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Pendule élastique vertical - · PDF filependule se met à balancer de droite à gauche avant de revenir à la verticale, puis à se remettre à balancer et ainsi de suite. On interprète

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  • Pendule lastique vertical

    7 juin 2012

    1 Introduction

    Gilbert Gastebois, dans une tude remarquable sur le pendule lastique 1, commence par cette trs judicieuseremarque :

    Tout lve qui a mesur la priode dun pendule lastique a t confront un problme irritant : pourcertaine valeur de la masse accroche au pendule et malgr tout le soin mis le faire osciller verticalement, le

    pendule se met balancer de droite gauche avant de revenir la verticale, puis se remettre balancer et

    ainsi de suite.

    On interprte souvent ce phnomne par un couplage entre loscillation verticale et latrale qui se traduirait

    par des battements, mais si ctait le cas, cela devrait toujours exister car les deux priodes sont toujours assez

    proches, or le phnomne nexiste que pour des masses voisines de la valeur qui donne une frquence verticale

    double de la frquence latrale. Ltude des oscillations du pendule est trs complte dans le document de Gilbert Gastebois, aussi nous

    vous invitons vous y reporter car elle est vraiment unique : impossible de trouver mieux sur le Web ! Cestpourquoi nous ncrirons que les calculs aboutissant ltablissement des quations diffrentielles indispensables la simulation du phnomne.

    Je rappelle que but premier de tous les documents de ce site est dillustrer un phnomne physique parlutilisation de PSTricks et du package animate. La rsolution numrique des quations diffrentielles est faiteavec la macro \psplotDiffEqn du package pstricks-add. Un point trs important : les donnes sont critesdans un fichier sur le disque, mais cela ne peut se passer correctement que par la modification dans le fichierpstricks-add.tex de la ligne 1600 :

    \[email protected]{\[email protected] [email protected] closefile \fi}

    Que lon remplacera par celle-ci :%\[email protected]{\[email protected] [email protected] closefile \fi}

    Le % permettant de dsactiver cette commande.Nous donnerons la fin du document des dtails sur lutilisation de la macro \psplotDiffEqn.

    2 Le pendule lastique

    2.1 quations diffrentielles

    x

    y

    l0 + r

    k

    m

    O

    1. http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/pend_danse/theorie_pendule_dansant.htm

    1

  • Donnes : l0 est la longueur initiale du ressort (non tir ni comprim) et r son allongement (ou son raccourcis-sement). un instant quelconque les coordonnes de G, centre de masse de lobjet attach lextrmit libredu ressort, sont :

    x = (l0 + r) sin

    y = (l0 + r) cos

    On suppose lobjet ponctuel et les frottements ngligeables.Coordonnes de la vitesse :

    x = r sin + (l0 + r) cos

    y = r cos + (l0 + r) sin

    v2 = x2 + y2 = (r sin + (l0 + r) cos )2 + (r cos + (l0 + r) sin )

    2

    = r2 + (l0 + r)22

    nergie cintique :

    T =1

    2mv2 =

    1

    2m(x2 + y2)

    =1

    2m(r2 + (l0 + r)

    22)

    nergie potentielle de pesanteur et lastique :

    U =1

    2kr2 +mgy

    =1

    2kr2 mg(l0 + r) cos

    Lagrangien du systme :

    L = T U

    =1

    2m(r2 + (l0 + r)

    22)1

    2kr2 +mg(l0 + r) cos

    Pour la variable :

    L

    = mg(l0 + r) sin

    L

    = m(l0 + r)

    2

    ddt

    L

    = 2m(l0 + r)r +m(l0 + r)

    2

    lquation de Lagrange scrit :

    m(l0 + r)2 + 2m(l0 + r)r +mg(l0 + r) sin = 0

    Soit en divisant par m(l0 + r)2

    +2r

    l0 + r+

    g

    l0 + rsin = 0

    Pour la variable r :

    L

    r= m(l0 + r)

    2 kr +mg cos

    L

    r= mr

    ddt

    L

    r= mr

    mr m(l0 + r)2 + kr mg cos = 0

    r (l0 + r)2 +

    k

    mr g cos = 0

    2

  • 3 Les courbes

    Toutes les courbes ci-aprs ont t obtenues avec les donnes suivantes, qui sont celles choisies par GilbertGastebois pour son animation :

    \newcommand\parameters{ % Gastebois

    /M1 0.1 def % masse en kg

    /l0 0.15 def % longueur vide en m

    /K 20 def % raideur du ressort en N/m

    /G 9.8 def

    /r0 0.1 def % longation initiale du ressort en m

    /theta0 0.02 def % angle initial en rad

    % pulsation du pendule lastique sqrt(K/m)

    /wr K M1 div def % wr^2

    }%

    0,1

    0,2

    0 0,4 0,80,40,8

    (t)

    r(t)

    0.1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

    t(s)

    r(t)

    r0

    3

  • 1

    2

    1

    2

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

    t(s)

    r(t)

    0.5

    1.0

    0.5

    1.0

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

    t(s)

    (t)

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

    t(s)

    (t)

    4

  • 0.1

    0.2

    0.10.1

    x

    y

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    2

    3

    4

    5

    0.4 0.80.40.8

    (t)

    (t)

    5

  • 0.5

    1.0

    0.5

    1.0

    0.1

    r(t)

    r(t)

    6

  • 4 Lanimation

    7

  • 5 Les macros de PSTricks

    Les courbes et lcriture du fichier de donnes (x, y) pour lanimation sont ralises par la macro de pstricks-add : \psplotDiffEqn. En notation algbrique, nous crivons :

    \newcommand\SpringPendulum{

    y[2]|

    y[3]|

    (l0+y[0])*y[3]^2+G*cos(y[1])-wr*y[0]|

    -2*y[2]*y[3]/(l0+y[0])-G*sin(y[1])/(l0+y[0])

    }

    \newcommand\conditionsInitiales{r0 theta0 0 0}

    Sur la pile, les grandeurs sont stockes dans cet ordre :

    y[0] y[1] y[2] y[3]

    r theta r theta

    La sauvegarde des donnes pour lanimation se fait avec loption saveData :

    \begin{center}

    \begin{pspicture}(-5,-13)(5,1)

    \psgrid[subgriddiv=0,griddots=10,gridlabels=0pt](-5,-13)(5,1)

    \psaxes[dx=5,Dx=0.1,dy=5,Dy=.1](0,0)(-5,-13)(5,1)

    \uput[r](5,0){$x$}

    \uput[u](0,1){$y$}

    \psline{}(5,0)(0,0)(0,1)

    \pstVerb{ /Pi 3.1415926 def

    /deg2rad {180 div Pi mul} def

    /rad2deg {180 mul Pi div} def

    \parameters}%

    \psplotDiffEqn[plotfuncx=y dup 0 get l0 add exch 1 get rad2deg sin mul,

    plotfuncy=dup 0 get l0 add exch 1 get rad2deg cos mul neg,

    linecolor=blue, method=rk4,unit=50,

    saveData,filename=SPXYG.dat,

    plotpoints=1200,algebraic]{0}{12}{\conditionsInitiales}{\SpringPendulum}

    \end{pspicture}

    \end{center}

    8

    0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: 0.30: 0.31: 0.32: 0.33: 0.34: 0.35: 0.36: 0.37: 0.38: 0.39: 0.40: 0.41: 0.42: 0.43: 0.44: 0.45: 0.46: 0.47: 0.48: 0.49: 0.50: 0.51: 0.52: 0.53: 0.54: 0.55: 0.56: 0.57: 0.58: 0.59: 0.60: 0.61: 0.62: 0.63: 0.64: 0.65: 0.66: 0.67: 0.68: 0.69: 0.70: 0.71: 0.72: 0.73: 0.74: 0.75: 0.76: 0.77: 0.78: 0.79: 0.80: 0.81: 0.82: 0.83: 0.84: 0.85: 0.86: 0.87: 0.88: 0.89: 0.90: 0.91: 0.92: 0.93: 0.94: 0.95: 0.96: 0.97: 0.98: 0.99: 0.100: 0.101: 0.102: 0.103: 0.104: 0.105: 0.106: 0.107: 0.108: 0.109: 0.110: 0.111: 0.112: 0.113: 0.114: 0.115: 0.116: 0.117: 0.118: 0.119: 0.120: 0.121: 0.122: 0.123: 0.124: 0.125: 0.126: 0.127: 0.128: 0.129: 0.130: 0.131: 0.132: 0.133: 0.134: 0.135: 0.136: 0.137: 0.138: 0.139: 0.140: 0.141: 0.142: 0.143: 0.144: 0.145: 0.146: 0.147: 0.148: 0.149: 0.150: 0.151: 0.152: 0.153: 0.154: 0.155: 0.156: 0.157: 0.158: 0.159: 0.160: 0.161: 0.162: 0.163: 0.164: 0.165: 0.166: 0.167: 0.168: 0.169: 0.170: 0.171: 0.172: 0.173: 0.174: 0.175: 0.176: 0.177: 0.178: 0.179: 0.180: 0.181: 0.182: 0.183: 0.184: 0.185: 0.186: 0.187: 0.188: 0.189: 0.190: 0.191: 0.192: 0.193: 0.194: 0.195: 0.196: 0.197: 0.198: 0.199: 0.200: 0.201: 0.202: 0.203: 0.204: 0.205: 0.206: 0.207: 0.208: 0.209: 0.210: 0.211: 0.212: 0.213: 0.214: 0.215: 0.216: 0.217: 0.218: 0.219: 0.220: 0.221: 0.222: 0.223: 0.224: 0.225: 0.226: 0.227: 0.228: 0.229: 0.230: 0.231: 0.232: 0.233: 0.234: 0.235: 0.236: 0.237: 0.238: 0.239: anm0: 0.EndLeft: 0.StepLeft: 0.PlayPauseLeft: 0.PlayPauseRight: 0.StepRight: 0.EndRight: 0.Minus: 0.Reset: 0.Plus:

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