Parcial 2 GAL1a

Segundo examen parcialGeometra y Algebra Lineal 1

2 de julio de 2015

En las preguntas tipo Verdadero/Falso cada respuesta correcta vale 3puntos, y cada respuesta incorrecta vale -3 puntos. En las pas preguntas demultiple opcion cada respuesta correcta vale 6 puntos, y cada respuesta in-correcta vale -2 puntos. Las preguntas no contestadas no tendran puntos.

A continuacion se dan las respuestas correctas a la VERSION 1

Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falsoEj 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8

V F V V F V V V

Respuesta a los ejercicios de tipo multiple opcionEj 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6

A B D A A C



F V V V V V F V


B C A B B D



V V F V F V V V


C D B C C A

1



V V F F V V V V


D A C D D B

1 Ejercicios de tipo verdadero/falso

1. Sea S : V V una transformacion lineal. Entonces T : V V Vdefinida como T (u) = (S(2u) 3u, S(S(u))) es una transformacion lineal.Resupuesta: Verdadero. Se demuestra verificando que T (u+ v) = T (u) +T (v) y T (u) = T (u) para u, v V y K.

2. Sea M M33(R) y TM :M33(R)M33(R) tal que TM (A) = AM .Entonces M es la matriz asociada a TM en algun par de bases deM33(R).Respuesta: Falso. M33(R) es un espacio vectorial real de dimension 9,por lo que la matriz asociada a TM en cualquier par de bases debe ser detamano 9 9, y M es 3 3.

3. EnM33(R) existen subespacios S1 y S2 tales que dim(S1) = 5, dim(S2) =4 y S1 S2 = {0}.Respuesta: Verdadero. Daremos un ejemplo. Sean S1 el subespacio gen-erado por las matrices 1 0 00 0 0

0 0 0

, 0 1 00 0 0

0 0 0

, 0 0 10 0 0

0 0 0

, 0 0 01 0 0

0 0 0

y 0 0 00 1 0

0 0 0

y S2 el subespacio generado por las matrices 0 0 00 0 1

0 0 0

, 0 0 00 0 0

1 0 0

, 0 0 00 0 0

0 1 0

y 0 0 00 0 0

0 0 1

.Entonces S1 y S2 cumplen que dim(S1) = 5, dim(S2) = 4 y S1S2 = {0}.

4. Si T : V W es una transformacion lineal inyectiva y {v1, v2, v3} V eslinealmente independiente, entonces {2T (v1)+T (v2),2T (v3+v1), T (v1)}es linealmente independiente.

Respuesta: Verdadero. Sabemos que como T es inyectiva el conjunto{T (v1), T (v2), T (v3)} es linealmente independiente. Para ver lo que sucede

2

con {2T (v1)+T (v2),2T (v3+v1), T (v1)}, consideremos una combinacionlineal

(2T (v1) + T (v2)) + (2T (v3 + v1)) + T (v1) = 0.Esto es

(2 2 + )T (v1) + T (v2) 2T (v3) = 0.Como {T (v1), T (v2), T (v3)} es linealmente independiente,

2 2 + = 0, = 0 y 2 = 0,de donde = = = 0.

5. Existe T : P4 M22(R) transformacion lineal inyectiva. (P4 es elespacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 4 concoeficientes reales.)

Respuesta: Falso. Sea T : P4 M22(R) una transformacion lineal. Porel teorema de las dimensiones,

dimP4 = dimN(T ) + dim Im(T ) dimN(T ) + dimM22(R)de donde

dimN(T ) dimP4 dimM22(R) = 5 4 = 1.Por lo tanto N(T ) 6= {0} y T no es inyectiva.

6. Todo espacio vectorial V 6= {0} tiene un subconjunto linealmente depen-diente con dos elementos.

Respuesta: Verdadero. Como V 6= {0}, existe v V no nulo. Entonces{0, v} es un subconjunto linealmente dependiente de V con dos elementos.

7. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto B V es una base V si y solosi todo elemento de V se escribe en forma unica como combinacion linealde elementos de B.

Respuesta: Verdadero. Ver teorico.

8. La transformacion lineal T : P3 M22(R) dada por

T (a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3) =

(a0 a1 a0 + a1 + 2a3a2 a3 a2 + a3

)tiene nucleo de dimension uno e imagen de dimension tres. (P3 es elespacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 concoeficientes reales.)

Respuesta: Verdadero.

p = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 N(T ) (a0 a1 a0 + a1 + 2a3a2 a3 a2 + a3

)=

(0 00 0

)

a0 a1 = 0

a0 + a1 + 2a3 = 0a2 a3 = 0a2 + a3 = 0

a0 = a1 y a2 = a3 = 0. Por

lo tanto una base de N(T ) es {1 + x}, y dimN(T ) = 1. El teorema de lasdimensiones nos dice que dim Im(T ) = dimP3 dimN(T ) = 4 1 = 3.

3

2 Ejercicios de tipo multiple opcion

Ejercicio 1 En R3, consideramos los subespacios S1 = {(x, y, z) R3 : x+ y+ z = 0}y S2 = {(1, 1,1), (1,1,1), (3,1,3)}. (Se recuerda que A es elsubespacio generado por el conjunto A.)

(A) S1 y S2 tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 1.(B) S1 y S2 tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 0.(C) S1 y S2 no tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 1.(D) S1 y S2 no tienen la misma dimension y dim(S1 S2) = 0.Solucion: Observamos que los elementos de S1 son de la forma

(x, y,x y) = x(1, 0,1) + y(0, 1,1),por lo que A1 = {(1, 0,1), (0, 1,1)} es un generador de S1. Como A1 eslinealmente independiente, es base de S1 y dim(S1) = 2. Por otro lado, S2esta generado por A2 = {(1, 1,1), (1,1,1), (3,1,3)}. El conjuntoA2 es linealmente dependiente, y (3,1,3) = (1, 1,1) + 2(1,1,1).Por lo tanto A2 = {(1, 1,1), (1,1,1)} tambien genera a S2, y como eslinealmente independiente es base de S2 y dim(S2) = 2. Sea S = S1 + S2.Por ser S un subespacio de R3, su dimension es menor o igual que 3.Por otro lado, dim(S) = dim(S1) + dim(S2) dim(S1 S2), de dondedim(S1S2) = dim(S1)+dim(S2)dim(S) 1. (Tambien es posible hallarS1S2 directamente, y calcular su dimension, que resulta ser exactamente1.)

Por lo tanto la respuesta correcta es S1 y S2 tienen la misma dimensiony dim(S1 S2) = 1

Ejercicio 2 Sea V un espacio vectorial con base A = {v1, v2, v3, v4}. Consideremos losconjuntos B = {v1 v2, v1 + v2 + v3, v3 v4, v1 + v4} yC = {v1 v2, v1 + v2 + v3, v3 v4, 2v1 + v4}. Entonces:(A) Tanto B como C son bases de V .

(B) B es linealmente independiente y C no.

(C) C es generador de V y B no.

(D) Ni B ni C son bases de V .

Solucion: Para ver si B es linealmente independiente, tomamos una com-binacion lineal

(v1 v2) + (v1 + v2 + v3) + (v3 v4) + (v1 + v4) = 0,es decir,

(+ + )v1 + (+ )v2 + ( + )v3 + ( + )v4 = 0.Como A es linealmente independiente, tenemos que

+ + = 0+ = 0 + = 0 + = 0

4

Este sistema es compatible determinado (lo cual podemos verificar, porejemplo, viendo que la matriz del sistema tiene determinante 1), por loque = = = = 0 y B es linealmente independiente.

Para ver si C es linealmente independiente, tomamos una combinacionlineal

(v1 v2) + (v1 + v2 + v3) + (v3 v4) + (2v1 + v4) = 0,

es decir,

(+ + 2)v1 + (+ )v2 + ( + )v3 + ( + )v4 = 0.

Como A es linealmente independiente, tenemos que+ + 2 = 0+ = 0 + = 0 + = 0

Este sistema es compatible indeterminado (lo cual podemos verificar, porejemplo, viendo que la matriz del sistema tiene determinante 0), por loque tiene una solucion distinta de = = = = 0 y C es linealmentedependiente.

Por lo tanto la respuesta correcta es B es linealmente independiente y Cno.

Ejercicio 3 Consideremos la funcion T : R3 R3 dada por

T (a, b, c) =

1 0 00 1 a0 0 1

abc

.(A) Como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y T (0, 0, 1) = (0, 0, 1),

T es una transformacion lineal y dim Im(T ) = 3.

(B) Como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y T (1, 1, 0) = (1, 1, 0),T es una transformacion lineal y dim Im(T ) 6= 3.

(C) Como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y T (1, 0, 1) = (1, 1, 1),T es una transformacion lineal sobreyectiva.

(D) Si S = {(x, y, z) R3 : x = 0}, la restriccion de T a S es unatransformacion lineal.

Solucion: T (a, b, c) = (a, b+ ac, c), que no es una transformacion lineal enR3. Una manera de ver esto es observar que T (2(1, 1, 1)) = T (2, 2, 2) =(2, 6, 2) y 2T (1, 1, 1) = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2). Cuando restringimos T alsubespacio S = {(x, y, z) R3 : x = 0} obtenemos T|S(0, b, c) = (0, b, c),que es la transformacion lineal identidad en S.

Por lo tanto la respuesta correcta es Si S = {(x, y, z) R3 : x = 0}, larestriccion de T a S es una transformacion lineal.

5

Ejercicio 4 Consideremos las siguientes transformaciones lineales del espacio de poli-nomios de grado menor o igual a dos en R2:

T : P2 R2 dada por T (p) = (p(1), p(1)) yS : P2 R2 dada por S(p) = (p(0), p(1)).

Sean V1 = N(T ), V2 = N(S) y V = V1 + V2. Entonces

(A) V = V1 V2 = P2.(B) V = V1 V2 y V 6= P2.(C) La suma V1 + V2 no es directa y V 6= P2.(D) La suma V1 + V2 no es directa y V = P2.Solucion: Si p = a0+a1x+a2x

2, entonces T (p) = (a0a1+a2, a0a1+a2)y S(p) = (a0, a0 + a1 + a2). Por lo tanto V1 = N(T ) = {p P2 :a0 a1 + a2 = 0} y V2 = N(S) = {p P2 : a0 = 0, a0 + a1 + a2 =0} = {p P2 : a0 = 0, a1 + a2 = 0}. Un elemento de V1 es dela forma a0 + (a0 + a2)x + a2x

2 = a0(1 + x) + a2(x + x2), por lo que

{1 + x, x + x2} es base de V1 y dimV1 = 2. Un elemento de V2 es dela forma a1x a1x2 = a1(x x2), por lo que {x x2} es base de V2 ydimV2 = 1. Si p = a0 + a1x+ a2x

2 V1 V2, entonces a0 a1 + a2 = 0a0 = 0a0 + a1 + a2 = 0,

es decir, a0 = a1 = a2 = 0. Por lo tanto V1 V2 = {0} y V = V1 V2.Como la suma es directa, la dimension de V es dimV1 + dimV2 = 2 + 1 =3 = dimP2, por lo que V = P2.Por lo tanto la respuesta correcta es V = V1 V2 = P2.

Ejercicio 5 Sean B = {(3, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 0)} y A = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}bases de R3. Sea T : R3 R3 una transformacion lineal tal que

A[T ]B =

1 0 10 1 11 2 1

Si v = (2, 1, 3) entonces

(A) T (v) = (2, 0, 2).

(B) T (v) = (5, 4, 7).

(C) T (v) = (0, 0, 2).

(D) T (v) = (2, 3, 4).

Solucion: (2, 1, 3) = (3, 0, 1) + (0, 1, 2) (1, 0, 0), por lo que coordB(v) =(1, 1,1). Entonces

coordA(T (v)) =A [T ]B coordB(v) = 1 0 10 1 1

1 2 1

111

= 00

2

.Por lo tanto T (v) = 2(1, 0, 1) = (2, 0, 2).

6

Ejercicio 6 Sea A Mnn(R) una matriz cuyo rango es 1. Supongamos que n 3 yconsideramos la siguiente transformacion lineal

T :Mnn(R)Mnn(R) dada por T (M) = A M

Entonces

(A) dim(N(T )) = n2 1.(B) dim(N(T )) no se puede determinar a partir de los datos dados.

(C) dim(N(T )) = n(n 1).(D) dim(N(T )) = n2 3.Solucion: Como A tiene rango 1 sera de la forma

A =

1v2v...nv

con i K en donde j 6= 0 para algun j.

Aqui v = (v1, v2, . . . , vn) es no nulo y v = (v1, v2, . . . , vn). Denote-mos por ei,j a la matriz que tiene un 1 en la fila i y en la columna j y 0en el resto de las entradas. El conjunto B = {ei,j : i, j {1, . . . , n}} esuna base de Mnn(R) entonces T (B) = {T (ei,j) : i, j {1, . . . , n}} es ungenerador de Im(T ). Para cada i y j, T (ei,j) = A ei,j es la matriz que en

la columna j tiene

1vi2vi

nvi

y cuyas demas columnas son nulas. Comohay al menos un i tal que vi 6= 0, la imagen de T esta generada por lasn matrices que tienen una unica columna no nula e igual a (1, . . . , n).Por lo tanto la dimension de la imagen de T es n. Por teorema de lasdimensiones

dimMnn = dimN(T ) + dim Im(T )= dimN(T ) = dimMnn dim Im(T ) = n2 n = n(n 1)

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