1 Posebna teorija relativnosti

1.1 Postulati moderne fizike

1. Ce bi bila hitrost svetlobe manjsa kot je, ali bi bili relativisticni pojavi bolj ali manj ocitni kotso sedaj? Opisi obnasanje v svetu, v katerem bi bila hitrost svetlobe enaka zvocni hitrosti!

2. Elektronski curek v katodni cevi televizorja lahko potuje po zaslonu hitreje kot svetloba. Alini to v nasprotju s teorijo relativnosti?

1.2 Podaljsanje casa

1. Atlet, ki se je naucil nekaj fizike, je vedel naslednje: casovni interval, ki ga z Zemlje izmerijona premikajoci se ladji je daljsi kot casovni interval, ki ga izmerijo na ladji za ista dogodka.Zato je predlagal, da bi poskusil postaviti svetovni rekord v teku na 100 m tako, da bi cas tekameril opazovalec na premikajoci se ladji. Ali je njegov predlog dober?

(Ne, opazovalec na ladji bi izmeril daljsi cas.)

2. Opazovalec na vesoljski ladji, ki se giblje s hitrostjo 0,7 c glede na Zemljo, izmeri, da avto naZemlji v stiridesetih minutah prepotuje doloceno razdaljo tja in nazaj. Koliko casa je potrebovalza pot sofer na Zemlji?

(29 minut)

3. Opazovalca, eden na Zemlji in drugi v vesoljski ladji, ki se giblje s hitrostjo 2,00×108 m/s gledena Zemljo, nastavita svoji uri na enak cas, ko ladja zapusti Zemljo. Koliko casa mine prvemu(drugemu), ko se uri razlikujeta za sekundo? Ali se zdi opazovalcu na Zemlji, da tece vesoljcevaura hitreje, pocasneje ali enako hitro kot njegova?

(3,93 s; Zemljanu se zdi, da tece vesoljceva ura pocasneje, vesoljcu pa se zdi, da tece Zemljanovaura pocasneje.)

4. Kako hitra bi morala biti vesoljska ladja, da bi se vesoljci postarali pol manj kot Zemljani?

(2,6×108 m/s)

5. Kako hitra mora biti vesoljska ladja, da v obdobju enega dne na ladji minejo stirje dnevi naZemlji?

(v/c =√15/4)

6. Letalo leti s hitrostjo 300 m/s. Koliko casa bi moralo preteci za potnike na letalu, da bi razlikana urah potnikov v letalu in mirujocih na Zemlji dosegla 1 s? Koliko casa pa bi moralo preteci,ce bi bila svetlobna hitrost enaka zvocni?

(63,5×103 let; 0,9 s)

7. Vesoljska ladja Appolo 11, ki je leta 1969 prva pristala na Luni, se je oddaljevala od Zemljes hitrostjo 1,08×104 m/s. Koliko je daljsi dan na vesoljski ladji za opazovalca na Zemlji oddneva vesoljca na ladji?

(5,6×10−5 s)

1

8. Metka je na vesoljski ladji, ki potuje s hitrostjo 0,60 c glede na Zemljo. Janko opazuje vesoljskoladjo z Zemlje. V trenutku, ko Metkina ladja leti mimo Zemlje, vkljucita oba vsak svojostoparico. Janko v nekem trenutku ugotovi, da je Metkina ladja prepotovala 9, 0 × 107 m.Koliksen cas kaze tedaj njegova ura in koliksen cas kaze Metkina ura (vidi Janko)? Ko Metkana svoji uri odmeri cas 0,400 s, koliksen cas kaze tedaj Jankova ura (vidi Metka)?

(0,50 s; 0,40 s; 0,32 s)

9. V ozracju se gibljejo mioni, ki jih rodijo kozmicni delci v vrhnjih plasteh ozracja, s hitrostjo0,994 c navpicno navzdol. Na vrhu hriba s stevcem v eni uri ulovijo 568 mionov. Koliko mionovdoseze vznozje hriba 2100 m nizje, ce je lastni razpadni cas miona 2,2×10−6 s? Koliko mionovpa bi doseglo vznozje, ce ne bi bilo podaljsanja casa? Pri poskusu so s stevcem ob vznozjuhriba v eni uri ujeli 412 mionov.

(400; 24)

10. Nek delec ima v mirovanju razpadni cas 1,0×10−7 s. Koliksno razdaljo prepotuje s hitrostjo0,99 c, preden razpade?

(210 m)

11. Alfa Centauri je 4,4 svetlobna leta oddaljena od Zemlje. S koliksno hitrostjo bi morala potovatiz Zemlje do Alfe Centauri vesoljska ladja, da bi potovanje za potnike v njej trajalo 10 let? Kolikocasa bi vesoljska ladja potovala za opazovalca z Zemlje?

(v/c = 0, 40; 11 let)

12. Dvojcek A naredi krozno voznjo s hitrostjo 0,6 c do zvezde, ki je 12 svetlobnih let dalec.Dvojcek B ostane medtem na Zemlji. Oba si vsako leto ob obletnici odhoda posljeta signal.Koliko signalov poslje A? Koliko signalov poslje B? Koliko signalov in kdaj prejme B? Kolikosignalov in kdaj prejme A?

(A poslje 32, B poslje 40 signalov, A prejme 8 (Zemlja → zvezda) + 32 (zvezda → Zemlja)signalov.)

1.3 Dopplerjev pojav

1. Vesoljska ladja, ki se oddaljuje od Zemlje s hitrostjo 0,97 c, oddaja EM signal s frekvenco1,00×104 Hz. Koliksna je frekvenca valovanja, ki ga zazna sprejemnik na Zemlji?

(1234 Hz)

2. Galaksija Ursa Major se od Zemlje oddaljuje s hitrostjo 15 000 km/s. Ena od karakteristicnihcrt sevalnega spektra te galaksije ima valovno dolzino 550 nm. Koliksno valovno dolzino te crteastronomi izmerijo na Zemlji?

(578 nm)

3. Frekvence spektralnih crt svetlobe iz oddaljenih galaksij so samo 2/3 tako velike kot frekvencespektralnih crt z najblizjih zvezd. S koliksno hitrostjo se oddaljene galaksije oddaljujejo?

(v/c = 5/13)

4. Avto se s hitrostjo 150 km/h priblizuje policijskemu radarju. Radar oddaja signal s frekvenco15 GHz. Koliksno spremembo frekvence zazna detektor hitrosti?

(∆ν = 4170 Hz)

2

5. Motorist je zapeljal skozi rdeco luc. Sodniku za prekrske je trdil, da je zaradi hitrosti, s katerose je priblizeval semaforju, videl namesto rdece (λ = 620 nm) zeleno (λ = 540 nm) luc. Sodnikse je strinjal z mozno razlago in je dolocil kazen v znesku enega tolarja za vsak km/h, ki je naddovoljeno hitrostjo 50 km/h. S koliksno hitrostjo je vozil motorist? (Koliksna je bila kazen?)

(v = 0,14 c = 1,5×108 km/h)

6. Vesoljska ladja, ki se oddaljuje od Zemlje, oddaja radijske valove s stalno frekvenco 1,00×109 Hz.Ce sprejemnik meri frekvenco signala na Hz natancno, pri kateri hitrosti ladje zazna spremembomed relativisticnim in klasicnim Dopplerjevim pojavom?

(13,4 km/s)

7. Vesoljska ladja se priblizuje Zemlji. Z ladje posljejo proti Zemlji radarski signal s frekvenco1,00×109 Hz. Odbiti signal na ladji prestrezejo in izmerijo, da ima frekvenco 1,50×109 Hz.Koliksna je hitrost ladje glede na Zemljo?

(v = 0, 2c)

8. Vesoljska ladja se priblizuje Zemlji s hitrostjo 0,6 c pod kotom 30◦ glede na zveznico z radijskimsprejemnikom na Zemlji. Koliksno frekvenco izmeri opazovalec na Zemlji, ce oddaja ladja signals frekvenco 1,00×109 Hz?

(1,665×109 Hz)

1.4 Skrcitev dolzin

1. Astronavt, ki je na Zemlji visok natanko 1,80 m, stoji v vesoljski ladji v smeri voznje. Ladjase oddaljuje od Zemlje s hitrostjo 0,9 c. Koliksna je njegova visina za opazovalca na ladji?Koliksna je njegova visina za opazovalca na Zemlji?

(1,8 m; 0,785 m)

2. Astronavt stoji v vesoljski ladji v smeri voznje. Opazovalec na Zemlji izmeri, da je visok 1,3 m.Ladja se oddaljuje od Zemlje s hitrostjo 0,6 c. Koliksna je visina astronavta v vesoljski ladji?

(1,625 m)

3. Metrska palica je za opazovalca videti le 50 cm dolga. Koliksna je njena hitrost glede naopazovalca? Kako dolgo leti mimo opazovalca? Palica je vzporedna smeri gibanja.

(v/c =√3/2; 1,9×10−9 s)

4. Koliko casa potrebuje metrska palica, ki se giblje s hitrostjo 0,1 c glede na opazovalca, dapreleti opazovalca? Palica je vzporedna smeri gibanja.

(33,1 ns)

5. Lastni razpadni cas nekega delca je 10 ns. Koliksno razdaljo prepotuje delec v laboratorijskemsistemu preden razpade, ce je njegov razpadni cas, merjen v laboratorijskem sistemu, 20 ns?

(5,2 m)

6. Neka zvezda je 36 svetlobnih let oddaljena od Zemlje. Koliko casa bi s hitrostjo 0,98 c z Zemljedo nje potovala vesoljska ladja za opazovalca na Zemlji? Koliko casa pa za vesoljca na ladji?Koliksno prepotovano razdaljo izmerijo vesoljci?

(36 let in 9 mesecev; 7 let in 4 mesece; 7,16 svetlobnih let)

3

7. Metrska palica miruje v laboratorijskem sistemu. Lezi v ravnini xy in oklepa z osjo x kot 30◦.Koliksen kot oklepa ta palica z osjo x′ v sistemu, ki se giblje s hitrostjo 0,9 c v smeri osi x?Kako dolga je v tem sistemu? Osi x in x′ sta vzporedni.

(0,63 m; 53◦)

8. Antena vesoljske ladje oklepa kot 10◦ glede na dolgo os ladje. Ladja se oddaljuje s hitrostjo0,7 c od Zemlje. Koliksen kot oklepa antena z dolgo osjo ladje za opazovalca na Zemlji?

(13,9◦)

9. Koliksno dolzino palice nameri opazovalec, ki se giblje glede na palico s hitrostjo 0,9 c podkotom 30◦ proti smeri palice? Koliksen je za opazovalca, za katerega palica miruje, kot medsmerjo palice in smerjo gibajocega se opazovalca? Lastna dolzina palice je 1 m.

(0,49 m; 14,1◦)

1.5 Lorentzove transformacije

1. Opazovalec zazna dve eksploziji, eno v neposredni blizini in drugo 2,00 ms kasneje 100 km dalecstran. Drugi opazovalec zazna obe eksploziji na istem kraju. Koliko casa pretece med eno indrugo eksplozijo za drugega opazovalca?

(1,97 ms)

2. Opazovalec zazna dve eksploziji, ki se zgodita v istem hipu. Ena je v neposredni blizini indruga 100 km dalec. Drugi opazovalec zazna obe eksploziji v oddaljenosti 160 km. Koliko casapretece med eno in drugo eksplozijo za drugega opazovalca?

(0,416 ms)

3. Ob 6.00 zjutraj se istocasno ugasnejo luci v New Yorku in Bostonu. Kaj vidi opazovalec izvesoljske ladje, ki se giblje v smeri New York → Boston s hitrostjo 0,9 c? Razdalja med obemakrajema je 290 km.

(V Bostonu ugasnejo prej; ∆t = −2 ms)

4. V Bostonu luci ugasnejo 5,0×10−5 s kasneje kot v New Yorku. S koliksno hitrostjo in v katerismeri bi se morala gibati vesoljska ladja, v kateri bi potniki opazili, da se luci ugasnejo hkrati?Razdalja med obema krajema je 290 km.

(0,052 c; smer NY → B)

5. V soboto tocno opoldne po Sloveniji preverjajo delovanje siren. V Kopru vkljucijo sireno ob12.00, v Murski Soboti, ki je po zracni crti 220 km oddaljena od Kopra, pa 0,5 ms kasneje.S koliksno hitrostjo in v kateri smeri se giblje vesoljska ladja, s katere opazijo, da se sirene vKopru in v Murski Soboti vkljucijo hkrati? Kako dalec narazen sta Koper in Murska Sobotaza opazovalca na vesoljski ladji?

(2,05 ×108 m/s; smer Koper → Murska Sobota; 161 km)

6. Vesoljska ladja se oddaljuje od Zemlje s hitrostjo 0,8 c. Ko je od Zemlje oddaljena 6,66×108 km,posljejo proti njej z Zemlje radijski signal. Po koliksnem casu doseze signal ladjo za opazovalcana Zemlji in po koliksnem casu za opazovalca na ladji?

(11100 s; 3700 s)

4

7. Palica se giblje vzdolz merila. Ko izmerimo dolzino palice z merilom v referencnem sistemu,v katerem merilo miruje, je palica dolga 4,0 m. Ko zaznamujemo lego obeh koncev palice obistem merilu tako, da sta dogodka socasna v sistemu palice, pa izmerimo 9,0 m. Koliksna jelastna dolzina palice in s koliksno hitrostjo se palica giblje glede na merilo?

(6,0 m; 2, 2× 108 m/s)

8. Prva vesoljska ladja leti z Zemlje proti oddaljeni zvezdi in doseze za opazovalca na Zemlji potreh mesecih vesoljsko postajo, ki miruje glede na Zemljo v oddaljenosti 0,2 svetlobnega leta.V tem trenutku posljejo z Zemlje za njo drugo vesoljsko ladjo s hitrostjo 0,98 c. Cez kolikocasa in kje se ladji srecata za opazovalca na Zemlji? Koliko kaze tedaj ura na drugi vesoljskiladji?

(1,1 leto + 3 mesece; 1,089 sv. leto; 9,8 mesecev)

9. Na divjem zahodu se serif vozi z vlakom s hitrostjo 50 m/s. Skozi okno opazi dva revolverasa, kistojita vzporedno s tirom in 50 m narazen. Serif na vlaku s svojimi supernatancnimi merilniminapravami izmeri, da oba moza ustrelita istocasno. Katerega naj aretira, ker je v njunemsistemu prvi sprozil: prvega, mimo katerega se pelje, ali drugega? S koliksno zamudo je ustreliltisti, ki je ustrelil drugi? Kje na poti med njima je bila v tistem trenutku prva krogla, ki segiblje s hitrostjo 370 m/s?

(prvega; 2,8×10−14 s; 10,3 pm)

10. Macke vrste Felis einsteinii zivijo tocno sedem let po svoji lastni telesni uri. Takoj ko se mackate vrste skoti, jo posljemo z vesoljsko ladjo s hitrostjo 0,8 c z Zemlje proti Siriusu. Kako dalecod Zemlje (v sistemu Zemlje) je macka v trenutku, ko umre? Takoj, ko macka umre, posljejoz vesoljske ladje radijski signal proti Zemlji. Koliko casa mine za Zemljana od takrat, ko semacka skoti, do trenutka, ko prejmejo radijski signal?

(9,3 svetl. let; 21 let)

11. Vesoljska ladja je v lastnem sistemu dolga 200 m. Glede na Zemljo se giblje s hitrostjo 0,95 c.V nekem trenutku z zadnjega konca ladje posljejo svetlobni signal proti njenemu sprednjemukoncu. Cez koliko casa zaznajo signal na sprednjem koncu ladje, gledano v lastnem sistemuladje? Koliko casa traja potovanje svetlobnega signala z zadnjega na sprednji konec ladje zaopazovalca z Zemlje?

(6, 7× 10−7 s; 4, 2× 10−6 s)

12. V laboratorijskem sistemu se gibljeta v isti smeri dva nestabilna delca z enakima hitrostima 0,99c. V laboratorijskem sistemu je razdalja med njima 120 m. V njunem lastnem koordinatnemsistemu v nekem trenutku delca hkrati razpadeta. Koliko casa mine med obema razpadoma zaopazovalca v laboratorijskem sistemu? Kateri delec razpade prej?

(Prvi delec razpade 20µs kasneje.)

13. Galaksija Andromeda je od Zemlje oddaljena 2,2 milijona svetlobnih let. S koliksno hitrostjomora potovati vesoljska ladja od Zemlje proti Andromedi, ce se vesoljci na njej na tej potipostarajo za 20 let? Ko vesoljska ladja pripotuje do Andromede, posljejo z nje radijski sig-nal proti Zemlji. Koliko casa mine na Zemlji od vzleta vesoljske ladje z Zemlje do sprejetjaradijskega signala? Koliksno razdaljo med Zemljo in Andromedo izmerijo vesoljci?

(u/c = 1− 4, 13× 10−11; 4,4 milijone let; 20 svetlobnih let)

5

1.6 Transformacije hitrosti

1. Telo, ki se giblje s hitrostjo 0,5 c glede na opazovalca, razpade na dva dela, ki odletita shitrostima 0,6 c v smeri nazaj in 0,5 c v smeri naprej v teziscnem sistemu. Koliksni hitrostiizmeri opazovalec?

(-0,143 c; 0,8 c)

2. Opazovalec na Luni vidi dve vesoljski ladji, A in B, ki se priblizujeta ena drugi. Opazovalecizmeri obe hitrosti, ki sta 0,8 c za A in 0,9 c za B. Koliksno hitrost priblizevanja Luni izmeriopazovalec iz ladje A? S koliksno hitrostjo se mu priblizuje ladja B? Enako za opazovalca naladji B...

(vB v sistemu A je -0,9884 c; vA v sistemu B je 0,9884 c)

3. Prva ladja se oddaljuje od Zemlje s hitrostjo 0,8 c, druga pa leti v isti smeri s hitrostjo 0,9 c.Koliksna je hitrost prve ladje za vesoljca v drugi in koliksna je hitrost druge ladje za vesoljcav prvi?

(-0,36 c; 0,36 c)

4. Mirujoci opazovalec vidi dva delca, ki se gibljeta eden proti drugemu s hitrostima 0,99 c gledena opazovalca. Koliksna je hitrost enega delca glede na drugega?

(0,99995 c)

5. Mirujoci opazovalec vidi dve vesoljski ladji, ki se gibljeta ena proti drugi. Prva ima hitrost0,8 c, druga pa 0,2 c. S koliksno hitrostjo se druga vesoljska ladja priblizuje prvi za nekoga, kise pelje s prvo ladjo?

(0,862 c)

6. Dve vesoljski ladji z lastnima dolzinama 100 m se gibljeta ena proti drugi s hitrostima 0,85 cmerjeno z Zemlje. Kako dolga je posamezna ladja za opazovalca na Zemlji? Koliksna je hitrostprve ladje za opazovalca na drugi ladji? Kako dolga je prva ladja za opazovalca na drugi ladji?

(52,7 m; 0,987 c; 16,1 m)

7. Vesoljska ladja z dolzino 100 m se giblje s hitrostjo 0,5 c. Z zadnjega konca ladje izstrelijoproti sprednjemu delu kroglo. Opazovalec na Zemlji izmeri, da je hitrost krogle 0,9 c glede naZemljo. Koliko casa leti krogla s konca ladje do njenega sprednjega dela, merjeno na ladji?

(0,46 µs)

8. Neko telo se giblje v ravnini xy s komponentama hitrosti vx in vy. Koliksna je hitrost v′ tegadelca v referencnem sistemu, ki se giblje s hitrostjo V vzdolz pozitivne osi x?

(Transformirata se obe komponenti hitrosti, v′x = (vx − V )/(1− (vxV )/(c2)), v′y = (vy/γ)/(1−

(vxV )/(c2)).)

9. V laboratorijskem sistemu se giblje delec v ravnini xy s hitrostjo 0,7 c pod kotom 40◦ gledena os x. Koliksna je hitrost tega delca v sistemu ladje, ki se giblje s hitrostjo 0,9 c v smeripozitivne osi x? Koliksen kot oklepa smer gibanja delca z osjo x v tem sistemu?

(v′x = −0, 71c; v′y = 0, 38c; φ′ = 152◦)

6

1.7 Energija in gibalna kolicina

1. Jakost svetlobnega toka s Sonca, ki pada pravokotno na Zemljino povrsino, je 1400 W/m2. Zakoliko se masa Sonca zmanjsa vsako sekundo? Oddaljenost Zemlje od Sonca je 1,49×1011 m.

(4,3×109 kg/s)

2. Koliksni sta kineticna energija in hitrost protona, katerega gibalna kolicina je enaka 800 MeV/c?Mirovna energija protona je 938 MeV.

(295 MeV; 0,65 c)

3. Kolikokrat je masa relativisticnega delca, katerega hitrost je za stotinko manjsa od svetlobnehitrosti, vecja od njegove mirovne mase?

(7,09 krat)

4. Gostota mirujocega telesa je ρ0. S koliksno hitrostjo se giblje telo, ce je njegova gostota vecjaza 25%?

(v = 0,447 c)

5. V pospesevalniku dobimo protone s kineticno energijo 6000 MeV. Za koliko kilometrov nasekundo je njihova hitrost manjsa od svetlobne?

(c− v = 2750 km/s)

6. Fotonsko raketo poganja nasprotna sila curka svetlobe. Koliksno hitrost doseze raketa v opa-zovalnem sistemu, v katerem je na zacetku mirovala, ko izseva polovico zacetne mase?

(γ = 5/4, v/c = 3/5)

7. Gibalna kolicina protona je 10,0 GeV/c. Za koliko odstotkov je hitrost protona manjsa odsvetlobne hitrosti?

(0,44%)

8. Pri kateri hitrosti delca je njegova relativisticna gibalna kolicina 2-krat toliksna kot klasicna?

(v/c =√3/2)

9. Pri kateri hitrosti je kineticna energija delca enaka njegovi mirovni energiji?

(v/c =√3/2)

10. Poisci zvezo med kineticno energijo in gibalno kolicino relativisticnega delca! Koliksna jegibalna kolicina protona s kineticno energijo 500 MeV? Koliksna je kineticna energija protonaz gibalno kolicino 500 MeV/c?

(1,09 GeV/c; 125 MeV)

11. Delec z mirovno maso m0 in kineticno energijo Wk trci v enak mirujoc delec. Koliksna jemirovna masa delca, ki je iz zacetnih dveh delcev nastal ob trku? S koliksno hitrostjo se giblje?

(M0c2 =

√

2m0c2(Wk + 2m0c2); v/c =√

Wk/(Wk + 2m0c2))

12. Mirujoc kaon K0 spontano razpade v dva piona, π+ in π−. Kako se novonastala delca gibljeta?Koliksni sta njuni hitrosti? Masa kaona K0 je 8,87×10−28 kg, masa vsakega od pionov π+ inπ− pa 2,49 ×10−28 kg.

(Gibljeta se v nasprotnih smereh z enakima hitrostima v = 0, 83 c.)

7

13. Mirujoc nevtralni delec Λ spontano razpade v proton in negativni pion π−. Novonastali protonima kineticno energijo 5,3 MeV. Kako se novonastala delca gibljeta? Koliksni sta njuni gibalnikolicini? Koliksna je mirovna masa delca Λ? Mirovna energija piona π− je 140 MeV.

(Gibljeta se v nasprotnih smereh, gibalni kolicini sta po velikosti enaki 100 MeV/c; mΛc2 = 1115

MeV.)

1.8 Relativisticni delci v polju

1. Elektron se giblje v homogenem elektricnem polju z jakostjo 1,75 kV/m. Koliksna je njegovahitrost po eni µs, ce na zacetku miruje? Koliksno pot preleti elektron v tem casu? Koliksna jenaposled njegova kineticna energija?

(0,72 c; 126 m; 0,22 MeV)

2. Elektron na zacetku miruje v elektricnem polju z jakostjo 10 kV/cm. Po koliksnem casu jenjegova kineticna energija enaka njegovi mirovni energiji?

(3 ns)

3. Koliksen je pospesek elektrona v elektricnem polju z jakostjo 10 kV/cm v trenutku, ko jenjegova kineticna energija enaka mirovni? Elektron je na zacetku miroval.

(2,2×1016 m/s2)

4. V trenutku t = 0 relativisticen proton prileti s hitrostjo 0,9 c v homogeno elektricno polje zjakostjo 106 V/m, ki je pravokotno na smer njegovega gibanja. Koliksen je kot med smerjogibanja protona in zacetno smerjo gibanja po eni µs?

5. Elektron, ki sprva miruje, pospesi napetost 1,02×106 V. Nato prileti v precno homogeno mag-netno polje z gostoto 0,048 T tako, da zakrozi pravokotno na silnice. Koliksen je polmer tira?

(1 dm)

2 Delcne lastnosti valovanja

2.1 Fotoni

1. Koliksno frekvenco in valovno dolzino ima svetloba, katere fotoni imajo energijo 100 MeV?

(2,4 ×1022 Hz; 0,0124 pm)

2. Koliko fotonov svetlobe z valovno dolzino 555 nm mora v eni sekundi vstopiti v oko skozi zenico,da oko se zazna svetlobo? Pri tej valovni dolzini je minimalna gostota svetlobnega toka, ki jooko zazna, 1×10−12 W/m2, ce je curek sirsi kot zenica. Premer zenice je 5 mm.

(55)

3. Tockast vir elektromagnetnega valovanja z valovno dolzino 589 nm seva z mocjo 10W enakomernona vse strani. Koliksna je gostota fotonskega toka na m2 v oddaljenosti 2 m od vira valovanja?

(5,9 ×1017 s−1m−2)

8

4. Laser odda svetlobni pulz, ki je dolg 0,13 ms in ima energijo 10 J. Koliksen je povprecnisvetlobni tlak tega curka na zaslon, ce je premer curka na zaslonu 10 µm (1 mm)? Refleksijskikoeficient zaslona je 0,5.

(49 bar; 490 Pa)

5. Majhno idealno zrcalo z maso 10 mg je obeseno na lahko vrvico dolzine 10 cm. Za koliksenkot se odkloni zrcalo, ko ga zadene laserski pulz z energijo 12 J? Svetloba vpada pravokotnona zrcalo. Odkod zrcalu kineticna energija?

(0,46◦)

6. Ravno zrcalo je pravokotno na soncne zarke. Koliksen je tlak svetlobe na ploskev zrcala, ki imaodbojnost 0,9? Gostota svetlobnega toka s Sonca je 1,4 kW/m2. Zrcalo prebarvamo s crnimlakom, ki vso svetlobo vpije. Koliksen je zdaj tlak svetlobe na ploskev?

(8,9 ×10−6 Pa; 4,7 ×10−6 Pa)

2.2 Fotoefekt

1. Fotokatodo iz cezija, ki ima izstopno delo 1,97 eV, osvetljuje svetloba z valovno dolzino 450 nm.Koliksna je najvecja kineticna energija izstopajocih elektronov? Koliksna negativna napetostmora biti med elektrodama, da v fotocelici ne tece noben tok?

(0,76 eV; 0,76 V)

2. Mejna valovna dolzina za fotoefekt na cinku je 340 nm. Koliksna je zaporna napetost nafotocelici, ki jo osvetljuje svetloba z valovno dolzino 280 nm?

(0,77 V)

3. Neko kovino osvetljujemo s svetlobo z dvema razlicnima valovnima dolzinama 350 nm in540 nm. Najvecji hitrosti izstopajocih elektronov se razlikujeta za faktor 2. Koliksno je izstopnodelo za to kovino?

(1,87 eV)

4. Zaporna napetost za elektrone, ki jih iz fotokatode izbija svetloba z valovno dolzino 491 nm, je710 mV. Ko fotokatodo osvetljuje svetloba z drugo valovno dolzino, je zaporna napetost 1,43V. Koliksno je izstopno delo za kovino, iz katere je fotokatoda? Koliksna je valovna dolzinasvetlobe v drugem primeru?

(1,80 eV; 381 nm)

5. Srebrna krogla visi v vakuumirani stekleni buci na neprevodni vrvici. Premer krogle je 2 cm,izstopno delo za srebro pa 4,7 eV. Koliksen je naboj na krogli, ce jo osvetljuje svetloba z valovnodolzino 200 nm?

(1,6 ×10−12 As)

6. Pri opazovanju fotoefekta na kalciju izmerimo mejno zaporno napetost v odvisnosti od valovnedolzine svetlobe:

λ[nm] 254 313 365 405U[V] 1,95 0,98 0,50 0,14

Koliksna je Planckova konstanta?

9

7. Elektromagnetno valovanje z valovno dolzino 300 nm pada na fotocelico, ki deluje v podrocjunasicenja. Obcutljivost celice za to valovno dolzino je 4,8 mA/W. Koliko fotoelektronov izbijeposamezen foton?

(0,02; vsak 51. foton izbije en e−)

8. Na fotocelico s povrsino 4 mm2 svetimo pravokotno z enobarvno svetlobo z valovno dolzino550 nm. Jakost svetlobnega toka je 1 kW/m2. Koliksno je izstopno delo za snov, iz katere jefotokatoda, ce je zaporna napetost enaka 1,2 V? Koliksen tok tece skozi fotocelico, ce je nanjoprikljucena prevodna napetost, in ce povzroci fotoefekt 5% fotonov, ki padejo na fotokatodo?

(1,04 eV; 89 µA)

2.3 Rentgenska svetloba

1. Elektroni v televizijski cevi so pospeseni z napetostjo 10 kV. Koliksna je najmanjsa valovnadolzina, ki jo seva televizijski ekran? Katero valovanje je to?

(0,123 nm; rtg)

2. Ko se napetost na rentgenski cevi poveca na 2,5-kratno zacetno vrednost, se kratkovalovnameja rentgenskega spektra premakne za 25 pm. Koliksna je zacetna napetost na rentgenskicevi?

(29,5 kV)

3. Kalijev klorid kristalizira v kubicni mrezi. Gostota kristala je 1,98×103 kg/m3. Molekulskamasa KCl je 74,55 au. Koliksna je razdalja med najblizjimi atomi v kristalu? Pod katerimi kotise pojavijo Braggovi odboji, ce osvetljujemo kristal z rentgensko svetlobo z valovno dolzino 0,1nm?

(0,315 nm; 9,13◦; 18,5◦)

4. Ozek curek rentgenski zarkov vpada na kristal natrijevega klorida. Najmanjsi vpadni kot,pod katerim se se pojavi zrcalni odboj rentgenskih zarkov, je 4,1◦. Razdalja med mreznimiravninami (med atomi v kristalu) je 0,28 nm. Koliksna je napetost na rentgenski cevi?

(30,7 kV)

5. Koliksna je kratkovalovna meja zveznega spektra rentgenske svetlobe (najmanjsa valovna dolzinarentgenskih zarkov), ce je hitrost elektronov, ko padejo na katodo, 0,85 c? S koliksno napetostjoso bili elektroni pospeseni?

(2,7 pm; 490 kV)

2.4 Comptonski efekt

1. Koliksna je frekvenca fotona rentgenske svetlobe, ki ima gibalno kolicino enako 1,1×10−23 kgm/s? Koliksna pa je njegova valovna dolzina? Gibalno kolicino izrazi tudi v MeV/c.

(5 ×1018 Hz; 60 pm)

2. Curek rentgenske svetlobe se siplje na tarci. Valovna dolzina zarkov, ki se gibljejo pod kotom45◦ glede na smer vpadnega curka ima valovno dolzino 2,2 pm. Koliksna je valovna dolzinazarkov v vpadnem curku?

(1,5 pm)

10

3. Ozek curek X-zarkov vpada na snov, na kateri se Comptonsko siplje. Valovni dolzini sipanesvetlobe pod kotom 60◦ in 120◦ se razlikujeta za faktor 2. Koliksna je valovna dolzina vpadlihzarkov, ce predpostavimo, da se sipajo na prostih elektronih?

(1,2 pm)

4. Foton z gibalno kolicino 1,02 MeV/c se siplje na mirujocem prostem elektronu. Gibalna kolicinafotona se spremeni na 0,255 MeV/c . Pod koliksnim kotom se je sipal foton?

(120◦)

5. Pri eksperimentu je valovna dolzina vpadnih rentgenskih zarkov enaka 10,0 pm, valovna dolzinasipanih zarkov pa 10,5 pm. Koliksna je po sipanju gibalna kolicina (velikost in smer) elektronov,na katerih se je ta svetloba sipala?

(0,077 MeV/c; θ = 67, 2◦)

6. Foton z energijo 1,00 MeV se siplje na mirujocem elektronu. Koliksna je kineticna energijaComptonovega elektrona, ce se valovna dolzina sipanega fotona spremeni za 25%?

(0,2 MeV)

7. Foton z valovno dolzino 6,0 pm se na mirujocem elektronu siplje pod pravim kotom. Koliksnaje frekvenca sipanega fotona? Koliksna je kineticna energija Comptonovega elektrona?

(ν = 3,56 ×1019 Hz; 59 keV)

8. Foton se siplje na mirujocem prostem elektronu za kot 120◦. Elektron odleti s kineticno energijo0,45 MeV. Koliksna je bila energija fotona pred sipanjem?

(0,675 MeV)

9. Koliksna je energija fotona, ce ima elektron po trku z njim lahko najvec 50 keV energije?

(140 keV)

10. Foton, cigar energija je enaka mirovni energiji elektrona, se Comptonsko siplje na elektronu.Elektron po trku odleti pod kotom 40◦ glede na zacetno smer gibanja fotona. Koliksna jeenergija sipanega fotona?

(335 keV)

11. Foton z valovno dolzino 12 fm se Comptonsko siplje na mirujocem protonu. Valovna dolzinasipanega fotona je 13,5 fm. V kateri smeri se je sipal foton? Koliksna je gibalna kolicina protonapo sipanju?

12. Foton se Comptonsko siplje na relativisticnem elektronu. Po trku elektron obmiruje, foton paspremeni smer gibanja za 60◦. Koliksna je sprememba valovne dolzine fotona?

(∆λ = (4h/mc) sin2(θ/2), ∆λ = 1, 2 pm)

13. Rentgenska svetloba se Comptonsko siplje na prostih mirujocih elektronih. Po sipanju imajonajhitrejsi elektroni kineticno energijo 0,19 MeV. Koliksna je valovna dolzina svetlobe, ki sesiplje? (Razmisli, v katerih okoliscinah ima elektron najvec kineticne energije!)

(3,7 pm)

14. Foton, cigar energija je enaka mirovni energiji elektrona, se Comptonsko siplje na elektronu.Foton po sipanju odleti pod kotom 90◦ glede na smer svojega gibanja pred sipanjem. Koliksna jekineticna energija elektrona? V kateri smeri, glede na zacetno smer gibanja fotona, se elektrongiblje?

11

2.5 Tvorba parov

1. Pozitron s kineticno energijo 1 MeV trci v elektron z enako kineticno energijo, ki se giblje vnasprotni smeri, in se z njim anihilira. Koliksno valovno dolzino imata fotona, ki pri procesunastaneta?

(0,81 pm)

2. Pozitron s kineticno energijo 20 MeV se v letu anihilira z mirujocim elektronom. Koliksni staenergiji nastalih fotonov γ, od katerih eden odleti v smeri naprej in drugi v nasprotni smeri?Pod koliksnim kotom proti prvotni smeri pa odletita fotona, ce imata enako energijo? Koliksnaje tedaj njuna energija?

(20,76 MeV; 0,26 MeV; 12,7◦; 10,5 MeV)

3. Pozitron s kineticno energijo 500 keV se v letu anihilira z mirujocim elektronom. Nastala fotonaodletita v smeri gibanja pozitrona in v nasprotni smeri. Koliksni sta energiji fotonov?

(1,183 MeV; 0,317 MeV)

4. Pri neki jedrski reakciji se hitri proton s kineticno energijo 6 GeV zaleti v mirujoc proton.Koliksen del energije, ki jo ima hitri proton, se lahko porabi za nastanek novih delcev?

(33%)

5. Pri trku fotona z mirujocim elektronom nastane par elektron - pozitron:

γ + e− → e− + (e− + e+)

Koliksna mora najmanj biti energija fotona, da je reakcija mogoca? Primerjaj rezultat z en-ergijo, ki je potrebna za tvorbo parov v blizini atomskega jedra.

(2,04 MeV; 1,02 MeV)

6. Koliksna mora biti vsaj kineticna energija elektrona, ki se zaleti v drug mirujoci elektron, dalahko nastane dodatni par elektron-pozitron?

(3,06 MeV)

7. Pokazi, da je najmanjsa energija fotona, ki lahko tvori par e− − e+ v blizini mirujocega jedraz maso M enaka

2mec2(

1 +me

M

)

,

kjer je me mirovna masa elektrona.

2.6 Fotoni v gravitacijskem polju

1. Sonce ima maso 2×1030 kg in polmer 7×108 m. Koliksen je gravitacijski rdeci premik zasvetlobo z valovno dolzino 500 nm, ki jo izseva Sonce?

(1,05 pm)

12

2. Nekatera atomska jedra oddajajo pri prehodu iz vzbujenega stanja v osnovno stanje fotonerentgenske svetlobe. Energija vzbujenega stanja atoma 57

26Fe je za 14,4 keV vecja od energijeosnovnega stanja. Masa atoma 57

26Fe je 9,5×10−26 kg. Koliksen delez energije, ki se sprosti priprehodu iz vzbujenega v osnovno stanje prevzame jedro? Koliko se zaradi tega spremeni val-ovna dolzina emitiranih fotonov? Nekateri kristali so tako trdno vezani, da gibalno kolicino obprehodu prevzame celoten kristal. Koliksen delez energije prevzame kristal, ki tehta 1 g? Prieksperimentu, ki je potrdil obstoj gravitacijskega rdecega premika, so kot vir monokromatskesvetlobe uporabili tak kristal. 20 m nizje so postavili enak kristal, ki naj bi fotone absorbiral.Koliksna je bila valovna dolzina izsevanih fotonov in koliko se je le ta spremenila zaradi spre-membe gravitacijske energije? Ali je bila sirina emisijske crte dovolj ozka, da so gravitacijskipremik lahko izmerili?

(1,35 ×10−7; 1,15 ×10−8 nm; 1,28 ×10−29; 0,085 nm; 1,6 ×10−16 nm; da)

3. Koliksen je Schwarzschildov radij Sonca? Masa Sonca je 2×1030 kg.

(1,5 km)

4. S spektrometrom, ki ima za vidno svetlobo locljivost 0,1 nm, merimo spekter sevanja Sonca, kiima maso 2,0.1030 kg. Koliksen najvecji ali najmanjsi bi moral biti polmer Sonca, da bi lahkoopazili gravitacijski rdeci premik za svetlobo z valovno dolzino 500,0 nm?

(R ≤ 7, 3× 103 km)

3 Valovne lastnosti delcev

3.1 De Broglie valovi

1. Koliksna je valovna dolzina zrna peska, ki tehta 1 mg in ga nosi veter s hitrostjo 20 m/s? Poiscirazmerje med njegovo valovno dolzino in njegovim premerom, ce je gostota peska priblizno2 kg/dm3.

(3,3 ×10−29 m; 10−26 − 10−25)

2. Foton in delec imata enako valovno dolzino. Koliksno je razmerje med njunima gibalnimakolicinama, polnima energijama in kineticnima energijama? Obravnavaj klasicen, relativisticenin ultrarelativisticen delec!

(pγ/pd = 1 vedno; Eγ/Ed = v/c; pc/√

W 20 + (pc)2; 1;

Eγ/Wk,d = 2c/v; pc/(−W0 +√

W 20 + (pc)2); 1)

3. Zelena svetloba ima valovno dolzino 550 nm. S koliksno napetostjo mora biti pospesen elektron,da ima enako valovno dolzino?

(4,9 ×10−6 V)

4. Koliksni sta valovni dolzini elektrona s hitrostjo 1, 0 × 108 m/s in elektrona s hitrostjo 2, 0 ×108 m/s?

(6,86 pm; 2,71 pm)

5. Koliksne so de Broglieve valovne dolzine elektrona, protona in atoma urana z energijo 100 eV?

(123 pm; 2,86 pm; 0,186 pm)

13

6. Koliksna je valovna dolzina elektrona z energijo 40 keV? Elektrone s takimi energijami uporabl-jajo v elektronskih mikroskopih.

(6 pm)

7. Pri kateri hitrosti elektrona se njegovi valovni dolzini izracunani relativisticno in klasicno raz-likujeta za 1%?

(0,423 ×108 m/s)

8. Pri kateri kineticni energiji je valovna dolzina elektrona (protona) enaka njegovi Comptonski?

(0,21 MeV; ...)

9. Izpelji relativisticni izraz za valovno dolzino elektrona v odvisnosti od pospesevalne napetosti!Posebej obravnavaj obe skrajni moznosti - zelo veliko in zelo majhno pospesevalno napetost.

(hc/√

2W0eU + (eU)2; hc/(eU); h/√2meU)

10. V katodni cevi obicajnega televizorja pospesi elektrone napetost 25 kV. Koliksna je njihovavalovna dolzina, ce racunas klasicno in koliksna, ce racunas relativisticno?

(7,70 pm; 7,61 pm)

3.2 Fazna in grupna hitrost

1. Valovni paket nastane kot superpozicija dveh potujocih valovanj,

s1 = s0 cos(k1x− ω1t) in

s2 = s0 cos(k2x− ω2t) ,

kjer so k1 = 1, 00 m−1, ω1 = 2, 00 s−1, k2 = 1, 01 m−1 in ω2 = 2, 03 s−1. Koliksna je fazna inkoliksna je grupna hitrost valovnega paketa?

(vf = (ω1 + ω2)/(k1 + k2); vg = (ω2 − ω1)/(k2 − k1))

2. Fazna hitrost oceanskih valov je√

gλ/2π, kjer je g tezni pospesek. S koliksno hitrostjo seprenasa energija oceanskih valov?

(vf/2)

3. Koliksne so fazne in grupne hitrosti elektronov s hitrostmi 0,001 c, 0,5 c in 0,999 c?

(vg = 0,001 c; 0,5 c; 0,999 c; vf = 1000 c; 2 c; 1,001 c)

4. Elektron in proton imata enako hitrost (0,001 c; 0,5 c; 0,999 c). Poisci razmerje njunih valovnihdolzin, faznih in grupnih hitrosti!

(1840; 1; 1)

5. Elektron in proton imata enako kineticno energijo (5 keV; 500 keV; 1 GeV; 100 GeV). Poiscirazmerje njunih valovnih dolzin, faznih in grupnih hitrosti!

(λp/λe = 0,023; 0,028; 0,59; 0,99; ...)

14

3.3 Uklon delcev

1. Razdalja med atomi kamene soli je 0,282 nm. Koliksna je kineticna energija nevtronov, katerihvalovna dolzina je enaka tej medatomski razdalji?

(10 meV)

2. Curek elektronov z energijo 54-eV pada na nikljevo tarco. Ko elektron vstopi v tarco, se njegovapotencialna energija spremeni za 26 eV. Primerjaj hitrosti in valovni dolzini elektronov pred inpo vstopu v tarco!

(vpred = 0,0146 c; vpo = 0,0177 c; λpred = 166 pm; λpo = 136 pm)

3. V kristalu so kristalne ravnine v razmiku 0,21 nm. Koliksno najmanjso energijo morajo imetielektroni, da se dobimo Braggov odboj? Koliksno najmanjso energijo pa morajo imeti nevtroni?

(8,4 eV; 4,6 meV)

4. Elektroni s kineticno energijo 250 keV gredo skozi grafitno ploscico. Koliksen je polmer (prvega)kolobarja na zaslonu 30 cm za ploscico, ce je razdalja med vrstami ogljikovih atomov 0,12 nm?

(5,46 mm)

5. Curek elektronov vpada pravokotno na rezo sirine 1 µm. Koliksna je hitrost elektronov, ce jesirina centralnega maksimuma, ki nastane na 50 cm oddaljenem zaslonu, 0,36 mm?

(2,0×106 m/s)

6. Ozek curek elektronov vpada na kristal aluminja pod kotom 30◦ glede na povrsino aluminija.Razdalja med sosednjima ravninama v aluminiju je 0,2 nm. Pri neki napetosti, s kateropospesujemo elektrone, se pojavi zrcalni odboj curka elektronov. Ce povecamo pospesevalnonapetost na 2,25-kratno zacetno napetost, se v isti smeri ponovno pojavi zrcalni odboj. Ko-liksna je zacetna pospesevalna napetost?

(150 V)

7. V nekem kristalu so razdalje med atomi enake 0,15 nm. Razdaljo so izmerili s sipanjem elek-tronov na tem kristalu. Prvi odboj se je pojavil pod kotom 22◦. S koliksno napetostjo so bilipospeseni elektroni?

(118 V)

8. Curek elektronov, od katerih ima vsak kineticno energijo 180 eV, vpada pravokotno na povrsinokristala niklja. Odbojni maksimum cetrtega reda opazimo pri kotu 55◦ glede na pravokotnicona povrsino kristala (vpadno smer). Kako lezijo mrezne ravnine glede na povrsino kristala inkoliksna je oddaljenost med njimi?

(0,21 nm)

3.4 Nacelo nedolocenosti

1. Primerjaj nedolocenosti v hitrostih za elektron in proton, ki sta omejena v skatli z dimenzijo1 nm!

(5,8 ×104 m/s; 31,7 m/s)

15

2. Primerjaj energiji elektrona in protona, ki sta ujeta v skatli z dimenzijo 10 fm!

(9,5 MeV; 53 keV)

3. Z upostevanjem principa nedolocenosti ugotovi, koliksna bi bila energija elektrona, ki bi sezadrzeval v obmocju jedra (r ≈ 10−15 m)!

(reda 100 MeV)

4. Pri merjenju izmerimo lego protona z natancnostjo ± 10,0 pm. Koliksna je nedolocenost legeprotona 1,00 s kasneje? Predpostavi, da je hitrost, s katero se giblje proton, mnogo manjsa odsvetlobne hitrosti.

(∆x ≥ 3,15 ×103 m)

5. Koliksna je najmanjsa napaka, ki jo naredimo pri meritvi hitrosti elektrona, protona ali delcaz maso 1 mg, ce je polozaj delca znan na 1 µm?

(57,6 m/s; 0,031 m/s; 5,2 ×10−23 m/s)

6. Koliko casa potrebujemo, da izmerimo kineticno energijo elektrona, cigar hitrost je 10 m/s, znatancnostjo najmanj 1%? Koliko casa pa potrebujemo, da izmerimo z enako natancnostjokineticno energijo muhe, ki tehta 1 g in ima enako hitrost?

(0,12 ms; 10−31 s)

7. Pokazi, da je najmanjsa nedolocenost v polozaju delca, ki se giblje s hitrostjo v, enaka

λc√

(c2/v2 − 1)/4π, kjer je λc Comptonska valovna dolzina delca.

(namig: ∆x = min ...∆p = max ≈ p )

8. Pokazi, da je za delec, cigar nedolocenost v polozaju je reda velikosti njegove valovne dolzine(∆x ≈ λ), nedolocenost v hitrosti istega velikostnega reda kot sama hitrost delca!

(∆v = v/(4π))

4 Atomska struktura

4.1 Bohrov model atoma

1. S koliksno hitrostjo bi krozil elektron okoli jedra v vodikovem atomu po klasicni obravnavi, cebi bil od jedra oddaljen en Bohrov polmer a0? Ali je potreben relativisticen racun?

(2,2 ×106 m/s)

2. V Bohrovem modelu atoma je elektron neprestano v gibanju. Kako je lahko njegova energijanegativna?

(W = Wk +Wp; Wp < 0; Wk > 0; Wk < |Wp|, zato je elektron vezan)

3. Elektron se iz mirovanja dalec od protona zacne protonu priblizevati. Kako se spreminjaelektronova valovna dolzina v odvisnosti od oddaljenosti od protona? Koliksna je valovnadolzina elektrona, ko je le se za Bohrov radij oddaljen od protona? Koliksno je razmerje medvalovno dolzino elektrona v osnovnemu stanju Bohrovega atoma in valovno dolzino elektrona,

16

ki se je protonu priblizal iz mirovanja v neskoncni oddaljenosti? Da bi se elektron in protonvezala v vodik, se mora elektron znebiti odvecne energije. Koliko?

(λ = h/(e0√

m/(2πε0r/)); 2,3 ×10−10 m;√2; 13,6 eV)

4. Koliksen je polmer krozenja elektrona v osnovnem stanju dvakrat ioniziranega atoma litija?Koliksen je ta polmer glede na polmer krozenja elektrona v osnovnem stanju vodikovega atoma?

(1,75 ×10−11 m; r1/a0 = 1/3)

5. Izpelji enacbo za energijska stanja ioniziranega atoma helija He+ in litija Li2+. Skiciraj energi-jske nivoje za oba iona in jih primerjaj z energijskimi stanji atoma vodika. Ioniziran atom He+

nastane, ko mirujoc delec α ujame elektron. Pri tem izseva foton. Koliksna je njegova valovnadolzina?

(E0 = 13, 6 eV; He+: −4E0/n2; Li2+: −9E0/n

2; 22,8 nm)

6. Poisci kvantno stevilo, ki doloca Zemljino gibanje okoli Sonca! Masa Zemlje je 6,0×1024 kg,njena oddaljenost od Sonca je 1,5×1011 m in krozilna hitrost 3,0×104 m/s.

(2,57 ×1074)

7. Predpostavi, da proton in elektron veze skupaj le gravitacijska sila. Izracunaj energijske nivojetakega vodikovega atoma, polmer Bohrovega osnovnega stanja in njegovo ionizacijsko energijo!

(rB = 1,2 ×1029 m; En = −E0/n2; E0 = 2π2G2m2

pm3e/h

2 = 4,23 ×10−97 J)

8. Primerjaj nedolocenost gibalne kolicine elektrona, ki je ujet v podrocje velikosti Bohrovegaradija, z gibalno kolicino elektrona v osnovnem stanju Bohrovega atoma!

(∆x = 2rB → ∆p/p0 = 1/4)

9. Delec z maso m se giblje po kroznem ravninskem tiru v osnosimetricnem potencialu V (r) =kr2/2. Uporabi Bohrov predpis za kvantizacijo orbital in poisci polmere orbit ter energijskenivoje delca v tem potencialu.

(rn =√

nh/(mω); En = nhω, ω =√

k/m, n = 1, 2, 3, ...)

4.2 Spektri, prehodi

1. Razredcen plin sestavljajo atomi vodika v osnovnem stanju. Katere spektralne serije bodoprisotne v absorpcijskem spektru?

(Lymanova serija)

2. Kako vpliva gibanje atomov na njihov absorpcijski oziroma emisijski spekter?

(Crte niso ostre, ampak zaradi Dopplerjevega pojava razsirjene.)

3. Mirujoca proton in elektron se vezeta in tvorita vodikov atom v osnovnem stanju. Pri temje emitiran en sam foton. Koliksna je njegova valovna dolzina? Koliksna je valovna dolzinafotona, ce je nastali atom vodika v prvem vzbujenem stanju?

(90 nm; 361 nm)

4. Koliko razlicnih valovnih dolzin je v emisijskem spektru vodikovih atomov, ki so v stanju zn = 5?

(10)

17

5. Vodikov atom je v 5. vzbujenem stanju (n = 6). Koliko razlicnih fotonov lahko emitira priprehajanju v osnovno stanje? Koliksna je valovna dolzina fotona z najvecjo energijo in koliksnaje valovna dolzina fotona z najmanjso energijo?

(15; 94 nm, 7,5 µm)

6. Koliksne so stiri najdaljse valovne dolzine izsevanih fotonov, ki ustrezajo v spektru vodikovegaatoma v Bohrovem modelu prehodom iz visjih vzbujenih stanj v prvo vzbujeno stanje (Balmer-jeva serija)?

(659 nm; 488 nm; 436 nm; 412 nm)

7. Koliksna mora biti vsaj valovna dolzina svetlobe, s katero ioniziramo atome vodika, ki so vprvem vzbujenem stanju?

(361 nm)

8. Vodikov atom je v stanju, ki ima vezavno energijo 0,85 eV. Z emisijo fotona preide v stanje, kiima energijo za 10,2 eV visjo od energije osnovnega stanja. Koliksna je valovna dolzina izse-vanega fotona? Prikazi ta prehod na diagramu energijskih stanj vodikovega atoma, energijskenivoje pa oznaci z ustreznimi kvantnimi stevili!

(Prehod n = 4 → n = 2; 487 nm.)

9. Atomi vodika v vrocem plinu se termicno gibljejo. Povprecna velikost hitrosti atomov vodikapri neki temperaturi je 3000 m/s. Za koliko so lahko spremenjene valovne dolzine svetlobe,izsevane pri prehodih iz drugega vzbujenega stanja v osnovno?

(1,02 ×10−3 nm)

10. Ko vzbujen atom emitira foton, nekoliko odrine jedro atoma, ki ima zato nekaj kineticneenergije. Upostevaj ta efekt v izracunu frekvence emitirane svetlobe! Koliksna je ta spremembapri prehodu iz drugega v prvo vzbujeno stanje atoma vodika?

(λ0 = 651 nm; ∆λ = 1,3 ×10−6 nm)

11. Vodikov atom na zacetku miruje in je v 3. vzbujenem stanju (n = 4). Ko izseva foton, preidenaravnost v osnovno stanje. S koliksno hitrostjo se po prehodu giblje vodikov atom? Koliksnaje valovna dolzina izsevanega fotona?

(7500 m/s; 97 nm)

12. Koliksna mora biti locljivost spektrometra δλ, da lahko z njim razlocimo prvih dvajset crtBalmerjeve serije (ki ustreza prehodom v prvo vzbujeno stanje vodikovega atoma z n = 2)?

(0,3 nm)

5 Kvantna mehanika

5.1 Valovne funkcije in pricakovane vrednosti-vaje

1. Katere od funkcij na spodnjih slikah so na predstavljenih intervalih fizikalno smiselne valovnefunkcije? Zakaj ostale niso?

(a, e)

18

2. Katere od funkcij na spodnjih slikah so na predstavljenih intervalih fizikalno smiselne valovnefunkcije? Zakaj ostale niso?

(a, b, d, f)

3. Katere od funkcij ne morejo biti resitve Schrodingerjeve enacbe za vse vrednosti x in zakaj ne?a) ψ = A sec x = A/ sin x; b) ψ = A tanx; c) ψ = A exp(−x2); d) ψ = A exp(x2);

(a, b, d)

4. Valovni funkciji ψ1(r, t) in ψ2(r, t) sta resitvi iste Schrodingerjeve enacbe. Pokazi, da veljanacelo superpozicije in da je tudi njuna linearna kombinacija ψ(r, t) = Aψ1 +Bψ2 resitev isteSchrodingerjeve enacbe. Konstanti A in B sta poljubni.

5. Normaliziraj valovno funkcijo ψ = Axe−x2/(2a), kjer merimo x v nanometrih in je a = nm2.Koliksna je verjetnost, da najdemo delec med -0,1 nm in 0,1 nm? Koliksna je kineticna energijadelca, ce je delec elektron?

(A =√

2/√π nm−3/2; 0,00075; 0,058 eV)

6. Valovno funkcijo nekega delca lahko opisemo z izrazom ψ = A cos2(x/a) v obmocju −π/2 <(x/a) < π/2, kjer je a = 1 nm in merimo x v nm. Koliksna je verjetnost, da najdemo delecv obmocju 0 < x < (π/4) nm? Koliksna je pricakovana vrednost kvadrata lege tega delca?Koliksna je pricakovana vrednost kineticne energije tega delca, ce je delec elektron?

(A =√

8/3π nm−1/2; P[0, π/4 nm] = 0,462; 〈x〉 = 0; 〈x2〉 = 0,197 nm2; 〈Wk〉 = 1,98 eV)

19

7. Delec je omejen v smeri x, njegovo valovno funkcijo zapisemo kot ψ = ax v podrocju med x = 0in x = 1, ψ = 0 pa povsod drugod. Doloci konstanto a! Koliksna je verjetnost, da je delec medx = 0, 45 in x = 0, 55? Koliksna je pricakovana vrednost lege delca 〈x〉?(√3; 0, 075; 0, 75)

5.2 Delec v enodimenzionalni jami

1. Elektron je v neskoncni potencialni jami, ki je siroka 0,1 nm. Zapisi valovne funkcije elektronain energije lastnih stanj! Kako se valovne funkcije spremenijo, ce enkrat obravnavas, da se jamarazteza od 0 do a, drugic pa od -a/2 do a/2 (a = 1×10−10 m)?

([0, a]: ψn = An sin knx; An =√2 × 105 m−1/2; kn = nπ × 1010 m; En = n2E1; E1 = 37,1 eV;

n = 1, 2, 3, ...)

2. Koliksna bi bila energija delca z maso 1 µg v neskoncno globoki potencialni jami s sirino 1 cm vnajnizjih stacionarnih stanjih? V katerem stanju je energija 1×10−7 J? Koliksna je razlika medsosednjimi energijskimi nivoji pri tej energiji? Ali lahko pri merjenju locimo sosednji energijskistanji?

(5,5×10−54 J; 4,2×1023; 4,7×10−31 J)

3. Korespondecni princip trdi, da so rezultati za velika kvantna stevila enaki klasicnim. Pokazi,da je za n → ∞ verjetnost, da najdemo delec, ujet v neskoncni potencialni jami, med x inx+∆x, neodvisna od x, torej enaka pricakovani vrednosti po klasicni obravnavi!

(n→ ∞ : (2/a)∫ x+∆xx sin2(nπx/a)dx = ... = 2a

anπ12∆y = ...; y = nπx/a)

4. Znacilna lastnost resitev Schrodingerjeve enacbe je ortogonalnost funkcij, ki pripadajo razlicnimkvantnim stevilom. Ortogonalnost pomeni, da velja naslednja zveza:

∫ ∞

−∞ψ∗nψmdV = δn,m =

{

1; n = m

0; n 6= m

Preveri veljavnost gornje trditve za resitve Schrodingerjeve enacbe v neskoncni enodimenzion-alni potencialni jami.

5. Linearna kombinacija dveh valovnih funkcij, ki sta resitvi valovne enacbe, je tudi resitev istevalovne enacbe. Koliksna je normalizacijska konstanta A za kombinacijo

ψ = A(

sinπx

L+ sin

2πx

L

)

valovnih funkcij delca v neskoncni potencialni jami s sirino 2 nm z n = 1 in n = 2. Izracunajtudi povprecno vrednost energije, ce je delec elektron!

(A = 1/√2 nm; 0,23 eV)

6. V neskoncno globoki pravokotni potencialni jami s sirino 2x0 = 1 nm (jama je med −x0 inx0) je elektron, katerega stanje opisemo z valovno funkcijo ψ(x) = A(x20 − x2). Koliksna jepovprecna vrednost energije elektrona v tem stanju?

(A =√

15/(16x50); 0,38 eV)

20

7. Delec je v neskoncni pravokotni potencialni jami, siroki L (V (x) = 0 za −L/2 < x < L/2 inV (x) = ∞ drugje). Valovna funkcija, ki opise stanje tega delca, je

ψ(x) = A0ψ0(x) + A1ψ1(x) ,

kjer je A1 = 1/2 in kjer ustrezata ψ0 in ψ1 osnovnemu in prvemu vzbujenemu stanju v tej jami.Koliksen je A0? Koliksna je verjetnost, da najdemo delec nekje med x = L/4 in x = L/2?

(A0 =√3/2; 0,26)

8. Koliksna je povprecna kineticna energija elektrona, ki ga opisemo z valovno funkcijo

ψ(x) =

A sin2(

πxa

)

; 0 < x < a,

0 ; drugje,

in je a = 0, 1 nm? Najprej izracunaj normalizacijsko konstanto.

(A = Sqrt8/(3a); 50,6 eV)

9. Elektron je v prvem vzbujenem stanju v neskoncni enodimenzionalni potencialni jami s sirino0,1 nm. Izracunaj pricakovane vrednosti 〈x〉, 〈x2〉 in energije! Kje v jami se elektron najver-jetneje nahaja?

(simetricna jama [−L/2, L/2]: 〈x〉 = 0; 〈x2〉 = 7, 07× 10−4 nm2; 152 eV; ...)

10. Koliksna je verjetnost, da je delec v srednji tretjini neskoncne enodimenzionalne potencialnejame, ce je v prvem vzbujenem stanju?

(0,20)

11. Elektron je v enorazsezni potencialni jami z globino 20 eV in sirino 0,2 nm v osnovnem stanju.Koliksna je energija osnovnega stanja? Zapisi normalizirano valovno funkcijo osnovnega stanja.Koliksna je verjetnost, da najdemo delec izven obmocja potencialne jame?

(E0 = 4,4 eV; P[izven] = 0,0725)

12. Izracunaj energijo elektrona, ki je v osnovnem stanju v potencialni jami s sirino 1 nm. Ena odsten je neskoncno visoka, druga pa je visoka 10 eV. Koliko vezanih stanj je v taki jami? Zapisivalovno funkcijo tega elektrona! Izracunaj verjetnost, da je delec na podrocju koncne stene!Izracunaj tudi energije prvih dveh vzbujenih stanj!

(E0 = 0,329 eV; 5; ...)

13. Izracunaj energijo elektrona, ki je v prvem (drugem) vzbujenem stanju v potencialni jamis sirino 1 nm! Ena od sten je visoka 20 eV, druga pa 10 eV. Zapisi valovno funkcijo tegaelektrona. Izracunaj verjetnost, da je delec na podrocju izven jame. Izracunaj tudi energijevzbujenih stanj.

14. Shematicno, a v kljucnih detajlih natancno in razvidno, narisi krajevna dela valovnih funkcij, kiopiseta osnovno (na prvi graf) in prvo vzbujeno stanje (na drugi graf) delca v enodimenzionalnipotencialni jami, siroki 1 nm in globoki 20 eV! Na tretji graf pa narisi, kako bi se krajevni delvalovne funkcije osnovnega stanja spremenil, ce bi bila stena jame na eni strani visoka le 10 eV(in na drugi 20 eV)! Komentiraj spremembe.

15. Elektron je v 2 nm siroki neskoncni enodimenzionalni jami, ki ima na sredini stopnico visoko5 eV. Izracunaj energijske nivoje!

(E0 = 0,313 eV; E1 = 1,246 eV; E2 = 2,769 eV; E3 = 4,737 eV)

21

U(x)

x

16. Elektron je v 3 nm siroki neskoncni enodimenzionalni jami, ki ima na sredini prag visok 5 eVin sirok 1 nm. Izracunaj energijske nivoje!

U(x)

x

5.3 Prost delec

1. Zapisi valovno funkcijo elektrona, ki se giblje v doloceni smeri in ima energijo 100 eV. V 1 mdebeli plasti, ki je pravokotna na smer gibanja, je 1 elektron.

(ψ = A ei(kx−ωt); A = m−1/2; k = 51,6 nm−1; ω = 1,53×1017 Hz)

2. Zapisi valovno funkcijo, s katero lahko opisemo curek elektronov s kineticno energijo 10 eV!Gostota elektricnega toka v tem curku je 1 A/cm2.

(ψ = A ei(kx−ωt); A = 1,8×108 m−3/2; k = 1,6×1010 m−1; ω = 1,53×1016 Hz)

3. Curek elektronov z energijo 10 eV zadene na pravokotni potencialni prag, ki je visok 3 eV.Koliksen del elektronskega toka se odbije?

(0,79%)

4. Curek elektronov z energijo 10 eV zadene na pravokotni potencialni prag, ki je globok 3 eV.Koliksen del elektronskega toka se odbije?

(0,43%)

5. Curek elektronov z energijo 10 eV zadene na pravokotno potencialno oviro, visoko 8 eV insiroko 0,5 nm. Koliksen del elektronskega toka je prepuscen?

(86 %)

6. Curek elektronov z energijo 10 eV zadene na pravokotno potencialno oviro, visoko 12 eV insiroko 0,1 nm. Koliksen del elektronskega toka je prepuscen?

(46,7%)

22

7. Curek elektronov z energijo 7 eV zadene na 10 eV visok pravokotni potencialni prag. Zapisikrajevni del valovne funkcije tega curka, ce je gostota toka v vpadnem curku 1 A/cm2.

8. Curek elektronov z energijo 3 eV zadene 10 eV globoko in 0,1 nm siroko pravokotno potencialnojamo. Koliksen del elektronskega toka se odbije?

9. Elektronski curek pada na potencialni skok take oblike, kot kaze slika Zapisi valovno funkcijo

5 eV

5 eV

tega curka elektronov za naslednje primere, ce je gostota elektricnega toka v njem 1 mA/mm2:

(a) curek pada z leve, kineticna energija elektronov je 3 eV.

(b) curek pada z leve, kineticna energija elektronov je 7 eV.

(c) curek pada z leve, kineticna energija elektronov je 12 eV.

(d) curek pada z desne, kineticna energija elektronov je 3 eV.

10. Elektronski curek pada na potencialno oviro take oblike, kot kaze slika

10 eV

5 eV

Zapisi valovno funkcijo tega curka elektronov za naslednje primere, ce je gostota elektricnegatoka v njem 1 mA/mm2:

(a) curek pada z leve, kineticna energija elektronov je 3 eV.

(b) curek pada z leve, kineticna energija elektronov je 7 eV.

(c) curek pada z leve, kineticna energija elektronov je 12 eV.

(d) curek pada z desne, kineticna energija elektronov je 3 eV.

(e) curek pada z desne, kineticna energija elektronov je 7 eV.

(f) curek pada z desne, kineticna energija elektronov je 12 eV.

5.4 Harmonski oscilator

1. Na 25 cm dolgo nitko je obesena utez z maso 1 g. Koliksna je energija osnovnega stanja? Aliga lahko opazimo? Nihalo niha z amplitudo 1 mm. Kateremu kvantnemu stevilu ustreza tonihanje?

(3,3×10−34 J; 3×1025)

23

2. Koliksna je energija elektrona, ki je v osnovnem (prvem vzbujenem, drugem vzbujenem) stanjuharmonskega oscilatorja z osnovno frekvenco 2×1015 Hz? Koliksen je k? Koliksna je v tehprimerih verjetnostna gostota v srediscu harmonskega oscilatorja in na klasicnih mejah?

(4,1 eV; 12,3 eV; 20,5 eV; 143 N/m; klasicna meja: xmax =√

hω0/k)

3. Poisci pricakovani vrednosti 〈x〉 in 〈x2〉 v osnovnem in prvem vzbujenem stanju harmonskegaoscilatorja!

(〈x〉0,1 = 0; 〈x2〉0 = h/(2mω0); 〈x2〉1 = 12 h/(πmω0).)

4. Harmonski oscilator (ν = 1010 Hz, m = 10−30 kg) niha z energijo 3hω/2. Doloci meje klasicneganihanja in klasicno verjetnostno gostoto za delec! Zapisi valovno funkcijo tega delca! Koliksnaje verjetnost, da je delec zunaj meja klasicnega nihanja?

(x0 = 71 nm; Pklas = 1/(π√

x20 − x2); ...)

5. Eno od stanj delca z maso m v enodimenzionalni potencialni jami V (x) = kx2/2 opisemo zvalovno funkcijo

ψ(x) = Ae−αx2

,

kjer je A normalizacijska konstanta in je α pozitivna konstanta. Pokazi, da je zapisana valovnafunkcija zares lastno stanje v taki potencialni jami in ugotovi, cemu je enaka α ter koliksna jeenergija zapisanega stanja!

(α =√km/(2h); E = 1

2h√

k/m.)

6. Eno od lastnih stanj delca v enorazseznem harmonskem potencialu opisemo z valovno funkcijo

ψ(x) =

(

2mω3

πh3

)1/4

xe−mω2h

x2

.

Poisci zvezo med ω in k (vstavi ψ(x) v valovno enacbo). Koliksna je energija tega stanja?Katero stanje je to?

(ω =√

k/m; E = 32hω = (n+ 1

2)hω, n = 1.)

7. Na 1 m dolgi vrvici visi utez z maso 200 g. Koliksen je koeficient k v potencialni energijitega nihala, ce jo zapisemo V = 1

2kφ2? Kot φ je kot odmika nihala od ravnovesja, merjeno v

radianih. Nihalo izmaknemo za 5◦ iz ravnovesne lege in spustimo. V katerem kvantnem stanjuje? Pokazi, da je pri tem n razlika v amplitudi nihanja med sosednjima kvantnima stanjemaenaka

∆φ =h

m√gl3φ

.

(k = mgl; n = 9, 1× 1030.)

6 Vodikov atom

24

6.1 Schrodingerjeva enacba v treh dimenzijah

1. Elektron je v neskoncno globoki 2D potencialni jami s sirino 0,1 nm v smereh x in y. Kolikokvantnih stevil opisuje eno stanje elektrona v taki jami? Izracunaj energije osnovnega in prvihpetih vzbujenih stanj, zapisi njihova kvantna stevila ter ustrezne valovne funkcije!

(2; Eosn(nx = ny = 1) = 2E0, E0 = (π2h2)/(2ma2); E1(nx = 1, ny = 2) = E2(nx = 2, ny =1) = 5E0; E3(nx = ny = 2) = 8E0; E4(nx = 1, ny = 3) = E5(nx = 3, ny = 1) = 10E0;ψnx,ny(x, y) =

2asin(nxπx/a) sin(nyπy/a))

2. V neskoncno globoki 3D potencialni jami s sirinami 0,05 nm, 0,1 nm in 0,2 nm v smereh x,y in z je elektron. Koliko kvantnih stevil opisuje eno stanje? Izracunaj energije osnovnega inprvih petih vzbujenih stanj, zapisi njihova kvantna stevila ter ustrezne valovne funkcije!

(3; Eosn(nx = ny = nz = 1) = 21E0/16, E0 = (π2h2)/(2ma2); b = 2a, c = 4a; E1(nx = ny =1, nz = 2) = 24E0/16; E2(nx = ny = 1, nz = 3) = 29E0/16; E3(nx = nz = 1, ny = 2) =33E0/16; E4(nx = ny = 1, nz = 4) = E5(nx = 1, ny = nz = 2) = 36E0/16; ψnx,ny,nz(x, y, z) =√

8/(abc)× sin(nxπx/a) sin(nyπy/b) sin(nzπz/c))

3. V tridimenzionalni neskoncni potencialni jami so trije elektroni. Stranice jame so dolge 1 nm, 2nm in 4 nm. Zapisi (normalizirane) valovne funkcije vseh treh elektronov, ce je njihova skupnaenergija minimalna. Koliksna je? Koliksna je verjetnost, da najdemo elektron v delu jame, kije po obliki kvader in ga omejujejo na treh ploskvah stene jame, stranice pa ima pol krajse kotso stranice jame? (Narisi si!)

(...; 3/8.)

6.2 Kvantna stevila

1. Zakaj so potrebna tri razlicna kvantna stevila, da opisemo stanje elektrona v vodikovem atomu?

(Za vsako dimenzijo 1, H-atom je 3D.)

2. Pokazi, da jeΘ20(θ) = A(3 cos2 θ − 1)

resitev Schrodingerjeve enacbe za kotni del valovne funkcije. Koliksna je normalizacijska kon-stanta?

(Vstavi Θ20 v enacbo za Θ(θ), A =√

5/8.)

3. Pokazi, da jeR10(r) = Ae−r/a0

resitev Schrodingerjeve enacbe za radialni del valovne funkcije. Koliksna je normalizacijskakonstanta?

(Vstavi R10 v enacbo za R(r), A = 2a−3/20 .)

4. Pokazi, da je

R21(r) = A1

2√6a

3/20

r

a0e−r/(2a0)

resitev Schrodingerjeve enacbe za radialni del valovne funkcije. Koliksna je normalizacijskakonstanta?

(Vstavi R21 v enacbo za R(r), upostevaj tudi n = 2, l = 1; A = 1.)

25

5. Zapisi normalizirano valovno funkcijo Ψ2,1,−1 za vodikov atom! Uporabi tabele!

(Ψ2,1,−1(r, θ, φ) = − 1

8√πa

3/20

ra0e−r/(2a0) sin θe−iφ)

6. Primerjaj vrtilno kolicino elektrona, ki je v osnovnem stanju vodikovega atoma, z vrtilnokolicino elektrona v osnovnem stanju po Bohrovem modelu!

(Bohr: Γ = nh, osn. stanje: n = 1, Γ = h; val. funkcije: Γ = h√

l(l + 1); Γ1s = 0)

7. Zapisi valovno funkcijo elektrona v vodikovem atomu, ki je v drugem vzbujenem stanju, imavelikost vrtilne kolicine

√6h ter z− komponento vrtilne kolicine −h!

(n = 3, l = 2, m = −1; ψ3,2,−1 = ...)

8. Kdaj je Lz enaka L?

(Ko l = ml = 0)

9. Koliksen kot oklepa L z osjo z, ko je l enak 1 oziroma 2?

(cosθ = Lz/L = ml/√

l(l + 1))

10. Katera magnetna kvantna stevila so mogoca, ko je l = 4?

(ml = 0,±1,±2,±3,±4)

11. Katere kombinacije kvantnih stevil so mozne, ce je glavno kvantno stevilo n = 4?

(l = 0, ml = 0; l = 1, ml = 0,±1; ... do l = 3)

12. Za koliko odstotkov se razlikujeta L in Lz vodikovega atoma, ki je v p, d ali f stanju in imamaksimalno z komponento vrtilne kolicine?

(Lz,max/L = l/√

l(l + 1) )

6.3 Verjetnostna gostota

1. Kdaj je verjetnostna gostota krogelno simetricna?

(Ko je l = 0.)

2. Elektron v vodikovem atomu je v stanju 2p. Pri kateri oddaljenosti od jedra atoma imaverjetnostna gostota maksimum? Koliksna je najverjetnejsa oddaljenost elektrona od jedra?Koliksna je pricakovana vrednost oddaljenosti elektrona od jedra? Vse oddaljenosti izrazi zBohrovim polmerom.

(Verjetnostna gostota ima v 2p stanju maksimum pri 2a0, najverjetnejsa oddaljenost elektronaod jedra pa je v istem stanju 4a0; 〈r〉2p = 5a0.)

3. Valovna funkcija elektrona v vodikovem atomu v 2p stanju je odvisna od smeri in tudi ododdaljenosti od jedra. Kje ima verjetnostna gostota v atomu z elektronom v 2p stanju, ki imaml enak 0, maksimum v smeri osi z in kje v ravnini xy?

(xy: ψ2,1,0(θ = π/2) = 0; z: max pri r = 2a0.)

4. Koliksna je pricakovana vrednost oddaljenosti 3d elektrona od jedra vodikovega atoma?

(10,5 a0)

26

5. Verjetnostna gostota v odvisnosti od oddaljenosti od jedra ima za 2s elektron dva maksimuma.Kje?

(Pri r0 = 0 in pri r2 = 4a0, pri r1 = 2a0 ima minimum.)

6. Koliksno je razmerje med verjetnostjo, da je 1s elektron oddaljen od jedra a0/2 in verjetnostjo,da je oddaljen 2a0?

(1,26)

7. Koliksna je povprecna oddaljenost 1s elektrona od jedra vodikovega atoma?

(3a0/2)

8. Koliksna je verjetnost, da je oddaljenost 1s elektrona od jedra vodikovega atoma vecja oda0? Ko je razdalja med elektronom in jedrom 2a0, je celotna energija atoma enaka njegovipotencialni energiji. V okviru klasicne razlage se elektron ne more bolj oddaljiti od jedra.Koliksna je verjetnost po kvantni obravnavi, da je razdalja med elektronom in jedrom vecja od2a0?

(P1s(r > a0) = 5/e2; P1s(r > 2a0) = 13/e4.)

9. Koliksno je razmerje med verjetnostima, da sta znotraj a0 1s in 2s elektrona?

(P1s(r < a0) = 1− 5/e2; P2s(r < a0) = 1− 21/(8e).)

10. Osnovno stanje elektrona v vodikovem atomu opisemo z valovno funkcijo

ψ(r, θ, φ) = Ae−r/a0 ,

kjer je a0 Bohrov polmer. Izracunaj normalizacijsko konstanto A in pricakovano vrednostpotencialne energije elektrona v polju jedra.

(A = 1/√

πa30; 〈Wp〉 = e2/(4πǫ0a0).)

11. Osnovno stanje vodikovega atoma opisemo z valovno funkcijo

ψ(r) =1

√

πa30e−r/a0 ,

kjer je a0 Bohrov polmer. Kako bi izracunal polmer krogle okoli jedra atoma, da je verjetnost,da v njej najdemo elektron, 1/2?

6.4 Izbirna pravila

1. Vodikov atom je v stanju 4p z magnetnim kvantnim stevilom +1. V katera stanja lahko preides sevanjem?

(V 3d z m = 0, 1 ali 2; v 3s z m = 0; v 2s z m = 0; v 1s z m = 0 )

2. V vodikovem atomu je elektron v 2p stanju z magnetnim kvantnim stevilom 0. Nastej petstanj, v katera lahko preide z absorpcijo fotona!

((n, l,m) = (3, 2, 0), (3, 2, 1), (3, 2,−1), (3, 0, 0), (4, 2, 1),...)

3. Vodikov atom je v 5f stanju z magnetnim kvantnim stevilom 2. V katera stanja z glavnimikvantnimi stevili 4, 3, 2 ali 1 lahko preide s sevanjem?

((n, l,m) = (4, 2, 2), (4, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 1).)

27

4. V vodikovem atomu je elektron v stanju 4d z magnetnim kvantnim stevilom 1. Nastej tristanja, v katera lahko preide z emisijo fotona, ter tri stanja, v katera lahko preide z absorpcijofotona.

5. Koliksna je najvecja in koliksna je najmanjsa mozna tirna vrtilna kolicina vodikovega atoma,ce je elektron v stanju z glavnim kvantnim stevilom n = 4? Zapisi stiri stanja, v katera lahkopreide s sevanjem ali absorpcijo iz stanja z najvecjo mozno tirno vrtilno kolicino in n = 4, ceje magnetno kvantno stevilo elektrona v zacetnem stanju enako m = 0.

(Lmax = h√12, Lmin = 0; ...)

6. V neskoncni 1D potencialni jami je delec v stanju z n = 3. V katera stanja lahko preide zemisijo in v katera z absorpcijo fotona?

(Emisija: dovoljen prehod v stanje n = 2, z absorpcijo lahko preide v stanja z n = 4, 6, 8, ...)

6.5 Zeemanov efekt

1. Vzorec dolocenega elementa damo v magnetno polje z gostoto 0,30 T. Za koliko se razlikujetavalovni dolzini Zeemanovih komponent spektralne crte z valovno dolzino 450 nm?

(2,83 pm)

2. V mionskema atomu je elektron zamenjan z negativnim mionom, ki ima maso 207 me. Ali biiz Zeemanovega efekta lahko locili mionski atom vodika od navadnega? Kako?

(Razcep je manjsi, ker ∆EZeeman ∝ m−1; ∆λµ/∆λe = me/mµ = 1/207.)

3. Zeemanovi komponenti crte z valovno dolzino 500 nm se razlikujeta za 0,0116 nm, kadar jeatom v zunanjem magnetnem polju z gostoto 1,00 T. Koliksno je razmerje e/m?

(1,75 ×1011 As/kg)

4. Vodikov atom je na zacetku v stanju z glavnim kvantnim stevilom 3. Koliko je razlicnihprehodov v koncno stanje z glavnim kvantnim stevilom 2? Koliko razlicnih fotonov lahkoizseva vodikov atom pri teh prehodih, ce ni zunanjega magnetnega polja in koliko, ce B 6= 0?

(15, 1, 3)

5. S spektrometrom z locljivostjo 0,01 nm zelimo opazovati Zeemanov razcep spektralne crte zvalovno dolzino 400 nm. Koliksna vsaj mora biti magnetna poljska gostota, da Zeemanovrazcep opazimo?

(1,34 T)

6. Koliksne so energije fotonov, ki jih izsevajo vodikovi atomi pri prehodu iz stanja 3d v stanje2p, ce so v magnetnem polju z gostoto 0,5 T?

7 Atomi z vec elektroni

28

7.1 Periodni sistem elementov

1. Koliko je lahko elektronov na isti podlupini f?

(14)

2. Kako bi se spremenila periodna tabela elementov, ce bi imeli elektroni spin 1 in mozna stanjasz = -1,0 in 1 (in bili se vedno fermioni)? Kateri elementi bi bili v tem primeru zlahtni plini?

(Elementi z vrstnimi stevili 3, 15, ... )

3. Koliko elementov bi imel periodni sistem, ce bi bilo stevilo elektronov, ki jih lahko ima atom,omejeno z najvecjim kvantnim stevilom N = 6?

(182)

4. Koliksen je efektivni naboj, ki ga cutijo elektroni v zunanji lupini kalijevega atoma? Oceniionizacijsko energijo!

(1 e0; 0,85 eV)

5. Oceni efektivni naboj jedra, ki ga cutijo elektroni v zunanji lupini kalcijevega atoma! Ocenienako za atom zvepla! Kateri od atomov ima vecjo ionizacijsko energijo?

()

7.2 Vrtilna kolicina

1. Doloci kvantna stevila J , L in S atoma, ki ima dva elektrona s tirnima kvantnima steviloma 1in 3!

(L = 2, 3 ali 4; S = 0 (singlet) ali 1 (triplet); J = 1, 2, 3, 4 ali 5.)

2. Atom ima zunaj zakljucenih lupin en sam elektron. Koliksna je celotna vrtilna kolicina tegaatoma, ce je njegovo stanje P ali D?

(mozna stanja: 2P1/2,2P3/2,

2D3/2,2D5/2)

3. Ce je j enak 5/2, kateri vrednosti l so mozne?

(2 ali 3)

4. Poisci vrednosti L, S in J za vsako od naslednjih stanj: 1S0,3P2,

2D3/2,3D3/2,

5F5,6H5/2!

(1S0: L = S = J = 0; 3P2: L = S = 1, J = 2; 2D3/2: L = 2, S = 1/2, J = 3/2; 3D3/2: ni takegastanja; 5F5: L = 3, S = 2, J = 5; 6H5/2: L = 5, S = J = 5/2)

5. Za katere od elementov Ne, Mg, Cl, Ca, Cu, Ag in Ba pricakujes, da so njihovi energijski nivojirazdeljeni v singletna in tripletna stanja?

(Ne, Mg, Ca, Ba)

6. V katerih od stanj 1S0,1S1/2,

2P3/2,2P2,

3D2,3F5/2 je lahko (neioniziran) atom helija?

(1S0,3D2.)

7. Atom je v tripletnem stanju s skupno vrtilno kolicino enako h√20. Koliksno je lahko kvantno

stevilo L za skupno tirno vrtilno kolicino?

(L = 3, 4 ali 5.)

29

8. Oznaci stanje ter ugotovi, koliksna je lahko najvecja skupna vrtilna kolicina

(a) atoma Na, ki ima valencni elektron v stanju z glavnim kvantnim stevilom 4, ostale pa vnajnizjih stanjih.

(b) atoma z elektronsko konfiguracijo 1s22p3d.

(42F7/2, Jmax = h√63/2; 33F4, Jmax = 2h

√5.)

9. Za doloceni stanji F in D je znano, da imata obe enako stevilo moznih kombinacij za kvantnostevilo J in sicer 5. Koliksna je spinska vrtilna kolicina v teh dveh stanjih?

(F: S = h√6, D: S ≥ h

√6)

7.3 Spin elektrona

1. Curek elektronov prileti v homogeno magnetno polje z gostoto 1,20 T. Koliksna je razlika medenergijami elektronov, katerih spin je vzporeden polju in elektronov z nasprotnovzporednimspinom?

(1,39 ×10−4 eV)

2. Proton in elektron v vodikovem atomu imata vsak spin 1/2. Osnovno stanje H-atoma jerazcepljeno na dve podstanji, ki ustrezata vzporedni in nasprotnovzporedni orientaciji spinovprotona in elektrona. Stanje z nasprotnima spinoma ima visjo energijo. Iz tega stanja lahkoH-atom preide v stanje z vzporednima spinoma, ce se protonu ali elektronu spin obrne. Pri temodda foton z valovno dolzino 21 cm. Astronomi zaznajo EM valovanje s tako valovno dolzinoiz medzvezdnega prostora.

Koliksno povprecno magnetno polje, ki izvira iz magnetnega dipolnega momenta protona, cutielektron v H-atomu, ko ta preide med opisanima spinskima stanjema z izsevanjem fotona?

(0,05 T)

3. Pri atomih natrija se zaradi spinsko orbitalne sklopitve razcepi izsevana crta pri prehodu iz 3Pv 3S stanje v dve crti. Prva ima valovno dolzino 589,00 nm in ustreza prehodu 3P3/2 → 3S1/2,druga pa ima valovno dolzino 589,06 nm in ustreza prehodu 3P1/2 → 3S1/2. Koliksno efektivnomagnetno polje cuti elektron kot posledico svojega tirnega gibanja v natrijevem atomu?

(1,86 T)

7.4 Spekter rentgenskih zarkov

1. Kateri element ima valovno dolzino crte Kα enako 0,144 nm?

(cink)

2. Koliksna je valovna dolzina crte Kα pri aluminiju?

(0,84 nm)

3. Efektivni naboj, ki ga cuti elektron v M-ti lupini pri atomu z vrstnim stevilom Z=29 je priblizno(Z - 7,4). Poisci valovno dolzino crte Kβ za ta atom!

(0,124 nm)

30

4. V rentgenski cevi v tarco iz volframa (Z = 74) trkajo elektroni. S koliksno napetostjo najbodo vsaj pospeseni, da bomo v spektru izsevane svetlobe lahko opazili znacilni Kα in Kβ crti?Koliksna je najkrajsa valovna dolzina fotonov zavornega sevanja pri tej pospesevalni napetosti?Izracunaj valovno dolzino crt Kα in Kβ! Vezavna energija elektronov v volframovi K lupini je69,5 keV, v L lupini 11,3 keV in v M lupini 2,3 keV.

(69,5 kV; 17,9 pm; λKα = 21, 3 pm; λKβ = 18, 5 pm)

8 Molekule

8.1 Vodikova molekula

1. Energija, ki je potrebna, da odtrgamo elektron iz vodikovega atoma je 13,6 eV. Energija, ki jepotrebna, da odtrgamo elektron iz vodikove molekule, pa je 15,7 eV. Ali je razumljivo, da jeionizacijska energija vodikove molekule vecja od ionizacijske energije vodikovega atoma?

2. Protona v molekularnem ionu H+2 sta oddaljena 0,106 nm. Vezavna energija iona je 2,65 eV.

Koliksen negativni naboj bi morali postaviti na sredino med oba protona, da bi imel sistemp+ − xe−0 − p+ enako vezavno energijo?

(x = 0,30)

8.2 Rotacijska stanja

1. Koliksne so energije in valovne dolzine fotonov, ki jih molekule NO absorbirajo pri prehodihmed rotacijskimi stanji J = 1 → J = 2 in J = 2 → J = 3? Vztrajnostni moment molekule NOje 1,65×10−46 kgm2.

(0,84 meV, 1,47 mm; 1,26 meV, 0,98 mm)

2. Absorpcijska crta rotacijskega prehoda J = 0 → J = 1 ima v 12C16O frekvenco 1,153×1011 Hz.Pri neznanem izotopu ?C16O ima ista absorpcijska crta frekvenco 1,102×1011 Hz. Koliksno jemasno stevilo neznanega izotopa ogljika?

(13)

3. Koliksne so energije stirih najnizjih rotacijskih stanj molekul H2 in D2? Razdalja med jedromaje v obeh molekulah 0,106 nm.

(H2: 0 eV, 7,41 meV, 22,2 meV, 44,4 meV, 74,1 meV; D2: 0 eV, 3,7 meV, 11,1 meV, 22,2 meV,37,0 meV)

4. Rotacijski spekter molekule HCl ima absorpcijske crte pri valovnih dolzinah 12,03×10−5 m,9,60×10−5 m, 8,04×10−5 m, 6,89×10−5 m in 6,04×10−5 m. Molekulo sestavljata atoma 1Hin 35Cl. Koliksna je v molekuli razdalja med njunima jedroma?

(0,128 nm)

5. Molekula 200Hg35Cl seva pri prehodu med rotacijskima stanjema J = 1 in J = 0 fotone zvalovno dolzino 4,4 cm. Koliksna je medatomska razdalja v tej molekuli?

(0,223 nm)

31

6. Dvoatomna molekula HCl odda pri prehodu med dvema rotacijskima stanjema foton z valovnodolzino 156 µm. Katero je zacetno in katero je koncno stanje molekule? Razdalja med jedromaatomov H in Cl je 128 pm.

(Prehod: j = 3 → j = 2.)

7. Molekula O2 je na zacetku v rotacijskem stanju, ki ima rotacijsko energijo 2,16 meV. Koliksnaje vrtilna kolicina v tem stanju? Iz zacetnega stanja preide v stanje z manjso vrtilno kolicino.Koliksna je valovna dolzina izsevanega fotona? Razdalja med jedroma atomov je 121 pm.

(h√12; 1,16 mm.)

8.3 Vibracijska stanja

1. Vodikov izotop devterij ima priblizno dvakratno maso navadnega vodika. Katera od molekulH2 in HD ima vecjo vezavno energijo?

(HD, ker je vibracijska energija osnovnega stanja te molekule manjsa.)

2. Elasticna konstanta vezi v molekuli 1H19F je priblizno 966 N/m. Koliksna je vibracijskafrekvenca molekule?

(1,24 ×1014 Hz)

3. Energijska razlika med najnizjimi sosednjimi vibracijskimi nivoji v neki dvoatomni molekuli je0,266 eV, njena elasticna konstanta pa je 1,86 ×103 N/m. Eden od atomov je kisik 16O, katerije najverjetneje drugi?

(Ogljik.)

4. Predpostavi, da se molekula H2 obnasa kot harmonski oscilator z elasticno konstanto 573 N/m.Koliksna je energija osnovnega vibracijskega stanja? Koliksno je kvantno stevilo vibracijskegastanja, ki ima dovolj veliko energijo, da raztrga molekulo? Vezavna energija molekule je 4,5 eV.

(0,27 eV; 9)

5. Ogljikov monoksid je raztopljen v tekocem ogljikovem tetrakloridu. Raztopina absorbira se-vanje s frekvenco 6,42×1013 Hz. Ogljikov tetraklorid je za to frekvenco prozoren, zato sklepamo,da sevanje absorbirajo molekule CO. Koliksna je elasticna konstanta vezi v molekuli CO? Ko-liksna je energijska razlika med sosednjimi vibracijskimi stanji? Koliksna je amplituda nihanjamolekule CO v osnovnem stanju? Koliko odstotkov dolzine vezi je to, ce je ravnovesna razdaljamed jedroma 112 pm?

(1852 N/m; 0,265 eV; 4,78 ×10−12 m; 4,3%)

6. Odvisnost potencialne energije V dvoatomne molekule kisika O2 od razmika med jedroma rpriblizno izrazimo z

V (r) = V0(

e−2(r−r0)/a − 2e−(r−r0)/a)

kjer je V0 = 3 eV, a = 0, 12 nm, r0 pa je ravnovesna razdalja med jedroma. Koliksna je nihajnaenergija molekule kisika v osnovnem in v prvem vzbujenem stanju? Vzemi priblizek linearnegaharmonskega oscilatorja in upostevaj, da tezisce molekule miruje.

(0,023 eV; 0,070 eV)

32

7. Ob predpostavki, da so rotacijska stanja neodvisna od vibracijskih stanj molekule, ugotovi,koliko je rotacijskih stanj med osnovnim in prvim vzbujenim vibracijskim stanjem molekuleHF. Razdalja med atomoma v molekuli je 91,7 pm, njena lastna vibracijska frekvenca pa je1,24 ×1014 Hz.

(14)

8. Vibracijska frekvenca vodikove molekule ω je 8,25 ×1014 Hz, razdalja med jedroma pa je 74 pm.Koliko je rotacijskih stanj med osnovnim vibracijskim in prvim vzbujenim vibracijskim stan-jem?

(Osnovno in 7 vzbujenih.)

9 Statisticna mehanika

9.1 Maxwell–Boltzmannova statistika

1. Pri kateri temperaturi je tisocina atomov v plinu enoatomnega vodika v prvem vzbujenemstanju?

(14260 K)

2. Temperatura na povrsju Sonca je priblizno 5000 K. Koliko odstotkov vodikovih atomov je vosnovnem, prvem, drugem, tretjem,... vzbujenem stanju? Upostevaj degeneracijo razlicnihnivojev.

(Delezi atomov stanjih: osnovno 1 - 2,11 ×10−10, 1. vzbujeno 2,11 ×10−10, 2. vzbujeno5,8 ×10−12, ... )

3. Energija vzbujenega stanja Na atoma 32P1/2 je za 2,093 eV vecja kot energija osnovnega stanja32S1/2. Koliksno je razmerje med steviloma atomov v obeh stanjih v natrijevih parah pri1200 K?

(n(32P1/2)/n(32S1/2) = 4, 95× 10−9)

4. Mnozica elektronov, od katerih je vsak v svoji neskoncno visoki 1D potencialni jami s sirino0,9 nm, je v temperaturnem ravnovesju pri temperaturi 1500 K. Koliksno je razmerje medstevilom elektronov v drugem vzbujenem stanju in stevilom elektronov v prvem vzbujenemstanju?

(n(2)/n(1) = 0, 4)

5. V molekuli CO je razdalja med atomoma 0,113 nm. Koliksna je temperatura plina CO, ce ugo-tovimo, da je razmerje med stevilom molekul v drugem vzbujenem vrtilnem stanju in stevilommolekul v prvem vzbujenem vrtilnem stanju 1,55?

(6000 K)

6. Vztrajnostni moment molekule H2 je 4,64×10−48 kgm2. Koliko odstotkov molekul je v vrtilnihstanjih z J = 0, 1, 2, 3 in 4 pri 300 K? Ali obstaja temperatura, kjer sta zasedenosti stanj zJ = 2 in J = 3 enaki? Ce obstaja, koliksna je?

(N(J = 1) = N(J = 0)× 1, 69, N(J = 2) = N(J = 0)× 0, 89, N(J = 3) = N(J = 0)× 0, 22;1540 K)

33

7. Katero vrtilno stanje je najbolj zasedeno v plinu H2 s temperaturo 500 K? Ravnovesna razdaljamed atomoma v molekuli je 0,0742 nm.

(J = 1)

8. Klasicna frekvenca nihanja molekule H2 je 1,32×1014 Hz. Koliko odstotkov molekul je v vibraci-jskih stanjih z n = 0, 1, 2, 3, 4 pri 5000 K? Ali obstaja temperatura, pri kateri sta zasedenostistanj z n = 2 in n = 3 enaki? Ce obstaja, koliksna je?

(72%, 20%, 5, 7%, 1, 5%, 0, 4%; ne.)

9. Koliksen je delez vodikovih molekul, ki so pri temperaturi 875 K v osnovnem vibracijskemstanju, ter koliksen je delez molekul, ki so v osnovnem rotacijskem stanju? Ne pozabi upostevatidegeneracije. Upostevaj rotacijska stanja do vkljucno stanja z J = 8. Vztrajnostni momentmolekule H2 je 4,64×10−48 kgm2, vibracijska frekvenca pa 1,32×1014 Hz.

(1 - 7,2×10−4; 0,096.)

10. V magnetnem polju z gostoto 1 T je kilomol srebrovih par pri temperaturi 1300◦ C. Koliksna jerazlika med stevilom atomov s spinom v smeri magnetnega polja in stevilom atomov s spinomv nasprotni smeri? Atom srebra ima spin 1/2 in magnetni moment 1 µB.

(∆N = NA × 4, 27× 10−4)

9.2 Energije molekul v idealnem plinu

1. Poisci povprecno hitrost (〈v〉) in koren iz povprecnega kvadrata hitrosti (vrms =√

〈x2〉). Tri

molekule se gibljejo v isti smeri, dve imata hitrost 1,00 m/s, tretja pa 3,00 m/s. Koliksni sta〈v〉 in vrms, ce se tretja molekula giblje v nasprotni smeri kot prvi dve?

(〈v〉 = 5/3 m/s,√

〈v2〉 = 1,9 m/s; 〈v〉 = -1/3 m/s,√

〈v2〉 = 1,9 m/s)

2. Koliksna je povprecna kineticna energija molekul kisika pri sobni temperaturi? Primerjaj joz energijo, ki je potrebna za razbitje kisikove molekule in je reda velikosti 1 eV. Koliksna jetermicna kineticna energija 1 kg plina O2 pri temperaturi 20◦C?

(〈Wk〉 = 0,063 eV pri 20◦C; 1,9 ×105 J)

3. Pri kateri temperaturi je povprecna kineticna energija vodikovih molekul enaka vezavni energijivodikove molekule 4,5 eV?

(4,2 ×104 K)

4. Koliksno je razmerje med de Broglievo valovno dolzino kisikovega atoma pri temperaturi 20◦Cin njegovim premerom 4×10−10 m?

(0,0715)

5. Koliksna je razsiritev spektralne crte z valovno dolzino 656,3 nm v emisijskem spektru vodika,ki ima temperaturo 500 K?

(15,5 pm)

6. Izracunaj najverjetnejso velikost hitrosti molekul v plinu. Koliksna je ta hitrost za kisikovemolekule pri sobni temperaturi (20◦C)?

(najverjetnejsa hitrost =√

2kT/m; 390 m/s)

34

7. Koliksna je povprecna vrednost obratne vrednosti hitrosti za kisikove molekule pri sobni tem-peraturi?

(〈1/v〉 =√

2m/(πkT ))

8. Gostota toka nevtronov v curku, ki izhaja iz posode, v kateri so nevtroni v termicnem ravnovesjupri 300 K, je 1012 nevtronov/(m2s). Koliksna je gostota nevtronov v tem curku, ce je po-razdelitev hitrosti Maxwellska?

(N/V = 4× 108 m−3)

9.3 Planckov zakon

1. Koliko je fotonov v 1 cm3 prostora, v katerem je sevanje v termicnem ravnovesju pri temperaturi1000 K? Koliksna je njihova povprecna energija?

(2,03 ×1010; 0,233 eV)

2. Termograf meri energijski tok, ki ga izsevajo posamezni deli koze na cloveskem telesu. Za kolikoodstotkov se razlikujeta energijska toka, ki ju sevata dela koze s temperaturama 34◦C in 35◦C?

(1,3%)

3. Soncne pege so videti temne, ker je na teh mestih temperatura le 5000 K. Izven obmocja pegje na povrsju Sonca temperatura okoli 5800 K. Koliksno je razmerje svetlobnih tokov?

(1,81)

4. Za koliko odstotkov bi se zmanjsala gostota svetlobnega toka, ki prihaja s Sonca na Zemljo, cebi bila temperatura povrsine Sonca 10% nizja kot je sedaj?

(34,4%)

5. Koliko let traja, da Sonce izseva 1% svoje mase? Masa Sonca je 2,0×1030kg, radij Sonca7,0×108m, temperatura njegovega povrsja pa 5,8×103 K.

(1,45 ×1011 let)

6. Pri temperaturi 500◦C ravno zaznamo zarenje crnega telesa. Pri temperaturi 750◦C je telo zezivo rdece barve. Ce isto telo pri temperaturi 500◦C seva 1,00 kW, koliksna je sevalna moc pritemperaturi 750◦C?

(3,07 kW)

7. Oceni, koliksen delez svetlobnega toka izseva Sonce pri valovnih dolzinah rumene svetlobe med570 nm in 590 nm, za katero je clovesko oko najbolj obcutljivo. Predpostavi, da je temperaturana Soncevem povrsju 6000 K.

(2,5%)

8. Koliksna je gostota energije v vesolju zaradi prasevanja, katerega spekter odgovarja temperaturi2,7 K? Oceni stevilo fotonov v kubicnem metru hladnega vesolja ob predpostavki, da imajo vsifotoni enako valovno dolzino, ki ustreza maksimumu Planckove porazdelitve!

(4,01 ×10−14 J/m3; 2,16 ×108)

9. Koliksen del celotnega izsevanega toka se izseva kot vidna svetloba pri zarnici s temperaturonitke 1200◦C, ce seva kot crno telo?

35

10. Koliksen delez energijskega toka v soncni svetlobi se izseva pri valovnih dolzinah, ki so manjseod 100 nm? Sonce seva kot crno telo s temperaturo 5500 K.

11. Temperatura Soncevega povrsja je 6000 K. Kolikokrat vec energije odda s sevanjem v obmocjurumene in zelene svetlobe z valovno dolzino med 530 nm in 550 nm, v primerjavi z energijo, kijo odda s sevanjem vijolicne na enem (med 350 nm in 370 nm) in rdece na drugem robu (med680 nm in 700 nm) vidnega dela spektra?

(Eru−ze = 1, 23× Evijol = 1, 26×Erd)

12. Svetlobni tok, ki ga izseva Sirius, najsvetlejsa zvezda na nasem nebu, je 1, 2× 1028W (26-kratvec kot Sonce). Vrh porazdelitvene funkcije dj∗/dλ je pri λ0 = 290 nm. Koliksen je polmerSiriusa?

(1, 30× 106 km)

9.4 Fermi–Diracova statistika

1. Koliksna je Fermijeva energija v bakru, ob predpostavki, da vsak atom prispeva en elektronv elektronski plin? Gostota bakra je 8,94 kg/dm3, relativna atomska masa atoma bakra pa63,5 au (au = 1,66 ×10−27 kg).

(7,04 eV)

2. S Fermijevo energijo izrazi povprecno energijo elektronov v kovini pri absolutni nicli.

(3ǫF/5)

3. Fermijeva energija v bakru je 7,04 eV. Izracunaj razmerje med priblizno povprecno energijoelektronov v bakru pri sobni temperaturi in njihovo povprecno energijo, ki bi jo imeli, ce bizanje veljala Maxwellska porazdelitev.

(Maxwell: 〈E〉 = 0, 038 eV; FD: 〈E〉 = 4, 225 eV)

4. Fermijeva energija v srebru je 5,51 eV. Koliksna je povprecna energija prostih elektronov vsrebru pri 0 K? Pri koliksni temperaturi imajo atomi klasicnega plina tako povprecno kineticnoenergijo? Koliksno hitrost bi v klasicni obravnavi pripisali takim elektronom?

(3,31 eV; 2,56 ×104 K; 1,08 ×106 m/s)

5. Elektronski plin ima temperaturo T in Fermijevo energijo ǫF . Pri kateri energiji E1 je ver-jetnost, da so stanja zasedena, enaka 5%? Pri kateri energiji E2 je verjetnost, da so stanjazasedena, enaka 95%? Energiji E1 in E2 izrazi v kT in ǫF ! Koliksna je verjetnost, da jezasedeno stanje s Fermijevo energijo?

(E1,2 = ǫF ± kT ln 19; 0,5)

6. Gostota aluminija je 2,70 g/cm3 in njegova atomska masa 26,97 au. Vsak atom aluminija oddav elektronski oblak v kristalu 3 elektrone. Efektivna masa elektronov v aluminiju je 0,97 me.Koliksna je Fermijeva energija v aluminiju?

(12 eV)

7. Koliko elektronov prispeva v elektronski oblak vsak svincev atom? Gostota svinca je 1,1×104 kg/m3,Fermijeva energija je 9,4 eV in atomska masa 207,2 au.

(4)

36

8. Koliksen del prostih elektronov je v vzbujenih stanjih pri temperaturi 20◦C in koliksen pritemperaturi talisca bakra 1083◦C?

(0,36%; 1,66%)

9. Koliksen del prostih elektronov v kovini ima kineticno energijo, ki je vecja od polovice najvecjekineticne energije elektronov v tej kovini pri temperaturi 0 K?

(64,6%)

9.5 Specificna toplota snovi

1. Na spodnji sliki je v logaritmicni skali predstavljena specificna toplota enega mola plina vodika vodvisnosti od temperature. Ker vsaka prostostna stopnja gibanja molekul (translacija, rotacijain vibracija) v povprecju prispeva k notranji energiji po kT/2 na molekulo, lahko iz slikeocenimo, pri katerih temperaturah postanejo posamezni nacini gibanja pomembni. Pri nizkihtemperaturah (pod 100 K) so pomembne le tri translacijske prostostne stopnje. Pri srednjihtemperaturah (do 2000) so vzbujena tudi rotacijska stanja molekul (dva neodvisna nacina), prinajvisjih temperaturah (nad 2000) pa celo vibracijska stanja. Preveri razlago tako, da izracunas,koliksnima kT odgovarjata energija prvega vzbujenega rotacijskega stanja in energija prvegavzbujenega vibracijskega stanja. Pri teh temperaturah je priblizno polovica molekul v vzbujenihrotacijskih oziroma vibracijskih stanjih, nekatere so pa tudi v visjih vzbujenih stanjih kot j = 1ali n = 1. Predpostavi, da atoma vodika v molekulo veze vzmet s proznostno konstanto573 N/m in da je razdalja med vodikovima atomoma v molekuli vodika 7,42 ×10−11 m.

2. Izracunaj toplotno kapaciteto sevanja v termicnem ravnovesju pri 1000 K v votlini s prostornino1 dm3.

(W = 4σT 4V/c; Cv = (∂W/∂T )V = 16σT 3V/c = 3 nJ/K)

3. Oceni prispevek elektronov k specificni toploti bakra pri 1000 K in pri 1,6 K.

10 Atomsko jedro

10.1 Rutherfordovo sipanje

1. V Thompsonovem modelu atoma je po celotni prostornini atoma pozitivni naboj enakomernoporazdeljen. Analiziraj gibanje elektrona v takem atomu! Kaksno je to gibanje? Primerjajfrekvenco gibanja elektrona s frekvencami spektralnih crt vodikovega atoma!

37

2. Koliksen delez delcev α z energijo 7,7 MeV, ki vpadajo na zlato folijo debeline 3×10−7 m, sesiplje manj kot za 1◦? Koliksen delez bo sipan za vec kot 90◦? Vrstno stevilo zlata je 79, masnostevilo je 197 in njegova gostota je 1,93×104 kg/m3.

(0,84; 1, 2× 10−5)

3. Koliksna je najmanjsa razdalja, do katere se delec α z energijo 5,0 MeV pribliza jedru zlata, cese siplje za 10◦?

(0,284 pm)

4. Pokazi, da je delez protonov z energijo 2 MeV, ki se sipljejo bolj kot za nek kot θ, enak kotdelez delcev α z energijo 4 MeV!

5. Ugotovi, do katere razdalje se lahko jedru zlata najbolj priblizata alfa delec z energijo 7,7 MeVin proton z energijo 1 MeV.

(30 fm; 114 fm)

10.2 Lastnosti jedra

1. Koliko je v jedrih 63Li,

2210Ne,

9440Zr in

18072 Hf nevtronov in protonov?

(3 p, 3 n; 10 p, 12 n; 40 p, 54 n; 72 p, 108 n)

2. V naravi je bor mesanica dveh izotopov, 105 B in 11

5 B, in ima atomsko maso 10,82 u. Kolikoodstotkov vsakega od izotopov je v naravnem boru?

(18% 105 B, 82% 11

5 B)

3. Koliksna je energija elektronov, ki imajo valovne dolzine primerljive z dimenzijami jedra zlata19779 Au?

(λ ≈ 2R; 89 MeV)

4. Koliksno je razmerje med radijem Bohrove orbite 1s elektrona in radijem jedra pri atomu vodika11H in koliksno pri atomu urana 238

92 U?

5. Na podlagi lupinskega modela jedra znanstveniki ocenjujejo, da je jedro atoma z Z = 110 inA = 294 posebno dolgozivo. Oceni njegov radij!

(8 fm)

6. Koliksno je razmerje med povprecno gostoto atoma vodika 11H in gostoto njegovega jedra?

Predpostavi, da ima atom polmer prve Bohrove orbite.

(ρj/ρat = 8, 6× 1013)

7. Koliksni sta magnetni potencialni energiji elektrona in protona v magnetnem polju z gostoto0,10 T?

(proton: 8,8 ×10−9 eV, elektron: 5,8 ×10−6 eV)

38

10.3 Vezavna energija

1. Koliksna je vezavna energija na nukleon pri atomih 2210Ne,

5626Fe,

7935Br in

19779 Au?

(8,08 MeV/nukleon, 8,79 MeV/nukleon, 8,69 MeV/nukleon, 7,92 MeV/nukleon)

2. Koliksna energija je potrebna, da iz jedra 42He odstranimo najprej nevtron, nato iz preostalega

jedra proton in nazadnje se razdvojimo nevtron in proton? Primerjaj vsoto teh energij s celotnovezavno energijo 4

2He.

(20,6 MeV; 5,5 MeV; 2,2 MeV)

3. Prost nevtron razpade na proton in elektron. Koliksna mora biti najmanjsa vezavna energija,ki jo nevtron prispeva k jedru, da ne razpade, kadar je vezan?

(0,783 MeV)

4. Koliksna je vezavna energija nevtrona v jedru 11B in koliksna je vezavna energija protona vistem jedru?

(11,46 MeV; 10,67 MeV)

10.4 Kapljicni model

1. Uporabi semiempiricno formulo za vezavno energijo in izracunaj, koliksna je za jedro 4020Ca. Za

koliksen odstotek odstopa od dejanske vrednosti?

(Esemp = 348 MeV; Evez = 342 MeV)

2. S pomocjo semiempiricne formule najdi energijo, ki je potrebna, da iz jedra 81Kr, 82Kr ali83Kr odstranimo nevtron. Zakaj se energija, potrebna za odstranitev nevtrona iz 82Kr, mocnorazlikuje od ostalih dveh?

(7,76 MeV, 9,87 MeV, 7,04 MeV)

3. Dve jedri z enakim masnim stevilom in z vrstnima steviloma za kateri velja, da je Z1 = N2

in Z2 = N1, imenujemo zrcalni izobari. Zrcalna izobara sta npr. 157 N in 15

8 O. Konstanto a3v semiempiricni formuli lahko izracunamo iz razlike v masah takih izobarnih jeder, ce je enojedro sodo-liho, drugo pa liho-sodo. Izpelji izraz za a3 v odvisnosti od razlike med masama,njunih masnih stevil in manjsega od vrstnih stevil ter mas vodikovega atoma in nevtrona! Zizpeljanim izrazom izracunaj vrednost a3, ce za podatke uporabis zrcalni jedri 15

7 N in 158 O!

4. S semiempiricno masno formulo poisci najmanjso energijo fotona, ki iz jedra 56Fe izbije proton,in najmanjso energijo fotona, ki iz jedra izbije nevtron.

(proton: 9,4 MeV; nevtron: 11,7 MeV)

5. Kateri izobar z masnim stevilom 75 je po predvidevanjih kapljicnega modela najbolj stabilen?

(Z = 33, As)

6. Kateri izobar z masnim stevilom 120 je po predvidevanjih kapljicnega modela najbolj stabilen?

7. Pri katerih elementih so po predvidevanjih kapljicnega modela najbolj stabilna jedra z masnimistevili 97, 169, 80 in 194?

( 9742Mo, 169

68 Er, 8034Se,

19476 Os)

39

8. Uporabi kapljicni model in ugotovi, kateri od izobarov 12752 Te in 127

53 I (jod) razpade en v drugega.S katerim razpadom?

(12752 Te β−

−→12753 I)

9. S semiempiricno masno formulo izracunaj vezavno energijo in maso jeder 42He,

126 C, 56

26Fe,6528Ni,

9537Rb,

14155 Cs, 208

82 Pb, 21084 Po, 229

91 Pa, 23592 U, 238

92 U! Dobljene rezultate primerjaj s pravimi vrednostmi,podanimi v tabeli.

11 Radioaktivnost

11.1 Zivljenjska doba

1. Tritij razpada beta z razpolovno dobo 12,5 let. Koliksen del tritija bo ostal nerazpadel po 25letih?

(1/4)

2. Najverjetnejsa termicna kineticna energija nevtronov pri sobni temperaturi je 0,025 eV. Nakoliksni razdalji bo v curku nevtronov s tako energijo samo se polovica nerazpadlih? Razpolovnicas nevtrona je 10,3 minute, razpade pa na elektron, proton in antinevtrino.

(1350 km)

3. Koliksna je verjetnost, da neko jedro 38Cl razpade v casu 1 s? Razpolovna doba je 37,2 minuti.

(3,1 ×10−4)

4. Aktivnost nekega radionuklida se zmanjsa za 15% v 10 dneh. Koliksna je razpolovna doba tegaradionuklida?

(42,7 dni)

5. Aktivnost izotopa 55Co se vsako uro zmanjsa za 4%. Koliksen je razpolovni cas?

(17 ur)

6. Aktivnost enega grama 226Ra je 1 Ci. Koliksna je njegova razpolovna doba?

(1582 let)

7. Aktivnost nekega radionuklida merimo vsako uro. Izmerjene vrednosti so 80,5 MBq, 36,2 MBq,16,3 MBq, 7,3 MBq in 3,3 MBq. Poisci razpolovno dobo radionuklida!

(52,08 minut)

8. Razpolovni cas neona 25Ne je 15 ur. Koliko casa traja, da razpade 80% 25Ne? Katera jenajverjetnejsa razpadna reakcija?

(34,8 ur; beta razpad v 25Na)

9. Naravni torij 232Th razpada α z razpolovno dobo 1,4×1010 let. Neka skala je kristaliziralapred 3,5 milijardami let in danes vsebuje 0,10% torija. Koliksen % torija je vsebovala v casusvojega nastanka?

(0,12%)

40

10. Kos lesa iz anticnih rusevin ima aktivnost ogljika 14C 13 razpadov v minuti na gram ogljika, kiga vsebuje. Aktivnost ogljika 14C v zivem lesu je 16 razpadov v minuti na gram ogljika. Predkoliko leti so posekali drevo? Razpolovni cas ogljika 14C je 5760 let.

(Pred 1700 leti.)

11. Najtezja jedra so verjetno nastala v eksplozijah supernov, nato pa jih je ista eksplozija razpihnilapo vesolju. Po tej predpostavki je bil delez 235U in 238U ob casu eksplozije enak. Kasneje je izte snovi nastala Zemlja. Kdaj je bila eksplozija supernove, ce je danes na Zemlji le 0,7% 235Uin 99,3% 238U? Razpolovna doba 235U je 7×108 let, 238U pa 4,5×109 let.

(Pred 5,93 miljardami let.)

12. Pri radioizotopski preiskavi so bolniku v krvni obtok vbrizgali majhno kolicino raztopine, ki jevsebovala radioaktivni izotop 24Na. Aktivnost vbrizgane raztopine je bila na zacetku 2 × 103

razpadov na sekundo. Cez pet ur so bolniku odvzeli 1 cm3 krvi in izmerili njeno aktivnost, kije bila tedaj 16 razpadov/(min cm3). Razpolovni cas 24Na je 15 ur. Izracunaj prostornino krviv celotnem krvnem obtoku tega cloveka.

(6 litrov)

13. Radioaktivna jedra 24Na razpadajo z beta razpadom, razpolovni cas je 15 ur. Koliko elektronovemitira v eni uri 1,0 µg radioaktivnega izotopa 24Na?

(1, 2× 1015)

14. Pri reakcijah v jedrskem reaktorju nastane vsako sekundo 2,7× 109 jeder radioaktivnega izotopafosforja 32P. Koliksna je aktivnost tega izotopa v stacionarnem stanju, ko se stevilo jeder s casomne spreminja? Koliksno je stevilo jeder v stacionarnem stanju? Razpolovni cas izotopa 32P je14,3 dni. Ko reaktor zazenemo, jeder izotopa 32P se ni. Po koliksnem casu je aktivnost tegaizotopa polovica aktivnosti v stacionarnem stanju?

(2, 7× 109 Bq; 4, 8× 1015; 9,3 µs)

11.2 Razpadi α, β in γ

1. Jedro urana 232U razpada α v torij 228Th. Koliksna je energija, sproscena pri razpadu? Alilahko uran 232U razpade v uran 231U z emisijo nevtrona? Ali lahko razpade v protaktinij 231Paz emisijo protona?

(5,42 MeV; ne; ne)

2. Energija, sproscena pri α razpadu radija 226Ra, je 4,87 MeV. V kaj razpade? Koliksna jekineticna energija delca α in koliksna je kineticna energija nastalega jedra?

(222Rn; 4,78 MeV; 0,086 MeV)

3. Jedro polonija 210Po razpada z razpadom α. Zapisi reakcijo in oceni sprosceno energijo, uporabikapljicni model!

(9,86 MeV)

4. Jedro polonija 210Po razpade v jedro svinca 206Pb tako, da odda delec α. Koliksna je kineticnaenergija delca α?

(5,32 MeV)

41

5. Mirujoce jedro 200Pb v nekem trenutku emitira delec α s kineticno energijo 5,77 MeV. Zapisireakcijo. Koliksna je hitrost nastalega jedra? Koliksen del celotne energije, ki se sprosti obrazpadu zacetnega jedra, odnese α delec?

(vjed = 3, 4× 105 m/s; 98%)

6. Izotop 238U razpada z α in β− razpadi v verigi, v kateri je koncni stabilni izotop 206Pb. Kolikoα in koliko β− razpadov se zvrsti od 238U do 206Pb? Koliko energije se v celoti sprosti?

(8 α razpadov in 6 β− razpadov; 51,7 MeV)

7. Kateri izotop je na koncu verige petih α in stirih β− razpadov radioaktivnega jedra 226Ra?Koliksna je celotna reakcijska energija te verige razpadov?

(206Pb; 35,3 MeV)

8. Vzorec naravnega samarija z maso 1 g odda vsako sekundo 120 α delcev. Nestabilni izotop, kipri tem razpada, je 147Sm. V naravnem samariju je tega izotopa 15%. Zapisi razpadno reakcijoter izracunaj njen razpolovni cas.

(147Sm → 143Nd + α; t1/2 = 1,13×1011 let.)

9. S semiempiricno masno formulo poisci kineticno energijo delca α, ki ga odda jedro 229Pa prirazpadu α!

(Q = 11, 1 MeV, Wα = 10,9 MeV)

10. Za koliko mora biti vecja masa starsevskega elementa X od hcerinskega Y, da jedro X lahkorazpade v Y z emisijo delca α, z emisijo elektrona, pozitrona ali z ujetjem elektrona?

(α razpad: m(X) - m(Y) ≥ m(42He); β− razpad: m(X) - m(Y) ≥ 0; β+ razpad: m(X) - m(Y)

≥ 2m(e); ujetje elektrona: m(X) - m(Y) ≥ 0)

11. Jedro 7Be razpada v 7Li z ujetjem elektrona. Zakaj ne razpade z emisijo pozitrona?

(Ker m(7Be) - m(7Li) < 2m(e).)

12. Prosti nevtroni spontano razpadajo z β− razpadom. Zapisi reakcijo! Koliko energije se sprostiob razpadu mirujocega nevtrona? Koliksna je lahko najvecja kineticna energija emitiranegaelektrona? Predpostavi, da se ob nekem takem razpadu (mirujocega nevtrona) sproscena en-ergija porazdeli le med protonom in antinevtrinom. Koliksne so gibalne kolicine nastalih delcev?Narisi jih! Koliksna je energija antinevtrina, ki je brezmasni (ultrarelativisticen) delec?

(0,78 MeV; 0,78 MeV; ...)

13. Koliksna je najvecja kineticna energija, ki jo lahko ima elektron emitiran pri β− razpadu jedra12B?

(13,37 MeV)

14. Koliksna mora biti energija nevtrina, ki sprozi reakcijoν+37Cl→37Ar+e−

s katero eksperimentalno zaznajo nevtrine s Sonca?

(0,804 MeV)

42

15. Ko vzbujeno jedro emitira zarek γ, se nekaj sproscene energije porabi za odriv jedra. Koliksnoje razmerje med energijo zarka γ in odrivno energijo jedra z masnim stevilom 200? Emitirani γzarek ima energijo 2,0 MeV. Zivljenjska doba vzbujenega stanja jedra je reda velikosti 10−14 s.Primerjaj nedolocenost energije vzbujenega stanja z velikostjo odrivne energije!

(Wγ/Wodr = 1, 86× 105; ∆W/Wodr = 0, 02)

16. Prosto, mirujoce jedro 191Ir∗ v vzbujenem stanju, ki ima energijo za 129 keV vecjo od energijeosnovnega stanja, preide v osnovno stanje z emisijo fotona γ. Koliksen del energije, ki se sprostiob tem razpadu, odnese foton γ?

(pγc/Q = 1− 3, 6× 10−7)

17. Jedro tehnecija 95Tc razpade z zajetjem elektrona v molibden 95Mo. Pri tem se sprosti energija1,6 MeV. Koliksno energijo odnese nevtrino?

(Nevtrino odnese 1,6 MeV ×(1 − 9, 55× 10−6).)

12 Jedrske reakcije

12.1 Presek za jedrske reakcije

1. Plosca absorberja je debela ravno povprecno prosto pot delcev. Koliksen delez vpadnega curkadelcev je prepuscen?

(jprep = jvp/e)

2. Presek za ujetje termicnega nevtrona pri kobaltu 59Co je 37 b. Koliko odstotkov vpadnega curkanevtronov prodre skozi 1 mm debelo kobaltovo plocico? Gostota kobalta je 8,9×103 kg/m3.Koliksna je povprecna prosta pot termicnih nevtronov v kobaltu?

(71%; 3,0 mm)

3. Presek za interakcijo nevtrina s snovjo je priblizno 10−47 m2. Koliksna je povprecna prosta potnevtrinov v zelezu, ki ima gostoto 7,8×103 kg/m3 in povprecno masno stevilo 55,9 au. Odgovorizrazi v svetlobnih letih!

(125,7 svetl. let)

4. Borov izotop 10B ujame nevtron in izseva delec α. Presek za tako jedrsko reakcijo je 4,0×103 barnov.Gostota bora je 2,2×103 kg/m3. Kako debela mora biti plast bora, da absorbira 99% vpadnegacurka termicnih nevtronov?

(0,087 mm)

5. Naravni kobalt sestavlja predvsem izotop 59Co, katerega presek za absorpcijo termicnih nevtronovje 37 b. Ko kobalt 59Co absorbira nevtron, postane 60Co, ki je γ radioaktivem z razpolovnodobo 5,27 let. Vzorec 10 g naravnega kobalta je izpostavljen curku termicnih nevtronov zgostoto 5,00×1017 nevtronov/m2s za 10 ur. Koliksna je aktivnost vzorca po obsevanju?

(0,766 Ci)

43

12.2 Jedrske reakcije

1. Dopolni naslednje jedrske reakcije:63Li + ? →7

4Be +n3517Cl + ? →32

16S +42He

42He + 9

4Be → 342He + ?7935Br +

21H → 2n+ ?

(21H;11H; n;

7936Kr)

2. Koliksna je najmanjsa kineticna energija, ki jo mora imeti nevtron v laboratorijskem sistemu,da sprozi reakcijon+16

8 O+2, 20MeV →136 C+4

2He?

(2,34 MeV)

3. Jedro tritija s kineticno energijo 15 MeV trci v drugo enako mirujoce jedro. Pri tem nastanejodelec α in dva nevtrona. Koliksna je kineticna energija produktov v teziscnem sistemu?

(18,83 MeV)

4. Koliksna mora biti v laboratorijskem sistemu kineticna energija nevtrona, da lahko sprozireakcijo 14N+n→13N+2n ?

(11,31 MeV)

5. Koliksno kineticno energijo mora imeti najmanj proton, ki trci ob mirujoce jedro devterija, daga razcepi? Zapisi reakcijo.

(3,34 MeV; p++2H → p++1H+n)

6. Koliksno minimalno kineticno energijo mora imeti proton, da lahko sprozi reakcijo15N+p→15O+n ?

(3,77 MeV)

12.3 Razcep in zlivanje jeder

1. Jedro 238U se spontano razcepi na 96Y in 140I ter dva nevtrona. Koliksna je sproscena energija?Uporabi semiempiricno formulo!

(165,5 MeV)

2. Jedri tritija in devterija se spojita v helij, sprosti pa se nevtron. Zapisi reakcijo! Koliksna jesproscena energija?

(17,6 MeV)

3. Oceni, koliko vodika zgori v helij vsako sekundo v Soncu, ce predpostavis, da izvira vsa energija,ki jo Sonce izseva, iz te reakcije. Gostota energijskega toka, ki pride do Zemlje, je 1,4 kW/m2,oddaljenost Zemlje od Sonca je 1,5×1011m. Na Soncu tece reakcija41H→4He+2e+ + 2ν,pri kateri se sprosti 24,7 MeV.

(6,7 ×1011 kg)

4. Glavna reakcija v Soncu je zlivanje vodikovih jeder v helijeva. Obicajno poteka v treh korakih

44

• 2 (p+ + p+) → 2(2H + e+)

• 2(p++2H) → 2(3He)

• 3He + 3He → 4He +2p+

Koliko energije se sprosti v celotnem zaporedju reakcij, ki vodijo k nastanku enega jedra 4He?

(24,7 MeV)

45