarni novosti: Ein-steinovo teorijo relativnosti in kvantno fiziko. Tako danes pravimo fizikido konca 19. stoletja klasicna fizika, relativisticni in kvantni pojavi patvorijo moderno fiziko. To nikakor ne pomeni, da klasicna fizika ni vecuporabna, nasprotno, tudi v 20. stoletju je bilo z njo mogoce razlozitimnogo novih pojavov.

1.1 Zakaj klasicna fizika ni dobra

Ob koncu 19. stoletja, po odkritju Maxwellovih enacb elektrodinamikein elektromagnetnih valov, so se v fiziki pokazale dolocene tezave. Hitrostsvetlobe je v Maxwellovih enacbah konstanta, neodvisna od opazoval-nega sistema. Po tedanjih izkusnjah z valovanji, kot so zvok, velja zahitrost valovnih cel, to je fazno hitrost, isto kot za hitrost delcev: ce jehitrost valovanja v izbranem inercialnem opazovalnem sistemu S enakac , mora biti v sistemu S , ki se glede na S giblje v pozitivni smeri shitrostjo v0, hitrost valovanja c−v0. Vsa do tedaj znana valovanja so sesirila po nekem sredstvu, zato so tudi za svetlobo predpostavljali, da sesiri po etru, nekaksnem idealnem elasticnem mediju, skozi katerega sesnovna telesa gibljejo brez upora. (V danasnjem casu se nam morda zdito pojmovanje celo manj cudno kot v vecjem delu dvajsetega stoletja:kozmologi so v zadnjih nekaj letih precej trdno prepricani, da je vecinamase vesolja v obliki, ki z obicajno snovjo ne sodeluje. To seveda z

1

2 POGLAVJE 1. POSEBNA TEORIJA RELATIVNOSTI

etrom nima zveze.)

Ze Maxwell je razumel, da naj bi bilo naceloma mogoce hitrostZemlje glede na eter meriti z merjenjem hitrosti svetlobe, vendar je me-nil, da bi bila zaradi zelo velike hitrosti svetlobe potrebna nedosegljivovelika natancnost. Albert Michelson pa se je meritve vseeno lotil. Izu-mil je nov interferometer, ki se danes nosi ime po njem in z njim izvedelposkus, s katerim je lahko dosegel potrebno natancnost.

Michelsonov interferometer

Enobarvna svetloba (rumena svetloba natrijeve svetilke) pada napolprepustno zrcalo in se na njem razdeli na dva kraka dolzine L. Nakoncnih zrcalih se zarka odbijeta in se po poprepustnem zrcalu zopetzdruzita. Ce se faza obeh delnih valov na detektorju razlikuje za mno-gokratnik 2π, zaznamo interferencni maksimum, sicer je signal manjsi.Prepostavimo, da se Zemlja in z njo interferometer giblje glede na eters hitrostjo v0 v vodoravni smeri na skici. Tedaj bi morala svetloba zapot do vodoravnega zrcala in nazaj do polprepustnega zrcala porabiti

1.1. ZAKAJ KLASICNA FIZIKA NI DOBRA 3

cc’

v0

Slika˜1.1:

cas

t1 =L

c− v0+

L

c+ v0=

2L

c

1

1− v20c2

Hitrost Zemlje okoli Sonca je priblızno 3.104 km/s= 10−4c, tako dalahko imenovalec razvijemo:

t1 =2L

c1 +

v20c2

Relativno podaljsanje casa preleta je le 10−8. Tudi v precnem krakumoramo upostevati, da se inteferometer giblje glede na eter. Hitrostpotovanja svetlobe v pravokotni smeri je tako (glej skico)

c = c2 − v20c2

in je cas preleta do precnega zrcala in nazaj

t2 =2L

c=

2L

c

1

c2 − v20c2

=2L

c1 +

1

2

v20c2


Razlika casov preleta je tako

t2 − t1 = δt =L

c

v20c2

Fazna razlika med obema zarkoma na detektorju je

2π ν δt = 2πL

λ

v20c2

Michelson je z dodatnimi zrcali v obeh krakih dosegel, da je bila dolzinapoti L = 11 m, valovna dolzina je bila 6.10−7m, kar da fazno razliko0, 4π ali 0,2 interferencne proge.

Pri gornjem racunu smo privzeli, da sta oba kraka enako dolga, karje bilo s potrebno natancnostjo tezko doseci. Michelson se je tej zahteviizognil tako, da je med opazovanjem interferometer zavrtel za 90o. Stem sta se vlogi obeh krakov zamenjali in Michelson je pricakoval, dase bo interferencni vzorec premaknile za 0,4 proge, kar bi zlahka opazil.Vendar je bil rezultat meritve negativen, proge se sploh niso premaknile.

Michelsonov poskus, ki je bil kasneje z boljso natancnostjo veckratponovljen, kaze presenstljivo dejstvo, da hitrost svetlobe ni odvisna odgibanja opazovalca.

Na to, da pri hitrostih, ki so primerljive s hitrostjo svetlobe, neveljajo vec klasicne predstave, kazejo tudi drugi, kasnejsi poskusi. Natem mestu omenimo le dva.

Nestabilni elementarni delci razpadajo z razpadnim casom, ki jeznacilen za dane delce. Vendar delci, ki razpadajo in se pri tem gibljejoz veliko hitrostjo, zivijo dlje kot isti delci, kadar ti mirujejo ali se gibljejole pocasi. To napeljuje na misel, da je nekaj narobe s kalsicnim poj-movanjem casa, ki naj bi tekel v vseh (inercialnih) opazovalnih sistemihenako.

Pri pospesevanju elektronov z napetostjo blizu milijon voltov so

opazili, da koncna hitrost ni 2eU/m, kot pricakujemo po Newtonovimehaniki, temvec manj in se asimptoticno priblizuje c.

1.2. EINSTEINOVI POSTULATI IN POSLEDICE 5

1.2 Einsteinovi postulati in posledice

Einsteina je pri uvedbi posebne teorije relativnosti, ki pomeni povsemnovo pojmovanje prostora in casa, vodilo predvsem nasprotje med za-htevo, da morajo biti zakoni fizike enaki v vseh inercialnih opazoval-nih sistemih, in Maxwellovimi enacbami, po katerih je hitrost svetlobekonstanta, kar bi bilo po klasicnih predstavah mozno le tako, da biMaxwellove enacbe veljale le v posebnem sistemu, ki miruje glede nanekaksen eter. Na Michelsonov poskus se niti ni kaj dosti naslanjal.Tako je postavil dve zahtevi ali postulata:

1. Hitrost svetlobe je v vseh inercialnih sistemih enaka c.

2. Zakoni fizike imajo v vseh inercialnih sistemih enako obliko.

Druga zahteva je enaka kot v kalsicni fiziki, prva pa je v skladu takoz Michelsonovo meritvijo kot z Maxwellovimi enacbami. Videli bomo,da so njene posledice zelo daljnosezne: prisilijo nas, da privzamemonovo pojmovanje prostora in casa.

1.2.1 Podaljsanje casa

V klasicni fiziki je cas univerzalni parameter, ki tece v vseh opazovalnihsistemih in po vsem prostoru enako. Pokazimo, da zaradi gornjih zahtevcas ne more teci v vseh sistemih enako.

Zamislimo si napravo, nekaksno uro, ki jo kaze spodnja skica.Izvor odda svetlobni sunek, ki se odbije od zrcala in se vrne do

detektorja. Cas, ki ga porabi za prelet, lahko vzamemo za casovnoenoto. Ce zelimo, lahko napravo dopolnimo, da deluje kot obicajnaura. Vsakic, ko detektor zazna odbiti sunek, sprozi izvor, da odda novsunek. S stetjem sunkov tako merimo cas.

V inercialnem sistemu S, v katerem naprava miruje, je cas preleta

t0 =2L0

c

Vzemimo sedaj enako uro v sistemu S , ki se giblje v desno s hitrostjo v0glede na S. Za opazovalca v S se je v casu t/2, ki ga sunek potrebuje,


L0

izvor detektor

zrcalo

L0

izvor detektor

zrcalo

Slika˜1.2:

da pride do zrcala, to premaknilo za t v0/2. Po prvem postulatu jehitrost svetlobe v S tudi c, zato je

t

2=

L20 +

t v02

2

c

Od tod izracunamo cas preleta

t =2L0

c

1

1− v0c

2(1.1)

Povsem enaka ura, ki miruje v S , torej tece za opazovalca v S za

faktor γ0 = 1− v0c

2pocasneje kot ura, ki miruje v S. Videli bomo,

da γ0 nastopa v mnogih izrazih relativnostne teorije, zato smo vpeljaliposeben simbol. Zdi se sicer, da smo pojav podaljsanja casa dobili zamerjenje z neko posebno uro, vendar poskusi kazejo, da velja za vsakouro.

Cas, ki ga kaze ura v sistemu, v katerem miruje, imenujemo lastnicas te ure.

Primer, ki daje neposredno potrditev izraza za podaljsanje casa, jerazpad osnovnih delcev pionov v mirovanju in v letu. V mirovanju je

1.2. EINSTEINOVI POSTULATI IN POSLEDICE 7

L0

t v0/2

L0

t v0/2

Slika˜1.3:

povprecni razpadni cas pionov τ = 2, 6×10−8s. Pionom, ki so nastali vtarci pospesevalnika protonov, so s casom preleta izmerili hitrost 2, 74×108 m/s in razpadni cas v letu τ = 6, 38× 10−8 s. Razmerje razpadnihcasov je bilo 2,45, iz hitrosti izracunani faktor γ0 pa 2,46, kar se lepoujema s formulo za podaljsanje casa.

1.2.2 Skrcenje dolzin

Druga posledica Einsteinovih postulatov je, da razdalja med dvematockama v S in S ni enaka. To spet lahko pokazemo z naso svetlobnouro. Obrnimo uro v S za 90o. Najprej privzemimo, da je razdalja medizvorom in zrcalom za opazovalca v S se vedno L0. V casu t1 potovanjasvetlobnega sunka do zrcala se je to premaknilo za v0 t1, tako da je

t1 =L0 + v0 t1

c

cas potovanja nazaj pa

t2 =L0 − v0 t2

cTako bi bil cas preleta

t = t1 + t2 =L0

c

1

1− v0c

+1

1 + v0c

=L0

c

1

1− v0c

2


Dobili smo, da bi bil faktor podaljsanja casa za tako obrnjeno uro γ20 ,kar ni v skladu s prejsnjim dognanjem in meritvami. Kako ura tece,tudi ne sme biti odvisno od njene orientacije. Tako moramo ugotoviti,da dolzina ure vzdolz smeri gibanja za opazovalca v S ni L0, temvec seskrajsa na

L =L0

γ0= L0 1− v0

c

2

(1.2)

To je pojav skrcenja dolzin. Ker razseznih teles ne moremo pospesiti dohitrosti, primerljive s svetlobno, ga ni mogoce preveriti z neposrednimimeritvami, kaze pa, da je tudi razdalja odvisna od tega, v katerem opa-zovalnem sistemu jo merimo. Razdalji med dvema tockama v sistemu,v katerem tocki mirujeta, pravimo lastna dolzina.

Pri obeh pojavih, podaljsanju casa in skrcenju dolzin, sta sistemaS in S povsem enakopravna. Ura v S tece pocasi za opazovalca v S,obratno pa ura, ki miruje v S, tece pocasi za opazovalca v S . To jevidno iz tega, da je γ0 odvisen le od v20 in je seveda v skladu z zahtevo,da morajo biti vsi inercialni sistemi enakovredni.

1.3 Lorentzova transformacija

Obe dosedanji posledici Einsteinovih postulatov sta povezani z opa-zovanji v razlicnih inercialnih opazovalnih sistemih. Poglejmo sedaj,kaksna je splosna transformacija koordinat pri prehodu iz enega sis-tema v drugega.

Vemo, da za prehod med inercialnim sistemom S in inercialnimsistemom S , ki se giblje glede na S s hitrostjo v0 v smeri osi x , vklasicni fiziki velja Galilejeva transformacija (privzamemo, da ob t = 0izhodisci sovpadata)

x = x− v0 t (1.3)

y = y

z = z

t = t

Cas se seveda v klasicni fiziki nikoli ne transformira in smo zadnjoenacbo dodali, ker ze vemo, da se v relativisticni fiziki tudi cas trans-

1.3. LORENTZOVA TRANSFORMACIJA 9

formira. Galilejeva transformacija je linearna. Med najosnovnejsimipredpostavkami fizike je homogenost prostora, to je, da je prostor pov-sod enak. Zato mora biti vsaka transformacija med inercialnimi opazo-valnimi sistemi linearna.

Iscemo tako transformacijo, ki bo zadoscala Einsteinovim zahtevam.Obenem vemo, da je za majhne hitrosti dobra Galilejeva transformacija,zato poskusimo z novo transformacijo koordinat oblike

x = α (x− v0t)

y = η y

z = η z

Sistema S in S morata biti po drugem postulatu enakovredna, zatomora imeti obratna transformacija enako obliko. Koeficient α mora bitifunkcija v0, ki ima pri v0 = 0 vrednost 1, zato mora biti soda. Tako jeobratna transformacija

x = α (x + v0t )

y = η y

z = η z

Ker mora biti y = η y = η2y, je η = ±1. Pri majhnih hitrostihmora veljati Galilejeva trasnformacija, tako da mora biti η = 1. .Izracunajmo t iz izraza za x in vstavimo se izraz za x , pa dobimo

t =1

v0

x

α− x =

x

α v0− α

x

v0+ α t = α t− α2 − 1

α2v0x

α ne more biti 1, ker bi s tem dobili nazaj Galilejevo transformacijo. Stem smo dobili tudi enacbo za transformacijo casa, ugotoviti moramole se, kaksen je koeficient α. Mislimo si, da se ob casu t = t = 0 vizhodiscu izseva svetlobni blisk. V S bo cez cas t dosegel tocko x = c t,v S pa x = c t . Tu smo uporabili zahtevo, da je hitrost svetlobe vobeh sistemih enaka. Uporabimo se transformacijski pravili za x in xin dobimo

c t = α (x + v0t ) = α (c+ v0) t

inc t = α (x− v0t) = α (c− v0) t


Postavimo t iz druge enacbe v prvo, pa lahko izracunamo

α =1

1− v0c

2= γ0

α je torej kar γ0, kar bi po izrazu za podaljsanje casa lahko tudi uganili.Tako smo dobili Lorentzovo transformacijo za prehod med dvema

inercialnima sistemoma:

t = γ0 t− v0c2x (1.4)

x = γ0 (x− v0t)

y = y

z = z

Ker je hitrost S glede na S enaka −v0, dobimo obratno transformacijotako, da zamenjamo v0 z −v0.

Dobljeno transformacijo je odkril Hendrik Lorentz leta 1890. Ugo-tovil je, da so Maxwellove enacbe invariantne na to transformacijo, toje, ohranjajo enako obliko. Ker je po njih tudi hitrost svetlobe enaka c,zadoscajo Einsteinovim postulatom in so relativisticno pravilne. Lorentzje se trdno verjel v eter in je smatral, da je transformacija le matematicnaposebnost Maxwellovih enacb in je ni povezal z lasnostmi prosotra incasa. To je storil sele Einstein leta 1905.

Pojavu, ki se zgodi na danem mestu ob danem casu, to je cetvorki(t, x, y, z), recemo dogodek.

Iz Lorentzove transformacije sledita pojava podaljsanja casa in skrcenjadolzin. Naj ura miruje v S na mestu x . Casovni interval ∆t je v Spo obratni Lorentzovi transformaciji

∆t = γ0 ∆t +v0c2∆x

Ker ura v S miruje, je ∆x = 0 in je

∆t = γ0∆t

torej se casovni interval v S podaljsa, kot smo ze ugotovili. Kaj pravza-prav to pomeni, si lahko nekoliko pojasnimo s primerom. Opazovalca v


S in S se dogovorita, da bo ura, ki miruje v izhodiscu S , eno sekundo(t0) potem, ko sta izhodisci sovpadali in sta uri v obeh izhodiscih kazalicas 0, oddala svetlobni signal. Opazovalec v izhodiscu S zazna signal,ko njegova ura kaze

t1 = γ0t0 +v0ct0

Upostevati smo morali, da je ura v S prepotovala razdaljo v0t0. Takoje

t1 = γ0t0 1 +v0c

= t01 + v0

c

1− v0c

(1.5)

Temu rezultatu bomo nekoliko kasneje lahko dali se drug pomen.Tudi skrcenje dolzin lahko obravnavamo z Lorentzovo transforma-

cijo. Vzemimo palico dolzine L0, ki miruje v S . Najprej moramougotoviti, kako je dolocena dolzina palice v S. V klasicni fiziki, kjerje cas enak v vseh inercialnih sistemih, s tem ni bilo tezav, razlikakoordinat ob istem casu je pri Galilejevi transformaciji neodvisna odkoordinatnega sistema. Relativisticno dobimo razdaljo med dverma do-godkoma kot razliko prostorskih koordinat ob istem casu v izbranemkoordinatnem sistemu. Po Lorentzovi transformaciji je

∆x = γ0 (L0 + v0∆t )

∆t = γ0 ∆t +v0c2L0

Ce naj ∆x predstavlja dolzino palice v S, mora biti ∆t = 0 in je∆t = −v0

c2L0. Od tod dobimo ze znani rezultat

L = γ0L0 1− v20c2

=L0

γ0

1.3.1 Socasnost

Pomembna posledica Lorentzove transformacije, ki je tuja nasi intuiciji,je relativnost socasnosti dveh dogodkov. Dva dogodka (t1, x1, y1, z1) in(t2, x2, y2, z2) sta v sistemu S socasna, ce je ∆t = t2−t1 = 0. V sistemuS je

∆t = γ0 ∆t− v0c2∆x


Ce imata dogodka razlicni koordinati x, je ∆t = 0, v sistemu S do-godka nista socasna.

1.3.2 Transformacija (sestevanje) hitrosti

Pri Galilejevi transformaciji velja za hitrost v gibajocem se sistemuvx = vx − v0 in vy = vy. Poglejmo, kako se transformirajo komponentehitrosti pri Lorentzovi transformaciji.

vx =dx

dt=

γ0 (dx− v0 dt)

γ0 dt− v0c2dx

=vx − v01− v0vx

c2

(1.6a)

vy =dy

dt=

dy

γ0 dt− v0c2dx

=vy

γ0 1− v0vxc2

(1.6b)

vz =dz

dt=

dz

γ0 dt− v0c2dx

=vz

γ0 1− v0vxc2

(1.6c)

Upostevati smo morali, da se tudi dt transformira. Zato so izrazi zatransformirane komponente hitrosti bolj zapleteni in se spremenijo tudiprecne komponente. Obratna transformacija

vx =vx + v0

1 + v0vxc2

kaze, da hitrost v nobenem inercialnem sistemu ne more preseci c.

1.3.3 Dopplerjev pojav

Poglejmo, kako se spremeni frekvenca svetlobe, ki jo oddaja izvor I, zaopazovalca O , ki miruje v S in se giblje glede na izvor I s hitrostjov0 v smeri osi x. Izvor v sistemu S, v katerem miruje, odda v nekemcasovnem intervalu N = ν∆t valov. Stevilo izsevanih valov vustreznem intervalu ∆t v S mora biti enako. V S se je medtem izvorpremaknil za −v0∆t , tako da je

c

ν= λ =

(v0 + c)∆t

N=

(v0 + c)∆t

ν∆t


O’

v0Dt’ cDt’

N valov

I O’

v0Dt’ cDt’

N valov

I

Slika˜1.4:

Ker je ∆t = γ0∆t, je

1

ν= γ0 1 +

v0c

1

ν=

1

ν

1 + v0c

1− v0c

To lahko zapisemo tudi v obliki

ν = γ0 1− v0c

ν (1.7)

V skladu z zahtevo, da so vsi opazovalni sistemi enakovredni, je vseeno,ali se giblje izvor ali opazovalec, pomembna je le relativna hitrost. Prizvoku, ki se siri po zraku, ni tako. Dobljeni izraz smo pravzapravizpeljali ze pri obravnavi vprasanja, po koliksnem casu zazna mirujocopazovalec signal, ki ga je oddala ura, ki se giblje.

Pri hitrosti, ki je majhna v primerjavi s svetlobno, je γ0 1 in jeν = 1− v0

cν.

Oglejmo si Dopplerjev pojav nekoliko bolj splosno. Naj izvor v Soddaja ravno valovanje v smeri θ glede na os x. Zanima nas, kaksna jefrekvenca in smer valovanja v S . VS zapisemo elektricno polje

E = E0 sin (kx x + k yy − ω t) = E0 sin (k x cos θ + k y sin θ − ω t)


v S pa

E = E0 sin kx x + k yy − ω t = E0 sin (k x cos θ + k y sin θ − ω t )

Velja seveda k = ω/c in k = ω /c. Z uporabo Lorentzove transformacijeizrazimo x in t v prvem izrazu z x in t . Kako se transformira amplitudapolja E0, nas trenutno ne zanima. Tako je

E = E0 sin kx γ0 (x + v0t ) + k yy − ω γ0 t +v0c2x =

= E0 sin γ0 kx − v0c2ω x + kyy − γ0 (ω − v0kx) t

Stevilo vseh valov, ki jih izseva izvor, mora biti enako v obeh opazoval-nih sistemih. Zato mora biti tudi faza, to je argument sinusa, v obehsistemih enaka. Sledi, da morata biti v zadnjem izrazu koeficienta predx in t enaka kx in ω . Tako imamo pravila za transformacijo (krozne)frekvence in komponent valovnega vektorja

ω = γ0 (ω − v0kx) (1.8a)

kx = γ0 kx − v0c2ω (1.8b)

ky = ky (1.8c)

kz = kz

Ta pravila imajo skoraj enako obliko kot Lorentzova transformacijakoordinat.

Ker je kx = k cos θ in k = ω/c, je frekvenca za opazovalca v S

ω = γ0 (ω − v0 k cos θ) = γ0ω 1− v0c

cos θ

kar je posplositev izraza za Dopplerjev pojav, kadar se valovanje v Ssiri pod kotom θ glede na os x. Zanimivo je, da zaradi faktorja γ0dobimo Dopplerjev premik tudi za sirjenje pravokotno na smer gibanjaopazovalca: ω = γ0ω. Temu pravimo transverzalni Dopplerjev pojav.

Ugotovimo se, kako se v S spremeni smer sirjenja valovanja. Kerje ky = ky, je ω /c sin θ = ω/c sin θ in je

sin θ =sin θ

γ0 1− v0ccos θ

1.4. RELATIVISTICNA GIBALNA KOLICINA 15

Odvisnost kota opazovanja od hitrosti opazovalca je mogoce opaziti vastronomiji, kjer se navidezni polozaj zvezd spreminja z letnim casom.Pojavu zato pravijo zvezdna aberacija.

1.4 Relativisticna gibalna kolicina

Doslej smo obravnavali le posledice Lorentzove transformacije za os-novne lastnosti prostora in casa. V fiziki nas seveda zanimajo pred-vsem zakoni gibanja. V klasicni fiziki je to Newtonov zakon, iz kateregaizpeljemo izrek o gibalni kolicini in izrek o energiji. Gibalna kolicinain energija sta dve najosnovnejsi fizikalni kolicini. Poglejmo, kako jumoramo definirati v relativisticni fiziki.

Zacnimo z gibalno kolicino. Obravnavajmo trk dveh enakih krogel.V sistemu S se pred trkom gibljeta s hitrostma v in −v v smeri x,po trku pa z enako velikima hitrostma odletita v smeri ois y, kot kazeskica. Poskusimo najprej s klasicnim izrazom za gibalno kolicino

1

12

2

-vv

v

-v

1

12

2

-vv

v

-v

Slika˜1.5:


v’xv’k1

v’k2

S’

v’xv’k1

v’k2

v’xv’k1

v’k2

S’

Slika˜1.6:

p =mv. Pri trku se gibalna kolicina ohrani, kar smo pri opisu trka vS ze upostevali. V sistemu S naj krogla 1 miruje, krogla 2 pa imazacetno hitrost vx. Hitrost sistema S je torej v0 = −v. Popravilih za transformacijo hitrosti je

vx =2 v

1 + v2

c2

Koncni hitrosti v smeri x sta

vk1x = vk2x =0 + v

1 + 0 vc2

= v

Gibalna kolicina v S v smeri x je pred trkom

px =2mv

1 + v2

c2

po trku papkx = 2mv

Po starem definirana gibalna kolicina se torej v S ne ohrani, ce seohrani v S.

1.4. RELATIVISTICNA GIBALNA KOLICINA 17

Zakon o ohranitvi gibalne kolicine je tako pomemben, da si fizikobrez njega tezko predstavljamo. Zato poskusimo popraviti definicijo:

p =1

1− v2

c2

mv =γ mv (1.9)

Nova definicija se pri majhni hitrosti ujema s staro. Faktor γ je poobliki enak kot γ0, ki nastopa v Lorentzovi transformaciji, le da v njemnastopa hitrost delca, ne pa koordinatnega sistema. Veckrat v enacbahnastopata oba faktorja in tedaj je treba paziti na razliko med hitrostjosistema in hitrostjo delca, ki ga obravnavamo.

Preizkusimo, ali se na novo definirana gibalna kolicina ohranja vvseh koordinatnih sistemih, ce se v enem. Razmere v S so enake kotprej. Komponente hitrosti v smeri x v sistemu S pred in po trku smoze izracunali. Pred trkom je komponenta gibalne kolicine

px =2mv

1 + v2c2

1− 4 v2

c2(1+v2/c2)2

=

=2mv

1 + 2v2

c2+ v4

c4− 4v2/c2

=2mv

1− v2

c2

Po trku je vk2y = −vk1y. V sistemu S je koncna hitrost vk1y = v,tako da je po 1.6a

vk1y =v

γ0 1 + v vkxc2

=v

γ0=

v

1− v2

c2

ker je vkx = 0. Po trku je

pkx = 2mv

1− v 2x +v 2

y

c2

= 2mv

1− v2

c2− v2

c2(1−v2/c2)=

= 2mv

1− 2v2

c2+ v4

c4

=2mv

1− v2

c2

Z novo definicijo se torej gibalna kolicina ohranja v obeh sistemih. Izraz1.9 privzamemo za definicijo relativisticne gibalne kolicine.


1.5 Energija

Klasicna kineticna energija je Wk =12mv2. Poglejmo spet, kako se tako

definirana energija obnasa pri trku v prejsnjem oddleku. V sistemu S jeenergija obeh krogel pred in po trku ocitno enaka. V S je pred trkom

Wk =2mv2

1 + v2

c2

2

po trku pa

21

2m v 2

kx + v 2ky = m v2 +

v2

γ20= 2mv2 2− v2

c2

Spet se klasicno definirana kineticna energija v S ne ohrani.Kako je treba popraviti definicijo energije, je bolj zapleteno kot

v primeru gibalne kolicine. Sponimo se, da je po izreku o energijisprememba kineticne energije delca enaka delu vseh sil, ki na delecdelujejo. Delec naj se giblje le v smeri osi x:

∆W =x2

x1F dx

V Newtonovi mehaniki je F =dpdt. Poskusimo ohraniti to zvezo, le da

za gibalno kolicino uporabimo novi relativisticni izraz 1.9. Ali je topravilno ali ne, nam lahko pove le eksperiment. Tedaj imamo za spre-membo energije

∆W =x2

x1

dp

dtdx =

p2

p1v dp

Iz p = mv/ 1− v2/c2 sledi

v =c p√

p2 +m2c2

in

∆W = cp2

p1

p dp√p2 +m2c2

=

= c p22 + c2m2 − c p21 + c2m2

1.5. ENERGIJA 19

Ce je zacetna hitrost 0, je ∆W ravno kineticna energija:

Wk = c p2 + c2m2 −mc2 (1.10)

Clenu mc2 pravimo mirovna energija,

W = c p2 + c2m2 (1.11)

pa polna energija. Z uporabo izraza 1.9 za gibalno kolicino izrazimopolno energijo v obliki

W = mc 2v2

c2 − v2+ 1 = (1.12)

=mc2

1− v2

c2

= γ mc2 (1.13)

Dokler imamo opravka le z enim nesestavljenim delcem, je mirovnaenergija konstanta, sorazmerna z maso delca. Klasicno se masa ne-sestavljenih delcev in sistemov vec delcev ohranja, nekoliko kasneje pabomo videli, da je v relativisticni fiziki to ni vec nujno.

Spet lahko preizkusimo, ali se na novo definirana polna energija pritrku ohranja tudi v S . Pred trkom je

W =mc2

1− 4 v2

c2(1+v2/c2)2

+mc2 =

= mc21 + v2

c2

1− v2

c2

+mc2 =2mc2

1− v2

c2

po trku pa

W =2mc2

1− v 2kx+v 2

ky

c2

=

=2mc2

1− v2

c2− v2

c21− v2

c2

=2mc2

1− v2

c2


Polna energija se torej ohranja v S in S .Nova definicija polne in kineticne energije je videti precej durgacna

od stare. Poglejmo, da se pri majhnih hitrostih oba izraza za kineticnoenergijo ujemata:

Wk =mc2

1− v2

c2

−mc2 = mc2 1 +1

2

v2

c2+ . . . −mc2 =

=1

2mv2

Veckrat imamo opravka tudi z delci, katerih kineticna energija jedosti vecja od mirovne. Tedaj lahko v izrazu 1.11 pod korenom zane-marimo clen m2c2 in dobimo ultrarealtivisticni priblizek

W = c p , W >> mc2

Primer: Elektron pospesimo z napetostjo 20 MV. Koliksna je nje-gova hitrost, polna energija in gibalna kolicina?

Najprej vpeljimo mero za energijo delcev, ki je za mikroskopskedelce zelo prirocna. Ce delec z osnovnim nabojem e0 pospesimo znapetostjo 1 V, dobi tocno doloceno energijo, ki ji recemo 1 elektronskivolt, 1eV=1,6 10−19J.

Kineticna energija pospesenega elektrona je 20 MeV. Mirovna en-ergija je mec

2 = 514 keV, tako da je polna energija W =20,5 MeV inγ = 41. Velja

v

c=

1

γγ2 − 1

Ker je γ >> 1, lahko koren razvijemo in je

v

c= 1− 1

2γ2= 0.997

Gibalna kolicina je

p = γmv = γmc− mc

2γ=

= γmc2 1− 1

2γ2

Ce torej za elektron z kineticno energijo 20 MeV uporabimo ultrarela-tivisticni priblizek, je relativna napaka 3 .10−3.

1.5. ENERGIJA 21

1.5.1 Transformacija gibalne kolicine in energije

Poglejmo, kako se pri prehodu iz sistema S v sistem S , ki se giblje shitrostjo v0, transformirata p in W . Imamo

p =1

1− v 2

c2

mv = γ mv

W =mc2

1− v 2

c2

= γ mc2

Potrebujemo γ . Z uporabo pravil za transformacijo hitrosti 1.6a do-bimo

γ = 1− v 2x + v 2

y

c2

− 12

=

=

1− (vx − v0)2

c2 1− vxv0c2

2 −v2y (1− v20/c

2)

c2 1− vxv0c2

2

− 1

2

=

=1− vxv0

c2

1− v2

c21− v20

c2

= γ0γ 1− vxv0c2

Tako je

W = γ0γ mc2 1− vxv0c2

= γ0 (W − v0 px)

px = γ0γ m (vx − v0) = γ0 px − v0c2W

py = γ0γmvyγ0

= py

pz = pz

Transformacija energije in gibalne kolicine je skoraj enaka kot Lorent-zova tarsnformacija koordinat.


1.6 Vektorji cetverci in stirirazsezni prostor-

cas

Videli smo, da se poleg koordinat z Lorentzovo trasformacijo trans-formirajo tudi gibalna kolicina z energijo in valovni vektor s frekvenco.To se povsem jasno vidi, ce vse tri transformacije zapisemo v neko-liko popravljeni obliki, tako da imajo vse kolicine, ki se trasnformirajoskupaj, enake enote:

ct = γ0 ct− v0cx

x = γ0 x− v0cc t

y = y

z = z

W

c= γ0

W

c− v0

cpx

px = γ0 px − v0c

W

c(1.14)

py = py

pz = pz

ω

c= γ0

ω

c− v0

ckx

kx = γ0 kx − v0c

ω

cky = ky

kz = kz

V vseh treh primerih se skupaj transformirajo komponente vektorja vtrirazseznem prostoru in se ena kolicina, to je cas, energija ali frekvenca.Tvorimo lahko cetverice (ct, x, y, z), (W/c, px, py, pz) in (ω/c, kx, ky, kz),ki jim pravimo vektorji cetverci. Tvorijo stirirazsezen vektorski prostor.Pri prehodu iz enega inercialnega sistema v drugega se transformirajo

1.6. VEKTORJI CETVERCI IN STIRIRAZSEZNI PROSTOR-CAS23

z Lorentzovo transformacijo. Prvi komponenti pravimo casovna kom-ponenta, naslednjim trem, ki so vedno komponente trirazseznega vek-torja iz obicajnega trirazse”nega prostora, pa prostorske komponente.Certverec pogosto imenujemo po njegovem krajevnem delu, na primercetverec kraja ali gibalne kolicine, namesto kraja in cas ali gibalnekolicine in energije. Kaj je casovna komponenta danemu trirazseznemuvektorju, seveda ni poljubno, ampak je doloceno z Lorentzovo transfor-macijo. Ni tudi nujno, da je vsaka fizikalna kolicina, ki tvori trirazseznivektor, del cetverca. Elektricno in magnetno polje sta na primer delastirirazseznega tenzorja, to je matrike. Za vektor hitrosti tudi ze vemo,da ni del cetverca, saj se ne transformira po Lorentzovi transforma-ciji. To razumemo tudi drugace: hitrost dobimo tako, da krajevni delcetverca delimo z casovnim delom, to pa seveda ne more biti vec vektor.

Komponente cetvercev oznacujemo z grskimi indeksi z vrednostjood 0 do 4. Tako lahko zapisemo na primer cetverec polozaja

(ct, x, y, z) = x0, x1, x2, x3 = xµ

in cetverec gibalne kolicine

pµ = p0, p1, p2, p3 =W

c, px, py, pz

Lorentzovo transformacijo lahko v prostoru cetvercev zapisemo vobliki matrike. Za manj pisanja vpeljimo oznako β0 = v0/c. Matrikatransformacije je

L=

γ0 −γ0β0 0 0−γ0β0 γ0 0 00 0 1 00 0 0 1

(1.15)

Z njo lahko trnsformacijo v sistem S zapisemo

x µ =ν

Lµνxν (1.16)

Sestevanje po dveh indeksih je zelo pogosto, zato navadno vpeljemosumacijsko pravilo, da je treba sesteti po indeksu, ki se v nekem izrazu


x

ct svetovnica

svetlobni stožec

x

ct svetovnica

svetlobni stožec

Slika˜1.7:

pojavi dvakrat, pri cemer znak za vsoto pred izrazom ni potreben. Potem dogovoru lahko 1.16 zapisemo preprosteje

x µ = Lµνxν

Dve zaporedni Lorentzovi transformaciji sta spet Lorentzova transfor-macija. Njeno matriko dobimo tako, da zmnozimo matriki posameznihtransformacij. Tako lahko poiscemo matriko za transformacijo, pri ka-teri se drugi sistem giblje glede na prvega v poljubni smeri.

Gibanje delca lahko predstavimo kot krivuljo v stirirazseznem pros-toru. Taki krivulji pravimo svetovnica. Za primer imejmo gibanje po osix, ki ga lahko predstavimo v ravnini (x, ct): Ker je hitrost vsakegadelca omejena s hitrostjo svetlobe, je strmina svetovnice v (x, ct) dia-gramu vedno vecja 0d 1. Svetovnice svetlobe imajo strmino 1 in tvorijotrirazsezni svetlobni stozec.


1.6.1 Skalarni produkt cetvercev in invariante

Skalarni podukt dveh vektorjev v trirazseznem prostoru da skalar, to jekolicino, ki se ne spremeni pri prehodu iz enega koordinatnega sistemav drugega. Taki kolicini pravimo invarianta.

Vzemimo kar cetverec polozaja. Skalarni produkt vektorja s samimseboj, kot ga poznamo iz trirazseznega prostora, bi bil

(ct)2 + x2 + y2 + z2

Vendar tak skalarni produkt ni neobcutljiv na Lorentzovo transforma-cijo:

(ct )2+ x 2 = γ20 (ct)2 − 2β0x ct+ β2

0 x2 + γ20 x2 − 2β0x ct+ β2

0 (ct)2 =

= γ20 1 + β20 (ct)2 + x2 − 2γ20β0 x ct

Ker je hitrost svetlobe v vseh sistemih c, je za svetlobni signal x2 −(ct)2 = x 2 − (ct )2 = 0. To smo uporabili, ko smo iskali Lorentzovotransformacijo. Zato poskusimo definirati skalarni produkt z

xµxµ = (ct)2 − x2 − y2 − z2 = (ct)2 − r · r (1.17)

Zlahka se prepricamo, da je tak skalarni produkt invarianta na Lorent-zovo transformacijo:

(ct )2 − x 2 = γ20 (ct)2 − 2β0x ct+ β2

0 x2 − γ20 x2 − 2β0x ct+ β2

0 (ct)2 =

= γ20 1− β20 (ct)2 − x2 = (ct)2 − x2

Skalarni produkt dveh cetvercev je

aµbµ = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 (1.18)

Skalarni produkt trirazseznega vektorja s samim seboj je vednopozitiven in je seveda kar kvadrat dolzine vektorja. Skalarni produktcetverca je lahko pozitiven, negativen ali 0. (Vektroski prostor s takimskalarnim produktom je psevdoevklidski). Kvadrat razmika med dvemadogodkoma

ds2 = (cdt)2 − dx2 − dy2 − dz2 (1.19)


je invarianta. Ce je ds2 > 0, pravimo, da je razmik med dogodkomacasovnega tipa, ce je ds2 < 0, je razmik krajevnega tipa, kadar pa jeds2 = 0, je razmik svetlobnega tipa.

Za razmik casovnega tipa vedno lahko najdemo tak inercialni sistem,da je krajevna razdalja med dogodkoma 0. Naj ima krajevni del lekomponento dx. Ce je ds2 > 0, je cdt > dx. Iscemo sistem S , v katerembo

dx = γ0 (dx− v0dt) = 0

Hitrost sistema je v0 =dxdt

< c, iskani sistem torej obstaja.Za razmik svetlobnega tipa je v vsakem sistemu ds2 = 0,zato je v

vsakem sistemu dx = c dt. Dogodka, med katerima je ds = 0, moratabiti na svetovnici, ki predstavlja gibanje s svetlobno hitrostjo, neodvisnood opazovalnega sistema.

Za razmik krajevnega tipa vedno obstoja inercialni sistem, v kateremje casovni interval med dogodkoma dt = 0. V tem primeru je cdt < dxin dobimo iz zahteve

cdt = γ0 cdt− v0cdx = 0

v0 = c2dt

dx< c

Zahtevani sistem torej obstaja. V sistemu S sta dogodka socasna.Dogodka, med katerima je razmik casovnega tipa, lahko predstavl-

jata polozaj delca v dveh zaporednih trenutkih, dogodka svetlobnegatipa pa lezita na svetlobnem stozcu in ju lahko povezuje svetlobni sig-nal. Dogodki casovnega in svetlobnega tipa so zato lahko vzrocnopovezani. Ker sta dogodka, med katerima je razmik krajevnega tipa,lahko socasna, med njima ne more biti vzrocne povezave.

Lastni cas

Razmik med dvema dogodkoma na svetovnici danega delca je nujnocasovnega tipa. To pomeni, da vedno obstaja sistem S , v kateremdelec trenutno miruje. V tem sistemu je dx = 0 in je

ds2 = c2 dt 2


ds je invarianta, torej skalar, neodvisen od opazovalnega sistema. Torejje tudi dt invarianta - diferencial lastnega casa, ki ga oznacimo z dτ .Cas v sistemu S, v katerem se delec giblje s trenutno hitrostjo v, je poLorentzovi transformaciji podaljsan:

dt = γ dτ =1

1− v2

c2

dτ (1.20)

kjer je v2 = v · v . Hitrost delca v S je lahko odvisna od casa. Tedajje zveza med koordinatnim casom v S in lastnim ”asom

∆τ =

t2

t1

dt

γ(1.21)

Primer: V mirovanju je razpadni cas mionov (elementarnih del-cev, sorodnih elektronom) τ0 = 2, 2 ·10−6 s. Mioni krozijo v magnetnempolju shranjevalnega obroca. Iz znanega radija in frekvence krozenja(zvezo bomo dobili nekoliko kasneje) dobimo, da je γ = 29, 3. Izmerjenirazpadni cas je τ1 = 64, 3 · 10−6 s , kar se dobro ujema z τ1 = γ τ0.

Invarianta je seveda tudi skalarni produkt cetverca gibalne kolicine

pµpµ =W 2

c2− p2 = m2c2

Ta invarianta je sorazmerna z maso delca, ki je torej tudi invarianta.Imamo se

kµkµ =ω2

c2− k2 = 0

Da je ta invarianta enaka 0, pricakujemo, saj cetverec valovnega vek-torja opisuje sirjenje svetlobe.

1.6.2 Cetverci kot vektorski prostor

Vsota dveh vektorjev je spet vektor in produkt vektorja s skalarjemje vektor. Tako lahko tvorimo nove cetverce. Poglejmo, kako dobimocetverec hitrosti.


Ugotovili smo, da komponente obicajne hitrosti v = drdt

niso vek-tor, ker dt ni skalar, ampak komponenta cetverca. Torej tudi dxµ

dt=

c, dxdt, dydt, dzdt

ni cetverec. Lastni cas pa je skalar, tako da je

uµ =dxµ

dτ= c

dt

dτ,dx

dτ,dy

dτ,dz

dτ(1.22)

pravi cetverec, ki se transformira z Lorentzovo transformacijo. Ker jev izbranem koordinatnem sistemu dt = γ dτ , je

uµ = (c γ, γ vx, γ vy, γ vz) =1

1− v2

c2

(c, vx, vy, vz)

Ne pozabimo, da je γ funkcija hitrosti delca, ne koordinatnega sistema,in se lahko s casom spreminja.

Prav lahko se prepricamo, da iz Lorentzove tarsnformacije cetvercahiitrosti sledijo ze znana pravila transformacije komponent obicajnehitrosti. Na primer

u 1 = γ vx = γ0 u1 − v0cu0 = γ0γ (vx − v0)

Paziti smo morali, da se transformira tudi faktor γ, kar lahko dobimoiz

u 0 = cγ = γ0 u0 − v0cu1 = γ0γc 1− v0vx

c2

Iz obeh enacb razberemo

vx =γ0γ

γ(vx − v0) =

vx − v01− v0vx

c2

Ocitno je cetverec hitrosti v preprosti zvezi s cetvercem gibalnekolicine:

pµ = muµ

Ta zveza je formalno enaka kot v klasicni fiziki.

1.7. ENACBA GIBANJA 29

1.7 Enacba gibanja

Osnovni zakon gibanja v klasicni fiziki je drugi Newtonov zakon

F = mdv

dt

To ne more biti relativisticno pravilna enacba, saj dopusca, da hitrostv izbranem opazovalnem sistemu poljubno raste. Enacbo gibanja palahko zapisemo tudi v drugi obliki, ki smo jo ze uporabili, ko smo iskalipravo obliko izraza za polno energijo:

F =dp

dt(1.23)

Uporabiti moramo relativisticni izraz p = γ mv. Pri tem pa ne vemo,kaj je sila, gornja enacba je pravzaprav njena definicija. Pri Fiziki I sis tem nismo prevec belili glave in smo kot model vzeli silo vzmeti, kjerje eksperiment pokazal, da je pospesek zaradi sile vzmeti sorazmerenz raztezkom vzmeti. Tako smo dobili vzmetno tehtnico, s katero smolahko merili druge sile, na primer tezo ali elektricno silo. V posebnirelativnosti si ne moremo pomagati niti z vzmetmi niti z gravitacijo.Vzmeti se obnasajo preprosto le, dokler so hitrosti raztegov majhnev primerjavi s hitrostjo zvoka v snovi, torej mnogo manjse kot hitrostsvetlobe, gravitacije pa s posebno teorijo sploh ne moremo obravnavati.Tako nam kot primer sile v relativisticni dinamiki ostane le elektromag-netna sila.

V klasicni fiziki smo (Lorentzovo) silo na nabit delec zapisali

F = e (E+ v ×B) (1.24)

Ta izraz privzamemo kot zapis sile v izbranem koordinatnem sistemutudi v relativisticni fiziki. Pri tem seveda za polja veljajo Maxwelloveenacbe, za katere vemo, da se pravilno transformirajo pri Lorentzovitransformaciji. Le eksperiment lahko pove, ali je ta privzetek prav-ilen. Vse dosedanje meritve in izkusnje so z vso doslegljivo merskonatancnostjo v skladu z enacbama 1.23 in 1.24. Ni jih malo, med drugimvsa tehnika velikih pospesevalnikov temelji na gornjih enacbah.

Gibalno enacbo 1.23 lahko torej zapisemo v eksplicitni obliki

e (E+ v ×B) = md (γv)

dt(1.25)


kjer ne smemo pozabiti, da je tudi γ odvisen od hitrosti: γ = 1/ 1− v2/c2.Ta enacba nam pri znanih poljih omogoca dolociti hitrost in tir delca.

Gibalna enacba 1.23 je sicer pravilna, vendar tako zapisana sila nidel cetverca, saj stoji na desni odvod gibalne kolicine po koordinatnemcasu, torej komponenti cetverca. Obicajna sila se zato ne transformira zLorentzovo transformacijo. Lahko pa tvorimo cetverec, ki mu pravimosila Minkovsekga, tako da odvajamo gibalno kolicino po lastnem casudelca:

Fµ =dpµ

dτ(1.26)

Ker je dt = γ dτ , je

Fµ = γdpµ

dtOd tod lahko preberemo, da so krajevne komponente sile MinkovskegaγF. Casovna komponenta je

F0 =dp0

dt= γ

d

dt

W

c

Odvod energije delca po casu je moc sile, ki jo lahko zapisemo P = F · v,tako da je

Fµ = γF · vc

, γ Fx, γ Fy, γ Fz = γF · vc

, γ F (1.27)

S silo Minkovskega lahko enacbo gibanja zapisemo v formalno enakiobliki kot Newtonov zakon:

Fµ = mduµ

dτ(1.28)

Prednost zapisa s cetverci je, da se takoj vidi, da sta izpolnjeni Ein-steinovi zahtevi: obe strani enacbe se transformirata z Lorentzovotransformacijo in imata zato v vseh inercialnih sistemih enako obliko.Za enacbe, ki so zapisane tako, da v njih nastopajo le cetverci in skalarji,pravimo, da so kovariantne.

Iz Lorentzove sile dobimo silo Minkovskega

Fµ = γeE · v

c, γe (E+ v ×B)

Ker je magnetni del sile vedno pravokoten na hitrost, k moci in casovnemudelu ne prispeva.

1.7. ENACBA GIBANJA 31

Primeri:

1. Krozenje nabitega delca v konstantnem magnetnem polju. Delecnaj ima zacetno hitrost v v ravnini, ki je pravokotna na magnetnopolje. Uporabimo giblanom enacbo v obliki1.23

mdγ v

dt= F

Sila je le magnetnaF = ev×B

Ker je sila vselej pravokotna na hitrost, je velikost hitrosti kon-stantna in je tudi γ konstanta. Tako kot v nerelativisticnemprimeru je gibanje torej krozenje. dv

dtima le radialno komponento

(radialni pospesek) ω2cr = ωcv = v2/r in imamo

mγ ωcv = ev B = m γ v2/r

ωc =eB

γ m

r =mγ v

eB=

p

eB

Vidimo, da se kotna hitrost, ki ji pravimo tudi ciklotronska frekvenca,ωc pri relativisticnih hitrostih zmanjsa za faktor γ, ciklotron-ski radij pa poveca in je vedno sorazmeren z velikostjo gibalnekolicine.

Elektron z energijo 5GeV ima γ = 104. Za gibalno kolicino lahkouporabimo ultrarelativisticni priblizek p = W/c. V magnetnempolju 1 T je radij krozenja

r =5 · 109eVm2

c e 1Vs= 17m

ciklotronska frekvenca pa ωc = 1, 8 · 107 s−1.2. Pospesevanje nabitega delca v konstantnem elektricnem polju.

Naj bo zacetna hitrost delca 0. Gibalna enacba je

d γ v

dt=

e

mE


Enkrat lahko takoj integriramo

γ v =eE

mt = c αt, α =

eE

mc(1.29)

Od tod izracunamo hitrost:

v =eEm

t√1 + α2t2

= cαt√

1 + α2t2

Dokler je hitrost majhna, je v = eE t/m , kar je seveda pricakovaninerelativisticni rezultat. Izraz za hitrost lahko se enkrat integri-ramo in dobimo polozaj delca

x = ct

0

αt√1 + α2t2

dt =mc2

eE

√1 + α2t2 − 1

Za t << 1/α lahko koren razvijemo in se prepricamo, da dobimonerelativisticni izraz za pot pri enakomerno pospesenem gibanju.Izracunajmo se lastni cas pri koordinatnem casu t. Za to najprejiz enacbe 1.29 izracunamo

γ =√1 + α2t2

Po enacbi 1.21 je

τ =t

0

dt√1 + α2t2

=1

αsinh−1 (αt)

Koordinatni cas kot funkcija lastnega casa je torej

t =1

αsinh (ατ)

Za dolge case je torej koordinatni cas eksponentno daljsi od last-nega casa. Z izrazom za γ lahko zapisemo se polno energijo

W = mγ c2 = mc2√1 + α2t2

To lahko izrazimo se drugace. Iz izraza za x vidimo, da je γ =eEmc2

x+ 1 in je

W = eE x+mc2 = eU +mc2

kjer je U pospesevalna napetost na poti x.

1.8. SISTEMI DELCEV 33

1.8 Sistemi delcev

Imejmo vec delcev, ki so dovolj vsaksebi, da je njihova medsebojnapotencialna energija zanemarljiva. Tedaj je skupni cetverec gibalnekolicine vsota cetvercev gibalne kolicine posameznih delcev

P µ =Σipµi =(Σ

Wi

c,Σipi)

i

Ce na sistem ne delujejo nobene zunanje sile, velja zakon o ohranitvicetverca gibalne kolicine

P µz = P µ

k (1.30)

ali cetverca gibalne kolicina na zacetku in koncu (na primer pred inpo trku) sta enaka. Po komponentah velja posebej ohranitev casovnekomponente - energije in krajevne komponente - trirazseznega vektorjagibalne kolicine:

Wz = Wk in Pz= Pk (1.31)

Delcev je na koncu lahko vec ali manj kot na zacetku, le njihova med-sebojna potencialna energija mora biti zanemarljiva.

Omejitev, da med delci ne sme biti interakcije, je potrebna, da lahkoskupni cetverec gibalne kolicine zapisemo kot preprosto vsoto po delcihsistema. Ocitno k skupni energiji prispeva tudi medsebojna potencialnaenergija, ki zaradi Lorentzove transformacije prispeva tudi k trirazseznigibalni kolicini sistema. Poleg tega smo v klasicni fiziki izpeljali izrek ogibalni kolicini iz zakona o vzajemnem ucinku sil. Ta prepostavlja, dasila deluje v trenutku na vsako razdaljo, kar ni v skladu z zahtevamiposebne teorije relativnosti. Vse te pomanjkljivosti popravimo, ce tudipolju sil, na primer elektromagnetnemu polju, pripisemo poleg energijese gibalno kolicino. Na koncu leta bomo videli, da lahko osnovne silepredstavimo kot izmenjavo posebnih delcev sile, za elektromagnetnosilo so to fotoni. Ce torej v vsoti cetvercev gibalne kolicine upostevamotudi delce polj sil, velja zakon o ohranitvi energije in gibalne kolicinebrez omejitev in je med najosnovnejsimi zakoni fizike.


1.8.1 Teziscni sistem

Za obravnavo sistema delcev je ugodno vpeljati teziscni inercialni opa-zovalni sistem. V klasicni fiziki je bil to sistem, v katerem je bila skupnagibalna kolicina vseh delcev enkak nic. Relativisticno ne moremo za-htevati, da je skupni cetverec gibalne kolicine nic, ker za transformacijocetvercev velja Lorentzova transformacija, po kateri je cetverec, ki imavse komponente enake nic v enem sistemu, v vseh sistemih nic. Pac palahko zahtevamo, da so v teziscnem sistemu krajevne komponente, toje trirazsezna gibalna kolicina, enake nic.

Za nase potrebe bo zadoscal privzetek, da se teziscni sistem giblje vsmeri x glede na laboratorijski sistem. Hitrost tega sistema v∗ poiscemoiz zahteve, da mora biti ustrezna komponenta gibalne kolicine, trans-formirana iz laboratorijskega sistema v teziscnega, enaka nic:

Σip∗ix = γ∗ Σ

ipix − v∗ Σ

i

Wi

c2= 0

Sledi

v∗ = c2Σipix

ΣiWi

(1.32)

Ce so kineticne energije delcev majhne v primerjavi z mirovnimi en-ergijami, dobimo nerelativisticni izraz za hitrost tezisca.

Ugotovili smo, da je kvadrat cetverca invarianta. Velja torej

Σi

Wi

c2

2

− Σipi

2

= Σi

W ∗i

c2

2

(1.33)

ker je krajevni del v teziscnem sistemu nic. Za en delec je bila vrednostkvadrata cetverca gibalne kolicine kar m2c2, zato je tudi v primerusistema delcev desna stran enacbe kar (Mc)2, kjer je M skupna masasistema. Ta ocitno ni kar vsota mas posameznih delcev. V kolikor bimed delci imeli tudi potencialno energijo, bi tudi ta prispevala k masisistema.

Zaradi zakona o ohranitvi gibalne kolicine in energije lahko eno straninvariante izracunamo pred trkom, drugo pa po trku, kar vcasih pomagapri racunih:

Σi

Wi

c2

2

z− Σ

ipi

2

z= Σ

i

W ∗i

c2

2

k


1.8.2 Prozni trk

Kot prvi primer uporabe zakona o ohranitvi energije in gibalne kolicineobravnavajmo prozni trk dveh enakih delcev. Da je trk prozen, moratabiti delca pred in po trku enaka, torej se njuni masi ne smeta spremeniti.Naj v laboratorijskem sistemu en delec miruje, drug pa trci v njega shitrostjo v. Skupna energija in gibalna kolicina morata biti pred in potrku enaki:

W1z +W2z = W1k +W2k

p1z+p2z = p1k+p2k

Ohranitvene encbe veljajo v vsakem sistemu. Najlazje bomo nalogoresili v teziscnem sistemu. Hitrost tezisca je po 1.32

v∗ = c2mvγ

mc2 +mc2γ= c

βγ

1 + γ= c

γ − 1

γ + 1

kjer je γ =√1− β2 = 1− v2/c2. Uporabili smo tudi zvezo βγ =√

γ2 − 1. Izracunamo se

γ∗ =1

1− v∗2c2

=γ + 1

2

Drugi delec v laboratorijskem sistemu na zacetku miruje. Zacetnigibalni kolicini v teziscnem sistemu dobimo z Lorentzovo transformacijo

p∗2z = −p∗1z = γ∗ 0−mcγ − 1

γ + 1= −mc

γ − 1

2

V smeri y sta zacetni gibalni kolicni 0. Zacetni in koncni energiji sta vteziscnem sistemu enaki:

W ∗1z = W ∗

2z = W ∗1k = W ∗

2k = γ∗ (mc− 0) = mcγ + 1

2

Po trku bosta v teziscnem sistemu delca odletela z enakima hitrostmasimetricno pod kotoma φ∗ in π + φ∗ glede na os x:

p∗1kx = p∗1z cosφ∗

p∗2kx = −p∗1z cosφ∗


in

p∗1ky = p∗1z sinφ∗

p∗2ky = −p∗1z sinφ∗

Kot φ∗ je seveda poljuben. Z obratno Lorentzovo transformacijo do-bimo koncne komponente gibalne kolicine v laboratorijskem sistemu:

p1kx = γ∗ p∗1kx + v∗W ∗

1k

c2=

= mcγ + 1

2

γ − 1

2cosφ∗ +

γ − 1

γ + 1

γ + 1

2

=

=mc

2γ2 − 1 (cosφ∗ + 1)

p2kx =mc

2γ2 − 1 (1− cosφ∗)

p1ky = p∗1z sinφ∗ = mc

γ − 1

2sinφ∗

p2ky = −p∗1z sinφ∗ = −mcγ − 1

2sinφ∗

Ce je φ∗ = π, je trk centralen in je p2k = p1z in p1k = p2z = 0, kotklasicno delca le izmenjata gibalni kolicini in energiji.

Kota, pod katerima odletita delca v laboratorijskem sistemu, do-bimo iz

tanφ1 =p1kyp1kx

=2

γ + 1

sinφ∗

1 + cosφ∗

tanφ2 =p2kyp2kx

= − 2

γ + 1

sinφ∗

1− cosφ∗

Velja

tanφ1 tanφ2 = − 2

γ + 1


in dobimo kot med delcema

tan (φ1 − φ2) =tanφ1 − tanφ21 + tanφ1 tanφ2

=

= 22 (γ + 1)

γ − 1

1

sinφ∗

Ce je hitrost majhna in je γ blizu 1, je tanφ zelo velik in gre kot medtiroma delcev proti π/2. Pri velikih γ je kot manjsi, sipanje je torejusmerjeno bolj naprej, kar je znacilno za relativisticne trke.

1.8.3 Neprozni trk

Kot drugi primer obravnavajmo trk, pri katerem se delca sprimeta. Endelec naj ima na zacetku hitrost v, drugi naj miruje. V laboratorijskemsistemu velja spet

W1 +W2 = W

p1+p2 = p

ali izpisano

mγ1c2 +mc2 = Mγc2

mγ1v1 = Mγv

kjer je M masa sprijetega delca. Te enacbe zadoscajo, a lazje bomodo rezultata prisli takole. V teziscnem sistemu mora delec po trkumirovati. Zapisimo invariantni kvadrat cetverca gibalne kolicine v lab-oratorijskem sistemu pred trkom in v teziscnem sistemu po trku:

(mγ1c+mc)2 − (mγ1v1)2 = M2c2

od koder takoj izracunamo maso sprimka

M = m 2 (γ1 + 1) (1.34)

kjer smo spet uporabili zvezo βγ =√γ2 − 1. Iz enacbe za ohranitev

energije dobimo se

γ =γ1 + 1

2


Izraz 1.34 nam je dal nov rezultat, da je masa sprimka vecja odvsote mas obeh delcev pred trkom. Del kineticne energije prvega delcase je torej pretvoril v maso sprimka, del pa je ostal kot kineticna en-ergija sprimka. S tem je znameniti izraz E = mc2 dobil pravo vsebino:energija se lahko pretvori v maso. Mozen je seveda tudi obraten proces,ki je v jedrski fiziki pogost: tezji delec razpade na dva lazja, tako da jevsota njunih mas manjsa od zacetne mase, preostala zacetna masa pase pretvori v kineticno energijo koncnih delcev.

Dodatna masa sprimka je posledica notranje energije sprimka. Naprimer: ce se nevtron z znatno kineticno energijo ujame v neko je-dro, se bo masa nastalega jedra spremenila maso enega nevtrona inza razliko zacetne kineticne energije nevtrona in koncne kineticne en-ergije nastalega jedra, pri tem pa bo povecana energija vseh protonovin nevtronov v jedru.

1.8.4 Razpolozljiva energija

Sprijemanje relativisticnih delcev ni ravno pogosto; obicajno pritrkunastanejo novi delci. Vzemimo spet, da se imamo pred trkom dva enakadelca, od katerih eden miruje, drugi pa ima hitrost v1. Ce po trku vsidelci v teziscnem sistemu mirujejo, je skupna masa na novo nastalih del-cev ravno razlika med zacetno maso obeh delcev in v prejsnjem razdelkuizracunano maso sprimka:

mr = M − 2m = 2m

γ1 + 1

2− 1

KoliciniWr = mrc

2 pravimo razpolozljiva energija. Vsa zacetna kineticnaenergija

T = mc2 (γ − 1)

je vecja od razpolozljive energije, saj mora del zacetne kineticne energijeostati kot kineticna energija tezisca, da se lahko ohrani tudi gibalnakolicina. Razpolozljivo energijo lahko izrazimo s T :

Wr = 2mc2

1 +T

2mc2− 1


Ce je T << mc2, lahko koren razvijemo in je

WrT

2

za zelo velike zacetne energije T >> mc2 pa je

Wr

√2mc2T

Tedaj torej razpolozljiva energija narasca le kot koren iz vpadne en-ergije. Tvorba novih delcev pri trkih je zelo pomembna v fiziki os-novnih delcev, kjer z velikimi pospesevalniki raziskujejo osnovne grad-nike snovi. Pri trkih elektrona z energijo 100 GeV v mirujoc elektronje razpolozljiva energija le priblizno 300 MeV. Zato danes v velikihpospesevalnikih pospe”ujejo elektrone in pozitrone ali protone in an-tiprotone v nasprotnih smereh. Tedaj je laboratorijski sistem tuditeziscni in je vsa kineticna energija na voljo za tvorbo novih delcev.Takim pospesevanlikom pravijo tudi trkalniki.

Primer: Tvorba para elektron-pozitron pri trku elektrona zelektronom.

Koliksna je minimalna kineticna energija elektrona, ki trci v mirujocelektron, da se lahko tvorita nova delca elektron in pozitron? ( Nemore se tvoriti le en elektron, ker velja zakon o ohranitvi stevila lahkihdelcev in se zato elektron lahko tvori le skupaj s svojim antidelcem -pozitronom, ki ima pozitiven naboj in enako maso. Vec o tem na konculeta.)

Razpolozljiva energija mora biti 2mec2. Tako je

4mec2 = 2mec

2 1 +T

2mec2

T = 6mec2 = 3MeV

Le tretjina vpadne kineticne enrgije gre v tvorbo para, ostalo je kineticnaenergija delcev po trku.


Primer: Tvorba para pri trku fotona z elektronom.

Kot drugi primer izracunajmo, kolisna mora biti energija fotona, da pritrku z drugim delcem z maso M nastane nov par elektron - pozitron.Ker je foton delec z mirovno maso 0, moramo racunati od zacetka.Spet zapisimo invariantni kvadrat cetverca gibalne kolicine v laboratori-jskem sistemu pred trkom in v teziscnem sistemu po trku. Minimalnopotrebno energijo dobimo z zahtevo, da vsi delci po trku v teziscnemsistemu mirujejo:

Wf +Mc22 − c2p2f = Mc2 + 2 mec

2 2

2Wf Mc2 +M2c4 = M2c4 + 4Mmec4 + 4m2

ec4

Wf = 2mec2 1 +

me

M

Ce je delec, v katerega trci foton, elektron, je Wf = 4mec2 in gre le

polovica energije fotona v tvorbo para. Ce pa trci na primer v proton,je potrebna energija le zelo malo vecja od 2mec

2. To razumemo: tezakdelec lahko prevzame gibalno kolicino, ne da bi dobil znatno kineticnoenergijo.

Opomba: Foton se sam, brez prisotnosti drugega delca, ne morespremeniti v par elektron - pozitron, ker tedaj ni mogoce hkrati ohranitienergijo in gibalno kolicino.

Primer: ustavljanje kozmicnih protonov na kozmicnem se-vanju ozadja.

Poglejmo se en zanimiv primer. Vemo, da imamo v vesolju sevanje vmikrovalovnem podorcju, ki je ostanek Velikega poka. To sevanje imaspekter sevanja crnega telesa s temperaturo 2,7 K, kar ustreza povprecnienergiji fotona 2.10−4eV. Iz vesolja prihajajo tudi delci, predvsem pro-toni, ki imajo nekateri izjemno veliko energijo, do 1020 eV in vec. Tiprotoni lahko pri trku z mikrovalovnimi fotoni tvorijo pare drugih del-cev. Koliksna mora biti energija protona Wp, da se bo lahko tvoril parelektron - pozitron?

Postavimo se v sistem, v katerem proton miruje. V tem sistemuje energija fotona, ki potuje proti protonu, zaradi Dopplerjevega po-java premaknjena k visjim energijam. Energija fotona je sorazmerna z


njegovo frekvenco: Wf = hν, zato je v sistemu protona

Wf = γpWf (1 + βp) = 2γpWf

kjer je γp = Wp/mpc2 in smo upostevali, da se zaradi izredno velike

energije proton giblje s hitrostjo zelo blizu svetlobne. Da se bo pri trkus protonom lahko tvoril par elektron - pozitron, mora biti Wf ≥ 2mec

2,tako da je

γp ≥ 2mec2

Wf

in

Wp = mpγpc2 ≥ 2mempc

4

Wf= 1019 eV

Od te energije naprej tvorba parov ucinkovito zaustavlja visokoenergi-jske protone in eno pomembnih vprasanj astrofizike je, od kod priha-jajo.

1.8.5 Razpadi delcev

Podobno lahko obravnavamo razpade nestabilnih delcev. Pri tem sevedno del mase zacetnega delca spremeni v kineticno energijo koncnihdelcev. Poglejmo na primer razpad negativnega piona π− v mion µ−

in antinevtrino νµ. Pion naj miruje. Mirovna energija piona je mπc2 =

139, 6 MeV, mirovna energija miona mµc2 = 105, 7 MeV, antinevtrino

pa je skoraj brez mase. Kolisni sta energiji miona in antinevtrina?Ker pion razpade v mirovanju, velja

mπc2 = Wµ +Wν

0 = pµ + pν

Ker je pν = Wν/c, dobimo iz druge enacbe

W 2ν = W 2

µ −m2µc

4

V prvi enacbi prestavimo Wµ na levo in kvadriramo

m2πc

4 +W 2µ − 2Wµmπc

2 = W 2µ −m2

µc4


od koder dobimo kineticno energijo miona

Wµ −mµc2 =

(mπc2 −mµc

2)2

2mπc2= 4, 1 MeV

in energijo antinevtrina

Wν = 29, 8 MeV

Obravnavajmo se primer razpada v letu. Nevtralni pion π0 z mirovnoenergijo mπc

2 = 135 MeV razpade na dva fotona. Polna energija pionanaj boWπ = 6 GeV. Pod kaksnimi koti glede na tir piona lahko odletitafotona?

Postavimo se spet v teziscni sistem, to je sistem, v katerem pionmiruje. V njem odletita fotona v nasprotnih smereh pod poljubnimkotom φ∗ glede na smer piona, vsak pa odnese po zakonu o ohranitvienergije ravno pol mirovne energije piona. Tako sta komponenti gibalnekolicine fotonov v teziscnem sistemu

p∗1x = −p∗2x =1

2mπc cosφ

∗

p∗1y = −p∗2y =1

2mπc sinφ

∗

Transformirajmo nazaj v laboratorijski sistem. Faktor γ je dolocen spolno energijo piona: γ = Wπ/mπc

2.

p1x = γ p∗1x + βmπc

2=

=mπc

2γ cosφ∗ + γ2 − 1

p2x =mπc

2−γ cosφ∗ + γ2 − 1

p1y = −p2y = 1

2mπc sinφ

∗

Tako je za oba kota v laboratorijskem sistemu

tanφ1 =sinφ∗

γ cosφ∗ +√γ2 − 1

tanφ2 =− sinφ∗

−γ cosφ∗ +√γ2 − 1

1.9. *TRANSFORMACIJA ELEKTRICNEGA INMAGNETNEGA POLJA43

Kot med fotonoma dobimo iz

tanφ = tan (φ1 − φ2) =tanφ1 − tanφ21 + tanφ1 tanφ2

Ce je γ >> 1, dobimo preprost izraz

tanφ =1

γ sinφ∗

Ce fotona v teziscnem sistemu ne odletita skoraj natanko v smeri naprejin nazaj glede na smer piona, je kot med njima v laboratoijskem sistemumajhen, fotona torej z veliko verjetnostjo odletita v smeri naprej. Vnasem primeru je γ = 6000/135 = 45, 5 in je pri φ∗ = 0.1 kot medfotonoma se vedno le φ = 0, 22.

1.9 *Transformacija elektricnega in mag-

netnega polja

Pravila za transformacijo elektricnega in magnetnega polja pri prehoduiz enege inercialnega sistema v drugega dobimo z preko transformacijesile Minkovskega. To smo za primer elektromagnetne sile zapisali

Fµ = γF · vc

, γF

F = e (E+ v×B)

Sila Minkovskega se transformira z Lorentzovo transformacijo, zato jetransformacija iz S v S

F1 = γFx = γ0γ Fx + β0F ·vc

F2 = γFy = γ Fy

F3 = γFz = γ Fz

Naj se delec v sistemu S giblje v smeri x s hitrostjo v0, v sistemu Spa naj delec miruje. Tedaj je γ = γ0 in γ = 1. V S na delec deluje le


elektricna sila. Transformacija iz S v S da

γ0Ex = γ0 (Ex + 0)

Ex = Ex

Komponenta x elektricnega polja se torej ne spremeni. Za komponentoy moramo upostevati, da v S deluje tudi magnetni del sile, ki je popravilih za izracun vektorskega produkta −v0Bz. Dobimo

γ0 (Ey − v0Bz) = Ey (1.35)

in na enak nacin seEz = γ0 (Ez + v0By)

Obratne transformacije so

Ey = γ0 Ey + v0Bz (1.36)

Ez = γ0 Ez − v0By

Vstavimo enacbo 1.35 v enacbo 1.36, pa lahko izracunamo se Bz:

Ey = γ20Ey − v0γ20Bz + v0γ0Bz

Bz = γ0Bz −Eyγ20 − 1

γ20v0= γ0 Bz − v0

c2Ey

Na enak nacin dobimo se

By = γ0 By +v0c2Ez

Manjka nam samo se transformacija Bx. Vzemimo, da imamo v S lemagnetno polje v smeri osi x. Po gornjih izrazih je v S od nic razlicnolahko le polje Bx. Naj ima delec v S hitrost v =(v0, 0, v). V S je hitrostv =(0, 0, v ) . Sila ima le komponento y in po Lorentzovi trasnformacijivelja

γ v Bx = γ v Bx

γv je tretja komponenta cetverca hitrosti, ki se pri Lorentzovi transfor-maciji ne spremeni: γ v = γ v, zato je tudi

Bx = Bx

1.9. *TRANSFORMACIJA ELEKTRICNEGA INMAGNETNEGA POLJA45

Tako smo dobili transformacijska pravila za vse komponente polj

Ex = Ex Bx = Bx

Ey = γ0 (Ey − v0Bz) By = γ0 By +v0c2Ez

Ez = γ0 (Ez + v0By) Bz = γ0 Bz − v0c2Ey

Elektricno in magnetno polje se ne transformirjao kot komponente vek-torja cetverca. Obe polji skupaj tvorita tenzor - matriko

Fµν =

0 1

cEx

1cEy

1cEz

−1cEx 0 Bz −By

−1cEy −Bz 0 Bx

−1cEz By −Bzx 0

ki se z matriko Lorentzove transformacije transformira takole:

Fµν = LµρLνσFρσ

Documents

Poglavje 1 Posebna teorija relativnosti