1

Országos felmérés a középiskolások harmadik osztályaiban

Vizsgakatalógus matematikából

2007/2008-as iskolaév

2008. február

2

A matematikai érettségi vizsgát kidolgozó szakcsoport

3

Tartalom 1. Matematikai vizsga leírása 4 2. Felszerelés 4 3. A tantárgy általános céljai 4 4. A felmérés általános céljai 4 5. Az anyagrészek részaránya 5 6. A pontozás és az osztályozás leírása 6 7. A felsző szint anyagrészeinek részaránya 7 8. A felső szintű felmérés mintatesztje 8 9. A felső szint képletei 19 10. Megoldások és pontozási rendszer (felső szint) 22 11. Az alsó szint anyagrészeinek részaránya 25 12. Az alsó szintű felmérés mintatesztje 26 13. Az alsó szint képletei 38 14. Megoldások és pontozási rendszer (alsó szint) 39

4

1. Matematikai vizsga leírása

Matematikai felmérésen két szinten lehet vizsgázni, alsó és felső szinten. A felmérés egységes és a tervezett időtartamot a következő táblázat mutatja: Felső szint 180 perc Alsó szint 150 perc Zárt (választási lehetőséggel rendelkező feladatok) és nyitott (tövid vagyí hosszabb válaszú feladatok) típusú feladatokat is tartalmaz. A zárt tipusú feladatok választási lehetőséget kínálnak. A tanuló a négy lehetséges válasz előtti megfelelő betűt keretezi be. A nyitott típusú feladatok egyszerű vagy összetett megoldást követelnek. Az egyszerű feladatok esetében a tanuló a feltett kérdésre válaszol, még az összetettebb megoldású feladatoknál a tanuló leírja a megoldás folyamatát és válaszol a feltett kérdésre.

2. Felszerelés

A matematikai érettségin a tanuló grafit ceruzát és radírt használhatnak, de a feladatok megoldásait a megfelelő lapra csak kék vagy fekete golyóstollal írhatják be. Szükségük lesz mértani felszerelésre (háromszögvonalzó és körző) és zsebszámológépre (matematikai funkciókkal ellátott). Használhatják azokat a képleteket is, amelyek az alsó és felső szintű érettségin is mellékelve lesznek.

3. A tantárgy általános céljai

A matematika tanításának általános céljai

1. a logikai gondolkodás és következtetés, a matematikai intuíció és kreativitás fejlesztése

2. a probléma felállításának, formulációjának és megoldásának képessége matematikai összehasonlítások és megoldás-elemzések segítségével

3. az egyszerűbb matematikai alkalmazások képességének fejlesztése, valamint a feltételezésekhez viszonyuló kritikai hozzáállás

4. a racionális és hatékony technológiai képesség fejlesztése 5. a rendszeresség, kitartás és a pontosság képességének elsajátítása

4. A felmérés általános céljai

Ezzel az országos vizsgával a harmadik középiskolás osztályok tanulóinak tudásszintjét és az eddig elért kompetencióját mérjük fel.

5

A vizsga felméri:

• a matematikai nyelv használati szintjét a feladatok megoldásánál • az analitikus, táblázati és grafikus formában megadott feladatok alkalmazási

szintjét és s kapott eredmények logikus értelmezését • az adott probléma matematikai felírásának képességét, valamint a kapott

eredmény helyességének felismerését • a matematika különböző ágazatai közötti össefüggések felismerését • a feladatok megoldásánál alkalmazható különböző matematikai technikák

használatát • a zsebszámológép használatát

5. Az anyagrészek részaránya

A felső szintű matematikai vizsgában szereplő anyagrészek részarányát a következő táblázat mutatja:

Felmérési egységek Százalékarány (%) Számok és algebra 20 Függvények 25 Egyenletek és egyenlőtlenségek 20 Geometria 25 Alkalmazás 10 Összesen 100

Az alsó szintű matematikai vizsgában szereplő anyagrészek részarányát a következő táblázat mutatja:

Felmérési egységek Százalékarány (%) Számok és algebra 45 Függvények 10 Egyenletek és egyenlőtlenségek 15 Geometria 15 Alkalmazás 15 Összesen 100

Az egyes felmérési egységek szézalékaránya az összpontszámhoz viszonyul. Lehetséges ±10%-os eltérés.

6

6. A pontozás és az osztályozás leírása

A választási lehetőséggel rendelkező feladatoknál minden helyesen megoldott feladat egy pontot ér. A pontatlan válaszokra nem jár negatív pont. Az egyszerűbb feladatok mindegyike egy pontot ér. Ha a feladat több egyszerűbb részből áll, akkor mindegyik egy pontot ér. Az összetettebb feladatoknál a feladat felállítását, eljárását és feleletét a megadott pontozási rendszer szerint értékeljük.

7

7. A felsző szint anyagrészeinek részaránya

Számok és algebra 20% Függvények 25% Egyenletek és egyenlőtlenségek 20%

Geometria 25% Alkalmazás 10%

• az N, Z, Q, R és C halmazok megkülönböztetése • alapműveletek (+, -, ·, :, gyökvonás, hatványozás,

abszolút értékek meghatározása, kerekítés) • százalékok és arányok használata • hatványokkal és gyökökkel való műveletek • műveletek algebrai kifejezésekkel és algebrai törtekkel • zsebszámológép használata • hossz-, terület-, térfogat mértékegységgel, valamint az

idő, tömeg és pézegységgel való számolás

• a függvény fogalma és megadásának módja, valamint a fügvényekkel való műveletek (+, -, ·, :)

• a függvény növekedése/csökkenése, párossága/páratlansága és periodikussága

• a lineáris függvény és grafikonja

• a másodfokú függvény és grafikonja

• az abszolút értékes függvény és négyzetgyökös függvény ismerete és grafikonja

• az exponencionális és logaritmus függvény és grafikonja

• trigonometrikus függvények ismerete és grafikonjai

• lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

• másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

• az abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek, valamint a négyzetgyökös egyenletek megoldása

• egyszerűbb polinomos és racionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

• exponencionális és logaritmus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

• trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

• a fenti egyenletekből alkotott rendszerek megoldása

o Elemi geometria • az alapvető síkbeli

alakzatok geometriájának ismerete

• hasáb, gúla, henger, kúp és a gömb ismerete

o Trigonometria • a derékszögű

háromszög trigonometriájának ismerete

• sinus- és cosinustétel ismerete

• a trigonometria alkalmazása síkbeli és térbeli feladatokban

o Koordináta

geometria • az egyenesen

elhelyezkedő és a síkbeli koordináta rendszer alkalmazása

• a vektor fogalma és műveletek alkalmazása

• az egyenes egyenletének ismerete

• az elemi másodrendű görbék fogalmainak, egyenleteinek és vázlatainak ismerete

feladatok megoldása a • számok, • algebra, • geomeria, • függvények, • egyenletek, • egyenlőtlenségek • grafikus

bemutatások alkalmazásával

8

8. A felső szintű felmérés mintatesztje

Az 1-11-ig terjedő feladatokban keretezd be a helyes választ

1. Az másodfokú egyenletre érvényes a következő állítás

A. az egyenletnek két (különböző) valós megoldása van B. az egyenletnek nincsenek valós megoldásai C. az egyenletnek csak egy (kétszeres) megoldása van D. az egyenlet nem megoldható

2.

9

3. Egy tablettában 5.2·107 hasznos baktérium van. A 10 éves gyermek legtöbb két ilyen tablettát vehet be naponta háromszor. Legtöbb hány hasznos baktériumot vihet be a gyermek a szervezetébe egy nap?

4. A egyenlet irracionális megoldása:

5. Az iskolai étterebmen felszolgált szendvicsben a szénhidrátok és a fehérjék aránya 20:3. Ha a szendvics 87.6g szénhidrátot tartalmaz, akkor mennyi fehérje van benne?

10

6. Ha és akkor

7. Az ábrán bejelölt K, L, M, N, P pontok abszcisszái a következő egyenlet megoldásai:

8. Az vektor felírható:

11

9. A felsorolt számok közűl melyik nem egyenlő -dal?

10. Az egyenlő szárú trapéz alapjainak hossza 20cm és 6cm, területe pedig 31.2cm2. A trapéz szárának hossza:

A. 14cm B. 13cm C. 7.4cm D. 3.6cm

11. A gáz 15%-kal drágult. Mennyivel kell leárazni, hogy a végső ára 5.5%-kal legyen több mint az eredeti ár?

A. 7.80 % B. 8.26% C. 8.96% D. 9.50%

12

Válaszolj a 12-22-ig terjedő feladatokra

12. Az a mely valós értékére nincs megoldása a rendszernek?

Válasz:______________________________

1 pont

13. Vázold sík azon pontjait melyek az x2+y2+6x-8y+9=0 egyenlettel

vannak megadva.

1 pont

13

14. A 100m-es síkfutás világcsúcsa 9.73s. Fejezd ezt ki km/h-ban.

Válasz:______________________________

1 pont

15. Az f és g függvények grafikonjai az alábbi ábrán láthatók:

Az f(x)≥g(x) egyenlőtlenség megoldása a következő intervallum:_______________

1 pont

16. A (-1+2i)3 számot írd fel a+bi alakban.

Válasz:______________________________

1 pont

14

17. Határozd meg az összes valós számot melyre az adott függvény értelmezve van f(x)=log(3x-1)

Válasz:______________________________

1 pont

18. Határozd meg annak a szögnek a nagyságát melyet az y=2x+3 egyenes az x tengely pozitív irányításával zár be.

Válasz:____________°________'__________"

1 pont

19. A 36π cm3 térfogatú fémgömböt hengerbe olvasztjuk át. Határozzátok meg a henger magasságát, ha a henger alapjának sugara egyenlő a gömb sugarával.

Válasz:______________________________

1 pont

15

20. Rajzold le a függvények grafikonjait!

2 pont

21. Az x-2y+8=0 egyenessel párhuzamosan érintőket húzunk az x2+(y-1)2=20 körvonalra. Határozd meg az érintők egyenleteit.

Válasz:______________________________

______________________________

2 pont

16

22. Írjátok le a egyenlet összes megoldását melyek az intervallumban vannak.

Válasz:______________________________

2 pont

23. A futballmérkőzésen a kapus kirúgja a labdát. A labda útját a h=-0.0126x

2+0.635x egyenlet írja le, ahol h a labda magassága, x a kirúgés helyszínétől való vízszintes távolság. A h és x nagyságok méterekben vannak kifejezve.

a) Milyen magasan van a labda ha horizontális távolsága a kirúgás helyszínétől 15m?

Válasz:______________________________

1 pont

b) A kirúgás helyszínétől mekkora távolságon ér földet a labda?

Válasz:______________________________

1 pont

c) Mekkora a labda legnagyobb elérhető magassága?

Válasz:______________________________

1 pont

17

Oldjátok meg a 24 és 25-ös feladatokat és vezessétek le a megoldást.

24. Adott az függvény.

a) Határozd meg a függvény kilengését és alapperiódusát

Válasz: Kilengés:______________________________

Alapperiódus:__________________________

b) Razoljátok le a függvény grafikonját a intervallumon

2 pont

18

25. Dubravka és Ivána egy 500m hatósugarú elektronikus készüléken keresztül kommunikálnak. Dubravla egyhelyben áll Ivána pedig az ábrán látható módon mozog. Hány métert tud Ivána megtenni a kapcsolat megteremtésétől a kapcsolat megszünéséig?

Válasz:______________________________m

4 pont

19

9. A felső szint képletei

• Komplex szám:

•

• Másodfokú egyenlet:

• Viéte szabályok:

• A parabola csúcspontja:

• A háromszög területe:

• Egyenlőoldalú háromszög: magasság: , terület:

• Paralelogramma területe: •Trapéz területe:

• Kör területe: •Kör kerülete:

• Körcikk területe: •Körív hossza:

• Hasáb és henger térfogata: • Hasab és henger felszíne:

• Gúla és kúp térfogata: • Gúla felszíne:

20

• Kúp felszíne:

• Gömb térfogata: • Gömb felszíne:

• A derékszögű háromszögben: szemközti befogó szögmelletti befogó szemközti befogó sinα = ————————— , cosα = —————————, tgα = ————————— átfogó átfogó szögmelletti befogó

• Sinustétel cosinustétel:

•

• Két pont közötti távolság:

• A szakasz felezőpontjának koordinátái:

• Háromszög területe:

• Vektor:

• Vektorok skaláris szorzata

• Egyenes egyenlete:

• két egyenes közötti szög

• A pont távolsága a egyenestől:

21

Másodrendű görbék

Egyenlet A görbe egy pontjában húzott érintő

Az y=kx+l egyenes és a görbe érintési feltétele

Körvonal köréppontja S(p,q) Ellipszis fókuszai F1,2(±e,0) Hiperbola fókuszai F1,2(±e,0)

Parabola fókusza

• Számtani sorozat:

• Mértani sorozat:

• Mértani sor:

• Szorzat derivltja: hányados deriváltja:

• A függvény grafikonjára húzott érintő egyenlete az adott T pontban:

• Derivációk:

22

10. Megoldások és pontozási rendszer (felső szint)

23

24. a) kilengés 1, alapperiódus 2π

24

Az összetett feladatok pontozási rendszere Általános megjegyzések: 1. A különböző módon kapott megoldásokat ismerjük el. 2. A tévesen átírt feladat elismerhető: PP="Tévesen átírt feladat" - megengedhető ha nem változtat és nem egyszerűsíti le a feladat értelmét - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) 3. Az összetett feladatokban elismerhető a kisebb hiba: SG="Kövesd a hibát" - kisebb hiba esetén alkalmazható akkor ha nem változtat a feladat lényegén és nem egyszerűsíti le azt, a levezetésben pedig megtalálható a feladat követeltménye. - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) Feladatok: 20. feladat: a) pontosan lerajzolt grafikon - 1 pont b) pontosan lerajzolt grafikon - 1 pont 21. feladat: egy pontos egyenlet - 1 pont második pontos egyenlet - 1 pont 22. feladat: mindhárom megoldás helyes - 2 pont pontos általános megoldás - 1 pont egy vagy két pontos megoldás - 1 pont 24. feladat: a) pontos kilengés - 1 pont pontos alapperiódus - 1 pont b) pontosan lerajzolt grafikon - 2 pont pontatlanság a grafikonon - 1 pont (lehetséges a "Kövesd a hibát" alkalmazása a 24.a feladatból) 25. feladat: a probléma pontos felállítása (alkalmazása) - 1 pont a trigonometria helyes alkalmazása - 1 pont a zsebszámológép helyes használata - 1 pont pontos végeredmény - 1 pont (alkalmazható a "Kövesd a hibát")

25

11. Az alsó szint anyagrészeinek részaránya

Számok és algebra 45% Függvények 10% Egyenletek és egyenlőtlenségek 15%

Geometria 15% Alkalmazás 15%

• megkülönböztetni az N, Z, Q, R halmazokat

• alapműveletek (+, -, ·, :, gyökvonás, hatványozás, abszolút értékek meghatározása, kerekítés)

• százalékok és arányok használata

• műveletek algebrai kifejezésekkel és algebrai törtekkel

• zsebszámológép használata • hossz-, terület-, térfogat

mértékegységgel, valamint az idő, tömeg és pézegységgel való számolás

• a függvény fogalma és megadásának módja

• a linéáris függvény és grafikonja

• a másodfokú függvény és grafikonja

• az exponencionális függvény és grafikonja

• lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

• másodfokú egyenletek megoldása

• egyszerűbb exponencionális egyenletek megoldása

• a fenti egyenletekből alkotott egyszerűbb rendszerek megoldása

• az alapvető síkbeli alakzatok geometriájának ismerete

• hasáb, gúla, henger, kúp és a gömb ismerete

• az egyenesen elhelyezkedő és a síkbeli koordináta rendszer alkalmazása

• az egyenes egyenletének ismerete

Feladatok megoldásai • a számok • algebra • geomeria • függvények • egyenletek • egyenlőtlenségek • grafikus

bemutatások alkalmazásával

26

12. Az alsó szintű felmérés mintatesztje

Az 1-11-ig terjedő feladatokban keretezzétek be a helyes megoldást.

1. Az ábrán látható zárt intervallumok közös részében:

A. 5 egész szám B. 4 egész szám C: 3 egész szám D. 2 egész szám van

2. Ugyanannak a könyvnek Márkó 2/3, Anna 7/11, Pero 5/6 és Visnya 1/2-ed részét olvasta el. Melyikük olvasott el legtöbbet?

A. Márkó B. Anna C. Pero D. Visnya

3. A matematika vizsgán Luka a lehetséges 35 pontól 21 pontot kapott. A vizsga hány százalékát oldotta meg eredményesen?

A. 14% B. 21% C. 40% D. 60%

27

4. Ha x-y-3=0 akkor y egyenlő:

5. A 3-2x<0 egyenlőtlenség megoldás halmazába a következő szám tartozik:

6. A képen látható egyeneshez a következő pont tartozik

7.

28

8. 12.3 óra: A. 12 óra és 3 perc B. 12 óra és 18 perc C. 12 óra és 20 perc D. 12 óra és 30 perc

9. Egy tablettában 5.2·107 hasznos baktérium van. A 10 éves gyermek legtöbb két ilyen tablettát vehet be naponta háromszor. Legtöbb hány hasznos baktériumot vihet be a gyermek a szervezetébe egy nap?

29

10. Melyik ábra mutatja az függvény grafikonját?

11. A derékszögű háromszög oldalhosszúságai 3cm, 4 cm és 5cm. A háromszög területe egyenlő:

30

Felelj a 12-22-ig terjedő feladatokra

12. Oldd meg az egyenlőtlenséget: -5+4(x-2)=19-4x

Válasz: x=_____________________________

1 pont

13. A 250 17%-a egyenlő__________________________________

1 pont

14. Végezd el a szorzást és hozd egyszerűbb alakra: (x-4)(3+x)

Válasz:______________________________

1 pont

31

15. Oldd meg a rendszert:

Válasz: x=____________________________

y=____________________________

2 pont

16. Oldd meg az egyenletet: 10x2-3x-1=0

Válasz: x1=____________________________

x2=____________________________

2 pont

32

17. A mandarin ára egyenesen arányos a tömegével: Tömeg 3 kg 2.5 kg

Ár 13.5 kn 56.25 kn

2 pont

18. Töltsd ki az üres helyeket:

2 pont

33

19. Oldd meg az egyenletet:

Válasz: x=____________________________

1 pont

20. Határozd meg a képen látható alakzat kerületét

Válasz: ____________________________cm

1 pont

34

21. Zavizani hótakaró A grafikon a Zavizanon egy hét alatt lemért hótakaró vastagságát mutatja: hótakaró vastagsága (cm)

mérés időpontja

a) Mekkora a vasárnap 6:00 órakor mért hótakaró vastagsága

Válasz: ____________________________cm

1 pont

b) A hótakaró vastagsága két alkalommal nőtt. Összesen hány centiméter hó esett e két alkalommal?

Válasz: ____________________________cm

1 pont

22. Hűtőszekrény A hűtőszekrényben lévő T hőmérséklet és a hűtőszekrény bekapcsolása utáni t idő összefüggését a következő képlet mutatja: T(t)= -1.2t+22. A hőmérséklet °C-ban, az idő pedig percekben van kifejezve.

35

a) Mekkora a hőmérséklet fél órával a hűtőszekrény bekapcsolása után?

Válasz: ____________________________ °C

1 pont

b) A bekapcsolás után hány perccel lesz a hűtőszekrény hőmérséklete 0°C?

Válasz: ____________________________ min

1 pont

36

Oldd meg a 23. és 24-es feladatot és vezesd le a megoldást

23. Adottak f(x)=x2-2x-3 és g(x)=-x-1 függvények.

Rajzoljátok le mindkét függvény grafikonját ugyanabba a koordináta rendszerbe.

3 pont

37

24. Egészséges táplálkozás Egy felnőtt személy napi szénhidrát szükséglete 250g, fehérje szükséglete pedig 45g. Az A táplálék kilogrammonként 10g szénhidrátot és 160g fehérjét tartalmaz, a B táplálék kilogrammonként pedig 220g szénhidrátot és 20g fehérjét. Legkevesebb hány kilogramm A és B táplálékot kell elfogyasztani, hogy kielégítsük a napi szénhidrát és fehérje szükségletet?

Válasz: A táplálék____________________________ kg

B táplálék____________________________ kg

3 pont

38

13. Az alsó szint képletei

• A másodfokú egyenlet megolgása

• Parabola csúcspontja

• Háromszög területe

• Paralelogramma területe

• Kör területe • Kör kerülete

B=alapterület, P=oldallap terület, h=magasság hossza

• Hasáb és henger térfogata • Hasáb felszíne

• Gúla és kúp térfogata • Gúla felszíne

• Gömb térfogata

• Két pont közötti távolság:

• Egyenes egyenlete:

• Az egyenesek párhuzamossági feltétele

39

14. Megoldások és pontozási rendszer (alsó szint)

17.

Tömeg 3 kg 12.5 kg 2.5 kg Ár 13.5 kn 56.25 kn 11.25 kn

20. A kerület

40

24. A táplálék 0.14 kg, B táplálék 1.13 kg.

41

Az összetett feladatok pontozási rendszere Általános megjegyzések: 1. A különböző módon kapott megoldásokat ismerjük el. 2. A tévesen átírt feladat elismerhető: PP="Tévesen átírt feladat" - megengedhető ha nem változtat és nem egyszerűsíti le a feladat értelmét - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) 3. Az összetett feladatokban elismerhető a kisebb hiba: SG="Kövesd a hibát" - kisebb hiba esetén alkalmazható akkor ha nem változtat a feladat lényegén és nem egyszerűsíti le azt a levezetésben pedig megtalálható a feladat követeltménye. - az előrelátott pontszámból 1 pont levonást idéz elő (csak egyszer a feladat végén) Feladatok: 15. feladat: Pontosan kiszámolt x ismeretlen - 1 pont Pontosan kiszámolt y ismeretlen - 1 pont 16. feladat: Egy pontos eredmény kiszámítása - 1 pont Második pontos eredmény kiszámítása - 1 pont 17. feladat: A mandarin pontos tömege - 1 pont A mandarin pontos ára - 1 pont 18. feladat: Pontosan kitöltött 3 négyzet - 2 pont Pontosan kitöltött 2 négyzet - 1 pont 23. feladat: A g lineáris függvény pontos grafikonja - 1 pont Az f másodfokú függvény pontos grafikonja (pontos alak és pontos zérushelyek) - 2 pont Az f másodfokú függvény pontatlanul lerajzolt grafikonja - 1 pont (Alkalmazható a "Kövesd a hibát") 24. feladat: A probléma pontos felállítása (alkalmazása) - 1 pont Az A táplálék pontos tömege - 1 pont A B táplálék pontos tömege - 1 pont (Alkalmazható a "Kövesd a hibát")