Upload
lenhan
View
239
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
W układach sterowania dyskretnego sygnały występują w formie impulsów lub kodowane są cyfrowo,
natomiast sterowane procesy zawierają często podzespoły analogowe. Dla przykładu silnik prądu
stałego, który jest urządzeniem analogowym może być sterowany zarówno przez regulator wysyłający
sygnały analogowe jak i przez regulator cyfrowy, który wysyła sygnały cyfrowe. W ostatnim
przypadku konieczny jest do połączenia regulatora cyfrowego z urządzeniem analogowym
przetwornik cyfrowoanalogowy (C/A). Na rysunku 1 przedstawiony jest schemat blokowy typowego
układu dyskretnego. Na wejściu i wyjściu regulatora cyfrowego występują próbki sygnału oddzielone
od siebie o okres próbkowania T.
Regulator
cyfrowy
r(t) r*(t)C/A Proces
h(t) y(t)
Rys. 1. Schemat blokowy typowego układu sterowania dyskretnego.
W najprostszym wydaniu przetwornik C/A może być wykonany jako urządzenie typu impulsator–
ekstrapolator, które składa się z urządzenia próbkującego i ekstrapolującego wartość próbki przez
okres próbkowania T. Urządzeniem C/A najczęściej stosowanym w analizie układów dyskretnych jest
połączenie idealnego impulsatora z ekstrapolatorem zerowego rzędu (ZOH – zero-order hold). Po
takich założeniach, część układu z rysunku 1 może być funkcjonalnie zastąpiona przez schemat
blokowy pokazany na rysunku 2.
r(t) r*(t)ZOH
h(t)
T
Rys. 2. Impulsator i ekstrapolator zerowego rzędu.
Na rysunku 3 pokazane zostały typowe operacje idealnego próbkowania i ekstrapolowania zerowego
rzędu (ZOH). Sygnały ciągłe są próbkowane z okresem T i następnie ciąg impulsów )(* tr
o amplitudach r(t) jest ekstrapolowany przez okres próbkowania. Ekstrapolator zerowego rzędu
(ZOH) podtrzymuje amplitudę sygnału doprowadzanego do wejścia w danej chwili czasu (kT) przez
cały okres próbkowania T aż do pojawienia się następnej próbki w chwili t = (k+1)T. Wyjście z układu
ekstrapolującego (ZOH) jest schodkową aproksymacją sygnału wejściowego idealnie próbkowanego
r(t) z impulsatora.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 2
t
r(t)
t = kT
t = kT
r*(t)
h(t)
(a)
(b)
(c)
Rys. 3. (a) Sygnał wejściowy do idealnego impulsatora, (b) Sygnał wyjściowy z impulsatora, (c) sygnał
wyjściowy z ekstrapolatora zerowego rzędu (ZOH).
Gdy okres próbkowania T dąży do zera to wyjście z układu ekstrapolującego h(t) dąży do r(t), czyli
)()(lim0
trthT
(1)
Opierając się na powyższych definicjach, typowy dyskretny układ otwarty modelowany jest w sposób
pokazany na rysunku 4.
r(t) r*(t)ZOH
h(t)
T
Proces
sterowany
y(t)
G(s)
Rys. 4. Schemat blokowy układu dyskretnego
2. TRANSMITANCJA DYSKRETNA UKŁADÓW LINIOWYCH
Transformata operatorowa Laplace’a sygnału wyjściowego y(t) z rysunku 4 jest następująca
)()()( * sRsGsY (2)
Chociaż wartość wyjścia y(t) jest wyznaczana po zastosowaniu odwrotnej transformaty Laplace’a na
obu stronach równania (2) to jednak krok ten jest trudny do wykonania gdyż G(s) oraz R*(s)
reprezentują dwa różne rodzaje sygnałów.
r(t) r*(t)ZOH
h(t)
T
Proces
sterowany y(t)
T
y*(t)
S2
S1
Rys. 5. Schemat blokowy układu dyskretnego z fikcyjnym impulsatorem na wyjściu
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 3
Aby ominąć ten problem zastosowany zostanie fikcyjny impulsator na wyjściu układu, jak pokazane
zostało to na rysunku 5. Fikcyjne próbki 2S mają taki sam okres próbkowania T i są
zsynchronizowane z próbkami 1S . Próbkowana postać sygnału y(t) została oznaczona jako )(* ty .
)()()( zRzGzY (3)
gdzie )(zG definiowana jest jako transformata z funkcji operatorowej G(s) i opisana jest również jako
0
)()(k
kzkTgzG (4)
Czyli dla układów dyskretnych pokazanych na rysunkach 4 oraz 5, transformata Z wyjścia jest równa
transmitancji z procesu oraz transformacie Z wejścia.
3. TRANSMITANCJA DYSKRETNA UKŁADÓW LINIOWYCH POŁĄCZONYCH KASKADOWO
Transmitancja opisująca układy dyskretne z elementami połączonymi w kaskadę jest trochę bardziej
złożona aniżeli dla układów ciągłych z powodu występowania lub braku impulsatora pomiędzy tymi
elementami. Na rysunku 6 pokazane zostały dwie różne sytuacje układu dyskretnego który zawiera
dwa elementy połączone w kaskadę. Na rysunku 6(a) te dwa elementy rozdzielone są przez impulsator
2S , który jest zsynchronizowany z impulsatorem 1S i mają taki sam okres próbkowania. Na rysunku
6(b) oba te elementy zostały połączone bezpośrednio. Ważne jest rozróżnienie tych dwóch
przypadków przy wyprowadzaniu transmitancji impulsowej oraz transmitancji z.
r(t) r*(t)G
1(s)
d(t)
T Y(s)T
y*(t)
S2
S1
R(s) R*(s) D(s)G
2(s)
d*(t)
D*(s)
T
y(t)
Y*(s)
(a)
r(t) r*(t)G
1(s)
d(t)
T Y(s)
y*(t)
S1
R(s) R*(s) D(s)G
2(s)
T
y(t)
Y*(s)
(b)
Rys. 6. (a) Układ dyskretny z elementami połączonymi kaskadowo i rozdzielonymi impulsatorem. (b) Układ
dyskretny z elementami połączonymi kaskadowo, bez rozdzielającego impulsatora
Dla układu z rysunku 6(a), sygnał wyjściowy zapisywany jest jako
)()()()( 21 zRzGzGzY (5)
Z tego wynika, że transformata z dwóch układów rozdzielonych przez impulsator jest równa
iloczynowi transformat z tych dwóch układów.
Dla układu z rysunku 6(b), sygnał wyjściowy zapisywany jest jako
)(zY = )()(21 zRzGG (6)
4. TRANSMITANCJA DYSKRETNEGO UKŁADU ZAMKNIĘTEGO
Transmitancja dyskretnego układu zamkniętego zależy od położenia impulsatora w układzie.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 4
a(t) a*(t)G(s)
T Y(s)
y*(t)
A(s) A*(s)
T
y(t)
Y*(s)
H(s)
r(t)
R(s)
(a)
a(t)
y*(t)
G(s)
T
Y(s)
y*(t)
A(s)
Y*(s)
T
y(t)
Y*(s)
H(s)
r(t)
R(s)
(b)
Rys. 7. Dyskretny układ z pojedynczą pętlą. (a) Impulsator występuje w torze bezpośrednim, (b) Impulsator
występuje w torze sprzężenia.
Na rysunku 7 pokazane zostały dwa układy w których w różnych miejscach pętli umieszczony został
impulsator. W układzie z rysunku 7(a) impulsator występuje w torze bezpośrednim, natomiast na
rysunku 7(b) impulsator występuje w sprzężeniu. Wyjście z impulsatora traktowane jest jako wejście
do układu. Wobec tego na rysunku 7(a) układ ma dwa wejścia R(s) oraz A*(s), natomiast sygnały Y(s)
oraz A(s) traktowane są jako wyjścia układu i w tym przypadku transformata dyskretna sygnału
wyjściowego jest następująca
Y(z) = )()(1
)(zR
zGH
zG
(7)
W układzie z rysunku 7(b) wyjście z impulsatora A*(s) oraz R(s) są wejściami do układu natomiast
Y(s) oraz A(s) są wyjściami układu i w tym przypadku wypadkowa transmitancja dyskretna ma postać
Y(z) = )(1
)(
zGH
zGR
(8)
5. TRANSMITANCJA EKSTRAPOLATORA ZEROWEGO RZĘDU
Opierając się na podanym wcześniej opisie dla ekstrapolatora zerowego rzędu (ZOH) jego
charakterystyka impulsowa pokazana została na rysunku 8.
1
00 T t
gh(t)
Rys. 8. Odpowiedź impulsowa ekstrapolatora zerowego rzędu.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 5
Transmitancja ekstrapolatora zerowego rzędu jest następująca
)(sGh = £ )}({ tgh = s
e sT1 (9)
Jeśli ekstrapolator zerowego rzędu połączony jest kaskadowo z procesem liniowym o transmitancji
)(sG p , tak jak pokazano to na rysunku 4, to transformata Z takiego połączenia zapisana jest
następująco
)(zG = Z )}()({ sGsG ph = Z
)(1
sGs
ep
sT
(10)
Korzystając z własności transformaty Z o czasie opóźnienia, równanie (10) można uprościć do postaci
)(zG = )1( 1 z Z
s
sG p )( (11)
Przykład 1
Dla układu z rysunku 4, rozważ następującą transmitancję
)5.0(
1)(
sssG p (1.1)
Okres próbkowania T = 1 [s]. Transmitancja z opisująca zależność pomiędzy wejściem
i wyjściem określana jest przy użyciu wzoru (7).
)(zG = )1( 1 z Z
)5.0(
12 ss
= )1( 1 z Z
5.0
4242 sss
=
z
z 1
5.024
)1(2
14
ez
z
z
z
z
z
= 5.0
)1(4
1
24
ez
z
z=
6065.0607.1
3608.04261.02
zz
z (1.2)
Te same wyniki można uzyskać korzystając z funkcji c2d z biblioteki MATLABA.
T = 1; % Okres próbkowania
numC = 1; % Licznik transmitancji ciągłej
denC = conv([1 0],[1 0.5]); % Mianownik transmitancji
sysC = tf(numC, denC); % Transmitancja operatorowa
sysD = c2d( sysC, T,'zoh'); % Wyznaczenie transmitancji dyskretnej
[numD, denD] = tfData( sysD, ’v’)
printsys( numD, denD, 'z') % Wypisanie transmitancji na ekran
6. ODPOWIEDŹ CZASOWA UKŁADU STEROWANIA DYSKRETNEGO
Aby zaprojektować układ sterowania dyskretnego, najpierw należy poznać własności tych układów
w dziedzinie czasu i zmiennej z. Odpowiedzi wyjściowe większości układów sterowania dyskretnego
są funkcjami czasu ciągłego t. Wobec tego wskaźniki jakości takie jak maksymalne przeregulowanie,
czas narastania, współczynnik tłumienia i tak dalej, mogą być również zastosowane dla układów
dyskretnych. Jedyna różnica jest taka, że aby zastosować takie narzędzia analityczne jak transformaty
Z, sygnały ciągłe są próbkowane i wówczas niezależną zmienną czasu jest kT, gdzie T jest okresem
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 6
próbkowania wyrażonym w sekundach. Również własności przejściowe układu dyskretnego
charakteryzowane są przez bieguny i zera transmitancji na płaszczyźnie z.
Podstawowy schemat blokowy układu sterowania dyskretnego z pojedynczą pętlą pokazany
został na rysunku 9. Transmitancja tego układu jest następująca:
T(z) = )(1
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zY
(12)
gdzie GH(z) oznacza transformatę Z transmitancji G(s)H(s).
ZOHa*(t)r(t)
Gp(s)
y*(t)
G(s)
H(s)
T
y(t)
Y*(s)
Y(s)T A*(s)
a(t)
A(s)R(s)
Rys. 9. Schemat blokowy układu sterowania dyskretnego z pojedynczą pętlą
Najczęstszym testem służącym do badania własności dynamicznych układów sterowania jest
odpowiedź skokowa. Jeśli odpowiedź układu dyskretnego opisana jest transformatą
)()()( zRzTzY (13)
wówczas postać dyskretną wyznacza się na podstawie wzoru (13) po podstawieniu )1()( zzzU
i następnie wyznaczeniu odwrotnej transformaty Z. Sposób wyznaczania dyskretnej odpowiedzi
skokowej dla układu o zadanej transmitancji pokazny jest w przykładzie 2.
W MATLABIE do symulacji numerycznych odpowiedź impulsowa układu dyskretnego
o transmitancji dyskretnej sysD jest wyznaczana przy użyciu
yD = dimpulse( numD, denD)
yD = dimpulse( numD, denD, N)
natomiast dyskretna odpowiedź skokowa
yD = dstep(numD, denD)
yD = dstep(numD, denD, N)
gdzie N oznacza maksymalną liczbę próbek. Należy pamiętać, że y(kT), k = 0, 1, 2, .... zawiera tylko
informacje o próbkach sygnału y(t) w chwilach próbkowania. Jeśli okres próbkowania jest względnie
duży w stosunku do najbardziej znaczącej stałej czasowej układu, wówczas y(kT) może nie być
dokładną reprezentacją sygnału y(t).
Transmitancję dyskretną T(z) można przekształcić do postaci równan dynamicznych
zapisywanych następująco
)()()1( krkk GFxx (14)
)()()( kJrkky Hx (15)
w których równanie (14) nosi nazwę dyskretnych równania stanu, a równanie (15) dyskretnego
równania wyjścia. Przekształcenia tego można dokonać w sposób analityczny stosując metody
dekompozycji transmitancji dyskretnej, ale dla transmitancji o znznych wartościach wpółczynników
najłatwiej dokonać tego przy użyciu następującej komendy Matlaba
[F, G, H, J] = dtf2ss( numD, denD)
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 7
Przykład 2
Dla układu opisanego poniższą transmitancją dyskretną, wyznacz odpowiedź skokową.
)(zG = )(
)(
zU
zY=
6.09.0
3.04.02
zz
z (2.1)
Okres próbkowania w tym układzie wynosi T = 1 [s].
Rozwiązanie. W sposób analityczny odpowiedź skokową wyznacza się podobnie jak dla
układów ciągłych. W pierwszej kolejności, zamiast wejściowego sygnału dyskretnego U(z)
podstawia się jego transformatę dyskretną
)(zY = )()( zUzG = 16.09.0
3.04.02
z
z
zz
z (2.2)
i następnie uzyskaną transformatę dyskretną (2.2) rozkłada się na sumę transformat
elementarnych zapisanych
)(zY = 6305.045.0
)119.05.0(
6305.045.0
)119.05.0(
1 jz
zj
jz
zj
z
z
(2.3)
Poza zapisaniu wartości residuów i położeń biegunów w postaciach wykładniczych
)(zY = 9509.0
908.2
9509.0
908.2
7746.0
514.0
7746.0
514.0
1 j
j
j
j
ez
ze
ez
ze
z
z
(2.4)
dla każdego składnika sumy znajduje się postać dyskretną odpowiedzi skokowej
)(ky = )908.29509.0cos()7746.0(0279.1)(1 kk k (2.5)
Na rysunku 2.1 znajduje się uzyskany wykres dyskretnej odpowiedzi skokowej. Te same wyniki
można uzyskać przy użyciu funkcji step znajdującej się w bibliotece MATLABA.
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
t = kT [s]
y(kT
)
Dyskretna odpowiedź skokowa (T = 1 [s])
Rys. 2.1. Dyskretna odpowiedź skokowa
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 8
Wyniki uzyskane zostały przy użyciu następującego kodu programu.
clear
close all
tmax = 25;
T = 1; % Okres próbkowania
numD = [0.4 0.3]; % Licznik transmitancji
denD = [1 -0.9 0.6]; % Mianownik transmitancji
[rD, pD, kD] = residue( numD, conv(denD,[1 -1]))
M_rD = abs( rD(2))
phi_rD = angle( rD(2))
M_pD = abs( pD(2))
phi_pD = angle( pD(2))
ArD = 2*M_rD
N = tmax/T % Liczba próbek
for i = 0:N,
k = i;
tD(i+1) = k*T;
uD(i+1) = 1;
yD(i+1) = rD(1) + ArD*(M_pD^k)*cos( phi_pD*k + phi_rD);
end;
[tk, yk] = stairs(tD, yD)
figure(1)
plot(tk, yk, 'k-', tD, uD, 'k:')
xlabel( 't = kT [s]')
ylabel( 'y(kT)')
title(' Dyskretna odpowiedź skokowa (T = 1 [s])')
axis([0 tmax 0 1.5])
Przykład 3
Dla układu pokazanego na rysunku 3.1. wyznacz odpowiedź skokową. Uzyskaną transmitancję
wypadkową zapisz w postaci dyskretnych równań stanu. Parametry dla tego układu są
następujące: 1K = 2, 2K = 2, = 2, T = 0.1 [s].
1
s
r(t) y(t)K
1
1
s
K2
ZOHTR(s) Y(s)
Rys. 3.1. Schemat blokowy układu impulsowego.
Rozwiązanie: Układ z rysunku 3.1 należy sprowadzić do postaci z rysunku 9. Korzystając
z zasad przekształcania schematów blokowych otrzymuje się schemat pokazany na rysunku 3.2.
r(t)ZOH
TR(s) Y*(s)
K1
s(s +K1) T
y*(t)y(t)
Y(s)
G(s)
K1 K
2s
K1
Rys. 3.2. Schemat blokowy układu impulsowego z rysunku 2.1 po przekształceniach.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 9
Po podstawieniu danych liczbowych uzyskuje się następujące transmitancje:
transmitancja dynamiki w torze bezpośrednim
)4(
2
)()(
1
1
ssKss
KsG p
(3.1)
transmitancja dynamiki w sprzężeniu
12
22)(
1
21
ss
K
sKKsH (3.2)
Transmitancja dyskretna transmitancji G(s) znajdującej się w torze bezpośrednim układu z
rysunku 3.2 obejmującego ekstrapolator zerowego rzędu oraz transmitancję procesu Gp(s),
wyznaczana jest ze wzoru (10) w podobny sposób jak w przykładzie 1. Transmitancja dyskretna
w torze bezpośrednim
)()( zGGzG pzoh = Z )}({ sGG pzoh = 67032.06703.1
007694.000879.02
zz
z (3.3)
Transmitancja dyskretna pętli wyznaczana na podstawie kaskadowego połączenia
ekstrapolatora zerowego rzędu, transmitancji Gp(s) i transmitancji znajdującej się w przężeniu,
również w podobny sposób jak w przykładzie 1.
)()()( zHzGGzGH pzoh = Z )}({ sHGG pzoh = 67032.06703.1
17253.015605.02
zz
z (3.4)
Dyskretna transmitancja wypadkowa układu z rysunku 3.2
T(z) = )(1
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zY
=
67032.06703.1
17253.015605.01
67032.06703.1
007694.000879.0
2
2
zz
zzz
z
= 8429.08264.1
007694.000879.02
zz
z (3.5)
Odpowiedź skokową na podstawie transmitancji (3.5) wyznaczona została przy użyciu kodu
programu zawartego w przykładzie 2 i w tym przypadku ma następującą postać
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
y(t)
, y(kT
)
układ
ciągły
T = 0.1 [s]
Rys. 3.1. Porównanie odpowiedzi jednostkowej układu dyskretnego i ciągłego.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 10
)(ky = )4519.21032.0cos()9181.0(2963.1)(1 kk k (3.6)
Współczynniki macierzy dyskretnych równań dynamicznych opisanych wzorami (14) i (15)
wyznaczone zostały na podstawie transmitancji (3.5) przy użyciu funkcji dtf2ss które w tym
przypadku przyjmują następujące wartości
01
8429.08264.1F
0
1G ]0077.00088.0[H ]0[J (3.7)
Uzyskane dyskretne równania stanu są następujące:
)()(8429.0)(8264.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx (3.8)
)(0077.0)(0088.0)( 21 kxkxky
Porównanie wyników uzyskanych dla układu ciągłego bez impulsatora jak i dyskretnego
z impulsatorem przedstawione zostało na rysunku 3.1.
Wyniki w tym przykładzie wygenerowane zostały przy użyciu następującego kodu programu:
clear
close all
T = 0.1; % Okres próbkowania
tmax = 7; % Odcinek czasu
% Układ ciągły
numGpC = 2;
denGpC = conv([1 0], [1 4])
sysGpC = tf( numGpC, denGpC); % transmitancja dynamiki
% w torze bezpośrednim
numHC = [-1 1];
denHC = 1;
sysHC = tf( numHC, denHC); % transmitancja dynamiki
% w sprzężeniu
sysC = feedback( sysGpC, sysHC); % transmitancja wypadkowa
% całego układu ciągłego
[numC, denC] = tfdata( sysC, 'v'); % współczynniki wielomianów
% licznika i mianownika
% Wygenerowanie odpowiedzi skokowej bez impulsatora
t = [0:0.01:tmax];
yC = step( numC, denC, t);
% Układ dyskretny
sysGD = c2d( sysGpC, T, 'zoh');
[numGD, denGD] = tfdata( sysGD, 'v'); % współczynniki wielomianów
% licznika i mianownika transmitancji toru bezpośredniego
sysGHC = series( sysGpC, sysHC);
sysGHD = c2d( sysGHC, T, 'zoh');
[numGHD, denGHD] = tfdata( sysGHD, 'v'); % współczynniki
licznika i mianownika transformaty dyskretnej pętli
numD = numGD; % Licznik
denD = numGHD + denGHD; % i mianownik dyskretnej transmitancji
% wypadkowej
[F, G, H, J] = dtf2ss( numD, denD) % Macierze równań dynamicznych
N = tmax/T % Liczba próbek
yD1 = dstep( numD, denD, N); % odpowiedź skokowa
% wyznaczona na podstawie transmitancji
yD2 = dstep( F, G, H, J, 1, N); % odpowiedź skokowa
% wyznaczona na podstawie równań dynamicznych
yD = yD2; % wybór skokowej odpowiedzi dyskretnej do wykreślenia
tDmax = (N-1)*T;
tD=[0:T:tDmax]';
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 11
[tDp, yDp]= stairs( tD, yD); % Wygenerowanie odpowiedzi schodkowej
% Wykreślenie uzyskanych wyników
figure(1)
plot( t, yC, 'k-', tDp, yDp, 'k-')
xlabel('t [s]')
ylabel('y(t), y(kT)')
grid on
7. WSKAŹNIKI JAKOŚCI OPISUJĄCE UKŁAD
Dynamiczna jakość sterowania w dziedzinie czasu definiowana jest w zależności od parametrów
odpowiedzi skokowej układu (dla sygnału zadanego o postaci funkcji skokowej). Najczęściej
używanymi parametrami tej odpowiedzi są: czas narastania nt , maksymalne przeregulowanie pM ,
czas regulacji Rt i uchyb w stanie ustalonym ue . Parametry te są równie dobre dla układu
dyskretnego jak i dla układu ciągłego. Na płaszczyźnie s wymagania te mają następującą postać:
n
nt
8.1 (16)
p
p
M
M
22 ln
ln
(17)
Rt
6.4 (18)
Wymagania dotyczące uchybu w stanie ustalonym w zależności od rodzaju sygnału zadanego
określone są przez stałe uchybowe. Wymagania dotyczące uchybu zostaną tutaj pominięte.
Okres próbkowania T dobiera się tak, aby było przynajmniej 6 próbek w odcinku czasu
definiowanym jako czas narastania, lepsze i gładsze wyniki sterowania uzyska się jeśli będzie
przynajmniej 10 próbek w czasie narastania.
8. PRZEKSZTAŁCENIE WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI UKŁADU NA PŁASZCZYZNĘ Z
Odpowiedź układu dyskretnego zależy od położeń biegunów transmitancji dyskretnej na płaszczyźnie
z. Bazując na tym można dokonać przekształcenia wskaźników jakości układu na akceptowalne
położenia biegunów. Dla przykładu, czas narastania nt ciągłego układu II rzędu jest odwrotnie
proporcjonalny do częstotliwości drgań własnych n (16). Przy użyciu przekształcenia sTez
dokonuje się przekształcenia położeń biegunów z płaszczyzny s na płaszczyznę z i częstotliwość drgań
własnych n przekształcana jest na kąt bieguna we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie z
jako Td , gdzie 21 nd . Maksymalne przeregulowanie odpowiedzi skokowej pM jest
odwrotnie proporcjonalne do współczynnika tłumienia (17) i linie stałego tłumienia z płaszczyzny s
przekształcane są na logarytmiczne spirale na płaszczyźnie z. Czas regulacji Rt jest odwrotnie
proporcjonalny do części rzeczywistej bieguna na płaszczyźnie s (18) które odpowiadają
promieniom bieguna na płaszczyźnie z jako Ter .
Podsumowując, aby otrzymać akceptowalne położenia biegunów na płaszczyźnie z należy:
Wyznaczyć żądane wartości n , , z zadanych wymagań projektowych dotyczących
odpowiedzi skokowej na czas narastania nt , maksymalne przeregulowanie pM i czas regulacji Rt
Obliczyć promień Ter .
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 12
Wykreśl linie stałego tłumienia i stałych n . Zostanie to wykonane przy użyciu funkcji
z biblioteki MATLABA o nazwie zgrid, która wykreśla linie stałego od 0.1 do 0.9 z krokiem
0.1 oraz TNn 10 dla stałych wartości od 1 do 10.
Zaznacz obszary położeń biegunów spełniających zadane wymagania projektowe układu
sterowania dyskretnego.
Przykład 4
Znajdź obszary położeń biegunów transmitancji układu dyskretnego na płaszczyźnie z, jeśli
wymagania nałożone na odpowiedź skokową są następujące:
0.3 nt 0.6 [s],
5 pM 30 [%]
1.5 Rt 3.5 [s], = 1 [%].
T = 0.2 [s]
Rozwiązanie: Korzystając z zależności opisanych wzorami (16), (17), (18), wyznaczone zakresy
dopuszczalnych wartości parametrów n , , są następujące
3 n 6 [rad/s] (4.1)
0.358 0.690 (4.2)
1.314 3.067 (4.3)
Funkcja zgrid z biblioteki MATLABA wykreśla linie stałego tłumienia oraz częstotliwości
drgań własnych n . O ile może być podawana do funkcji w sposób bezpośredni to n musi
zostać przeliczona względem okresu próbkowania T według zależności
10
Ns (4.4)
gdzie
TN n10 (4.5)
Po podstawieniu wzoru (4.5) do zależności (4.4) uzyskuje się
Tns (4.6)
Funkcja zgrid nie wykreśla linii stałego , które muszą być naniesione na wykres niezależnie
i są one okręgami o stałych promieniach wyznaczanych z zależności
Ter (4.7)
Ostatecznie zakresy parametrów wykreślanych na płaszczyźnie z, które są następujące
0.6 s 1.2 [rad/s] (4.8)
0.358 0.690 (4.9)
0.541 r 0.769 (4.10)
Zakresy parametrów opisanych zależnościami (4.7), (4.8) oraz (4.9) pokazane są na rysunku
4.1. Wyniki te uzyskane zostały przy użyciu następujących linii kodu programu
clear
close all
T = 0.2; % Okres próbkowania
% wn1, wn2 - granice dopuszczalnych wartości wn
wn1 = 3;
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 13
wn2 = 6;
% zeta1, zeta2 - granice dopuszczalnych wartości zeta
zeta1 = 0.358;
zeta2 = 0.690;
% sigma1, sigma2 - granice dopuszczanych wartości sigma
sigma1 = 1.314;
sigma2 = 3.067;
% ws1, ws1 - próbkowane częstotliwości wn
ws1 = wn1*T;
ws2 = wn2*T;
% R1, R2 - promienie granicznych wartości sigma1, sigma2
R1 = exp(-sigma1*T);
R2 = exp(-sigma2*T);
% Wyznaczenie okręgów o stałych promieniach R1, R2
for i=0:360,
xCircle1(i+1) = R1*cos(i*pi/180);
yCircle1(i+1) = R1*sin(i*pi/180);
xCircle2(i+1) = R2*cos(i*pi/180);
yCircle2(i+1) = R2*sin(i*pi/180);
end;
% wykreślenie okręgów o stałych promieniach
plot( xCircle1, yCircle1, 'k:', xCircle2, yCircle2, 'k:')
axis([-1 1 -1 1])
xlabel('Re z')
ylabel('Im z')
zgrid([zeta1 zeta2], [ws1 ws2])
axis equal
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.667
0.358
1.2
0.6
1.2
0.6
Re z
Im z
0.736
0.541
Rys. 4.1. Wykres obszaru dozwolonych położeń biegunów na płaszczyźnie z spełniających zadane
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 14
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1. Dla poniższych układów dyskretnych znajdź transmitancję dyskretną )()( zRzY Okres
próbkowania T = 0.5 [s].
a)
y(t)
T
1
s(s + 2)
r(t) r*(t)
b)
y(t)
T
1
s + 1
r(t) r*(t) 10
s + 2
c)
y(t)1
s + 1
r(t) r*(t) 10
s + 2T T
d)
y(t)
TZOH
r(t) r*(t) 5
s(s + 2)
h(t)
e)
y(t)
TZOH
e(t) e*(t) 1
s + 2
h(t)r(t)
f)
y(t)
TZOH
e(t) e*(t) 1
s + 2
u*(t)r(t) 1
s + 1T
g)
y(t)
TZOH
e(t) e*(t) 1
s + 2
h(t)r(t)
1
s + 1
h)
y(t)
TZOH
e(t) e*(t) 1
s + 2
u*(t)r(t) 1
s + 1T
1
s + 3
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 15
M2. Dla poniższych układów sterowania, wyznacz transmitancję dyskretną całego układu )()( zRzY
i następnie wyznacz odpowiadające im dyskretne równania stanu.
a) Okres próbkowania T = 0.25 [s].
1
s(s+0.1)
0.5s
R(s) Y(s)ZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(a) Schemat blokowy układu dyskretnego.
b) Okres próbkowania T = 0.2 [s].
1
s
R(s) Y(s)ZOH
T
2
s T
Y*(s)
Rys. M2(b) Schemat blokowy układu dyskretnego.
c) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
1
s
2
R(s) Y(s)7
sZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(c) Schemat blokowy układu dyskretnego.
d) Okres próbkowania T = 0.15 [s].
61
s+1
R(s) Y(s)1
sZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(d) Schemat blokowy układu dyskretnego.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 16
e) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
1
s(s+4)
0.5s
R(s) Y(s)14ZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(e) Schemat blokowy układu dyskretnego.
f) Okres próbkowania T = 0.05 [s].
41
s(s+0.1 )
s
R(s) Y(s)ZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(f) Schemat blokowy układu dyskretnego.
g) Okres próbkowania T = 0.15 [s].
1
s+1
R(s) Y(s)ZOH
T
5
s
Y*(s)
T
Rys. M2(g). Schemat blokowy układu dyskretnego.
h) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
1
s+15
R(s) Y(s)
2
1
sZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(h). Schemat blokowy układu dyskretnego.
i) Okres próbkowania T = 0.05 [s].
1
s+1
R(s) Y(s)
2
4
sZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(i). Schemat blokowy układu dyskretnego.
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 17
j) Okres próbkowania T = 0.5 [s].
1
s
R(s) Y(s)
4
ZOHT
5
s
Y*(s)
T
Rys. M2(j). Schemat blokowy układu dyskretnego.
k) Okres próbkowania T = 0.15 [s].
1
s+115
R(s) Y(s)
4
1
sZOH
T
Y*(s)
T
Rys. M2(k). Schemat blokowy układu dyskretnego.
l) Okres próbkowania T = 0.1 [s].
16
s
R(s) Y(s)ZOH
T
1
s T
Y*(s)
Rys. M2(l). Schemat blokowy układu dyskretnego.
M3. Naszkicuj obszary na płaszczyźnie z w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu,
które spełniają poniższe wymagania.
a)
czas narastania tn 0.5 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp 20 [%]
czas regulacji tR 2 [s], ( = 1 [%])
okres próbkowania: T = 0.05 [s].
b)
czas narastania 0.3 tn 0.6 [s],
maksymalne przeregulowanie 15 Mp 30 [%],
czas regulacji 7
10 tR
3
10 [s], ( = 2 [%])
okres próbkowania T = 0.1 [s].
c)
czas narastania tn 2 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 10 Mp 25 [%]
czas regulacji tR 6 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.2 [s]
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 18
d)
czas narastania tn 0.6 [s],
maksymalne przeregulowanie Mp 20 [%],
czas regulacji 1 tR 2 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.05 [s]
e)
czas narastania tn 0.8 [s],
maksymalne przeregulowanie Mp 25 [%],
czas regulacji tR 3.6 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.1 [s]
f)
czas narastania 0.6 tn 1.8 [s],
maksymalne przeregulowanie Mp 10 [%],
czas regulacji tR 1.8 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.1 [s]
g)
czas narastania tn 1.5 [s],
maksymalne przeregulowanie 15 Mp 50 [%],
czas regulacji tR 8 [s], = 1 [%]
okres próbkowania: T = 0.15 [s]
h)
czas narastania tn 0.3 [s],
maksymalne przeregulowanie 5 Mp 25 [%],
czas regulacji 1 tR 7
10 [s], ( = 1 [%])
okres próbkowania: T = 0.2 [s]
i)
czas narastania tn 0.45 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp 14 [%]
czas regulacji tR 4 [s], ( = 1 [%])
okres próbkowania: T = 0.1 [s]
j)
czas narastania tn 1.6 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 12 Mp 18 [%]
czas regulacji tR 8 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.05 [s]
k)
czas narastania tn 0.3 [s],
maksymalne przeregulowanie Mp 10 [%],
czas regulacji tR 3 [s], ( = 2%)
okres próbkowania: T = 0.15 [s]
l)
czas narastania tn 1.2 [s],
maksymalne przeregulowanie 12 Mp 24 [%],
czas regulacji tR 7.2 [s], ( = 1 [%])
okres próbkowania: T = 0.2 [s]
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 19
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
a) 3679.03679.1
3161.0)(
2
zz
zzG
b) 2231.09744.0
3865.2)(
2
zz
zzG
c) 2231.09744.0
10)(
2
2
zz
zzG
d) 3679.03679.1
3303.04598.0)(
2
zz
zzG
e) 0518.0
3161.0)(
zzG
f) 2231.06583.0
1606.3)(
2
zzzG
g) 2701.08970.0
1917.03161.0)(
2
zz
zzG
M2.
a) )()(8890.0)(8310.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0283.0)(0297.0)( 21 kxkxky
b) )()(8659.0)(8.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0308.0)(0352.0)( 21 kxkxky
c) )()(8350.0)(7650.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0350.0)(0350.0)( 21 kxkxky
d) )()(7962.0)(6796.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0554.0)(0612.0)( 21 kxkxky
e) )()(6898.0)(5770.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0522.0)(0606.0)( 21 kxkxky
f) )()(9513.0)(9416.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0048.0)(0049.0)( 21 kxkxky
g) )()(7870.0)(6898.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0462.0)(0510.0)( 21 kxkxky
h) )()(7613.0)(7181.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0205.0)(0227.0)( 21 kxkxky
i) )()(8652.0)(8559.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0045.0)(0048.0)( 21 kxkxky
j) )()(0625.0)(9375.0)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0125.0)(1125.0)( 21 kxkxky
k) )()(5764.0)(3389.1)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(1040.0)(1334.0)( 21 kxkxky
l) )()(5429.0)(3048.0)1( 211 krkxkxkx
)()1( 12 kxkx
)(0749.0)(0774.0)( 21 kxkxky
M3.
a) 0.18 s
0.4559
0 r 0.8914
b) 0.3 s 0.6
0.3579 0.5169
0.7558 r 0.8869
c) 0.18 s
0.4037 0.5912
0.8752 r 1
d) 0.15 s
0.4559
0.8187 r 0.9048
Teoria sterowania Własności dynamiczne układów dyskretnych Matlab
Ostatnia aktualizacja: 2018-02-22 M. Tomera 20
e) 0 s 0.225
0.4037
0.8948 r 1
f) 0.1 s 0.3
0.5912
0.8007 r 1
g) 0.18 s
0.2155 0.5169
0 r 0.9174
h) 1.2 s
0.4037 0.6901
0.3985 r 0.5252
i) 0 s 0.4
0.5305
0 r 0.8914
j) 0.0563 s
0.4791 0.5594
0 r 0.9753
k) 0 s 0.9
0.5912
0.8187 r 1
l) 0.3 s
0.4136 0.5594
0 r 0.88
LITERATURA
1. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Digital Control of Dynamic Systems, 3rd
ed.
Addison-Wesley Publishing Company, 1998.
2. Kuo B.C.: Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995.