1

Fizika 2

Optika

Geometrijska optika

Zakon loma na sfernoj granici

Preslikavanje lomom

Zakon loma na sfernoj granici

• promotrimo dva prozirna

sredstva koja imaju

indekse loma n1 i n2

• Granica između ta dva

sredstva je sferna površina

radijusa R

• paraksijalne zrake izlaze iz

točkastog predmeta u točki

O u mediju indeksa loma

n1

Zakon loma na sfernoj granici

P (a): udaljenost predmet-sferna granica

L (b): udaljenost slika-sferna granica

U Gaussovoj aproksimaciji kutevi su mali

(paraksijalne zrake), vrijedi da je

sinα≈α i tgα≈α

00

00

180180

180180

CAL

PAC

l

htg

R

htg

p

htg

nn

nn

)()( 21

21

R

nn

l

n

p

n

Rn

Rn

ln

pn

l

h

R

hn

R

h

p

hn

12211221

21

1111

)()(

sinsin___ 21 nnlomazakonSnellov

4

Uvodimo oznake: linearno povećanje za jednu sfernu granicu

a udaljenost predmeta do leće

b udaljenost slike do leće

R polumjer zakrivljenosti

R

nn

b

n

a

n 1221 Zakon loma na sfernoj granici

Predmetna žarišna duljina (predmet je

u žarištu, a=f, slika u ∞)

Slikovna žarišna duljina (slika je

u žarištu, b=f, predmet u ∞)

1

12

2

12

1

b

f

a

f

Rnn

nf

Rnn

nf

ba

b

a

a

b

n

nM

2

1

5

Leća (sferni dioptar)

Ako staklo ili drugi transparentni materijal poprima sferni oblik, paralelni snop

ulaznih zraka će ili konvergirati u točku ili će se činiti da divergira iz točke.

Staklo ili drugi transparentni materijal koji ima takav oblik naziva se leća.

Set prizmi (i jedna planparalelna ploča) djeluje kao konvergentna ili

divergentna leća

6

Leća je prozirno optičko tijelo omeđeno dvjema poliranim površinama koje mogu biti ili obje zakrivljene, ili je jedna zakrivljena a druga ravna. Ako su površine sferne, govorimo o sfernim lećama. Ako je udaljenost između tjemena sfernih granica malena, govorimo o tankoj leći. Leće se koriste u optičkim instrumentima kao što su npr. fotoaparati, teleskopi, mikroskopi

divergentne bikonkavna plankonkavna divergentni menisk

konvergentne

bikonveksna plankonveksna konvergentni menisk

Zakon loma na 2 sferna dioptra

• Pretpostavimo da je ispred leće sredstvo indeksa loma n1, da je leća indeksa

loma n2, a iza leće sredstvo indeksa loma n3.

• Budući da leća može biti sustav od dvije sferne granice različitih polumjera

zakrivljenosti, izvod zakona loma svjetlosti se promatra prvo na granici

polumjera zakrivljenosti R1, a zatim na sfernoj granici polumjera

zakrivljenosti R2.

• Svjetlo koje prolazi kroz leću lomi se na dvije sferne površine

• Slika dobivena lomom na jednoj sfernoj plohi služi kao predmet za lom na

drugoj sfernoj plohi

• Znači, ako se leća indeksa loma n2 nalazi u dva optička sredstva različtih

indeksa lomova (n1 i n3) zakon loma poprima oblik (izvod je u pdf

dokumentu: zakon loma na 2 sferna dioptra)

2

23

1

1231

R

nn

R

nn

b

n

a

n

8

Predmetna žarišna duljina fa (predmet je u F, slika u beskonačnosti): Slikovna žarišna duljina fb (slika je u F, predmet je u beskonačnosti): Dijeljenjem ova dva izraza dobivamo: Uvrstivši u zakon loma za tanku leću (debljina mala u odnosu na polumjer zakrivljenosti) slijedi:

1

1

3

231122

213

231122

211

b

f

a

f

n

n

f

f

nnRnnR

RRnf

nnRnnR

RRnf

ba

a

b

b

a

9

U praksi je dosta često ispunjen uvjet da je n1=n3, tj. da se leća nalazi u homogenom sredstvu jednog indeksa loma. U tom slučaju zakon loma ima jednostavniji oblik: Slikovna i predmetna žarišna duljina fb i fa tanke leće u tom slučaju su jednake. Recipročna vrijednost žarišne duljine ima oblik: Zakon loma svjetlosti kroz tanku leću (uz navedeni izraz za f):

fbab

f

a

f

RRn

nn

f

RRn

nn

ba

1111

111

1111

211

12

211

12

Žarišna duljina konvergentne leće>0

• Paralelne zrake prolaze kroz leću i konvergiraju u žarište

• Paralelne zrake mogu doći s lijeve ili desne strane leće

(f1=f2=f samo ako se leća nalazi u jednom optičkom sredstvu)

Žarišna duljina divergentne leće<0

• Paralelne zrake se razilaze nakon prolaska kroz divergentnu

leću

• Žarište je točka u kojoj izgleda kao da zrake iz te točke izlaze

(f<0) (f1=f2=f samo ako se leća nalazi u jednom optičkom

sredstvu)

•

12

Konvencije

a je pozitivno ako je predmet realan( iz njega izlaze zrake

svjetlosti).

a je negativan ako je predmet virtualan (u njega ulaze

zrake svjetlosti, ali do njega ne stižu zbog loma na

optičkom sredstvu).

b je pozitivno ako je slika realna (vidimo je na zastoru).

b je negativno ako je slika virtualna (gledamo je kroz

optički sustav)

R1 i R2 su pozitivni ako je centar zakrivljenosti iza leće.

R1 i R2 su negativni ako je centar zakrivljenosti ispred

leće.

f je pozitivno ako je leća je konvergentna.

f je negativno ako je leća divergentna.

13

Konvencije vezane uz predmet

a

predmet je REALAN

kad zrake divergiraju izlazeći

iz predmeta:

a > 0

Predmet je VIRTUALAN

kad zrake konvergiraju

prema predmetu:

a < 0

obično samo kod kombinacija leća a

glavne zrake

14

Konvencije vezane uz sliku

b

slika je REALNA

kad zrake konvergiraju :

b > 0

slika je VIRTUALNA kad

zrake divergiraju:

b< 0 b

zrake se fokusiraju na sliku

15

Konvencije vezane uz radijus zakrivljenosti

R1

R2

R1

R2

R > 0 kad svjetlost dolazi s desna

R < 0 kad svjetlost dolazi s lijeva

R1 > 0

R2 < 0

R1 < 0

R2 >0

16

Konvencije vezane uz žarišnu udaljenost

f

KONVERGENTNA

zrake konvergiraju:

f > 0

DIVERGENTNA

zrake divergiraju:

f < 0

f

f f

zrake dolaze iz

17

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Large_convex_lens.jpg

Konvergentne leće

18

Divergentne leće

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Concave_lens.jpg

19

jednadžba preslikavanja povezuje položaj predmeta, a, položaj slike, b,

i žarišnu udaljenosti leće f relacijom:

Uočimo: matematička krivulja koja opisuje jednadžbu preslikavanja

tanke leće je istostrana hiperbola sa osima žarišnih udaljenosti, slika

koja slijedi. Desna strana jednadžbe je recipročna vrijednost žarišne

udaljenosti,f, koja predstavlja jakost optičkog sistema,J:

fba

111

dptmf

J)(

1

Tanke leće

20

Linearno povećanje definirano je kao omjer veličine slike, y´, i predmeta, y:

gdje su zadnja dva izraza izvedena iz preslikavanja. Ti izrazi pokazuju da povećanja ovise o optičkom sustavu, f, poziciji predmeta u odnosu na leću, a, o kojoj je ovisna i pozicija slike, b.

Predznaci optičkih veličina: a, b i f definirani su u fizikalnoj konvenciji optičkih veličina procesa preslikavanja; vježbe iz fizike !

af

f

a

b

y

yp

21

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća ili konvergentna leća

Predmet je u ;

paralelan snop zraka

svjetlosti nailazi na leću.

Slika je u točki koja se zove

žarište slike, F´, za sabirnu

leću to žarište je realno. P=F´ F

optička os, o

S

23

)1

(1

111

,

dioptrijametarf

J

a

b

y

y

fba

Za konstrukciju slike koristimo tri karakteristične zrake.

• Zraka 1 putuje od predmeta paralelno s optičkom osi i lomi se tako da

prolazi kroz žarište (fokus) F.

• Zraka 2 putuje od predmeta prolazeći kroz žarište, a nakon loma širi se

paralelno s optičkom osi.

• Zraka 3 prolazi kroz središte i ne mijenja smjer.

http://eskola.hfd.hr/inter_fizika/proba/NOV@/salata/klupa.htm

Image Formation by Thin Lenses

Convex

Lens

Concave

Lens

sm

s

25

F´

F optička os, o 2F

1

2=2´

1´

P

S

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća Predmet se nalazi u dvostrukoj žarišnoj udaljenosti; a = 2f.

Slika je realna, jednake veličine, obrnuta i nalazi se također

na udaljenosti a=2f, ali s druge strane leće.

Predmet se približava...

Slika se udaljava...

zastor, ekran,

(projekcija)

26

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća

F´

F optička os, o

2F

1

2=2´

1´

P

S

Predmet je između F i 2F; 2f>a>f.

Slika je realna (lomljene zrake se sijeku), uvećana i

nalazi se izvan 2F´.

Slika se

udaljava... Predmet se

približava...

zastor, ekran,

(projekcija)

27

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća Predmet je u žarištu predmeta, F; a=f.

Slika je u beskonačnosti; b; lomljene zrake se ne

sijeku, ni realno niti imaginarno.

F´

F optička os, o

2F

1

2=2´

1´

P

28

geometrijska optika; preslikavanje na lećama

+ leća Predmet je između žarišta predmeta i centra leće,0; a<f.

Slika je virtualna, uspravna i uvećana; lomljene zrake se ne sijeku, zato se sijeku njihovi produžeci.

F´

F optička os, o

2F

1

2=2´

1´

P

S

Slika se promatra kroz optički sustav (leću)

Image Formation Summary Table

Preslikavanje na ravnom dioptru (lom svjetlosti)

Zakon loma na ravnoj granici ( )

30

021 b

n

a

n

R

31

Pogreške kod leća

Realni uvjeti u kojima nastaju pogreške:

• debele leće; zaobljeni sustavi (r konačan)

• široki snop svjetlosti se koristi kod preslikavanja,

( 0 )

Gore navedeni uvjeti se koriste u radu optičkih instrumenata; oni dovode do pogrešaka u preslikavanju, koje moramo upoznati i znati kako se ispravljaju.

32

Vrste pogrešaka: A) Sferna aberacija; uzrokovana konačnom (najčešće velikom) zaobljenošću leća.

B) Kromatska aberacija; uzrokovana ulaskom vidljive svjetlosti i nastajanjem disperzije svjetlosti na optičkim sustavima.

Obje vrste pogrešaka uklanjaju se sustavima leća koje zadovoljavaju uvjete koje se približavaju jednoznačnom

preslikavanju. C) Astigmatizam; uzrokovan nejednolikošću zakrivljenosti leća u horizontalnoj i vertikalnoj ravnini. Posljedica toga su različite žarišne daljine u tim ravninama.

Uklanja se cilindričnim lećama.

33

Sferna aberacija • Pri izvođenju zakona za lom svjetlosti kroz tanku leće uzimaju se u

obzir zrake koje zadovoljavaju Gaussovu aproksimaciju.

• Međutim, treba promotriti slučaj širokog snopa upadnih zraka svjetlosti. Tada zrake padaju na veliku površinu leće, upadni kutovi su različiti i dobivena slika nije oštra. Na primjeru bikonveksne leće: zrake svjetlosti koje padaju na leću dalje od optičke osi lome se jače i formiraju sliku bliže leći. Ta greška se naziva sferna aberacija.

Pogrešku mjerimo: duž optičke osi (longitudinalna sferna aberacija)

okomito na optičku os (transverzalna sferna aberacija)

34

Kromatska aberacija

Pogreška koja se javlja prolazom vidljive svjetlosti kroz leću u procesu preslikavanja; uzrok pogreške je disperzija svjetlosti.

Slike koje nastaju radi te pogreške su obojene onom bojom čiji lom je dominantan u ravnini u kojoj promatramo sliku.

Astigmatizam

Pogreška koja se pojavljuje kada optički sustav nije simetričan s obzirom na optičku os; greška obično nastaje pri proizvodnji leća. Od točkastog predmeta dobit ćemo sliku koja ima neku duljinu, jer leća fokusira zrake u vertikalnoj ravnini na drugoj udaljenosti nego u horizontalnoj.

• Ljudsko oko često pokazuje tu pogrešku uslijed nesavršenog oblika rožnice, odnosno leće.

35