GRA EVINSKI FAKULTET SVEU ILITA U RIJECI

SKRIPTA RIJEENIH ZADATAKA IZ

OTPORNOSTI MATERIJALA

NEIRA TORI ,dipl.ing.gra .

2

1. Zadatak

Izra unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosa u ako je zadano :

2

2

11

11

mmN

MPa

mN

Pa

=

=

Vrijednosti uzdunih sila na pojedinim segmentima :

NFN

FFN

NFN

I

II

III

43

21

41

104

0

102

==

=+-=-=-=

Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :

MPaPaA

NA

N

MPaPaA

N

II

III

IIIIII

401040

0

201020

6

6

===

==

-=-==

s

s

s

mb

ma

mcmA

PaE

NF

NFF

1

2

1010

102,2

104

102

232

11

43

421

==

==

=

=

==

-

3

2. Zadatak

Odrediti naprezanja u tapu pri promjeni temperature za + T :

Rjeenje :

Ukoliko nema vanjskog otpora izduenju tapa, nema niti naprezanja u tapu. To zna i da se tap AC moe slobodno izduiti pod utjecajem temperature za veli inu . Sve dok je dD tl u tapu su naprezanja jednaka nuli.Ukoliko je tendencija tapa da se izdui za d>D tl , aktivira se u tapu sila koja opet vra tap na realnu duinu AB, kao to se vidi na slici. Moe se zaklju iti i da e sila u tapu biti tla na , odnosno s predznakom (minus).

realno izdurnjeB nerealno izduenje

( )( )

( )3

2)(

1

0,0

0,0

22

2

11

1

2211

2211

K

KK

AE

lF

AE

lFl

Tlll

ll

l

l

TlTll

BBB

t

Bt

t

t

t

+=D

D+=D

D-D=

>>D

=>D

D+D=D

aad

sedsed

aa

( ) ( ) ( ) [ ]

22

11

22

11

1

21

112211

1

)(13;2

AF

AF

AEAE

ll

l

AETllF

Bx

Bx

B

-=

-=

+

-D+=fi

s

s

daa

4

3. Zadatak

Odrediti pomak to ke C ukoliko se temperatura tapa 1 pove a za T :

Rjeenje :

bd=

bd=

bDa

=b

D=d

=DdD

=b

Da=e=DfiD

=e

sinv

cosu

2sinTl

2sinl

0l;l

2sin

Tlllll

C

C

1C

2C

1

ttt

t

5

4. Zadatak

Odrediti naprezanja u tapovima ukoliko se temperatura tapa 2 pove a za T :

Rjeenje

Iz plana pomaka i optere enja (ovdje promjena temperature) moemo zaklju iti da se tap 2 nastoji izduiti, no njegovo potpuno izduenje sprje avaju druga dva tapa spojena u voru D, koji nisu direktno optere eni i nemaju tendenciju izduenja. tap 2 se izdui za lt pri

2

D' u D''.

Budu i da su sva tri tapa me usobno spojena u voru D, izduenjem tapa 2 prisilno se izduuju i tapovi s brojem 1. Kao posljedica izduenja u njima se javlja vla na sila F1(vla na sila uzrokuje izduenje ako nema nikakvog drugog optere enja).

Zadatak 5

Iz uvjeta ravnotee sila :

( )10cos20 21 K=-=S FFY a

Iz plana pomaka :

( )2coscos 212

1

1

2 Kaa lll

l

l

lD=D

DD

==

Iz Hookovog zakona :

( )311

111 KAE

lFl =D

( )42222

222 KlTAE

lFl D+=D a

( ) ( )a

aa3

22

11

2112

1

cos21

cos)2(4);3(;1

AE

AEATE

F-

D=fi

a

aaa

3

22

11

3112

212

cos21

cos2cos2)1(

AE

AEATE

FFF-

D=fi=

2

22

1

11 ; A

F

A

F-== ss

6

5. Zadatak

Odrediti naprezanja u tapovima ako je srednji tap kra i za od predvi ene duljine l.

Rjeenje

Iz uvjeta ravnotee sila :

( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Ka==a-=S

Iz plana pomaka :

( )2cos

1AElF

AElF

cosl

l

ll

ll

cos

11

11

22

2212

2

1

1

2

Ka

+=a

D+D=d

D-dD

==a

( ) ( )

( )

( ) ( )2231123

22112

223

112

22211

1

11

1

22

21

11

11

22

21

AEcosAE2l

cosAEAE2F1

AEcosAE2l

cosAEAEF

cos1

AEl

cosAE

l2F

cos1

AElF

cosAElF

221

+a

ad=fi

+a

ad=

a

+a=a

+a=dfi

1

11 A

F-=s

2

22 A

F-=s

22

222

11

111

AElF

l

AElF

l

=D

=D

7

6. Zadatak

Odrediti naprezanja u tapovima 1 i 2 te vertikalni pomak to ke D.

Rjeenje

Sustav je jedanput stati ki neodre en (ima jednu prekomjernu veli inu), odnosno nepoznate su 4 veli ine ( RH , RV , S1 , S2 ).Uz tri uvjeta ravnotee postavljamo dodatnu jednadbu na deformiranom sustavu na principu sli nosti trokuta.Iz uvjeta ravnotee sila :

( )

( )

( )30sin0

2cos0cos0

10sin0

12

11

1122

K

K

K

=++-=S

==-=S

=--=S

V

HH

A

RSFSY

SRSRX

aSaSFlM

a

aa

a

Iz plana pomaka :

add

sin; 12

ll BC

D=D

Iz sli nosti trokuta :

( )412

Kaa

BC dd =

Iz Hookovog zakona :

22

222

11

111 ; AE

lSl

AElS

l =D=D ( )4

( )

222

22

22

2

2

2

22

1

11

22

2

21

1

2

22

112

21

2

1

1

2

22

1121

sin1

1

sin

aAEllS

al

lla

l

AS

AS

a

all

AEAE

a

FlSS

aa

ll

AEAE

SS

DD =D=fi=

D

=

=

+

=fi

=

dd

s

s

a

a

8

7. Zadatak

Dimenzionirati tapove AB i DG krunog popre nog presjeka napravljene od elika, te odrediti njihova produljenja.

mc

mb

ma

kNF

MpaE

Mpadop

1

2

3

100

102

1405

====

=

=s

)15,6(2861,24

4

36,510536,0101401075

)85,13(4201,44

4

6,121026,110140108,176

8,17645sin3

575

45sin35

0345sin50

7510043

43

0340

221

22

22

2

2236

32

2

211

11

21

1

2236

31

1

2112

22

cmAmmdusvojenocmA

dd

A

cmmS

A

cmAmmdusvojenocmA

dd

A

cmmS

A

SA

AS

ranjeDimenzioni

kNSSSSM

kNFSFSM

doppot

doppot

doppotdopx

C

H

====fi=

==

=

====fi=

==

=

fi=

=

=

==-fi=

====-fi=

-

-

pp

s

pp

s

sss

9

cmmAE

lSl

cmmAE

lSl

MPaMPaAS

MPaMPaA

S

Kontrola

dopx

dopx

12,010195,121015,610221075

18,010056,18707,01085,13102

2108,176

1409,1211015,61075

1406,1271085,13108,176

4411

3

22

222

4411

3

11

111

4

3

2

22

4

3

1

11

==

==D

==

==D

==

==

==

==

--

--

-

-

ss

ss

p

p

10

8. Zadatak

Odrediti pomak to aka B i D na zadanom sustavu.

( )

( )

( )AEabahF

Bba

Bah

AEabahF

AEhS

h

aba

FSSabaFM A

+

=Dfi+

D=

D

+

=

=D

+==-+fi=S

2

2

00

11

9. Zadatak

( )

( )

( ) ( )

MPamN

AS

MPamN

AS

NS

NS

Al

AlF

SaSAl

aAlSFa

Al

AlSS

AE

lS

AE

lS

lla

l

a

l

aSaSFaM

NF

EE

mcmA

mcmA

ml

ml

A

7,8105,1

35,1304

43,10101

5,1043

35,1304

5,1043

334

0334

12

232

23

2332

10320

6000

105,15,1

1011

8,1

1

242

22

241

11

2

1

21

1222

21

122

21

1221

22

22

11

11

2121

21

21

2422

2421

2

1

=

==

=

==

==

+=fi=--fi

=fi=

D=DfiD

=D

=--fi=S

==

==

==

==

-

-

-

-

s

s

K

K

12

10. Zadatak

Kruta greda AB objeena je o tri eli na tapa istog popre nog presjeka povrine 10 cm2. Duina tapova je h = 1 m, s tim da je srednji tap (2) napravljen kra i od projektirane duine za

= 0,6 mm. Odrediti sile u tapovima i izduenje srednjeg tapa ako je izvrena prinudna montaa sustava.

EA

hSl

EAhS

lEA

hSl

hlll

EAAEAEAE

33

22

11

321

332211

;; =D=D=D

======

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

mmmEA

hSl

kNS

kNS

kNS

kNccScSS

kNcSS

kNcSSScS

kNNchEA

SSSaSaSaSM

ShEA

SEA

hS

EA

hSll

a

l

a

l

SSEA

hS

EA

hSll

a

l

a

l

A

4,0103,4101101,200,11090

54

90

18

9012675

72

22

5412673

73

1

187

12671

94232,1

1261012600,1

101101,2106

3320320

22222

13333

4311

32

2

3

2

1

121

31

1111

33114

321321

1212

2121

1313

1313

==

==D

=

=

=

==-=-=fi

===fi

===--=fi

==

==D

-=fi=+-=S

-D

=fi-D=fiD-D=DfiD-D

=D

=fi=fiD=DfiD

=D

--

--

K

K

K

13

11. Zadatak

Cilindri ni stup promjera 4 cm, duine 120 cm optere en je u presjecima (1), (2) i (3) na udaljenostima zi = 0; 40 i 80 cm (i=1,2,3) od slobodnog kraja aksijalnim silamaFi(i=1,2,3) = 15 kN, 10 kN i 5 kN.Izra umati naprezanje u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

mmllll

mmmNkl

mmmNkl

mmmNkl

Nm

AEl

k

NkNNNAEl

llll

MPaPamN

A

N

kNFFFN

cmz

MPaPamN

A

N

kNFFN

cmz

MPaPamN

A

N

kNFN

cmz

md

A

cmL

llllcmL

cmd

MPaE

ii

112,0

048,01080,4103010159,0

04,01000,4102510159,0

024,010415,2101510159,0

10159,01021056,12

4,0

2410241056,121030

30

120803

2010201056,121025

25

80402

1210121056,121015

15

4001

1056,124

1044

403

;120

4

102

321

53833

53822

53811

8114

3

1321321

624

33

3

3213

3

624

32

2

212

2

624

31

1

11

1

24422

321

5

-=D+D+D=D

-=-=-==D

-=-=-==D

-=-=-==D

=

==

=++=D+D+D=D

-=-=-

==

-=---=

14

12. Zadatak

Dimenzionirati eli nu zategu krunog pore nog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog popre nog presjeka (h=2b) povrine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a doputeni naponi za elik 12 107

N/m2 i drvo 6106 N/m2.

Plan pomaka :

bh

AA

EEmN

E

mN

E

mNmN

dop

dop

2

10

20

101

102

106

1012

12

21

210

2

211

1

26

2

27

1

===

=

=

=

=

s

s

22

cossin

65

32

54

6/53/2

cos

53

6/52/

sin

1

2

==

=

=

==

==

bb

a

a

ll

ll

llll

15

Sile u tapovima :

( )

( )

( )

( )

kNSkNSFFF

S

SSSlAE

lAES

SlAE

lAES

AE

lS

AE

lS

AE

lSl

AE

lSl

ll

lSlSFlM

DC

CDDc

A

4,353;9,5838,02

61

512sin4sin

31

16252610

2335202

sin

sin2

sin2

sin2

sinsin;

sinsin

22

32

31

1031

sin32

sin0

122

212

12

121

2122

2111

22

22

11

11

11

111

22

222

21

===

+

=+

=fi

fi=fi

=

==fi

=D

==D

=

==

=--=

ab

ba

ba

aad

bbd

dddd

ba

K

K

Dimenzioniranje :

cmh

cmb

cmA

bcnbhbA

cmAA

cmdcmmd

Sd

SdA

A

S

dopdopdop

74,27

87,13

87,132

8,3842

8,3842

8,38448,381010

7606,0

1012104,35344

4

2222

212

7

3

1

1

1

12

111

11

=

=

===fi===

===

==

===ppss

pss

Kontrola napona :

MPaMPaAS

MPaMPaAS

dop

dop

653,11087,132

109,58

12084,91

4107

104,353

242

3

2

22

142

3

1

11

==

==

==

==

-

-

ss

sp

s

16

13. Zadatak

Odrediti sile u eli nim krunim zategama CF, DF i EG uslijed djelovanja nazna enog optere enja.

4Fl

M =

Plan pomaka

lll

ll

l

llll

l

243

169

2

22

42

45

165

164

23

2

2

222

1

==

==

==+=

2

1

222sin

5

2

452sin

==

==

l

l

l

l

b

a

17

Iz uvjeta ravnotee sila :

( )[ ] ( ) ( )10sin32sin20sin32sin44

0 321321 K=+--=++-+= baba SSSFSSSl

MFl

M A

Iz plana pomaka :

( )

;sin

;sin

;sin

2

43

24

321

bd

bd

ad

ddd

lll

lll

EDC

EDC

D=

D=

D=

== K

( )

( ) ( )

FFSS

FSS

FSSSSF

SSllll

ll

SSlSlSll

ll

EDED

DCDC

38,047,054

54

47,0

sin5sin54

20sin32sin

54

21

23sin

2

sin

323

43

2

54

sinsin

2

sinsin

22

24

2

21

32

2222

323232

21221121

===

==

+

==+--

=D=DD

=D

==

==D

=D

==

baba

bbdd

dd

babadd

dd

18

[ ]

--

-+

----=

7,2600

07,260

007,26

3,332015

203,2310

15107,56

ijs

14. Zadatak

Zadani tenzor naprezanja prikazati kao zbroj sfernog tenzora naprezanja i tenzora devijatorskog naprezanja. Odrediti normalno, posmi no i puno naprezanje u ravnini s normalom koja ima kosinuse smjera :cos(x,n)=2/3 ; cos(y,n)=1/3 ; cos(z,n)=2/3.

[ ]

+

--

-=

----=

s

s

s

szzyzx

yzsyyx

xzxysx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij MPa

ss

s

sstttsstttss

stttsttts

s

00

00

00

602015

205010

151030

srednje naprezanje devijatorski dio sferni dio

MPazyxs 7,263605030

3-=

--=

++=

ssss

Komponente devijatorskog tenzora naprezanja :

MPa

MPan

MPa

nnn

nn

nznynxn

9,53108,54

1032

7,3631

3,2332

3,33

8,547,363,233,33

2222

222222

=-=-=

-=--==

=++=++=

srt

rs

rrrr

[ ]

--=

----=

=

7,36

3,23

3,33

323132

602015

205010

151030

nz

ny

nx

ijn n

rrr

sr

( )( )( ) Pas

MPas

MPas

szzz

syyy

sxxx

3,337,2660

3,237,2650

7,567,2630

-=---=-=

-=---=-==--=-=

ss

ssss

19

15. Zadatak

Za zadano stanje naprezanja x = 100M Pa , y = -80M Pa , txy = 50 Mpa odrediti analiti ki a) glavna naprezanjab) maksimalno posmi no naprezanje s odgovaraju im normalnim naprezanjemc) naprezanja n i tn u presjeku s normalom koja s osi x zatvara kut = -25.

Glavna naprezanja i smjerovi naprezanja :

( ) ( )

-=fi-=+-

=-

=

=fi=+

=-

=

-==

=++-

=+-+

=

5,758462,38093

50

5,142591,080113

50

93

113

103105048010021

280100

421

2

022

02

011

01

2

1

22222,1

jss

tj

jss

tj

ss

tssss

s

y

xy

y

xy

xyyxyx

tg

tg

MPa

MPa

Kontrola preko invarijante naprezanja :

=+=+

=-=-+=+

905,755,14

2020801093113

0201

21

jj

ssss yx

Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i normalno naprezanje :

MPa

MPa

s 10293113

2

1032

931132

5,59455,1445

21

21max

011

=-

=+

=

=+

=-

=

=+=+=

sss

sst

jj

Naprezanja u ravnini pod kutem :

( ) ( )

( ) ( ) MPa

MPa

xyxy

n

n

xyyxxyyxyx

n

1,10150cos5050sin2

100802cos2sin

2

6,2950sin5050cos2

801002

80100

2sinsincos2sin2cos22

22

=-+---

=+-

=

=-+-+

+-

=

++=+-

++

=

jtjss

t

s

jtjsjsjtjssss

s

20

Prikaz Mohrove krunice naprezanja za zadano stanje naprezanja :

)1,101;6,29(),(;1,101;6,29

)103,10(),(;5,59;103;10

)0,93()0,(;5,75;93

)0,113()0,(;5,14;113

)50,80(),(

)50,100(),(

1max31max

122022

111011

-=====

--=-===

-

-

KKMPaMPa

NNMPaMPa

NNMPa

NNMPa

NN

NN

nnnn

ss

yxyyy

xxyxx

tststsjts

sjssjs

ts

ts

21

16. Zadatak

Za zadano stanje naprezanja odrediti glavna normalna naprezanja, glavna posmi na naprezanja i oktaedarska naprezanja.

[ ] [ ]MPaij

-=

6000

012050

05080

s

( ) ( )( )[ ]

( )( )

( ) ( )[ ] ( )

( )

( )[ ]

MPa

MPa

MPa

MPaMPaMPa

MPa

xyyxyx

m

yxxyyxyx

mxyyxmyxm

xymymx

zmmz

xymymxmz

mz

myyx

xymx

mzzyzx

yzmyyx

xzxymx

8,91

60

8,131

60;8,91;8,131

8,111205041208021

212080

421

2

2

40

0

600

0

0

00

0

0

0

3

2

1

321

222,1

22

22

22

2

3

2

-===

=-==

=+--+-

=

+-+

=

+--+-+==-++-

=---

===fi=-

=----

=-

--

fi=-

--

sss

sss

s

tssss

s

sstssssstssssss

tssss

sssss

tssssss

sssst

tss

sstttsstttss

22

Kontrola naprezanja :

MPaMPa

zyx

100100

8,91608,1316012080321

=-+=++-

++=++ ssssss

Pravac glavnog naprezanja 2 podudara se s pravcem osi z. Pravci glavnih naprezanja 1 i 3okomiti su na pravac naprezanja 2, a njihov se poloaj u ravnini okomitoj na pravac 2 odre uje prema izrazima :

=+=+

-=fi-=--

=-

=

=fi=-

=-

=

903,137,76

3,13236,01208,91

50

7,76237,41208,131

50

0301

033

03

011

01

jj

jss

tj

jss

tj

y

xy

y

xy

tg

tg

Maksimalna posmi na naprezanja :

MPa

MPa

MPa

MPa

8,111

9,352

608,1312

8,1112

8,1318,912

9,752

8,91602

2max

213

132

321

==

=-

=-

=

=--

=-

=

=+

=-

=

tt

sst

sst

sst

Oktaedarska naprezanja :

Budu i da normala oktaedarske ravnine zatvara s koordinatnim osima kuteve :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

MPa

MPa

MPa

oktoktokt

okt

okt

okt

zyxokt

0,992,933,33

2,93

,1318,918,9160608,13131

31

3,33

8,91608,13131

31

31

7,543

1cos1cos31coscoscos

2222

222213

232

221

321

2222

=+=+=

=

--+++-=-+-+-=

=

-+=++=++=

====++

tsr

t

sssssst

s

sssssss

aaagba

23

17. Zadatak

Plo a je izloena djelovanju vla nog naprezanja u oba pravca i tangencijalnog naprezanja u bo nim ravninama.Odrediti komponente naprezanja u presjeku ija normala zatvara kut od 30 s osi x i smjer i veli inu glavnih naprezanja.

( )MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

MPa

n

nnn

n

xyxy

n

n

xyyxn

xy

y

x

93,5

73,227,5

73,2

60cos260sin2

842cos2sin

2

27,5

60sin230sin430cos82sinsincos

30

2

4

8

2222

2222

=

-+=+=

-=

--

=+-

=

=

-+=++=

=

-=

==

r

tsr

t

jtjss

t

s

jtjsjss

j

t

ss

Glavna naprezanja :

( ) ( ) ( )

=fi=-

-=

-=

-=fi-=-

-=

-=

==

=-+-+

=+-+

=

5,6741,2417,3

2

5,22414,0483,8

2

17,3

83,8

83,26244821

248

421

2

022

02

011

01

2

1

22222,1

jss

tj

jss

tj

ss

tssss

s

y

xy

y

xy

xyyxyx

tg

tg

MPa

MPa

Kontrola preko invarijante naprezanja :

=+=+

=+=++=+

905,675,22

1212482,38,8

0201

21

jj

ssss yx

Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i pripadaju e normalno naprezanje :

MPa

MPa

s 622,38,8

2

8,22

2,38,82

4,22456,2245

21

21max

011

=+

=+

=

=-

=-

=

=+-=+=

sss

sst

jj

24

18. Zadatak

Kratki betonski stup, kvadratnog popre nog presjeka 30x30 cm pritisnut je silom F.Odrediti veli inu ove sile ako je normalno naprezanje u kosom presjeku pod kutem od 30prema normali 1,5 Mpa.Koliko je tangencijalno naprezanje u tom presjeku?

MPa

MPaAF

kNF

AF

AF

maA

mcma

MPa

xn

xyxy

n

x

nxn

xyyxn

n

86,060sin2102

2sin2

2cos2sin2

209,010180

180

30cos09,0105,1

coscoscos

2sinsincos

09,0

3,030

30

5,1

6

3

2

6

222

22

22

=-

-=-

=

+-

=

-=

-==

-=

-=-=-==

++=

==

===

=

js

t

jtjss

t

s

js

jjss

jtjsjss

js

19. Zadatak

Stup krunog popre nog presjeka optere en je vla nom silom intenziteta 20 kN. Tangencijalno naprezanje na bilo kojem presjeku (ravnini) ne smije prije i vrijednost od 7Mpa. Odrediti polumjer stupa.

cmdcmdd

Fd

dF

AF

MPa

kNF

n

xn

n

5,43,4107

1022

1)2(sin

2sin107

10222sin

22sin

22sin

22sin

2

7

20

6

4

max

6

4

2

=

=

===

==

p

j

jp

jpt

jp

jjs

t

t

25

20. Zadatak

U to ki A napregnutog elementa izmjerene su duinske deformacije u smjerovima x, y i n xx = -810-4, yy = 410-4, nn = 610-4. Odrediti promjene pravog kuta izme u osi x i y, te veli inu i smjerove glavnih deformacija.

( ) ( )

radxyxy

xy

yyxxnnxy

xyyyxxnn

4

4

44422

22

104,252

107,12

30sin10430cos10810660sin1

sincos2sin

1

2sinsincos

-

-

---

==

=

-+

=--=fi

fi++=

eg

e

jejeej

e

jejejee

Glavne deformacije :

( )

( ) ( )

42

41

442,1

4222,1

222,1

1016

1012

1014102

107,1244821

248

421

2

-

-

--

-

-=

=

-=

+--

+-=

+-+

=

e

e

e

e

eeeee

e xyyyxxyyxx

Kontrola :

44

4444

21

104104

10161012104108--

----

-=-

-=+-

+=+ eeee yyxx

Smjerovi glavnih deformacija :

=+=+

-=fi-=--

=

-=

=fi=-

=

-=

--

-

--

-

902,904,328,57

4,32635,01041016

107,12

8,57588,11041012

107,12

0201

0244

4

202

0144

4

101

jj

jee

ej

jee

ej

yy

xy

yy

xy

tg

tg

26

21. Zadatak

Odrediti deformaciju dijagonale eli nog elementa.

5

55

55

55

5

105,192

1075,915102

3,0112

10910260

3,0

103010260

15

60

3,0

102

-

-

-

-

==

=+

=+

==

-=

-=-=

=

==

==

==

xyxy

xyxy

xy

xyy

xxx

xy

x

EG

E

E

MPa

MPa

MPaE

eg

tnt

e

sne

se

tsn

Relativna deformacija dijagonale :

cmdd

d

xyyyxxd

1030sin55

30sin

1069,28

60sin1075,930sin10930cos10302sinsincos5

5252522

=

==

=

+-=++=-

---

e

jejejee

Apsolutna deformacija :

mmdd d35 1069,281001069,28 -- ===D e

27

22. Zadatak

Pravokutna plo ica dimenzija 120x90 mm optere ena je u dva pravca tako da su

MPacmN

MPacmN

MPaE

y

x

404000

10010000

3,0

102

2

2

5

-=-=

==

==

s

s

n

Odrediti kolika su naprezanja u kosoj ravnini koja se poklapa s dijagonalom koja s osi x zatvara otri kut i za koliko e se promijeniti duina dijagonale.

( )

( )

( )

555

555

2222

1035102

1003,0

10240

105610240

3,0102

100

0,682,677,10

2,67106sin2

100402cos2sin

2

7,10106cos2

401002

401002sin2cos

22

53903775,0129

-

-

-=

-

-=-=

=

--

=-=

=+=+=

=---

=+-

=

=-+

+-

=+-

++

=

-=-=fi===

EE

EE

MPa

MPa

MPa

tg

xyyy

yxxx

nnn

xyxy

n

xyyxyx

n

sn

se

sn

se

tsr

jtjss

t

jtjssss

s

ajaa

Budu i da traimo izduenje dijagonale, traimo deformaciju u smjeru normale ravnine okomite na dijagonalu, te je sada kut

mmdd

mmd

d

xyyyxxd

25

22

5252522

1046,31501004,23

15012090

1004,23)37(sin1035)37(cos10562sinsincos

--

---

===D

=+=

=-=++=

e

jejejee

28

23. Zadatak

eli na kocka brida a = 10 cm postavljena je bez zazora izme u dviju krutih stijenki na podlogu i na gornjoj plohi optere ena s q = 60 MPa. Odrediti : a) naprezanja i deformacije u tri okomita smjera i deformaciju dijagonale kocke

b) promjenu volumena kockec) normalno i posmi no naprezanje u presjeku pod kutem od 45 prema stjenki.

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

mmdd

ad

E

E

MPaE

MPaq

MPaE

d

d

zzyyxxd

yxzzz

xzyyy

yxyzxxx

z

y

325

5

55222

55

55

5

109310102,5

102,531

107,1131

103,270coscoscos

3

107,1160183,010211

103,27183,06010211

18603,001

0

60

30,0

102

--

-

--

-

-

-=-==D

-=

+-=++=

=

=---

=+-=

-=---

=+-=

-=-===+-=

=

-=-==

=

e

e

gebeaee

ssnse

ssnse

nssssnse

s

sn

Relativna i apsolutna promjena volumena :

cmVVVV

V

zzyyxxV

15,010106,15

106,15107,11103,270

35

555

-=-==D

-=+-=++=D

=

-

---

e

eeee

[ ]

MPa

MPa

MPan

MPa

MPa

n

nnn

nznynxn

nn

nz

ny

nx

ijn

21

28,44042,4272,12

3945cos42,4245cos72,12

0

42,42

72,12

90cos

45cos

45cos

000

0600

0018

22

222222

=-=

=++=++=

-=--==

=

-=-=

-

-==

srt

rrrr

rs

r

rr

sr

29

24. Zadatak

Odrediti glavna naprezanja na stranicama kvadratnog elementa ako su tenzometri (ure aji za mjerenje duinske deformacije) A i B pokazali prirast nA = 9,9 mm i

nB = 3,1 mm. Tenzometar A postavljen je pod kutem = 30 prema pravcu glavnog naprezanja 1, a tenzometar B okomito na tenzometar A. Baza tenzometra l0 = 20 mm, a uve anje

tenzometra k = 1000. E = 0,8105 Mpa, =0,35

Relativne deformacije :

43

0

43

00

1055,12010

1,3

1095,42010

9,9

-

-

=

=

D=

=

=

D=

D=

lk

n

lkn

ll

BnnB

AnnA

e

e

Za ravninsko stanje deformacija :

Kontrola :

MPanBnA 8020603050 =+=+=+ss

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )

MPa

MPa

MPaE

MPaE

nB

nA

xyyxn

nnAnnBnB

nnBnnAnA

20

60

23075,025,0

15025,075,0

230cos30sin)90(sin)90(cos

coscos90sin

sinsin90cos

130sin30cossincos

2sinsincos

301095,435,01055,135,01108,0

1

501055,135,01095,435,01108,0

1

2

1

21

21

22

21

22

21

222

222

22

21

22

21

22

442

5

2

442

5

2

==

fi=+=+

+=+++=

==+

=-=+

+=+=

++=

=+-

=+

-=

=+-

=+

-=

--

--

ss

ssss

ssjsjss

jjj

jjj

ssjsjss

jtjsjss

neen

s

neen

s

KK

K

K

30

25. Zadatak

Kocka duine stranice a, izloena je djelovanju jednolikog tlaka intenziteta p = - 700 N/cm2. Odrediti Poissonov koeficijent ako je relativna promjena volumena -910-5, a modul elasti nosti materijala 0,7104 kN/cm2.

( )

( )( )

35,0

1073107,0109

121

31

21

321

21

109

107,0107,0

107700

6

115

321

321321

5

211

24

26

2

=

-

--=

-=

-=

====

++-

=++=

-=

==

-=-=

-

-

n

enne

ssss

sssneeee

e

p

Ep

E

pE

mN

cmkN

E

mN

cmN

p

VV

V

V

26. Zadatak

U gredi eli nog mosta, pri prolazu vlaka, izmjerena su pomo u tenzometra relativna izduenja u horizontalnom pravcu (u smjeru osi x ili paralelno s osi grede) 0,0004 i vertikalnom pravcu(u smjeru osi y ili okomito na os grede) -0,00012. Odrediti normalna naprezanja u pravcu osi grede i okomito na nju.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

MPaE

MPamN

E

EE

EE

MPaE

xyy

x

yxx

xyyxyy

yxxyxx

y

x

010843,0101,200012,0

841084

3,0100012,03,00004,0101,2

112

21

11

3,0

101,2

00012,0

0004,0

611

26

2

11

2

5

=+-=+=

==

--

=-

+=fi

+=-=

+=-=

==

-==

nses

s

nnee

s

nsesnsse

nsesnsse

n

ee

K

K

31

27. Zadatak

Za optere enje na tlak betonske kocke ( stranice 7 cm) postavljene su na njene etiri strane papu ice od elika spojene me usobno zglobnim mehanizmom. Dvije sile veli ine F djeluju u vorovima A i D. Odrediti za koliko se promijeni volumen kocke ako je E =4 103 KN/cm2, = 0,3 i F

= 50 kN.

( ) ( )

( ) ( )

38

10

3

332221

321321

109,9

1042

105007,03,0214

2

214

;0;2

2

22121

45

0cos

0

cos:0sin

0sin:0

mV

E

aFV

aVa

F

a

S

VE

VE

VVV

FFy

SF

Sx

FFSFx

FSSFy

V

BC

AB

ABAAB

AA

--=D

--=

--=D

==-

=-

==

-=++

-=++==D

===S

=-==S

=+=S

-==+=S

n

sss

sn

sssn

eeee

a

a

aa

a

32

28. Zadatak

Odrediti potrebne duljine l1 i l2 zavara spajanjem kutnih metalnih profila s plo om.

( )( )( ) ( )

cmlcmlcmlcmllcmll

llh

h

l

lhlhl

halhalhFhFM

cmtF

lltll

Fal

FAF

MPa

cmh

cmh

cmt

kNF

dopdopA

dopdop

dop

5,55,13195,134,1

19194,1194,019

4,04,06,34,1

220

191090105,04,1

101207,0245cos2

90

4,1

6,3

5,0

120

1222221

211

2

2

12211

22112211

62

3

2121

2

1

=-=====+=+

=@==fi=fi

fi===

=

=

+fi

+=

==

===

==

-

tt

ttt

t

l 1

l 2

h1h2

t

aF

33

29. Zadatak

Odrediti potreban broj zakovica promjera 20 mm, ako je

FF

FF/2

F/2F

F/2

F/2

t1

t2

t

d

n broj zakovicam reznost zakovica

( )

MPaMPandtF

AF

redannn

dm

Fn

dnm

FnmA

FAF

MPa

MPa

mmt

mmt

kNF

dopp

dop

dops

dop

dop

280208101210206

10300

212265

101004

10202

10300

44

280

100

12

8

300

33

3

623

3

221

1

==

===

==

====

=

====

--

-

ss

ptpt

pt

s

t

34

30. Zadatak

Na vijak promjera d djeluje tla na sila F koja izaziva naprezanje u vijku i povrinski pritisak p izme u prstena promjera D i lima. Odrediti promjer D, te posmi no naprezanje u prstenu ako je prsten debljine

( )

MPatd

tdd

AF

cmp

dp

ddD

dAF

AF

pF

dDdD

FAF

p

cmt

MPap

MPa

cmd

s

p

5010505,04

1,01010044

7,1840

1001101

44

4

44

5

40

100

10

762

22

2

222

==

====

=+=+=+=

===

+=-

==

====

sppst

sp

ps

psss

pp

s

35

31. Zadatak

Metalna vilica i plo ica 1 i 2 spojene su vijkom i optere ene prema slici. Odrediti promjer vijka d, ako je

mmdmm

mapF

dpp

bdF

AF

p

adF

AF

p

pAF

p

mm

Fd

dm

FmAF

AF

mmb

mma

MPap

MPa

kNF

dop

p

p

dopp

sdopsdop

s

dop

sdop

37033,00369,0

033,010150015,02

101502

2

0369,010702

1015044

4

35

15

150

70

150

6

3

21

22

11

6

3

2

=fi>

=

=fi>

==

==

=

=

====

==

=

==

pptt

pt

t

36

Zavareni spojevi

Lom zavarenih spojeva optere enih na smicanje nastaje po najslabijem (smi nom) presjeku A-B, tj. po presjeku za koji je smi na povrima najmanja.Naprezanja u zavaru iznose :

- normalno naprezanje alF

=s

- posmi no naprezanje alF

=t

ili op enito ( ) ( )ttssts

laF

AF

laF

AF

==

== , gdje je A , A veli ina povrine zavara koja

se odnosi na normalno, odnosno posmi no naprezanje.Za spoj na slici posmi no naprezanje je

( ) ( )llaF

laF

AF

+=

==

12tt

Normalno naprezanje jednako je posmi nom.Kod zavarenih spojeva uobi ajeno se provjeravajunormalna naprezanja ako sila djeluje okomito na povrinu zavarenog spoja, odnosno na posmi na naprezanja dok sila djeluje u samoj povrini zavarenog spoja.

37

33. Zadatak

Odrediti potrebnu duljinu zavara prema slici.

54040

84,0

7,0

2,1

135

50

2

1

21

2

==

=

=

B

ta

ta

ttmm

N

kNF

dopt

Iz priru nika za profile :

2

2

379

6,11

40

mmA

mme

mmb

=

==

( )( )

( )

mmlmmlusvojeno

mma

Almm

a

Al

mmammausvojeno

mmta

mmta

mmAAA

mmb

AeA

b

FeF

mmF

AAF

FebFM

FFFF

dopdop

B

z

70,40

62,62,56,30

4,3

2,4584,084,0

5,357,07,0

263

10740

6,113702

370135

1050

20

10

21

2

22

1

11

21

2

1

212

221

21

23

21

21

==

====

=====

====-=

=

===

=

==

==

=+=

ttt

K

K

38

34. Zadatak

Odrediti najve a naprezanja zakovica.

kNH

cmb

cma

cmd

kNQ

12

8

4

4,1

20

=====

Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile H

hH

FH =

Moment u teitu sustava zakovica( )baQM +=

Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile Q

hQ

FQ =

Sila u i-toj zakovici od momenta MiMi kF r=

Q

H

baa

a

a

1

23

4

5

1

23

4

5FH

FQ

FM

FM

FM

FH

FH

FQ FQ

FQ

FQ

45

39

Moment od sile FMi s obzirom na teite sustava

( ) ( ) ( )kN

abaQ

aa

baQF

FFFFF

a

MF

MkkMM

kFM

M

MMMMM

i

i

ii

Mi

ii

ii

i

iiMii

6,1004,08

08,004,02028

22

24

0,2

2

4321

5432

5

1

2

5

1

2

25

1

2

=

+=

+

=

+=

=========

=

=fi==

==

=

=

=

rrrrr

rr

rr

rr

U srednjoj zakovici ne djeluje sila od momenta!05 =MF

kNFFR

kNFFFFR

kNFFFFR

kNFFFFR

kNFFFFR

kNF

kNF

QH

MQMH

MQMH

MQMH

MQMH

Q

H

66,4

49,1022

22

17,622

22

57,1222

22

15,1522

22

4520

4,25

12

225

22

4

22

3

22

2

22

1

=+=

=

-+

+=

=

-+

-=

=

++

-=

=

++

+=

==

==

Najve e optere enje ima zakovica 1 : R1 = 15,15 kN

MPad

R

mAF

s

20,49

4014,0

2

15150

42

221 ====

ppt

40

35. Zadatak

Unutarnji promjer vanjskog eli nog prstena je za D manji od vanjskog promjera unutarnjeg aluminijskog valjka, pa je eli ni prsten u zagrijanom stanju nataknut na aluminijski valjak. Odrediti pritisak prstena na valjak i naprezanje u prstenu nakon hla enja prstena. Kolika sila djeluje u prstenu?

mmt

mmN

EE

mmN

EE

mmD

Al

Al

5

3,0

34,0

102

107,0

1,1

2

1

25

2

25

1

=

====

==

==

=

nnnn

Uvjet deformacija :( )

mmDDD

DDD

1,1

1

21

21

=-=D

D+D=D K

Uvjet ravnotee :( )

2

22

22

2

202

DpR

tDpS

DpS

=

=

=- K

Izraz za deformacije :( ) ( )

( )1

11

111

11

12

11

11

1 1 DD

Ep

Ep

Ep

EED

=-=-=-= nns

ns

e

Za valjak :( )

( )

hDF

tE

pDD

FE

S

D

D

EF

S

ED

D

=

=D

=D

fi

=D

=

2

1

22

22

1

2

2

2

1

22

2

22 2

,se

Za prsten :

2

2

2

2

22

22

2 22 DD

tEpD

DtEpD D

===e

41

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )1

21

12

5

2

5

21

2

22

11

12

22

11

11

2

22

222

11

1111

85,0

102521600

34,01107,0

16001,1

1600

21

1,11,1

21

2

1

ss

nn

e

ne

===

+-

=

@@

+-==+-

==D

-==D

mmN

p

mmDD

tE

D

E

Dp

tE

pD

E

pD

tE

pDDD

E

pDDD

Naprezanje u prstenu (homogeno stanje naprezanja) :( )

222

1 0,13652160085,0

2 mmN

tpD

=

==s

Sila u prstenu :( ) kNhtS 1360,136200521 === s

Kontrola :( )

( ) ( )

mmDDD

mmE

pDD

mmE

DD

1,1013,0087,1

013,034,01107,0160085,0

1

087,1102

0,1361600

21

511

11

52

21

22

=+=D+D=D

=-

=-=D

=

==D

n

s

42

36. Zadatak

U parnom kotlu promjera D djeluje pritisak p. Kotlovski lim debljine t spojen je u uzdunom smjeru dvorednim zakovicama promjera d na me usobnom razmaku e. Odrediti :a) naprezanja u sastavub) koliki maksimalni tlak pare moe kotao podnijeti ako su zadana doputena naprezanja.

2

2

2

2

160

100

70

100

20

10

0,1

1600

mmN

mmN

mmN

mme

mmd

mmtmm

Np

mmD

dopO

dop

dop

=

=

=

==

=

=

=

s

s

t

a) Naprezanje stjenke kotla (u smjeru tangente na stjenku)

280

10216000,1

2 mmNpD

=

==d

s

Sila na razmaku e (sila koja djeluje na jedan red zakovica)kNeS 801001080 === ds

Naprezanje zakovice

posmik222

32,127

420

2

80000

4mm

Nd

m

S===

ppt

bo ni pritisak2

20010202

800002 mm

NdS

O ===

ds

Vlak na oslabljenom presjeku

( ) ( ) 2100102010080000

mmN

deS

=-

=-

=d

s

43

b) Nosivost zakovice

( ) ( )

2max

2

max

22

200

2001601600

10010222

80

801020100100

322010160

22991,214

2070

4

mmN

p

mmN

Dp

pD

kNNN

kNdeN

kNdN

kNkNd

N

V

dopV

OdopO

dopS

=

=

==fi=

==

=-=-=

===

@===

dsd

s

ds

ds

ppt

44

37. Zadatak

Za satavljeni tap na slici potrebno je odrediti najve a posmi na naprezanja i potencijalnu energiju deformacija ako su u to ki A zadana glavna naprezanja.

30,0

102

8

8

25

22

21

=

=

-=

=

n

s

s

mmN

E

mmN

mmN

kNmNmmI

MI

M

mmmD

I

mmmD

I

A

pACA

p

CA

p

p

4,5104,530

103,208

103,20103,2032

12032

1002,41002,432

8032

66

2

21

464644

22

464644

11

==

=

===

====

====

-

-

rt

rst

pp

pp

Uvjet ravnoteeTCB MMM =+

Uvjet deformacije

00,24,18,0

0121

=

-

-

=p

C

p

C

p

TC IG

MIG

MIG

Mj

kNmMMM

kNmM

I

IM

IIM

IM

CTB

T

p

pC

ppC

pT

10

4,15

0,23,20

02,44,1

8,0413,5

0,24,18,0

0,24,18,0 2

1

12

1

=-==

+=

+=

+=

45

( ) ( )

NmmkNmU

U

IG

M

IG

M

IG

MU

mkN

mmNE

G

mmND

I

M

p

C

p

C

p

B

p

B

198000198,0013,0056,0129,0

103,201077,024,14,5

1002,41077,022,14,5

1002,41077,028,010

2

4,1

2

2,1

2

8,0

1077,01077,03,012

10212

5,992

801002,4

10102

68

2

68

2

68

2

2

2

1

2

1

2

28

25

5

26

61

1max

==++=

+

+

=

+

+

=

==+

=+

=

=

==

---

n

t

46

38. Zadatak

Osovina krunog popre ena je momentom torzije Mt. Temperatura osovine se promijeni za t. Odrediti smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki C.

C

1,7 m

1,2 m

D

0,5 m

A

B0,8 m

tMt

C

( ) ( )

222422

464644

28

25

5

101,1101,14

1204

1036,20104,2032

12032

1077,01077,03,012

10212

mmmD

A

mmmD

I

mkN

mmNE

G

p

-

-

====

====

==+

=+

=

pp

pp

n

Uvjet ravnotee :

( )1KtBA MMM =+

Uvjet deformacije :

( )

kNmMMM

kNmlb

MM

IGbM

IGlM

AtB

tA

p

t

p

AA

71,4

29,117,12,1

16

20

=-=

===

=

-

= Kj

kNmM

mmD

Kt

K

mmN

E

t

t

16

120

30

1025,1

30,0

100,2

15

25

==

+=D=

=

=

--a

n

47

( )

( )

-=-=-=-

=

-=

+=

-=+--

=+=

-=

-=-=

=

==

==

D=fi

=D=D

-

215,1043,2023725,052,7488,132

2

02,77

50,2

76,3926,3788,13452,7421

252,74

421

2

52,74101,1

1023,848

88,132

1201036,20

1071,42

23,848101,1102301025,1

22

21

22222,1

24

3

26

6

455

jjj

s

s

tss

s

s

t

aa

tg

mmN

mmN

tlakmm

NAF

mmND

I

M

kNF

AEtFAElF

ltl

C

C

CCCC

C

p

BC

tt

48

39. Zadatak

Za spoj dva vratila odrediti potreban broj vijaka krute spojke. Zanemariti utjecaj spojke na uvijanje.

mR

mmD

mmD

kNmM

kNmM

MPa

mmd

t

t

dop

V

2,02

140

100

15

10

50

12

2

1

2

1

===

==

==

t

4544

2

4544

1

10771,332

14,032

109817,0321,0

32

mD

II

mD

II

pIVpIII

pIIpI

-

-

====

====

pp

pp

Uvjet ravnotee :

( )100 21 K=-++= ttBAz MMMMM

Uvjet deformacije :

( )2004

1

K=+++== =

=IVIIIIII

i

iiAB jjjjjj

49

( )

( )( )

( )( ) kNmM

II

IIMIMM

IIII

aGI

MMMGI

MMGI

MMGIM

A

pIIIpI

pIIIpItpItA

pIVpIIIpIIpI

pIV

ttA

pIII

tA

pII

tA

pI

A

483,4771,39817,02

771,39817,02109817,015

2

2

,

0

2

12

2111

-=+

+-=

+

+-=

==

=

-++

++

++-

Torzijski moment u presjeku C :

kNmMMM tAC 517,510483,41 -=-=+=

Zbog djelovanja momenta MC vijci spojke su optere eni na smicanje :

RFnM C =n broj vijakaF posmi na sila koja djeluje na jedan vijakR krak djelovanja sile F

Potreban broj vijaka u spoju :

vijakanRd

Mn

dF

d

FAF

sdopv

C

sdopv

sdop

vvs

1076,91,01050012,0

551744

44

622

2

2

==

=

==

ppt

tp

tp

t

50

40. Zadatak

Sastavljena osovina krunog popre nog presjeka optere ena je momentom torzije Mt . Odrediti najve a naprezanja u pojedinim dijelovima osovine i potencijalnu energiju deformacije.

mmd

mmD

mmD

mmN

E

kNmM t

64

120

80

3,0

102

15

2

1

5

===

=

=

=

n

( ) ( )

4644

22

464444

11

103,2032

12032

104,232

648032

mmD

I

mmdD

I

p

p

===

=-

=-

=

pp

pp

Uvjet ravnotee( )10 KtBAz MMMM =+=

Uvjet deformacije

( )

kNmMMM

kNm

III

MM

GIM

GIM

GIM

BtA

pp

ptB

p

B

p

B

p

tA

458,9

54,50,24,1

18,0

200,24,18,0

0

12

1

121

=-=

=+

=

=

-

-

= Kj

( ) ( )

kNmGI

MGI

MGI

MUE

mkN

mmNE

G

mmND

I

M

mmND

I

M

p

B

p

B

p

Ap

p

A

p

B

307,00137,00996,01936,02

4,12

2,12

8,0

1077,01077,03,012

10212

63,1572

80104,210458,9

2

37,162

120103,201054,5

2

2

2

1

2

1

2

28

25

5

26

61

11max

26

62

22max

=++=

+

+

==

==+

=+

=

=

==

=

==

n

t

t

51

41. Zadatak

Odrediti potrebne dimenzije pojedinih odsje aka te kut uvijanja slobodnog kraja.

MPa

kNmM

kNmM

kNmM

GPaG

mma

dop

t

t

t

60

3

7

4

80

400

3

2

1

====

==

t

Uvjet ravnotee :

( )( )

kNmM

kNmMMMM

MMMMM

A

tttA

Atttz

6

64731

100

123

321

==-+=-+=

=+--= K

Vrijednost momenata torzije na pojedinim odsje cima :

kNmMMMM

kNmMMM

kNmMM

tttIII

ttII

tI

6374

374

4

321

21

1

-=--=--=-=-=-=

==

Kriterij vrsto e :

33

16,,,,

16

dop

iidop

i

i

pi

ii

MDIVIIIIIIi

d

M

W

M

ptt

pt ===

52

Dimenzioniranje :

mmDmM

D

mmDmM

D

mmDmM

D

IIIdop

IIIIII

IIdop

IIII

Idop

II

800798,010601061616

640634,010601031616

700698,010601041616

36

3

3

36

3

3

36

3

3

==

=

==

=

==

=

ppt

ppt

ppt

Kutevi uvijanja :

( )

( )rad

DG

aM

IG

aM

radDG

aM

IG

aM

radDG

aM

IG

aM

III

III

IIIp

IIIABIII

II

II

IIp

IIBCII

I

I

Ip

ICDI

349

3

4

349

3

4

349

3

4

1046,708,01080

4,01063232

1007,9064,01080

4,01033232

1099,1607,01080

4,010464642

-

-

-

-=

-=

=

==

-=

-=

=

==

=

=

=

==

ppjj

ppjj

ppjj

Kut uvijanja slobodnog kraja nosa

( ) radIIIIIIADuk 33 1046,01046,707,999,16 -- =--=++== jjjjj

53

42. Zadatak

Za nosa oblika I-profila odrediti dimenzije popre nog presjeka prema maksimalnim normalnim i tangencijalnim naprezanjima.

MPa

MPa

tb

thmkN

q

kNF

dop

dop

60

120

8

20

2

4

=

===

=

=

t

s

Reakcije oslonaca :

( )

kNqFFF

kNqFF

qFFM

qFFFF

AAy

B

BA

BAyy

6,63

4,35,4251

05,13250

030

=+==

=+=

=--=

=++--=

54

Momenti savijanja :

kNmFM

kNmqFMM

Bx

Ayl

xx

8,62

2,9122

2

11

==

=-==

Ekstremni momenti savijanja na udaljenosti z od oslonca A :

( )

( ) ( )

mq

FFzFqzF

dz

dM

zFqzzFzM

mz

mq

FzqzF

dz

dM

qzzFz

qzzFzM

mz

AyAy

x

Ayx

AyAy

x

AyAyx

3,10

221

32

3,30

21

2

20

2

2

=-

==--=

---=

=

===-=

-=-=

=

K

K

Iz dijagrama D(M) i D(Q) je vidljivo da se maksimalni moment savijanja javlja u presjeku 1, dok se maksimalna popre sila javlja u presjeku A

kNQQ

kNmMM

yAy

xx

6,6

2,9

max

1max

====

Aksijalni moment povrine drugog reda i moment otpora

( ) ( )

34

max

433

09,221

2

2432

243212207

12228

tt

ht

y

IW

ttttt

I

xx

x

=

+

==

=

-

=

55

Iz kriterija vrsto e za maksimalna normalna i posmi na naprezanja :

mQ

t

tt

Q

tt

ht

hthbt

b

S

b

S

I

Q

mM

t

t

M

W

M

dop

y

dopy

zy

x

dopx

x

yzy

dop

x

dopx

x

xz

3max

24

maxmax

2

max

max

maxmax

33

max

3maxmax

max

1046,22432

134

1342432

134422

1003,709,221

09,221

-

-

=

=

=+

+

=

=

=

==

t

tt

tt

s

ss

Zaklju uje se da je za dimenzioniranje mjerodavan kriterij maksimalnih normalnih naprezanja i usvaja se :

461018,6,8,568,14220,1,7 mmImmtbmmthmmt x-======

Provjera naprezanja u presjecima 1 i 2 :

MPaMPab

S

I

Q

MPaMPayI

M

kNQ

kNmM

MPaMPab

S

I

Q

MPaMPayI

M

kNQ

kNmM

dopx

x

mjyzymj

dopmjx

mjxmjz

mjy

mjx

dopx

x

mjyzymj

dopmjx

mjxmjz

mjy

mjx

60026,00071,0841018,6

3400

12094,850781,01018,6

6800

4,3

8,6

60051,00071,01341018,6

6600

12026,1160781,01018,6

9200

6,2

2,9

36

max

2

6

22

1

2

36

max

1

6

11

1

1

==

=

=

==

==

=

=

==

=

=

==

==

=

=

-

-

-

-

tt

ss

tt

ss

56

Dijagrami naprezanja :

57

43. Zadatak

Za nosa zadan i optere en prema slici potrebno je: a) odrediti reakcije u osloncima b) skicirati dijagrame popre nih sila i momenta savijanja c) dimenzionirati nosa ( t zaokruiti na prvi ve i cijeli broj u milimetrima ) d) u presjeku x skicirati raspodjelu normalnog i tangencijalnog naprezanja po visini

presjekaa = 2.2 m b = 1.8 m c = 1.2 m x = a / 2 F = 8 kN q = 7 kN/m sDOP = 180 Mpa

58

a) reakcije u osloncima

b) dijagram popre nih sila i momenta savijanja

I. podru je: 0 m

59

II. podru je: 2.2 m < x < 4 m

III. podru je: 4 m < x < 5.2 m

60

Mmax = 5.488 kNm Mmin = -9.6 kNm

Najve i moment po apsolutnoj vrijednosti je u to ki x = 4 m i iznosi My = - 9.6 kNm . Stoga treba dimenzionirati nosa za iznos momenta |My| = 9.6 kNm !

61

c) dimenzioniranje nosa a

-

- moment tromosti presjeka

62

d) raspodjela normalnog i tangencijalnog naprezanja u presjeku za x = 1.1 m

- normalno naprezanje

63

- tangencijalno naprezanje

64

44. Zadatak

Za nosa sa slike odrediti dimenzije popre nog presjeka ako je on:a) krunog oblikab) pravokutnog oblikac) oblika I-profila

prema uvjetu maksimalnih normalnih naprezanja.Za I-profil napraviti kontrolu dobivenih dimenzija prema kriteriju doputenih tangencijalnih naprezanja.

Reakcije oslonaca :

kNF

kNFF

MqFFM

qFFFF

B

AAy

BA

BAyy

5,112

5,12

024140

040

=

-==

=+--=

=++--=

Momenti savijanja :

kNmFM

kNmqFMM

Bx

Ayl

xx

8,62

2,9122

2

11

==

=+==

MPa

MPa

tb

thmkN

q

kNF

dop

dop

60

120

8

20

2

4

=

===

=

=

t

s

65

Maksimalni moment savijanja na udaljenosti z od oslonca B :

( )

kNmM

mq

FzqzF

dz

dM

qzzFzM

BB

x

Bx

56,126225,2

25,25025,25,112

25,20

21

max

2

=-=

===-=

-=

Moment savijanja u to ki A :

kNmFM xA 1001 ==

Za dimenzioniranje prema najve im normalnim naprezanjima koristi se maksimalni moment savijanja :

kNmMM x 56,1261max ==

Za kontrolu dimenzija prema doputenim tangencijalnim naprezanjima koristi se vrijednost popre ne sile :

kNFQQ ByBy 5,112max ===

a) kruni popre ni presjek

mmDUSVOJENO

mmD

MD

DMW

dop

x

dop

xx

235

47,234

1001056,1263232

323

6

3max

3max

min

=

==

ppsp

s

b) pravokutni popre ni presjek

mmbmmhUSVOJENO

mmh

Mh

MhbhW

dop

x

dop

xx

124,248

6,247

1001056,1261212

1263

6

3maxmax

32

==

===

ss

66

c) popre ni presjek oblika I-profila

( ) ( )

mmbmmthmmtUSVOJENO

mmt

Mt

Mt

tt

y

IW

ttttt

I

dop

x

dop

xxx

x

160,40025,16

39,15

1009,3461056,126

9,3469,346

5,138,4683

8,468312259

122710

3

6

3maxmax3

4

max

433

====

====

=-=

ss

Provjera dimenzija prema doputenom tangencijalnom naprezanju :

22max

244

3

max

2

max

max

maxmax

6053,19

53280163,4683

105,112

53280422

mmN

mmN

mmmm

N

mmt

ht

hthbt

b

S

b

S

I

Q

dopzy

zy

x

dopx

x

yzy

=

67

45. Zadatak

Za zadani nosa i optere enje odrediti maksimalna normalna i posmi na naprezanja u visini osi zte smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki 3 popre nog presjeka nad leajem B.

Poloaj teita popre nog presjeka nosa a :

( )5,52;30),(

5,522400

126000

601026010

26020

3060104026010

2706020

TyxT

cmA

yAy

TT

i

iiT

=

==+

+

+

+

=

=

Moment povrine drugog reda :

( )( ) ( )

4844

2323

23

2333

2222

2111

105,110105,110

5,5230601012

60105,5260

32

26010

366010

25,5270206012

2060

2

mmcmI

I

yAIyAIyAII

z

z

zzzz

==

-+

+

-

+

+-+

=

+++++=

Reakcije i unutarnje sile :

kNFFqbFF

bqFFFF

kNFa

bqFa

F

bbqaFaFaFM

BAB

BAy

AA

AB

2507034010022

020

7023

23

4021003

32

3

02

230

22

=-+=-+=

=--+=

=

-=

-=

=+--=

68

max

1

18023

3402

140270

MkNmb

bqM

kNmaFM

B

A

=-=-=-=

===

kNT

kNmM

130

180

max

max

-=-=

Maksimalno normalno naprezanje :

( )

( )28

6

2max

1

28

6

1max

1

55,8105,52105,110

10180

48,4105,5280105,110

10180

mmN

yI

M

mmN

yI

M

z

d

z

g

-=

-==

+=-

+==

s

s

69

Posmi :

28

63max

363

933,0275105,110

1082,2110130

2755,271075,82102

75,860

105,526010

5,52

8210,21218203

5,522

5,5275,82

25,52

5,5210

mmN

bI

ST

mmcmxb

cmxx

mmcmS

z

zz

z

=

=

=

==+=+=

=

==

==

+=

t

Glavna naprezanja i njihov smjer u to ki 3 :

( )

( )

( )

( )

( )

===

=

-=

+=

=+=+=

+=-

+==

=

=

=

==-=

67,2635,53234,122,1

82,022

412,0

632,1

022,161,082,0422,121

222,1

421

2

22,1105,5260105,110

10180

82,0300105,110102110130

1021210005,52706020

2

32

2

31

222232,1

28

6

3max

3

28

63max

3

3633

jjj

s

s

tsss

s

t

tg

mmN

mmN

mmN

yI

M

mmN

bI

ST

mmcmS

z

z

z

z

70

46. Zadatak

Koriste i analiti ki postupak odre ivanja elasti ne linije nosa a odrediti kut zaokreta u to kama D i F te progib u to ki E.

mdc

mb

ma

1

2

5

====

Ekvivalentni sustav

Reakcije u osloncima

kNFFFPqFF

kNFFFPqM

kNP

FPFM

ACFAz

CFCA

FFd

D

11070

845

42009585,370

252

502

0120

==++--=

===--+=

====-=

25108

50

10

NmEI

kNPmkN

q

y =

=

=

71

Momenti savijanja na pojedinim segmentima :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )827

52

27

52

52

20

22

22

2

2

---

+-+-=+++++

-+-+-=+++

-+-=+

-=

xPx

qxFx

qxFxMdcbaxcbaIV

xqxF

xqxFxMcbaxbaIII

xFx

qxFxMbaxaII

xqxFxMaxI

CA

CA

CA

A

Iz diferencijalne jednadbe elasti ne linije nosa a slijedi za moment savijanja :

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )827

52

27

52

52

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

-+-

---+-=

----+-=

--+-=

+-=

-=

xPx

qxFx

qxFdx

wdEIIV

xqxF

xqxF

dxwd

EIIII

xFx

qxFdx

wdEIII

xqxF

dxwd

EII

xMdx

wdEI

CA

CA

CA

A

Za kut zaokreta :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 423232

3

3232

2

232

1

32

28

67

25

62

67

25

62

25

62

62

Cx

Px

qx

Fx

qx

Fdxdw

EIIV

Cx

qx

Fx

qx

Fdxdw

EIIII

Cx

Fx

qx

Fdxdw

EIII

Cx

qx

Fdxdw

EII

CA

CA

CA

A

+-

+-

--

-+-=

+-

--

-+-=

+-

-+-=

++-=

Za progib nosa :

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4434343

33

4343

22

343

11

43

68

247

65

246

247

65

246

65

246

246

DxCx

Px

qx

Fx

qx

FEIwIV

DxCx

qx

Fx

qx

FEIwIII

DxCx

Fx

qx

FEIwII

DxCx

qx

FEIwI

CA

CA

CA

A

++-

+-

--

-+-=

++-

--

-+-=

++-

-+-=

+++-=

72

Uvjeti kompatibilnosti deformacija :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 434433

3322

21

43

21

88

177

DDDCDCcbawcbaw

DCDCbawbaw

DDawaw

CCcbacba

CCaa

IVIII

IIIII

III

IVIII

III

=+=+++=++

+=++=+

==

=++=++

==

K

jj

jj

Rubni uvjeti :

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

34

34

4444

44

44

34343

211

43

121

31,1563

58,22923

3775,4370725,61

209917,502

09689

5024

7910

659

84249

1069

1109

25,605245

1065

1105

0000

DD

CC

CDDC

DC

DCxwlw

CCCxwaw

DDDw

IV

I

==

=-=fi

--=+=+-fi

=++

=++-

+-

--

-+-===

=-==++-===

====

K

K

Progib u to ki E :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

mmmw

w

DxCx

qx

Fx

qx

FEI

xwxww

E

E

CAy

IVIIIE

53,141053,14

31,1563858,22924

7810

658

84248

1068

11108

10

247

65

2461

88

3

4343

6

3

33

4343

==

+-

--

--+-

=

++

--

--+-=====

-

Kut zaokreta u to ki F :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

radrad

Cx

Px

qx

Fx

qx

FEI

x

F

F

CAy

IVF

01505,01005,15

58,229289

50679

10259

846

910

29

11108

10

28

67

25

621

9

3

23232

6

3

4

23232

-=-=

-

-+

--

--+-

=

+

-+

--

--+-===

-j

j

jj

73

Kut zaokreta u to ki D :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

rad

rad

radrad

Cx

qx

Fx

qx

FEI

Cx

Fx

qx

FEI

xx

D

dD

dD

lD

lD

CAy

dD

CAy

lD

IIIIIdD

lDD

00406,001193,001599,0

01193,01093,11

58,229677

10257

8467

102

711

10810

01599,01099,15

25,6257

8467

102

711

10810

67

25

621

25

621

77

3

3232

6

3

3

232

6

3

3

3232

2

232

=-=

-=-=

-

--

--+-

=

==

-

--+-

=

+

--

--+-=

+

--+-=

=+==+=

-

-

j

j

j

j

j

j

j

jjjjj

74

47. Zadatak

Odrediti to

mcma

ml

kNF

2,020

5

10

====

( )

422'

42

232

23

'

42

232

23

'

2

22

2

22

22

31

65

67

23

2065

267

20

1211

65

2122

65

212

1211

67

23

212

267

212

67

323

22

65

3

22

32

aaaaaaaa

aa

aI

aaaaaa

aa

aaa

I

aaaaaa

aa

aaa

I

aa

aaa

az

aa

aaa

ay

aaaaA

yz

z

y

T

T

=

-

-++

-

-+=

=

-+

+

-+

=

=

-+

+

-+

=

=+

=

=+

=

=+=

Glavne osi momenata povrine drugog reda :

( ) ( ) ( )

0

127

31

1211

45

31

1211

31

1211

31

221

1211

221

421

21

45902031

2

1211

1211

31

222

442

441

4442'2''''2,1

4

44

4

''

'

=

==

-=

==

+=

==+-+=

===

-=-

-=

--=

yz

z

y

yzzyzy

zy

yz

I

IaaI

IaaI

aaaIIIIII

a

aa

a

II

Itg aaa

75

Poloaj neutralne osi :

-=-=-=-=-= 6514286,27

1545

12745

4

4

jaj tga

atg

I

Itg

z

y

Ekstremna naprezanja su u to kama B i D :

MPa

aFl

aFl

a

a

a

aFly

Iz

IM

MPa

aFl

aFl

a

a

a

aFly

Iz

IM

D

Dz

Dy

D

B

Bz

By

B

78,6

2,051010

3538

3538

72

54

12762

45

22245sin45cos

21,3

2,051010

3518

3518

72

54

12762

45

22245sin45cos

3

3

3344

3

3

3344

=

==

+=

+=

+

=

-=

-=-=

+-=

+-

=

+

=

s

s

s

s

aaaaay

aaaaaz

aaaaay

aaaaaz

D

D

B

B

62

22

65

22

67

45sin65

45cos67

222

67

22

65

45sin67

45cos65

62

22

67

22

65

45sin67

45cos65

222

65

22

67

45sin65

45cos67

=-=-=

=+=+=

=+-

=-

--

=

-=-

+-

=-

+-

=

76

48. Zadatak

Za zadani tankostijeni presjek prikazan na slici potrebno je odrediti sredite posmika u odnosu na to ku A.

mmx 8,1425sin35 ==

77

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

TT

yy

IT

dytytI

TT

mmS

tytI

TSS

tIT

bI

ST

TT

zz

ItT

dzz

zI

tTdzt

zz

IT

T

zz

ITz

tztI

TbI

ST

mmI

I

yy

y

yyy

yy

yxy

yyy

yyy

yxz

y

y

=

+=+

=

=+=

+

=+

=

=

=

+

=

+

=

+=

+=

+

=

=

=

+

++

+

-+

=

184,0

21495,16721495,1672

5,16722/158,14155

8,295,1672

0324,0

628,14

28,14

28,14

28,14

28,14

104364,3

28,14

8,14512

8,1458,29520

12520

5,78,2915512155

22

2

20

0

22

22

20

022

31

2212

2

1

15

0

31

21

15

0

1

21

11

21

1

15

0

1

21

11

11

1

45

232

32

3

t

t

( )

( ) ( )

mme

TTTeT

TTTeT

TT

zzz

IT

dztz

ztI

TT

mmS

zz

tIT

ztz

tIT

SSStI

TbI

ST

yy

y

y

yyyy

yy

yxz

16,1

244,0272,31184,06,590324,044,103

25cos3528,29225cos35202

244,0

65

21495,4652

251495,4652

29808,29205

251495,4652

28,2929805,1672

321

3

15

0

33

23

33

23

3

15

03

32

23

3

33321

33

-=-+=

-++=

=

-+=

-+

=

==

-+

=

=

-++

=++

=

=

t

78

49. Zadatak

Za zadani nosa i optere enje odrediti mjerodavan koeficijent sigurnosti prema teoriji najve ih normalnih naprezanja u to kama 1 i 2 presjeka I-I ako je zadano kriti no naprezanje materijala

K.

kNRPqRR

F

kNRRPqq

M

kNHRHR

F

AyBAy

y

BB

A

AxAx

x

375,4905,2

:0

125,18035,125,1

21

1

:0

250

:0

2

=fi=--+

=S

=fi=-++-

=S

==fi=-=S

Presjek I I :

kNmM

kNT

kNN

1875,27

125,18

25

=-=-=

( ) ( ) ( )46

23

23

23

2

1083,5

102,66204012

2040608,6310010

1210010

58,63107012

1070

2500

8,632500

1595004020100107010

1204020601001057010

mmI

I

mmA

mmyy

y

y

TT

=

-+

+-+

+-+

=

=

=fi=++

++=

( ) ( ) 33maxmax

33max

6

maxmax

106,552

202,6610202,66102,662040

101,882,661083,5

mmSS

mmWz

IW

yy

yy

y

=fi-

-+-=

=fi

==

MPa

mkNq

kNH

kNP

K 320

/15

25

30

====

s

40

20

100

10

130

2

1T

z

y

70 mm

30 10 30

79

To ka 1 :

MPamm

NbI

ST

MPamm

NAN

xzy

yxz

xx

29,1729,17101083,5

106,5510125,18

10102500

1025

1

26

33max1

1

2

31

=fi=

=

=

-=fi-=-

==

tt

ss

To ka 2 :

0

00401083,5

010125,18

6,3186,318106,3082500

1025101,88

101875,27

2

2

6

322

2

2

3

3

62

=

=fi=

=

=

-=fi-=--=-

+

-=+=

y

xzy

yxz

xy

x

S

bI

ST

MPamm

NAN

WM

tt

ss

Provjera po teoriji najve ih normalnih naprezanja (1. teorija vrsto e) :

To ka 1 :

( ) ( )( ) ( ) ( )

6,2413320

00,1329,174105,0105,0

45,05,0

11

1

1221

212111

=fi==

=fi+-+-=

++=

kk

MPa

ek

K

ekek

xzxxek

ss

ss

tsss

To ka 2 :

( ) ( )( ) ( ) ( )

0,16,318

320

6,318046,3185,06,3185,0

45,05,0

22

2

21221

222222

=fi==

-==fi+-+-=

++=

kk

MPa

ek

K

xekek

xzxxek

ss

sss

tsss

80

AB

x

1,0 m 1,5 m1,5 m

C D

P

z

H

4,0 m

qI

I

- D(N)

D(T)

D(M)

-+

-

+ +

-

-25

-15

34,375

-18,125

11,875

-7,5

27,1875