Pendulbevægelse

Jacob Nielsen1

Figuren viser svingningstiden af et pendul isekunder som funktion af udsvinget i grader. For

udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med

god tilnærmelse konstant. For større udsving vokser

svingningstiden.

Måling af svingningstid:

Pendulets svingningstid måles ved hjælp af en fotocelle. Fotocellen sender en spænding på nul volt til

computeren, når den er afbrudt; mens spændingen er fem volt, når lyset kan passere frit. Grafisk afbildes

spændingen som vist nedenfor. Der sættes et punkt, når fotocellens tilstand ændres. Punktets andenkoordinat er

den værdi, som tilstanden ændres til. Mere logisk ville det måske være, at tegne en graf som den stiplede, der

viser fotocellens tilstand til ethvert tidspunkt. Men det er mere præsist, at måle på en spids end; at måle på et

hjørne - måske er det årsagen til, at Datastudio er indrettet sådan.

Datadrev/Fysik/Mekanik/Pendul 070910.wpd 1

Ud fra grafen kan vi foruden svingningstiden også bestemme loddets hastighed. Ved hjælp af hastigheden kan vi

så igen beregne udsvingets størrelse under antagelse af energibevarelse. Så har vi både svingningstid og

udsvingets størrelse. Sådan er de afbildede måledata bestemt.

1t : Loddets højre kant afbryder fotocellen. Loddet er på vej mod B.

2t : Loddets venstre kant afbryder fotocellen. Loddet fortsætter mod B.

3t : Loddets venstre kant afbryder fotocellen. Loddet er på vej mod A.

4t : Loddets højre kant afbryder fotocellen. Loddet fortsætter mod A.

5t : Loddets venstre kant afbryder fotocellen. Loddet er på vej mod B.

Pendulets svingstid og hastighed er givet ved:

hvor d er loddets diameter.

Pendulets bevægelsesligning

Ser vi bort fra friktion, er den mekaniske energi bevaret, når et pendul svinger. Pendulets laveste punkt vælges

som nulpunkt for den potentielle energi, og den mekaniske energi kaldes E. Vi får så jævnfør figuren:

Et pendul foretager en del af en cirkelbevægelse, men bevægelsen er ikke jævn. Ved enhver - ikke nødvendigvis

jævn cirkelbevægelse - gælder:

der er gjort rede for denne sammenhæng i det matematiske appendiks sidst i noten. Kombineres de to sidste

ligninger ovenfor fås:

Ligning 1

Differentialligningen kan ikke løses eksakt, men for små vinkler gælder approximationen:

I denne approximation har differentialligningen løsningen:

Ligning 2

hvor A, B og C er konstanter . Bevægelsen bliver altså harmonisk med den konstante svingningstid:2

Ligning 3

sinusapprocimationen er kun gyldig for små vinkler. Det samme gælder så formlen for svingningstiden. Ved større

udsving kan vi ikke løse diffrentialligningen analytisk, men svingningstiden kan bestemmes ved hjælp af FPR-

Konstanten foran t er med vilje ikke kaldt ù, da Bö(t).2

programmer . 3

maxBeregning af udsvinget ud fra V

Hvis vi sætter den potentielle energi til nul, når pendulet er i sin laveste position, vil der gælde:

Pensvtid.fpr og pendul01.fpr.3

Opgaver 1

Kontroller, at funktionen givet i ligning 2 virkelig er løsning til differentialligningen ( ligning 1), når sin(n)erstattes med n.

Opgave 2

Udregn sin(n) og den relative afvigelse mellem n og sin(n) for nedenstående værdier af n og drag en konklusion.

n 0 {1;0.1;0.01;0.001}

Husk, at n skal regnes i radianer.

Opgave 3

Kontroller udtrykket for svingningstiden.

Opgave 4

a)

Fremstil et FPRO-program, der kan simulere pendulbevægelsen. Uden sinusapproximation.

b)

Udvid programmet, så det kan tegne den relevante harmoniske funktion til sammenligning.

c)

Varier amplituden, og undersøg afvigelsen fra harmonisk bevægelse.

d)

Hvor stor skal amplituden være, før svingningstiden afviger med 1% fra formel 3.

Matematisk appendiks 1

Ved en ikke nødvendigvis jævn cirkelbevægelse gælder følgende sammenhæng mellem fart og vinkelhastighed:

dette indses ved at udtrykke de cartesiske koordinater ved radius og vinklen og dernæst differentiere udtrykket.