GRA EVINSKI FAKULTET SVEU ILITA U RIJECI
SKRIPTA RIJEENIH ZADATAKA IZ
OTPORNOSTI MATERIJALA
NEIRA TORI ,dipl.ing.gra .
2
1. Zadatak
Izra unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosa u ako je zadano :
2
2
11
11
mmN
MPa
mN
Pa
=
=
Vrijednosti uzdunih sila na pojedinim segmentima :
NFN
FFN
NFN
I
II
III
43
21
41
104
0
102
==
=+-=-=-=
Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :
MPaPaA
NA
N
MPaPaA
N
II
III
IIIIII
401040
0
201020
6
6
===
==
-=-==
s
s
s
mb
ma
mcmA
PaE
NF
NFF
1
2
1010
102,2
104
102
232
11
43
421
==
==
=
=
==
-
3
2. Zadatak
Odrediti naprezanja u tapu pri promjeni temperature za + T :
Rjeenje :
Ukoliko nema vanjskog otpora izduenju tapa, nema niti naprezanja u tapu. To zna i da se tap AC moe slobodno izduiti pod utjecajem temperature za veli inu . Sve dok je dD tl u tapu su naprezanja jednaka nuli.Ukoliko je tendencija tapa da se izdui za d>D tl , aktivira se u tapu sila koja opet vra tap na realnu duinu AB, kao to se vidi na slici. Moe se zaklju iti i da e sila u tapu biti tla na , odnosno s predznakom (minus).
realno izdurnjeB nerealno izduenje
( )( )
( )3
2)(
1
0,0
0,0
22
2
11
1
2211
2211
K
KK
AE
lF
AE
lFl
Tlll
ll
l
l
TlTll
BBB
t
Bt
t
t
t
+=D
D+=D
D-D=
>>D
=>D
D+D=D
aad
sedsed
aa
( ) ( ) ( ) [ ]
22
11
22
11
1
21
112211
1
)(13;2
AF
AF
AEAE
ll
l
AETllF
Bx
Bx
B
-=
-=
+
-D+=fi
s
s
daa
4
3. Zadatak
Odrediti pomak to ke C ukoliko se temperatura tapa 1 pove a za T :
Rjeenje :
bd=
bd=
bDa
=b
D=d
=DdD
=b
Da=e=DfiD
=e
sinv
cosu
2sinTl
2sinl
0l;l
2sin
Tlllll
C
C
1C
2C
1
ttt
t
5
4. Zadatak
Odrediti naprezanja u tapovima ukoliko se temperatura tapa 2 pove a za T :
Rjeenje
Iz plana pomaka i optere enja (ovdje promjena temperature) moemo zaklju iti da se tap 2 nastoji izduiti, no njegovo potpuno izduenje sprje avaju druga dva tapa spojena u voru D, koji nisu direktno optere eni i nemaju tendenciju izduenja. tap 2 se izdui za lt pri
2
D' u D''.
Budu i da su sva tri tapa me usobno spojena u voru D, izduenjem tapa 2 prisilno se izduuju i tapovi s brojem 1. Kao posljedica izduenja u njima se javlja vla na sila F1(vla na sila uzrokuje izduenje ako nema nikakvog drugog optere enja).
Zadatak 5
Iz uvjeta ravnotee sila :
( )10cos20 21 K=-=S FFY a
Iz plana pomaka :
( )2coscos 212
1
1
2 Kaa lll
l
l
lD=D
DD
==
Iz Hookovog zakona :
( )311
111 KAE
lFl =D
( )42222
222 KlTAE
lFl D+=D a
( ) ( )a
aa3
22
11
2112
1
cos21
cos)2(4);3(;1
AE
AEATE
F-
D=fi
a
aaa
3
22
11
3112
212
cos21
cos2cos2)1(
AE
AEATE
FFF-
D=fi=
2
22
1
11 ; A
F
A
F-== ss
6
5. Zadatak
Odrediti naprezanja u tapovima ako je srednji tap kra i za od predvi ene duljine l.
Rjeenje
Iz uvjeta ravnotee sila :
( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Ka==a-=S
Iz plana pomaka :
( )2cos
1AElF
AElF
cosl
l
ll
ll
cos
11
11
22
2212
2
1
1
2
Ka
+=a
D+D=d
D-dD
==a
( ) ( )
( )
( ) ( )2231123
22112
223
112
22211
1
11
1
22
21
11
11
22
21
AEcosAE2l
cosAEAE2F1
AEcosAE2l
cosAEAEF
cos1
AEl
cosAE
l2F
cos1
AElF
cosAElF
221
+a
ad=fi
+a
ad=
a
+a=a
+a=dfi
1
11 A
F-=s
2
22 A
F-=s
22
222
11
111
AElF
l
AElF
l
=D
=D
7
6. Zadatak
Odrediti naprezanja u tapovima 1 i 2 te vertikalni pomak to ke D.
Rjeenje
Sustav je jedanput stati ki neodre en (ima jednu prekomjernu veli inu), odnosno nepoznate su 4 veli ine ( RH , RV , S1 , S2 ).Uz tri uvjeta ravnotee postavljamo dodatnu jednadbu na deformiranom sustavu na principu sli nosti trokuta.Iz uvjeta ravnotee sila :
( )
( )
( )30sin0
2cos0cos0
10sin0
12
11
1122
K
K
K
=++-=S
==-=S
=--=S
V
HH
A
RSFSY
SRSRX
aSaSFlM
a
aa
a
Iz plana pomaka :
add
sin; 12
ll BC
D=D
Iz sli nosti trokuta :
( )412
Kaa
BC dd =
Iz Hookovog zakona :
22
222
11
111 ; AE
lSl
AElS
l =D=D ( )4
( )
222
22
22
2
2
2
22
1
11
22
2
21
1
2
22
112
21
2
1
1
2
22
1121
sin1
1
sin
aAEllS
al
lla
l
AS
AS
a
all
AEAE
a
FlSS
aa
ll
AEAE
SS
DD =D=fi=
D
=
=
+
=fi
=
dd
s
s
a
a
8
7. Zadatak
Dimenzionirati tapove AB i DG krunog popre nog presjeka napravljene od elika, te odrediti njihova produljenja.
mc
mb
ma
kNF
MpaE
Mpadop
1
2
3
100
102
1405
====
=
=s
)15,6(2861,24
4
36,510536,0101401075
)85,13(4201,44
4
6,121026,110140108,176
8,17645sin3
575
45sin35
0345sin50
7510043
43
0340
221
22
22
2
2236
32
2
211
11
21
1
2236
31
1
2112
22
cmAmmdusvojenocmA
dd
A
cmmS
A
cmAmmdusvojenocmA
dd
A
cmmS
A
SA
AS
ranjeDimenzioni
kNSSSSM
kNFSFSM
doppot
doppot
doppotdopx
C
H
====fi=
==
=
====fi=
==
=
fi=
=
=
==-fi=
====-fi=
-
-
pp
s
pp
s
sss
9
cmmAE
lSl
cmmAE
lSl
MPaMPaAS
MPaMPaA
S
Kontrola
dopx
dopx
12,010195,121015,610221075
18,010056,18707,01085,13102
2108,176
1409,1211015,61075
1406,1271085,13108,176
4411
3
22
222
4411
3
11
111
4
3
2
22
4
3
1
11
==
==D
==
==D
==
==
==
==
--
--
-
-
ss
ss
p
p
10
8. Zadatak
Odrediti pomak to aka B i D na zadanom sustavu.
( )
( )
( )AEabahF
Bba
Bah
AEabahF
AEhS
h
aba
FSSabaFM A
+
=Dfi+
D=
D
+
=
=D
+==-+fi=S
2
2
00
11
9. Zadatak
( )
( )
( ) ( )
MPamN
AS
MPamN
AS
NS
NS
Al
AlF
SaSAl
aAlSFa
Al
AlSS
AE
lS
AE
lS
lla
l
a
l
aSaSFaM
NF
EE
mcmA
mcmA
ml
ml
A
7,8105,1
35,1304
43,10101
5,1043
35,1304
5,1043
334
0334
12
232
23
2332
10320
6000
105,15,1
1011
8,1
1
242
22
241
11
2
1
21
1222
21
122
21
1221
22
22
11
11
2121
21
21
2422
2421
2
1
=
==
=
==
==
+=fi=--fi
=fi=
D=DfiD
=D
=--fi=S
==
==
==
==
-
-
-
-
s
s
K
K
12
10. Zadatak
Kruta greda AB objeena je o tri eli na tapa istog popre nog presjeka povrine 10 cm2. Duina tapova je h = 1 m, s tim da je srednji tap (2) napravljen kra i od projektirane duine za
= 0,6 mm. Odrediti sile u tapovima i izduenje srednjeg tapa ako je izvrena prinudna montaa sustava.
EA
hSl
EAhS
lEA
hSl
hlll
EAAEAEAE
33
22
11
321
332211
;; =D=D=D
======
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
mmmEA
hSl
kNS
kNS
kNS
kNccScSS
kNcSS
kNcSSScS
kNNchEA
SSSaSaSaSM
ShEA
SEA
hS
EA
hSll
a
l
a
l
SSEA
hS
EA
hSll
a
l
a
l
A
4,0103,4101101,200,11090
54
90
18
9012675
72
22
5412673
73
1
187
12671
94232,1
1261012600,1
101101,2106
3320320
22222
13333
4311
32
2
3
2
1
121
31
1111
33114
321321
1212
2121
1313
1313
==
==D
=
=
=
==-=-=fi
===fi
===--=fi
==
==D
-=fi=+-=S
-D
=fi-D=fiD-D=DfiD-D
=D
=fi=fiD=DfiD
=D
--
--
K
K
K
13
11. Zadatak
Cilindri ni stup promjera 4 cm, duine 120 cm optere en je u presjecima (1), (2) i (3) na udaljenostima zi = 0; 40 i 80 cm (i=1,2,3) od slobodnog kraja aksijalnim silamaFi(i=1,2,3) = 15 kN, 10 kN i 5 kN.Izra umati naprezanje u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
mmllll
mmmNkl
mmmNkl
mmmNkl
Nm
AEl
k
NkNNNAEl
llll
MPaPamN
A
N
kNFFFN
cmz
MPaPamN
A
N
kNFFN
cmz
MPaPamN
A
N
kNFN
cmz
md
A
cmL
llllcmL
cmd
MPaE
ii
112,0
048,01080,4103010159,0
04,01000,4102510159,0
024,010415,2101510159,0
10159,01021056,12
4,0
2410241056,121030
30
120803
2010201056,121025
25
80402
1210121056,121015
15
4001
1056,124
1044
403
;120
4
102
321
53833
53822
53811
8114
3
1321321
624
33
3
3213
3
624
32
2
212
2
624
31
1
11
1
24422
321
5
-=D+D+D=D
-=-=-==D
-=-=-==D
-=-=-==D
=
==
=++=D+D+D=D
-=-=-
==
-=---=
14
12. Zadatak
Dimenzionirati eli nu zategu krunog pore nog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog popre nog presjeka (h=2b) povrine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a doputeni naponi za elik 12 107
N/m2 i drvo 6106 N/m2.
Plan pomaka :
bh
AA
EEmN
E
mN
E
mNmN
dop
dop
2
10
20
101
102
106
1012
12
21
210
2
211
1
26
2
27
1
===
=
=
=
=
s
s
22
cossin
65
32
54
6/53/2
cos
53
6/52/
sin
1
2
==
=
=
==
==
bb
a
a
ll
ll
llll
15
Sile u tapovima :
( )
( )
( )
( )
kNSkNSFFF
S
SSSlAE
lAES
SlAE
lAES
AE
lS
AE
lS
AE
lSl
AE
lSl
ll
lSlSFlM
DC
CDDc
A
4,353;9,5838,02
61
512sin4sin
31
16252610
2335202
sin
sin2
sin2
sin2
sinsin;
sinsin
22
32
31
1031
sin32
sin0
122
212
12
121
2122
2111
22
22
11
11
11
111
22
222
21
===
+
=+
=fi
fi=fi
=
==fi
=D
==D
=
==
=--=
ab
ba
ba
aad
bbd
dddd
ba
K
K
Dimenzioniranje :
cmh
cmb
cmA
bcnbhbA
cmAA
cmdcmmd
Sd
SdA
A
S
dopdopdop
74,27
87,13
87,132
8,3842
8,3842
8,38448,381010
7606,0
1012104,35344
4
2222
212
7
3
1
1
1
12
111
11
=
=
===fi===
===
==
===ppss
pss
Kontrola napona :
MPaMPaAS
MPaMPaAS
dop
dop
653,11087,132
109,58
12084,91
4107
104,353
242
3
2
22
142
3
1
11
==
==
==
==
-
-
ss
sp
s
16
13. Zadatak
Odrediti sile u eli nim krunim zategama CF, DF i EG uslijed djelovanja nazna enog optere enja.
4Fl
M =
Plan pomaka
lll
ll
l
llll
l
243
169
2
22
42
45
165
164
23
2
2
222
1
==
==
==+=
2
1
222sin
5
2
452sin
==
==
l
l
l
l
b
a
17
Iz uvjeta ravnotee sila :
( )[ ] ( ) ( )10sin32sin20sin32sin44
0 321321 K=+--=++-+= baba SSSFSSSl
MFl
M A
Iz plana pomaka :
( )
;sin
;sin
;sin
2
43
24
321
bd
bd
ad
ddd
lll
lll
EDC
EDC
D=
D=
D=
== K
( )
( ) ( )
FFSS
FSS
FSSSSF
SSllll
ll
SSlSlSll
ll
EDED
DCDC
38,047,054
54
47,0
sin5sin54
20sin32sin
54
21
23sin
2
sin
323
43
2
54
sinsin
2
sinsin
22
24
2
21
32
2222
323232
21221121
===
==
+
==+--
=D=DD
=D
==
==D
=D
==
baba
bbdd
dd
babadd
dd
18
[ ]
--
-+
----=
7,2600
07,260
007,26
3,332015
203,2310
15107,56
ijs
14. Zadatak
Zadani tenzor naprezanja prikazati kao zbroj sfernog tenzora naprezanja i tenzora devijatorskog naprezanja. Odrediti normalno, posmi no i puno naprezanje u ravnini s normalom koja ima kosinuse smjera :cos(x,n)=2/3 ; cos(y,n)=1/3 ; cos(z,n)=2/3.
[ ]
+
--
-=
----=
s
s
s
szzyzx
yzsyyx
xzxysx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij MPa
ss
s
sstttsstttss
stttsttts
s
00
00
00
602015
205010
151030
srednje naprezanje devijatorski dio sferni dio
MPazyxs 7,263605030
3-=
--=
++=
ssss
Komponente devijatorskog tenzora naprezanja :
MPa
MPan
MPa
nnn
nn
nznynxn
9,53108,54
1032
7,3631
3,2332
3,33
8,547,363,233,33
2222
222222
=-=-=
-=--==
=++=++=
srt
rs
rrrr
[ ]
--=
----=
=
7,36
3,23
3,33
323132
602015
205010
151030
nz
ny
nx
ijn n
rrr
sr
( )( )( ) Pas
MPas
MPas
szzz
syyy
sxxx
3,337,2660
3,237,2650
7,567,2630
-=---=-=
-=---=-==--=-=
ss
ssss
19
15. Zadatak
Za zadano stanje naprezanja x = 100M Pa , y = -80M Pa , txy = 50 Mpa odrediti analiti ki a) glavna naprezanjab) maksimalno posmi no naprezanje s odgovaraju im normalnim naprezanjemc) naprezanja n i tn u presjeku s normalom koja s osi x zatvara kut = -25.
Glavna naprezanja i smjerovi naprezanja :
( ) ( )
-=fi-=+-
=-
=
=fi=+
=-
=
-==
=++-
=+-+
=
5,758462,38093
50
5,142591,080113
50
93
113
103105048010021
280100
421
2
022
02
011
01
2
1
22222,1
jss
tj
jss
tj
ss
tssss
s
y
xy
y
xy
xyyxyx
tg
tg
MPa
MPa
Kontrola preko invarijante naprezanja :
=+=+
=-=-+=+
905,755,14
2020801093113
0201
21
jj
ssss yx
Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i normalno naprezanje :
MPa
MPa
s 10293113
2
1032
931132
5,59455,1445
21
21max
011
=-
=+
=
=+
=-
=
=+=+=
sss
sst
jj
Naprezanja u ravnini pod kutem :
( ) ( )
( ) ( ) MPa
MPa
xyxy
n
n
xyyxxyyxyx
n
1,10150cos5050sin2
100802cos2sin
2
6,2950sin5050cos2
801002
80100
2sinsincos2sin2cos22
22
=-+---
=+-
=
=-+-+
+-
=
++=+-
++
=
jtjss
t
s
jtjsjsjtjssss
s
20
Prikaz Mohrove krunice naprezanja za zadano stanje naprezanja :
)1,101;6,29(),(;1,101;6,29
)103,10(),(;5,59;103;10
)0,93()0,(;5,75;93
)0,113()0,(;5,14;113
)50,80(),(
)50,100(),(
1max31max
122022
111011
-=====
--=-===
-
-
KKMPaMPa
NNMPaMPa
NNMPa
NNMPa
NN
NN
nnnn
ss
yxyyy
xxyxx
tststsjts
sjssjs
ts
ts
21
16. Zadatak
Za zadano stanje naprezanja odrediti glavna normalna naprezanja, glavna posmi na naprezanja i oktaedarska naprezanja.
[ ] [ ]MPaij
-=
6000
012050
05080
s
( ) ( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( )
( )[ ]
MPa
MPa
MPa
MPaMPaMPa
MPa
xyyxyx
m
yxxyyxyx
mxyyxmyxm
xymymx
zmmz
xymymxmz
mz
myyx
xymx
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
8,91
60
8,131
60;8,91;8,131
8,111205041208021
212080
421
2
2
40
0
600
0
0
00
0
0
0
3
2
1
321
222,1
22
22
22
2
3
2
-===
=-==
=+--+-
=
+-+
=
+--+-+==-++-
=---
===fi=-
=----
=-
--
fi=-
--
sss
sss
s
tssss
s
sstssssstssssss
tssss
sssss
tssssss
sssst
tss
sstttsstttss
22
Kontrola naprezanja :
MPaMPa
zyx
100100
8,91608,1316012080321
=-+=++-
++=++ ssssss
Pravac glavnog naprezanja 2 podudara se s pravcem osi z. Pravci glavnih naprezanja 1 i 3okomiti su na pravac naprezanja 2, a njihov se poloaj u ravnini okomitoj na pravac 2 odre uje prema izrazima :
=+=+
-=fi-=--
=-
=
=fi=-
=-
=
903,137,76
3,13236,01208,91
50
7,76237,41208,131
50
0301
033
03
011
01
jj
jss
tj
jss
tj
y
xy
y
xy
tg
tg
Maksimalna posmi na naprezanja :
MPa
MPa
MPa
MPa
8,111
9,352
608,1312
8,1112
8,1318,912
9,752
8,91602
2max
213
132
321
==
=-
=-
=
=--
=-
=
=+
=-
=
tt
sst
sst
sst
Oktaedarska naprezanja :
Budu i da normala oktaedarske ravnine zatvara s koordinatnim osima kuteve :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
MPa
MPa
MPa
oktoktokt
okt
okt
okt
zyxokt
0,992,933,33
2,93
,1318,918,9160608,13131
31
3,33
8,91608,13131
31
31
7,543
1cos1cos31coscoscos
2222
222213
232
221
321
2222
=+=+=
=
--+++-=-+-+-=
=
-+=++=++=
====++
tsr
t
sssssst
s
sssssss
aaagba
23
17. Zadatak
Plo a je izloena djelovanju vla nog naprezanja u oba pravca i tangencijalnog naprezanja u bo nim ravninama.Odrediti komponente naprezanja u presjeku ija normala zatvara kut od 30 s osi x i smjer i veli inu glavnih naprezanja.
( )MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
n
nnn
n
xyxy
n
n
xyyxn
xy
y
x
93,5
73,227,5
73,2
60cos260sin2
842cos2sin
2
27,5
60sin230sin430cos82sinsincos
30
2
4
8
2222
2222
=
-+=+=
-=
--
=+-
=
=
-+=++=
=
-=
==
r
tsr
t
jtjss
t
s
jtjsjss
j
t
ss
Glavna naprezanja :
( ) ( ) ( )
=fi=-
-=
-=
-=fi-=-
-=
-=
==
=-+-+
=+-+
=
5,6741,2417,3
2
5,22414,0483,8
2
17,3
83,8
83,26244821
248
421
2
022
02
011
01
2
1
22222,1
jss
tj
jss
tj
ss
tssss
s
y
xy
y
xy
xyyxyx
tg
tg
MPa
MPa
Kontrola preko invarijante naprezanja :
=+=+
=+=++=+
905,675,22
1212482,38,8
0201
21
jj
ssss yx
Maksimalno posmi no naprezanje, smjer normale ravnine i pripadaju e normalno naprezanje :
MPa
MPa
s 622,38,8
2
8,22
2,38,82
4,22456,2245
21
21max
011
=+
=+
=
=-
=-
=
=+-=+=
sss
sst
jj
24
18. Zadatak
Kratki betonski stup, kvadratnog popre nog presjeka 30x30 cm pritisnut je silom F.Odrediti veli inu ove sile ako je normalno naprezanje u kosom presjeku pod kutem od 30prema normali 1,5 Mpa.Koliko je tangencijalno naprezanje u tom presjeku?
MPa
MPaAF
kNF
AF
AF
maA
mcma
MPa
xn
xyxy
n
x
nxn
xyyxn
n
86,060sin2102
2sin2
2cos2sin2
209,010180
180
30cos09,0105,1
coscoscos
2sinsincos
09,0
3,030
30
5,1
6
3
2
6
222
22
22
=-
-=-
=
+-
=
-=
-==
-=
-=-=-==
++=
==
===
=
js
t
jtjss
t
s
js
jjss
jtjsjss
js
19. Zadatak
Stup krunog popre nog presjeka optere en je vla nom silom intenziteta 20 kN. Tangencijalno naprezanje na bilo kojem presjeku (ravnini) ne smije prije i vrijednost od 7Mpa. Odrediti polumjer stupa.
cmdcmdd
Fd
dF
AF
MPa
kNF
n
xn
n
5,43,4107
1022
1)2(sin
2sin107
10222sin
22sin
22sin
22sin
2
7
20
6
4
max
6
4
2
=
=
===
==
p
j
jp
jpt
jp
jjs
t
t
25
20. Zadatak
U to ki A napregnutog elementa izmjerene su duinske deformacije u smjerovima x, y i n xx = -810-4, yy = 410-4, nn = 610-4. Odrediti promjene pravog kuta izme u osi x i y, te veli inu i smjerove glavnih deformacija.
( ) ( )
radxyxy
xy
yyxxnnxy
xyyyxxnn
4
4
44422
22
104,252
107,12
30sin10430cos10810660sin1
sincos2sin
1
2sinsincos
-
-
---
==
=
-+
=--=fi
fi++=
eg
e
jejeej
e
jejejee
Glavne deformacije :
( )
( ) ( )
42
41
442,1
4222,1
222,1
1016
1012
1014102
107,1244821
248
421
2
-
-
--
-
-=
=
-=
+--
+-=
+-+
=
e
e
e
e
eeeee
e xyyyxxyyxx
Kontrola :
44
4444
21
104104
10161012104108--
----
-=-
-=+-
+=+ eeee yyxx
Smjerovi glavnih deformacija :
=+=+
-=fi-=--
=
-=
=fi=-
=
-=
--
-
--
-
902,904,328,57
4,32635,01041016
107,12
8,57588,11041012
107,12
0201
0244
4
202
0144
4
101
jj
jee
ej
jee
ej
yy
xy
yy
xy
tg
tg
26
21. Zadatak
Odrediti deformaciju dijagonale eli nog elementa.
5
55
55
55
5
105,192
1075,915102
3,0112
10910260
3,0
103010260
15
60
3,0
102
-
-
-
-
==
=+
=+
==
-=
-=-=
=
==
==
==
xyxy
xyxy
xy
xyy
xxx
xy
x
EG
E
E
MPa
MPa
MPaE
eg
tnt
e
sne
se
tsn
Relativna deformacija dijagonale :
cmdd
d
xyyyxxd
1030sin55
30sin
1069,28
60sin1075,930sin10930cos10302sinsincos5
5252522
=
==
=
+-=++=-
---
e
jejejee
Apsolutna deformacija :
mmdd d35 1069,281001069,28 -- ===D e
27
22. Zadatak
Pravokutna plo ica dimenzija 120x90 mm optere ena je u dva pravca tako da su
MPacmN
MPacmN
MPaE
y
x
404000
10010000
3,0
102
2
2
5
-=-=
==
==
s
s
n
Odrediti kolika su naprezanja u kosoj ravnini koja se poklapa s dijagonalom koja s osi x zatvara otri kut i za koliko e se promijeniti duina dijagonale.
( )
( )
( )
555
555
2222
1035102
1003,0
10240
105610240
3,0102
100
0,682,677,10
2,67106sin2
100402cos2sin
2
7,10106cos2
401002
401002sin2cos
22
53903775,0129
-
-
-=
-
-=-=
=
--
=-=
=+=+=
=---
=+-
=
=-+
+-
=+-
++
=
-=-=fi===
EE
EE
MPa
MPa
MPa
tg
xyyy
yxxx
nnn
xyxy
n
xyyxyx
n
sn
se
sn
se
tsr
jtjss
t
jtjssss
s
ajaa
Budu i da traimo izduenje dijagonale, traimo deformaciju u smjeru normale ravnine okomite na dijagonalu, te je sada kut
mmdd
mmd
d
xyyyxxd
25
22
5252522
1046,31501004,23
15012090
1004,23)37(sin1035)37(cos10562sinsincos
--
---
===D
=+=
=-=++=
e
jejejee
28
23. Zadatak
eli na kocka brida a = 10 cm postavljena je bez zazora izme u dviju krutih stijenki na podlogu i na gornjoj plohi optere ena s q = 60 MPa. Odrediti : a) naprezanja i deformacije u tri okomita smjera i deformaciju dijagonale kocke
b) promjenu volumena kockec) normalno i posmi no naprezanje u presjeku pod kutem od 45 prema stjenki.
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
mmdd
ad
E
E
MPaE
MPaq
MPaE
d
d
zzyyxxd
yxzzz
xzyyy
yxyzxxx
z
y
325
5
55222
55
55
5
109310102,5
102,531
107,1131
103,270coscoscos
3
107,1160183,010211
103,27183,06010211
18603,001
0
60
30,0
102
--
-
--
-
-
-=-==D
-=
+-=++=
=
=---
=+-=
-=---
=+-=
-=-===+-=
=
-=-==
=
e
e
gebeaee
ssnse
ssnse
nssssnse
s
sn
Relativna i apsolutna promjena volumena :
cmVVVV
V
zzyyxxV
15,010106,15
106,15107,11103,270
35
555
-=-==D
-=+-=++=D
=
-
---
e
eeee
[ ]
MPa
MPa
MPan
MPa
MPa
n
nnn
nznynxn
nn
nz
ny
nx
ijn
21
28,44042,4272,12
3945cos42,4245cos72,12
0
42,42
72,12
90cos
45cos
45cos
000
0600
0018
22
222222
=-=
=++=++=
-=--==
=
-=-=
-
-==
srt
rrrr
rs
r
rr
sr
29
24. Zadatak
Odrediti glavna naprezanja na stranicama kvadratnog elementa ako su tenzometri (ure aji za mjerenje duinske deformacije) A i B pokazali prirast nA = 9,9 mm i
nB = 3,1 mm. Tenzometar A postavljen je pod kutem = 30 prema pravcu glavnog naprezanja 1, a tenzometar B okomito na tenzometar A. Baza tenzometra l0 = 20 mm, a uve anje
tenzometra k = 1000. E = 0,8105 Mpa, =0,35
Relativne deformacije :
43
0
43
00
1055,12010
1,3
1095,42010
9,9
-
-
=
=
D=
=
=
D=
D=
lk
n
lkn
ll
BnnB
AnnA
e
e
Za ravninsko stanje deformacija :
Kontrola :
MPanBnA 8020603050 =+=+=+ss
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )( )
MPa
MPa
MPaE
MPaE
nB
nA
xyyxn
nnAnnBnB
nnBnnAnA
20
60
23075,025,0
15025,075,0
230cos30sin)90(sin)90(cos
coscos90sin
sinsin90cos
130sin30cossincos
2sinsincos
301095,435,01055,135,01108,0
1
501055,135,01095,435,01108,0
1
2
1
21
21
22
21
22
21
222
222
22
21
22
21
22
442
5
2
442
5
2
==
fi=+=+
+=+++=
==+
=-=+
+=+=
++=
=+-
=+
-=
=+-
=+
-=
--
--
ss
ssss
ssjsjss
jjj
jjj
ssjsjss
jtjsjss
neen
s
neen
s
KK
K
K
30
25. Zadatak
Kocka duine stranice a, izloena je djelovanju jednolikog tlaka intenziteta p = - 700 N/cm2. Odrediti Poissonov koeficijent ako je relativna promjena volumena -910-5, a modul elasti nosti materijala 0,7104 kN/cm2.
( )
( )( )
35,0
1073107,0109
121
31
21
321
21
109
107,0107,0
107700
6
115
321
321321
5
211
24
26
2
=
-
--=
-=
-=
====
++-
=++=
-=
==
-=-=
-
-
n
enne
ssss
sssneeee
e
p
Ep
E
pE
mN
cmkN
E
mN
cmN
p
VV
V
V
26. Zadatak
U gredi eli nog mosta, pri prolazu vlaka, izmjerena su pomo u tenzometra relativna izduenja u horizontalnom pravcu (u smjeru osi x ili paralelno s osi grede) 0,0004 i vertikalnom pravcu(u smjeru osi y ili okomito na os grede) -0,00012. Odrediti normalna naprezanja u pravcu osi grede i okomito na nju.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
MPaE
MPamN
E
EE
EE
MPaE
xyy
x
yxx
xyyxyy
yxxyxx
y
x
010843,0101,200012,0
841084
3,0100012,03,00004,0101,2
112
21
11
3,0
101,2
00012,0
0004,0
611
26
2
11
2
5
=+-=+=
==
--
=-
+=fi
+=-=
+=-=
==
-==
nses
s
nnee
s
nsesnsse
nsesnsse
n
ee
K
K
31
27. Zadatak
Za optere enje na tlak betonske kocke ( stranice 7 cm) postavljene su na njene etiri strane papu ice od elika spojene me usobno zglobnim mehanizmom. Dvije sile veli ine F djeluju u vorovima A i D. Odrediti za koliko se promijeni volumen kocke ako je E =4 103 KN/cm2, = 0,3 i F
= 50 kN.
( ) ( )
( ) ( )
38
10
3
332221
321321
109,9
1042
105007,03,0214
2
214
;0;2
2
22121
45
0cos
0
cos:0sin
0sin:0
mV
E
aFV
aVa
F
a
S
VE
VE
VVV
FFy
SF
Sx
FFSFx
FSSFy
V
BC
AB
ABAAB
AA
--=D
--=
--=D
==-
=-
==
-=++
-=++==D
===S
=-==S
=+=S
-==+=S
n
sss
sn
sssn
eeee
a
a
aa
a
32
28. Zadatak
Odrediti potrebne duljine l1 i l2 zavara spajanjem kutnih metalnih profila s plo om.
( )( )( ) ( )
cmlcmlcmlcmllcmll
llh
h
l
lhlhl
halhalhFhFM
cmtF
lltll
Fal
FAF
MPa
cmh
cmh
cmt
kNF
dopdopA
dopdop
dop
5,55,13195,134,1
19194,1194,019
4,04,06,34,1
220
191090105,04,1
101207,0245cos2
90
4,1
6,3
5,0
120
1222221
211
2
2
12211
22112211
62
3
2121
2
1
=-=====+=+
=@==fi=fi
fi===
=
=
+fi
+=
==
===
==
-
tt
ttt
t
l 1
l 2
h1h2
t
aF
33
29. Zadatak
Odrediti potreban broj zakovica promjera 20 mm, ako je
FF
FF/2
F/2F
F/2
F/2
t1
t2
t
d
n broj zakovicam reznost zakovica
( )
MPaMPandtF
AF
redannn
dm
Fn
dnm
FnmA
FAF
MPa
MPa
mmt
mmt
kNF
dopp
dop
dops
dop
dop
280208101210206
10300
212265
101004
10202
10300
44
280
100
12
8
300
33
3
623
3
221
1
==
===
==
====
=
====
--
-
ss
ptpt
pt
s
t
34
30. Zadatak
Na vijak promjera d djeluje tla na sila F koja izaziva naprezanje u vijku i povrinski pritisak p izme u prstena promjera D i lima. Odrediti promjer D, te posmi no naprezanje u prstenu ako je prsten debljine
( )
MPatd
tdd
AF
cmp
dp
ddD
dAF
AF
pF
dDdD
FAF
p
cmt
MPap
MPa
cmd
s
p
5010505,04
1,01010044
7,1840
1001101
44
4
44
5
40
100
10
762
22
2
222
==
====
=+=+=+=
===
+=-
==
====
sppst
sp
ps
psss
pp
s
35
31. Zadatak
Metalna vilica i plo ica 1 i 2 spojene su vijkom i optere ene prema slici. Odrediti promjer vijka d, ako je
mmdmm
mapF
dpp
bdF
AF
p
adF
AF
p
pAF
p
mm
Fd
dm
FmAF
AF
mmb
mma
MPap
MPa
kNF
dop
p
p
dopp
sdopsdop
s
dop
sdop
37033,00369,0
033,010150015,02
101502
2
0369,010702
1015044
4
35
15
150
70
150
6
3
21
22
11
6
3
2
=fi>
=
=fi>
==
==
=
=
====
==
=
==
pptt
pt
t
36
Zavareni spojevi
Lom zavarenih spojeva optere enih na smicanje nastaje po najslabijem (smi nom) presjeku A-B, tj. po presjeku za koji je smi na povrima najmanja.Naprezanja u zavaru iznose :
- normalno naprezanje alF
=s
- posmi no naprezanje alF
=t
ili op enito ( ) ( )ttssts
laF
AF
laF
AF
==
== , gdje je A , A veli ina povrine zavara koja
se odnosi na normalno, odnosno posmi no naprezanje.Za spoj na slici posmi no naprezanje je
( ) ( )llaF
laF
AF
+=
==
12tt
Normalno naprezanje jednako je posmi nom.Kod zavarenih spojeva uobi ajeno se provjeravajunormalna naprezanja ako sila djeluje okomito na povrinu zavarenog spoja, odnosno na posmi na naprezanja dok sila djeluje u samoj povrini zavarenog spoja.
37
33. Zadatak
Odrediti potrebnu duljinu zavara prema slici.
54040
84,0
7,0
2,1
135
50
2
1
21
2
==
=
=
B
ta
ta
ttmm
N
kNF
dopt
Iz priru nika za profile :
2
2
379
6,11
40
mmA
mme
mmb
=
==
( )( )
( )
mmlmmlusvojeno
mma
Almm
a
Al
mmammausvojeno
mmta
mmta
mmAAA
mmb
AeA
b
FeF
mmF
AAF
FebFM
FFFF
dopdop
B
z
70,40
62,62,56,30
4,3
2,4584,084,0
5,357,07,0
263
10740
6,113702
370135
1050
20
10
21
2
22
1
11
21
2
1
212
221
21
23
21
21
==
====
=====
====-=
=
===
=
==
==
=+=
ttt
K
K
38
34. Zadatak
Odrediti najve a naprezanja zakovica.
kNH
cmb
cma
cmd
kNQ
12
8
4
4,1
20
=====
Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile H
hH
FH =
Moment u teitu sustava zakovica( )baQM +=
Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile Q
hQ
FQ =
Sila u i-toj zakovici od momenta MiMi kF r=
Q
H
baa
a
a
1
23
4
5
1
23
4
5FH
FQ
FM
FM
FM
FH
FH
FQ FQ
FQ
FQ
45
39
Moment od sile FMi s obzirom na teite sustava
( ) ( ) ( )kN
abaQ
aa
baQF
FFFFF
a
MF
MkkMM
kFM
M
MMMMM
i
i
ii
Mi
ii
ii
i
iiMii
6,1004,08
08,004,02028
22
24
0,2
2
4321
5432
5
1
2
5
1
2
25
1
2
=
+=
+
=
+=
=========
=
=fi==
==
=
=
=
rrrrr
rr
rr
rr
U srednjoj zakovici ne djeluje sila od momenta!05 =MF
kNFFR
kNFFFFR
kNFFFFR
kNFFFFR
kNFFFFR
kNF
kNF
QH
MQMH
MQMH
MQMH
MQMH
Q
H
66,4
49,1022
22
17,622
22
57,1222
22
15,1522
22
4520
4,25
12
225
22
4
22
3
22
2
22
1
=+=
=
-+
+=
=
-+
-=
=
++
-=
=
++
+=
==
==
Najve e optere enje ima zakovica 1 : R1 = 15,15 kN
MPad
R
mAF
s
20,49
4014,0
2
15150
42
221 ====
ppt
40
35. Zadatak
Unutarnji promjer vanjskog eli nog prstena je za D manji od vanjskog promjera unutarnjeg aluminijskog valjka, pa je eli ni prsten u zagrijanom stanju nataknut na aluminijski valjak. Odrediti pritisak prstena na valjak i naprezanje u prstenu nakon hla enja prstena. Kolika sila djeluje u prstenu?
mmt
mmN
EE
mmN
EE
mmD
Al
Al
5
3,0
34,0
102
107,0
1,1
2
1
25
2
25
1
=
====
==
==
=
nnnn
Uvjet deformacija :( )
mmDDD
DDD
1,1
1
21
21
=-=D
D+D=D K
Uvjet ravnotee :( )
2
22
22
2
202
DpR
tDpS
DpS
=
=
=- K
Izraz za deformacije :( ) ( )
( )1
11
111
11
12
11
11
1 1 DD
Ep
Ep
Ep
EED
=-=-=-= nns
ns
e
Za valjak :( )
( )
hDF
tE
pDD
FE
S
D
D
EF
S
ED
D
=
=D
=D
fi
=D
=
2
1
22
22
1
2
2
2
1
22
2
22 2
,se
Za prsten :
2
2
2
2
22
22
2 22 DD
tEpD
DtEpD D
===e
41
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )1
21
12
5
2
5
21
2
22
11
12
22
11
11
2
22
222
11
1111
85,0
102521600
34,01107,0
16001,1
1600
21
1,11,1
21
2
1
ss
nn
e
ne
===
+-
=
@@
+-==+-
==D
-==D
mmN
p
mmDD
tE
D
E
Dp
tE
pD
E
pD
tE
pDDD
E
pDDD
Naprezanje u prstenu (homogeno stanje naprezanja) :( )
222
1 0,13652160085,0
2 mmN
tpD
=
==s
Sila u prstenu :( ) kNhtS 1360,136200521 === s
Kontrola :( )
( ) ( )
mmDDD
mmE
pDD
mmE
DD
1,1013,0087,1
013,034,01107,0160085,0
1
087,1102
0,1361600
21
511
11
52
21
22
=+=D+D=D
=-
=-=D
=
==D
n
s
42
36. Zadatak
U parnom kotlu promjera D djeluje pritisak p. Kotlovski lim debljine t spojen je u uzdunom smjeru dvorednim zakovicama promjera d na me usobnom razmaku e. Odrediti :a) naprezanja u sastavub) koliki maksimalni tlak pare moe kotao podnijeti ako su zadana doputena naprezanja.
2
2
2
2
160
100
70
100
20
10
0,1
1600
mmN
mmN
mmN
mme
mmd
mmtmm
Np
mmD
dopO
dop
dop
=
=
=
==
=
=
=
s
s
t
a) Naprezanje stjenke kotla (u smjeru tangente na stjenku)
280
10216000,1
2 mmNpD
=
==d
s
Sila na razmaku e (sila koja djeluje na jedan red zakovica)kNeS 801001080 === ds
Naprezanje zakovice
posmik222
32,127
420
2
80000
4mm
Nd
m
S===
ppt
bo ni pritisak2
20010202
800002 mm
NdS
O ===
ds
Vlak na oslabljenom presjeku
( ) ( ) 2100102010080000
mmN
deS
=-
=-
=d
s
43
b) Nosivost zakovice
( ) ( )
2max
2
max
22
200
2001601600
10010222
80
801020100100
322010160
22991,214
2070
4
mmN
p
mmN
Dp
pD
kNNN
kNdeN
kNdN
kNkNd
N
V
dopV
OdopO
dopS
=
=
==fi=
==
=-=-=
===
@===
dsd
s
ds
ds
ppt
44
37. Zadatak
Za satavljeni tap na slici potrebno je odrediti najve a posmi na naprezanja i potencijalnu energiju deformacija ako su u to ki A zadana glavna naprezanja.
30,0
102
8
8
25
22
21
=
=
-=
=
n
s
s
mmN
E
mmN
mmN
kNmNmmI
MI
M
mmmD
I
mmmD
I
A
pACA
p
CA
p
p
4,5104,530
103,208
103,20103,2032
12032
1002,41002,432
8032
66
2
21
464644
22
464644
11
==
=
===
====
====
-
-
rt
rst
pp
pp
Uvjet ravnoteeTCB MMM =+
Uvjet deformacije
00,24,18,0
0121
=
-
-
=p
C
p
C
p
TC IG
MIG
MIG
Mj
kNmMMM
kNmM
I
IM
IIM
IM
CTB
T
p
pC
ppC
pT
10
4,15
0,23,20
02,44,1
8,0413,5
0,24,18,0
0,24,18,0 2
1
12
1
=-==
+=
+=
+=
45
( ) ( )
NmmkNmU
U
IG
M
IG
M
IG
MU
mkN
mmNE
G
mmND
I
M
p
C
p
C
p
B
p
B
198000198,0013,0056,0129,0
103,201077,024,14,5
1002,41077,022,14,5
1002,41077,028,010
2
4,1
2
2,1
2
8,0
1077,01077,03,012
10212
5,992
801002,4
10102
68
2
68
2
68
2
2
2
1
2
1
2
28
25
5
26
61
1max
==++=
+
+
=
+
+
=
==+
=+
=
=
==
---
n
t
46
38. Zadatak
Osovina krunog popre ena je momentom torzije Mt. Temperatura osovine se promijeni za t. Odrediti smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki C.
C
1,7 m
1,2 m
D
0,5 m
A
B0,8 m
tMt
C
( ) ( )
222422
464644
28
25
5
101,1101,14
1204
1036,20104,2032
12032
1077,01077,03,012
10212
mmmD
A
mmmD
I
mkN
mmNE
G
p
-
-
====
====
==+
=+
=
pp
pp
n
Uvjet ravnotee :
( )1KtBA MMM =+
Uvjet deformacije :
( )
kNmMMM
kNmlb
MM
IGbM
IGlM
AtB
tA
p
t
p
AA
71,4
29,117,12,1
16
20
=-=
===
=
-
= Kj
kNmM
mmD
Kt
K
mmN
E
t
t
16
120
30
1025,1
30,0
100,2
15
25
==
+=D=
=
=
--a
n
47
( )
( )
-=-=-=-
=
-=
+=
-=+--
=+=
-=
-=-=
=
==
==
D=fi
=D=D
-
215,1043,2023725,052,7488,132
2
02,77
50,2
76,3926,3788,13452,7421
252,74
421
2
52,74101,1
1023,848
88,132
1201036,20
1071,42
23,848101,1102301025,1
22
21
22222,1
24
3
26
6
455
jjj
s
s
tss
s
s
t
aa
tg
mmN
mmN
tlakmm
NAF
mmND
I
M
kNF
AEtFAElF
ltl
C
C
CCCC
C
p
BC
tt
48
39. Zadatak
Za spoj dva vratila odrediti potreban broj vijaka krute spojke. Zanemariti utjecaj spojke na uvijanje.
mR
mmD
mmD
kNmM
kNmM
MPa
mmd
t
t
dop
V
2,02
140
100
15
10
50
12
2
1
2
1
===
==
==
t
4544
2
4544
1
10771,332
14,032
109817,0321,0
32
mD
II
mD
II
pIVpIII
pIIpI
-
-
====
====
pp
pp
Uvjet ravnotee :
( )100 21 K=-++= ttBAz MMMMM
Uvjet deformacije :
( )2004
1
K=+++== =
=IVIIIIII
i
iiAB jjjjjj
49
( )
( )( )
( )( ) kNmM
II
IIMIMM
IIII
aGI
MMMGI
MMGI
MMGIM
A
pIIIpI
pIIIpItpItA
pIVpIIIpIIpI
pIV
ttA
pIII
tA
pII
tA
pI
A
483,4771,39817,02
771,39817,02109817,015
2
2
,
0
2
12
2111
-=+
+-=
+
+-=
==
=
-++
++
++-
Torzijski moment u presjeku C :
kNmMMM tAC 517,510483,41 -=-=+=
Zbog djelovanja momenta MC vijci spojke su optere eni na smicanje :
RFnM C =n broj vijakaF posmi na sila koja djeluje na jedan vijakR krak djelovanja sile F
Potreban broj vijaka u spoju :
vijakanRd
Mn
dF
d
FAF
sdopv
C
sdopv
sdop
vvs
1076,91,01050012,0
551744
44
622
2
2
==
=
==
ppt
tp
tp
t
50
40. Zadatak
Sastavljena osovina krunog popre nog presjeka optere ena je momentom torzije Mt . Odrediti najve a naprezanja u pojedinim dijelovima osovine i potencijalnu energiju deformacije.
mmd
mmD
mmD
mmN
E
kNmM t
64
120
80
3,0
102
15
2
1
5
===
=
=
=
n
( ) ( )
4644
22
464444
11
103,2032
12032
104,232
648032
mmD
I
mmdD
I
p
p
===
=-
=-
=
pp
pp
Uvjet ravnotee( )10 KtBAz MMMM =+=
Uvjet deformacije
( )
kNmMMM
kNm
III
MM
GIM
GIM
GIM
BtA
pp
ptB
p
B
p
B
p
tA
458,9
54,50,24,1
18,0
200,24,18,0
0
12
1
121
=-=
=+
=
=
-
-
= Kj
( ) ( )
kNmGI
MGI
MGI
MUE
mkN
mmNE
G
mmND
I
M
mmND
I
M
p
B
p
B
p
Ap
p
A
p
B
307,00137,00996,01936,02
4,12
2,12
8,0
1077,01077,03,012
10212
63,1572
80104,210458,9
2
37,162
120103,201054,5
2
2
2
1
2
1
2
28
25
5
26
61
11max
26
62
22max
=++=
+
+
==
==+
=+
=
=
==
=
==
n
t
t
51
41. Zadatak
Odrediti potrebne dimenzije pojedinih odsje aka te kut uvijanja slobodnog kraja.
MPa
kNmM
kNmM
kNmM
GPaG
mma
dop
t
t
t
60
3
7
4
80
400
3
2
1
====
==
t
Uvjet ravnotee :
( )( )
kNmM
kNmMMMM
MMMMM
A
tttA
Atttz
6
64731
100
123
321
==-+=-+=
=+--= K
Vrijednost momenata torzije na pojedinim odsje cima :
kNmMMMM
kNmMMM
kNmMM
tttIII
ttII
tI
6374
374
4
321
21
1
-=--=--=-=-=-=
==
Kriterij vrsto e :
33
16,,,,
16
dop
iidop
i
i
pi
ii
MDIVIIIIIIi
d
M
W
M
ptt
pt ===
52
Dimenzioniranje :
mmDmM
D
mmDmM
D
mmDmM
D
IIIdop
IIIIII
IIdop
IIII
Idop
II
800798,010601061616
640634,010601031616
700698,010601041616
36
3
3
36
3
3
36
3
3
==
=
==
=
==
=
ppt
ppt
ppt
Kutevi uvijanja :
( )
( )rad
DG
aM
IG
aM
radDG
aM
IG
aM
radDG
aM
IG
aM
III
III
IIIp
IIIABIII
II
II
IIp
IIBCII
I
I
Ip
ICDI
349
3
4
349
3
4
349
3
4
1046,708,01080
4,01063232
1007,9064,01080
4,01033232
1099,1607,01080
4,010464642
-
-
-
-=
-=
=
==
-=
-=
=
==
=
=
=
==
ppjj
ppjj
ppjj
Kut uvijanja slobodnog kraja nosa
( ) radIIIIIIADuk 33 1046,01046,707,999,16 -- =--=++== jjjjj
53
42. Zadatak
Za nosa oblika I-profila odrediti dimenzije popre nog presjeka prema maksimalnim normalnim i tangencijalnim naprezanjima.
MPa
MPa
tb
thmkN
q
kNF
dop
dop
60
120
8
20
2
4
=
===
=
=
t
s
Reakcije oslonaca :
( )
kNqFFF
kNqFF
qFFM
qFFFF
AAy
B
BA
BAyy
6,63
4,35,4251
05,13250
030
=+==
=+=
=--=
=++--=
54
Momenti savijanja :
kNmFM
kNmqFMM
Bx
Ayl
xx
8,62
2,9122
2
11
==
=-==
Ekstremni momenti savijanja na udaljenosti z od oslonca A :
( )
( ) ( )
mq
FFzFqzF
dz
dM
zFqzzFzM
mz
mq
FzqzF
dz
dM
qzzFz
qzzFzM
mz
AyAy
x
Ayx
AyAy
x
AyAyx
3,10
221
32
3,30
21
2
20
2
2
=-
==--=
---=
=
===-=
-=-=
=
K
K
Iz dijagrama D(M) i D(Q) je vidljivo da se maksimalni moment savijanja javlja u presjeku 1, dok se maksimalna popre sila javlja u presjeku A
kNQQ
kNmMM
yAy
xx
6,6
2,9
max
1max
====
Aksijalni moment povrine drugog reda i moment otpora
( ) ( )
34
max
433
09,221
2
2432
243212207
12228
tt
ht
y
IW
ttttt
I
xx
x
=
+
==
=
-
=
55
Iz kriterija vrsto e za maksimalna normalna i posmi na naprezanja :
mQ
t
tt
Q
tt
ht
hthbt
b
S
b
S
I
Q
mM
t
t
M
W
M
dop
y
dopy
zy
x
dopx
x
yzy
dop
x
dopx
x
xz
3max
24
maxmax
2
max
max
maxmax
33
max
3maxmax
max
1046,22432
134
1342432
134422
1003,709,221
09,221
-
-
=
=
=+
+
=
=
=
==
t
tt
tt
s
ss
Zaklju uje se da je za dimenzioniranje mjerodavan kriterij maksimalnih normalnih naprezanja i usvaja se :
461018,6,8,568,14220,1,7 mmImmtbmmthmmt x-======
Provjera naprezanja u presjecima 1 i 2 :
MPaMPab
S
I
Q
MPaMPayI
M
kNQ
kNmM
MPaMPab
S
I
Q
MPaMPayI
M
kNQ
kNmM
dopx
x
mjyzymj
dopmjx
mjxmjz
mjy
mjx
dopx
x
mjyzymj
dopmjx
mjxmjz
mjy
mjx
60026,00071,0841018,6
3400
12094,850781,01018,6
6800
4,3
8,6
60051,00071,01341018,6
6600
12026,1160781,01018,6
9200
6,2
2,9
36
max
2
6
22
1
2
36
max
1
6
11
1
1
==
=
=
==
==
=
=
==
=
=
==
==
=
=
-
-
-
-
tt
ss
tt
ss
56
Dijagrami naprezanja :
57
43. Zadatak
Za nosa zadan i optere en prema slici potrebno je: a) odrediti reakcije u osloncima b) skicirati dijagrame popre nih sila i momenta savijanja c) dimenzionirati nosa ( t zaokruiti na prvi ve i cijeli broj u milimetrima ) d) u presjeku x skicirati raspodjelu normalnog i tangencijalnog naprezanja po visini
presjekaa = 2.2 m b = 1.8 m c = 1.2 m x = a / 2 F = 8 kN q = 7 kN/m sDOP = 180 Mpa
58
a) reakcije u osloncima
b) dijagram popre nih sila i momenta savijanja
I. podru je: 0 m
59
II. podru je: 2.2 m < x < 4 m
III. podru je: 4 m < x < 5.2 m
60
Mmax = 5.488 kNm Mmin = -9.6 kNm
Najve i moment po apsolutnoj vrijednosti je u to ki x = 4 m i iznosi My = - 9.6 kNm . Stoga treba dimenzionirati nosa za iznos momenta |My| = 9.6 kNm !
61
c) dimenzioniranje nosa a
-
- moment tromosti presjeka
62
d) raspodjela normalnog i tangencijalnog naprezanja u presjeku za x = 1.1 m
- normalno naprezanje
63
- tangencijalno naprezanje
64
44. Zadatak
Za nosa sa slike odrediti dimenzije popre nog presjeka ako je on:a) krunog oblikab) pravokutnog oblikac) oblika I-profila
prema uvjetu maksimalnih normalnih naprezanja.Za I-profil napraviti kontrolu dobivenih dimenzija prema kriteriju doputenih tangencijalnih naprezanja.
Reakcije oslonaca :
kNF
kNFF
MqFFM
qFFFF
B
AAy
BA
BAyy
5,112
5,12
024140
040
=
-==
=+--=
=++--=
Momenti savijanja :
kNmFM
kNmqFMM
Bx
Ayl
xx
8,62
2,9122
2
11
==
=+==
MPa
MPa
tb
thmkN
q
kNF
dop
dop
60
120
8
20
2
4
=
===
=
=
t
s
65
Maksimalni moment savijanja na udaljenosti z od oslonca B :
( )
kNmM
mq
FzqzF
dz
dM
qzzFzM
BB
x
Bx
56,126225,2
25,25025,25,112
25,20
21
max
2
=-=
===-=
-=
Moment savijanja u to ki A :
kNmFM xA 1001 ==
Za dimenzioniranje prema najve im normalnim naprezanjima koristi se maksimalni moment savijanja :
kNmMM x 56,1261max ==
Za kontrolu dimenzija prema doputenim tangencijalnim naprezanjima koristi se vrijednost popre ne sile :
kNFQQ ByBy 5,112max ===
a) kruni popre ni presjek
mmDUSVOJENO
mmD
MD
DMW
dop
x
dop
xx
235
47,234
1001056,1263232
323
6
3max
3max
min
=
==
ppsp
s
b) pravokutni popre ni presjek
mmbmmhUSVOJENO
mmh
Mh
MhbhW
dop
x
dop
xx
124,248
6,247
1001056,1261212
1263
6
3maxmax
32
==
===
ss
66
c) popre ni presjek oblika I-profila
( ) ( )
mmbmmthmmtUSVOJENO
mmt
Mt
Mt
tt
y
IW
ttttt
I
dop
x
dop
xxx
x
160,40025,16
39,15
1009,3461056,126
9,3469,346
5,138,4683
8,468312259
122710
3
6
3maxmax3
4
max
433
====
====
=-=
ss
Provjera dimenzija prema doputenom tangencijalnom naprezanju :
22max
244
3
max
2
max
max
maxmax
6053,19
53280163,4683
105,112
53280422
mmN
mmN
mmmm
N
mmt
ht
hthbt
b
S
b
S
I
Q
dopzy
zy
x
dopx
x
yzy
=
67
45. Zadatak
Za zadani nosa i optere enje odrediti maksimalna normalna i posmi na naprezanja u visini osi zte smjer i veli inu glavnih naprezanja u to ki 3 popre nog presjeka nad leajem B.
Poloaj teita popre nog presjeka nosa a :
( )5,52;30),(
5,522400
126000
601026010
26020
3060104026010
2706020
TyxT
cmA
yAy
TT
i
iiT
=
==+
+
+
+
=
=
Moment povrine drugog reda :
( )( ) ( )
4844
2323
23
2333
2222
2111
105,110105,110
5,5230601012
60105,5260
32
26010
366010
25,5270206012
2060
2
mmcmI
I
yAIyAIyAII
z
z
zzzz
==
-+
+
-
+
+-+
=
+++++=
Reakcije i unutarnje sile :
kNFFqbFF
bqFFFF
kNFa
bqFa
F
bbqaFaFaFM
BAB
BAy
AA
AB
2507034010022
020
7023
23
4021003
32
3
02
230
22
=-+=-+=
=--+=
=
-=
-=
=+--=
68
max
1
18023
3402
140270
MkNmb
bqM
kNmaFM
B
A
=-=-=-=
===
kNT
kNmM
130
180
max
max
-=-=
Maksimalno normalno naprezanje :
( )
( )28
6
2max
1
28
6
1max
1
55,8105,52105,110
10180
48,4105,5280105,110
10180
mmN
yI
M
mmN
yI
M
z
d
z
g
-=
-==
+=-
+==
s
s
69
Posmi :
28
63max
363
933,0275105,110
1082,2110130
2755,271075,82102
75,860
105,526010
5,52
8210,21218203
5,522
5,5275,82
25,52
5,5210
mmN
bI
ST
mmcmxb
cmxx
mmcmS
z
zz
z
=
=
=
==+=+=
=
==
==
+=
t
Glavna naprezanja i njihov smjer u to ki 3 :
( )
( )
( )
( )
( )
===
=
-=
+=
=+=+=
+=-
+==
=
=
=
==-=
67,2635,53234,122,1
82,022
412,0
632,1
022,161,082,0422,121
222,1
421
2
22,1105,5260105,110
10180
82,0300105,110102110130
1021210005,52706020
2
32
2
31
222232,1
28
6
3max
3
28
63max
3
3633
jjj
s
s
tsss
s
t
tg
mmN
mmN
mmN
yI
M
mmN
bI
ST
mmcmS
z
z
z
z
70
46. Zadatak
Koriste i analiti ki postupak odre ivanja elasti ne linije nosa a odrediti kut zaokreta u to kama D i F te progib u to ki E.
mdc
mb
ma
1
2
5
====
Ekvivalentni sustav
Reakcije u osloncima
kNFFFPqFF
kNFFFPqM
kNP
FPFM
ACFAz
CFCA
FFd
D
11070
845
42009585,370
252
502
0120
==++--=
===--+=
====-=
25108
50
10
NmEI
kNPmkN
q
y =
=
=
71
Momenti savijanja na pojedinim segmentima :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )827
52
27
52
52
20
22
22
2
2
---
+-+-=+++++
-+-+-=+++
-+-=+
-=
xPx
qxFx
qxFxMdcbaxcbaIV
xqxF
xqxFxMcbaxbaIII
xFx
qxFxMbaxaII
xqxFxMaxI
CA
CA
CA
A
Iz diferencijalne jednadbe elasti ne linije nosa a slijedi za moment savijanja :
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )827
52
27
52
52
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-+-
---+-=
----+-=
--+-=
+-=
-=
xPx
qxFx
qxFdx
wdEIIV
xqxF
xqxF
dxwd
EIIII
xFx
qxFdx
wdEIII
xqxF
dxwd
EII
xMdx
wdEI
CA
CA
CA
A
Za kut zaokreta :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 423232
3
3232
2
232
1
32
28
67
25
62
67
25
62
25
62
62
Cx
Px
qx
Fx
qx
Fdxdw
EIIV
Cx
qx
Fx
qx
Fdxdw
EIIII
Cx
Fx
qx
Fdxdw
EIII
Cx
qx
Fdxdw
EII
CA
CA
CA
A
+-
+-
--
-+-=
+-
--
-+-=
+-
-+-=
++-=
Za progib nosa :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 4434343
33
4343
22
343
11
43
68
247
65
246
247
65
246
65
246
246
DxCx
Px
qx
Fx
qx
FEIwIV
DxCx
qx
Fx
qx
FEIwIII
DxCx
Fx
qx
FEIwII
DxCx
qx
FEIwI
CA
CA
CA
A
++-
+-
--
-+-=
++-
--
-+-=
++-
-+-=
+++-=
72
Uvjeti kompatibilnosti deformacija :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 434433
3322
21
43
21
88
177
DDDCDCcbawcbaw
DCDCbawbaw
DDawaw
CCcbacba
CCaa
IVIII
IIIII
III
IVIII
III
=+=+++=++
+=++=+
==
=++=++
==
K
jj
jj
Rubni uvjeti :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
34
34
4444
44
44
34343
211
43
121
31,1563
58,22923
3775,4370725,61
209917,502
09689
5024
7910
659
84249
1069
1109
25,605245
1065
1105
0000
DD
CC
CDDC
DC
DCxwlw
CCCxwaw
DDDw
IV
I
==
=-=fi
--=+=+-fi
=++
=++-
+-
--
-+-===
=-==++-===
====
K
K
Progib u to ki E :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
mmmw
w
DxCx
qx
Fx
qx
FEI
xwxww
E
E
CAy
IVIIIE
53,141053,14
31,1563858,22924
7810
658
84248
1068
11108
10
247
65
2461
88
3
4343
6
3
33
4343
==
+-
--
--+-
=
++
--
--+-=====
-
Kut zaokreta u to ki F :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
radrad
Cx
Px
qx
Fx
qx
FEI
x
F
F
CAy
IVF
01505,01005,15
58,229289
50679
10259
846
910
29
11108
10
28
67
25
621
9
3
23232
6
3
4
23232
-=-=
-
-+
--
--+-
=
+
-+
--
--+-===
-j
j
jj
73
Kut zaokreta u to ki D :
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
rad
rad
radrad
Cx
qx
Fx
qx
FEI
Cx
Fx
qx
FEI
xx
D
dD
dD
lD
lD
CAy
dD
CAy
lD
IIIIIdD
lDD
00406,001193,001599,0
01193,01093,11
58,229677
10257
8467
102
711
10810
01599,01099,15
25,6257
8467
102
711
10810
67
25
621
25
621
77
3
3232
6
3
3
232
6
3
3
3232
2
232
=-=
-=-=
-
--
--+-
=
==
-
--+-
=
+
--
--+-=
+
--+-=
=+==+=
-
-
j
j
j
j
j
j
j
jjjjj
74
47. Zadatak
Odrediti to
mcma
ml
kNF
2,020
5
10
====
( )
422'
42
232
23
'
42
232
23
'
2
22
2
22
22
31
65
67
23
2065
267
20
1211
65
2122
65
212
1211
67
23
212
267
212
67
323
22
65
3
22
32
aaaaaaaa
aa
aI
aaaaaa
aa
aaa
I
aaaaaa
aa
aaa
I
aa
aaa
az
aa
aaa
ay
aaaaA
yz
z
y
T
T
=
-
-++
-
-+=
=
-+
+
-+
=
=
-+
+
-+
=
=+
=
=+
=
=+=
Glavne osi momenata povrine drugog reda :
( ) ( ) ( )
0
127
31
1211
45
31
1211
31
1211
31
221
1211
221
421
21
45902031
2
1211
1211
31
222
442
441
4442'2''''2,1
4
44
4
''
'
=
==
-=
==
+=
==+-+=
===
-=-
-=
--=
yz
z
y
yzzyzy
zy
yz
I
IaaI
IaaI
aaaIIIIII
a
aa
a
II
Itg aaa
75
Poloaj neutralne osi :
-=-=-=-=-= 6514286,27
1545
12745
4
4
jaj tga
atg
I
Itg
z
y
Ekstremna naprezanja su u to kama B i D :
MPa
aFl
aFl
a
a
a
aFly
Iz
IM
MPa
aFl
aFl
a
a
a
aFly
Iz
IM
D
Dz
Dy
D
B
Bz
By
B
78,6
2,051010
3538
3538
72
54
12762
45
22245sin45cos
21,3
2,051010
3518
3518
72
54
12762
45
22245sin45cos
3
3
3344
3
3
3344
=
==
+=
+=
+
=
-=
-=-=
+-=
+-
=
+
=
s
s
s
s
aaaaay
aaaaaz
aaaaay
aaaaaz
D
D
B
B
62
22
65
22
67
45sin65
45cos67
222
67
22
65
45sin67
45cos65
62
22
67
22
65
45sin67
45cos65
222
65
22
67
45sin65
45cos67
=-=-=
=+=+=
=+-
=-
--
=
-=-
+-
=-
+-
=
76
48. Zadatak
Za zadani tankostijeni presjek prikazan na slici potrebno je odrediti sredite posmika u odnosu na to ku A.
mmx 8,1425sin35 ==
77
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
TT
yy
IT
dytytI
TT
mmS
tytI
TSS
tIT
bI
ST
TT
zz
ItT
dzz
zI
tTdzt
zz
IT
T
zz
ITz
tztI
TbI
ST
mmI
I
yy
y
yyy
yy
yxy
yyy
yyy
yxz
y
y
=
+=+
=
=+=
+
=+
=
=
=
+
=
+
=
+=
+=
+
=
=
=
+
++
+
-+
=
184,0
21495,16721495,1672
5,16722/158,14155
8,295,1672
0324,0
628,14
28,14
28,14
28,14
28,14
104364,3
28,14
8,14512
8,1458,29520
12520
5,78,2915512155
22
2
20
0
22
22
20
022
31
2212
2
1
15
0
31
21
15
0
1
21
11
21
1
15
0
1
21
11
11
1
45
232
32
3
t
t
( )
( ) ( )
mme
TTTeT
TTTeT
TT
zzz
IT
dztz
ztI
TT
mmS
zz
tIT
ztz
tIT
SSStI
TbI
ST
yy
y
y
yyyy
yy
yxz
16,1
244,0272,31184,06,590324,044,103
25cos3528,29225cos35202
244,0
65
21495,4652
251495,4652
29808,29205
251495,4652
28,2929805,1672
321
3
15
0
33
23
33
23
3
15
03
32
23
3
33321
33
-=-+=
-++=
=
-+=
-+
=
==
-+
=
=
-++
=++
=
=
t
78
49. Zadatak
Za zadani nosa i optere enje odrediti mjerodavan koeficijent sigurnosti prema teoriji najve ih normalnih naprezanja u to kama 1 i 2 presjeka I-I ako je zadano kriti no naprezanje materijala
K.
kNRPqRR
F
kNRRPqq
M
kNHRHR
F
AyBAy
y
BB
A
AxAx
x
375,4905,2
:0
125,18035,125,1
21
1
:0
250
:0
2
=fi=--+
=S
=fi=-++-
=S
==fi=-=S
Presjek I I :
kNmM
kNT
kNN
1875,27
125,18
25
=-=-=
( ) ( ) ( )46
23
23
23
2
1083,5
102,66204012
2040608,6310010
1210010
58,63107012
1070
2500
8,632500
1595004020100107010
1204020601001057010
mmI
I
mmA
mmyy
y
y
TT
=
-+
+-+
+-+
=
=
=fi=++
++=
( ) ( ) 33maxmax
33max
6
maxmax
106,552
202,6610202,66102,662040
101,882,661083,5
mmSS
mmWz
IW
yy
yy
y
=fi-
-+-=
=fi
==
MPa
mkNq
kNH
kNP
K 320
/15
25
30
====
s
40
20
100
10
130
2
1T
z
y
70 mm
30 10 30
79
To ka 1 :
MPamm
NbI
ST
MPamm
NAN
xzy
yxz
xx
29,1729,17101083,5
106,5510125,18
10102500
1025
1
26
33max1
1
2
31
=fi=
=
=
-=fi-=-
==
tt
ss
To ka 2 :
0
00401083,5
010125,18
6,3186,318106,3082500
1025101,88
101875,27
2
2
6
322
2
2
3
3
62
=
=fi=
=
=
-=fi-=--=-
+
-=+=
y
xzy
yxz
xy
x
S
bI
ST
MPamm
NAN
WM
tt
ss
Provjera po teoriji najve ih normalnih naprezanja (1. teorija vrsto e) :
To ka 1 :
( ) ( )( ) ( ) ( )
6,2413320
00,1329,174105,0105,0
45,05,0
11
1
1221
212111
=fi==
=fi+-+-=
++=
kk
MPa
ek
K
ekek
xzxxek
ss
ss
tsss
To ka 2 :
( ) ( )( ) ( ) ( )
0,16,318
320
6,318046,3185,06,3185,0
45,05,0
22
2
21221
222222
=fi==
-==fi+-+-=
++=
kk
MPa
ek
K
xekek
xzxxek
ss
sss
tsss
80
AB
x
1,0 m 1,5 m1,5 m
C D
P
z
H
4,0 m
qI
I
- D(N)
D(T)
D(M)
-+
-
+ +
-
-25
-15
34,375
-18,125
11,875
-7,5
27,1875