Upload
gigi
View
6
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Curs prelucrarea semnalelor digitale
Citation preview
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
1
1. INTRODUCERE.
SEMNALE I SISTEME DISCRETE N TIMP
1.1 Semnale discrete n timp
Prelucrarea numeric a semnalelor analogice a devenit o practic frecvent ntlnit. Aceasta presupune dou operaii: - eantionarea la anumite momente de timp. n cele ce urmeaz acestea vor fi
presupuse de forma snT , unde sT reprezint perioada de eantionare, iar
SS TF /1 este frecvena de eantionare (eantionare regulat); aceast operaie
este realizat de un dispozitiv de eantionare-memorare (sample&hold). Dispozitivul respectiv realizeaz deci o discretizare n domeniul timp.
- conversia analog numeric. Aceasta presupune o discretizare a nivelului semnalului, aplicat eantioanelor, rezultnd o reprezentare numeric a semnalului, aplicabil unui sistem de calcul.
Acest prim capitol se refer la semnalele discrete n timp, incluznd deci ca un caz particular i semnalele numerice. Vom defini semnalul discret n timp ca o aplicaie de forma
RCZ sau: nx Poate proveni din eantionarea unui semnal analogic, )(txa cu perioada
SS FT /1 ,
Sa nTxnx Pentru ca procesul de eantionare s nu conduc la o pierdere de informaie, trebuie ndeplinite condiiile teoremei eantionrii. Aceasta presupune ca semnalul analogic s fie de band limitat i
2
SM
FF
unde MF este frecvena limit superioar a spectrului semnalului. n aceste
condiii, din semnalul discret se poate reface n mod exact semnalul analogic iniial.
Pe un interval finit de timp, semnalul va fi reprezentat printr-un numr finit N de eantioane, care pot fi exprimate ca i componente ale unui vector
, 1 , , 1T
n x n x n x n N x
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
2
Fig. 1.1
Semnale particulare
Impulsul unitar (Fig. 1.1):
0,0
0,1
n
nn
Fig. 1.1
Impulsul treapt unitate (Fig. 1.2):
0,0
0,1
n
nnu
Fig. 1.2
Semnal periodic de perioad N. Vom spune c un semnal discret n timp este periodic dac N N astfel nct
Nnxnx , Z n , iar N este perioada semnalului.
Semnal sinusoidal discretizat
Pornind de la semnalul analogic
00cos tAtxa , 00 2 F prin eantionare se obine
00cos SnTAnx n cele ce urmeaz vom nota frecvena normat 0f i frecvena unghiular
normat 0 :
u(n)
-2 -1 0 1 2
1
n
-2 -1 0 1 2 n
1
)(n
E/M CAN
)(txa ( )x n
Semnal analogic Semnal discret
n timp
Semnal numeric
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
3
SS
F
FTFf 000 , ST00
literele mari fiind utilizate pentru mrimile nenormate. Se atrage atenia c n unele lucrri mai vechi se utilizeaz pentru a simboliza normarea unei frecvene sublinierea. Cu notaia adoptat,
00cos nAnx Acest semnal nu este n general periodic. Este periodic, de perioad N, numai dac N, k, astfel nct
NkkN
22 00 ,
sau
N
k
T
TS 0
relaie care presupune un anumit sincronism ntre perioada de eantionare i perioada semnalului (n intervalul de timp NTS trebuie s fie cuprinse un numr ntreg de perioade ale semnalului analogic). Concluzia obinut este valabil pentru orice semnal obinut prin eantionarea unui semnal analogic periodic. Exponeniala complex:
0jneAnx
Energia semnalului discret este dat de :
n
def
nxE2
Conform teoremei eantionrii, energia unui semnal analogic poate fi calculat pormind de la eantioanele sale, prin relaia
n
SaSa nTxTE2
deci energia definit ca mai sus pentru semnalul discret se obine din energia semnalului analogic printr-o normare:
aS
ET
E1
Dac energia nu este finit, se poate defini puterea medie a semnalului discret n timp,
N
NnN
nxN
P2
12
1lim
1.2 Sisteme discrete n timp
Vom defini un sistem discret n timp ca un operator de forma
nxTny (Figura 1.3)
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
4
Fig. 1.3
Vom defini n continuare clase particulare de sisteme discrete n timp.
Sisteme liniare (SL) sunt acele sisteme care satisfac principiul
superpoziiei adic pentru orice constante 1a , 2a i orice semnale )(1 nx , )(2 nx ,
nyanyanxTanxTanxanxaT 221122112211 Pentru sistemele liniare vom introduce funcia de pondere, ca rspuns al sistemului la impulsul unitar n .
nTnh Orice semnal discret poate fi reprezentat ca
k
knkxnx
n consecin rspunsul unui SL poate fi scris
k k
kk
nhkxknTkxknkxTnxTny
unde
knTnhk Sisteme invariante n timp (SIT) sau invariante la deplasare, se definesc
prin
nxTny knxTkny pentru Zk . Definiia de mai sus poate fi interpretat prin aceea c un SIT comut cu un operator de ntrziere (Fig. 1.4)
Fig. 1.4
y(n) x(n)
T { } z-k
y(n-k)
x(n-k) x(n)
T { } z-k
T{x(n-k)}
y(n) x(n)
T { }
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
5
Pentru un sistem liniar i invariant n timp (SLIT): knhknTnhk
aa nct
k
knhkxny
Se definete convoluia liniar n timp discret prin
k
knxkxnxx 2121
Este evident un operator comutativ,
nxxknxkxknxkxnxxkk
12122121
O notaie echivalent este frecvent utilizat nxnxnxx 2121
Rezult pentru un SLIT concluzia important c rspunsul acestuia la un semnal nx este convoluia dintre acesta i funcia de pondere a sistemului (Fig. 1.5):
nhxnxhny
Fig. 1.5
Sisteme stabile Un sistem stabil este un sistem pentru care orice semnal de intrare mrginit (ca amplitudine) conduce la un semnal de ieire de asemenea mrginit. n cazul unui SLIT, pentru aceasta este necesar i suficient ca
k
kh
deci ca funcia de pondere s fie absolut sumabil.
Sisteme cauzale
O definiie general pentru un sistem cauzal impune ca pentru 0nn , s
existe implicaia
nxnx ba pentru 0nn nyny ba pentru 0nn , unde nyny aa , reprezint rspunsurile sistemului la cele dou semnale de intrare.
Pentru un SL condiia de cauzalitate se rezum la condiia de neanticipativitate (rspunsul sistemului nu poate aprea naintea excitaiei). ntr-
adevr, dac la intrarea unui sistem liniar cauzal se aplic nxnxnx ba deci 0nx pentru 0nn , rspunsul sistemului, n baza liniaritii este
y(n)=(h x)(n) x(n)
h(n)
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
6
nynyny ba 0ny pentru 0nn . Deci n acest caz condiia de cauzalitate se poate scrie
00 pentru0pentru0 nnnynnnx Pentru un SLIT condiia de cauzalitate poate fi scris sub forma:
0nh , 0n . ntr-adevr, n acest caz, pentru orice nxnx ba , ce satisfac condiiile de mai nainte, se poate scrie
0
10
0
10
nkb
n
kbb
nka
n
kaa
knhkxknhkxny
knhkxknhkxny
0pentru nnnyny ba
00 nk
b
nk
a knhkxknhkx
Dar aceasta nseamn
00
nk
ba knhkxkx 0 knh pentru 0nk i 0nn adic
0 kn , deci n final
0nh , 0n . Prin extensie, dac o secven ndeplinete condiia 0nx , pentru 0n , se spune c este cauzal.
Ecuaii cu diferene finite
O clas particular de SLIT poate fi descris prin ecuaii cu diferene finite.
M
kk
N
kk knxkny
00
unde k i k sunt nite constante. Dac 00 rezult, mprind cu 0 i notnd
kk a0
,
kk b0
,
N
kk
M
kk knyaknxbny
10
Dac 0N , rmne:
M
kk knxbny
0
i n particular, pentru nnx ,
restin,0
],0[,
0
Mnbknbnh n
M
k
k
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
7
Un asemenea sistem se spune c este cu rspuns finit la impuls (RFI) sau FIR
(finite impulse response). n caz contrar, 0N , sistemul este cu rspuns infinit la impuls (RII) sau IIR (infinite impulse response).
Comportarea SLIT n domeniul frecven Pentru caracterizarea unui sistem n domeniul frecven, vom aplica la intrarea sa un semnal
jnjjnj eeAeeAnAnx 2
1
2
1cos
S lum pentru nceput cazul mai simplu:
jnenx 0 i s calculm rspunsul sistemului. Se gsesc succesiv
k
jk
k
jkjn
k
knj
k
ekhnxekhe
ekhknxkhny
0
00
Se definete funcia de transfer a sistemului:
k
jkj ekheH
Deci, n cazul considerat, avem:
jeHnxny 00 Prin urmare, rspunsul unui SLIT la o exponenial complex de frecven se obine nmulind semnalul de intrare cu funcia de transfer calculat la frecvena . Observaie Aceast proprietate st la baza metodei armonice de calcul a rspunsului unui SLIT la un semnal ce const ntr-o combinaie liniar de exponeniale complexe,
i
jnj
i
i
jn
iiii eeHAnyeAnx
,
sau n particular, de sinusoide (cosinusoide).
jeH fiind n general o funcie complex, se poate scrie ca:
jjjeHj
jj eeHeeHeH
arg
Un caz important este cel al sistemelor cu funcie de pondere real, RZ:nh . n acest caz funcia de transfer se scrie:
kkk
j kkhjkkhkjkkheH sincossincos
Evident, partea real este
k
j kkheH cosRe
iar cea imaginar
k
j kkheH sinIm
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
8
Constatm deci c n cazul sistemelor cu funcie de pondere real, partea real a
funciei de transfer este funcie par de , iar partea imaginar este funcie impar. De aici deriv proprieti de simetrie pentru modul i argument:
jjjj eHeHeHeH 22 ImRe
j
j
eH
eH
Re
Imarctg
n consecin,
jjjjjj eHeHjeHeHjeHeH ImReImRe
ntrebare. n ce caz funcia de transfer este real?
Din rezultatul obinut pn aici se poate deduce simplu rspunsul sistemului la
exponeniala complex jnenx 0 , nlocuind n final, rspunsul n cazul semnalului real nAnx cos se obine pe baza liniaritii:
jnjjjjnjjj eeeHeAeeeHeAny )()(22
njnjj eeeHAny2
neHAny j cos Relaia de mai sus sugereaz c
jeH arat ctigul introdus de filtru, n funcie de frecven, deci reprezint caracteristica amplitudine frecven ;
indic defazajul introdus de sistem, deci reprezint caracteristica faz frecven ;
d
d este caracteristica timp de ntrziere de grup (normat)-
frecven.
O particularitate a fuciei de transfer jeH a unui sistem discret n timp const n faptul c este periodic de perioad 2. n cazul sistemelor cu funcie de pondere real, apare i o simetrie a caracteristicii
amplitudine-frecven n raport cu jj eHeH 2 jj eHeH
Avnd n vedere aceste particulariti, aspectele caracteristicilor amplitudine-frecven ale unor filtre sunt date n figurile 1.6-1.8.
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
9
Fig. 1.6
Fig 1.7
Fig. 1.8
Transformri utilizate n studiul sistemelor discrete n timp Se reamintesc, pentru precizarea notaiilor, principalele transformri folosite n domeniul semnalelor i sistemelor discrete n timp.
Transformata Fourier n timp discret direct
nxenxeXn
jnj TFTD
i invers
neXdeeXnx jjnj
TFTDI2
1
reprezint un instrument util de lucru pentru analiza n domeniul frecven, comportarea circuitelor n regim armonic, analiza spectral a semnalelor. Observaii
FTB
0 2 3 -
FTJ
- 2 3 0
jeH
jeH
FTS
- 2 3 0
jeH
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
10
Este evident o funcie periodic de perioad 2 (n frecvene unghiulare normate ) sau 1 (n frecvene normate f ), motiv pentru care se reprezint n mod uzual n intervalul (-, ], respectiv (-0,5,0,5].
Se tie (teorema eantionrii) c dac transformata Fourier a semnalului analogic
txa este
i
este TFTD a semnalului eantionat, Sa nTxnx , atunci
deci spectrul semnalului discret n timp se obine prin periodizarea cu perioada
S
ST
2
a spectrului semnalului analogic (Figura 1.9).
Fig. 1.9
Convergena TFTD este asigurat dac
n
nx , deci dac secvena este
absolut sumabil. n caz contrar, comportamentul spectral poate fi descris prin distribuii.
De exemplu, pentru secvena constant, 1(n), 221TFTD n
unde 2 este distribuia Dirac, periodizat cu perioada 2. Pentru exponeniala complex, aplicnd teorema deplasrii n formula precedent,
022TFTD 0 jne
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
11
Se observ imediat c funcia de transfer definit mai nainte, este transformata funciei pondere,
jeH =TFTD{h(n)}. Avnd n vedere teorema convoluiei (transformata convoluiei a dou secvene este
produsul transformatelor acestora), aplicat formulei ce d rspunsul unui SLIT,
jjj eXeHnxhnyeY TFTDTFTD Transformata Z este definit ca o serie de puteri
n
nznxnxZzX
C
n dzzzXj
zXZnx 11
2
1
Fig. 1.10
Domeniul de convergen al transformatei Z este n general o coroan circular (Figura 1.10),
RzRzD C Domeniul de integrare n transformata invers, C, este o curb nchis inclus n domeniul de convergen. n particular, poate fi un cerc cu centrul n origine, de raz R,
RRRRzzC ,C .
Cazuri particulare
Secven limitat la stnga, nelimitat la dreata prin nnnx pentru,0 . n acest caz R , aa nct RzzD C este exteriorul unui cerc de raz
R (Figura 1.11a). Se excepteaz z=, dac 0n . Pentru 0n , o asemenea
secven mai este numit cauzal.
Secven nelimitat la stnga, limitat la drepta, caracterizat prin
nnnx pentru,0 . n acest caz 0R , aa nct RzzD C este interiorul unui cerc de raz R . Se excepteaz punctul z=0, dac 0n (Figura
1.11b). Pentru 0n , o asemenea secven mai este numit anticauzal.
R- R- R+ Re{z}
Im{z}
C
R
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
12
Observaii
Calculul integralei pe contur se efectueaz cu ajutorul teoremei reziduurilor
k
k
z
n
zkC
n zzXdzzzXj
zXZnx 1
IntC,
11 Rez2
1
Fig. 1.11
Se reamintete c reziduul ntr-un pol simplu se calculeaz cu formula
11 limRez
nkzzz
n zzXzzzzXk
k
,
iar n cazul unui pol multiplu de ordin m,
1
1-
1-1
d
d
!1
1limRez
nm
km
m
zzz
n zzXzzzm
zzXk
k
Precizarea domeniului de convergen este necesar pentru determinarea n mod unic a secvenei temporale.
Ca i n cazul TFTD, exist o teorem a convoluiei, ce transform convoluia n timp n produs al transformatelor Z. Ca urmare a acestui fapt i a existenei unui instrument eficient de calcul a transformatei inverse (metoda reziduurilor),
transformata Z reprezint un instrument de baz pentru calculul rspunsului sistemelor discrete n timp la semnale de tip impuls,
zXzHnxhnyzY ZZ . Se verific imediat c dac cercul de raz unitate este inclus n domeniul de
convergen, exist TFTD i
n- n
x(n)
n+
n
x(n)
R- R+
a. b.
D
D
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
13
jezn
jnj zXnxenxeX
TFTD
Deci TFTD este egal cu transformata Z evaluat pe cercul unitar.
Exemplu
Fie
babzaz
zX
,11
111
. Calculai nx n cazurile
1. bzzD C 2. bzazD C 3. azzD C
Verificai soluiile calculnd transformatele secvenelor obinute. Vom trata pe rnd cele trei situaii.
n cazul 1, transformata invers va corespunde unei secvene limitate la stnga. n
plus, deoarece zXz lim este finit, 0n (secven cauzal). Conturul de
integrare poate fi luat un cerc C1 de raz bR .
11
11
11
1
1
1
2
1
11
1
2
1
C
n
C
n dzzbzazj
dzzbzazj
zXZnx
Deoarece secvena este cauzal, ne intereseaz numai cazul 0n , astfel nct 1nz nu genereaz poli n interiorul cercului C1. Rmn a fi luate n considerare numai reziduurile
aferente polilor bzaz 21 , , situai n interiorul acestui cerc,
111
1
11
nn bab
aba
zXZnx
Deoarece am stabilit c este o secven cauzal, putem scrie
nubaba
zXZnx nn 11111
Verificare
0
1
0
1
0
11
111
1
n
n
n
n
n
nnn
n
n bzba
baz
ba
azba
baznxnxZzX
Seria de puteri din primul termen e convergent dac raia e subunitar, azaz 1 i
n aceste condiii,
101
1
1
azba
aaz
ba
a
n
n
La fel, pentru al doilea termen, condiia de convergen este bz i
101
1
1
bzba
bbz
ba
b
n
n
n consecin, domeniul de convergen pentru zX1 este dat de intersecia celor dou condiii, adic bzzD C1 , i
111 11
1
bzaz
zX
n cazul 2, domeniul de convergen sugereaz o secven bilateral. Conturul de
integrare va fi bRaRzzC ,C2 i
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
14
2
1
2
1
2
1
C
n dzzbzazj
nx
Dintre cei doi poli bzaz 21 , , numai 1z se afl n interiorul conturului de integrare. n
afar de acesta, pentru n0. n acest caz, singurul reziduu ce trebuie luat n considerare
este az 1 .
nuaba
nx n 121
n cazul n
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
15
n cazul 3, domeniul de convergen fiind interiorul unui cerc, secvena va fi limitat
la dreapta. Cum n z=0 zX are limit finit, 0n , deci este o secven anticauzal i ne intereseaz 0pentru3 nnx . Conturul de integrare poate fi
luat un cerc C3 de raz aR .
3
1
11
1
311
1
2
1
C
n dzzbzazj
zXZnx
Singurul pol situat n interiorul conturului C3 este cel multiplu, din origine. Putem evita
calculul reziduului n acest pol procednd la fel ca n cazul precedent. Vom calcula deci
partea cauzal a transformatei lui
nxZz
bz
a
abbzazzXzX
11
11
11
11 , cu
a
zzD1
C
Conturul de integrare va fi
a
RRzzC1
,C3
care conine n interior polii b
za
z1
,1
21 . n plus, pentru n=0 mai apare un pol n
origine. Pentru n>0
111331
11
11
2
1
3
nn
C
n abba
dzz
zb
za
abjnxnx
Pentru n=0, adugnd i reziduul aferent polului din origine, se obine 003 x .
11 1133
nuabba
nxnx nn
Verificare
1
1
1
11
11
11
333
1
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n zaba
azb
ba
bzazb
baznxnxZzX
Prima serie e convergent pentru bzzD C1,3 , iar a doua pentru azzD C2,3 , astfel nct azzDDD C2,31,3 . Efectund nsumrile,
se verific zXzX 3 . Exemplul acesta ilustreaz dependena secvenei de domeniul de convergen al transformatei Z i modul de calcul pentru a evita calculul reziduurilor n polii multipli. Aplicaia 2
Deducei funcia de transfer
Y zH z
X z pentru un sistem descris prin ecuaia cu
diferene finite
N
kk
M
kk knyaknxbny
10
.
Ce implicaii au condiiile de cauzalitate i de stabilitate?
Aplicnd transformata Z relaiei de mai sus i innd seama de teorema ntrzierii,
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
16
00 1
1
1
Mk
kM Nk k k
k k Nkk k
k
k
b z
Y z b X z z a Y z z H z
a z
Funcia de transfer este deci n general un raport de polinoame. Condiia de cauzalitate impune ca domeniul de convergen s fie exteriorul unui cerc de raz R suficient de
mare, astfel nct toi polii s se afle n interiorul acestuia. n plus, limz
H z
trebuie s
fie finit, condiie evident ndeplinit. Pentru ca n plus sistemul s fie stabil,
k
kh .
Dar 0 0
j k j k j
k k k
h k h k e h k e H e
, deci condiia de stabilitate
impune ca jH e . Rezult c cercul de raz unitate trebuie s se afle n interiorul domeniului de convergen, R
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
17
kX este o funcie periodic de perioad N, Z pkkXpNkX ,, . Ca urmare, procedura din Matlab ce efectueaz TFD, numit FFT, are ca intrare un
vector cu N elemente, reprezentnd eantioanele TNxxxn 1,,1,0 x ale secvenei temporale, iar ca ieire, un vector
TNXXXk 1,,1,0 X reprezentnd cele N valori reprezentative ale TFD.
Aplicnd definiia TFTD pentru secvena de suport finit
1
0
N
n
jnj enxeX
i comparnd cu definiia TFD, rezult evident
NknxeXenxknxkX N
jkN
n
Njnk
N
2TFTDTFD
21
0
2
Rezult c TFD genereaz N eantioane ale spectrului TFTD, la frecvene de forma
1,,1,0,2
NkN
kk
(Fig. 1.12)
Fig. 1.12
Probleme
1. Fie RZ :nx . Demonstrai c acest semnal se poate reprezenta sub forma
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
18
nxnxnx ip , unde nx p este partea par, iar nxi partea impar a
semnalului iniial, nxnxnxnx iipp ; . 2. Gsii i reprezentai prile pare i impare ale semnalelor:
0,sincos
10,
3
2
1
nenx
nAnx
nx
an
n
3. Fie CZ :nx . Demonstrai c acest semnal se poate reprezenta sub forma
nxnxnx ip , unde nx p este un semnal conjugat simetric, nxnx pp ,
iar nxi este un semnal conjugat antisimetric, nxnx ii .
4. Deducei prile conjugat simetrice i conjugat antisimetrice ale semnalelor
02
01
njn
nj
eAnx
Aenx
5. Demonstrai c operaia de convoluie liniar este asociativ: nznynxnznynx .
6. Fie dou sisteme liniare i invariante n timp cu funciile pondere
nhnh 21 , . Calculai funcia de pondere a sistemului obinut prin conectarea celor dou sisteme
- n paralel; - n cascad.
7. n cazul celor dou sisteme din problema 6 fie
2,1,Z
2,1,TFTD
inhzH
inheH
ii
ij
i
Calculai funciile de transfer n domeniul frecven i n domeniul Z ale sistemului obinut prin conectarea celor dou sisteme - n paralel; - n cascad.
8. Fie un sistem liniar i invariant n timp cu funcia pondere
0,
0,
nb
nanh
n
n
Determinai valorile lui a i b pentru care sistemul este - stabil; - cauzal i stabil.
9. Un sistem este caracterizat prin relaia intrare-ieire N MnMxny ,
Este acest sistem liniar? Dar invariant n timp?
10. Un sistem este caracterizat prin relaia intrare-ieire
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
19
restin0
,,, NLkkLnL
nx
ny
Este acest sistem liniar? Dar invariant n timp?
11. Un sistem este caracterizat prin relaia intrare-ieire
2nxny Este acest sistem liniar? Dar invariant n timp?
12. Verificai dac sistemele caracterizate prin relaiile intrare-ieire
nxnynnxny
nxny
3
02
1
cos
cos
14 nnxnxny sunt
a. liniare; b. invariante n timp; c. cauzale; d. stabile.
13. Calculai transformata Z pentru i precizai domeniul de
convergen.
14. Fie secvena circular simetric CZ:nx . Demonstrai c transformata sa
Z se bucur de proprietatea
zXzX
1i reciproc. Cum se modific
enunul de mai sus n cazul secvenelor reale?
15. Calculai secvena a crei transformat Z este
,
Indicaie. Utilizai proprietatea enunat n problema 14.
16. Demonstrai c dac secvena CRZ :nx are transformata cu domeniul de convergen
atunci i determinai
domeniul de convergen.
17. Demonstrai c dac secvena CZ :nx are transformata cu domeniul de convergen
atunci
zXnxZ
1 i determinai
domeniul de convergen. 18. Determinai domeniile de convergen pentru transformatele de mai jos, tiind
c ele corespund unor secvene cauzale. Calculai secvenele respective.
11 1
1
az
zX
25,0
12
zzzX
Prelucrarea numeric a semnalelor - Capitolul 1 Silviu Ciochin
20
az
azzX
13
19. Calculai secvenele corespunztoare transformatelor Z de la problema precedent, pentru toate variantele posibile de alegere a domeniului de convergen.
20. Calculai transformata Z i domeniul de convergen pentru
10,10,1 nununx nn . Verificai apoi rezultatul, efectund transformata invers.
21. Un semnal sinusoidal cu frecvena 15KHz este eantionat cu frecvena 100KHz. Demonstrai c semnalul discret n timp este periodic i calculai perioada.
22. Calculai expresia funciei de transfer pentru un sistem descris prin ecuaii cu diferene finite. Discuie, pentru sisteme RFI i RII.
23. Un SLIT are . Calculai ctigul la frecvena .
24. Unui SLIT cu funcia de transfer jeH i se aplic la intrare semnalul
i
iii nAnx cos . Scriei expresia semnalului de la ieire.
25. Unui SLIT cu i se aplic .
Calculai ieirea sistemului. 26. Sistemului de la problema 24 i se aplic
. Calculai ieirea
acestuia.
27. Aceeai problem, dac semnalul de intrare este .
Indicaie. Pentru ultimele trei probleme se va utiliza metoda armonic. 28. Deducei i reprezentai distribuiile spectrale pentru semnalele de la
problemele 26 i 27.