1

Roman Barlik

PODSTAWOWE TRANSFORMACJE UK ADÓW WSPÓ RZ DNYCH STOSOWANE W ENERGOELEKTRONICE

1.Wprowadzenie

Zasadniczym zadaniem uk adów energoelektronicznych jest przekszta canie energii elektrycznej zapewniaj ce odpowiednie przebiegi warto ci chwilowych napi , pr dów i innych wielko ci elektromagnetycznych tak, aby by y one optymalne z punktu widzenia poprawnego i efektywnego energetycznie dzia ania odbiorników jak i róde energii. Jest to mo liwe nie tylko dzi ki rozwojowi ró nych topologii obwodów g ównych przekszta tników, ale tak e, a mo e przede wszystkim, dzi ki coraz wydajniejszym, wyposa onym niejednokrotnie systemy mikroprocesorowe, uk adom sterowania, w których nast puje przetwarzanie sygna ów steruj cych, reprezentuj cych odpowiednie wielko ci fizyczne, wyst puj ce w obwodach g ównych przekszta tnika, ród ach energii lub odbiornikach. Szczególnie trudne zadania stoj przed uk adami steruj cymi, stosowanymi w przekszta tnikach trójfazowych, w których zwielokrotnienie funkcji obliczeniowych jest bezpo rednio zwi zane z liczb faz oraz z wi kszym stopniem z ono ci zjawisk zarówno w trójfazowych sieciach zasilaj cych takie przekszta tniki, jak i w trójfazowych odbiornikach, do których nale przede wszystkim trójfazowe maszyny pr du przemiennego o cz stotliwo ciowo regulowanej pr dko ci k towej. Wydatne zmniejszenie stopnia z ono ci torów przetwarzania sygna ów w systemach sterowania przekszta tników energoelektronicznych, a tak e opisów analitycznych odnosz cych si do modeli samych przekszta tników jak i wspó pracuj cych z nimi obiektów, uzyskuje si dzi ki transformacji wyst puj cych w rzeczywisto ci zmiennych lub przemiennych wielko ci trójfazowych, w wielko ci reprezentowane przez przemienne sygna y dwufazowe a nawet w niektórych przypadkach w atwe do kontroli sygna y sta e w czasie. Na rys. 1.1 przedstawiono przyk ady typowych uk adów sterowania stosowanych w nowoczesnych nap dach przekszta tnikowych oraz trójfazowych, dwukierunkowych pod wzgl dem przekazywania energii, przekszta tnikach sieciowych PWM, s cych jako ró nego rodzaju zasilacze napi cia sta ego i umo liwiaj cych nastawianie wspó czynnika mocy. Podobne struktury uk adów sterowania wyst puj te w pewnych odmianach przekszta tników sieciowych, do których nale m.in. równoleg e filtry energoelektroniczne (tzw. filtry aktywne) i kompensatory mocy biernej. W Wi kszo ci przypadków tego typu przekszta tników przetwarzanie sygna ów steruj cych obejmuje transformacje: - wielko ci trójfazowych, opisanych w stacjonarnym (nieruchomym) uk adzie wspó rz dnych naturalnych A,B,C w wielko ci dwufazowe, okre lone w stacjonarnym uk adzie wspó rz dnych ortogonalnych , , - wielko ci dwufazowych , w wielko ci trójfazowe A,B,C, - wielko ci dwufazowych lub trójfazowych A,B,C w wielko ci okre lone w uk adzie wspó rz dnych ortogonalnych d, jq, wiruj cym synchronicznie z pr dko ci k tow równ pulsacji wielko ci dwu- lub trójfazowych, - wielko ci okre lonych w uk adzie odniesienia d, jq w wielko ci dwu- lub trójfazowe. Rys. 1.2 przedstawia fragment schematu blokowego uk adu sterowania, w którym jest dokonywana operacja przekszta cania trójfazowych wielko ci niesymetrycznych w dwa systemy trójfazowe symetryczne tzw. kolejno ci zgodnej (XI) i przeciwnej (XII). Tego typu

2

operacje s wymagane m.in. w uk adach sterowania przekszta tników, które powinny poprawnie dzia przy niesymetrycznym napi ciu zasilaj cym b te w warunkach kompensacji niepo danych sk adowych pr dów pobieranych z sieci [7, 9, 10].

Rys. 1.1. Typowe struktury uk adów sterowania przekszta tników trójfazowych: a) przekszta tnik w uk adzie nap dowym; b) zasilacz o w ciwo ciach kompensuj cych z obwodem wyj ciowym o charakterze ród a napi cia sta ego

3

Rys. 1.2. Uk ad dekompozycji trójfazowych wielko ci niesymetrycznych xA, xB, xC na sk adowe symetryczne o kolejno ci zgodnej x(A,B,C)I i przeciwnej x(A,B,C)II, pozwalaj cy na uzyskanie wielko ci sta ych xdI, xq1 oraz xdI, xqII , okre lonych w uk adach wspó rz dnych wiruj cych w przeciwnych kierunkach odpowiednio z pr dko ci i - W dalszej cz ci materia u przedstawiono teoretyczne podstawy wymienionych wy ej transformacji. Do opisów analitycznych za czono odpowiednie interpretacje graficzne. 2. Sk adowe symetryczne trójfazowych wielko ci niesymetrycznych

W uk adach sterowania przekszta tników wspó pracuj cych z sieci trójfazow o niesymetrycznych napi ciach b te zasilaj cych niesymetryczne odbiorniki z przewodem neutralnym istnieje potrzeba dekompozycji trójfazowych wielko ci niesymetrycznych (napi , pr dów, strumieni) na trzy trójfazowe uk ady symetryczne, ró ni ce si mi dzy sob kolejno ci nast pstwa poszczególnych faz. Uk ady sk adowych symetrycznych s okre lane w skrócie jako sk adowe zgodne, przeciwne i zerowe b te odpowiednio jako sk adowe symetryczne pierwszego, drugiego i trzeciego rz du [2, 5]. Wydzielanie sk adowych symetrycznych o kolejno ci zgodnej, przeciwnej jest cz sto stosowane w uk adach sterowania trójga ziowych trójfazowych przekszta tników sieciowych, zapewniaj c pobór sinusoidalnego i symetrycznego pr du nawet przy niesymetrycznym i odkszta conym napi ciu sieci [7, 8, 9]. Rz dy sk adowych symetrycznych odpowiadaj liczbie okre laj cej krotno k ta 2 /3 z jakim nast puj po sobie kolejne wskazy symetrycznych wielko ci fazowych. Zgodnie z podan przez Fortescue’a [2, 4, 9] teori sk adowych symetrycznych, ka dy system trójfazowych wielko ci sinusoidalnych niesymetrycznych fazowych lub mi dzyfazowych (przewodowych, liniowych), reprezentowanych przez wskazy (fazory) XA, XB i XC (z nast pstwem faz A – B – C), których modu y jak i wzajemne przesuni cia fazowe mog by ró ne, mo na roz na sk adowe symetryczne XAI, XBI, XCI o kolejno ci faz zgodnej z kolejno ci faz wielko ci dekomponowanych, na sk adowe symetryczne XAII, XBII, XCII o kolejno ci przeciwnej (A – C – B) w stosunku do nast pstwa wielko ci fazowych pierwotnych oraz na sk adowe symetryczne XA0, XB0, XC0 o kolejno ci zerowej, wykazuj ce przesuni cia fazowe równe wielokrotno ci k ta pe nego. Ujmuj to nast puj ce wzory:

C0CIICI

B0BIIBI

A0AIIAI

C

B

A

XXXXXXXXX

XXX

(2.1)

oraz

4

A0

AII

AI

2

2

C

B

A

XXX

1aa1aa111

XXX

(2.2)

Wszystkie wielko ci wyst puj ce we wzorach (2.1) i (2.2) s wskazami zespolonymi, przy czym operator obrotu a = ej2 /3 powoduje obrót wskazu o k t 2 /3 w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wskazy sk adowych symetrycznych zgodnych, przeciwnych i zerowych s okre lone nast puj cymi zale no ciami:

C

B

A

I

C

B

A

2

2

2

CI

BI

AI

XXX

FXXX

1aaa1a

aa1

XXX

31

(2.3)

C

B

A

II

C

B

A

2

2

2

CII

BII

AII

XXX

FXXX

1aaa1aaa1

XXX

31

(2.4)

C

B

A

0

C

B

A

C0

B0

A0

XXX

FXXX

111111111

XXX

31

(2.5)

przy czym IF , IIF , 0F - macierze transformacji wg Fortescoue’a. Cz sto wskazy sk adowych symetrycznych wielko ci wyst puj cej w fazie A przyjmuje si jako wskazy reprezentuj ce trzy kompletne systemy sk adowych symetrycznych. Mo na to wyrazi nast puj cymi wzorami:

C

B

A2

2

A0

AII

AI

0

II

I

XXX

111aa1aa1

XXX

XXX

31

(2.6)

oraz

0

II

I2

2

C

B

A

XXX

111aa1

aa1

XXX

(2.7)

Wzór (2.7) jest to samy ze wzorem (2.2). Znaj c sk adowe symetryczne XI, XII i X0 mo na atwo wyznaczy sk adowe symetryczne wielko ci wyst puj cych we wszystkich fazach.

5

Wskazy zespolone wielko ci fazowych oraz warto ci chwilowe tych wielko ci s okre lone wzorami

B

B

A

jCm

jBm

jAm

eXeXeX

C

B

A

XXX

(2.8)

)sin()cos(Re)sin()cos(Re)sin()cos(Re

ReReRe

CCCm

BBBm

AAAm

tj

tj

tj

C

B

A

tjtXtjtXtjtX

eee

xxx

C

B

A

XXX

(2.9)

gdzie: XAm, XBm, XCm – amplitudy sinusoidalnych wielko ci trójfazowych wielko ci fazowych, podlegaj cych transformacji. W przypadku, gdy wielko ci te s symetryczne, wówczas XAm,=XBm,= XCm oraz B = A+ 4 /3 , C = A+ 2 /3. Na rys. 2.1 przedstawiono sposób wyznaczania wskazów sk adowej symetrycznej zgodnej (XAI), przeciwnej (XAII) i zerowej (XA0) wybranej sinusoidalnie przemiennej wielko ci fizycznej wyst puj cej w fazie A przy danych wskazach XA, XB i XC dekomponowanego niesymetrycznego systemu trójfazowego, wiruj cego w nieruchomym uk adzie wspó rz dnych zespolonych (ReX, ImX) z pr dko ci k tow . Wykresy wskazowe z rys. 2.2, stanowi ce geometryczna interpretacj wzorów (2.1) – (2.5) prezentuj trzy uk ady sk adowych symetrycznych oraz ich sum w postaci trzech niesymetrycznych wskazów XA, XB i XC, równych odpowiednim wskazom z rys. 2.1. Sk adowe rzeczywiste wskazów zespolonych wyst puj cych we wzorach (2.1) – (2.9) s równe warto ciom chwilowym wielko ci fizycznych wyst puj cych w poszczególnych fazach. St d te na podstawie wzoru (2.1) mo na ka z warto ci chwilowej xA, xB i xC niesymetrycznego uk adu trójfazowego przedstawi jako sum warto ci chwilowej sk adowej symetrycznej o kolejno ci zgodnej (xAI, xBI lub xCI), przeciwnej (xAII, xBII lub xCII) oraz zerowej (xA0, xB0 lub xC0) [7], tzn.

)cos()3

2cos()3

2cos( 00 iimiIIimIIiIimIi tXktXktXx (2.10)

przy czym: k = 0, 1, 2 odpowiednio dla i = A, B, C ; XimI, XimII, Xim0 – amplitudy warto ci chwilowych sk adowych o kolejno ci zgodnej, przeciwnej i zerowej.

6

Rys. 2.1. Wyznaczanie sk adowych symetrycznych wybranej sinusoidalnej przemiennej wielko ci fizycznej w fazie A trójfazowego niesymetrycznego systemu opisanego wskazami XA, XB i XC: a) sk adowa symetryczna XAI kolejno ci zgodnej (równa XI); b) sk adowa symetryczna XAII kolejno ci przeciwnej (równa XII); c) sk adowa symetryczna XA0 kolejno ci zerowej (równa XA0)

7

Rys.2.2. Sk adowe symetryczne kolejno ci zgodnej (nast pstwo faz: A – B - C), przeciwnej (nast pstwo faz: A – C – B) i zerowej (a) oraz ich suma, tworz ca niesymetryczny system wielko ci trójfazowych o wskazach XA, XB i XC (b). Sk adowe symetryczne wiruj z pr dko ci k tow w nieruchomym uk adzie wspó rz dnych ImX, ReX Interpretacj zale no ci (2.9) przedstawiono na rys. 2.3, z którego wynika, e: - po dokonaniu transformacji warto ci chwilowych trzech rzeczywistych wielko ci sinusoidalnych xA, xB i xC, tworz cych system trójfazowy niesymetryczny uzyskuje si trzy uk ady trójfazowych wielko ci sinusoidalnych symetrycznych o kolejno ci zgodnej, przeciwnej i zerowej, przy czym sk adowe kolejno ci zerowej s wzajemnie przesuni te o k t pe ny,

8

- amplitudy warto ci chwilowych wielko ci tworz cych trzy systemy z one ze sk adowych symetrycznych nie s od siebie uzale nione, - trzy systemy trójfazowych wielko ci symetrycznych wiruj w tym samym kierunku z ta sam pr dko ci k tow . W uk adzie o kolejno ci przeciwnej wyst puje jedynie inna sekwencja faz. - sk adowe symetryczne o kolejno ci przeciwnej i zerowej wyst puj tylko w przypadku trójfazowego systemu niesymetrycznego; - sk adowe symetryczne o kolejno ci zerowej wykazuj c przesuni cie fazowe równe k towi pe nemu - pokrywaj si .

Rys.2.3. Warto ci chwilowe sk adowych symetrycznych o kolejno ci zgodnej (a), przeciwnej (b) i zerowej (c) oraz wypadkowy niesymetryczny uk ad wielko ci trójfazowych (d) jako suma sk adowych symetrycznych w poszczególnych fazach

9

Niesymetri wielko ci trójfazowych okre la si za pomoc wspó czynnika niesymetrii, wyra onego wzorem

I

II

XX

Nw (2.11)

W przypadku, gdy dekomponowane niesymetryczne wielko ci trójfazowe s odkszta cone, wówczas transformata Fortescue’a, s uszna tylko dla trójfazowych wielko ci sinusoidalnych, odnosi si do poszczególnych sk adowych harmonicznych wyst puj cych w zespolonym szeregu Fourier’a, opisuj cym przekszta cane wielko ci trójfazowe. Dla wielko ci pozbawionych sk adowych zerowych otrzymuje si

11

)(

h

tjh

h

thjimhI eeX ihI

ihIiI Xx (2.12)

11

)(

r

tjhh

r

thjimhII eeX irII

IIiiII Xx (2.13)

przy czym: xiI, xiII – zespolone szeregi Fouriera wypadkowych trójfazowych uk adów o kolejno ci zgodnej i przeciwnej; i = A, B, C (oznaczenie faz); XimhI, XimhII – amplitudy harmonicznych rz du h, tworz cych systemy sk adowych symetrycznych o kolejno ci zgodnej i przeciwnej; XihI, XihII – wskazy sk adowych symetrycznych kolejno ci zgodnej i przeciwnej dla harmonicznych rz du h. Dla symetrycznych i odkszta conych wielko ci trójfazowych wy szym harmonicznym rz du 3j odpowiadaj sk adowe kolejno ci zerowej (j = 1, 2, 3,…), harmonicznym rz du h = 3j + 1 odpowiadaj sk adowe symetryczne o kolejno ci zgodnej (j = 0, 1, 2, …) a harmonicznym rz du h = 3j – 1 odpowiadaj sk adowe symetryczne o kolejno ci przeciwnej (j = 1, 2, …) [2]. 3. Odwzorowanie wielko ci trójfazowych w nieruchomym uk adzie wspó rz dnych prostok tnych ,

Jedno z najcz ciej stosowanych w energoelektronice przekszta ce polega na przedstawieniu warto ci chwilowych wielko ci xA, xB, xC , tworz cych system trójfazowy, za pomoc jednego wektora, zwanego wektorem przestrzennym (ang. space vector, niem. Raumzeiger), którego modu i k t fazowy (po enie) s funkcjami czasu. Wykorzystanie tego typu transformacji pozwala przede wszystkim zmniejszy liczb przetwarzanych sygna ów w uk adach sterowania przekszta tników trójfazowych, z trzech, odpowiadaj cych chwilowym wielko ciom trójfazowym, zwykle do dwóch, okre laj cych aktualne wspó rz dne hodografu wektora przestrzennego. Upraszcza to realizacj uk adu sterowania przekszta tnika, szczególnie wtedy, gdy modele odbiornika (np. maszyny trójfazowej pr du przemiennego) lub obwodu zasilania (trójfazowa sie pr du przemiennego) mog by równie opisane za pomoc wektora przestrzennego. Wektor przestrzenny u atwia tak e algorytmizacj sterowania zaworów pó przewodnikowych przekszta tników trójfazowych z

10

zastosowaniem metod modulacji szeroko ci impulsów, a w tym bardzo popularnej metody modulacji wektorowe, (ang. space vector modulation – SVM).

W przypadku transformacji wielko ci xA, xB, xC, tworz cych uk ad trójfazowy, w którym nie wyst puj sk adowe symetryczne o kolejno ci zerowej (np. napi cia przewodowe, pr dy fazowe odbiornika po czonego w trójk t, pr dy fazowe odbiornika po czonego w gwiazd bez przewodu neutralnego, sinusoidalne pr dy i napi cia trójfazowego symetrycznego odbiornika po czonego w gwiazd z przewodem neutralnym) mog by odwzorowane za pomoc wektora przestrzennego, opisanego nast puj zale no ci

CBAT xxxk 2aa1X (3.1)

przy czym: 1, a = ej2 /3, a2 = ej4 /3 – jednostkowe wektory kierunkowe (wersory), kT – wspó czynnik transformacji. Dla kT = 2/3 otrzymuje si równo warto ci chwilowych (po transformacji odwrotnej) a dla kT = 3/2 - równo warto ci mocy chwilowych. Sk adowe wektora przestrzennego, b cego funkcj wektorow zmiennej skalarnej, jak jest czas, s iloczynami odpowiedniego wektora jednostkowego (o d ugo ci równej jedno ci) i warto ci chwilowej danej wielko ci fazowej (liniowej, przewodowej) decyduj cej o d ugo ci wektora sk adowego. Wersory: 1, a, a2 wyznaczaj kierunki osi uk adu trójfazowego o kolejno ci faz A, B, C, przy czym s one wzajemnie przesuni te o k ty 2 /3, licz c w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. O fazy A pokrywa si z wersorem jednostkowym 1. Osie A, B, C tworz uk ad wspó rz dnych nieruchomych (stacjonarnych), w którym wiruje wektor przestrzenny, obracaj c si zgodnie z nast pstwem faz, tzn. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wspó rz dne A, B, C s okre lane mianem stacjonarnego uk adu wspó rz dnych naturalnych. Wektor przestrzenny X nie mo e by uto samiany ze wskazami stosowanymi w elektrotechnice do zapisu skutecznych warto ci zespolonych.

W celu umo liwienia jednoznacznego opisu wektora przestrzennego za pomoc dwóch (a nie trzech) wspó rz dnych wprowadza si uk ad nieruchomych (stacjonarnych) wspó rz dnych prostok tnych (ortogonalnych) , , którego o pozioma pokrywa si z osi A uk adu naturalnego. Po uwzgl dnieniu nast puj cych zale no ci opisuj cych wersory:

23

21

32sin

32cos3/2 jje ja (3.2)

23

21

34sin

34cos3/4 jje j2a (3.3)

wzór (3.1) przyjmuje posta

jxxxxjxxxk CBCBAT 23

23

21

21X (3.4)

Modu wektora przestrzennego wyra a si wzorem 22 xxX (3.5) Z zale no ci (3.4) wynika, e dla najcz ciej stosowanego w energoelektronice wspó czynnika transformacji kT = 2/3, zapewniaj cego równo warto ci chwilowych

11

przekszta canych wielko ci, sk adow rzeczywist x i urojon x wektora przestrzennego okre la wzór

C

B

A

C

B

A

xxx

xxx

xx

CT

23

230

21

211

32

(3.6)

przy czym TC – macierz transformacji systemu trójfazowego do uk adu dwufazowego. Przedstawienie trójfazowych wielko ci symetrycznych A,B,C w stacjonarnym dwufazowym uk adzie ortogonalnym ,j nosi nazw przekszta cenia Clarke [4, 6]. W przypadku symetrycznego uk adu trójfazowego (xA+xB+xC = 0) spe nione s nast puj ce relacje:

ACBA xxxx21

21

32

(3.7)

CBCB xxxx33

33

23

23

32

(3.8)

BACB xxxx3

3233

23

23

32

(3.9)

Uwzgl dniaj c wzory (3.7) – (3.9) zale no (3.6) mo e by przedstawiona w innych, równowa nych postaciach

C

B

A

xxx

xx

33

330

001 (3.10)

B

A

xx

xx

332

33

01 (3.11)

Z zale no ci (3.11) wynika, e do transformacji symetrycznego uk adu trójfazowego (b wielko ci przewodowych w trójfazowym uk adzie trójprzewodowym) w uk ad dwufazowy wystarczy znajomo tylko dwóch spo ród wielko ci trójfazowych. Znaczy to, e przy realizacji uk adów sterowania w wielu przypadkach wystarczy pomiar dwóch zamiast trzech napi b pr dów trójfazowych. Na rys. 3.1 przedstawiono graficzn interpretacj wzoru (3.1), wed ug którego wyznaczono wektor przestrzenny w chwili t1, w przypadku, gdy trójfazowe wielko ci symetryczne s opisane wzorem

12

34cos

32cos

cos

t

t

t

Xxxx

m

C

B

A

(3.12)

przy czym: Xm, – amplituda i pulsacja sinusoidalnie przemiennych symetrycznych wielko ci trójfazowych.

Rys. 3.1. Wektor przestrzenny trójfazowych symetrycznych wielko ci sinusoidalnych – transformacja z u yciem jednostkowych wektorów kierunkowych: a) przebiegi warto ci chwilowych; b) konstrukcja wektora przestrzennego dla warto ci chwilowych xA(t1), xB(t1) i xC(t1). Symbol uziemienia podkre la stacjonarno uk adu wspó rz dnych

13

Wyra one wzorem (3.12) wielko ci xA, xB, xC tworz system o kolejno ci zgodnej, tzn. z nast pstwem faz A, B, C. Dla przyj tego wspó czynnika transformacji kT = 2/3 rzuty wektora przestrzennego X (t1) na osie faz A, B, C tworz chwilowe fazowe wektory sk adowe o

ugo ciach odpowiadaj cych warto ciom chwilowym przekszta canych wielko ci xA(t1), xB(t1) i xC(t1). Zgodnie z zale no ciami (3.7), (3.10) lub (3.11) wspó rz dne ortogonalne wektora przestrzennego, odpowiadaj cego wielko ciom opisanym zale no ci (3.12), wyra aj si wzorami tXxx mA cos (3.13)

tXxxxxx mBACB sin233

33

(3.14)

Z wzorów (3.5), (3.13) i (3.14) wynika, e dla symetrycznych sinusoidalnych wielko ci trójfazowych xA, xB, xC opisanych wzorem (3.12) wektor przestrzenny X ma sta y modu , równy amplitudom Xm tych wielko ci, i wiruje w nieruchomym (stacjonarnym) uk adzie wspó rz dnych , ze sta pr dko ci k tow , równ pulsacji transformowanych przebiegów sinusoidalnych. Wektor ten wiruje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara a jego hodograf jest okr giem (rys.3.2). Wyk adnicz posta zespolon tego wektora opisuje wzór

tjmeXX (3.15)

Je li przekszta cane wielko ci trójfazowe wyst puj w kolejno ci A, C, B, wówczas tworz one tzw. uk ad o kolejno ci przeciwnej, opisany wzorem

32cos

34cos

cos

t

t

t

Xxxx

m

C

B

A

(3.16)

Uwzgl dniaj c przeciwne nast pstwo wielko ci fazowych w stosunku do osi A, B, C wyznaczonych przez wersowy 1, a i a2, na podstawie wzoru (3.6) otrzymuje si

B

C

A

B

C

A

xxx

xxx

xx

CT

23

230

21

211

32

(3.17)

A st d tXxx mA cos (3.18)

tXxxx mBC sin33

(3.19)

14

Rys.3.2. Wektor przestrzenny, reprezentuj cy trójfazowe symetryczne wielko ci sinusoidalne o kolejno ci zgodnej: a) warto ci chwilowe wielko ci trójfazowych; b) sk adowe ortogonalne (dwufazowe) wektora przestrzennego jako rzuty tego wektora na osie , ; c) wektor przestrzenny i jego hodograf w stacjonarnym uk adzie wspó rz dnych ortogonalnych

15

Dla trójfazowego uk adu symetrycznego o kolejno ci przeciwnej wektor przestrzenny wiruje w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, co mo na wyrazi nadaj c pr dko ci

towej znak ujemny tak, e tj

meXX (3.20)

W praktyce zwykle przetwarza si sygna y, tworz ce trójfazowe systemy o kolejno ci zgodnej. Interpretacj wzorów (3.16) – (3.19) przedstawiono na rys. 3.3. Z rys. 3.1 – 3.3 wynika, e przebiegi warto ci chwilowych przekszta canych wielko ci trójfazowych xA, xB, xC otrzymuje si rzutuj c wiruj cy wektor przestrzenny X na nieruchome osie naturalnego uk adu trójfazowego A,B,C, wyznaczonego przez wersory 1, a, i a2. Dla symetrycznych wielko ci trójfazowych istnieje zatem przekszta cenie odwrotne, pozwalaj ce na odtworzenie symetrycznych wielko ci trójfazowych na podstawie znajomo ci wspó rz dnych wektora przestrzennego. Dla wspó czynnika transformacji kT = 2/3 przekszta cenie odwrotne wyra a si wzorem

xx

xx

xxx

C

B

A1

CT

23

21

23

21

01

(3.21)

który wynika bezpo rednio z zale no ci (3.6). Nale y zauwa , e przy definiowaniu wektora przestrzennego nie poczyniono

adnych zastrze odno nie funkcji opisuj cych trójfazowe warto ci chwilowe xA, xB, xC (oprócz warunku: xA+ xB+ xC = 0). Znaczy to, e warto ci chwilowe xA, xB, xC mog odnosi si zarówno do wielko ci fazowych jak i mi dzyfazowych (przewodowych, liniowych) i nie musz by sinusoidalne. Przekszta cenie Clarke wyra one wzorami (3.1) - (3.11) a tak e przekszta cenie odwrotne (3.21) mo e by zatem stosowane np. do transformacji symetrycznych (odkszta conych) trójfazowych napi wyj ciowych falowników napi cia czy te trójfazowych pr dów wyj ciowych falowników pr du.

Na rys. 3.4 przedstawiono odpowiednie schematy zast pcze, przebiegi czasowe napi wyj ciowych oraz odpowiadaj cy tym napi ciom wektor przestrzenny w przypadku, gdy trójfazowy falownik napi cia jest sterowany pó okresowo (sterowanie bez modulacji szeroko ci impulsów) zasila symetryczny odbiornik trójfazowy po czony w gwiazd .

Wektor przestrzenny przyjmuje sze dyskretnych po , odpowiadaj cych sze ciu ró nym stanom przewodzenia czników, wyst puj cym w jednym okresie napi cia wyj ciowego falownika. W ka dym z tych stanów, trwaj cych przez jedn szóst okresu, wektor jest nieruchomy, po czym zmienia swoje po enie (stan) w sposób natychmiastowy (skokowy). D ugo wektora przestrzennego napi cia wynosi 2E/3 i jest jednakowa w ka dym z sze ciu po . W ciwo ci te opisuje nast puj cy wzór:

3/)1(

)( 32 kj

k EeU (3.22)

w którym: E – sta e napi cie zasilaj ce falownik; k = 1,2,…, 6.

16

Rys.3.3. Wektor przestrzenny, reprezentuj cy trójfazowe symetryczne wielko ci sinusoidalne o kolejno ci przeciwnej: a) warto ci chwilowe wielko ci trójfazowych; b) sk adowe ortogonalne (dwufazowe) wektora przestrzennego jako rzuty tego wektora na osie , ; c) wektor przestrzenny i jego hodograf w stacjonarnym uk adzie wspó rz dnych ortogonalnych

17

Rys. 3.4. Wektor przestrzenny napi cia wyj ciowego trójfazowego dwupoziomowego falownika napi cia sterowanego pó okresowo (bez modulacji), obci onego symetrycznym odbiornikiem trójfazowym po czonym w gwiazd : a) schemat zast pczy falownika; b) stany przewodzenia czników i warto ci chwilowe napi fazowych odbiornika symetrycznego po czonego w gwiazd ; c) konfiguracja po cze falownika w stanie „2” (110); d) wyznaczanie wektora w stanie „2” (110); e) po enie wektora przestrzennego napi cia fazowego w sze ciu stanach falownika

18

Niezale nie od warunków obci enia, w tym tak e przy braku symetrii napi fazowych, napi cia mi dzyprzewodowe trójfazowego falownika napi cia o topologii jak na rys. 3.4a s symetryczne (rys. 3.5).

Rys. 3.5. Wektor przestrzenny przewodowego (liniowego, mi dzyprzewodowego) napi cia wyj ciowego trójfazowego dwupoziomowego falownika napi cia sterowanego pó okresowo: a) napi cia przewodowe trójfazowe i dwufazowe falownika; b) wyznaczanie wektora w stanie (100); c) po enie wektora przestrzennego napi cia przewodowego

19

Wspó rz dne ortogonalne wektora przestrzennego napi przewodowych, dla których xAB + xBC +xCA = 0, wyra aj si wzorem

CB

BC

AB

p

p

xxx

xx

23

230

21

211

32

(3.23)

wspó rz dnych rzeczywistych wektora przestrzennego pokrywa si ze wskazem napi cia przewodowego AB. Wektor przestrzenny napi cia wyj ciowego wyra a si w tym przypadku nast puj cym wzorem:

31

6)( 3

32 kj

kp EeU (3.24)

przy czym k = 1,2,…,6. Modu wektora przestrzennego napi przewodowych dwupoziomowego falownika sterowanego pó okresowo, jest w ka dym z sze ciu dyskretnych stanów (trwaj cych przez jedn szóst okresu) sta y (rys.3.5).

W ogólnym przypadku modu wektora przestrzennego reprezentuj cego wielko ci trójfazowe jest, tak jak i jego po enie, funkcj czasu. Dla trójfazowych symetrycznych przebiegów odkszta conych, opisanych funkcja ci , hodograf wektora przestrzennego odbiega od okr gu tym bardziej, im wi ksze jest odkszta cenie transformowanych wielko ci trójfazowych. Na rys. 3.6. przedstawiono przyk adowe przebiegi pr dów fazowych iA i iB falownika napi cia sterowanego pó okresowo i obci onego trzema identycznymi d awikami po czonymi w gwiazd (np. pr dy fazowe nieobci onego transformatora trójfazowego). Sk adowe i i i wektora przestrzennego pr dów fazowych falownika mo na wyznaczy ze wzoru (3.11). Wektor przestrzenny pr du I wiruje w sposób ci y ze redni pr dko ci

tow , równ pulsacji napi i pr dów wyj ciowych falownika, przy czym hodograf tego wektora jest w tym przypadku sze ciok tem równoramiennym.

Warto ci chwilowe wielko ci fazowych lub przewodowych tworz cych trójfazowy system niesymetryczny s zwi zane zale no ci 0xxxx CBA (3.25) przy czym: x0 – wielko (napi cie, pr d) niezrównowa enia. W takim przypadku zespolony wektor przestrzenny reprezentuj cy transformowane trójfazowe wielko ci niesymetryczne wyra a si wzorem

XXaa1X 02

31

32 xxxxxjxx CBA (3.26)

gdzie: – kierunkowy wektor jednostkowy, wyznaczaj cy o prostopad do osi i ; x – ugo sk adowej ortogonalnej do p aszczyzny , j . Z uwagi na ortogonalno wszystkich

sk adowych, d ugo wektora przestrzennego wyra a si wzorem 222 xxxX (3.27)

20

Rys. 3.6. Wektor przestrzenny trójfazowych odkszta conych wielko ci symetrycznych: a) przyk adowe warto ci chwilowe pr dów w fazach A i B odbiornika indukcyjnego zasilanego z falownika napi cia; b) sk adowe i i i wektora przestrzennego; c) wektor przestrzenny pr du i jego hodograf

21

W tym przypadku przekszta cenie Clarke, pozwalaj ce na wyznaczenie sk adowych ortogonalnych wektora przestrzennego wyra a si wzorem

C

B

A

xxx

xxx

21

21

21

23

230

21

211

32

(3.28)

Przyj cie we wzorze definicyjnym wektora przestrzennego (3.26) wspó czynnika przekszta cenia równego 2/3 zapewnia równowa no warto ci chwilowych przekszta canych wielko ci. Wyznaczenia warto ci chwilowych w naturalnym uk adzie trójfazowym na podstawie znajomo ci sk adowych ortogonalnych mo na dokona przy wykorzystaniu nast puj cej zale no ci

xxx

xxx

C

B

A

21

23

21

21

23

21

2101

32

(3.29)

Na rys. 3.7 przedstawiono ró ne przypadki zwar wyst puj cych w sieciach

trójfazowych, wywo uj cych niesymetri amplitudow i fazow napi w sieci. Mimo niesymetrii warto ci chwilowe napi cia sieci zachowuj kszta t sinusoidalny. Przyk ad wielko ci trójfazowych xA, xB, xC wykazuj cych niesymetri amplitudow i fazow zaprezentowano na rys.3.8a. Korzystaj c z graficznej interpretacji wzoru (3.26) wyznaczono wektor przestrzenny tych wielko ci w chwili t1 (rys. 3.8b).

Rys. 3.9 przedstawiono warto ci chwilowe niesymetrycznych wielko ci trójfazowych i odpowiadaj ce im przebiegi warto ci chwilowych sk adowych ortogonalnych wektora przestrzennego, wyznaczonych na podstawie wzoru (3.29). W ka dym okresie zmian przekszta canych wielko ci trójfazowych wektor przestrzenny wykonuje pe ny obrót w p aszczy nie usytuowanej w przestrzeni okre lonej osiami , i , a jego hodograf jest krzywa zamkni o kszta cie elipsy (rys.3.10). Nale y zauwa , e w przypadku niesymetrycznych trójfazowych wielko ci sinusoidalnych sk adowa x wektora przestrzennego odpowiada warto ciom sk adowych symetrycznych kolejno ci zerowej, wynikaj cym z transformacji Fortescou’a. W przypadku trójfazowych wielko ci niesymetrycznych o przebiegach zmieniaj cych si skokowo (np. wieloschodkowe przebiegi fazowych napi wyj ciowych trójfazowych falowników napi cia lub pr dów wyj ciowych falowników pr du) wszystkie sk adowe ortogonalne wektora przestrzennego zmieniaj si równie w sposób skokowy. Na rys. 3.11 przedstawiono przebiegi napi fazowych uA, uB i uC oraz odpowiadaj ce im sk adowe u , u , u w przypadku trójfazowego dwupoziomowego falownika napi cia sterowanego pó okresowo, zasilaj cego trójfazowy niesymetryczny odbiornik z ony z trzech rezystorów o rezystancjach R, 2R/3 i R/3.

22

Rys.3.7.Typowe stany awaryjne w linii zasilaj cej: a) zwarcie trójfazowe; b) zwarcie dwufazowe wywo uj ce niesymetrie napi

23

Rys.3.8. Wektor przestrzenny trójfazowych wielko ci niesymetrycznych: a) przebiegi warto ci chwilowych; b) wyznaczenie wektora przestrzennego i jego rzutów na p aszczyzny

, i (d ugo ci wektorów przyj to dwa razy wi ksze w stosunku do warto ci chwilowych)

24

Rys.3.9. Warto ci chwilowe trójfazowych sinusoidalnych wielko ci niesymetrycznych oraz sk adowe ortogonalne wektora przestrzennego

25

Rys.3.10.Wektor przestrzenny trójfazowych sinusoidalnych wielko ci niesymetrycznych: a) wektor w nieruchomym uk adzie wspó rz dnych ortogonalnych , , w po eniu, odpowiadaj cym k towi t1 wg rys. 3.9; b) rzuty wektora przestrzennego i jego hodografu na

aszczyzny , i ; c) hodograf wektora w przestrzeni , ,

26

Rys.3.11. Falownik napi cia o niesymetrycznym obci eniu trójfazowym RA= R, RB = 2R/3 i RC = R/3: a) schemat zast pczy trójfazowego falownika napi cia; b) stany przewodzenia

czników przy sterowaniu pó okresowym oraz przebiegi napi trójfazowych uA, uB i uC i sk adowych ortogonalnych u , u , u Wektor przestrzenny niesymetrycznych napi fazowych przyjmuje w takim przypadku sze dyskretnych po w przestrzeni okre lonej osiami , i (rys.3.12).

27

Rys.3.12. Wektor przestrzenny reprezentuj cy napi cia fazowe trójfazowego odbiornika niesymetrycznego zasilanego z falownika napi cia sterowanego pó okresowo wg rys. 3.11: a) rzuty wektora na p aszczyzny -j , j i ; b) wektor przestrzenny i jego sk adowe w ortogonalnym uk adzie wspó rz dnych , ,

28

W przypadku wielko ci trójfazowych niesymetrycznych odkszta conych bez sk adowej o kolejno ci zerowej (np. pr dy liniowego niesymetrycznego odbiornika po czonego w gwiazd bez przewodu neutralnego, zasilanego niesymetrycznymi napi ciami odkszta conymi, niesymetryczne napi cia przewodowe) zespolone wskazy sk adowych o kolejno ci zgodnej XiI i przeciwnej XiII oraz wskazy zespolone wielko ci fazowych (lub przewodowych) XA, XB, XC s opisane wzorami (2.1) - (2.4) (rozdzia 2.). Mo na wykaza [5], e zespolony wektor przestrzenny reprezentuj cy wielko ci trójfazowe, spe niaj ce powy sze warunki, wyra a si wzorami

*III

*CC

*BB

*AA XX

XXaXXaXXX

22232 2 (3.30)

1h

tjhtjh ee *hIIhI XXX (3.31)

gdzie: XI = XAI – suma wskazów zespolonych wszystkich harmonicznych wielko ci fizycznej w fazie A, nale cych do symetrycznych uk adów o kolejno ci zgodnej; XII = XAII - suma wskazów zespolonych wszystkich harmonicznych wielko ci fizycznej dla fazy A, nale cych do symetrycznych uk adów o kolejno ci przeciwnej. W przypadku trójfazowych wielko ci niesymetrycznych i odkszta conych bez sk adowej o kolejno ci zerowej, modu wektora przestrzennego jest funkcj czasu, a jego hodograf jest krzywa zamkni , le na p aszczy nie , i ma kszta t eliptyczny, odpowiadaj cy podstawowym harmonicznym, z dodatkow sk adow t tnieniow , wynikaj z istnienia wy szych harmonicznych. 4. Transformacja do uk adu wspó rz dnych wiruj cych synchronicznie d, jq Zespolony wektor przestrzenny X , reprezentuj cy trójfazowe symetryczne wielko ci sinusoidalne, ma sta y modu Xm i wiruje z pr dko ci k tow w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, odpowiadaj pulsacji warto ci chwilowych transformowanych wielko ci (wzór (3.15)). Rzuty tego wektora na osie i nieruchomego ortogonalnego uk adu wspó rz dnych, tzn. x i x s wielko ciami przemiennymi zgodnie z funkcjami kosinus i sinus. Je eli wektor ten zostanie umieszczony w uk adzie wspó rz dnych ortogonalnych d, jq, wiruj cych z pr dko ci k tow synchronicznie z wektorem przestrzennym, wówczas wektor ten b dzie w stanie ustalonym wykazywa sta warto zarówno w odniesieniu do modu u jak i fazy. Jego rzuty xd i xq na na osie d i jq nowego uk adu odniesienia s wielko ciami sta ymi (rys. 4.1). Niezale nie od uk adu odniesienia modu wektora przestrzennego jest taki sam i mo na go wyrazi zale no ci mqd Xxxxx 2222

dqXX (4.1) gdzie: Xm – amplituda sinusoidalnych symetrycznych wielko ci trójfazowych reprezentowanych przez wektory X i Xdq. Transformacja wektora przestrzennego X z uk adu stacjonarnego , do uk adu wspó rz dnych wiruj cych d, jq nosi nazw przekszta cenia Park’a [1].

29

Rys. 4.1. Transformacja wektora przestrzennego z uk adu wspó rz dnych stacjonarnych , do uk adu d, jq wiruj cego synchronicznie z wektorem X Wektor Xdq w uk adzie odniesienia wiruj cym synchronicznie z wektorem X mo e by wyra ony wzorem

tjdq eXX (4.2)

Przy uwzgl dnieniu, e exp(-j t) = cos t - jsin t, otrzymuje si

)sincos(sincos)sin)(cos( txtxjtxtxtjtjxxjxx qddqX (4.3) St d txtxxd sincos (4.4) txtxxq sincos (4.5) Czyli

xx

xx

tttt

xx

q

dPT

cossinsincos

(4.6)

gdzie: TP – macierz transformacji Park’a. W ogólnym przypadku (rys. 4.1) wektor przestrzenny X trójfazowych wielko ci symetrycznych o przebiegach sinusoidalnych mo e by opisany wzorem )( tjeXX (4.7) Na podstawie (4.2) otrzymuje si

30

jm

tjtjm eXeeX )(

dqX (4.8) St d cosmd Xx (4.9) sinmd Xx (4.10) przy czym tg = xq/xd. Je li przyjmie si taki sposób synchronizacji wiruj cego uk adu wspó rz dnych, e o d pokrywa si z kierunkiem wektora przestrzennego Xdq, wówczas = 0, a st d

md Xx dqX (4.11)

0dx (4.12)

Odpowiada to sytuacji, w której x = Xmcos t oraz x = Xmsin t. Z zale no ci (4.4) – (4.6) wynika bowiem, e mmmd XtXtXtxtxx 22 sincossincos (4.13) 0sincoscossinsincos ttXttXtxtxx mmq (4.14) W przypadku symetrycznych sinusoidalnych wielko ci trójfazowych odwrotne przekszta cenie Park’a mo e by dokonane na podstawie wzoru (4.2), z którego wynika, e

txtxj

txtxtjtjxxjxxe

qd

qdqdtj

cossin

sincossincosdqXX

(4.15) St d txtxx qd sincos (4.16) txtxx qd cossin (4.17) Czyli

q

dP

q

d

xx

xx

tttt

xx 1

cossinsincos

T (4.18)

W celu zapewnienia skutecznego dzia ania regulatorów proporcjonalno – ca kuj cych, sygna y warto ci zadanych jak i sprz zwrotnych powinny mie warto ci sta e lub wolnozmienne. St d te przekszta cenie Park’a jest cz sto stosowane w uk adach sterowania urz dze energoelektronicznych w odniesieniu do wielko ci niewykazuj cych skokowych zmian i charakteryzuj cych si du a zawarto ci podstawowej harmonicznej. Dotyczy to

ównie torów regulacji pr dów pobieranych sieci przez przekszta tniki sieciowe PWM (prostowniki aktywne) lub pr dów pobieranych przez trójfazowe odbiorniki, zasilane z falowników niezale nych (rys.1.1). W przypadku, gdy transponowane wielko ci trójfazowe nie s symetryczne (xA+ xB+ xC 0), wówczas przekszta cenie Park’a jest opisane wzorem

31

xxx

tttt

xxx

q

d

1000cossin0sincos

0

(4.19)

przy czym: x , x , x –sk adowe wektora przestrzennego X , wyra one wzorem (4.28). Transformacje wielko ci trójfazowych xA, xB, xC w wielko ci dwufazowe x , x , x (przekszta cenie Clarke) a nast pnie w wielko ci xd, xq, x0 okre lone w uk adzie wspó rz dnych wiruj cych synchronicznie (przekszta cenie Park’a) mo na przeprowadzi przy u yciu jednej operacji (transformacja Clarke – Park’a) zgodnie z zale no ci [6]

C

B

A

q

d

xxx

ttt

ttt

xxx

21

21

21

)3

4sin()3

2sin(sin

)3

4cos()3

2cos(cos

32

0

(4.20)

Przekszta cenie odwrotne ma posta

0

31)

34sin()

34cos(

31)

32sin()

32cos(

31sincos

xxx

tt

tt

tt

xxx

q

d

C

B

A

(4.21)

Wektor przestrzenny X reprezentuj cy niesymetryczne wielko ci trójfazowe

odkszta cone, zawieraj ce sk adowe symetryczne o kolejno ci zgodnej i przeciwnej (zale no ci (3.30), (3.31)) mo e by transformowany do uk adu wspó rz dnych wiruj cych z pr dko ci k tow , synchronicznie do podstawowej harmonicznej wielko ci w fazie A. Transformacj t opisuje wzór [5]

1

)1()1(

h

thjm

thjtj eee *hIImhIdq XXXX (4.22)

Z zale no ci (4.22) wynika, e sk adowe podstawowych harmonicznych niesymetrycznych przebiegów trójfazowych (h = 1), tworz ce system o kolejno ci zgodnej, s reprezentowane w uk adzie wiruj cym przez wektor nieruchomy Xm1I tak, e sk adowe w osiach d i jq tego wektora s wielko ciami sta ymi. Sk adowe podstawowych harmonicznych, tworz ce system o kolejno ci przeciwnej, s w uk adzie wspó rz dnych wiruj cych reprezentowane przez wektor X*

m1II, który wiruje zgodnie z ruchem wskazówek zegara z pr dko ci k tow 2 . Sk adowe xd i xq tego wektora s wielko ciami przemiennymi sinusoidalnie i maja pulsacje 2 .

Je li w niesymetrycznych trójfazowych wielko ciach odkszta conych wyst puj np. wy sze harmoniczne pi tego rz du (h = 5), wówczas na podstawie przekszta cenia Fortescue’a, mog by one roz one na uk ad symetryczny o kolejno ci zgodnej,

32

reprezentowany przez wektor Xm5I, wiruj cy z pr dko ci k tow 4 (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) oraz na uk ad symetryczny o kolejno ci przeciwnej, reprezentowany przez wektor X*

m5II, wiruj cy z pr dko ci k tow 6 w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (rys.4.2).

Rys.4.2. Wektory przestrzenne reprezentuj ce sk adowe symetryczne zgodne i przeciwne podstawowych harmonicznych (Xm1I, Xm1II) i pi tych harmonicznych (Xm5I, Xm5II) wyst puj cych w trójfazowych wielko ciach niesymetrycznych i odkszta conych W przypadku trójfazowych symetrycznych wielko ci odkszta conych, poszczególne harmoniczne tworz uk ady o kolejno ci zgodnej b te przeciwnej. I tak harmoniczne pi tego rz du, wchodz ce w sk ad trójfazowych wielko ci symetrycznych, tworz uk ad symetryczny o kolejno ci przeciwnej, który w uk adzie wspó rz dnych wiruj cych d, jq wiruje w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara z pr dko ci k tow 6 . Szczegó owe wyja nienia, dotycz ce transformacji trójfazowych przebiegów niesymetrycznych odkszta conych podano m.in. w [5]. Nale y zauwa , e przyjmuj c w macierzy transformacji TP (wzór (4.6) pulsacj ujemn (-

), uk ad odniesienia d, jq b dzie wirowa w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Wówczas wektor reprezentuj cy sk adowe o kolejno ci przeciwnej podstawowych harmonicznych przekszta canych wielko ci b dzie nieruchomy. Mo na to wykorzysta do identyfikacji tych sk adowych (rys.1.2). Fragmenty uk adów sterowania, zawieraj ce regulatory PI i bloki transformacji wielko ci trój – lub dwufazowych do uk adu wiruj cego d, jq nazywane synchronicznymi regulatorami PI. Literatura

1. Latek W.: Teoria maszyn elektrycznych. WNT, Warszawa 1982

2. Miko ajuk K.: Podstawy analizy obwodów energoelektronicznych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1998

33

3. Strzelecki R., Supronowicz H.: Wspó czynnik mocy w systemach zasilania pr du przemiennego i metody jego poprawy. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000

4. Hartman M.: Zastosowanie przekszta cenia Fortescue’a do opisów stanów energetycznych w uk adach wielofazowych z niesinusoidalnymi przebiegami napi i pr dów. Przegl d Elektrotechniczny, ISSN 0033 – 2097, R. 82 Nr 10/2006, s.61-72

5. Piróg S.: Energoelektronika – uk ady o komutacji sieciowej i o komutacji twardej. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo – Dydaktyczne Akademii Górniczo – Hutniczej, Kraków 2006

6. Neacsu D. O.: Power - Switching Converters. Medium and High Power. Taylor & Francis, 2006

7. Rodriguez P., Pou J., Bergas J., Candela J.I., Burgos R.P., Boroyevich D.: Decoupled Double Synchronous Reference Frame PLL for Power Converters Control. IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 22, No. 2, March 2007, pp. 584 – 592,

8. Alepuz S., Bordonau J., Busquets – Monge S., Martinez – Velasco A., Pontt J.,

Rodriguez J., Silva C.: Control strategies based on symmetrical components for grid – connected converters under voltage dips. IEEE Trans. On Industrial Electronics, Vol. 56, No. 6, Jun 2009, pp.2162-2137

9. Vechiu I., Curea O., Camblong H.: Transient Operation of four – leg Inverter for

Autonomous Applications with Unbalanced Load. IEEE Transactions on Power Elecrtonics, Vol. 25, No. 2, Feb. 2010, pp. 399-407,

10. Lee K., Jahns T. M., Lipo T. A., Blasko V.: New Control Method Including State Observer of Voltage Unbalance for Grid Voltage - Source Converters. IEEE Transactions on Industrial Electronics. Vol. No 6., June 2010