Embed Size (px)
DESCRIPTION
maths
Citation preview
Grupul ortogonal
Mircea Crasmareanu
Facultatea de MatematicaUniversitatea ”Al. I. Cuza”
Iasi, 700506Romania
http://www.math.uaic.ro/∼mcrasm
Curs de Perfectionare 20079 Figuri
Abstract
However varied may be the imagination of man, nature is stillthousand times richer.
H. Poincare
1
Paginile care urmeaza sunt rodul unor ıntrebari. Desi ıntrebarile au uncaracter general, ın sensul ca si le poate pune orice profesor de matematica(sau om de stiinta, sau si mai general, orice om) raspunsurile sunt particulare,pentru ca ın matematica (sau, cum spuneam ın stiinta) nu exista dictatura!Astfe, randurile urmatoare sunt o invitatie la cautare, la gustare din bucuriileacestei lumi, atat cat au fost ele gasite de autor. In mod sigur, sunt mult,mult mai multe!
Si iata deci un hatis al ıntrebarilor, puse de autor siesi de-a lungul tim-pului:
1) La pagina xi din [3]
Editia engleza a cartii citate ()
apare citata o legenda a anilor ’20 ai secolului trecut precum ca existadoar doisprezece oameni ın lume care ıl pot ıntelege cu adevarat pe Einstein.Cel ce scrie aici preda geometria euclidiana, un subiect cu adevarat ıntelesde mult mai multi. Dar oare sunt printre acesti preafericiti sau am doaro viziune exterioara, ınselatoare asupra acestei teorii? Revenind la carteacitata, abia acum reusesc, avand si un model de comparat, sa apreciez lajusta valoare, cartile Floricai T. Campan de istorie a lui i si a altor numerecelebre.
2
Concursul Florica T. Campan (? - 19?)
2) Pe coperta a IV-a a cartii [5] este urmatoarea povestioara: ”Cinci orbiau pipait un elefant si li s-a cerut sa-l descrie. Cel ce i-a atins un picior aspus ca-i un stalp, cel ce i-a atins burta a spus ca-i un tavan, cel ce i-a pipaito latura a spus ca-i un zid, cel ce i-a atins urechea a spus ca-i un evantai,iar cel ce i-a atins trompa a spus ca-i un sarpe urias.” Asemeni autoruluirespectivei carti, ma ıntreb si eu: care dintre orbi sunt, relativ la elefantulnumit geometrie euclidiana?
3
Note de curs
Fixam numarul natural nenul n si R multimea numerelor reale. Consideramprodusul cartezian a n factori R i.e. Rn = R× . . .×R cu elemente de formax = (x1, . . . , xn), xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.
Definitia 1 Operatii pe Rn:· adunarea + : Rn × Rn → Rn, x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) daca x =(x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).· ınmultirea cu scalari : ·R : R×Rn → Rn, λx = (λx1, . . . , λxn) pentru λ ∈ R.Elementele x, y ∈ Rn pentru care exista scalarul λ a.ı. y = λx se numesccoliniare. Daca λ > 0 spunem ca x, y sunt la fel orientati iar daca λ < 0spunem ca x, y sunt contrar orientati.
Propozitia 2 (Rn, +, ·R) este spatiu vectorial (sau liniar) real.
Demonstratie Se verifica imediat axiomele:SV1) (Rn, +) este grup abelian cu elementul neutru 0 = (0, . . . , 0) numitvectorul nul.SV2) distributivitati generalizate:SV2.1) λ(x + y) = λx + λySV2.2) (λ + µ)x = λx + µxSV2.3) λ(µx) = (λµ)xSV2.4) 1 · x = x. ¤
Observatia 3 Din acest motiv, elementele lui Rn le vom numi vectori(reali) n-dimensionali iar Rn ıl numim spatiul aritmetic n-dimensional.
Definitia 4 1) Un set de k(≤ n) vectori {e1, . . . , ek} din Rn ıl numimliniar independent daca relatia λ1e1 + . . .+λkek = 0 implica λ1 = . . . = λk =0.2) Un set liniar independent de exact n vectori ıl numim baza ın Rn.
Observatia 5 Pentru simplificarea scrierii relatiilor de tipul precedentvom utiliza regula Einstein: aparitia unui indice sus si jos semnifica sumareaexpresiei repective dupa toate valorile acelui indice. Astfel, relatia din definitiese poate scrie concentrat: λiei = 0.
4
Albert Einstein (1879 - 1955)
Fixam baza B = {ei}1≤i≤n si vectorul x. Sistemul {x, e1, . . . , en} avandn+1 > n vectori nu este liniar independent si deci exista scalarii α, α1, . . . , αn
nu toti nuli a.ı.:
αx + αiei = 0.
In ultima relatie nu putem avea α = 0. In adevar, presupunand α = 0 arrezulta αiei = 0, ceea ce, cu definitia liniarei independente, ar da ca totiαi sunt nuli; ın concluzie s-ar contrazice cuvintele sublinite anterior. Dinneanularea lui α rezulta: x = −αi
αei si deci am obtinut:
Propozitia 6 Orice x ∈ Rn se descompune ın raport cu o baza data B:
x = xiei. (1)
Mai mult, scrierea (1) este unica relativ la B!Demonstratie Trebuie aratata doar ultima parte. Din x = xiei = xiei
rezulta (xi − xi)ei = 0 si din nou liniara independenta da concluzia. ¤Definitia 7 Scalarii {xi}1≤i≤n dati de descopunerea (1) se numesc com-
ponentele lui x ın raport cu baza B
Exemplul 8 Se arata imediat ca Bc = {ei}1≤i≤n cuei = (0, . . . , 1, . . . , 0) avand 1 doar pe locul i este o baza ın Rn. Bc o numimbaza canonica a lui Rn si un vector x ∈ Rn are drept componente ın raportcu Bc exact componentele sale ca vector n-dimensional.
In afara de structura algebrica de R-spatiu vectorial, Rn poseda o struc-tura topologica indusa de o metrica ce provine dintr-un produs scalar.
5
Definitia 91) Aplicatia <,>: Rn × Rn → R:
< x, y >= x1y1 + . . . + xnyn (2)
se numeste produsul scalar euclidian pe Rn. Avem:
< x, x >= (n∑
i=1
(xi)2)12 . (3)
Perechea (Rn, <, >) o numim spatiul vectorial euclidian n-dimensional canonic.Doi vectori x, y ∈ Rn ıi numim ortogonali (sau perpendiculari), si notam x⊥y,daca:
< x, y >= 0. (4)
Exemplu remarcabil ın 2D: Daca x = (a, b) ∈ R2 atunci x⊥ = (−b, a)este perpendicular pe x. Aceasta alegere (deoarece si −x⊥ este perpendicularpe x) este ın acord cu sensul trigonometric (care este antiorar!): i⊥ = (−1, 0).
2) Aplicatia ‖, ‖ : Rn → R+, ‖x‖ =√
< x, x > o numim norma euclidianape Rn. Obtinem:
‖x‖ =√
(x1)2 + . . . + (xn)2. (5)
Vectorul x ∈ Rn pentru care ‖x‖ = 1 se numeste versor.3) Baza B = {ei}1≤i≤n o numim ortonormata daca este formata din versoriortogonali doi cate doi i.e.:
< ei, ej >= δij (6)
unde δ este simbolul lui Kronecker adica 1 daca i = j si 0 daca i 6= j.
Leopold Kronecker (7.12.1823 - 29.12.1891)
6
Observatia 101) Avem notiunile generale de produs scalar si norma:i) Numim produs scalar pe spatiul vectorial real V o aplicatie <,>: V ×V →R cu proprietatile:PS1) pozitiva definire: < x, x >≥ 0, ∀x ∈ V ; < x, x >= 0 ⇔ x = 0V ,PS2) simetria: < x, y >=< y, x >,PS3) biliniaritatea: < λx + µy, z >= λ < x, z > +µ < y, z >.Perechea (V,<, >) o numim spatiu vectorial euclidian.(ii) Numim norma pe spatiul vectorial V o aplicatie ‖ · ‖ : V → R cuproprietatile:N1) (pozitiva definire) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V ; ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0V =vectorul nuldin V ,N2) (pozitiva omogenitate) ‖λx‖ = |λ|‖x‖,N3) (inegalitatea triunghiului) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.Perechea (V, ‖ · ‖) o numim spatiu vectorial normat.(iii) O inegalitate ce leaga notiunile de produs scalar si norma este:
| < u, v > | ≤ ‖u‖‖v‖ (7)
numita forma geometrica a inegalitatii CBS (Cauchy-Buniakovski-Schwartz).
Cauchy (1789 - 1857)
Pe un spatiu vectorial euclidian putem introduce unghiul orientat dintredoi vectori nenuli: daca x, y ∈ (V \ {0V }, <, >) atunci definim θ = θ(x, y) ∈[0, π) prin:
cosθ =< x, y >
‖x‖‖y‖ . (8)
7
Rezulta inegalitatea | cos θ| ≤ 1 si caracterizarea cunoscuta a ortogonalitatii:
x⊥y ⇔ θ(x, y) =π
26
- x
y
Fig. 1 Vectori ortogonali
2) Orice produs scalar genereaza o norma:
(V, <, >) → (V, ‖ · ‖)
dupa formula:‖x‖ =
√< x, x > (9)
3) Apeland la (4) obtinem forma algebrica a inegalitatii CBS :
|n∑
i=1
uivi|2 ≤(
n∑i=1
(ui
)2
)(n∑
i=1
(vi
)2
). (10)
Avem egalitate daca si numai daca | cos θ (u, v) | = 1, echivalent vectorii u, vsunt coliniari, echivalent avem proportionalitatea v1
u1 = . . . = vn
un (= λ).4) Identitatea paralelogramului este specifica normelor generate de un produsscalar: ∀u, v ∈ (V,<, >) avem:
‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2
). (11)
Semnificatia geometrica (ce da si denumirea): suma patratelor diagonalelorunui paralelogram este egala cu suma patratelor laturilor.
Demonstratie Se aduna relatiile:{ ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 < u, v >‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2 < u, v >
. ¤
Sa mai observam ca prima din relatiile precedente este exact teoremaPitagora generalizata sau teorema cosinusului :
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖‖v‖ cos θ (u, v) (12)
8
sau ınca, alegand u =−→BA, v =
−→AC:
BC2 = AB2 + AC2 + 2AB · AC · cos(π − A
)
deoarece ](−→BA,
−→AC
)= π − A. Literal, avem:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. (13)
Evident, pentru triunghiul dreptunghic ın A, i.e. A = π2, avem teorema
Pitagora ce spune ca patratul ipotenuzei (latura ce se opune unghiului drept
A) este egal cu suma patratelor catetelor.
@@
@@c
b a =√
b2 + c2
a a
a
A
C
B
Fig. 2 Teorema Pitagora
Pitagora (c.580 ı.Hr. - c.500 ı.Hr.)
Deoarece lucrul cu indici poate deveni la un moment dat deosebit dedificil vom utiliza ın cele ce urmeaza calculul matriceal. Astfel, cu schema
xB→ XB =
x1
...xn
relatia (1) se scrie:
x = (e1, . . . , en) ·
x1
...xn
= B ·XB. (14)
9
Produsul scalar se poate scrie:
< x, y >= (x1, . . . , xn) ·
y1
...yn
=t x · y. (15)
De asemeni, conditia de ortonormare pentru baze devine:
tB ·B =
e1...en
· ( e1 . . . en
)=
< e1, e1 > . . . < e1, en >. . . . . . . . .
< e1, en > . . . < en, en >
= In.
(16)Exemplul 11 Baza canonica Bc este ortonormata.
Studiem ın continuare problema schimbarilor de baze ın Rn. Fie deciB = {e1, . . . , en} respectiv B′ = {e′1, . . . , e′n} baze (oarecare ıntr-o primafaza!) ın Vn. Descompunem vectorul e′i ın baza B cu relatia e′i = sj
iej siobtinem astfel ansamblul (s1
i , . . . , sni ) asociat vectorului e′i. Fie S matricea
ce are drept coloane ansamblurile precedente:
S =
s11 s1
i s1n
......
......
...sn1 sn
i snn
e′1 e′i e′n
este o matrice patratica de ordin n i.e. S ∈ Mn(R). Retinem conventiade notare a elementelor unei matrici: indicele superior reprezinta linia iarindicele inferior reprezinta coloana! Matricea S o numim matricea de trecerede la B la B′ si notam B′ = S(B). Spre exemplu, ın unele carti aceeasimatrice se noteza cu C initiala cuvantului englez change=schimbare.
O alta scriere a relatiei dintre B si B′, formala dar deosebit de utila ıncele ce urmeaza, este:
B′ = B · S (17)
ın care gandim bazele ca matrici linie de vectori si scalarii din S, desi aparın dreapta vectorilor, ıi regandim ın stanga.
Propozitia 12 (i) Daca B′ = S(B) si B′′ = S ′(B′) atunci B′′ = SS ′(B).(ii) Matricea S este inversabila si avem B = S−1(B′).
10
Demonstratie (i) Relatia B′′ = B′ · S ′ = (B · S) · S ′ = B · (SS ′) daconcluzia.(ii) Fie B′′ = B. Aplicand (i) rezulta ca matricea de trecere de la B la Beste SS ′ dar evident ca aceasta este matricea unitate In. Prin urmare S esteinversabila si S ′ matricea de trecere de la B′ la B este exact S−1. ¤
Combinarea relatiilor (13) si (14) conduce la:
tB′ ·B′ =t S · (tBB) · S (18)
ceea ce implica urmatorul rezultat fundamental:
Propozitia 13 (i) Daca B si B′ sunt ortonormate atunci S satisface:
tS · S = In . (19)
(ii) Reciproc, daca B este ortonormata si S satisface identitatea precedentaatunci B′ este ortonormata.
Demonstratie (i) Inlocuim tB ·B =t B′ ·B′ = In ın (10).(ii) In conditiile ipotezei avem tB′ ·B′ = In ceea ce da concluzia. ¤
Suntem astfel condusi la introducerea:
Definitia 14 O matrice S ∈ Mn(R) o numim n-ortogonala daca:tS · S = In. Notam cu O(n) multimea matricilor n-ortogonale.
Cum inversul unui element ıntr-un monoid, daca exista, este unic, con-siderand monoidul (Mn(R) \ {On}, ·) avem ca o matrice n-ortogonala estecaracterizata si de relatia S ·t S = In. Prin urmare avem urmatorul criteriucomplet de recunoastere a matricilor n-ortogonale:
Propozitia 15 Pentru S ∈ Mn(R) urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente:(i) S ∈ O(n),(ii) tS · S = In,(iii) coloanele lui S constituie o baza ortonormata ın Rn,(iv) S ·t S = In,(v) liniile lui S constituie o baza ortonormata ın Rn.
Datorita punctului (ii) din Propozitia 12 introducem multimea:
GL(n,K) = {A ∈ Mn(R); A inversabila}. (20)
11
Propozitia 16 GL(n,R) este grup relativ la ınmultirea matricilor, ne-abelian pentru n ≥ 2.
Demonstratie i) Daca A,B ∈ GL(n,R) atunci AB ∈ GL(n,R) cu(AB)−1 = B−1A−1. Deci ınmultirea este lege interna pe GL(n,R).ii) Inmultirea matricilor este asociativa.iii) Element neutru este matricea identitate In si evident In ∈ GL(n,R) cuI−1n = In.
iv) Daca S ∈ GL(n,R) atunci exista S−1 si evident S−1 ∈ GL(n,R) cu(S−1)−1 = S. ¤
Definitia 17 GL(n,R) se numeste n-grupul liniar general real.
Observatia 18 (i) Rezultatul anterior are loc mai general pentru GL(n,K)cu K un corp oarecare. Avem astfel si n-grupul liniar general complexGL(n,C).(ii) Spre exemplu, GL(1, K) = K∗.
Un rezultat central al acestui curs este urmatorul:Propozitia 19 O(n) este subgrup ın GL(n,R).
Demonstratie i) Fie A,B ∈ O(n). Din:
t(AB)AB =t BtAAB =t BInB =t BB = In
rezulta ca AB ∈ O(n).ii) Fie S ∈ O(n) oarecare. Din:
t(S−1)S−1 =t (tS)tS = StS = In
(conform punctului (iv) al propozitiei 15) rezulta ca S−1 ∈ O(n). ¤Definitia 20 O(n) se numeste n-grupul ortogonal.
Reamintim doua functii matriceale remarcabile pe multimi de matricipatratice:
A) Functia determinant det : Mn(R) → R, pe o utilizam la caracterizareaelementelor lui GL(n,R). Astfel, GL(n,R) = {A ∈ Mn(R); detA 6= 0}.
Proprietati:A1) este invarianta la transpunere: det(tA) = det A. Reamintim ca o matriceA pentru care tA = A (respectiv tA = −A) o numim simetrica (respectivantisimetrica).A2) este multiplicativa: det(AB) = detA · detB.
12
Aceasta proprietate spune ca restrictia det|GL(n,K) → K∗ este morfism degrupuri multiplicative. Acest morfism este surjectiv dar nu este izomorfismnefind injectiv.
Cum detIn = 1 rezulta:A3) det comuta cu luarea inversei: S ∈ GL(n,K) ⇒ detS−1 = (detS)−1 =
1detS
.
B) Functia urma Tr : Mn(R) → R, T rA =n∑
i=1
aii.
Proprietati:B1) este invarianta la transpunere: Tr(tA) = TrA.B2) este operator liniar Tr(λA + µB) = λTrA + µTrB adicaTr ∈ (Mn(R))∗=dualul spatiului vectorial real Mn(R).B3!) este invarianta la permutari circulare: Tr(ABC) = Tr(BCA).B4) ınlocuind C = In ın B3) avem: Tr(AB) = Tr(BA).B5) tot din B3) rezulta ca daca S ∈ GL(n,K) atunci Tr(SAS−1) = TrA.
Teorema 21 Functia <, >: Mm,n(R)×Mm,n(R) → R:
< A, B >=1
nTr(tB · A) (21)
este un produs scalar pe Mm,n(R)
Demonstratie Tr(tA ·A) = 1n
∑i=1,mj=1,n |ai
j|2 ≥ 0; Tr(tA ·A) = 0 ⇐⇒A = Om,n = matricea nula.
n < B, A >= Tr(tA ·B) = Tr(t(tA ·B)) = Tr(tB · A) = n < A,B > .
Liniaritatea ın primul argument rezulta imediat din liniaritatea urmei. ¤Definitia 22 Produsul scalar (21) se numeste produsul scalar Hilbert-
Schmidt. Norma indusa o vom numi norma Hilbert-Schmidt.
David Hilbert (23.01.1862 - 14.02.1943)
13
Propozitia 23 Produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaza produsulscalar euclidian (cand n = 1). Din acest motiv folosim aceeasi notatie.
Demonstratie Daca n = 1 avem x, y ∈ Mm(R) si < x, y >= Tr(ty ·x) =t
y ·x deoarece ty ·x este un scalar fiindca ty ∈ M1,n(R) si x ∈ Mn,1(R) implicaty · x ∈ M1,1(R) = R. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeazaprodusul scalar euclidian. ¤
Un rezultat extrem de util este datorat inegalitatii Cauchy-Buniakowski-Schwarz care devine:
Propozitia 24 Norma Hilbert-Schmidt este submultiplicativa i.e.:
‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖. (22)
Suntem uneori interesati ın schimbarea locului unei matrici ın cadrul pro-dusului scalar:
Propozitia 25 Daca A, B, C ∈ Mn(R) atunci :
< A ·B,C >=< B,t A · C >, (23)
< B · A,C >=< B,C ·t A > . (24)
Demonstratie
n < B,t A · C >= Tr(t(
tAC)B) = Tr
(tCAB
)= n < A ·B, C >,
n < B,C·tA >= Tr(t(
tCA)B) = Tr
(tACB
)= Tr
(tCBA
)= n < B·A,C > .
Corolarul 26 Daca S ∈ O(n) si A ∈ Mn(R) atunci :
‖SAS−1‖ = ‖A‖. (25)
Demonstratie
< SAS−1, SAS−1 >=< AS−1,t SSAS−1 >=< AS−1, AS−1 >=
=< A,AS−1t(S−1
)>=< A, AS−1S >=< A, A > .
Definitia 27 Matricile A,B ∈ Mn(K) se numesc asemenea (ın engleza”similar”) daca exista S ∈ GL(n,K) a.ı.:
B = SAS−1. (26)
14
Propozitia 28 Doua matrici asemenea au acelasi determinant si aceeasiurma. Daca S ∈ O(n) atunci au si aceeasi norma.
Fie S ∈ O(n). Trecand la determinant ın relatia caracteristica tS ·S = In
si folosind proprietatea A1 obtinem (detS)2 = 1 ceea ce conduce la:
Propozitia 29 Daca S ∈ O(n) atunci detS ∈ {−1, +1}.Definitia 31 Consideram O−(n) = {S ∈ O(n); detS = −1} si SO(n) =
{S ∈ O(n); detS = +1}.Propozitia 32 O−(n) nu este parte stabila la ınmultirea matricilor deci
nu este subgrup ın O(n).
Demonstratie Fie S1, S2 ∈ O−(n). Atunci det(S1S2) = (−1)(−1) = +1deci S1S2 ∈ SO(n). ¤
Propozitia 33 SO(n) este subgrup ın O(n).
Demonstratie Un calcul imediat arata ca SO(n) este parte stabila laınmultirea matricilor. Fie S ∈ SO(n) oarecare. Cum S−1 = St din propri-etatea A1 rezulta ca detS−1 = detS = +1 i.e. S−1 ∈ SO(n). ¤
Definitia 34 SO(n) se numeste n-grupul ortogonal special.
Exemplul 35 O(1) = {−1, +1}, O−(1) = {−1}, SO(1) = {+1}.Definitia 36 Fie spatiul vectorial normat (V, ‖‖), elementul x0 ∈ V si
numarul real r > 0. Multimea S(x0, r) = {x ∈ V ; ‖x − x0‖ = r} o numimsfera centrata ın x0 de raza r.
Exemplul 37 Sfera unitate este Sn = {x ∈ V ; ‖x‖ = 1}. Astfel, cerculunitate S1 este binecunoscutul cerc trigonometric S1 = {z ∈ C; |z| = 1} alnumerelor complexe de modul 1.
6
-
ÁÀ
¿
x
y
S1 a i
Fig. 3 Cercul unitate
15
Propozitia 38 O(n) este sfera din Mn(R) centrata ın origine=matriceanula, de raza r = 1 relativ la distanta indusa de norma Hilbert-Schmidt.
Demonstratie Fie S ∈ O(n) oarecare. Avem: d(On, S) = ‖S‖ =√< S, S > =
√1nTr(St · S) =
√1nTrIn = 1. ¤
Incheiem acest curs cu o consecinta importanta a Propozitiei 25:
TEOREMA: Relatia fundamentala a geometriei euclidieneFie A,B ∈ Mn(R) si S ∈ O(n). Atunci :
< SA, SB >=< A,B >, < AS, BS >=< A, B > . (27)
In particular, daca x, y ∈ Rn atunci :
< Sx, Sy >=< x, y > . (28)
Relatia (27) spune ca O(n) invariaza produsul scalar euclidian pe Rn.
Cum ortogonalitatea si norma euclidiana sunt generata de produsul scalareuclidian avem si:
COROLAR O(n) invariazai) ortogonalitatea i.e. x⊥y ⇔ Sx⊥Sy,ii) norma euclidiana pe Rn i.e.:
‖Sx‖ = ‖x‖. (29)
Mai general, datorita relatiei (8) avem ca O(n) invariaza orice unghi.
16
1 SEMINAR: Grupul ortogonal
S1.1 Fie GL+(n,R) respectiv GL−(n,R) multimea matricilor cu determinantstrict pozitiv repectiv strict negativ. Sa se arate ca GL−(n,R) nu este partestabila la ınmultire si ca GL+(n,R) este subgrup ın GL(n,R).
Rezolvare Aceleasi argumente ca la Propozitiile 32 si 33.
S1.2 Sa se arate ca multimea SL(n,R) a matricilor de determinant +1este subgrup ın GL+(n,R). Acest grup se numeste n-grupul liniar specialreal.
Rezolvare Verificarea conditiilor de subgrup este imediata.Exemplu: SL(1,R) = SO(1) = +1. Pentru n ≥ 2 avem SO(n) ⊂
SL(n,R) dupa cum o arata exercitiul S4.
S1.3 Utilizand rezultatul precedent si Propozitia 19 sa se reobtina caSO(n) este subgrup ın O(n).
Rezolvare Avem: SO(n) = O(n) ∩ SL(n,R).
S1.4 Sa se arate ca matricea:
S =
(3 42 3
)
este ın SL(2,R) dar nu este ın SO(2).
Rezolvare Avem det S = 1 si:
tSS =
(3 24 3
) (3 42 3
)=
(13 1818 25
)6= I2.
S1.5 Sa se determine O(2). Interpretare geometrica pentru SO(2).
Rezolvare Reamintim ca pentru A ∈ O(n) coloanele sale sunt versoriortogonali doi cate doi. Un versor ın R2 este de forma u = (cosϕ, sinϕ) iarun versor ortogonal pe acesta este u⊥ = ±(−sinϕ, cosϕ).
Cazul I
Rϕ =
(cos ϕ − sin ϕsin ϕ cos ϕ
), ϕ ∈ [0, 2π) (30)
descrie SO(2). Interpretarea geometrica ceruta este urmatoarea: transfor-marea liniara a lui R2 de matrice Rϕ este rotatia de unghi ϕ ın sens trigono-metric (i.e. antiorar) din origine!
17
Cazul II
Sϕ =
(cos ϕ sin ϕsin ϕ − cos ϕ
), ϕ ∈ [0, 2π) (31)
descrie O−(2).
S1.6 (Interpretare geometrica pentru O−(2)) Fie dϕ/2 dreapta din plance trece prin origine si face unghiul orientat ϕ/2 cu axa Ox. Sa se arate casimetria axiala ın raport cu dϕ/2 este transformarea liniara pe R2 de matriceSϕ. Exemple.
Rezolvare Ecuatia lui dϕ/2 : y = tgϕ2·x se scrie dϕ/2 : −sinϕ
2·x+cosϕ
2·y =
0 deci aceasta dreapta are versorul normalei N = (−sinϕ2, cosϕ
2). Avem
formula:
rM ′′ = rM − 2Fπ (rM)
‖N‖2N (32)
ce da simetricul M ′′ al punctului M fata de hiperplanul π de normala N ,deci de ecuatie π : Fπ(r) :=< r, N >= 0. Prin urmare, simetria axiala fatade dreapta d = dϕ/2 are ecuatia:
Sd(x, y) = (x, y)− 2(sinϕ
2· x + cos
ϕ
2· y)(−sin
ϕ
2, cos
ϕ
2) =
=(x(1− 2 sin2 ϕ
2) + 2y sin
ϕ
2cos
ϕ
2, 2x sin
ϕ
2cos
ϕ
2+ y(1− 2 cos2 ϕ
2))
=
= (x cos ϕ + y sin ϕ, x sin ϕ− y cos ϕ) = Sϕ ·(
xy
).
Exemple:I) ϕ = 0 ⇒ dϕ/2 =axa Ox. Avem deci simetria fata de Ox:
S0 =
(1 00 −1
), SOx (x, y) =
(1 00 −1
)(xy
)=
(x−y
). (33)
In engleza S0 se numeste reflection across x-axis.
6
-x
y
¡¡
a(x, y)
a@@(x,−y)
18
Fig. 4 Simetria fata de Ox
II) ϕ = π ⇒ dϕ/2 =axa Oy. Avem deci simetria fata de Oy:
Sπ =
( −1 00 1
), SOy (x, y) =
( −1 00 1
)(xy
)=
( −xy
). (34)
6
-x
y
¡¡
a(x, y)a@
@
(−x, y)
Fig. 5 Simetria fata de Oy
III) ϕ = π2⇒ dϕ/2 =prima bisectoare B1. Avem deci simetria fata de B1:
Sπ2
=
(0 11 0
), SB1 (x, y) =
(0 11 0
)(xy
)=
(yx
). (35)
6
-x
y
¡¡
¡¡
B1
¡¡
¡¡
Fig. 6 Prima bisectoare
IV) ϕ = 3π2⇒ dϕ/2 =a doua bisectoare B2. Avem deci simetria fata de
B2:
S 3π2
=
(0 −1−1 0
), SB2 (x, y) =
(0 −1−1 0
)(xy
)=
( −y−x
). (36)
19
6
-x
y
@@
@@
B2
@@
@@
Fig. 7 A doua bisectoare
S1.7 (Compunerea simetriilor axiale ın plan) Fie d1, d2 drepte ın planprin origine si α unghiul orientat de la d1 la d2. Sa se arate ca simetria axialafata de d1 compusa cu cea fata de d2 este rotatia de unghi α.
Rezolvare Un calcul imediat, folosind identitati trigonometrice, da:
Sϕ2 · Sϕ1 = Rϕ2−ϕ1 = Rα (37)
S1.8 Sa se arate ca:Rϕ1 ·Rϕ2 = Rϕ1+ϕ2 (38)
si sa se interpreteze.
Rezolvare Folosind identitati trigonometrice relativ la cosinusul si si-nusul sumei de unghiuri avem relatia ceruta.
Interpretare: avem ca grupul SO(2) este abelian, rezultat ce nu estevalabil pentru SO(n) cu n ≥ 3.
S1.9 Sa se arate ca:SθRϕ = Sθ−ϕ (39)
RθSϕ = Sθ+ϕ. (40)
Rezolvare Se folosesc din nou identitatile trigonometrice uzuale.
S1.10 Fixam S ∈ O−(n). Sa se arate ca O−(n) = {RS; R ∈ SO(n)}.Tratati cazul particular n = 2.
Rezolvare Fixam A ∈ O−(n); trebuie sa rezolvam ecuatia A = RS ınnecunoscuta R. Cum S ∈ O−(n) ⊂ O(n)=grup, exista S−1 ∈ O(n). Avemdeci solutia unica R = AS−1 ∈ O(n). Din multiplicitatea determinatuluirezulta det R = (−1)(−1) = +1 adica R ∈ SO(n).
20
Exemplu. Putem lua simetria fata de primul hiperplan:
S = Sn =
1. . .
1−1
∈ O− (n) .
Caz particular n = 2. Fixam R = Rϕ si S = S2 coincide cu S0 aproblemei S6. Avem:
RS = Rϕ ·(
1 00 −1
)= Sϕ
reobtinand astfel expresia matricilor din O− (2).
S1.11 Se cere inversa S−1θ a simetriei Sθ ∈ O−(2).
Rezolvare Folosind (37) avem:
SθSθ = Rθ−θ = R0 = I2 (41)
si deci:S−1
θ = Sθ. (42)
S1.12 Sa se arate ca singurele rotatii ce comuta cu simetria Sϕ ∈ O−(2)sunt R0 = I2 si Rπ = −I2.
Rezolvare Presupunem SϕRθ = RθSϕ si utilizam (39) si (40); rezultaSϕ−θ = Sθ+ϕ. Reamintim ca Sα = Sβ este echivalent cu β ≡ α(mod2π) sideci: θ + ϕ = ϕ − θ + 2kπ, k ∈ Z. Rezulta θ = kπ dar din θ ∈ [0, 2π) avemk ∈ {0, 1} ceea ce voiam.
S1.13 Se numeste centru al grupului G multimea Z(G) a elementelor luiG ce comuta cu toate elementele lui G i.e. Z(G) = {x ∈ G; xy = yx, ∀y ∈ G}.(Spre exemplu, daca G este abelian atunci Z(G) = G.) Folosind problemaprecedenta se cere centrul lui O(2).
Rezolvare Deoarece SO(2) este abelian avem ca Z(O(2)) este dat de ele-mentele lui O(2) ce comuta cu cele din O−(2). Datorita rezultatului anterioravem Z(O(2)) = {+I2,−I2}.
Pentru cazul general avem rezultatul urmator, [6, p. 144]:
Z(SO(2n)) = {+I2n,−I2n} ' Z2 (43)
21
Z(SO(2n + 1)) = {I2n+1} ' grupul trivial (44)
unde ' ınseamna izomorfism de grupuri iar Z2 = {0, 1} este grupul aditiv alclaselor de resturi modulo 2.
S1.14 Sa se arate ca Z(GL(n,R)) = {λIn; λ ∈ R∗}.Rezolvare Fie x ∈ Z(GL(n,R)) si:
y1n =
−11
. . .
1
∈ GL(n,R).
In matricea produs xy prima coloana este -prima coloana din x iar ın ma-tricea produs yx prima linie este -prima linie din x. Din egalitatea xy = yxrezulta ca pe prima coloana si prima linie din matricea x nu ramane decat x1
1.Procedand analog cu matricile y2
n, . . . , ynn rezulta ca x este matrice diagonala:
x =
x11
x22
. . .
xnn
.
Fie acum pentru i, j ∈ {1, . . . , n} indici diferiti, matricea zijn ce schimba ıntre
ele liniile i, j din matricea In. Avem zijn ∈ GL(n,R) iar comutarea xzij
n = zijn x
implica rezultatul.
S1.15 Dat grupul G cu elementul neutru e si elementul x ∈ G daca existan ∈ N∗ a.ı. xn = e atunci cel mai mic m ∈ N∗ pentru care xm = e se numesteordinul lui x ın G (sau, cu o denumire mai veche, perioada lui x ın G). Incaz contrar, spunem ca x are ordin infinit.
Se cere ordinul elementelor lui O(2).
Rezolvare Data simetria Sθ, datorita relatiei (40) avem ca Sθ are ordinul2.
Fie acum rotatia Rϕ. Datorita relatiei (38) avem:
Rnϕ = Rnϕ (45)
si deci avem doua cazuri:I) ϕ=multiplu rational de 2π.
22
Daca ϕ = 2kπn
atunci Rϕ are ordinul n.II) ϕ=multiplu irational de 2π.Atunci Rϕ are ordin infinit.
S1.16 Un subgrup H al grupului G se numeste divizor normal daca avemxHx−1 = H pentru orice x ∈ G.
Sa se arate ca SL(n,K) este divizor normal ın GL(n,K). Consecintapentru SO(n).
Rezolvare Fie S ∈ GL(n,K) si U ∈ SL(n, K). Deoarece GL(n,K) estegrup avem ca SUS−1 ∈ GL(n,K) iar din multiplicativitatea determinantuluirezulta det(SUS−1) = detU = +1 i.e. U ∈ SL(n,K).
Consecinta: SO(n) = SL(n,R) ∩O(n) este divizor normal ın O(n).
Observatie Daca G este grup abelian atunci orice subgrup al sau estedivizor normal. Exemplu: S1 este divizor normal ın C∗; a se vedea Consecintade la exercitiul S20.
S1.17 Folosind formulele (37)− (40) sa se reobtina faptul ca SO(2) estedivizor normal ın O(2).
Rezolvare Avem:1) RθRϕR−1
θ = Rθ+ϕ+(−θ) = Rϕ ∈ SO(2),2) SθRϕS−1
θ = SθRϕSθ = Rθ−(θ+ϕ) = R−ϕ ∈ SO(2).
S1.18 Sa se arate ca functia modul ‖‖ : C → R+, z = x + iy → |z| =√x2 + y2 este multiplicativ a:
|z1z2| = |z1||z2|. (46)
Rezolvare Daca z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 atucni:
z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (47)
si atunci relatia ceruta este echivalenta cu:
(x1x2 − y1y2)2 + (x1y2 + x2y1)
2 = (x21 + y2
1)(x22 + y2
2) (48)
care este adevarata, ambii membrii fiind (x1x2)2 +(x1y2)
2 +(x2y1)2 +(y1y2)
2.
Observatie Modulul este de fapt norma euclidiana pe R2 = C.
S1.19 Sa se arate ca (C∗, ·) este grup abelian.
23
Rezolvare 1) Se arata imediat ca produsul a dou a numere complexenenul este un numar complex nenul folosind proprietatea analoaga de lanumere reale.
2) Se verifica prin calcul asociativitatea ınmultirii numerelor complexe.3) Element neutru este 1 = 1 + i · 0.4) Privind la relatia (47) se observa imediat invarianta indicilor la per-
mutarea 1 ↔ 2 ceea ce ınseamna comutativitatea z1z2 = z2z1.5) Fie numarul complex z = x+ iy ∈ C∗ si conjugatul sau z = x− iy care
apartine tot lui C∗. Avem:zz = |z|2 (49)
si din z nenul avem |z| > 0. Avem atunci inversul:
z−1 =1
‖z‖2z. (50)
S1.20 Sa se arate ca S1 este subgrup ın C∗. Consecinta asupra comuta-tivitatii lui S1.
Rezolvare 1) Fie z1, z2 ∈ S1. Din (46) avem: |z1z2| = |z1||z2| = 1 · 1 = 1i.e. z1z2 ∈ S1.
2) Fie z ∈ S1. Conform (50) avem:
z−1 = z. (51)
6
-
ÁÀ
¿
x
y
S1 az
az−1 = z
Fig. 8 Inversul unui element din cercul unitate
Dar:|z| = |z| (52)
si deci |z−1| = |z| = |z| = 1 i.e. z−1 ∈ S1.Consecinta Cum C∗ este abelian rezulta ca si S1 este abelian.
S1.21 Fie J : C∗ → GL(2,R), z = x + iy → J(z):
J(z) = xI2 + yJ2 =
(x −yy x
)(53)
24
unde:
J2 =
(0 −11 0
). (54)
Sa se arate ca J este morfism injectiv de grupuri multiplicative. Interpretarepentru functia modul.
Rezolvare Observam mai ıntai faptul ca z fiind nenul avem, ın adevar,J(z) ∈ GL(2,R).
1) J(z1) = J(z2) implica, via egalitatea primei coloane, z1 = z2.2)
J (z1) J (z2) =
(x1 −yy1 x11
)(x2 −y2
y2 x2
)=
=
(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + x2y1)x1y2 + x2y1 x1x2 − y1y2
)= J(z1z2).
Interpretare:|z|2 = detJ(z). (55)
Obtinem astfel o alta demonstratie pentru multiplicativitatea modulului:
|z1z2|2 = det(J(z1z2)) = det(J(z1)J(z2)) = detJ(z1)detJ(z2) = |z1|2|z2|2.
S1.22 Sa se arate ca:J2
2 = −I2. (56)
Deci, J2 este o extensie 2-dimensionala a unitatii complexe i =√−1. Din
acest motiv, J2 se numeste structura complexa (sau uneori structura simplec-tica) a planului.
Rezolvare
J22 =
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
( −1 00 −1
).
S1.23 Sa se arate ca J2 ∈ SO(2).
Rezolvare
tJ2 · J2 =
(0 1−1 0
)(0 −11 0
)=
(1 00 1
)
si detJ2 = +1.
25
S1.24 Sa se arate ca:J(S1) = SO(2). (57)
Rezolvare Fie z ∈ C cu scrierea trigonometrica: z = |z|(cosϕ + isinϕ).Daca z ∈ S1 atunci: z = cosϕ + isinϕ si deci J(z) = Rϕ ∈ SO(2).
6
-
ÁÀ
¿
x
y
S1aza
asinϕ
cosϕ
¾
?
Fig. 9 Un element din cercul unitate si scrierea sa trigonometrica
Consecinta foarte importanta Cum J era deja morfism injectiv avemizomorfismul de grupuri:
SO(2) ' S1 . (58)
O alta observatie importanta este aceea ca aplicatia J conserva nu numaistructura algebrica (de grup) ci si cea metrica deoarece atat elementele luiS1 cat si cele ale lui SO(2) au norma (euclidiana=modul, respectiv Hilbert-Schmidt) egala cu 1. Spunem ca J este o izometrie.
S1.25 Sa se expliciteze izomorfismul J ın termeni de exponentiala. In-terpretare pentru ınmultirea exponentialelor.
Rezolvare Fie z ∈ C cu scrierea trigonometrica: z = |z|(cosϕ + isinϕ).Reamintim ca z admite si scrierea exponentiala:
z = |z|eiϕ. (59)
Rezulta:J(eiϕ) = Rϕ. (60)
Interpretare Din ultima relatie reobtinem binecunoscuta lege de ınmultireaexponentialelor:
eiϕ1 · eiϕ2 = J−1 (Rϕ1) J−1 (Rϕ2) = J−1 (Rϕ1Rϕ2) = J−1 (Rϕ1+ϕ2) = ei(ϕ1+ϕ2)
26
care ınseamna relatia lui Moivre:
(cosϕ + isinϕ)(cosθ + isinθ) = cos(ϕ + θ) + isin(ϕ + theta). (61)
In particular:(cosϕ + isinϕ)n = cos(nϕ) + isin(nϕ). (62)
S1.26 Fie A ∈ Mn(R) si λ ∈ C.1) λ se numeste radacina caracteristica a lui A daca este radacina a polino-mului caracteristic:
PA(λ) = det(A− λIn). (63)
2) Daca λ ∈ R atunci λ se numeste valoare proprie daca exista x ∈ Rn{0}a.ı.:
Ax = λx. (64)
Acest x se numeste vector propriu corespunzator valorii proprii λ.Sa se arate ca orice valoare proprie este radacina caracteristica. Consecinta
pentru n impar.
Rezolvare Relatia (62) este echivalenta cu sistemul:
(A− λIn)x = {0}
care este liniar si omogen. Stim ca un astfel de sistem admite solutie nenuladaca si numai daca determinantul sistemului este nul.
Consecinta. Gradul polinomului caracteristic este n. Prin urmare, dacan este impar, o matrice A ∈ Mn(R) admite macar o valoare proprie.
S1.27 Fie S ∈ O(n) ce admite valoarea proprie λ. Sa se arate ca λ ∈S0 = {−1, +1}. Consecinta pentru S ∈ SO(n) cu n impar. Caz particularn = 3.
Rezolvare Deoarece S ∈ O(n) avem, pentru vectorul propriu x:
< Sx, Sx >=< x, x >= ‖x‖2
si totodata;
< Sx, Sx >=< λx, λx >= ‖λx‖2 = |λ|2‖x‖2.
Egaland ultimele doua relatii si folosind ‖x‖ 6= 0 avem |λ| = 1.
27
Consecinta. Daca S ∈ SO(n) si λ1, . . . , λn sunt radacinile sale car-acteristice atunci folosind ultima relatie Viete avem: λ1 . . . λn = (−1)n−1.Presupunand ca n este impar si λ1, . . . , λn sunt chiar valorile proprii ale luiS rezulta ca λ1 . . . λn = 1 si deci avem variantele:i) λ1 = . . . = λn = 1,ii) un numar impar de λ sunt +1 si un numar par de λ sunt (−1).
Caz particular n = 3. O matrice S ∈ SO(3) poate avea urmatoareleradacini caracteristice:1) λ1 = λ2 = λ3,2) λ1 = 1, λ2 = λ3 = −1,3) λ1 = 1, λ2 = λ3 = eiθ.
S1.28 Se cer radacinile caracteristice ale matricilor din O(2). Sa sestudieze diagonalizabilitatea elementelor lui O(2).
Rezolvare 1) Ecuatia ce da radacinile caracteristice pentru matrici dinSO(2):
PRϕ (λ) =
∣∣∣∣cos ϕ− λ − sin ϕsin ϕ cos ϕ− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 2λ cos ϕ + 1 = 0
are discriminantul redus: ∆′ = cos2 ϕ− 1 = − sin2 ϕ ≤ 0 si deci avem solutiaλ1 = λ2 = eiϕ. Avem ∆′ = 0 doar in cazurile:i) ϕ = 0 cand reobtinem R0 = I2 cu valorile proprii λ1 = λ2 = 1,ii) ϕ = π cand reobtinem Rπ = −I2 cu valorile proprii λ1 = λ2 = −1.
2) Ecuatia ce da radacinile caracteristice pentru matrici din O−(2):
PSϕ (λ) =
∣∣∣∣cos ϕ− λ sin ϕsin ϕ − cos ϕ− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 1 = 0
are solutiile λ1 = +1, λ2 = −1. Deci orice simetrie axiala este diagonalizabilacu forma diagonala S0.
Vectorii proprii:1) V (λ1) : (cosϕ− 1)x + sinϕy = 0 are solutia u1 = (1, tgϕ
2),
2) V (λ2) : (cosϕ + 1)x + sinϕy = 0 are solutia u2 = (1,−ctgϕ2).
Avem deci matricea de diagonalizare:
S =
(1 1tgϕ
2−ctgϕ
2
)
28
si un calcul imediat da inversa:
S−1 =1
2sin ϕ ·
(ctgϕ
21
tgϕ2
−1
).
Concluzie Avem un rezultat ce pune ın balanta ”calitatile” si ”defectele”celor doua multimi SO(2) respectiv O−(2):i) SO(2) este subgrup (”calitate”) dar singurele sale elemente diagonalizabilesunt cele triviale ±I2 (”defect”),ii) O−(2) nu-i subgrup (”defect”) dar are toate elementele diagonalizabile(”calitate”).Ca o sugestie aproape filozofica: nimic din ce ne-a dat Dumnezeu nu-i delepadat chiar daca asa ar parea la o prima vedere!
29
2 SEMINAR: Aplicatii ale formei algebrice a
inegalitatii CBS
S2.1 Metoda vectorului constantCe devine forma algebrica a inegalitatii CBS (i.e. relatia (10)) daca vectorulv este constant?
Rezolvare Putem lua v = (1, . . . , 1) si relatia (10) devine:
|n∑
i=1
ui|2 ≤ n
(n∑
i=1
(ui
)2
). (65)
sau sub forma:
|n∑
i=1
ui| ≤ √n
(n∑
i=1
(ui
)2
) 12
. (66)
Avem egalitate daca si numai daca vectorul u este la randul sau constant i.e.u1 = . . . = un.
S2.2 Metoda splitariiI) Fie p, q ∈ (0, 1) a.ı. p+q = 1. Atunci, daca x este un vector n-dimensionalcu toate componentele strict pozitive avem:
(n∑
i=1
xi)2 ≤(
n∑i=1
(xi
)2p
)(n∑
i=1
(xi
)2q
). (67)
II) Fie m, p ∈ R. Atunci:
(n∑
i=1
xi)m ≤(
n∑i=1
(xi
)m+p
)(n∑
i=1
(xi
)m−p
). (68)
Rezolvare I) Luam u =((x1)
p, . . . , (xn)p) respectiv v =
((x1)
q, . . . , (xn)q).
II) Luam u =((x1)
m+p2 , . . . , (xn)
m+p2
)respectiv v =
((x1)
m−p2 , . . . , (xn)
m−p2
).
Avem egalitate pentru x vector constant.
S2.3 Metoda versoruluiCe devine inegalitatea CBS daca v este versor?
30
Rezolvare
|n∑
i=1
uivi|2 ≤(
n∑i=1
(ui
)2
). (69)
S2.4 Folosind metoda versorului sa se arate ca pentru orice x, y, z avem:
{ |x cos θ + y sin θ| ≤√
x2 + y2
|x cos ϕ cos θ + y cos ϕ sin θ + z sin ϕ| ≤√
x2 + y2 + z2.
Rezolvare v = (cos θ, sin θ) respectiv v = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ)sunt versori. Presupunem x 6= 0. Prima relatie este egalitate cand tgθ = y
x.
Pentru a obtine cazul de egalitate ın a doua relatie presupunem si y 6= 0.Avem atunci egalitate daca tgθ = y
xsi tgϕ = z|y|
y√
x2+y2.
S2.5 Folosind metoda vectorului constant sa se arate:
1 +√
2 + . . . +√
n < n
√n + 1
2.
Rezolvare Luam ın (66) vectorul u =(1,√
2, . . . ,√
n).
S2.6 Metoda simetriilor
Fie vectorul x = (x1, . . . , xn) de termeni strict pozitivi si S (x) =n∑
i=1
xi. Sa
se arate:
i) S (x) ≤ (n− 1)n∑
i=1
(xi)2
S−xi ,
ii)√
S(x)−x1
S(x)+ . . . +
√S(x)−xn
S(x)≤
√n (n− 1),
iii) 12
x1 + . . . + n2
xn ≥ n2(n+1)2
4S(x).
Rezolvare i) Folosim CBS cu u =
(x1√
S(x)−x1, . . . , xn√
S(x)−xn
)si
v =(√
S(x)− x1, . . . ,√
S(x)− xn).
ii) Folosim u =(√
S(x)−x1
S(x), . . . ,
√S(x)−xn
S(x)
)ın (66).
iii) Folosim CBS cu u =(
1√x1
, . . . , n√xn
)si
v =(√
x1, . . . ,√
xn).
Inegalitatile devin egalitati doar pentru vectori constanti.
31
S2.7 De la identitati la inegalitatiSe stie ca functia f(x) = cos(θx) satisface f 2(x) = 1
2(1+f(2x)). Fie numerele
p1, . . . , pn ∈ (0, 1) cu p1 + . . . + pn = 1. Sa se arate ca functia ponderatag(x) = p1f(θ1x) + . . . + pnf(θnx) satisface g2(x) ≤ 1
2(1 + g(2x)).
Rezolvare Folosim CBS cu u =(√
p1, . . . ,√
pn
)si
v =(√
p1 cos (θ1x) , . . . ,√
pn cos (θnx)).
S2.8 Inegalitatea mediilorFie vectorul x = (x1, . . . , xn) de termeni strict pozitivi si:i) media aritmetica Ma(x) = x1+...+xn
n,
ii) media geometrica Mg(x) =n√
x1 · . . . · xn,iii) media armonica Mh(x) = n
(x1)−1+...+(xn)−1 ,
iv) media patratica Mp(x) =√
(x1)2+...+(xn)2
n.
Sa se arate inegalitatea mediilor:
Mh(x) ≤ Mg(x) ≤ Ma(x) ≤ Mp(x) . (70)
Rezolvarea) Inegalitatea Mh(x) ≤ Ma(x) rezulta din CBS cu u = x si v = ( 1
x1 , . . . ,1
xn ):
n2 ≤ (x1 + . . . + xn
) (1
x1+ . . . +
1
xn
). (71)
b) Inegalitatea Ma(x) ≤ Mp(x) este exact (66) ımpartita la n.c) Inegalitatea Mh(x) ≤ Mg(x) este consecinta a inegalitatii Mg(y) ≤ Ma(y)luand yi = 1
xi .
In concluzie a ramas de aratat Mg(x) ≤ Ma(x). Aratam ca pentru n = 2
aceasta este o consecinta a CBS. Mai precis luam u = (√
x1,√
x2) si v =(√
x2,√
x1).
S2.9
Rezolvare
32
References
[1] M. A., Armstrong, Groups and Symmetry, Undergraduate Texts in Math-ematics, Springer, 1988.
[2] Mircea, Crasmareanu, Geometrie analitica,http://www.math.uaic.ro/∼mcrasm.
[3] Paul J. Nahin, O poveste imaginara. Istoria numarului√−1, Ed. Theta,
Bucuresti, 2000.
[4] Liliana, Raileanu, Prin algebra spre geometrie, Ed. Alexandru Myller,Iasi, 2005.
[5] Gheorghe, Stan, O.K. pentru America!, Institutul European, Iasi, 2006.
[6] Kristopher Tapp, Matrix Groups for Undergraduates, Student Mathema-tical Library, Vol. 29, AMS, 2005.
33
Index
GL+(n,R), 17GL−(n,R), 17O−(2): expresia generala si inter-
pretare geometrica, 18SL(n,K) ca divizor normal ın GL(n,K),
23SO(2) ca divizor normal ın O(2),
23SO(2): expresia generala si inter-
pretare geometrica, 17SO(n) ca divizor normal ın O(n),
23n-grupul liniar general real, 12n-grupul liniar special real, 17n-grupul ortogonal, 12n-grupul ortogonal special, 15ınmultirea vectorilor cu scalari, 4
adunarea vectorilor, 4
baza ın Rn, 4baza ortonormata, 6baza ortonormata: exprimare ma-
triceala, 10baza canonica ın Rn, 5
centrul lui O(2), 22centrul lui SO(2n), 22centrul lui SO(2n + 1), 22centrul unui grup, 22componentele unui vector ın raport
cu o baza, 5componentele unui vector: expri-
mare matriceala, 10compunerea simetriilor axiale ın plan,
20
conjugatul unui numar complex, 24
determinantul; proprietati, 13divizor normal, 23
formula fundamentala a geometrieieuclidiene, 16
identitatea paralelogramului, 9inegalitatea CBS, 9inversa unei simetrii ın plan, 21inversul unui numar comlex nenul,
24izometrie, 26
matrice antisimetrica, 13matrice ortogonala, 11matrice simetrica, 13matricea de schimbare a bazelor,
10matrici asemenea, 14modulul conjugatului unui numar
complex, 24modulul unui numar complex, 23
norma euclidiana pe Rn, 6norma pe un spatiu vectorial, 9norma Hilbert-Schmidt, 13numere complexe: scrierea exponentiala,
27numere complexe: scrierea trigono-
metrica, 26
ordinul unei rotatii, 23ordinul unei simetrii, 23ordinul unui element ıntr-un grup,
23
34
polinom caracteristic, 27produs scalar, 9produsul scalar euclidian pe Rn, 6produsul scalar euclidian: exprimare
matriceala, 10produsul scalar Hilbert-Schmidt, 13
radacina caracteristica, 27regula Einstein de sumare, 4relatia lui Moivre, 27rotatia de unghi ϕ ın sens trigono-
metric din origine, 17rotatiile ce comuta cu o simetrie ın
plan, 21
schimbarea bazelor, 10sensul trigonometric ca sens antio-
rar, 6sfera ıntr-un spatiu vectorial nor-
mat, 15simbolul lui Kronecker, 6simetria axiala ın plan fata de o
dreapta prin origine, 18simetria fata de Ox, 18simetria fata de Oy, 19simetria fata de a doua bisectoare,
19simetria fata de prima bisectoare,
19simetricul unui punct fata de un
hiperplan prin origine, 18sistem liniar independent, 4spatiu vectorial (sau liniar), 4spatiu vectorial euclidian, 9spatiu vectorial normat, 9spatiul aritmetic n-dimensional, 4spatiul vectorial euclidian n-dimensional
canonic, 6
structura complexa a planului, 25structura simplectica a planului, 25
teorema cosinusului, 9teorema Pitagora, 9teorema Pitagora generalizata, 9
unghiul orientat dintre doi vectorinenuli, 9
urma unei matrici, 13
valoare proprie, 27vector n-dimensional, 4vector propriu, 27vectori coliniari, 4vectori contrar orientati, 4vectori la fel orientati, 4vectori ortogonali, 6versor, 6
35
