Opsta teorija relativnosti

7/21/2019 Opsta teorija relativnosti

1/27

OPSTA TEORIJA RELATIVNOSTI

Voja Radovanovic

Fizicki fakultet, Univerzitet u Beogradu
http://find/http://goback/


2/27
http://find/


3/27

Dogadjaj: t, x, y, z u S;t, x, y, z u S

Galilejeve transformacije:

t = t

r = r Vt . (1)Njutnova mehanika ima Galilejevu simetriju.

Figure :
http://find/


4/27

Maksvelove jednacine

divE(r, t) = (r, t)/0 (2)

divB(r, t) = 0 (3)

rotE(r, t) =

B

t (4)

rotB(r, t) = 0

j(r, t) +0

E

t

. (5)

Simetrija: Lorencove transformacije

4 / 27
http://find/


5/27

2d ravan, Pitagorina teorema

ds2 = dx2 + dy2 , (6)

po Pitagorinoj teoremi.

Ddimenzioni prostora, kvadrat rastojanja izmedju bliskihtacaka je

ds2 =gijdxidxj , (7)

gde su xi, i= 1, . . . ,D koordinate, a gijkomponente metrickogtenzora.

Sfera poluprecnika r= 1:

ds2 = d2 + sin2()d2 , (8)
http://find/


6/27

Sfera je primer dvodimenzionog zakrivljenog prostora.

i su sferne koordinate.Komponente metrickog tenzora g11 = 1, g22 = sin2(), g12 = 0 .

Prostor Minkovskog

ct=x2 +y2 +z2 (9)

odnosnoc2t2 x2 y2 z2 = 0 . (10)

Koordinate dogadjaja su x0 =ct, x1 =x, x2 =y, x3 =z. Kvadratintervala izmedju bliskih dogadjaja je

ds2 = dt2 +dx2 +dy2 +dz2 .
http://find/


7/27

Metrika

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Indeksi i uzimaju vrednosti iz skupa{0, 1, 2, 3}. Lorencovetransformacije ne menjaju ovu metriku, tj. one sutransformacije izmedju inercijalnih sistema.

7 / 27
http://find/


8/27

Neinercijalni sistemiInercijalne sile ponistavaju neinercijalne efekte. Npr. telo uautobusu koji ubrzava sa a0

ma =Fma0 (11)

Inercijalna masa mije jednaka gravitacionoj masi mg:

mia=

m

g

a=

. (12)

Ubrzanje tela ne zavisi od mase. Sva tela se krecu na istinacin. Gravitaciona interakcija je ista za svecestice. Znalose i pre Ajnstajna, ali je on shvatio dubok smisao ovecinjenice.

Slabi princip ekvivalencije: Kretanje tela u gravitacionompolju je isto kao i u slobodno padajucem sistemu.Lokalni eksperiment ne moze da detektuje gravitacionopolje.
http://find/


9/27

Jaki princip ekvivalencije: Fizika u slobodno padajucem sistemu ugravitacionom polju je ista kao fizika u prostoru Minkovskog.Ovo vazi lokalno, u malom delu prostora.
http://find/


10/27

Ajnstajn je duboko verovao da princip ekvivalencije vazi i zasvetlost.

Spolnji posmatrac: Trajektorija svetlosti z= 0, x=ct .Posmatrac u liftu koji ubrzava sa stalnim ubrzanjem g:Veza izmedju koordinata

z =z gt2

2 .

Vidi se da je

z = gt2

2 .

Svetlost skrece u gravitacionom polju.
http://goforward/http://find/http://goback/


11/27

Smenom koordinata mogu da ponistim gravitaciju.
http://find/


12/27

Jednakost izmedju gravitacione i inercijalne mase sugeriseblisku vezu gravitacije i inercije.

lokalno: GRAVITACIJA = INERCIJA = UBRZANJE

U opstem slucajuds2 =g(x) dx

dx

g(x) jemetrikai u Rimanovoj geometriji ova velicinapotpuno opisuje geometriju prostora.
http://find/


13/27

U lokalno ravnom sistemu (STR) je

d2a

d2 = 0, d2 = abdadb

Prelaskom na proizvoljne koordinate a x() dobijamojednacinu kretanjacestice

d2x

ds2 +

dx

ds

dx

ds = 0

je tzv. koneksija. Igra ulogu sile i u Opstoj relativnosti

povezana je sa metrikom.
http://find/


14/27

Metrika Kristofelov simbol Rimanov tenzor krivine

Ricijev tenzor

skalarna krivina prostora

Kristofelov simbol

=1

2g(g+g g) (13)

Rimanov tenzor krivine

R=

+ . (14)

Ricijev tenzorR=R

Skalarna krivinaR=gR .
http://find/


15/27

Ajnstajnove jednacine, dinamicke jednacine za metriku:

R12gR=

8G

c4 T+

c2g

Struktura ove jednacine je:

GEOMETRIJA = MATERIJA

John Wheeler: Materija kaze prostor-vremenu kako da se

zakrivi, a prostor-vreme materiji kako da se krece.

je kosmoloska konstanta.Eksperimentalno

8G = 1012eV4

Teorijski (KTP)=energija vakuuma

10112eV4

Razlika 120 redova velicine.
http://find/


16/27

Neka karakteristicna resenja Ajnstajnovih jednacina su nadjena

odmah, kao sto su odmah proverene prve eksperimentalneposledice. Za male vrednosti krivine odnosno u skoro praznomprostoru Ajnstajnove jednacine svode se na jednacine Njutnovegravitacije.

16 / 27
http://find/


17/27

Svarcsildova crna rupa(1916)

ds2 =

1 2Gmrc2

dt2 +

1

1 2Gmrc2

dr2 +r2d

Horizont dogadjajaje sfera r

= 2mG

/c2

gde vreme i radijalnakoordinata menjaju uloge: cestice, kad predju horizontdogadjaja, mogu da se krecu samo u jednom smeru, kacentru. Za Sunce horizont dogadjaja je

rh =2Gm

c2 = 3km .
http://find/


18/27

Horizont dogadjaja je koordinatni singularitet. Slobodnopadajuci posmatrac za konacno vreme (po svom satu) pada ucrnu rupu. Za posmatraca iz beskonacnosticestici trebabeskonacno puno vremena da dostigne horizont dogadjaja.

Tacka r= 0 je prava singularnost

RR =48G2m2

r6


19/27

Gravitacioni crveni pomak:Sat sporije radi u gravitacionom polju. Stacionarni

posmatrac meri sopstveno vreme

d=g00dt=

1 2Gm

c2r dt


20/27

Eksperiment: Pound, Rebka (1960)F57e

je

emiter (linija 14.4KeV) i nalazi se na povrsiniZemlje. Foton se emituje vertikalno navise. Na vrhu fotonje crveno pomeren zbog gravitacionog crvenog pomaka, tj.ima manju frekvencu nego u podnozju. Sa druge strane zbogkretanja izvora dolazi do obicnog Doplerovog efekta. DvaDoplerova efekta se ponistavaju i dolazi do rezonatne

apsorpcije fotona.

Racun12

= 1 +1 1

c2 gh

c2 = 2.46 1015

Eksperiment:12

= (2.57 0.26) 1015
http://find/


21/27

21 / 27
http://find/


22/27

Precesija perihela Merkura:

Perihel-tacka elipti

cke orbite najbli

za Suncu.Pokusaji da se precesija perihela u okviru Njutnove

gravitacije objasni uticajem drugih planeta ili postojanjemnove planete (Vulkan) neuspesni.Resavanjem geodezijskih jednacina dobijamo jednacinutrajektorije cestice u Svarcsildovoj metrici.

Ugao precesije

= 6GM

c2(1 e2)a (16)

sto je= 42.98/vek (17)

Eksperimentalna vrednost = 43/vek
http://find/


23/27

23 / 27


24/27

Skretanje svetlosti u blizini SuncaU okviru Ajnstajnove teorije ugao skretanja je

=4GM

c2D = 1, 75 (18)

Njutnova teorija daje dva puta manji rezultat.

Edington, Dyson (1919), pomracenje Sunca

Kvazari emituju EMT koji skrecu prolazeci u blizini Sunca
http://find/


25/27
http://find/


26/27

Hokingovo zracenje crnih rupa.

T = 18GM

= 6 108KMsM

Veliki prasak.

Gravitacija je dobra ali ne dovoljno dobra. Na maloj skali?

Na velikoj skali -dark enerrgyOpsta relativnost je nekompletna teorija (singularnosti).Na Plankovoj skali 1035m mora da se nesto dramaticno desi.Kvantna gravitacija =QM+OTR?Fajnmanovi dijagrami - sadrze beskonacnosti;remnormalizacija QED, SM

Neunitarna, nerenormalizabilna teorija i zbog toga nijeprediktabilna.
http://find/


27/27

Kosmologija=evolucija svemiraSvemir se siri ubrzano (antigravitacioni efekt)Svemir je prostorno ravanTamna materija/energija

Modifikacije prostor-vremena i koncepta tackastecestice:teorija superstruna,supergravitacija,ekstra dimenzije,nekomutativnost prostora,loop-kvantna gravitacija

Documents

Opsta teorija relativnosti