Optimale Kombination von Ressourcen

Goethe - Universität, Frankfurt/Main 1

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• Inputs haben ebenso wie Outputs Preise. Der Preis der Arbeit ist der Lohnsatz w, der des Kapitals ist der Zinssatz r. Normalerweise sind diese Preise am Markt vorgegeben. Dann erhält man die Kosten C wie folgt:

C = r K + wL

Optimale Kombination von Ressourcen


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• Diese Gleichung läßt sich transformieren in eine Budgetgerade, die die Isokostenkurve (Kurve gleicher Kosten) genannt wird.

K

L

K = C/r - (w/r)LC/r

tan = - w/r

Isokostenkurve


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ro I Optimale Kombination

von Faktoren• Der Unternehmer wird nun die

technischen Bedingungen der Produktion mit den objektiven Alternativkosten des Faktoreinsatzes abgleichen.

• Entweder er minimiert die Kosten bei gegebenem Output;

• oder er maximiert den Output bei gegebenen Kosten.


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K

L

x3x2x1

C/r

E

Maximierung des Output bei gegebenen Kosten


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ro I Maximierung des Output bei

gegebenen Kosten• Um den Output bei gegebenen Kosten zu

maximieren, muß der Unternehmer K und L in den Proportionen kaufen, bei denen gilt:

MRTSKL = w / r

• Das Gleiche gilt im übrigen auch, wenn die Kosten bei gegebenem Output minimiert werden sollen.


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K

L

x

C2/r

E

C3/r

C1/r

Minimierung der Kosten bei gegebenem Output


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Expansions-Pfad

• Ein Expansions-Pfad ist der Ort aller Gleichgewichtspunkte, für die MRTSKL = w / r = konstant.

• Der Expansions-Pfad zeigt die Veränderung der Faktorproportionen an, wenn der Output bzw. die Kosten (Ausgaben) expandieren.

• Für eine linear-homogene PF ist der Expansions-Pfad eine Gerade.


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• Analog zur Einkommenselastizität für die Nachfrage nach Gütern läßt sich auch eine Ausgabenelastizität für die Nachfrage nach Faktoren formulieren. Diese ist definiert:

LC = (dL / L) : (dC / C) bzw.

KC = (dK / K) : (dC / C) .

Ausgabenelastizität für Faktoren


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Charakteristika von Faktoren

• Ein Produktionsfaktor ist superior bzw. inferior je nach dem, wie seine Ausgabenelastizität beschaffen ist.

• LC > 1: Arbeit ist ein superiorer Faktor (A).

• LC 1, aber > 0: Arbeit ist ein normaler Faktor (B).

• LC 0: Arbeit ist ein inferiorer Faktor (C).


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Expansions-PfadK

L

AB

C

L superior

L inferior

Charakteristika von Faktoren


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K

L0x 1

x 2x 3

CB A

Faktorpreis-Ausgaben-Funktion


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Substitutions- und Output-Effekt

• Auch bei Faktorpreisänderungen ergibt sich ein Substitutions- und ein Output-Effekt.

• Der Substitutionseffekt spiegelt die Veränderung von K/L wider, die auf d(w/r) zurückgeht, wobei der Output konstant bleibt.

• Der Output-Effekt ergibt sich, wenn die erforderliche Einschränkung des Outputs bei Konstanz der Kosten berücksichtigt wird.


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K

L

A

B

Cx1x

2



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• Die Ausgangslage sei der Punkt A.• Der Faktor Arbeit verteuere sich,

wodurch die Isokostenkurve steiler wird.• Der Punkt B zeigt die Faktorkombination,

die beim neuen Preisverhältnis gewählt würde, wenn der Output konstant bliebe.

• Die Bewegung von B nach C stellt den Output-Effekt dar (bei Konstanz der Kosten!).


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ro I Kostentheorie:

Noch einmal kurz- und langfristig• “Langfristig” ist die Zeitspanne, die

ausreicht, um alle Produktionsfaktoren mengenmäßig anzupassen.

• “Kurzfristig” ist weniger konkret:– In einer Stunde kann fast nichts geändert

werden.– An einem Tag kann die Faktorauslastung

variieren– In einem Monat kann zusätzliche Kapazität

geschaffen werden


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ro I Kostentheorie: Zusammenhang

zwischen PF und Kosten• Wir unterstellen, daß der Unternehmer

jeweils im Optimum produziert (sich auf dem Expansions-Pfad bewegt).

• Dann kann die langfristige Kostenkurve direkt aus dem Expansionspfad abgeleitet werden.

• Sie stellt nichts anderes als das Kosten-Äquivalent des Outputs dar.


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K

L

C

xx1

x2

x3

x4

x1

x2

x3

x4

AB

C

D

A’

D’C’

B’

Typischer Verlauf der Kostenkurve


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Kurzfristige Kosten

• Wie gesagt: Es gibt mehrere kurzfristige Perioden.

• Beispiel: Eine Firma möchte den Output verdoppeln. Sie hat 20 Maschinen und benötigt jetzt 10 Maschinen zusätzlich. Wir nehmen an, es gäbe 3 kurzfristige Perioden die entsprechend der Liefersituation wie folgt definiert sind.


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Kurzfristige Kosten: BeispielKurzfristige Kosten: Beispiel

Lieferzeit in Monaten

Anzahl dergeliefertenMaschinen

0 0

6 5

12 10


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Kurzfristige Kosten: BeispielKurzfristige Kosten: Beispiel

K

L

x

2*x

A

D

C

B20

3025

LD LBLA


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Kurzfristige Kosten: Beispiel

• Um den neuen Output zu produzieren, muß kurzfristig der Arbeitsinput erhöht werden (Annahme: L ist völlig flexibel).

• Kurzfristig übersteigt das Kostenniveau das längerfristige Gleichgewichtsniveau.

• Oder anders: Die langfristigen Kosten können niemals die kurzfristigen Kosten übersteigen.


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Dynamische Kostentheorie

• Eine dynamische Kostentheorie erforderte die explizite Berücksichtigung von Anpassungskosten an das langfristig optimale Produktionsniveau bzw. die optimale Kapitalakkumulation.

• Hier behalten wir die Dichotomie zwischen lang- und kurzfristigen Kosten bei (komparativ-statische Analyse).


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• Das Ertragsgesetz mit einem variable Faktor mit der Produktionsfunktion x = x(L K) führt für einen festen Lohnsatz w unmittel-bar zur Kostenfunktion

C = x-1(x) * w + FC,wobei FC die fixen Kosten der Produktion sind. Geometrisch stellt x-1(x) eine Spiegelung der PF an der 45 °-Linie dar.

Fixe und variable Kosten in der kurzen Periode


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x

Variable Kosten VC

C

AB

0

Niveau der fixen Kosten FC

FC

Fixe und variable Kosten in der kurzen Periode


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ro I Durchschnitts- und Grenzkosten

in der kurzen Periode• Ein Fahrstrahl vom Ursprung zu einem

beliebigen Punkt auf der Kostenkurve mißt die Durchschnittskosten (DC).

• Ein Fahrstrahl von FC zu einem beliebigen Punkt auf der Kostenkurve mißt die durchschnittlich variablen Kosten (DVC).

• Die Tangente an Punkte der Kostenkurve mißt die Grenzkosten (MC).


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C

x

MC

DC

DVC

DFC

A

B

Durchschnitts- und Grenzkosten: Geometrische Beziehungen


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ro I Durchschnitts- und Grenzkosten:

Geometrische Beziehungen• Im Schnittpunkt der durchschnittlich

variablen Kostenkurve (A) und der Durchschnittskostenkurve (B) mit der Grenzkostenkurve erreichen erstere jeweils ihr Minimum.

• Die durchschnittliche Fixkostenkurve DFC ist eine Hyperbel.


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Langfristige Kostentheorie

• Beispiel: Wir nehmen einmal an, es gäbe drei

Größenordnungen für einen Betrieb, klein, mittel und groß, je nach Kapitalausstattung.

• Dann lassen sich diese durch die jeweiligen kurzfristigen Durchschnittskostenkurven wie folgt beschreiben:


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C

x

KDC1KDC2

KDC3

x1

x2



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• Solange der Output geringer ist als x1 wählt der Unternehmer die Technologie 1.

• Liegt der Output zwischen x1 und x2, wählt er die Technologie 2.

• Übersteigt der Output das Niveau x2, wählt er die Technologie 3.


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• An den Punkten x1 und x2 ist der Unternehmer indifferent hinsichtlich der Technologie, es sei denn, er habe Erwartungen hinsichtlich einer Expansion (oder Kontraktion) des Outputs.

• Sofern Anpassungskosten (Transaktionskosten) beim Übergang von einer Technologie zur an-deren entstehen, verhält sich der Unternehmer in der Nähe von x1 und x2 “konservativ”.


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• Kurzfristig muß der Unternehmer auf KDC-Kurven operieren, aber langfristig plant er auf einer Langfristkostenkurve (LDC).

• Die LDC ist der Ort aller Punkte, die geringste Stückkosten repräsentieren. Sie läßt sich als “Umhüllende” einer Schar von KDCs darstellen. In den Punkten T sei die LDC jeweils tangent an die KDCs.


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C

x

KDC1KDC2

KDC3

LDC

T

TT

Langfristige Kostenkurve als “Umhüllende”


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C

x

KDC1

KDC2

LDC

KMC1

KMC2

x1

A

B

CD

E

Langfristige Grenzkostenkurve:Herleitung

Till:

????

Auch im Original so

Till:

????

Auch im Original so


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ro I Langfristige Grenzkostenkurve:

Herleitung• Bei x1 gilt im Punkt A: KDC1 = LDC.

• Für x < x1 gilt KDC1 > LDC.

• Dann muß gelten: Bei Expansion von x auf x1 wird KMC1 < LMC sein müssen, denn wir starten bei KDC1 > LDC und erreichen KDC1 = LDC.

• Wir erhalten damit einen Punkt auf der LMC-Kurve, etwa B.


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Herleitung• Bei Kontraktion von einem Punkt x > x1

aus gilt genau das Gegenteil. Hier wird KMC1 > LMC sein müssen.

• Wir erhalten damit einen weiteren Punkt auf der LMC-Kurve, etwa C.

• Weiterhin muß gelten: KMC1 = LMC für x = x1 , also Punkt D.


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Herleitung• Weiterhin gilt, daß die LMC die LDC in

ihrem Minimum schneiden muß, denn es gibt nur einen kurzfristigen Produktions-prozeß, bei dem die minimalen KDC gleich den minimalen LDC sind. Dieser sei in Punkt E erreicht.

• Die LMC verhält sich damit genauso wie die KMC, verläuft jedoch flacher.


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CKDC2

LDC

KMC2

E

LMC

Langfristige Grenzkostenkurve im Minimum der LDC

Till:

animieren

Till:

animieren


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Form der LDC-Kurve

• Sowohl KDC als auch LDC haben einen U-förmigen Verlauf. Die Gründe hierfür sind jedoch verschieden:

• Bei der KDC erklärt es sich daraus, daß das Durchschnittsprodukt bei zum Teil fixen Inputs irgendwann ein Maximum erreicht.

• Diese Erklärung gilt für LDC nicht, da es hier keine fixen Inputs gibt.


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ro I Skalenerträge der Produktion

(“Economies of Scale”)• Skalenerträge entstehen durch

Spezialisierung und Arbeitsteilung (z.B. durch die bessere Auslastung von Maschinen).

• Skalenerträge entstehen auch durch technische Aspekte, z.B. durch den größenabhängigen Einsatz von höherwertigen Technologien.

• Aber warum sollten sich diese Effekte nicht irgendwann auch erschöpfen ?


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ro I Negative Skalenerträge der

Produktion• Negative Skalenerträge können sich aus

Transport- und Informationsproblemen ergeben.

• Negative Skalenerträge können sich auch aus den Grenzen effektiven Managements ergeben.

• Delegation und Dezentralisierung führen zum Anstieg der LDC-Kurve.


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ro I

• Skalenerträge sind rasch erschöpft.

• “Natürliches Monopol“

• Vermutlich “typischer Verlauf”

X

LDC

X

LDC

X

LDC

LDC-Kurven-Verläufe

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