1

1. PROTSENTARVUTUS MAJANDUSES

Suur osa rahanduslikke ja muid majanduslikke arvutusi tugineb protsendi mõistele. Protsendid

leiavad rohket kasutamist mitmesuguste suuruste (näiteks hinnad, palgad, maksud) muutumise

kirjeldamisel ja võrdlemisel. Igapäevaelus me puutume sageli kokku protsendiga:

hinnaalandused-ja hinnatõusud poes, palga arvutamine, majandusterminites aktsiahinna

muutused ja valuutaturul toimuv jne.

Õpetamise eesmärgid, õpitulemused ja teema olulisuse kirjeldus:

Eesmärgiks on õpilastele selgitada, kuidas meid ümbritsev maailm on tihedalt matemaatika

seotud. Iga päev me kasutame protsendi mõistet (nt. allahindlused, erinevad maksud, kauba

hinna kujunemine-oleme ju tarbijad jne). Läbi eluliste ülesannete saavad õpilased aru, kui oluline

on selles orienteeruda ja kõike mõista.

1. Õpilane teab protsendi ja promilli tähendust.

2. Õpilane oskab leida osamäära protsentides, osa ja tervikut ning muutumise ja erinevuse

väljendamist protsentides.

3. Õpilane eristab muutumist protsentides muutusest protsendipunktides.

4. Õpilane selgitab hinnaindeksi tähendust ja arvutamist kui protsentülesande üht rakendust.

5. Õpilane kasutab protsentarvutust hinnaindeksite, sealhulgas tarbijahinnaindeksite

arvutamisel tõlgendamiseks.

6. Õpilane selgitab põhiliste maksuliikide tähendust (tulu-, sotsiaal-, käibe-, aktsiisimaks jt),

arvutuskäike kui protsentarvutuse rakendusi ja arutleb maksude olulisuse üle ühiskonnas.

7. Õpilane kasutab protsentarvutust palgakulude ja kaubahinna kujunemise selgitamisel

ning leidmisel.

8. Õpilane tõlgendab reaalsuses ja teistes õppeainetes esinevaid protsentides väljendatavaid

suurusi, sealhulgas laenudega (ainult lihtintress) seotud kulutusi ja ohte.

9. Õpilane arutleb maksude olulisuse üle ühiskonnas.

2

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: murruna väljendatud osamäär protsentides ja

vastupidi, osa leidmine tervikust selle murruna või protsendina väljendatud osamäära järgi,

terviku leidmine protsentides või murruna antud osamäära järgi, mitu protsenti moodustab üks

arv teisest, suuruse kasvamine ja kahanemine protsentides.

Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi võib kontrollida auditoorse

kontrolltööga.

Õppesisu:

Protsentarvutuse põhiülesanded. Indeksid. Tarbijahinnaindeks. Põhilised maksud, nende

arvutamine (tulu-, sotsiaal-, käibe- ja aktsiisimaksu näitel). Palgakulud. Kauba hinna kujunemine

Tunnijaotus:

Kitsale matemaatikale baseeruv protsentarvutuse osa tunnijaotus:

1. tund Protsentülesannete põhitüübid

2. tund Promill ja protsendipunkt

3. tund Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine

4. tund Kauba hinna kujunemine

5. tund Palga arvutamine (maksud)

Laiale matemaatikale baseeruv protsentarvutuse osa tunnijaotus:

1. tund Protsentarvutuse põhitüübid, promill ja protsendipunkt

2. tund Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine, kauba hinna kujunemine

3. tund Palga arvutamine (maksud)

Abistav lisamaterjal:

3

Majanduses toimuvad muutused väga kiiresti. Seetõttu tuleb kõige uuemaga kogu aeg kursis

olla. Samas on väga palju erinevaid töid ka juba valmis tehtud ja veebis avalikustatud. Järgnevad

veebileheküljed võiksid abiks olla.

Erinevad protsentarvutusega seotud materjalid projektis „Meile meeldib matemaatika“:

http://zope.eenet.ee/mmmprojekt/materjalid-teemade-jaergi-1/protsent

Protsendi mõiste, lõbusad ülesanded, testid ja töölehed:

http://elvag.edu.ee/~pihlap/protsent/protsendi_miste.html

Lünktest kauba hinna kujunemise kohta:

http://www.e-

ope.ee/_download/euni_repository/file/121/oppiobjekt.rar/kaub/test/Kauba_hindT.htm

Protsentarvutus, hinna kujunemine, käibemaks:

http://www.hariduskeskus.ee/opiobjektid/kaubandus/?Hind:Hinna_kujundamine

Palga kalkulaator:

http://palk.crew.ee/

Rahaasjad:

http://www.kasulik.ee/

http://kool.minuraha.ee/

Majandusmäng (tund arvutiklassis):

http://majandusmang.edu.ee/

Majandusmängu eesmärk on anda ettekujutus, kuidas erinevate ametite ning summadega on

võimalik ära majandada ühe kalendrikuu jooksul.

Ette antud summaga kuu lõpuni välja tulla. Kui summa kulutatakse ära varem, siis mäng katkeb.

Mängija teeb esmalt põhivalikud: amet, perekond, transpordivahend, elamu, elukoht. Peale neid

valikuid teeb mängija 4 nädala jooksul igal nädalal 6 valikut – 5 tööpäeva ja 1 nädalavahetus.

Nädala jooksul valib mängija iga päev ühe olulise tegevuse: söök, transport, vaba aja veetmine.

Lisaks on mängijal vaja toime tulla tema valikutest sõltuvate kohustustega, stressiga ning

4

peibutistega. Kui mängija on ette antud summaga kuu aega ära majandanud, mäng lõppeb ning

mängijale kuvatakse ülevaade tehtud valikutest ja kulutustest.

1.1. Protsentülesannete põhitüübid

Alustuseks tuleks meelde tuletada protsentülesannete põhitüübid ja harjutada protsentülesannete

lahendamist võrrandite abil. Samuti tutvustada mõistet „promill“ ja selle kasutamist.

Ülesannete lahendused.

1.1.1. Töötuse määr Pärnu maakonnas 6

0,147 14,7%40,7

. Töötuse määr Rapla maakonnas

40,207 20,7%

19,3

1.1.2. a) Jootraha suurus 7,6 0,1 7,6 8,36 eurot.

b) 8,5 7,6 0,9

0,118 11,8%7,6 7,6

1.1.3. Olgu täiendkoolituse läbi teinud töötajate arv x. Siis 0,3 0,3 120 36120

xx .

Seega 36 töötajat on täiendkoolitusel käinud. Koolitusel peab käima veel 120 – 36 = 84 töötajat.

1.1.4. Olgu jõudeaeg x. Siis 13 13

0,65 13 0,65 200,65

x xx

Soovitav teha kontroll. Kontrollimiseks leida, mitu protsenti moodustab arv 13 arvust 20:

130,65 65%

20 .

1.1.5. Kogu töö tegemise eest oli ette nähtud x eurot. 90 eurot moodustab sellest 45%, järelikult

90 900,45 90 0,45 200

0,45x x

x

Soovitav teha kontroll. Kontrollimiseks leida, mitu protsenti moodustab arv 90 arvust 200:

900,45 45%

200

5

1.1.6. a) Kulu materjalidele 525 525

0,618 61,8%525 325 850

. Tööraha osakaal 100%-

61,8%=38,2%.

b) Materjalide hinnatõusu tõttu lisandunud summa 0,05 525 26,25 . Selle summa võrra

suurenes ka terrassi kogumaksumus. Protsentuaalne suurenemine 26,25

0,031 3,1%850

.

c) Materjalikulu lõplikul arvel (peale hinnatõusu) 525 26,25 551,25 . Protsent uuest

kogumaksumusest 551,25 551,25

0,629 62,9%850 26,25 876,25

.

d) Tööraha vähenemine on sellisel juhul võrdne materjalikulu suurenemisega, mis oli 26,25

eurot. Kuna esialgne tööraha oli 325 eurot, siis vähenes: 26,25

0,081 8,1%325

.

e) ** Arvuline seos: 5% 61,8% 0,05 0,618 0,31 3,1% . Arvuline seos on ligikaudne

seepärast, et arvutustulemusi ümardasime. Tegelikult on seos täpne. Selle näitamiseks järgmine

arutluskäik

Olgu materjalikulu eurodes M, hinnatõus protsentides r ja kogumaksumus eurodes K. Siis

kogumaksumuse suurenemine on Mr ja protsentuaalne suurenemine M r

pK

. Suhe

M

Kon aga

materjalikulu osakaal kogumaksumusest, mida tähistame M

mK

. Siis p m r

1.1.7. Allahindlus on 200-150=50 eurot.

a) Leiame, mitu protsenti on odava väljamüügi hind madalam esialgsest hinnast 200 eurot:

500,25 25%

200

b) Leiame, mitu protsenti on esialgne hind kallim odava väljamüügi hinnast 150 eurot:

500,333... 33,3%

150

1.1.8. Oodatava eluea erinevus 80,5 70,6 9,9 aastat.

6

a) Mitu protsenti moodustab see meeste oodatavast elueast 9,9

0,140 14,0%70,6

.

b) Mitu protsenti moodustab erinevus naiste oodatavast elueast 9,9

0,123 12,3%80,5

.

1.1.9. a) 375

7,2 2,71000 g kulda ja 4,5 grammi muid metalle

b) 585

7,2 4,21000 g kulda ja 3,0 grammi muid metalle

c) 835

7,2 6,01000 g kulda ja 1,2 grammi muid metalle

1.1.10. Harju maakonnas 0,013 521313 6795 , Hiiu maakonnas 0,008 10222 82 sündi.

1.1.11. * Viivis ühe päeva eest on 0,001S. Viivis n päeva eest on 0,001Sn. Võlgnevus n päeva

pärast on summa pluss viivis: V= S + 0,001Sn = S(1+0,001n).

1.2. Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine

Soovitav on harjutada protsentuaalse kasvamise ja kahanemisega seotud ülesannete lahendamisel

kasutama vastava kordajaga läbikorrutamist. See oskus on eriti vajalik teema

„Finantsmatemaatika elemendid“ läbimiseks. Tutvustada mõistet „protsendipunkt“.

Ülesannete lahendused.

1.2.1. Selle kuu hind 9,5 1,04 .

Järgmise kuu hind 29,5 1,04 1,04 9,5 1,04 10,2752 10,28 eurot.

1.2.2. Soodushind on 30 0,75 25,5 eurot.

1.2.3. Kuna märtsis on 31 päeva, siis kaks kuud edasi on rohkem kui 60 päeva. Järelikult oli

kasukat alla hinnatud kolm korda: 3250 0,8 0,8 0,8 250 0,8 128 .

1.2.4. Olgu hind enne „allahindlust“ x.

Allahindlus: 195

0,35 0,65 195 3000,65

x x x x .

7

Kontroll: 300 0,35 300 0,65 300 195 .

1.2.5. Olgu valla elanike arv 2009. aastal n ja ühe elaniku kohta laekuv maksutulu m. Siis valla

eelarvesse laekuv maksutulu kokku 1 270 132nm . Elanike arv kasvas 4%, järelikult uus

elanike arv 1,04n n . Ühe elaniku kohta laekuv maksutulu kahanes 11%, järelikult uus

maksutulu elaniku kohta 0,89m m . 2010. aasta maksulaekumine kokku

1,04 0,89 1,04 0,89 1,04 0,89 1 270 132 1175 634,2n m n m nm

1.2.6. Laenu intressimäär eelmisel poolaastal 1,7% + 1,5% = 3,2%. Intressi kasv

0,7% 0,0070,21875 21,9%

3,2% 0,032

1.2.7. * Olgu esialgne hind p. Järjestikused hinnatõusud: 1,03 1,04 1,02 1,0926p p .

Suurenemine, võrreldes esialgse hinnaga on 1,0926 0,0926 9,26%p p p p ehk 9,26%.

1.2.8. * Kui aktsia hind tõuseb iga kuu 4%, siis iga kuu kohta tuleb korrutada kordajaga 1,04:

1,04 1,04 1,04 1,04 1,04n n

n

p p p .

1.2.9. ** Olgu praegune hind p ja kõrgem hind (hind enne „allahindlust“) p’. Kui

allahindlusmäär on 35%, siis 0,65p p . Järelikult 1

1,5380,65 0,65

pp p p . Hindasid tuleb

suurendada 53,8%.

1.2.10. ** Olgu hind enne hinnatõusu p ja vastav tarbimiskogus Q. Hind peale hinnatõusu olgu

p’ ja vastav tarbimiskogus Q’. Paneme kirja tingimuse, et kulutused jäävad samaks:

pQ p Q .

Kui hind tõuseb 15%, siis hind peale hinnatõusu 1,15p p . Asendame selle kulutuste kohta

käivas võrduses ja jagame mõlemad võrduse pooled läbi hinnaga p:

1,15

1,15

pQ pQ

Q Q

Avaldame uue tarbimiskoguse Q’ esialgse koguse Q kaudu

8

10,87

1,15 1,15

QQ Q Q .

Tarbimiskogust tuleb vähendada 13%.

1.2.11. ** Olgu hind enne hinnatõusu p ja vastav tarbimiskogus Q. Hind peale hinnatõusu olgu

p’ ja vastav tarbimiskogus Q’. Kui hind kasvas r% ja tarbimiskogus vähenes r%, siis

(1 0,01 ) , (1 0,01 )p r p Q r Q .

Tarbimiskogus peale hinnatõusu

2 2(1 0,01 ) (1 0,01 ) (1 0,01 )(1 0,01 ) 1 (0,01 ) 0,0001p Q r p r Q r r pQ r pQ pQ r pQ

Tarbimiskoguse vähenemine on 20,0001r pQ . Et leida, mitu protsenti moodustab see esialgsest

tarbimiskogusest pQ, leiame vastava suhte

2

2 20,00010,0001 0,01 %

r pQr r

pQ .

1.3. Hinnad, palgad, maksud

Soovitav on tutvustada kaupluse hinnakujunduse põhimõtteid, termineid sisseostuhind,

juurdehindlus ja juurdehindluse määr, netohind, käibemaks ja käibemaksumäär, müügihind.

Samuti harjutatada käibemaksu leidmist nii netohinna (hind ilma käibemaksuta) kui müügihinna

(hind koos käibemaksuga) põhjal.

Edasi soovitatakse tutvuda mõistetega bruto- ja netopalk ning ettevõtte tööjõukulu, vaadata

sotsiaalmaksu, tulumaksu ja töötuskindlustusmaksu ning netopalga arvutamist.

Maksumäärad

Maksumäärad võivad muutuda. Kui parajasti kehtiv maksumäär erineb õpikuülesandes toodud

maksumäärast, võib lasta ülesandeid teha kahes osas: algul ülesandes toodud maksumääraga, mis

võimaldab vastust kontrollida, ja seejärel aktuaalse maksumääraga.

Kehtivate maksumäärade leidmiseks võib kasutada järgmisi allikaid:

1. Maksu- ja Tolliameti veebileht http://www.emta.ee

9

Alajaotuses „Ärikliendile -> Maksud ja aktsiisid“ on informatsioon nii tulumaksu,

sotsiaalmaksu, töötuskindlustusmaksu kui ka käibemaksu kohta. Tulumaksu kohta leiab veel

informatsiooni alajaotuses „Erakliendile - > Füüsilise isiku tulumaks“.

2. Eesti Maksumaksjate Liidu veebileht http://www.maksumaksjad.ee

Alajaotuses „Maksuinfo“ on toodud olulisemad maksumäärad ja nende ajalugu.

Maksumäärad 2011. aastal:

Käibemaksu standardmäär 20%.

Tulumaksumäär 21%. Maksuvaba tulu kuus 144 eurot. Sotsiaalmaksu määr 33%.

Töötuskindlustusmakse määr on töötajale 2,8%, tööandjale 1,4%

Interneti kasutamine

Viimane ülesanne 1.3.14 on otsing Eesti Statistikaameti andmebaasist aadressil www.stat.ee

See on soovitav jätta kodus tegemiseks, vastavad juhendid õpilastele on ülesande tekstis toodud.

Ülesannete lahendused.

1.3.1. a) Netohind 1,5 1,5 10 15NH SH . Müügihind 1,2 1,2 15 18MH NH

b) Käibemaks ühe auto müümisel 18 15 3KM MH NH . Käibemaks 100 auto

müümisel 100 3 300 eurot.

1.3.2. Summa ilma käibemaksuta 34,5

28,751,2

eurot.

Käibemaks 34,50 28,75 5,75KM eurot.

1.3.3. a) Netohind müügihinna kaudu 95

79,171,2 1,2

MHNH eurot.

b) Sisseostuhind netohinna kaudu, kui juurdehindlusmäär 40%: 79,17

56,551,4 1,4

NHSH

eurot.

c) Kulud 15% sisseostuhinnast: 0,15 56,55 8,48 eurot.

10

Kasum ühiku kohta: netohind – sisseostuhind – kulud 79,17 56,55 8,48 14,14 eurot

1.3.4. Müügihind MH= 254, sisseostuhind SH = 150.

Juurdehindlusmäär on 1JH NH SH NH

SH SH SH

. Netohind

1,2

MHNH , järelikult

juurdehindlusmäär 1,2 306

1 1 1 1 0,7 70%1,2 1,2 150

NH MH MH

SH SH SH

1.3.5. * Käibemaks allahinnatud teleri pealt 420

0,2 0,2 0,2 701,2 1,2

MHKM NH eurot.

Et leida käibemaksu enne allahindlust, leiame algul müügihinna enne allhindlust MH’.

Arvestame, et müügihind peale allahindlust 0,8MH MH , järelikult 420

5250,8 0,8

MHMH .

Käibemaks enne allahindlust 525

0,2 0,2 87,51,2 1,2

MHKM

eurot.

Allahindlusest tingitud käibemaksu erinevus 87,5 70 17,5 eurot.

1.3.6. * Käibemaks on netohinnast 20%: 0,2KM NH . Netohind müügihinna kaudu

1,2

MHNH . Käibemaks müügihinna kaudu

0,20,2 0,2 0,167

1,2 1,2

MHKM NH MH MH .

Ligikaudu 16,7%.

Märkus: Kuna see protsent on ümardatud, siis raamatupidamises ei tohi seda müügihinna alusel

käibemaksu leidmiseks kasutada. Kasutatakse valemit 0,2

1,2KM MH ja siis ümardatakse

käibemaks sendi täpsuseni.

1.3.7. * a) Tööandja maksud: sotsiaalmaks 0,33 1000 330 eurot, töötuskindlustusmaks

0,014 1000 14 eurot.

b) Töötaja maksud: töötuskindlustusmaks 0,028 1000 28 eurot, tulumaks

0,21 (1000 28 144) 0,21 828 173,88 eurot

c) Netopalk 1000 28 173,88 798,12 eurot.

11

d) Kulutatud netopalk 798,12 eurot on summa koos käibemaksuga. Käibemaks

798,120,2 133,02

1,2 eurot.

e) Kõik maksud kokku 330 14 28 173,88 133,02 678,90 eurot. Brutopalgast moodustab

see 678,9

0,6789 67,9%1000

.

1.3.8. ** Juurdehindlusmäär näitab, mitu protsenti moodustab juurdehindlus sisseostuhinnast:

JH

SH

Juurdehindlus on netohinna ja sisseostuhinna vahe: JH NH SH

Netohind müügihinna kaudu 1,2

MHNH

Juurdehindlusmäär 1,2

1 1 11,2

JH NH SH NH MH MH

SH SH SH SH SH

1.3.9. Märkus: Vältimaks mitmekordsest ümardamisest tekkivaid vigu on soovitav vahetulemusi

mitte välja arvutada.

Töötuskindlustusmakse on 0,028 1000 . Tulumaksuga maksustatav tulu on brutopalk miinus

töötuskindlustusmakse miinus maksuvaba tulu kuus: 1000 0,028 1000 144

Tulumaks 0,21 (1000 0,028 1000 144)

Netopalk 1000 0,028 1000 0,21 (1000 0,028 1000 144) 798,12 eurot.

1.3.10. Olgu isa brutopalk x

0,028 0,21 0,028 – 144 1200

0,972 – 0,20412 30,24 1200

0,76788 1169,76

1169,761523,36  

0,76788

x x x x

x x

x

x

1.3.11. Ema brutotulu aastas 12 950 11400 eurot.

12

Maksuvaba 0,028 11400 2 1728 420 4195,2

Tulumaksuga maksustatav tulu 11400 4195,2 7204,8

Tulumaks aastas 0,21 7204,8 1513,01 eurot.

1.3.12. Tööjõukulu kasvab uue töötaja tööjõukulu võrra, mis on 700 1,33 931 .

1.3.13. * Kolmele töötajale kokku väljamakstud töötasu 3122,18

2347,51,33

Keskmine palk ühe töötaja kohta 2347,5

782,53

eurot.

1.3.14. Ülesandes valitud aeg 2010. a IV kvartal tuleneb õppematerjali koostamise ajaks

avaldatud statistikast. Selle kvartali andmeid võib vaadata selleks, et vastustest saaks kontrollida,

kas leiti õige tabel. Soovitav on lasta õpilastel lisaks uurida, millised on viimased selleks ajaks

avaldatud andmed ja analüüsida, kas on toimunud muutusi.