PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial biasanya digunakan untuk

pemodelan matematika dalam sains dan rekayasa.

Seringkali tidak terdapat selesaian analitik sehingga

diperlukan hampiran numerik. Persamaan diferensial

yang akan diselesaikan adalah persamaan diferensial

orde satu. Untuk orde lebih tinggi akan dibuat sistem

dari persamaan orde satu.

Ringkasan Persamaan Diferensial Biasa:

- Persoalan nilai awal (PNA)

Misal: (i) ),(' ytfy pada ],[ ba

)(ay

(ii) )',,(" yytfy b][a,pada

)(ay

'( )y a

- Persoalan nilai perbatasan (PNP/PNB)

Misal: ),(' ytfy b][a,pada

)(ay

)(by

Persamaan Diferensial Parsial:

- Persoalan nilai awal (PNA)

Sistem Persoalan Nilai Awal : y`=f(t,y), f(a)=α

Selesaian bukan berupa suatu fungsi yang memenuhi

PNA, tetapi himpunan titik kk yt , yang digunakan

sebagai hampiran (yakni ))( kk yty .

Metode Langkah-Tunggal: 1 1( )k k ky t y y fungsi

Rumus umum:

nilai selanjutnya = nilai sekarang + slope * lebar step

Metode Euler : kkkk ythfyy ,1

Slope: ,k kf t y

Metode Heun :

111 ,,2

kkkkkk ptfytfh

yy

slope: 1 1

1, ,

2k k k kf t y f t p

dengan ),(1 kkkk ythfyp

Metode Deret Taylor :

))(,()()( kkNkk tythTtyhty + )( 1NhO

slope:

N

j

jkj

kkN hj

tytytT

1

1)(

!

)())(,(

Metode Runge-Kutta :

443322111 kwkwkwkwyy kk

slope: kk ythfk ,1

1112 , kbyhathfk kk

231223 , kbkbyhathfk kk

36251434 , kbkbkbyhathfk kk

Perhitungan Galat

Metode Langkah-Banyak(multistep):

),...,,,( 21 nMMMM yyyhFy

Metode Penduga-Pengoreksi:

Metode Adam-Bashfort-Moulton

Metode Milne-Simpson

Metode Hamming

Sistem Dua PNA :

x' = f(t,x), 11)( af

y`= g(t,y), 22)( af

Metode Euler

Uraikan )(ty atas deret Taylor disekitar 0tt

2

)()("))((')()(

20

1000tt

cytttytyty

dengan 1c diantara 0t dan t.

(anggapan: )(ty , )(' ty , y”(t) kontinu)

substitusikan: 000 ,' ytfty

01 tth

1

2

0001 "2

, cyh

ythftyty

h cukup kecil 00011 , ythfyyty

hampiran Euler

Proses diulang dan membangkitkan barisan titik yang

menghampiri kurva selesaian tyy

Langkah umum: htt kk 1

kkkk ythfyy ,1

untuk dijalankan 1-M,0,1,k

Contoh:

Kestabilan Suatu metode numerik disebut stabil jika galat yang terjadi pada suatu langkah

dalam suatu proses tidak cenderung membesar pada langkah-langkah

berikutnya.

Contoh: Diketahui persamaan diferensial: ( ) , diselesaikan

menggunakan metode dua langkah:

( ).

Oleh karena itu perlu memilih metode numerik yang stabil.

Kestabilan metode dapat dianalisis menggunakan kestabilan persamaan beda

pada bab mengenai persamaan beda dalam hampiran turunan.

Penerapan persamaan beda pada persamaan diferensial :

Misal diketahui persamaan diferensial sebagai berikut:

. (*)

Misal digunakan persamaan beda maju untuk diskritisasi seperti pada kasus 1 dan 3 di atas, di titik ke-n ( ), akan

diperoleh

sehingga menjadi

( ) ( ) yang merupakan persamaan beda untuk persamaan diferensial (*).

Pada bab berikutnya akan diterangkan mengenai penyelesaian

persamaan beda yang ditulis dalam rumus rekursif (nilai sekarang

bergantung pada nilai pada titik/waktu sebelumnya) menjadi

persamaan dalam indeks n.

Analisis Galat:

Metode langkah tunggal elementer berbentuk

kkkk ythyy ,1 untuk suatu fungsi

yang disebut fungsi pertambahan atau slope

Definisi:

)(tyy selesaian tunggal PNA

Mkkk yt 0,

himpunan hampiran diskrit

- galat pendiskritan global ke :

kkk ytye )( untuk Mk ,,2,1

- galat pendiskritan lokal 1k :

),()( 11 kkkkk ythyty

untuk 1,1,0 Mk

terjadi pada satu langkah dari kt ke 1kt

- galat global akhir:

MybyhbyE )()),((

Pada metode Euler, suku yang diabaikan untuk tiap

langkah 2/)( 2)2( hcy k .

Setelah M langkah, galat terakumulasi menjadi

M

kk

hcy

h

abhcMy

hcy

1

2)2(

2)2(

2)2(

2)(

2)(

2)(

hOhcyab

2

)()2(

Metode Runge - Kutta Dapat dibangun untuk sebarang order N; yang paling

popular orde 4N

Ciri metode Runge-Kutta:

- stabil

- cukup akurat

- mudah diprogram

Metode Runge-Kutta orde 4N

Bentuk yang paling populer:

43211 226

ffffh

yy kk

dengan kk ytff ,1

12

2,

2f

hy

htff kk

23

2,

2f

hy

htff kk

34 , hfyhtff kk

Dikenal sebagai metode Rung-Kutta orde 4 ‘klasik’.

Metode Langkah Banyak

Metode Adams-Bashfort-Moulton Diturunkan berdasarkan teorema dasar kalkulus

Dalam mendapatkan penyelesaian PD, terdapat 2 tingkat yaitu

penduga dan pengoreksi. Rumus penduga untuk menduga/menebak

nilai titik yang akan dicari slopenya pada rumus pengoreksinya.

Penduga:

Pengoreksi:

Taksiran dan perbaikan galat

Galat pemotongan lokal untuk rumus penduga:

Galat pemotongan lokal untuk rumus pengoreksi:

Misal h cukup kecil dan ( )( ) dapat diabaikan maka

Contoh: Diketahui:

PNA. 3

' pada 0,32

t yy

a. Cari nilai y(0,5) menggunakan metode RK-4 dengan y(0)=1 dan h=0,25.

b. Cari nilai y(1) menggunakan Metode Adams-Bashfort-

Moulton dengan y(0)=y(0,25)=y(0,5)=y(0,75)=1.

Sistem Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu

Misal diberikan sistem PDB:

dengan nilai x pada interval (0,1) dan nilai awal ( ( ) ( )) ( ). Sistem di atas dapat ditulis

(

) (

( ) ( )

) (

)

Gunakan metode Heun untuk mencari solusinya.

Heun:

( ( ) ( ))

( ).

Karena ada dua variabel maka buat dua rumus Heun. Hitung dahulu

prediksi baru hitung .

Lakukan secara simultan untuk kedua variabel, jangan satu-satu.

( )

( )

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

Persamaan Diferensial Biasa Orde Tinggi

Penyelesaiannya dapat menggunakan metode yang sudah ada (untuk

orde satu), namun terlebih dahulu diubah menjadi sistem persamaan

diferensial orde satu.

Contoh:

y"(t) + 4y'(t) + 5y(t) = cost

y(0) = 3 , y'(0) = −5

Ubah menjadi sistem PD orde satu: definisikan terlebih

dahulu dua variabel baru dan (jumlah variabel baru sesuai dengan orde). Ingat .

Buat persamaan diferensial orde satu dengan variabel yang baru yang

berbentuk:

(

)

( ( ) ( )

) (

)

Lalu sistem PD di atas diselesaikan menggunakan cara sebelumnya.

Misal dengan metode Euler:

(

)

(

)