Osnove teorije kopul in maksmin kopuleibmi.mf.uni-lj.si/sites/default/files/Ruzic_Osnove...Osnove teorije kopul Sklarovizrek Kopulesotorejzožitveskupnihporazdelitvenihfunkcij,katerihrobni

Osnove teorije kopul in maksmin kopule

Nina RužićFakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani

Seminar Inštituta za biostatistiko in medicinsko informatiko

26. maj 2015

Nina Ružić Osnove teorije kopul in maksmin kopule

Osnove teorije kopul

Definicija kopuleDefinicijaFunkcija C : A1×A2 −→ [0, 1], kjer sta A1,A2 ⊆ [0, 1], je (dvorazsežna)podkopula, če velja 0, 1∈Aj za j∈{1, 2} in so izpolnjeni naslednji pogoji:

(C1) C(u, 0) = 0 za vsak u∈A1 in C(0, v) = 0 za vsak v ∈A2,

(C2) C(u, 1) = u za vsak u∈A1 in C(1, v) = v za vsak v ∈A2,

(C3) C je 2-naraščajoča, tj. za vse u1 ≤ u2 iz A1 in v1 ≤ v2 iz A2 jeVC ((u1, u2]×(v1, v2]) = C(u2, v2)− C(u2, v1)− C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0.

0

0

id

id

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

(u1,v1)

(u1,v2)

(u2,v1)

(u2,v2)

VC ([u1,u2]×[v1,v2])⩾0

(Dvorazsežna) kopula je podkopula zdefinicijskim območjem I2 := [0, 1]2.



Analitične lastnosti kopul

Naj bo C poljubna kopula. Potem velja:C je naraščajoča v vsaki spremenljivki posebej.Za vse (u, v), (u′, v ′)∈ I2 velja

|C(u′, v ′)− C(u, v)| ≤ |u′ − u|+ |v ′ − v |,

torej je C enakomerno zvezna.Za vsak v ∈ I obstaja parcialni odvod ∂C(u, v)/∂u za skoraj vsak uin pri takih u ter v je ∂C(u, v)/∂u∈ [0, 1]. Podobno velja za∂C(u, v)/∂v .



Sklarov izrek

Kopule so torej zožitve skupnih porazdelitvenih funkcij, katerih robniporazdelitvi sta enakomerni zvezni porazdelitvi na [0, 1].

Izrek (Sklarov izrek)Naj bo H skupna porazdelitvena funkcija z robnima porazdelitvenimafunkcijama F in G. Potem obstaja taka kopula C, da velja

H(x , y) = C(F (x),G(y)) za vse x , y ∈R. (1)

Če sta F in G zvezni, potem je C enolično določena, v nasprotnemprimeru pa je C enolična le na imF×imG.

Obratno, če je C kopula in sta F ter G porazdelitveni funkciji, potem je zenačbo (1) definirana skupna porazdelitvena funkcija H, katere robniporazdelitveni funkciji sta enaki F in G.



Urejenost kopul

DefinicijaKopula C1 je manjša od C2, če je C1(u, v) ≤ C2(u, v) za vse u, v ∈ I.Oznaka: C1 � C2.

Fréchet-Hoeffdingova spodnja meja: W (u, v) = max{u + v − 1, 0}.Fréchet-Hoeffdingova zgornja meja: M(u, v) = min{u, v}.

Za poljubno kopulo C velja W � C � M.

Produktna kopula: Π(u, v) = uv .



Verjetnostni pomen Π, M in W

DefinicijaNaj bo C kopula. Če za slučajni spremenljivki X in Y z X ∼ F , Y ∼ G ter(X ,Y ) ∼ H, velja H(x , y) = C(F (x),G(y)) za vse x , y ∈R, potem Cimenujemo slučajnima spremenljivkama X in Y pripadajoča kopula.Oznaka: CX ,Y .

TrditevNaj bosta X in Y zvezni slučajni spremenljivki. Potem velja:

CX ,Y = Π natanko tedaj, ko sta X in Y neodvisni.

CX ,Y = M natanko tedaj, ko za vsako točko (x , y)∈R2 veljaP(X > x ,Y ≤ y) = 0 ali P(X ≤ x ,Y > y) = 0, tj.Y je skoraj gotovo strogo naraščajoča funkcija slučajne spremenljivke X.

CX ,Y = W natanko tedaj, ko za vsako točko (x , y)∈R2 veljaP(X ≤ x ,Y ≤ y) = 0 ali P(X > x ,Y > y) = 0, tj.Y je skoraj gotovo strogo padajoča funkcija slučajne spremenljivke X.



Grafi in grafi nivojnic kopul W , Π in M

u

v

W0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

v

Π0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

v

M0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Kopula preživetjaNaj bosta X in Y slučajni spremenljivki s pripadajočo kopulo C ,

porazdelitvenimi funkcijami F ∼ X , G ∼ Y in H ∼ (X ,Y ) terpripadajočimi funkcijami preživetja F , G in H.

Potem za vse x , y ∈R velja

H(x , y) = 1− F (x)− G(x) + H(x , y) = F (x) + G(x)− 1 + C(F (x),G(y))= F (x) + G(x)− 1 + C(1− F (x), 1− G(y)).

Slučajnima spremenljivkama X in Y pripadajoča kopula preživetja jefunkcija C : I2 −→ I,

C(u, v) = u + v − 1 + C(1− u, 1− v).

Kopula preživetja je kopula in zanjo velja

H(x , y) = C(F (x),G(y)) za vse x , y ∈R.


Pregled metod konstrukcij kopul

Konveksne kombinacije kopul

DefinicijaNaj bo {Cθ}θ neka družina kopul. Parameter θ naj bo realizacija slučajnespremenljivke Θ s porazdelitvenim zakonom µΘ. Konveksna vsotakopul {Cθ}θ glede na µΘ je funkcija

C(u, v) =∫RCθ(u, v) dµΘ(θ).

Porazdelitev Θ je lahko odvisna še od nekega parametra.

Fréchetova družina kopulNaj bosta α, β∈ [0, 1] taka, da je α + β ≤ 1. DvoparametričnaFréchetova družina kopul je podana s

Cα,β(u, v) = αW (u, v) + (1− α− β)Π(u, v) + βM(u, v).



Grafi nivojnic Fréchetove družine kopul

u

v

α = 0.2, β = 0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

v

α = 1/3, β = 1/30 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

v

α = 0.3, β = 0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Preureditve Fréchet-Hoeffdingove zgornje meje

Preureditve Fréchet-Hoeffdingove zgornje meje M, angleško shuffles ofM, so singularne kopule, ki jih dobimo na naslednji način:

„Kvadrat I2, opremljen s porazdelitvenim zakonom µM , navpičnorazrežemo na končno mnogo trakov, ki jih nato med seboj premešamo innekatere izmed njih obrnemo okoli svoje navpične simetrijske osi.“

0 0.2 0.7 10

0.2

0.7

1

−→

0 0.2 0.5 10

0.2

0.7

1



Preureditve M – lastnosti

X in Y sta medsebojno popolno odvisni, če obstaja taka injektivnafunkcija g : imX −→ imY , da je Y = g(X ) skoraj gotovo.

Če je CX ,Y preureditev M, sta X in Y medsebojno popolno odvisni.

TrditevZa vsak ε > 0 obstaja taka preureditev M, ki jo označimo s Cε, da je

supu,v∈I|Cε(u, v)− Π(u, v)| < ε.

Posplošitev: Π lahko zamenjamo s poljubno kopulo.Posledica: preureditve kopule M so goste v množici kopul glede nasupremum normo.



Kopule s predpisanimi vodoravnimi odseki

vsi vodoravni odseki so linearne funkcije, tj.C(u, v) = a(v)u + b(v) za neki funkciji a, b : I −→ R=⇒ C = Π

vsi vodoravni odseki so kvadratne funkcije=⇒ C(u, v) = uv + ψ(v)u(1− u), kjer je

ψ : [0, 1] −→ R 1-Lipschitzeva s ψ(0) = ψ(1) = 0

vsi vodoravni odseki so kvadratne funkcije + simetrična kopula=⇒ Cθ(u, v) = uv + θuv(1− u)(1− v), θ∈ [−1, 1]

Farlie-Gumbel-Morgensternove kopule



Razsevni diagrami FGM kopul

θ = − 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1θ = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1θ = 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Kopule s predpisanim diagonalnim odsekom

Naj bo δ : I −→ R neka funkcija. Želimo definirati kopulo C , katerediagonalni odsek δC (t) = C(t, t), t∈ I, je enak δ.

Funkcija δ : I −→ R je diagonala, označimo δ∈D , če je naraščajoča,2-Lipschitzeva in zanjo velja δ(0) = 0, δ(1) = 1 ter δ ≤ id.

Za δ∈D je diagonalna kopula funkcija

Cδ(u, v) = min{u, v , δ(u) + δ(v)

2

}.

Za δ∈D je Bertinova kopula funkcija

Bδ(u, v) = min{u, v} −min{t − δ(t) | t∈ [min{u, v},max{u, v}]}.


Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule

Definicija Arhimedovih kopul

DefinicijaNaj bo ϕ : [0, 1] −→ [0,∞] zvezna strogo padajoča funkcija, za katero jeϕ(1) = 0. Psevdoobrat funkcije ϕ je funkcija ϕ[−1] : [0,∞] −→ [0, 1],podana s predpisom

ϕ[−1] ={ϕ−1(t), za t∈ [0, ϕ(0)],0, za t∈ [ϕ(0),∞].

Arhimedova kopula je funkcija C : I2 −→ I, podana s predpisom

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)).



Verjetnostna interpretacija

Naj bodo E1, E2 in R neodvisne, E1,E2 ∼ Exp(1), R > 0. Definiramo

(X ,Y ) = (E1/R,E2/R).

Naj bo ψ Laplaceova transformacija R. Za x , y > 0 velja

FX (x) = ψ(x), FY (y) = ψ(y), F (X ,Y )(x , y) = ψ(x + y).

Po Sklarovem izreku torej obstaja taka kopula preživetja C , da jeψ(x + y) = C(ψ(x), ψ(y)) za x , y > 0 oziroma

C(u, v) = ψ(ψ−1(u) + ψ−1(v)), u, v ∈ [0, 1]. (2)

Glede na prvotno definicijo: ϕ! ψ−1.Funkcija (2) je kopula za večji razred funkcij kot so Laplaceovetransformacije.



Primeri parametričnih družin

Claytonova kopula:

Cθ(u, v) = max{u−θ + v−θ − 1, 0}−1/θ, θ∈ [−1,∞)\{0}.

V verjetnostnem modelu: za θ∈(0,∞) je R ∼ Γ(1/θ, 1).

θ = − 0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1θ = 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Slika: Razsevna diagrama pri θ < 0 (levo) in θ > 0 (desno).



Gumbelova kopula:

Cθ(u, v) = exp[−(

(− ln u)θ + (− ln v)θ)1/θ

], θ∈ [1,∞).

Joejeva kopula:

Cθ(u, v)=1−(

(1−u)θ+(1−v)θ−(1−u)θ(1−v)θ)1/θ

, θ∈ [1,∞).

V verjetnostnem modelu ima R Sibuya porazdelitev:P(R = k) = (−1)k+1(1/θ

k)za k∈N.

Gumbel, θ = 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1Joe, θ = 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Frankova kopula:

Cθ(u, v) = −1θln(1 + (e−θu − 1)(e−θv − 1)

e−θ − 1

), θ∈R\{0}.

Za θ∈(0,∞) je v verjetnostnem modelu R porazdeljena logaritemsko sparametrom p = 1− e−θ.

θ = − 15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1θ = 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1




Ali-Mikhail-Haqova kopula:

Cθ(u, v) = uv1− θ(1− u)(1− v) , θ∈ [−1, 1).

V verjetnostnem modelu: R ∼ Geom(1− θ).

θ = − 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1θ = 0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1




Obratna metoda

Naj bo H skupna porazdelitvena funkcija z robnima porazdelitvenimafunkcijama F in G . Po Sklarovem izreku obstaja enolično določenapodkopula C z domeno imF×imG , za katero velja

H(x , y) = C(F (x),G(y)) za vse x , y ∈R.

Za vsak (u, v)∈domC torej velja

C(u, v) = H(F−1(u),G−1(v)), (3)

kjer je F−1 posplošeni obrat porazdelitvene funkcije F , tj.

F−1 : [0, 1] −→ R, F−1(u) = inf{x ∈R |F (x) ≥ u}.

Če sta F in G zvezni, potem velja (3) za vse (u, v)∈ I2.



Eliptične kopule

Če je H porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (X1,X2) z eliptičnoporazdelitvijo, dobimo s (3) eliptično kopulo. Ta je neodvisna odµi = E(Xi ).

Gaussova (ali normalna) kopula je eliptična kopula, ki pripadaslučajnemu vektorju (X1,X2) z bivariatno normalno porazdelitvijo sp := ρPearson(X1,X2).

Studentova t-kopula je eliptična kopula, ki pripada bivariatniStudentovi t-porazdelitvi s stopnjo prostosti ν in p := ρPearson(X1,X2).



p = 0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1p = 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1p = 0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Slika: Razsevni diagrami Gaussove kopule pri različnih vrednostih parametra p.

p = 0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1p = 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1p = 0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Slika: Razsevni diagrami Studentove t-kopule pri stopnji prostosti ν = 2 inrazličnih vrednostih parametra p.


Motivacija in Marshallove kopule

Verjetnostni model

A Bživljenjskadoba

Uživljenjskadoba

V

X YZneodvisne

U = min{X ,Z}V = min{Y ,Z}

Marshallove kopule

od predpostavki X ,Y ,Z ∼ Exp Marshall-Olkinove kopule

A Bživljenjskadoba

Uživljenjskadoba

V

X YZ

možnostobnovitve

neodvisne

U = max{X ,Z}V = min{Y ,Z}

maksmin kopule



Definicija Marshallovih kopul

Naj funkciji φ, ψ : I −→ I zadoščata pogojem:φ(0) = ψ(0) = 0 in φ(1) = ψ(1) = 1,φ in ψ sta naraščajoči,funkciji φ∗(u) = φ(u)

u in ψ∗(v) = ψ(v)v sta padajoči na (0, 1].

Marshallova kopula je funkcija, definirana s predpisom

Cφ,ψ(u, v) = min{φ(u)v , uψ(v)} = uv min{φ∗(u), ψ∗(v)}

za u, v ∈(0, 1].

Posebni primer so Marshall-Olkinove kopule:

Cα,β(u, v) = min{u1−αv , uv1−β}, α, β∈ [0, 1].



Karakterizacija Marshallovih kopul

Izrek (Marshallov izrek)Naj bo Cφ,ψ Marshallova kopula in H = Cφ,ψ(F ,G). Potem sta naslednjitrditvi ekvivalentni:

1 Obstajajo take neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z, da je Hporazdelitvena funkcija slučajnega vektorja(max{X ,Z},max{Y ,Z}).

2 φ∗◦F = ψ∗◦G.

IzrekNaj bo U = max{X ,Z} in V = max{Y ,Z}, kjer so X, Y in Z nekeneodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U ∼ F , V ∼ G in (U,V ) ∼ H.

Potem obstajata taki funkciji φ in ψ, da za pripadajočo Marshallovokopulo Cφ,ψ velja H = Cφ,ψ(F ,G).


Maksmin kopule

Funkciji φ in ψ

Za funkciji φ, ψ : [0, 1]−→ [0, 1] definiramo funkciji φ∗, ψ∗ : [0, 1]−→ [1,∞]:

φ∗(u) = φ(u)u ;

ψ∗(v) =

∞, če je ψ(v) = v ∈ [0, 1),1− ψ(v)v − ψ(v) , če je ψ(v) 6= v ,

1, če je v = 1.

Funkciji φ in ψ naj zadoščata naslednjim pogojem:φ(0) = ψ(0) = 0 in φ(1) = ψ(1) = 1,φ in ψ sta naraščajoči,φ∗ in ψ∗ sta padajoči.

Pravimo, da par funkcij (φ, ψ) zadošča pogoju (F).


Maksmin kopule

Lastnosti funkcij φ in ψ

Iz (F) sledijo naslednje lastnosti:u ≤ φ(u) za vse u∈ I,ψ(v) ≤ v za vse v ∈ I,

če je φ(u)=u za nek u∈(0, 1],potem je φ na intervalu [u, 1]enaka identični funkciji,če je ψ(v)=v za nek v ∈ [0, 1),potem je ψ na intervalu [0, v ]enaka identični funkciji,

ψ∗(v) v→0−→∞,

φ∗(u) u→0−→ c∈ [1,∞],

0

1

1

ϕ

ψ

0

1

1

ϕ

ψ


Maksmin kopule

Lastnosti funkcij φ in ψ – nadaljevanje

φ(u2)−φ(u1)u2−u1

≤ φ∗(u2) ≤ φ∗(u1) za vse 0 < u1 < u2 ≤ 1,ψ(v2)−ψ(v1)

v2−v1≤ 1−ψ(v1)

1−v1≤ 1−ψ(v2)

1−v2za vse 0 ≤ v1 < v2 < 1,

φ′(t) in ψ′(t) obstajata za skoraj vsak t in za vsak tak t jeφ′(t) ≤ φ∗(t) in ψ′(t) ≤ 1−ψ(t)

1−t ,

φ je zvezna na (0, 1],ψ je zvezna na [0, 1),

φ∗ ≤ ψ∗.


Maksmin kopule

Definicija maksmin kopule

DefinicijaNaj par funkcij (φ, ψ) zadošča pogoju (F). Funkcijo Cφ,ψ : I2 −→ I,definirano s predpisom

C(u, v) = Cφ,ψ(u, v) = min{φ(u)(v − ψ(v)), u(1− ψ(v))}+ uψ(v),

imenujemo maksmin kopula.

Ekvivalentno:

C(u, v) ={u(v − ψ(v))min{φ∗(u), ψ∗(v)}+ uψ(v), če je φ∗(u), ψ∗(v) <∞,uv , sicer;

C(u, v) ={φ(u)(v − ψ(v)) + uψ(v), če je φ∗(u) ≤ ψ∗(v),u, če je ψ∗(v) ≤ φ∗(u).

Za u ≥ v je φ∗(u) ≤ ψ∗(v).Nina Ružić Osnove teorije kopul in maksmin kopule

Maksmin kopule

Verjetnostna lema

LemaNaj bosta U in V slučajni spremenljivki, U ∼ F , V ∼ G in (U,V ) ∼ H.Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni:

1 Obstajajo neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z sporazdelitvenimi funkcijami FX , FY oziroma FZ , za katere jeU = max{X ,Z} in V = min{Y ,Z}.

2 Porazdelitveno funkcijo H lahko s porazdelitvenimi funkcijami FX ,FY in FZ izrazimo kot

H(x , y) = FX (x)(1− FY (y))min{FZ (x),FZ (y)}+ FX (x)FY (y)FZ (x).

Če velja katerakoli izmed trditev (i) ali (ii), je

F = FX · FZ in G = FY + FZ − FY · FZ .


Maksmin kopule

Prvi izrek karakterizacije

IzrekNaj bo U = max{X ,Z} in V = min{Y ,Z}, kjer so X, Y in Z nekeneodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U ∼ F , V ∼ G in (U,V ) ∼ H.

Potem obstaja tak par funkcij (φ,ψ), ki zadošča pogoju (F), da zapripadajočo maksmin kopulo Cφ,ψ velja

H(x , y) = Cφ,ψ(F (x),G(y)) za vse x , y ∈R.

Ideja dokaza:Želimo FX (x) = φ(F (x)) in FY (y) = ψ(G(y)). Definiramo zato

φ(u) = FX (F−1(u)) za u∈ imF\{0, 1},ψ(v) = FY (G−1(v)) za v ∈ imG\{0, 1}.


Maksmin kopule

Drugi izrek karakterizacijeIz dokaza prejšnjega izreka sledi

φ(F (x))[G(x)− ψ(G(x))

]= F (x)

[1− ψ(G(x))

]za vse x ∈R. (4)

IzrekNaj bo Cφ,ψ maksmin kopula s pripadajočima funkcijama φ in ψ. Naj bosta Fin G porazdelitveni funkciji ter H = Cφ,ψ(F ,G). Za funkcije φ, ψ, F in G najvelja (4) ter:

Funkcija φ je zvezna v 0, ali pa je xF = inf{x ∈R |F (x) > 0} > −∞ inima F v xF skok. Funkcija ψ je zvezna v 1, ali pa obstaja tak x ∈R, da jeG(x) = 1.

Obstaja tak x0, da je F (x0) > 0 in G(x0) < 1.

Potem obstajajo take neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z, da je Hskupna porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (max{X ,Z},min{Y ,Z}).

Ideja dokaza: FX = φ ◦ F , FY = ψ ◦ G , in FZ = 1/(φ∗ ◦ F ) = 1/(ψ∗ ◦ G), koje F > 0 in G < 1.


Maksmin kopule

Maksmin kopula za enako porazdeljene čase udarov

Naj bo U = max{X ,Z} in V = min{Y ,Z}, kjer so X , Y in Z neodvisneslučajne spremenljivke. Naj bo U ∼ F , V ∼ G in (U,V ) ∼ H.

Dodatno predpostavimo, da so X , Y in Z enako porazdeljene – sporazdelitveno funkcijo FX .

Dobimo F = F 2X in G = 2FX − F 2

X . Iščemo φ in ψ, za kateri veljaφ(F (x)) = FX (x) in ψ(G(y)) = FX (y) = FY (y). Definiramo zatofunkciji

φ(u) =√u, u∈ I, in ψ(v) = 1−

√1− v , v ∈ I.

Od tu sledi H = Cφ,ψ(F ,G).


Maksmin kopule

Maksmin kopule za eksponentno porazdeljene čase udarov

Naj bo U = max{X ,Z} in V = min{Y ,Z}, kjer so X , Y in Z neodvisneslučajne spremenljivke. Naj bo U ∼ F , V ∼ G in (U,V ) ∼ H.

Dodatno predpostavimo, da so X , Y in Z porazdeljene eksponentno sparametri λ1, λ2 oziroma λ12.

Zopet želimo poiskati takšni funkciji φ in ψ, da bo H = Cφ,ψ(F ,G). Podokazu prvega izreka karakterizacije dobimo

ψ(v) = 1− (1− v)1−β, kjer je β = λ12λ2 + λ12

,

in

φ(u) =

0, če je u = 0,

1− e−λ1F −1(u), če je u∈(0, 1),1, če je u = 1.


Maksmin kopule

Parametrična družina maksmin kopul

Za parametra α, β∈ [0, 1] definiramo naslednji družini funkcij:

za α∈ [0, 1) naj bo φα(u) = u1−α, u∈ I,za α = 1 naj bo φ1 = 1(0,1],

inza β∈ [0, 1) naj bo ψβ(v) = 1− (1− v)1−β, v ∈ I,

za β = 1 naj bo ψ1 = 1{1}.

Označimo s Cα,β pripadajočo maksmin kopulo.


Maksmin kopule

Parametrična družina – grafi nivojnic in razsevni diagrami

u

v

α = 0.5, β = 0.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

v

α = 0.9, β = 0.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

v

α = 0.5, β = 0.90 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α = 0.5, β = 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1α = 0.9, β = 0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1α = 0.5, β = 0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Maksmin kopule

Urejenost maksmin kopul

Za vsako maksmin kopulo Cφ,ψ velja:Π � Cφ,ψ � M,

φ = id ali ψ = id =⇒ Cφ,ψ = Π,

φ = 1(0,1] in ψ = 1{1} =⇒ Cφ,ψ = M,

ζ ≥ φ in η ≤ ψ =⇒ Cφ,ψ � Cζ,η.

0

1

1

ζ

η

ϕ

ψ

ϕM

ψM


Maksmin kopule

Enakomerno zvezno porazdeljeni časi udarovNaj bo U = max{X ,Z} in V = min{Y ,Z}, kjer so X , Y in Z neodvisne.

Dodatno predpostavimo, da so X , Y in Z porazdeljene enakomernozvezno na intervalih [0, a], [0, b] in [0, c].

Označimo α = c/a > 0 in β = c/b > 0. Po prvem izreku karakterizacijedobimo

za α ≤ 1 je φα(u) ={√

αu, če je u∈ [0, α],u, če je u∈(α, 1];

za α > 1 je φα(u) ={√

αu, če je u∈ [0, 1/α],1, če je u∈(1/α, 1],

in

ψβ(v) =

1+β

2 −√(

1+β2

)2− βv , če je v < 1,

1, če je v = 1.


Maksmin kopule

EZ porazdeljeni časi udarov – razsevni diagramiα = 0.5, β = 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1α

α = 0.5, β = 0.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1α

α = 0.5, β = 1.50 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1αα/β2

α = 1.5, β = 0.5

1/α

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α = 1.5, β = 1.2

1/α

0 0.2 0.4 0.6 11/β

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α = 1.5, β = 2

1/α

0 0.2 0.6 0.8 1α/β2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Maksmin kopule

Še ena parametrična družina maksmin kopul

Za 0 < a < b < 1 in 0 < c < d < 1 definiramo odsekoma linearni funkciji

φ(u) =

ba u, za u∈ [0, a],b, za u∈(a, b],u, za u∈(b, 1];

ψ(v) =

v , za v ∈ [0, c),c, za v ∈ [c, d),1−c1−d v − d−c

1−d , za v ∈ [d , 1].

Naj bo b/a ≤ (1− c)/(d − c). Potem za vse u∈(0, 1] in v ∈ [0, 1) velja

φ∗(u) ≤ b/a < (1− c)/(d − c) ≤ ψ∗(v).


Maksmin kopule

Nadaljevanje primera

●

u

v

0 a b 1

0

c

d

1

D1

D2 D3

D4D5

u

v

0 a b 1

0

c

d

1

Slika: a = 0.35, b = 0.7, c = 0.3 in d = 0.5.


Literatura

R. B. Nelsen, An Introduction to Copulas, Springer Science+BusinessMedia, Inc., New York, 2006.J.-F. Mai, M. Scherer, Simulating Copulas: Stochastic Models, SamplingAlgorithms, and Applications, Imperial College Press, London, 2012.

A. W. Marshall, I. Olkin, A multivariate exponential distribution, J. Am.Stat. Assoc. 62 (1967), str. 30–44.

A. W. Marshall, Copulas, marginals, and joint distributions, v:L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. D. Taylor (ur.), Distributions with FixedMarginals and Related Topics, IMS Lecture Notes – Monograph Series, vol.28, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1996, str. 213–222.

M. Omladič, N. Ružić, Shock models with recovery option via the maxmincopulas, Fuzzy Sets and Systems, sprejeto v objavo 2014, DOI:10.1016/j.fss.2014.11.006.


Documents

Osnove teorije kopul in maksmin kopuleibmi.mf.uni-lj.si/sites/default/files/Ruzic_Osnove...Osnove teorije kopul Sklarovizrek Kopulesotorejzožitveskupnihporazdelitvenihfunkcij,katerihrobni