OPTIMASI TRANSPORTASI TAK SEIMBANG MENGGUNAKAN …

OPTIMASI TRANSPORTASI TAK SEIMBANG

MENGGUNAKAN MODIFIKASI

METODE ASM

SKRIPSI

MIFTAHUN NADHIRAH

130803045

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2019

Universitas Sumatera Utara



METODE ASM

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar

Sarjana Sains

MIFTAHUN NADHIRAH

130803045

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2019


i

PERSETUJUAN

Judul : Optimasi Transportasi Tak Seimbang

Menggunakan Modifikasi Metode ASM

Kategori : Skripsi

Nama : Miftahun Nadhirah

Nomor Induk Mahasiswa : 130803045

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam


Disetujui di

Medan, Januari 2019

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing,

Ketua,

Dr. Suyanto, M.Kom Dr. Suyanto, M.Kom

NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19590813 198601 1 002


ii

PERNYATAAN



METODE ASM

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2019

Miftahun Nadhirah

130803045


iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Ta‟ala yang telah melimpahkan

rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “Optimasi Transportasi Tak Seimbang Menggunakan Modifikasi Metode

ASM”. Sholawat dan salam semoga selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad

SAW yang telah memberikan contoh teladan kepada umat manusia.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom

selaku dosen pembimbing, penasehat akademik dan Ketua Departemen

Matematika FMIPA USU yang senantiasa membantu dan mengarahkan penulis

dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Dr. Open Darnius,

M.Sc dan Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku dosen pembanding yang

telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi

ini. Terima kasih kepada Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan FMIPA

USU serta seluruh staf pegawai di FMIPA USU. Terima kasih kepada seluruh

Bapak dan Ibu dosen yang telah mendidik saya selama menjalani pendidikan di

FMIPA USU. Teristimewa kepada kedua orangtua tercinta Buya Syahrul dan

Ummi Mailin Fauziah Nst, adik-adik tercinta Zati Hulwani dan Fakhira Salsabila

yang selalu memberikan kasih sayang dan dukungan do‟a dan motivasi sehingga

penulis memiliki semangat untuk menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada

sahabat-sahabat tersayang penulis yang tak bisa disebutkan namanya satu persatu,

rekan-rekan kuliah di Matematika 2013 serta teman-teman di berbagai organisasi

yang telah memberikan semangat dan dukungan kepada penulis. Semoga Allah

Ta‟ala memberikan balasan atas kebaikan semua.

Medan, Januari 2019

Miftahun Nadhirah

130803045


iv



METODE ASM

ABSTRAK

Masalah transportasi merupakan masalah pendistribusian barang dari beberapa

sumber (persediaan atau supply) ke beberapa tujuan (permintaan atau demand)

dengan tujuan untuk meminimumkan biaya transportasi atau memaksimumkan

keuntungan. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah

transportasi. Salah satu metode langsung untuk meyelesaikan masalah transportasi

adalah metode ASM yang diperkenalkan oleh Abdul Quddoos, Dr. Shakeel

Javaid, dan Prof. Mohd Masood Khalid pada tahun 2012. Metode ASM ini

memberikan solusi optimal tanpa memerlukan solusi awal dengan karakteristik

menitikberatkan pada hasil reduksi yang bernilai nol dengan indeks terkecil.

Quddoos et al. (2016) melakukan revisi metode ASM untuk masalah transportasi

tak seimbang yaitu adanya penambahan baris/kolom dummy dengan nilai awal 0

dimana sangat berpengaruh pada hasil reduksi. Maka dilakukan modifikasi

algoritma pada revisi metode ASM yaitu mengganti nilai dummy dengan nilai

tereduksi terbesar yang berfungsi sebagai pengoptimalan angka 0 yang muncul

pada tabel. Algoritma ini diambil dari metode Improved Zero Point. Diperoleh

hasil dari modifikasi metode ASM sebesar 75 sedangkan dari revisi metode ASM

diperoleh hasil 79. Dengan demikian, terjadi penurunan nilai optimasi sebesar 5%,

sehingga modifikasi metode ASM memberikan solusi yang tetap optimal.

Kata kunci: Improved Zero Point, Modifikasi Metode ASM, Reduksi, Solusi

Optimal, Transportasi Tak Seimbang.


v

UNBALANCED TRANSPORTATION OPTIMIZATION

USING ASM METHOD MODIFICATION

ABSTRACT

Transportation problem is the problem of distributing goods from several sources

(fulfilling or supplying) to several destinations (demand or demand) with the aim

of minimizing transportation costs or maximizing profits. Several methods appear

to deal with transportation problems. One of the direct methods to solve

transportation problems is the ASM method introduced by Abdul Quddoos, Dr.

Shakeel Javaid, and Prof. Mohd Masood Khalid in 2012. This ASM method

provides optimal solutions without the need for an initial solution with the

characteristics of focusing on the reduction results which are zero with the

smallest index. Quddoos et al (2016) revised the ASM method for unbalanced

transportation problems, namely the addition of a dummy row /column with an

initialvalue of 0 which is very influential on the reduction results. Then the

algorithm is modified to revise the ASM method, which is to replace the dummy

value with the largest reduced value that serves as an optimization of the number

0 that appears in the table. This algorithm is taken from the Improved Zero Point

method. The result of modification of ASM method is 75 while from the revision

of the ASM method 79 results are obtained. Therefore, an optimization value

decreases of 5%, so the modification of the ASM method provides a solution that

remains optimal.

Keywords: Modification of ASM Method, Reduction, Optimal Solution,

Unbalanced Transportation


vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Metodologi Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Program Linier 5

2.2 Masalah Transportasi 6

2.2.1 Solusi Optimal 8

2.2.2 Masalah Transportasi Seimbang 9

2.2.3 Masalah Transportasi Tidak Seimbang 9

2.3 Metode Transportasi 10

2.3.1 Metode Zero Neighbouring 10

2.3.2 Metode Zero Suffix 11

2.3.3 Metode Zero Point 12

2.3.4 Metode Exponential Approach 15

2.3.5 Metode ASM 16

BAB 3 MODIFIKASI METODE ASM

3.1 Analisis Metode ASM 20

3.2 Rancangan Optimasi 21

3.3 Metodologi Penelitian 22

BAB 4 IMPLEMENTASI DAN PEMBAHASAN 25

BAB 5 KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan 36

DAFTAR PUSTAKA 37


vii

DAFTAR TABEL

Nomor

Tabel

Judul Halaman

2.1 Masalah Transportasi 7

4.1 Masalah Transportasi Tak Seimbang 26

4.2 Masalah Transportasi Seimbang dengan Penambahan Kolom

Dummy 26

4.3 Hasil Reduksi Kolom 27

4.4 Penggantian Nilai Dummy 28

4.5 Hasil Reduksi Baris 29

4.6 Hasil Reduksi Kolom 30

4.7 Penetapan Indeks 31

4.8

4.9

Pengalokasian ke Indeks Terkecil

Pengalokasian (1)

31

32

4.10 Pengalokasian (2) 32

4.11 Pengaolkasian (3) 32





4.16 Pengalokasian dengan Seluruh Permintaan dan Persediaan 34

Terpenuhi

4.17 Perbaikan Tabel Transportasi 34


viii

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Gambar

Judul Halaman

2.1 Masalah Umum Transportasi 7

3.1 Rancangan Optimasi 22


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu studi dalam riset operasi adalah masalah transportasi. Terdapat

beberapa metode untuk menyelesaikan masalah transportasi, misalnya dalam

mendapatkan solusi fisibel awal yaitu dengan Metode Pojok Barat Laut (North

West Corner Method), Metode Biaya Terendah (Least Cost Method), dan Metode

Aproksimasi Vogel (VAM). Setelah solusi awal di dapat, maka langkah

selanjutnya adalah uji optimalitas dengan Metode Batu Loncat (Stepping Stone),

atau Metode MODI (Modified Distribution) (Winston, 2004). Kelemahan dari

serangkaian metode tersebut adalah memiliki dua proses penyelesaian. Metode ini

dipandang kurang efisien.

Seiring dengan perkembangan waktu, muncul metode-metode baru yang

lebih efisien dan sederhana untuk memecahkan masalah transportasi. Beberapa

metode baru tersebut mudah dipahami dan memiliki perhitungan dengan sedikit

iterasi. Dalam perhitungannya metode-metode tersebut langsung didapatkan solusi

optimum tanpa harus mencari solusi fisibel awalnya terlebih dahulu atau disebut

metode langsung.

Sebagian besar beberapa metode langsung telah berhasil memberikan

solusi optimal pada masalah transportasi seimbang, sedangkan untuk masalah

transportasi tak seimbang belum tentu menghasilkan solusi optimal. Salah satu

metode langsung tersebut adalah metode ASM (Abdul, Shakel, dan M. Khalid).

Quddoos et al. (2012) menunjukkan karakteristik dari metode ASM ini

menitikberatkan pada nilai hasil reduksi yang bernilai nol, lanjut ke penetapan

indeks pada angka 0, hingga pengalokasian dari indeks terkecil. Metode ASM ini

telah berhasil memberikan solusi optimal pada masalah transportasi seimbang.

Quddoos et al. (2016) kembali melakukan studi revisi metode ASM pada masalah

transportasi tak seimbang tetapi terdapat Initial Basic Feasible Solution (IBFS)


2

yang sangat dekat ke solusi optimum. Sehingga perlu adanya perbaikan agar

metode ASM dapat memberikan solusi optimal pada masalah transportasi tak

seimbang. Pada revisi metode ASM terdapat algoritma berupa penambahan

baris/kolom dummy dimana biaya pada baris/kolom dummy tersebut bernilai 0

sehingga sangat berpengaruh terhadap hasil reduksi. Maka harus diberikan

penambahan algoritma untuk mengoptimalkan angka 0 yang muncul pada

baris/kolom dummy.

Masalah transportasi adalah jenis khusus dari masalah program linier yang

muncul di banyak aplikasi praktis. Dan ini adalah salah satu aplikasi teknik

program linier yang paling awal dan paling bermanfaat. Telah dipelajari secara

luas dalam Manajemen Logistik dan Operasi dimana distribusi barang dan

komoditas dari sumber ke tujuan merupakan masalah penting. Masalah itu

diformulasikan oleh matematikawan asal Prancis, Gaspard Monge pada tahun

1781. (He D et al. 2014)

Masalah transportasi adalah salah satu yang sering didengar dan paling

penting dari masalah program linier. Masalah transportasi dapat dideskripsikan

sebagai sejumlah komoditas homogen tertentu tersedia di sejumlah sumber dan

jumlah yang tetap diperlukan untuk memenuhi permintaan di sejumlah tujuan.

Kondisi yang seimbang yaitu total permintaan sama dengan total persediaan.

Kemudian menemukan jadwal pengiriman barang yang optimal dengan kepuasan

permintaan di setiap tujuan adalah tujuan utama dari masalah transportasi. Pada

tahun 1941, Hitchcock mengembangkan masalah transportasi dasar bersama

dengan metode konstruktif solusi dan kemudian pada tahun 1949 Koopmans

mendiskusikan masalah secara rinci. Selanjutnya pada tahun 1951 Dantzig

merumuskan masalah transportasi sebagai masalah pemograman linier dan juga

menyediakan metode solusi. Sekarang masalah transportasi sehari-hari telah

menjadi aplikasi standar untuk perkumpulan industri yang memiliki beberapa unit

manufaktur, gudang, dan pusat distribusi (Quddoos et al. 2012).

Metode transportasi dirancang untuk melakukan optimalisasi variabel

yang digunakan dalam memecahkan masalah transportasi, termasuk didalamnya

masalah pengiriman dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan tetap


3

berorientasi pada biaya minimum, dimana setiap sumber mempunyai kapasitas

tertentu dan setiap tujuan mempunyai permintaan tertentu pula. Perusahaan yang

menjadikan model transportasi sebagai alat strategi akan mempunyai keunggulan

dalam merebut persaingan diantara perusahaan dengan produk sejenis. Hal itu

dikarenakan tidak semua perusahaan mampu melakukan penghematan biaya

operasional terutama biaya transportasi. Pada masalah transportasi yang

merupakan bagian dari program linier ini, yang harus diperhatikan adalah bahwa

total kuantitas pada seluruh sumber harus sama dengan total kuantitas pada

seluruh tujuan, dengan kata lain harus seimbang, jika tak seimbang, maka perlu

ditambahkan kuantitas dummy. Dan cara penyelesaian dapat dilakukan dengan

menggunakan metode simpleks atau dengan menggunakan teknik-teknik khusus

yang penyelesaiannya lebih efisien dan beraneka ragam.

Berdasarkan uraian diatas, maka penulis memberi tulisan ini dengan judul

“Optimasi Transportasi Tak Seimbang Menggunakan Modifikasi Metode ASM”

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan pengamatan penulis, maka rumusan masalah pada penelitian ini

adalah adanya pada revisi metode ASM masih terdapat hasil Initial Basic Feasible

Solution (IBFS) yang sangat dekat ke solusi optimum. Hal ini terjadi untuk

beberapa masalah transportasi tak seimbang dikarenakan adanya penambahan

dummy dengan nilai awal 0 sehingga mempengaruhi hasil reduksi.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini adalah penambahan algoritma nantinya

memudahkan untuk melakukan perhitungan matematik dan hasil yang diberikan

tetap termasuk optimal dari hasil pada metode sebelumnya.


4

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa modifikasi metode ASM

merupakan solusi optimal pada masalah transportasi tak seimbang.

1.5 Manfaat Penelitian

1. Menambah wawasan dan informasi dalam bidang operasi riset yang

berhubungan dengan masalah transportasi tak seimbang menggunakan metode

ASM.

2. Sebagai bahan referensi bacaan untuk penelitian sejenisnya.

1.6 Metodologi Penelitian

Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini didasarkan pada studi literatur

dan studi kasus yang bersumber dari buku atau jurnal. Adapun langkah-langkah

yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan pada penelitian ini adalah

sebagai berikut:

1. Mengamati keseimbangan masalah transportasi

2. Membuat tabel transportasi seimbang dengan menambahkan dummy dengan

nilai awal 0

3. Reduksi tabel transportasi dengan dummy

4. Menetapkan indeks untuk setiap sel yang bernilai 0

5. Mengalokasikan sel ke indeks terkecil

6. Membuat kesimpulan dari hasil yang diperoleh


BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Program Linier

Program linier adalah suatu cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimasi suatu model linier dengan berbagai tujuan dan kendala yang

dihadapinya. Masalah program linier ini berkembang pesat setelah ditemukan

suatu metode penyelesaian program linier dengan metode simpleks yang

dikemukakan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Selanjutnya, berbagai cara

dan metode dikembangkan untuk menyelesaikan masalah program linier bahkan

sampai pada masalah riset operasi hingga tahun 1950-an seperti pemrograman

dinamik, teori antrian, dan teori persediaan.

Tujuan utama dari program linier ini adalah menentukan nilai optimum

(maksimal/minimal) dari fungsi tujuan yang telah ditetapkan. Secara umum,

fungsi pada model ini ada dua macam, yaitu fungsi tujuan dan fungsi

pembatas/kendala.

1. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam

program linier yang dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dari fungsi

tersebut yaitu nilai maksimal untuk masalah keuntungan dan nilai minimal

untuk masalah biaya.

2. Fungsi pembatas merupakan bentuk penyajian secara matematika yang

diperlukan berkenaan dengan adanya keterbatasan sumber daya yang tersedia,

misalnya jumlah bahan baku yang terbatas, luas wilayah, waktu kerja, jumlah

tenaga kerja, luas gudang persediaan.

Seperti yang telah dijelaskan diatas, optimasi program linier memiliki

formula sebagai berikut:

Fungsi tujuan max/min (2.1)

Dengan kendala i = 1, 2, ..., m


6

Untuk memperoleh solusi yang optimum, formula tersebut dapat

diselesaikan dengan metode grafik atau metode simpleks. Metode grafik

digunakan apabila permasalahan yang diselesaikan cukup sederhana dan hanya

dapat menyelesaikan maksimal 2 variabel. Metode simpleks merupakan prosedur

aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai

dari suatu titik ekstrim pada daerah fisibel menuju titik ekstrim yang optimum

(Zenis dkk, 2015).

2.2 Masalah Transportasi

Masalah transportasi merupakan masalah pendistribusian barang dari beberapa

sumber (persediaan atau supply) ke beberapa tujuan (permintaan atau demand)

dengan tujuan untuk meminimumkan biaya transportasi atau memaksimumkan

keuntungan (Siswanto, 2016).

Pada masalah transportasi terdapat beberapa sumber dan tujuan tertentu,

komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta

oleh setiap tujuan dengan jumlah tertentu. Komoditas yang akan dikirim dari

sumber ke tujuan, besarnya disesuaikan dengan permintaan atau kapasitas sumber

dan biaya pengangkutan komoditas. Oleh karena itu, permasalahan yang dibahas

pada masalah transportasi adalah bagaimana mengatur distribusi barang untuk

meminimumkan biaya total distribusi barang (Dimyati dan Akhmad, 1992).

Dalam masalah transportasi, pola pengiriman optimal antara sumber atau

pusat persediaan dan tujuan atau pusat permintaan harus ditentukan. Misalkan

sumber m adalah menyediakan n tujuan dengan produk tertentu. Terdapat

sebagai jumlah produk yang tersedia di sumber i, dan sebagai jumlah produk

yang diperlukan di tujuan j. Selanjutnya, biaya pengiriman satu unit produk dari

sumber i ke tujuan j diasumsikan sebagai , dan terdapat adalah jumlah yang

dikirim dari sumber i ke tujuan j. Jika biaya pengiriman diasumsikan proporsional

dengan jumlah yang dikirim dari setiap sumber ke setiap tujuan sehingga untuk

meminimalkan total biaya pengiriman ternyata menjadi masalah program linier

(He D et al. 2014).


7

Masalah umum transportasi direpresentasikan oleh gambar berikut

Gambar 2.1 Masalah Umum Transportasi

Terdapat m sumber dan n tujuan. Panah menyatakan rute yang menghubungkan

sumber dan tujuan. Panah (m,n) yang menggabungkan sumber m ke tujuan n

membawa dua informasi yaitu biaya transportasi per unit, dan jumlah yang

dikirim, . Jumlah pasokan (persediaan) pada sumber m adalah dan jumlah

kebutuhan (permintaan) pada tujuan n adalah . Tujuan model menentukan

yang tidak diketahui yang akan meminimalkan total biaya transportasi yang

memenuhi batas pasokan (persediaan) dan kebutuhan (permintaan) (Sharma et al.

2012).

Dari deskripsi di atas dapat disusun dalam tabel transportasi seperti pada

berikut:

Tabel 2.1 Masalah Transportasi

Destination Supply

( ia )

Source

( iS )

1D 2D nD

1S 11x 12x nx1

1a

11c 12c nc1

2S 21x 22x nx2

2a

21c 22c nc2


8

Destination Supply

( ia )

Source

( iS )

1D 2D nD

mS 1mx 2mx 12 mnx

ma

1mc 2mc mnc

Demand

( jb ) 1b 2b nb

Sumber: Patel et al. (2017) dalam Global Journal of Pure and Applied

Mathematics

keterangan:

: sumber ke i, i = 1, 2, ..., m

: tujuan ke j, j = 1, 2, ..., n

: persediaan ke i, i = 1, 2, ..., m

: permintaan ke j, j = 1, 2, ..., n

: biaya transportasi barang dari sumber i ke tujuan j, i = 1, 2, ..., m

j = 1, 2, ..., n

: banyak barang yang diangkut dari sumber i ke tujuan j, i = 1, 2, ..., m

j = 1, 2, ..., n

Secara matematis, masalah ini dapat dinyatakan sebagai

Minimum ∑ ∑

(2.2)

bergantung pada

∑ i = 1, 2, ..., m (2.3)

∑ j = 1, 2, ..., n (2.4)

2.2.1 Solusi Optimal

Solusi optimal adalah solusi yang layak (belum tentu dasar) dikatakan optimal

jika meminimalkan total biaya transportasi. (Mamidi et al. 2014)


9

2.2.2 Masalah Transportasi Seimbang

Masalah transportasi seimbang adalah jumlah persediaan dari beberapa sumber

sama dengan jumlah permintaan beberapa tempat tujuan, yaitu

n

j

j

m

i

i ab (2.5)

2.2.3 Masalah Transportasi Tidak Seimbang

Masalah transportasi tidak seimbang adalah jumlah persediaan dari beberapa

sumber tidak sama dengan jumlah permintaan beberapa tempat tujuan. Dalam

kasus masalah transportasi tak seimbang, dimana persediaan lebih besar dari

permintaan atau sebaliknya yaitu sebagai berikut.

n

j

j

m

i

i ab (2.6)

n

j

j

m

i

i ab (2.7)

Batasan di atas dikemukakan hanya karena ia menjadi dasar dalam pengembangan

teknik transportasi. Namun, setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang

dengan cara memasukkan variable artifisial (semu). Jika jumlah demand melebihi

jumlah supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan men-supply

kekurangan tersebut, yaitu sebanyak ∑ ∑ .

Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat

suatu tujuan dummy untuk menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak ∑

∑ .

Biaya pengiriman barang dari sumber dummy ke seluruh tujuan

adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya dari sumber dummy

tidak terjadi pengiriman. Begitu pula dengan biaya pengiriman barang dari

semua sumber ke tujuan dummy adalah nol.


10

2.3 Metode Transportasi

Masalah transportasi dapat diselesaikan dengan beberapa metode, misalnya dalam

mendapatkan solusi fisibel awal yaitu dengan Metode Pojok Barat Laut (North

West Corner Method), Metode Biaya Terendah (Least Cost Method), dan Metode

Aproksimasi Vogel (VAM). Setelah solusi awal di dapat, maka langkah

selanjutnya adalah uji optimalitas dengan Metode Batu Loncat (Stepping Stone),

atau Metode MODI (Modified Distribution) (Winston, 2004).

Beberapa metode langsung yang berhasil dikembangkan diantaranya

Metode Zero Neigbouring, Metode Zero Suffix, Metode Zero Point, Metode

Exponential Approach, Metode ASM, dan sebagainya. Karakteristik dari beberapa

metode ini menitikberatkan pada biaya hasil reduksi yang bernilai nol.

2.3.1 Metode Zero Neighbouring

Metode Zero Neighbouring diterapkan untuk menemukan solusi yang layak untuk

masalah transportasi secara langsung. Metode yang diusulkan memberikan solusi

yang selalu layak (mungkin optimal untuk sebagian) tanpa gangguan kondisi

degenerasi. Metode ini membutuhkan iterasi minimal untuk mencapai optimalitas.

Pada metode langsung ini di hitung nilai rata-rata sekitar angka 0 yang bukan

bernilai 0, kemudian pengalokasian bergantung pada nilai rata-rata terbesar

(Thiagarajan et al. 2013).

Algoritma metode Zero Neighbouring (Thiagarajan et al. 2013):

1. Membuat tabel transportasi.

2. Pilih nilai minimum dari setiap baris dan kurangi dengan setiap elemen di

baris yang sesuai.

3. Pilih nilai minimum dari setiap kolom dan kurangi dengan setiap elemen di

kolom yang sesuai.

4. Dalam matriks biaya tereduksi akan ada setidaknya satu nol di setiap baris

dan kolom, kemudian cari rata-rata sekitar 0 yang bukan bernilai 0 di posisi

nol.

5. Temukan nilai maksimum di antara sekitar 0. Jika memiliki satu nilai

maksimum, maka pertama-tama berikan permintaan yang sesuai dengan sel.


11

Jika memiliki nilai yang sama maka pilih { } dan berikan permintaan

semaksimal mungkin.

6. Setelah langkah diatas, permintaan (kolom) atau persediaan (baris) yang habis

untuk diratakan. Matriks yang dihasilkan harus memiliki setidaknya satu nol

pada setiap baris dan kolom, kalau tidak, ulangi langkah ke 5.

7. Ulangi langkah 2 hingga langkah 6 sampai solusi yang layak diperoleh.

2.3.2 Metode Zero Suffix

Sama seperti Metode Zero Neighbouring, Metode Zero Suffix juga mempunyai

karakteristik menghitung nilai rata-rata sekitar angka 0 yang bukan bernilai 0,

kemudian pengalokasian bergantung pada nilai rata-rata terbesar.

Algoritma Metode Zero Suffix (Fegade et al. 2012):

1. Membuat tabel transportasi

2. Kurangi setiap entri baris dari tabel transportasi dari baris minimum yang

sesuai setelah itu kurangi setiap entri kolom dari tabel transportasidari kolom

minimum yang sesuai.

3. Dalam matriks biaya yang dikurangi akan ada setidaknya satu nol di setiap

baris dan kolom, kemudian cari nilai akhiran dari semua nol dalam matriks

biaya yang dikurangi yang dilambangkan dengan S, oleh karena itu S =

{tambahkan biaya dari sisi terdekat dari nol / biaya tambahan}

4. Pilih maksimum S, jika memiliki satu nilai maksimum maka persediaan

pertama ke permintaan tersebut sesuai dengan sel. Jika memiliki nilai yang

lebih sama maka pilih { } dan berikan pemintaan semaksimal mungkin

5. Setelah langkah diatas, permintaan (kolom) atau persediaan (baris) yang habis

harus diratakan. Matriks yang dihasilkan harus memiliki setidaknya satu nol

pada setiap baris dan kolom, jika tidak, ulangi langkah ke 2

6. Ulangi langkah 3 hingga langkah 5 sampai solusi optimal diperoleh.

Sharma et al. (2013) melakukan modifikasi metode Zero Suffix yang bebas dari

masalah degenerasi, dan membutuhkan sedikitnya jumlah iterasi untuk mencapai

optimalitas sehingga lebih sederhana, mudah dimengerti dan diterapkan.


12

Algoritma metode Zero Suffix (Sharma et al. 2013):

1. Membuat tabel transportasi untuk masalah transportasi yang diberikan

2. Kurangi elemen terkecil dari setiap baris dari semua elemen baris yang sesuai

3. Kurangi elemen terkecil dari setiap kolom dari semua elemen kolom yang

sesuai dari tabel transportasi yang diperoleh pada langkah 2

4. Temukan nilai akhiran, S dari setiap nol dalam tabel transportasi biaya rendah

sebagai berikut: S = rata-rata perbedaan dari elemen terkecil dan elemen

terkecil selanjutnya dari barisnya dan elemen terkecil selanjutnya dari

kolomnya.

5. Cari nilai akhiran terbesar dari noldan alokasikan ke sel yang sesuai dan

hapus baris/kolom yang habis untuk mendapatkan tabel transportasi yang

dikurangi. Lanjutkan ke langkah 2.

6. Ulangi langkah 2 hingga 5 sampai semua permintaan dan persediaan habis.

2.3.3 Metode Zero Point

Metode Zero Point adalah sebuah prosedur sistematis untuk masalah transportasi

dan mudah diterapkan dan dapat digunakan untuk semua jenis masalah

transportasi apakah memaksimalkan atau meminimalkan fungsi objektif. Metode

Zero Point memberikan solusi optimal tanpa bantuan metode modifikasi lainnya.

Pada metode Zero Point diperhatikan permintaan dan persediaan pada sel dengan

biaya tereduksi 0 yang bersangkutan (Sharma et al. 2012).

Algoritma Metode Zero Point (Sharma et al. 2012):

1. Membuat tabel transportasi untuk masalah transportasi yang diberikan,

kemudian jika tidak seimbang, mengubahnya menjadi seimbang

2. Kurangi setiap entri baris dari tabel transportasi dari baris minimum

3. Kurangi setiap entri kolom dari tabel transportasisetelah menggunakan

langkah 2 dari minimum kolom

4. Periksa apakah setiap kolom permintaan kurang dari jumlah persedian yang

biaya berkurang dalam kolom itu adalah nol. Juga periksa apakah setiap baris

persediaan kurang dari jumlah permintaan yang biaya berkurang dalam baris


13

itu adalah nol. Jika demikian, lanjutkan ke langkah 7 (tabel yang dikurangi itu

disebut tabel peruntukan). Jika tidak, lanjut ke langkah 5

5. Gambarkan jumlah minimum garis horizontal dan garis vertikal untuk

menutup semua nol dari tabel transportasi yang dikurangi sehingga beberapa

entri dari baris atau kolom yang tidak memenuhi kondisi langkah 4, tidak

tertutupi

6. Kembangkan tabel transportasi tereduksi yang baru dan direvisi sebagai

berikut:

(i) Menemukan entri terkecil dari matriks biaya rendah yang tidak tercakup

oleh jalur apapun.

(ii) Kurangi entri ini dari semua entri yang tidak ditemukan dan yang sama

untuk semua entri yang terletak di persimpangan dua baris, dan kemudian

lanjutkan ke langkah 4.

7. Pilih sel di tabel transportasi berkurang yang mengurangi biaya adalah biaya

maksimum. Katakan (a,b). Jika ada lebih dari satu, maka pilih siapa saja.

8. Pilih sel dalam baris a atau kolom b dari tabel transportasi berkurang yang

merupakan satu-satunya sel yang mengurangi biaya adalah nol dan kemudian

membagikan setinggi mungkin ke sel itu. Jika sel seperti itu tidak terjadi

untuk nilai apa pun, kita pilih sel apa pun dalam tabel transportasi yang

dikurangi yang mengurangi biaya nol.

9. Mereformasi tabel transportasi yang dikurangi setelah menghapus titik

persediaan yang digunakan sepenuhnya dan titik permintaan yang diterima

dan juga memodifikasinya untuk memasukkan titik persediaan yang tidak

sepenuhnya digunakan dan tidak menerima titik permintaan

10. Ulangi langkah 7 hingga langkah 9 sampai semua titik persediaan dan semua

titik permintaan diterima sepenuhnya

11. Pembagian ini menghasilkan solusi untuk masalah transportasi.

Selanjutnya metode ini ditingkatkan dengan metode yang lebih sederhana dan

efisien, mudah dimengerti dan memberikan solusi optimal untuk masalah

transportasi teratur atau fuzzy. Metode ini ditingkatkan oleh Samuel (2012)

dengan nama Improved Zero Point Method.


14

Algoritma IZPM (Samuel, 2012):

1. Inisialisasi

Sudah diketahui bahwa suatu ketidakseimbangan pada masalah transportasi

adalah setara dengan masalah transportasi seimbang yang biasa dengan satu

kolom dummy atau satu baris dummy dengan penambahan biaya 0.

2. Mengembangkan Tabel Biaya

(a) Jika kolom dummy (baris) ditambahkan, kurangi nilai terkecil dari setiap

kolom (baris) dari tabel biaya yangdiberikan dan mengurangi dari setiap

elemen dari kolom (baris).

(b) Dalam matriks yang diturunkan diperoleh dari 2(a), ganti biaya dummy

terbesar dari biaya transportasi.

3. Penentuan Nilai Nol

(a) Temukan elemen terkecil dari setiap baris pada nilai tabel dan kemudian

kurangi itu dari setiap elemen dari baris.

(b) Dalam matriks yang diturunkan diperoleh dari 3(a), temukan elemen

terkecil di setiap kolom dan kemudian kurangi itu dari setiap elemen dari

kolom. Setiap baris dan kolom sekarang mempunyai paling sedikit satu

0.

4. Kriteria Optimalitas

(a) Verifikasi setiap elemen persediaan kurang dari atau sama dengan

permintaan, yang mengurangi biaya nol.

(b) Sekarang verifikasi setiap elemen permintaan kurang dari atau sama

dengan persediaan, yang mengurangi biaya nol.

(c) Jika 4(a) dan 4(b) terpenuhi, maka lanjut ke langkah 7, jika tidak, lanjut

ke langkah 5.

5. Merevisi Tabel Biaya Peluang

(a) Gambarkan jumlah minimum garis horizontal dan vertikal untuk

menutup semua nol dalam tabel biaya revisi yang diperoleh dari langkah

3. (Menghilangkan baris dan kolom yang tidak terpenuhi).

6. Kembangkan Tabel Biaya Peluang Revisi yang Baru


15

(a) Dari sel-sel yang tidak tercakup oleh garis apa pun, pilih elemen terkecil.

Sebut nilai ini k.

(b) Kurangi k dari setiap elemen di dalam sel yang tidak ditutupi oleh garis.

(c) Tambahkan k ke setiap elemen di dalam sel yang di cakup oleh dua garis,

yaitu perpotongan dua garis.

(d) Elemen dalam sel tertutup oleh satu baris tetap tidak berubah.

(e) Kemudian lanjutkan ke langkah 4.

7. Penentuan Sel untuk Alokasi

(a) Identifikasi biaya transportasi unit terbesar dalam matriks berkurang

yang diperoleh dari langkah 4. Jika ikatan terjadi, gunakan sembarang

pilihan pemutusan ikatan. Sebut sel ini (i,j).

(b) Pilih satu sel nol untuk alokasi, sesuai baris ke-i dan atau kolom ke-j, jika

ada.

(c) Mengalokasikan semaksimal mungkin ke sel itu, dan menyeberang

dengan cara biasa.

(d) Jika sel tunggal nol tidak ada di kedua baris ke-i dan kolom ke-j

kemudian pilih biaya transportasi unit terbesar berikutnya dan ulangi

proses dari langkah 7(b) ke langkah 7(c) sampai semua persyaratan rim

puas. (Jika tidak, akhirnya pilih sewenang-wenang).

2.3.4 Metode Exponential Approach

Metode Exponential Approach menetapkan penalti eksponensial pada setiap sel

biaya yang bernilai 0. Penalti eksponensial adalah banyaknya angka 0 pada baris

ke-i dan kolom ke-j selain angka 0 yang terpilih. Pengalokasian pada sel dengan

penalti eksponensial terkecil. Jika terdapat penalti eksponensial terkecil yang

sama, maka pengalokasian bergantung pada rata-rata permintaan dan persediaan

terkecil untuk sel yang bersesuaian (Vannan dan Rekha, 2013).

Algoritma Exponential Approach (Mamidi et al. 2014):

1. Membuat model transportasi dalam tabel dari masalah transportasi yang

diberikan


16

2. Kurangi setiap entri baris dari tabel transportasi dari baris minimum masing-

masing dan kemudian kurangi setiap entri kolom dari tabel transportasi dari

minimum kolom terkait, sehingga setiap baris dan kolom akan memiliki

setidaknya satu nol

3. Sekarang akan ada setidaknya satu nol di setiap baris dan kolom dalam

matriks biaya yang dikurangi. Pilih nol pertama (baris bijaksana) yang terjadi

dalam matriks biaya. Hitung jumlah total nol tidak termasuk yang dipilih di

baris dan kolom yang sesuai. Dan kemudian tetapkan hukuman eksponensial

(jumlah nol di baris dan kolom masing-masing). Ulangi prosedur untuk

semua nol dalam matriks

4. Sekarang pilih nol dengan mana hukuman eksonensial minimum ditetapkan

dari langkah 3 dan alokasikan masing-masing nilai sel dengan jumlah

maksimumyang mungkin. Jika dasi terjadi untuk sel mana pun dalam nilai

penalti, maka pertama-tama periksa nilai yang sesuai dalam permintaan dan

penawaran, temukan nilai rata-ratanya dan tetapkan alokasi untuk nilai rata-

rata terkecil. Dan jika lagi ikat terjadi maka periksa nilai yang sesuai di baris

dan kolom dan pilih minimum

5. Setelah melakukan langah 4, hapus baris atau kolom (dimana persediaan atau

permintaan menjadi nol) untuk perhitungan lebih lanjut

6. Perikasa apakah matriks yang dihasilkan memiliki setidaknya satu nol di

setiap kolom dan di setiap baris. Jika tidak ulangi langkah 2, jika tidak

lanjutkan ke langkah 7

7. Ulang langkah 3 hingga langkah 6 sampai dan kecuali semua permintaan

dipenuhi dan semua persediaan habis

8. Untuk nilai yang dialokasikan, hitunglah biaya optimal.

2.3.5 Metode ASM

Metode ASM merupakan salah satu metode optimasi masalah transportasi yang

langsung menguji keoptimalan dari tabel transportasi. Metode ASM memberikan

solusi optimal secara langsung dengan iterasi yang lebih sedikit untuk masalah

transportasi. Karena metode ini menghabiskan lebih sedikit waktu dan sangat


17

mudah untuk dimengerti dan diterapkan, maka akan menjadi sangat membantu

untuk pengambilan keputusan yang menangani masalah permintaan dan

persediaan (Quddoos et al. 2012).

Algoritma metode ASM (Quddoos et al. 2012):

1. Menyusun tabel transportasi dari masalah transportasi yang diberikan

2. Mengurangi biaya setiap baris pada tabel transportasi dengan biaya minimum

masing-masing baris dan kemudian mengurangi biaya setiap kolom dengan

nilai minimum masing-masing kolom.

3. Sekarang akan ada setidaknya satu nol di setiap baris dan setiap kolom dalam

matriks biaya yang telah dikurangi. Pilih nol pertama, perhatikan ( ji, ) nol

yang dipilih, hitung jumlah total nol (tidak termasuk nol yang dipilih) di baris

i dan kolom j . Kemudian pilih nol selanjutnya dan hitung jumlah total nol

pada baris dan kolom dengan cara yang sama. Ulangi untuk semua nol pada

matriks biaya.

4. Sekarang pilih nol dari sejumlah nol yang telah terhitung pada langkah 3 yang

minimum dan berikan jumlah maksimum yang mungkin pada sel. Jika terjadi

seri untuk beberapa nol yang terhitung dari langkah 3, pilih salah satu nol.

Alokasikan jumlah yang mungkin untuk sel tersebut.

5. Setelah melakukan langkah 4, hapus baris dan kolom untuk perhitungan lebih

lanjut dimana persediaan dari sumber tertentu habis atau permintaan untuk

tujuan tertentu terpenuhi.

6. Periksa apakah hasil perhitungan matriks terdapat minimal satu nilai nol di

setiap baris dan di setiap kolom. Jika tidak, ulangi langkah 2, jika sebaliknya

ke langkah 7.

7. Mengulangi langkah 3 sampai langkah 6 sampai seluruh permintaan

terpenuhi dan seluruh persediaan habis.

Metode ini mampu memberikan solusi optimal untuk masalah transportasi

seimbang tetapi untuk masalah transportasi tak seimbang belum tentu

memberikan solusi optimal. Maka dilakukan revisi metode ASM pada penelitian

selanjutnya untuk menyelesaikan masalah transportasi tak seimbang.


18

Algoritma Revisi Metode ASM (Quddoos et al. 2016):

1. Menyusun tabel transportasi dari masalah transportasi yang diberi. Periksa

apakah masalahnya seimbang atau tidak. Jika masalah seimbang, langsung ke

tahap 4, jika tidak, lanjut ke tahap 2.

2. Jika masalah tidak seimbang, kemudian salah satu dari dua kasus berikut

mungkin terjadi:

a. Jika total persediaan melebihi total permintaan, masukkan kolom dummy

tambahan pada tabel transportasi untuk menyerap kelebihan persediaan.

Biaya transportasi untuk sel di kolom dummy ini diatur ke „M‟ dimana M

> 0 adalah sangat besar tetapi batas nilai positif. atau

b. Jika total permintaan melebihi total persediaan, masukkan baris dummy

tambahan pada tabel transportasi untuk memenuhi kelebihan permintaan.

Biaya transportasi untuk sel di baris dummy ini diatur ke „M‟ dimana M

> 0 adalah sangat besar tetapi batas nilai positif.

3. a. Di kasus (a) pada langkah 2, identifikasi elemen terendah dari setiap

baris dan kurangi dari setiap elemen dari masing-masing baris dan

kemudian yang dihasilkan tabel, identifikasi elemen terendah dari setiap

kolom dan kurangi dari setiap elemen dari masing-masing kolom dan

lanjut ke langkah 5. atau

b. Di kasus (b) pada langkah 2, identifikasi elemen terendah dari setiap

kolom dan kurangi dari setiap elemen dari masing-masing kolom dan

kemudian yang dihasilkan tabel, identifikasi elemen terendah dari setiap

baris dan kurangi dari setiap elemen dari masing-masing baris dan lanjut

ke langkah 5.

4. Identifikasi elemen terendah dari setiap baris dan kurangi dari setiap elemen

dari masing-masing baris dan setelah dihasilkan tabel, identifikasi elemen

terendah dari setiap kolom dan kurangi dari setiap elemen dari masing-

masing kolom.

5. Dalam tabel yang telah dikurangi, setiap baris dan setiap kolom memiliki

setidaknya satu nol. Sekarang, pilih nol pertama (katakan 0) dan hitung

jumlah nol (tidak termasuk nol yang dipilih) di baris dan kolom dan catat


19

sebagai tanda dari nol yang telah dipilih. Ulangi proses ini untuk semua nol

pada tabel transportasi.

6. Sekarang, pilih sel yang mengandung nol yang mana nilai yang bertanda

adalah minimum dan berikan jumlah maksimum yang memungkinkan pada

sel tersebut. Jika terjadi seri untuk beberap nol di langkah 5, pilih salah satu

nol dari beberapa nol tersebut di baris dan kolom maksimum. Sediakan

jumlah maksimum yang mungkin untuk sel tersebut.

7. Hapus baris atau kolom untuk dipertimbangkan lebih lanjut dimana

persediaan dari sumber tertentu habis (atau permintaan untuk tujuan tertentu

terpenuhi). Jika pada tahap apapun, kolom permintaan telah terpenuhi dan

baris persediaan telah habis, kemudian hapus hanya satu kolom (atau baris)

dan baris (atau kolom) yang tersisa diberikan persediaan (atau permintaan)

nol dalam perhitungan lebih lanjut.

8. Sekarang periksa apakah tabel yang telah dikurangi mengandung setidaknya

satu nol di setiap baris dan setiap kolom. Jika ini tidak terjadi, ulangi langkah

4, jika sebaliknya ke langkah 9.

9. Ulangi langkah 5 sampai langkah 8 sampai semua permintaan terpenuhi dan

persediaan habis.


BAB 3

MODIFIKASI METODE ASM

3.1 Analisis Metode ASM

Metode ASM merupakan metode langsung untuk menyelesaikan masalah

transportasi. Metode ini diperkenalkan oleh Abdul Quddoos, Dr. Shakeel Javaid,

dan Prof. Mohd Masood Khalid yang selanjutnya disingkat menjadi ASM. Pada

tahun 2012, Quddoos et al. telah menunjukkan bahwa metode ASM memberikan

solusi optimal untuk menyelesaikan masalah transportasi seimbang. Algoritma

pada metode ASM ini menitikberatkan pada hasil reduksi yang bernilai nol dari

reduksi baris dan reduksi kolom. Selanjutnya menetapkan indeks dari angka 0

pada setiap baris dan kolom, dilanjutkan dengan pengalokasian sebesar mungkin

dari jumlah persediaan dan permintaan pada indeks terkecil. Tetapi selama dalam

penelitian, Quddoos et al temui sedikit masalah dimana metode ASM tidak

langsung memberikan solusi optimal tetapi memberikan Initial Basic Feasible

Solution (IBFS) terbaik yang mana sangat dekat ke solusi optimal. Satu dasar

masalah yang ditemui adalah masalah transportasi tak seimbang. Untuk mengatasi

masalah ini, Quddoos et al menghadirkan revisi metode ASM pada tahun 2016.

Solusi dari revisi metode ASM ini adalah adanya penambahan algoritma yaitu

penambahan sel dummy. Sel dummy ini berfungsi untuk membuat tabel

transportasi tak seimbang menjadi seimbang. Selanjutnya, untuk melakukan

reduksi, tergantung dari penambahan baris atau kolom dummy. Jika baris dummy

yang ditambahkan, maka dilakukan reduksi kolom terlebih dahulu setelah itu

reduksi baris, begitu pula sebaliknya. Dan untuk algoritma selanjutnya sama

seperti algoritma metode ASM sebelumnya yaitu menetapkan indeks dari angka 0

pada setiap baris dan kolom (termasuk baris/kolom dummy) dan dilanjutkan

dengan pengalokasian sebesar mungkin dari jumlah persediaan dan permintaan

(termasuk sel dummy yang ditambahkan) pada indeks terkecil.


21

Sehingga pada revisi metode ASM ini memberikan solusi optimal untuk masalah

transportasi tak seimbang. Dan revisi metode ASM ini tetap mempunyai algoritma

yang sederhana dan mudah dipahami.

3.2 Rancangan Optimasi

Pada penelitian ini, akan dilakukan modifikasi dari revisi metode ASM untuk

menunjukkan bahwa modifikasi ini tetap memberikan solusi optimal pada

masalah transportasi tak seimbang. Pada revisi metode ASM, terdapat algoritma

berupa penambahan baris/kolom dummy dimana biaya pada baris/kolom dummy

tersebut bernilai 0 sehingga sangat berpengaruh terhadap hasil reduksi. Maka

diberikan penambahan algoritma untuk mengoptimalkan angka 0 yang muncul

pada baris/kolom dummy. Untuk melakukan reduksi, sesuai dengan penambahan

baris/kolom dummy. Jika baris dummy yang ditambahkan, maka lakukan reduksi

baris terlebih dahulu selanjutnya lakukan penggantian nilai dummy dengan nilai

tereduksi terbesar dan selanjutnya dilakukan reduksi kembali sehingga syarat

pengoptimalan angka 0 terpenuhi. Dan sebaliknya dilakukan seperti itu jika kolom

dummy yang ditambahkan. Penambahan algoritma ini diambil dari metode

Improved Zero Point dimana metode ini juga merupakan metode langsung untuk

menyelesaikan masalah transportasi. Dalam hal ini algoritma yang ditambahkan

yaitu pada bagian reduksi dari penambahan dummy dan penggantian nilai dummy

dengan nilai tereduksi terbesar.

Rancangan optimasi ini digambarkan sebagai berikut:

Transportasi tak seimbang

Transportasi seimbang dengan penambahan dummy

Penambahan baris dummy Penambahan kolom dummy

1 2


22

Gambar 3.1 Rancangan Optimasi

3.3 Metodologi Penelitian

Adapun langkah penyelesaiannya sebagai berikut:

1. Mengamati keseimbangan masalah transportasi

Dengan melihat teori keseimbangan, maka kita bisa menentukan apakah

masalah transportasi tersebut seimbang atau tak seimbang

2. Membentuk tabel transportasi seimbang

Dengan menambahkan dummy pada baris atau kolom dengan biaya awal 0

3. Reduksi tabel transportasi dengan dummy

Reduksi kolom

1 2

Penggantian nilai dummy

dengan nilai tereduksi

baris terbesar

Penggantian nilai dummy

dengan nilai tereduksi

kolom terbesar

Reduksi kolom Reduksi baris

Reduksi baris Reduksi kolom

Penetapan indeks terkecil pada

setiap sel bernilai 0

Pengalokasian sebesar mungkin pada indeks terkecil

Perbaikan tabel transportasi baru

Solusi optimal

Reduksi baris


23

3.1. Jika baris dummy yang ditambahkan, maka ke langkah ke-4. Kemudian

mengganti biaya dummy dengan biaya terbesar dari hasil reduksi baris.

Selanjutnya ke langkah ke-5 kemudian langkah ke-4.

3.2. Jika kolom dummy yang ditambahkan, maka ke langkah ke-5.

Kemudian mengganti biaya dummy dengan biaya terbesar dari hasil

reduksi kolom. Selanjutnya ke langkah ke-4 kemudian langkah ke-5.

4. Reduksi Baris

Mengurangi setiap entri baris dengan masing-masing biaya terkecilnya, yaitu

.

5. Reduksi kolom

Mengurangi setiap entri kolom dengan masing-masing biaya terkecilnya,

yaitu .

6. Penetapan indeks

Menetapkan indeks e untuk setiap sel ij yang bernilai 0, yang mana indeks e

adalah banyaknya angka 0 pada baris ke-i dan kolom ke-j dan tidak termasuk

angka 0 yang terpilih pada sel-ij.

7. Pengalokasian

Memilih angka 0 dengan indeks e terkecil dan mengalokasikan sel dengan

jumlah terbesar yang mungkin dengan melihat persediaan dan permintaan sel

yang bersangkutan. Jika terdapat indeks e terkecil yang sama (lebih dari satu),

maka menghitung masing-masing jumlah pada baris ke-i

dan kolom ke-j dari sel-ij yang bersangkutan (sel yang memiliki indeks e

terkecil yang sama) dan mengalokasikan sebesar mungkin pada sel dengan

hasil penjumlahan terbesar. Jika masih terjadi kesamaan, maka memilih sel-ij

(sel yang memiliki indeks e terkecil yang sama) yang memiliki rata-rata

persediaan dan permintaan terkecil.

8. Perbaikan tabel transportasi

Membuat tabel transportasi baru untuk perhitungan selanjutnya dengan

mengabaikan baris atau kolom yang permintaan atau persediaannya telah

terpenuhi. Mengecek apakah tabel transportasi baru memiliki paling sedikit

satu angka 0 pada setiap baris dan kolom.

Jika tidak terdapat, kembali ke langkah ke-4.


24

9. Mengulangi langkah ke-6 sampai langkah ke-8 sedemikian sehingga semua

permintaan terpenuhi dan semua persediaan habis.


BAB 4

IMPLEMENTASI DAN PEMBAHASAN

Pada penelitian ini, data diperoleh dari jurnal “A Revised Version of ASM-

Method for Solving Transportation Problem” (sumber: Int. J. Agricult. Sat. Sci

tahun 2016).

Diketahui bahwa terdapat 4 sumber ( ) dan 3 tujuan ( ), dimana sumber dan

tujuan ini saling terhubung membawa dua informasi yaitu biaya transportasi ( )

dan jumlah yang dikirim ( ). Dalam hal ini telah diketahui biaya dari setiap

sumber ke setiap tujuan serta jumlah persediaan (supply) pada sumber dan jumlah

permintaan (demand) pada tujuan.

Biaya yang diketahui dari setiap sumber ke setiap tujuan sebagai berikut

Dari sumber ke tujuan = 2












Jumlah persediaan (supply) pada setiap sumber adalah sebagai berikut

Pada sumber jumlah persediaan ( ) sebanyak 5




26


Maka 35 ia

Jumlah permintaan (demand) pada setiap tujuan adalah sebagai berikut

Pada tujuan jumlah permintaan ( ) sebanyak 7



Maka 34 jb

Dari deskripsi diatas, dapat digambarkan pada tabel 4.1 berikut

Tabel 4.1 Masalah Transportasi Tak Seimbang

1D 2D 3D Supply ( ia )

1S 2 7 14 5

2S 3 3 1 8

3S 5 4 7 7

4S 1 6 2 15

Demand ( jb ) 7 9 18

Terdapat jumlah persediaan 35)( ia dan jumlah permintaan ,34)( jb

maka diperoleh ia > jb , sehingga dibuat suatu tujuan dummy (kolom) untuk

menyerap kelebihan tersebut yaitu sebesar 13435 ji ba . Maka

diperoleh tabel 4.2 berikut.

Tabel 4.2 Masalah Transportasi Seimbang

dengan Penambahan Kolom Dummy

1D 2D 3D Dummy Supply ( ia )

1S 2 7 14 0 5

2S 3 3 1 0 8

3S 5 4 7 0 7

4S 1 6 2 0 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35


27

Diketahui bahwa terjadi penambahan kolom dummy, sehingga dilakukan reduksi

kolom dengan mengurangi setiap entri kolom dengan masing-masing biaya

terkecilnya.

Pada biaya terkecilnya terletak pada , sehingga



Pada kolom dummy yang ditambahkan, setiap entri kolom tetap bernilai 0,

sehingga . Maka diperoleh tabel 4.3 berikut

Tabel 4.3 Hasil Reduksi Kolom


1S 1 4 13 0 5

2S 2 0 0 0 8


28


3S 4 1 6 0 7

4S 0 3 1 0 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35

Selanjutnya dilakukan penggantian nilai dummy dengan nilai tereduksi kolom

terbesar. Dari tabel hasil reduksi kolom diatas, diperoleh nilai tereduksi terbesar

pada setiap entri kolom yaitu 13, sehingga diperoleh tabel 4.4 berikut

Tabel 4.4 Penggantian Nilai Dummy


1S 1 4 13 13 5

2S 2 0 0 13 8

3S 4 1 6 13 7

4S 0 3 1 13 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35

Selanjutnya dilakukan reduksi baris dengan mengurangi setiap entri baris dengan

masing-masing biaya terkecilnya.

Pada , biaya terkecilnya terletak pada , sehingga

Pada , biaya terkecilnya terletak pada atau , sehingga


29



Maka diperoleh tabel 4.5 berikut

Tabel 4.5 Hasil Reduksi Baris


1S 0 3 12 12 5

2S 2 0 0 13 8

3S 3 0 5 12 7

4S 0 3 1 13 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35

Kembali dilakukan reduksi kolom agar setidaknya ada satu nol pada kolom

dummy dengan mengurangi setiap entri kolom dengan masing-masing biaya

terkecilnya.



30



Pada kolom dari penggantian nilai dummy, biaya terkecil terletak pada atau

, sehingga

Maka diperoleh tabel 4.6 berikut

Tabel 4.6 Hasil Reduksi Kolom


1S 0 3 12 0 5

2S 2 0 0 1 8


31


3S 3 0 5 0 7

4S 0 3 1 1 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35

Selanjutnya dilakukan penetapan indeks e untuk setiap sel ij yang bernilai nol

dimana indeks e adalah banyaknya angka 0 pada baris ke-i dan kolom ke-j. Maka

diperoleh tabel 4.7 berikut

Tabel 4.7 Penetapan Indeks


1S 02 3 12 01 5

2S 2 02 01 1 8

3S 3 01 5 02 7

4S 01 3 11 1 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35

Selanjutnya dilakukan pengalokasian dengan cara memilih angka 0 dengan indeks

e terkecil dan mengalokasikan sel dengan jumlah terbesar yang mungkin dengan

melihat persediaan dan permintaaan sel yang bersangkutan sampai permintaan dan

persediaan terpenuhi. Diperoleh indeks terkecil pertama pada sel ( , Dummy) dan

dapat diperlihatkan pada tabel 4.8 berikut

Tabel 4.8 Pengalokasian ke Indeks Terkecil


1S 02 3 12 01 5

2S 2 02 01 1 8

3S 3 01 5 02 7

4S 01 3 11 1 15

Demand ( jb ) 7 9 18 1 35

Diketahui indeks terkecil pertama terdapat pada sel ( , Dummy) dan dilakukan

pengalokasian permintaan yang berjumlah 1, sehingga permintaan pada kolom

dummy terpenuhi dan persediaan pada baris , bersisa 4. Selanjutnya dilakukan

penetapan indeks kembali pada sel ( , ) dan diperoleh tabel 4.9 berikut


32

Tabel 4.9 Pengalokasian (1)


1S 01 3 12 1 4

2S 2 02 01 8

3S 3 01 5 7

4S 01 3 11 15

Demand ( jb ) 7 9 18 0 35

Diketahui indeks terkecil selanjutnya terdapat pada sel ( , ) dan dilakukan

pengalokasian persediaan yang berjumlah 4, sehingga persediaan pada baris

terpenuhi dan permintaan pada kolom bersisa 3. Selanjutnya dilakukan




1S 4 1 0

2S 2 02 01 8

3S 3 01 5 7

4S 01 3 11 15

Demand ( jb ) 3 9 18 0 35



terpenuhi dan persediaan pada baris bersisa 12. Selanjutnya dilakukan




1S 4 1 0

2S 02 01 8

3S 01 5 7

4S 3 3 11 12

Demand ( jb ) 0 9 18 0 35




33





1S 4 1 0

2S 02 01 8

3S 01 5 7

4S 3 12 0

Demand ( jb ) 0 9 6 0 35



terpenuhi dan persediaan pada baris bersisa 2. Selanjutnya dilakukan penetapan

indeks kembali pada sel ( , ) dan diperoleh tabel 4.13 berikut



1S 4 1 0

2S 01 6 2

3S 01 7

4S 3 12 0

Demand ( jb ) 0 9 0 0 35







1S 4 1 0

2S 2 6 0

3S 01 7

4S 3 12 0

Demand ( jb ) 0 7 0 0 35


34

Diketahui indeks terkecil terakhir terdapat pada sel ( , ) dan dilakukan


terpenuhi dan persediaan pada baris juga terpenuhi. Diperoleh tabel 4.15

berikut



1S 4 1 0

2S 2 6 0

3S 7 0

4S 3 12 0

Demand ( jb ) 0 0 0 0 35

Diperoleh hasil akhir dari pengalokasian ke indeks terkecil sampai seluruh

persedian dan permintaan terpenuhi pada tabel 4.16 berikut

Tabel 4.16 Pengalokasian dengan Seluruh Permintaan dan Persediaan

Terpenuhi


1S 4 1

0

2S 2 6

0

3S 7

0

4S 3 12

0

Demand ( jb ) 0 0 0 0 35

Selanjutnya membuat tabel transportasi baru dengan mengabaikan baris atau

kolom yang permintaan dan persediaannya telah terpenuhi, diperoleh tabel 4.17

berikut

Tabel 4.17 Perbaikan Tabel Transportasi


1S 4 1

0 2 7 14 0


35


2S 2 6

0 3 3 1 0

3S 7

0 5 4 7 0

4S 3 12

0 1 6 2 0

Demand ( jb ) 0 0 0 0 35

Dengan menggunakan persamaan (2.2), diperoleh solusi optimal dengan biaya

total

Min Z =

= 2(4) + 0(1) + 3(2) + 1(6) + 4(7) + 1(3) + 2(12)

= 8 + 0 + 6 + 6 + 28 + 3 + 24

= 75

Dari penyelesaian di atas, dengan menggunakan algoritma modifikasi metode

ASM, diperoleh solusi optimal sebesar 75. Sebelumnya, dengan menggunakan

algoritma dari revisi metode ASM, diperoleh solusi sebesar 79. Dengan demikian,

terjadi penurunan total biaya sebesar

Pada penjelasan dari definisi solusi optimal di bab sebelumnya, dikatakan optimal

jika meminimalkan total biaya transportasi. Hal ini menunjukkan bahwa semakin

kecil total biaya transportasi maka semakin optimal nilainya. Dengan demikian,

modifikasi metode ASM relatif tetap memberikan solusi optimal dari metode

ASM sebelumnya.


BAB 5

KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang dilakukan pada bab sebelumnya, didapatkan

kesimpulan bahwa modifikasi metode ASM tetap memberikan solusi optimal

untuk masalah transportasi tak seimbang dengan penurunan nilai optimasi sebesar

5%, meskipun memiliki iterasi yang relatif lebih banyak daripada metode ASM

sebelumnya. Algoritma pada modifikasi metode ASM juga masih sederhana,

mudah dipahami, dan diaplikasikan.


37

DAFTAR PUSTAKA

Dimyati, Tjutju Tarliah., dan Dimyati, Akhmad. 1992. Operation Research:

Model-model Pengambilan Keputusan. Bandung: CV. Sinar Baru.

Fegade, M.R., Jadhav, V.A., dan Muley, A.A. 2012. Solving Fuzzy

Transportation Problem using Zero Suffix and Robust Ranking

Methodology. IOSR Journal of Engineering (IOSRJEN). 2(7): 36-39.

He D., Li R., Huang Q., dan Lei P. 2014. Transportation Optimization with Fuzzy

Trapezoidal Numbers Based on Possibility Theory. PLoS ONE. 9(8): 1-13.

Mamidi, Pushpa Latha. dan Murthy, M.S.R. 2014. An Approach for Unreliability

of Direct Methods-Optimal Solution of Transportation Problem.

International Journal of Engineering Sciences & Research Technology.

3(4): 1834-1837.

Patel, Reena G., Bhavin S. Dr., dan Bhathawala, Dr. P. H. 2017. On Optimal

Solution of a Transportation Problem. Global Journal of Pure and Applied

Mathematics. 13(9): 6201-6208.

Quddoos, A., Javaid, S., dan Khalid, M.M. 2012. A New Method for Finding an

Optimal Solution for Transportation Problems. International Journal on

Computer Science and Engineering. 4(7); 1271-1274.

Quddoos, A., Javaid, S., dan Khalid, M.M. 2016. A Revised Version of ASM

Method for Solving Transportation Problem. Int.J.Agricult.Stat.Sci. 12:

267-272.

Samuel, A. Edward. 2012. Improved Zero Point Method (IZPM) for The

Transportation Problems. Applied Mathematical Sciences. 6(109): 5421-

5426.

Sharma, Gaurav., Abbas, S.H., dan Gupta, V.K. 2012. Optimum Solution of

Transportation Problem with The Help of Zero Point Method.

International Journal of Engineering Research & Technology. 1(5): 1-5.

Sharma, S., Shanker, R., dan Shanker, R. 2013. A Modified Zero Suffix Method

for Finding an Optimal Solution for transportation Problems. European

Journal of Scientific Research. 104(4): 673-676.

Siswanto. 2016. Operation Research. Jakarta: Erlangga.


38

Thiagarajan, K., Saravanan, H., dan Natarajan, Ponnammal. 2013. Finding an

Optimal Solution for Transportation Problem Zero Neighbouring Method.

Ultra Scientist. 25(2)A: 281-284.

Winston, W.L. 2004. Operation Research Applications and Algoritms, 4 th ed.

New York: Duxbury.

Zenis, Fhani Mulyani., Fajar, M. Yusuf., dan Ramdani, Yani. 2015. Program

Linier Multi-Objective dengan Fixed-Weight Method. Jurnal Matematika.

14(1): 1-7.


Documents

OPTIMASI TRANSPORTASI TAK SEIMBANG MENGGUNAKAN …