Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016

Opgave 6

a) Nulpunkterne for f (x) = ln(x2 − 120

)bestemmes.

f (x) = 0 Ligningen sættes lig nul, og løses for x2 − 120 > 0,da den naturlige logaritme kun er defineret for positive værdier.

ln(x2 − 120

)= 0 Beregningsforskriften er indsat.

x2 − 120 = 1 Den naturlige eksponentialfunktion er anvendt.x2 = 121 120 er lagt til på begge sider.

x = −11 ∨ x = 11 Løsningerne er plus/minus kvadratroden.

Opgave 7

a) Omsætningen er givet ved R (x) = p (x) · x = 500 · x−1/2 · x = 500 · x1/2

b) Den afsætning, som giver det største dækningsbidrag, bestemmes ved at løse ligningen

R′ (x) = C ′ (x)

500 · 12x−1/2 = 25

x−1/2 = 50

500

x =(

110

)−2= 102 = 100.

Ved en afsætning på 100 stk. opnås det største dækningsbidrag. Den tilsvarende pris er p (100) = 500 ·100−0.5 =50 eller 50 kroner pr. stk.

Opgave 8

a) Data fra filen fastfood er talt op og resultatet fremgår af nedenstående tabel.

b) Vi opstiller følgende nulhypotese.H0 : Den foretrukne type fastfood afhænger ikke af køn.

Da p-værdien i en χ2-test for uafhængighed er omtrent 0 og dermed under signifikansniveauet på 5 % forkastervi H0 og konkluderer at der er en sammenhæng mellem køn og hvilken type fastfood, der foretrækkes.

side 1 af 6

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016

c)

Kvinder, som foretrækker sushi kan estimeres til at være 38.3 % af alle kvinder. Et 95 % konfidensinterval forandelen bestemmes til [34.5; 42.1] procent. Formuleringen af opgaven er dog ikke helt entydig.

Opgave 9

a)

Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen.

d (x) = s (x)−0.038x+ 65 = 0.032x+ 30

−0.070x = −35

x = −35−0.070 = 500.

Ligevægtsprisen er s (500) = 0.032 · 500 + 30 = 46. Ligevægtspunktet er derfor (p, q) = (500, 46).

b)

Forbrugeroverskuddet beregnes som arealet af trekanten, som er 12 · (65− 46) · 500 = 4750 kroner.

c)

En afgift på 7 kr. gør at grafen for sny er forskudt opefter i forhold til grafen for s. Derfor vil ligevægtspunktetflytte sig skråt op mod venstre, hvorved både højde og grundlinje for den skraverede trekant bliver mindre.Afgiften vil derfor mindske forbrugeroverskuddet.

side 2 af 6

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016

Opgave 10

a) Datafilen regional indeholder oplysninger om BNP i 1000 kr. pr. indbygger i forskellige landsdele. I 1994var gennemsnittet 181.3 , medianen var 166 og standardafvigelsen var 39.9. I 2014 var gennemsnittet 319.9 ,medianen var 295 og standardafvigelsen var 90.2 .

b) Sammenhængen mellem BNP i 1000 kr. pr. indbygger i 1994 er plottet mod den gennemsnitlige årlige vækst.

Den bedste lineære model for sammenhængen er V (x) = 0.00556x+ 1.81.c) Konfidensintervallet for hældningskoefficienten er [0.00089;0.01023].

d) Generelt er der sket en ganske stor forøgelse af BNP i perioden fra 1994 til 2014. Vi kan afvise at der ikke ernogen sammenhæng mellem BNP i 1994 og den årlige vækst. Der er således en tendens til at områder med højtBNP også har større vækst, men sammenhængen er ganske svag, hvilket afspejler sig i værdien R2 = 0.446. Derer derfor grund til at diskutere anvendeligheden af den lineære model.

side 3 af 6

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016

Opgave 11

a)

Forskriften for de variable enhedsomkostninger er

V E (x, y) = CA (x)x

+ CB (y)y

= 0.005x3 − 0.5x2 + 500xx

+ 0.01y3 − 0.5y2 + 100yy

= 0.005x2 − 0.5x+ 500 + 0.01y2 − 0.5y + 100= 0.005x2 − 0.5x+ 0.01y2 − 0.5y + 600 .

b)

Niveaukurven N (1000) samt begrænsningerne er indtegnet i et koordinatsystem.

c)

Af figuren ses at det frie minimumssted ligger uden for polygonområdet og at minimumsstedet må ligge pålinjen y = −0.5x+ 350. Vi vil derfor minimere funktionen

g (x) = 0.005x2 − 0.5x+ 0.01 (−0.5x+ 350)2 − 0.5 (−0.5x+ 350) + 600.

Den afledte er

g′ (x) = 0.01x− 0.5 + 0.01 · 2 · (−0.5x+ 350) · (−0.5)− 0.5 · (−0.5)= 0.01x− 0.5 + 0.01 · (0.5x− 350) + 0.25= 0.01x− 0.25 + 0.005x− 3.50= 0.015x− 3.75

Ligningen g′ (x) = 0 har derfor løsning x = 3.750.015 = 250. Den tilsvarende værdi af y beregnes som y =

−0.5 · 250 + 350 = 225. Der skal derfor produceres 250 A og 225 B for at minimere de samlede variableenhedsomkostninger.

side 4 af 6

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016

Opgave 12 A

a)

Idet f (x) = 13x

3 − 2x2 − 3x + 18 er f ′ (x) = x2 − 4x − 3 så f (0) = 18 og f ′ (0) = −3. Derfor har tangenten tligning y = −3 · (x− 0) + 18 eller y = −3x + 18. Tangenten skæring med x-aksen findes ved at løse ligningen−3x+ 18 = 0, hvilket giver x = 6. Ved at indsætte i beregningsforskriften for f checkes at (6, 0) er et nulpunktfor f.

b)

Skæringspunktet (3.0) er fundet ved hjælp af GeoGebra. Arealet af M kan bestemmes ved∫ 3

0(t (x)− f (x)) dx+

∫ 6

3t (x) dx =

∫ 3

0

((−3x+ 18)−

(13x

3 − 2x2 − 3x+ 18))

dx+∫ 6

3(−3x+ 18) dx

=∫ 3

0

(−1

3x3 + 2x2

)dx+

[−3

2x2 + 18x

]6

3

=[− 1

12x4 + 2

3x3]3

0+(−3

2 · 62 + 18 · 6

)−(−3

2 · 32 + 18 · 3

)= −34

12 + 23 · 3

3 − 54 + 108 + 272 − 54

= −274 + 18 + 27

2= 243/4.

side 5 af 6

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016

Opgave 12 B

a)

Differentialligningen L′ (T ) = a · L (T ) · (M − L (T )) , 0 ≤ T ≤ 100 når a = 0.001 og M = 82, hvilket giverL (T ) = 79.53

36·exp(−0.08T )+0.97 .

Grafen for L er vist nedenfor.

b) Ved en loyalitet på 70 % kan SPS-GYM forvente en tilfredshed på 65.6%.

Opgave 12 C

a) Et lån på 1200000 kr. med en kvartalsvis ydelse på 20274.95 kr. og en rente på 0.7875 % kan tilbagebetalespå

n = −ln(

1− A0y · r

)ln (1 + r)

= −ln(1− 1200000

20274.95 · 0.007875)

ln (1.007875)= 80 .

Lånet kan således tilbagebetales på 80 kvartaler eller 20 år.b) For 2. termin er rentedelen 1189175.05 · 0.007875 = 9364.75 kroner. Afdragsdelen er 20274.95 − 9364.75 =10910.20 kr. Bidragssatsen er 1189175.05 · 0.002125 = 2526.00 kr. Ultimo restgæld er 1189175.05− 10910.20 =1178264.85 kroner. Bemærk, at bidragssatsen i denne opgave ikke er indregnet som en del af ydelsen, som detnormalt gøres.

side 6 af 6