Optimeerimisülesanded majanduses

Lokaalsed ekstreemumid•Funktsioonil y = f(x) on lokaalne maksimum kohal a, kui leidub punkti a ümbrus, nii et iga punkti x korral sellest ümbrusest f (x) < f (a) .

•Funktsioonil y = f(x) on lokaalne miinimum kohal a, kui leidub punkti a ümbrus, nii et iga punkti x korral sellest ümbrusest f (x) > f (a) .

Lokaalsed maksimumid ja miinimumid

Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus

funktsiooni lokaalne ekstreemum saab

paikneda vaid statsionaarses punktis (mille korral funktsiooni esimene tuletis on null), st ainult sellises punktis a, kus

f’(a) = 0.

Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus

Statsionaarses punktis on funktsioonil lokaalne ekstreemum parajasti siis, kui funktsiooni kasvamine asendub selles punktis kahanemisega (lokaalne maksimum) või vastupidi (lokaalne miinimum)

Kolm statsionaarset punkti

• Kui f’(x) > 0 vahemikus (a, b), siis funktsioon f(x) on kasvav selles vahemikus.

• Kui f’(x) < 0 vahemikus (a, b), siis funktsioon f(x) on kahanev selles vahemikus

Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus teise tuletise abil

Statsionaarses punktis a, kus f’(a) = 0, on funktsioonil f(x)

• lokaalne miinimum, kui f’’(a) > 0,

• lokaalne maksimum, kui f’’(a) < 0.

Globaalsed ekstreemumid

• Funktsiooni globaalne maksimum mingis piirkonnas on funktsiooni suurim väärtus selles piirkonnas.

• Funktsiooni globaalne miinimum mingis piirkonnas on funktsiooni vähim väärtus selles piirkonnas.

Piirkonnas X globaalse ekstreemumi piisav tingimus teise tuletise abil

Olgu funktsiooni f(x) statsionaarne punkt, st f’(a) = 0. Siis on funktsioonil f(x) punktis a piirkonna X

• globaalne miinimum, kui f’’(x) > 0 igas piirkonna X punktis x;

• globaalne maksimum, kui f’’(x) < 0 igas piirkonna X punktis x.

Funktsiooni f(x) globaalsete ekstreemumite leidmine lõigus

1. Leia funktsiooni statsionaarsed punktid vahemikus .

2. Leia funktsiooni f(x) väärtused lõigu otspunktides a ja b.

3. Leitud väärtustest suurim on globaalne maksimum ja vähim globaalne miinimum

Tuletis majanduses

on teatud majandusliku suuruse

muutumise kiirus teise majandussuuruse

suhtes.

Marginaalsuurused

Majandusalases kirjanduses kasutatakse mõiste tuletis asemel inglisekeelset mõistet marginal, mille eestikeelne vaste on marginaalväärtus või ka piirsuurus.

My - majandusnäitaja y marginaalsuurus.

Piirsuurused

• piirkulu (marginal cost) MC = C´(q) näitab täiendava tooteühiku tootmiseks

vajalikku kogukulu ligikaudset muutu• piirtulu (marginal revenue) MR = R´(q) näitab täiendava tooteühiku müümisest

tekkivat kogutulu ligikaudset muutu • piirkasum (marginal profit) Mπ = π´(q) näitab täiendava tooteühiku müümisest

tekkivat kasumi ligikaudset muutu.

Kasumi maksimeerimise kuldreegel

Piirtulu on võrdne piirkuluga

MR(q) = MC(q)st

Piirsuuruste võrdlemine

• Kui piirtulu on suurem kui piirkulu,

MR > MC,

siis lisaühiku tootmise korral suurenevad tulud rohkem kui kulud, st piirkasum ehk kasumi muutus ühe lisatoote tootmisel on positiivne (kasum suureneb), tootmismahtu on kasulik suurendada.

• Kui piirtulu on väiksem piirkulust, st MR<MC, siis lisatoote tootmine suurendab tulusid vähem kui kulusid, kasum väheneb, tootmismahtu on kasulik vähendada

Seos piirsuuruste ja keskmiste suuruste vahel

Olgu suuruse Y keskmine ühikuline väärtus AY ja MY vastav piirsuurus. Siis:

• AY kasvab, kui MY > AY;

• AY kahaneb, kui MY < AY;

• suurusel AY on kriitiline koht, kui MY = AY.

Täieliku konkurentsi (TKF) tingimused

• suur arv sõltumatuid firmasid, millest ükski ei suuda oma väiksuse tõttu turuhinda mõjutada;

• igasuguste turukaitsetõkete puudumine;

• homogeenne produkt

• turuosaliste täielik informeeritus.

Kasumi maksimeerimise kuldreegel TKF jaoks

TKF optimaalse tootmismahu korral toote hind võrdub piirkuluga.