Síkidomok kerület- és területképletei

Ezek kiszámítása oly sok feladatban előfordulhat, részfeladatként is akár, hogy érdemes őket

alaposan ismerni. Ne kelljen mindig azért rettegned, mert éppen nem tudod azt a részfeladatot!

A körnek és részeinek egy külön fejezetet szenteltem, hogy ez itt rövidebb lehessen.1 Azokat

abban keresd! Itt igazából csak szögletes cuccokra vonatkozó dolgokat találsz.

Ez ismét tipikusan egy olyan fejezet, ahol a kicsikhez, és nagyokhoz is szólok egyszerre. Így

találsz itt olyan feladatokat is, amelyek játéknak tűnhetnek, de csak azért mert az egész matematika

egy nagy játék. És találhatsz itt olyan feladatokat is, amelyeket nem is értesz, és nagyon komolynak

látszanak. Igen, a matematika egy játékosan komoly dolog. Amiket nem értesz, mert még nem is kell

értened, azokat tekintsd úgy mintha nem is látnád őket. (A legtöbb ember úgy is ezt teszi felnőtt

korában. Ettől egy kicsit te is felnőttnek érezheted magad.) Na persze, ha értened kell, mert már

tanultál olyan elemeket, melyeket ismerősnek kellene vélned, akkor ne nézz át rajtunk, hanem tessék

megérteni őket!

A minden esetben az oldalhosszak összegét jelenti.

A kiszámításának elvét pedig elképzelheted úgy is, mintha gondolatban egységnyi kis

négyzetekből álló négyzethálós lapra fektetnénk a vizsgálandó síkidomot, és azt kutatnánk ki, hogy

mennyit takar el a kis egységnégyzetekből. Természetesen nem csak az egészen, hanem a részben

eltakartakat is figyelembe vesszük. Méghozzá olyan pontosan, ahogy csak képesek vagyunk rá. Így

gyakran kaphatunk törtszámot is eredményül. Persze mikorra már ismerjük majd a területképleteket

nem mindig fogunk négyzethálózni, de azon a szinten is az alapelv és a maga a fogalom is erre nyúlik

vissza.

Ugorjék hát a majom a levesbe, kezdjük!

A következő ábrán látható alakzatok kerületét és területét keressük. Ahol lehet, állapítsuk

meg különböző módszerekkel is a területeket!

(Érdemes darabolni az alakzatokat. Ezek segíthetnek mind a kerületek, mind a területek

meghatározásában. A kerület kiszámítása, tekintve, hogy az az oldalhosszak összege, a ferde oldalak

„megmérésének” nem mindig megvalósítható volta miatt, tartalmazhat olyan módszert, amit a kicsik

nem ismernek. Akkor azt bátram hagyják ki! A területet viszont ők is meg tudják mondani minden

esetben. Persze ezt itt úgyis együtt fogjuk, így nem kell sírni, ha nem megy ránézésre, viszont ha ez

után sem megy, akkor én fogok rátok csúnyán nézni. Az a nagyoknak való módszer pedig a ferde

oldalhosszak meghatározásában a alkalmazása. Nyolcadik osztálytól fölfelé

mindenkinek ismernie kell. Ha mégsem ismered, akkor lapozz oda a könyvben!)

1 Nem igazán idomult ide.

Minden alaakzatot, melynél szükséges, egészítsük ki téglalappá:

Majd eme téglalapokat ügyesen még kisebb téglalapokká darabolva, ha szükséges:

A zöldekkel jelölt feldarabolások egyértelműen segítenek. Viszont a feketével jelöltek

kibogarászásához, ne feltétlenül egyszerre, hanem estlegesen külön-külön tekintsük a

vágásvonalakat! Mert csak akkor látjuk, hogy mire is jók.

Nem sorban, hanem kb. nehézség szerint haladva. Előbb nézzük a területeket, mert azok

egyszerűbbek, és legvégül vesszük majd mindegyiknek a kerületét.

A legegyszerűb a alakzat területe, mert abban könnyű megszámolni a kis négyzetek számát, mert

egész számot kapunk. Éppen úgy ahogy számolgatta a bárányokat elalvás előtt, egy

fényképről. Megszámoljuk, hogy hány oszlopnyi kis négyzetből és hány sornyi kis négyzetből áll a

téglalap. Eme számok szorzata lesz a kis négyzetek száma. Persze, aki nem hiszi, nyugodtan számolja

meg egyesével, de azzal az a baj, hogy lassú, és könnyű elszámolni.

Így, ha kikiáltjuk a kisnégyzeteket egységnégyzetnek, akkor ennyi a terület. És még mértékegységgel

sem kell vacakolnunk. Ilyenkor csak puszta szám a válasz. Pontosabban lehet úgy is mondani, hogy

De inkább legyünk most trehányak és ne mondjuk így, hanem csak a számot

mondjuk!

Az alakzatunk egy háromszög vót, amíg nem csináltunk belőle négyzetet. Csak azt kell észrevenni,

hogy ennek a négyzetnek éppen a fele a háromszög. Tehát ha a négyzet területét tudom, akkor

ennek a felét kell csak venni. Mennyi hát a négyzet területe?

És ennek a fele a háromszög területe: .

A alakzatunk felvágható egy téglalapra és egy háromszögre. E kettő területet összeadva megkapod

az alakzat területét. És te így számolod ki, én meg máshogy. Mert úgy egyszerűbb, ha felhasználjuk

azt, hogy a kiegészített alakzat egy téglalap, sőt egy négyzet, és a kiegészítéssel, csak egy

háromszöggel lett több mint az eredeti alakzat. Így csak ezt a kis kegészitést kell levonni a

négyzetünkből. Érdemes megjegyezni ezt a trükköt, mert így általában hamarabb célhoz érünk. És

természetesen nem számít csalásnak. A matekban nincs olyan, hogy csalás. Minden szabad. Kivéve

butaságokat tenni. Mert az nem tűri Őfelsége, a Tudományok Királynője. Tehát a négyzet területe:

És a kis kiegészítő háromszög területe, éppen a zöld vonal alatti téglalap területének fele. De voltam

oly bölcs és előrelátó, hogy ez a téglalap, éppen a teljes négyzet fele lett. Tehát a kis háromszög

területe, a négyzet területének a felének a fele, vagyis a negyede. Tehát egy negyedét kell kivonni a

teljes négyzetnek. Vagyis visszamarad a háromnegyede:

Ennyi hát a alakzat területe. Ha nem hiszed, számolj utána másképp. Még legalább két kicsit

különböző módszert találsz. De az eredmény nem lehet különböző. Mert akkor vagy én számoltam el,

vagy te.

Az alakzat egy egyenlőszárú trapéz, valaki már biztosan hallotta a nevét, ő egy híresség. Mondhatni

celeb. De legalábbis szép neve van. Kényelmessé teszi a területének kiszámítását, hogy ha téglalappá

egészítem ki, akkor két azonos méretű háromszöget biggyesztek hozzá. És láthatóvá válik a zöld

vonalakkal, hogy a kiegészítő háromszögek éppen akkorák, mint a trapéz háromszög nyúlványai. Így

ha gondolatban az egyik kis háromszög nyúlványát az eredeti trapéznak a másik nyúlványhoz

biggyesztem, akkor egy olyan téglalapot kapok, melynek egyik oldala az eredeti alakzat két

párhozamos oldalának a számtani közepével, azaz összegük felével egyezik meg, másik oldala, pedig a

trapéz magassága lesz. Íme:

1. Áthelyezés. 2. Át van helyezve.

Így a mi trapézunk területe nem más, mint az így keletkezett téglalapé:

De te kiszámolhatod úgy is, hogy a nagy (kiegészített téglalap területéből kivonod a kiegészítő

háromszögek területét. Ugyanezt kapjuk? Naná! Miért? Miért is lesz az összebarkácsolt téglalap

egyik oldala éppen a két párhuzamos oldal számtani közepe? Legyen pl. a hosszabbik párhuzamos

oldal egységnyi, a rövidebb egységnyi. Így az egyik hároszög nyúlvány ezekkel párhuzamos oldala

éppen

Ha ezt hozzá toldjuk az rövidebb oldalhoz, mert ez történik áthelyezéskor, akkor ezt a hosszt kapjuk:

Ami közös nevezőre hozva:

Ami valóban a számtani közepük, azaz összegük fele.

Az alakzat egy paralelogramma, melyre az előbbi trükk éppen úgy eljátszható.

1. Áthelyezés. 2. Áthelyezve.

Így a vízszintes oldal hossza nem változik, mert amit levágunk az egyik végén, azt hozzá is ragasztjuk a

másik végén.

Az és az alakzatok esetén egyformán járhatunk el, mivel mindkettő egy konvex deltoid. Igaz

ugyan, hogy az eredetileg egy rombusz akart lenni, de mostmár így marad. Én ugyan nem rajzolok

helyette másikat! Ha jól meg nézzük, és ebben a zöld vonalak sokat segítenek, észrevehetjük, hogy az

alakzataink a kiegészített téglalapnak éppen a felét töltik ki. Tehát simán kiszámoljuk a téglalapok

területét, ami két egymásra merőleges oldaluk szorzata, és ennek vesszük a felét.

Az -re:

Az -re:

A és alakzatoknál a fekete vonalak nem teszik egyszerűbbé a terület kiszámítását, de majd jól

jönnek a kerületek kiszámításánál. Most a területhez, egyszerűen vonjuk le a téglalapjaik területeiből

a „felesleges” háromszögek területeit! Az ábrákhoz lapozhatsz előre is. Talán arra már közelebb van,

mint visszafelé.

A háromszög téglalapja egy négyzet. sora és oszlopa van. Így a területe:

A „felesleges háromszögek sorban, a bal felső, jobb felső, bal alsó. Jaj, mintha a fogorvos mondaná!

Ezek területei ebben a sorendben: (ugyi, felezzük majd az oszlopok és sorok szorzatát, hiszen

háromszögekről van szó)

Tehát ezeket kell levonni a négyzet területéből:

A egy szimmetrikus konkáv deltoid. Bennfoglaló téglalapjának területe:

Alsó és felső „felesleges”háromszöge azonos, szakszóval egybevágó, hiszen szimmetrikus alakzatról

van szó. Így ha együtt számítjuk területüket a háromszög területnél szokásos felezést elhagyjuk,

hiszen úgyis annak a dupláját vennénk a következő lélegzetvételnél. Akkor meg minek felezni, ha

utána azt majd úgy is duplázzuk? Na jó, szoktunk ilyen trükköket tenni olykor a matematikában, de

most ne tegyük! Csak tuggyáá rúla, hogy olyan is va’. Tehát együtt eme két alsó és felső háromszög

területe:

A baloldali „feleséges” háromszög területe, egy -os tégalalap területének a fele:

Tehát a téglalap területéből levonva e háromszögek területeit:

Majd látjuk a képleteknél, hogy ennél gyorsabban és egyszerűbben is kiszámolhatjuk.

Itt a kis négyzeteket most nem egységnyi területük, hanem egységnyi oldalhosszuk miatt tudjuk

felhasználni.

A egy téglalap. Két-két egyforma oldala van. Az egyik ilyen oldalpár egységnyi, a másik

egységnyi hosszú. Tehát ezeket kell mind összeadni:

Ja, hogy az előbb, a területek számításánál végig kimaradt az egységnyi, mint mértékegység szó? Nem

mondtam, hogy nem mondom? Akkor most mondom, hogy nem mondom. Sőt most se mondom.

Vagyis

Az egy derékszögű háromszög. Két oldalának hossza könnyen lemérhető az egységnégyzetek

oldalaival való párhuzamosságuk miatt. A harmadik oldal viszont nem mérhető elég pontosan. Ezért

kiszámoljuk. ( Ok. A kicsik lemérhetik vonalzóval.) A két könnyen lemérhető oldalhossz: és . A

harmadik pedig így számolható Pitagorász felismerés szerint:

És kérem, ez így a legpontosabb. Ha elkezdem kerekítgetni, az lehet, hogy egyesek számára

kézzelfoghatóbb, viszont nem oly pontos, mint ez. Tehát, ha pontos a fontosság…izé…fontos a

pontosság, akkor hagyjuk így. Most a síró-pityogó Zolika számára kiszámolom. Mert igaz, hogy ő már

éves, de még mindig nem tudja, hogy mi az a gyökvonás. Már majdnem éve tanítom őt, de úgy

látszik hiába.

Így a három oldalhosszt összeadva, a kerület:

Ugye mindenki tudja, a Zolika bácsin kívül, hogy a az a „sacc-per-kábé” jele?

A alakzatnak három könnyen mérhető és egy ferde, tehát hosszát számolandó oldala van. A

számolásban hupikék barátaink segítenek minket, akiket voltam bölcs berajzolni. A 2

módon mérhető oldalak hossza, sorban a balszélsőé, felsőé, és a jobbszélsőé: És a ferde

pedig a kékek szerint:

Ami Zolika kedvéért zacc-pör-kávézva: .

Tehát e négy oldalhossz összege a kerület:

Az paralelogramma, mint minden sic. két-két azonos hosszúságú oldallal

rendelkezik. Ebből most az egyik hossz könnyen mérhető, a másik meg számolható. Amire lehetett

2 Ejtsd: . Ánglius szlengben ez annyit tesz: könnyen, egyszerűen megtehető.

számítani, mert ferde. A vízszintesek hossza: egységnyi. Tessék, mi? Egységnyi. A rézsútos hossz, a

kékek szerint, Pitagorászra hagyatkozva:

Ki mondta, hogy a gyökös mindig tört? Tehát kettő darab és kettő darab hosszúság összege a

kerület:

A egy szimmetrikus trapéz. Van két egyforma hosszú oldala, ezek a szárak. Őket most számolni kell.

A két egymással párhuzamos oldalakat alapnak hívják. Hosszú alap, és rövid alap. Pedig az egyik

igazából kalap. Mert a tetején van. Ezeket lemérhetjük az egységnégyzetekkel: . A kék vonalak

pedig segítenek a ferdék hosszát megállapítani:

Tehát két ilyen szár meg egy hosszú-, meg egy rövidalap összege lesz a kerület:

A háromszög mindhárom oldala egy-egy számítandó dög. De kék kis barátaink lehetővé teszik

ennek könnyed elvégzését. Sorban a bal felső, jobb felső, és bal alsó oldalak hossza hát:

Ezek összege a kerület:

Az és deltoidok kerületének kiszámítása pedig ezekután, legyen házi feladat!

És mi meg most mán lássuk a képleteket! Melyek általánosan megadják a receptet, ha tudod a

megfelelő adatokat.

Háromszög

A kerület az oldalak hosszának összege. Mivel itt általában három különböző hosszúságú oldal van,

melyek jele többnyire és , ezért a képlet ez:

Ha az oldalak között van két egyforma, vagy mind egyforma, akkor is ez a képlet, de akkor így is

írhatod:

Mivel ez hosszúságok összege, így a mértékegység is eszerint való. Tehát,

És nem lehet négyzetes, mint pl. ÁÁÁÁÁ! Még egyszer hangsúlyozom, hogy ÁÁÁÁ!

─ Akkor ezek szerint lehet. ─ nyögi be Emese.

─ Emese, örülök neked. Milyen jó, hogy te is vagy nekünk.

Már most érdemes megjegyezni azt a tényt, hogy terület számításakor tulajdonképpen

mindig két olyan hosszúságot szorzunk össze, amik egymásra merőlegesek. Pl. és ahozzátartozó

Még magasabb szintenű ismerettekkel felvértezve is, mert ekkor a szögföggvények

éppen olyan vetületi hosszt adnak, ami igazzá teszi, amit mondtam. És nem csak háromszögre igaz,

hanem minden alakzatra. Még görbe cuccokra is igaz, csak azokat itt nem vesszük. Bár ott leginkább

integrálszámításból nyert eredmények adják a képleteket. De ott is ebből az egyszerű igazságból

indulunk ki. Még akkor is, ha nem mondjuk ki hangosan. Én most kimondtam. Remélem ettől senki

nem ijedt meg. Olykor az igazság fájdalmasan rémisztő. Főleg az egyszerűsége miatt.

A háromszög esetén az alap az egyik oldal, pl. . A hozzá tartozó magasság, az oldal és a vele

szemközti csúcs távolsága. Jelben ezt így adjuk vissza: . A kis index jelzi, hogy melyik oldalhoz

tartozó magasság is az. Így vannak ilyen párok is: és . Illetve és . És ne felejtsük el hogy a

háromszög területe, mindig egy olyan téglalap területének fele, melynek egyik oldala a háromszög

egyik oldalával egyezik meg, másikoldala, pedig a háromszög eme oldalához tartozó magasságának

hosszával.

Így a képlet általánosan:

Amivel teljesen egyenértékűek ezek:

Mindig azt használd, amihez tudsz elég adatot.

A háromszög területe csak két dologtól függ. Az alap és a hozzá tartozó magasság hosszától. Az ábrán mindegyik háromszög, melynek a piros vízszintes vonal az alapja és a sárga függőleges a magassága, ugyanakkora területű. Hiszed vagy sem. Bizonyítás: a kislányom életére esküszöm! Házi feladat, hogy belásd! Már tanultunk ilyet.

A terület mértékegysége mindig négyzetes, mivel egy hosszúság lett szorozva egy másik

hosszúsággal, így mértékegységeik is szorzódtak. Tehát de ezeket nem úgy

olvassuk ám ki, hogy "milliméter a káttő", deciméter a káttő",3 hanem így „négyzet milliméter”,

„négyzet deciméter”, stb.

Nagyobbak más képleteket is tudnak használni:

Héron képlet:

Ahol is az a félkerület jele. Tehát

Sőt ha ezt behelyettesítjük a Héron képletbe, akkor egy még bonyodalmasabbat kapunk, amit éppen

úgy nem vezetek le, mint az előzőt se, mert piszok hosszú lenne, de a kislányom életére esküszöm,4

hogy ez egy helyes képlet:

És tök mindegy, hogy melyik oldal az vagy . Ahogy kedved tartja. Azt kell csak megjegyezni, hogy

a gyök alatti első tagból hiányzó oldal négyzetének előjele mindig negatív legyen a zárójelben.

Ha ismerjük a háromszögbe írható kör sugarát, akkor azt is felhasználhatjuk:

Amit könnyű is belátni:

3 Nehéz elhinni, de én ismertem egy embert, aki így olvasta ki. Lám, nem a Zolika a legbutább a világon.

4 Remélem, ezt elfogadjátok bizonyításnak.

A háromszöget szögfelezőivel felosztunk három kisebb háromszögre. Ezek területének összege

megegyezik a teljes háromszög területével. Ezek a kisebb háromszögek a nagy háromszög egy-egy

oldalával mint alappal rendelkeznek. S mindegyikükhöz a beírható kör sugara tartozik magasság

gyanánt. Így a kis háromszögek területe sorra:

Ezek összege pedig, a nagy háromszög területét adja ki:

Azaz:

A jobboldal mindhárom tagjából kiemelhető az , így:

És a zárójelben lévő kifejezés éppen a kerület fele, .

∎

Ha ismerjük a háromszög két oldalát és az általuk közrezárt szöget, akkor ez is használható:

Hiszen, a , éppen az oldalhoz tartozó magasság. Vagy ha úgy jobban tetszik, az éppen

a oldalhoz tartozó magasság:

∎

Sőt, h még azt is felhasználjuk a szinusz tétel szerint, hogy a

ahol is az a háromszög köré írható kör sugara, akkor ezt az előző képletbe beírva:

Akkor egyszerűen írva ezt kapjuk:

Ezek a legfontosabbak, így elég is ennyi a háromszög területképletekből, ha még több is érdekel,

keress utána!

Négyzet A négyzet a legegyszerűbb. Neki négy egyforma oldala van és az összes szöge derékszög.

Az oldalak hosszának összege. Az oldal hosszának jele .

Tekintve, hogy két szomszédos oldala mindig derékszöget zár be egymással, ezért egyikük pont a

másikukhoz tartozó magasság. Így csak ezeket kell összesörözni:

Ami persze ugyanaz, mint a

Azonban a négyzet átlói is merőlegesek egymásra. És mint később is felhasználjuk majd ezt, ez is

kiválóan alkalmas a terület kiszámítására. Az átlók hossza, Pitagorasz tételből szépen kijön:

.

Figyelmezzük meg, hogy a nagy négyzet oldalai, éppen a kis négyzet átlóival azonos hosszúságúak. És a kis négyzet területe pont a fele a nagyénak. (A nagyinak). Ez bőven elég a következő képlet bizonyságául.

Azonban ha ebből az infóból akarunk számolni területet, ne felejtsük el a kettővel való osztást.

Azaz

Hiszen ha beírjuk az helyére, hogy ő valójában, :

Ami kibontva ugye:

,5 ezt állítottuk eddig is. Tehát ez is helyes.

Téglalap A téglalapnak két-két azonos hosszúságú oldala van. És minden szöge derékszög. Ebből már

adódnak is a képletek. Oldalainak hosszát rendszerint az és jelöli.

A téglalap átlói, melyek hosszát jelöljünk -fel, többnyire nem derékszöget zárnak be egymással. Ha

mégis akkor az négyzet. Ebből azt gondolhatnátok, hogy akkor az átlók hosszának szorzata nem jó

semmire. Azonban ez szerencsére nem így van. Az átlók és a közrezárt szögük szinusza szorzatának

fele éppen a téglalap területét adja:

Ennek a magyarázatát majd látjuk a paralelogrammánál, addig legyetek türelemmel!

Addig csak azt csodáljuk meg, hogy a téglalap átlóiból alkotott oly

paralelogramma területe, sőt ez egy rombusz, melynek szögei éppen a téglalap átlóinak szögével

egyeznek meg, éppen a kétszerese a téglalap területének. Na kérem, ezé osztunk kettővel.

5 És tessék, franciául. Kiejtése: é voálá.

Sőt ha tudjuk az egyik oldal mekkora szöget zár be az átlókkal, akkor ez is kitűnő. Ezt is majd a

paralelogrammánál látjuk be. Mivel a téglalap is egy „paparelogarmma,” ezért kerülnek itt elő ezek a

képletek. Sőt a háromszög esetén is láttunk hasonlót, mint a következő, csak itt majd nem kell osztani

kettővel, hiszen ez pont a téglalap egyikfelének, a háromszögének kétszerese.

És még az említett képletet is tanuljunk meg! Az oldal és az átló szöge legyen , a oldal és az átló

szöge legyen !

Ekkor a képlet:

Paralelogramma Dikh, hiszen erre már látunk is képletet majdnem. Mert hát valójában a rombuszra láttunk, de az is

egy paralelogramma, egy speciális paralelogramma. Azonban valójában a rombuszra még nem is

láttuk, mert az még nem is volt. Ha nem spéci, hanem csak általános, akkor két-két azonos

hosszúságú oldala van. És az oldalak által bezárt szögei nem feltétlenül derékszögűek. …Hmm,

általában nem.

A kerülethez mindenképpen az oldalak hossza kell, ezt már megszokhattuk. Ha az oldalakat, ill.

hosszukat is -val, -vel jelöljük, akkor ez így mered ránk:

Igen, nem tévedés. Akárcsak a téglapapnál, azaz a beépített-ügynök- tisztelendő atyánál. Hiszen a

téglalap is egy prappapapamma.

Ha ismerjük az egyik oldalát és a hozzátartozó magasságot. Az -t és -t, vagy a -t és -t:

Vagy

Hozzánk vágnak egy paralelogrammát.

Hogyan formáljuk azonos területű téglalappá a paralelogrammát? Egyik derékszögű háromszögét önmagával párhuzamosan eltolva, hozzá tapasztjuk a túlsóvéghez. Átmásoljuk a háromszöget.

2. Lenyisszantottuk az immár feleslegessé vált eredeti derékszögű háromszöget. Íme, egy téglalapot kaptunk, melynek területe: .

Vagy a másik magasság mentén levágva egy derékszögű háromszöget:

1. Másoljuk az egyik háromszögnyúlványt vele azonos állásban a paralelogramma másik végéhez.

2. Majd nyírjuk le a régi nyúlványt. Így a paralelogramma területével megegyező területű téglalapot kapunk. A terület: .

Nagyfiúk és nagylányok ezt másképpen is kiszámíthatják. Ha ismerjük az oldalait, és a köztük

lévő szöget, :

Ami tulajdonképpen az előző képlet, hiszen . És Sapienti sat.

És természetesen, ha a másik szöget használjuk fel, akkor is ugyanez az eredmény. Tekintve, hogy a

paralelogramma másik szöge: . Hiszen

Ha az átlók hosszát, ás az általuk bezárt szöget ismerjük. Legyenek ezek sorban: ! Ekkor a

paralelogramma területe:

Vegyük a paralelogramma négy háromszögének területét! Ezek összege adja

ki a paralelogramma területét. Persze, kettő-kettő háromszög egybevágó, így egy ilyen pár esetén

egyikük területének e kétszerese, éppen kettejük területe lesz együttesen. A másik párra nézve ez

úgyszintén igaz. Tehát csak két különböző terület összege kell, duplán véve. Legyen a a szögű

háromszög területe, és pedig a területű háromszögé… Gondolná az egyszeri/egyszerű

diák.

Ám valójában mind a négy háromszög területe megegyezik, hiszen a háromszögeknél már láttuk,

hogy két oldala és közrezárt szögük esetén kiszámolhatjuk a területet:

De mivel a szinusz egy nagyon jó kis függvény, nagyon barátságos függvény. Miért? Mert igaz, a

következő azonosság, minden szögre:

Így a mostani két-két különböző háromszögünk területe is megegyezik. Mert, ha a éppen , akkor

is igaz:

Tehát ennek a négyszerese lesz a paralelogramma területe:

Vagyis:

∎

Trapéz A tarpéz, sic. olyan négyszög, melynek van két párhuzamos oldala. Csak ennyit várunk el tőle, semmi

mást. Eme két párhozamos oldal neve: alap. Ha egyikük rövidebb, akkor ő a kisalap, a nagyobbik a

nagyalap.6 A nagyalap és egyúttal a hossza is rendszerint -val van jelölve, a kisalap és hossza pedig

-vel. A magasság mindkettőjükre merőleges. (Ha egyikükre az, akkor muszáj, hogy a másijukra is az

legyen a párhuzamosságuk miatt.) A magasság természetesen az jelet kapta, miként az ő hossza is.

A másik két oldalt a trapéz száraiként emlegetjük. Ha ők is eltérő hosszúságúak, akkor jeleik és .

Így a képletek:

Minő meglepő.

Egy általános trapéz. Minden specialitástól mentes.

6 A harmadik pedig az agyalap. Ott található az agyalapi mirigy.

A trapéz egyik szárához tapasszunk hozzá még egy ugyanilyen trapézt, de fejjel lefelé! Ennek az alakzatnak a területe így a trapéz területének a duplája lett.

Majd a magasságvonal mentén nyisszantsuk le az egyik háromszögnyúlványt és ragasszuk a túloldalra. Ezzel a dupla terület nagysága nem változott, azonban könnyen leolvashatóvá vált, mivel téglalappá alakítottuk. Ennek a téglalapnak a

területe: . És ennek a fele a tarpéz területe:

.

Húrnégyszög A neve arra utal, hogy oldalait egy kör húrjai alkotják. A reá vonatkozó területképlet roppant

ismerős lesz a háromszög Héron képletéből. Ezt ugyanúgy nem fogom bizonyítani itt. Talán írok rá

egy külön fejezetet, de az is lehet, hogy nem. Az oldalak és egyúttal hosszaik is legyenek így jelölve:

Ekkor a képletek:

Ahogy azt mindenki várta is. És ezt is mindenki várta, mert már utaltam rá, noha nem mondtam

pontosan ki, hogy mire is gondolok:

Ahol az a félkerület:

Dikh má, egy húrnégyszög!

Érintőnégyszög Ez pedig azért kapta ezt a nevet, mert minden oldala a kör egy-egy érintő egyenesének a

szakaszaiból tevődik össze, kérem szépen! A terület képlet itt is ismerős lesz. A háromszögnél is

láttuk, hogy a beírható kör sugara és az alakzat félkerületének szorzata éppen a terület.

Azaz

Hiszen az -sel a félkrületet jelüljük:

Belátni ezt is éppen úgy lehet, mint a háromszögnél belátva volt: Daraboljuk fel a húrnégyszöget

háromszögekre úgy, hogy a beírt kör középpontjából a négyszög minden csúcsába húzunk egy-egy

vonalat! Az ábrán ezek e kék vonalak. Majd használjuk ki azt a tényt, hogy a kör sugara az oldalakat

éppen merőlegesen talpalja a kör és az oldalak érintési pontjaiban. Így mind a négy

háromszögünknek a beírt kör sugara lesz az adott oldalhoz mint alaphoz tartozó magassága. Ha a

négy háromszög területét, melyeket sorra -gyel jelölünk, összeadjuk, éppen a

húrnégyszög területét kapjuk meg.

Vagyis:

Ami ugye:

Emeljük ki ebből az -t:

Még egyszerűbben fogalmazva:

A kopasz… … és a feldíszített érintőnégyszög.

Rombusz A rombusznak mind a négy oldala egyenlő hosszú. Az átlók is egymásra merőlegesek. Ezért az

átlók derékszögű háromszögekre vágják fel a rombuszt, melyek területét már ismerjük. De

egyszerűbben az eredményre jutunk akkor is, ha az átlókkal párhuzamos oldalú érintő téglalapba

foglaljuk a rombuszunkat. Látható, hogy ennek a téglalapnak éppen a felét tölti ki a rombusz. Az

oldalak, ill. hosszuk is az jelet, az átlók, ill. hosszuk az és jelet kapják. Általában az átlók nem

azonos hosszúságúak, ha mégis, akkor négyzettel van dolgunk, ami legbecsületesebb rombusz

mindközül. Nem lop, nem csal, nem hazudik. És nem is lép félre.

Tekintve, hogy oldalai egyenlők.

Magyarázatért lásd az ábrát!

Ezen nincs mit csámcsogni, már megcsámcsogtuk az ehhez vezető gondolatokat korábban. Ha még

mindig zavaros, és nem érthető, akkor adatfeldolgozási gondjaid vannak!

A rombusz magányosan…. …és téglalapba foglalva.

Deltoid A deltoid egy olyan rombusz, amely nem is az. Fordítva viszont igaz, hogy a rombusz egy

olyan deltoid melynek minden oldala egyforma. Ebből már sejthető, hogy a deltoidnak nem minden

oldala egyforma. Hanem csupán csak ez igaz rá: van két-két szomszédos azonos hosszúságú oldala.

Átlói neki is merőlegesek egymásra. Őt is érintőtéglalapba foglaljuk. És igen, őt is olyan téglalapba,

melynek oldali párhuzamosak a deltoid átlóival, és érintik a deltoid csöcseit. Tehát általában két

különböző hosszúságú oldala van, és . És így átlói is különbözőek, és .

És mivel az átlók merőlegesek egymásra:

Az ember azt hinné, vagy legalábbis a Zolika igen, hogy ez csak a konvex deltoidra igaz. Azonban

szerencsére a konkávra is fennáll. Csak éppen, az egyik „átló” nem az alakzat belsejében van. De ha

nem hőkölünk vissza e furcsaságtól, akkor ebben az esetben is helyes a területképlet. A kerület

képletet nem vitatta senki, naná, hogy az itt is helyes!

Konvex deltoid magában… ...és érintőtéglalapba foglalva.

És a konkáv deltoid ábrái:

A zöld szaggatott vonal nem tartozik az átlóhoz! Ez csupán csak annak meghosszabbítása, a

merőlegesség szemléltetése végett. Tulajdonképpen a téglalapra semmi szükség, sőt zavaró.

Tekintve, hogy a függőleges oldala ráadásul még hosszabb is, mint a deltoid függőleges átlója. Így

zavarkeltésül itt is hagyom.

Csak annyit kell észrevételezni, hogy a konkáv deltoid két egybevágó háromszögre vágható az átló

mentén. És ezek -hez, mint alphoz tartozó magassága éppen

. Tehát egyikük területének a

kétszerese lesz a deltoid területe:

∎

Szabályos sokszögek A szabályos sokszögek attól szabályosak, hogy minden oldaluk egyenlő hosszú, szögeik is

azonosak. Felszeletelhetőek pizza- vagy tortaszerűen, egybevágó, egyenlőszárú háromszögekre. Így

egy ilyen háromszög területét kell csak annyiszor venni, mint ahányan vannak, hogy megkapjuk a

teljes alakzat területét. Hogy általánosságban beszélhessünk róluk, az oldalhossz legyen , és az hogy

hányan vannak, azaz hány oldalú sokszög, legyen . Nyilván a sokszög oldalai és szögeinek száma

azonos. Tehát darab oldal esetén, pontosan darab szöge is van. Így aztán adja magát, hogy:

A területhez az elmondottakat figyelembe véve:

De mekkora is egy ilyen háromszög területe? Mivel darab ilyen egyenlőszárú háromszög van, így a

középponti szögön, a -on egyenlően osztozva, mindegyiküknek a szárszöge éppen a -ed

része. Azaz

Egy ilyen háromszög alapja ekkor , magassága pedig, mivel a magasság e központi szöget felezi és

merőleges az alapra, így kevéske szögfüggvényismeretet felhasználva:

Azaz

Vagyis

Ebből tehát egy ilyen háromszög területe:

Ami nem más, mint:

Tehát a teljes alakzat területe:

Tehát:

A sokszög kopaszon.

A sokszög beküllőzve. (átlóit berajzolva)

És bejelölve az oldalait, kékkel egyik háromszöge magasságát, a szögeket… Ahol nem írogattam ki végig, hogy …ott is ott van, csak nem látod, Ugyanígy a is. Stb.

∎∎